फ़ंक्शन का चरम बिंदु f x। किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु क्या हैं: अधिकतम और न्यूनतम के महत्वपूर्ण बिंदु

इन असमानताओं को Δ के रूप में सीमा तक पार करना एक्स→ 0 और उस व्युत्पन्न को ध्यान में रखते हुए एफ "(एक्स 0) मौजूद है, और इसलिए बाईं ओर की सीमा इस पर निर्भर नहीं करती कि Δ कैसे है एक्स→ 0, हमें मिलता है: Δ के लिए एक्स → 0 – 0 एफ" (एक्स 0) ≥ 0 और Δ पर एक्स → 0 + 0 एफ" (एक्स 0) ≤ 0. चूँकि एफ" (एक्स 0) एक संख्या को परिभाषित करता है, तो ये दो असमानताएँ केवल तभी संगत होती हैं एफ" (एक्स 0) = 0.

सिद्ध प्रमेय बताता है कि अधिकतम और न्यूनतम बिंदु केवल तर्क के उन मूल्यों में से हो सकते हैं जिनके लिए व्युत्पन्न गायब हो जाता है।

हमने उस मामले पर विचार किया है जब किसी फ़ंक्शन का एक निश्चित खंड के सभी बिंदुओं पर व्युत्पन्न होता है। क्या होता है जब व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है? उदाहरणों पर विचार करें.

य =|एक्स |.

फ़ंक्शन का किसी बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है एक्स=0 (इस बिंदु पर, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक निश्चित स्पर्शरेखा नहीं होती है), लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम स्पर्शरेखा होता है, क्योंकि य(0)=0, और सभी के लिए एक्स ≠ 0य > 0.

इस प्रकार, दिए गए उदाहरणों और तैयार किए गए प्रमेय से यह स्पष्ट है कि फ़ंक्शन का चरम केवल दो मामलों में हो सकता है: 1) उन बिंदुओं पर जहां व्युत्पन्न मौजूद है और शून्य के बराबर है; 2) उस बिंदु पर जहां व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

हालाँकि, यदि किसी बिंदु पर एक्स 0 हम यह जानते हैं एफ"(एक्स 0 ) =0, तो इससे यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता कि बिंदु पर एक्स 0 फ़ंक्शन का एक चरम है।

उदाहरण के लिए।

लेकिन बिंदु एक्स=0 एक चरम बिंदु नहीं है, क्योंकि इस बिंदु के बाईं ओर फ़ंक्शन मान अक्ष के नीचे स्थित हैं बैल, और ऊपर दाईं ओर।

किसी फ़ंक्शन के डोमेन से किसी तर्क के मान, जिसके लिए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गायब हो जाता है या मौजूद नहीं होता है, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु .

पूर्वगामी से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु महत्वपूर्ण बिंदुओं में से हैं, और, हालांकि, प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु एक चरम बिंदु नहीं है। इसलिए, फ़ंक्शन के चरम को खोजने के लिए, आपको फ़ंक्शन के सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं को ढूंढना होगा, और फिर अधिकतम और न्यूनतम के लिए इनमें से प्रत्येक बिंदु की अलग-अलग जांच करनी होगी। इसके लिए निम्नलिखित प्रमेय कार्य करता है।

प्रमेय 2. (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक पर्याप्त शर्त।) फ़ंक्शन को महत्वपूर्ण बिंदु वाले कुछ अंतराल पर निरंतर रहने दें एक्स 0, और इस अंतराल के सभी बिंदुओं पर भिन्न है (शायद, बिंदु को छोड़कर)। एक्स 0). यदि, इस बिंदु से बाएं से दाएं गुजरते समय, व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो बिंदु पर एक्स = एक्स 0 फ़ंक्शन में अधिकतम है. यदि, गुजरते समय एक्स 0 बाएं से दाएं, व्युत्पन्न चिह्न ऋण से धन में बदलता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है।

इस प्रकार, यदि

च"(x)>0 पर एक्स <एक्स 0 और च"(x)< 0 पर एक्स > एक्स 0 , फिर एक्स 0 - अधिकतम बिंदु;

सबूत. आइए पहले यह मान लें कि जब हम गुजर रहे हों एक्स 0, व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, अर्थात। सभी के लिए एक्समुद्दे के करीब एक्स 0 एफ "(एक्स)> 0 के लिए एक्स< x 0 , च"(x)< 0 के लिए एक्स > एक्स 0 . आइए हम अंतर पर लैग्रेंज प्रमेय लागू करें एफ(एक्स) - एफ(एक्स 0 ) = एफ "(सी)(एक्स- एक्स 0), कहाँ सीबीच मे स्थित एक्सऔर एक्स 0 .

होने देना एक्स< x 0 . तब सी< x 0 और एफ "(सी)> 0. इसीलिए एफ "(सी)(एक्स-एक्स 0)< 0 और, इसलिए,

एफ(एक्स) - एफ(एक्स 0 )< 0, यानी एफ(एक्स)< f(x 0 ).

होने देना एक्स > एक्स 0 . तब सी>एक्स 0 और च"(सी)< 0. साधन एफ "(सी)(एक्स-एक्स 0)< 0. इसीलिए एफ(एक्स) - एफ(एक्स 0 ) <0,т.е.एफ(एक्स) < एफ(एक्स 0 ) .

इस प्रकार, सभी मूल्यों के लिए एक्सके काफी करीब एक्स 0 एफ(एक्स) < एफ(एक्स 0 ) . और इसका मतलब यह है कि बिंदु पर एक्स 0 फ़ंक्शन में अधिकतम है.

न्यूनतम प्रमेय का दूसरा भाग भी इसी प्रकार सिद्ध होता है।

आइए चित्र में इस प्रमेय का अर्थ स्पष्ट करें। होने देना एफ"(एक्स 1 ) =0 और किसी के लिए एक्स,के काफी करीब एक्स 1, असमानताएं

च"(x)< 0 पर एक्स< x 1 , एफ "(एक्स)> 0 पर एक्स > एक्स 1 .

फिर बिंदु के बाईं ओर एक्स 1 फ़ंक्शन बढ़ रहा है, और दाईं ओर घट रहा है, इसलिए, कब एक्स = एक्स 1 फलन बढ़ने से घटने की ओर जाता है, अर्थात इसका अधिकतम होता है।

इसी प्रकार बिन्दुओं पर विचार किया जा सकता है एक्स 2 और एक्स 3 .

योजनाबद्ध रूप से, उपरोक्त सभी को चित्र में दर्शाया जा सकता है:

एक चरम के लिए फलन y=f(x) का अध्ययन करने का नियम

किसी फ़ंक्शन का दायरा खोजें एफ(एक्स).

किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें च"(x) .

इसके लिए महत्वपूर्ण बिंदु निर्धारित करें:

समीकरण की वास्तविक जड़ें खोजें च"(x) =0;

सभी मान खोजें एक्सजिसके अंतर्गत व्युत्पन्न च"(x)मौजूद नहीं होना।

क्रांतिक बिंदु के बायीं और दायीं ओर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें। चूंकि व्युत्पन्न का चिह्न दो महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच स्थिर रहता है, इसलिए यह महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर किसी एक बिंदु पर और दायीं ओर एक बिंदु पर व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है।

चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

किसी फ़ंक्शन का चरम पता लगाना सीखने से पहले, यह समझना आवश्यक है कि चरम क्या है। चरम की सबसे सामान्य परिभाषा यह है कि यह संख्या रेखा या ग्राफ़ के एक निश्चित सेट पर गणित में उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन का सबसे छोटा या सबसे बड़ा मान है। जहां न्यूनतम है, वहां न्यूनतम का चरम प्रकट होता है, और जहां अधिकतम है, वहां अधिकतम का चरम प्रकट होता है। गणितीय विश्लेषण जैसे अनुशासन में भी, किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम को प्रतिष्ठित किया जाता है। अब आइए देखें कि चरम सीमाओं को कैसे खोजा जाए।

गणित में चरम सीमाएँ किसी फ़ंक्शन की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं में से हैं, वे इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान दिखाते हैं। एक्स्ट्रेमा मुख्य रूप से पाए गए कार्यों के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर पाए जाते हैं। यह ध्यान देने योग्य है कि यह चरम बिंदु पर है कि फ़ंक्शन मौलिक रूप से अपनी दिशा बदलता है। यदि हम चरम बिंदु के व्युत्पन्न की गणना करते हैं, तो, परिभाषा के अनुसार, यह शून्य के बराबर होना चाहिए या यह पूरी तरह से अनुपस्थित होगा। इस प्रकार, किसी फ़ंक्शन के चरम को खोजने का तरीका जानने के लिए, आपको दो क्रमिक कार्य करने होंगे:

• उस फ़ंक्शन के लिए व्युत्पन्न ढूंढें जिसे कार्य द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है;
• समीकरण की जड़ें खोजें.

चरम को खोजने का क्रम

1. दिए गए फ़ंक्शन f(x) को लिखें। इसका प्रथम-क्रम व्युत्पन्न f "(x) ज्ञात कीजिए। परिणामी अभिव्यक्ति को शून्य के बराबर करें।
2. अब आपको जो समीकरण निकला उसे हल करना है. परिणामी समाधान समीकरण के मूल होंगे, साथ ही परिभाषित किए जा रहे फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु भी होंगे।
3. अब हम यह निर्धारित करते हैं कि कौन से महत्वपूर्ण बिंदु (अधिकतम या न्यूनतम) पाए गए मूल हैं। किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को खोजने का तरीका जानने के बाद अगला चरण, वांछित फ़ंक्शन f "(x) का दूसरा व्युत्पन्न ढूंढना है। पाए गए महत्वपूर्ण बिंदुओं के मानों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक होगा एक विशिष्ट असमानता में और फिर गणना करें कि क्या होता है। यदि ऐसा होता है, कि दूसरा व्युत्पन्न महत्वपूर्ण बिंदु पर शून्य से अधिक हो जाता है, तो यह न्यूनतम बिंदु होगा, और अन्यथा यह अधिकतम बिंदु होगा।
4. फ़ंक्शन के आवश्यक अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर प्रारंभिक फ़ंक्शन के मान की गणना करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम प्राप्त मानों को फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं। हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि महत्वपूर्ण बिंदु अधिकतम निकला, तो चरम अधिकतम होगा, और यदि यह न्यूनतम है, तो सादृश्य द्वारा यह न्यूनतम होगा।

एक चरम खोजने के लिए एल्गोरिदम

प्राप्त ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, आइए चरम बिंदुओं को खोजने का एक संक्षिप्त एल्गोरिदम बनाएं।

1. हम दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन और उसके अंतराल ढूंढते हैं, जो यह निर्धारित करते हैं कि फ़ंक्शन किस अंतराल पर निरंतर है।
2. हम फ़ंक्शन f "(x) का व्युत्पन्न पाते हैं।
3. हम समीकरण y = f (x) के महत्वपूर्ण बिंदुओं की गणना करते हैं।
4. हम फ़ंक्शन f (x) की दिशा में परिवर्तनों के साथ-साथ व्युत्पन्न f "(x) के चिह्न का विश्लेषण करते हैं, जहां महत्वपूर्ण बिंदु इस फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को अलग करते हैं।
5. अब हम यह निर्धारित करते हैं कि ग्राफ़ पर प्रत्येक बिंदु अधिकतम है या न्यूनतम।
6. हम फ़ंक्शन के मान उन बिंदुओं पर पाते हैं जो चरम हैं।
7. हम इस अध्ययन के परिणाम को ठीक करते हैं - एकरसता का चरम और अंतराल। बस इतना ही। अब हमने विचार किया है कि किसी भी अंतराल पर चरम सीमा का पता कैसे लगाया जाए। यदि आपको किसी फ़ंक्शन के एक निश्चित अंतराल पर एक चरम खोजने की आवश्यकता है, तो यह उसी तरह से किया जाता है, केवल किए जा रहे अध्ययन की सीमाओं को आवश्यक रूप से ध्यान में रखा जाता है।

इसलिए, हमने विचार किया है कि किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं को कैसे खोजा जाए। सरल गणनाओं की मदद से, साथ ही डेरिवेटिव खोजने के ज्ञान के साथ, आप कोई भी चरम पा सकते हैं और उसकी गणना कर सकते हैं, साथ ही उसे ग्राफिक रूप से नामित भी कर सकते हैं। स्कूल और उच्च शिक्षण संस्थान दोनों में चरम सीमाओं को खोजना गणित के सबसे महत्वपूर्ण वर्गों में से एक है, इसलिए, यदि आप सीखते हैं कि उन्हें सही तरीके से कैसे निर्धारित किया जाए, तो सीखना बहुत आसान और अधिक दिलचस्प हो जाएगा।

इस लेख से, पाठक सीखेंगे कि कार्यात्मक मूल्य की चरम सीमा क्या है, साथ ही व्यवहार में इसके उपयोग की विशेषताओं के बारे में भी। उच्च गणित की नींव को समझने के लिए ऐसी अवधारणा का अध्ययन अत्यंत महत्वपूर्ण है। यह विषय पाठ्यक्रम के गहन अध्ययन के लिए मौलिक है।

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चरम क्या है?

स्कूली पाठ्यक्रम में "चरम" की अवधारणा की कई परिभाषाएँ दी गई हैं। इस लेख का उद्देश्य उन लोगों को इस शब्द की सबसे गहरी और स्पष्ट समझ प्रदान करना है जो इस मुद्दे से अनभिज्ञ हैं। तो, इस शब्द से यह समझा जाता है कि कार्यात्मक अंतराल किस हद तक किसी विशेष सेट पर न्यूनतम या अधिकतम मूल्य प्राप्त करता है।

चरम एक ही समय में फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और अधिकतम दोनों है। एक न्यूनतम बिंदु और एक अधिकतम बिंदु होता है, यानी ग्राफ़ पर तर्क का चरम मान। मुख्य विज्ञान जिनमें इस अवधारणा का उपयोग किया जाता है:

• आँकड़े;
• मशीन नियंत्रण;
• अर्थमिति.

चरम बिंदु किसी दिए गए फ़ंक्शन के अनुक्रम को निर्धारित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। ग्राफ़ पर समन्वय प्रणाली सर्वोत्तम रूप से कार्यक्षमता में परिवर्तन के आधार पर चरम स्थिति में परिवर्तन दिखाती है।

व्युत्पन्न फलन की चरम सीमा

"व्युत्पन्न" जैसी कोई चीज़ भी होती है। चरम बिंदु निर्धारित करना आवश्यक है। यह महत्वपूर्ण है कि न्यूनतम या अधिकतम अंक को सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के साथ भ्रमित न करें। ये अलग-अलग अवधारणाएँ हैं, हालाँकि ये समान लग सकती हैं।

फ़ंक्शन का मान अधिकतम बिंदु कैसे प्राप्त करें यह निर्धारित करने में मुख्य कारक है। व्युत्पन्न मूल्यों से नहीं बनता है, बल्कि विशेष रूप से किसी न किसी क्रम में इसकी चरम स्थिति से बनता है।

व्युत्पन्न स्वयं चरम बिंदुओं के डेटा के आधार पर निर्धारित किया जाता है, न कि सबसे बड़े या सबसे छोटे मूल्य के आधार पर। रूसी स्कूलों में, इन दो अवधारणाओं के बीच की रेखा स्पष्ट रूप से नहीं खींची जाती है, जो सामान्य रूप से इस विषय की समझ को प्रभावित करती है।

आइए अब ऐसी चीज़ पर "तीव्र चरम" पर विचार करें। आज तक, एक तीव्र न्यूनतम मूल्य और एक तीव्र अधिकतम मूल्य है। परिभाषा किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं के रूसी वर्गीकरण के अनुसार दी गई है। चरम बिंदु की अवधारणा चार्ट पर महत्वपूर्ण बिंदु खोजने का आधार है।

ऐसी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए, फ़र्मेट के प्रमेय का उपयोग किया जाता है। यह चरम बिंदुओं के अध्ययन में सबसे महत्वपूर्ण है और किसी न किसी रूप में उनके अस्तित्व का स्पष्ट विचार देता है। चरमता सुनिश्चित करने के लिए, चार्ट पर घटने या बढ़ने के लिए कुछ स्थितियाँ बनाना महत्वपूर्ण है।

"अधिकतम बिंदु कैसे ज्ञात करें" प्रश्न का सटीक उत्तर देने के लिए, आपको इन प्रावधानों का पालन करना होगा:

1. चार्ट पर परिभाषा का सटीक क्षेत्र ढूँढना।
2. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न और चरम बिंदु की खोज करें।
3. तर्क के क्षेत्र के लिए मानक असमानताओं को हल करें।
4. यह साबित करने में सक्षम हो कि ग्राफ़ पर एक बिंदु किन कार्यों में परिभाषित और निरंतर है।

ध्यान!किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु की खोज केवल तभी संभव है जब कम से कम दूसरे क्रम का व्युत्पन्न हो, जो एक चरम बिंदु की उपस्थिति के उच्च अनुपात से सुनिश्चित होता है।

कार्य की चरम सीमा के लिए आवश्यक शर्त

एक चरम के अस्तित्व के लिए, यह महत्वपूर्ण है कि न्यूनतम अंक और अधिकतम अंक दोनों हों। यदि इस नियम का केवल आंशिक रूप से पालन किया जाता है, तो एक चरम के अस्तित्व की स्थिति का उल्लंघन होता है।

किसी भी स्थिति में प्रत्येक फ़ंक्शन को उसके नए अर्थों की पहचान करने के लिए विभेदित किया जाना चाहिए। यह समझना महत्वपूर्ण है कि जब कोई बिंदु गायब हो जाता है तो वह भिन्न बिंदु खोजने का मुख्य सिद्धांत नहीं है।

एक तीव्र चरम सीमा, साथ ही फ़ंक्शन न्यूनतम, चरम मूल्यों का उपयोग करके गणितीय समस्या को हल करने का एक अत्यंत महत्वपूर्ण पहलू है। इस घटक को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कार्यात्मकता को परिभाषित करने के लिए सारणीबद्ध मानों को संदर्भित करना महत्वपूर्ण है।

किसी फ़ंक्शन का चरम बिंदु फ़ंक्शन के डोमेन में वह बिंदु होता है जहां फ़ंक्शन का मान न्यूनतम या अधिकतम मान लेता है। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन मान को फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा (न्यूनतम और अधिकतम) कहा जाता है.

परिभाषा. डॉट एक्स1 कार्य क्षेत्र एफ(एक्स) कहा जाता है फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु , यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान इसके दाईं और बाईं ओर स्थित इसके पर्याप्त करीब बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान से अधिक है (अर्थात, असमानता एफ(एक्स0 ) > एफ(एक्स 0 + Δ एक्स) एक्स1 अधिकतम।

परिभाषा. डॉट एक्स2 कार्य क्षेत्र एफ(एक्स) कहा जाता है फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु, यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का मान इसके पर्याप्त करीब बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान से कम है, जो इसके दाएं और बाएं स्थित है (अर्थात, असमानता एफ(एक्स0 ) < एफ(एक्स 0 + Δ एक्स) ). इस मामले में, फ़ंक्शन को बिंदु पर कहा जाता है एक्स2 न्यूनतम।

चलिए बात बताते हैं एक्स1 - फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु एफ(एक्स) . फिर तक के अंतराल में एक्स1 कार्य बढ़ जाता है, इसलिए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ "(एक्स) > 0 ), और इसके बाद के अंतराल में एक्स1 फ़ंक्शन कम हो रहा है, इसलिए फ़ंक्शन व्युत्पन्नशून्य से कम ( एफ "(एक्स) < 0 ). Тогда в точке एक्स1

चलिए बात ये भी मान लेते हैं एक्स2 - फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु एफ(एक्स) . फिर तक के अंतराल में एक्स2 फ़ंक्शन घट रहा है और फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से कम है ( एफ "(एक्स) < 0 ), а в интервале после एक्स2 फ़ंक्शन बढ़ रहा है और फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ "(एक्स) > 0 ). इस मामले में भी यही मुद्दा है एक्स2 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।

फ़र्मेट का प्रमेय (किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक मानदंड). यदि बिंदु एक्स0 - फ़ंक्शन का चरम बिंदु एफ(एक्स) , तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है ( एफ "(एक्स) = 0 ) या अस्तित्व में नहीं है।

परिभाषा. वे बिंदु जिन पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है या अस्तित्व में नहीं होता है, कहलाते हैं महत्वपूर्ण बिंदु .

उदाहरण 1आइए एक फ़ंक्शन पर विचार करें.

बिंदु पर एक्स= 0 फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, इसलिए, बिंदु एक्स= 0 क्रांतिक बिंदु है. हालाँकि, जैसा कि फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर देखा जा सकता है, यह परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है, इसलिए बात एक्स= 0 इस फ़ंक्शन का चरम बिंदु नहीं है।

इस प्रकार, यह स्थितियाँ कि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है, एक चरम के लिए आवश्यक शर्तें हैं, लेकिन पर्याप्त नहीं हैं, क्योंकि फ़ंक्शन के अन्य उदाहरण दिए जा सकते हैं जिनके लिए ये शर्तें संतुष्ट हैं, लेकिन फ़ंक्शन संगत बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है। इसीलिए पर्याप्त संकेत होने चाहिए, जो यह निर्णय करना संभव बनाता है कि क्या किसी विशेष महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई चरम सीमा है और कौन सी - अधिकतम या न्यूनतम।

प्रमेय (किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व के लिए पहला पर्याप्त मानदंड)।महत्वपूर्ण बिन्दू एक्स0 एफ(एक्स) , यदि इस बिंदु से गुजरने पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न चिह्न बदलता है, और यदि चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदलता है, तो अधिकतम बिंदु, और यदि "माइनस" से "प्लस" में बदलता है, तो न्यूनतम बिंदु .

यदि बिंदु के निकट एक्स0 , इसके बायीं और दायीं ओर, व्युत्पन्न अपना चिह्न बरकरार रखता है, इसका मतलब है कि फ़ंक्शन या तो केवल घटता है या केवल बिंदु के कुछ पड़ोस में बढ़ता है एक्स0 . इस मामले में, बिंदु पर एक्स0 कोई अति नहीं है.

इसलिए, फ़ंक्शन के चरम बिंदु निर्धारित करने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने की आवश्यकता है :

1. किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
2. व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और महत्वपूर्ण बिंदु निर्धारित करें।
3. मानसिक रूप से या कागज पर, संख्यात्मक अक्ष पर महत्वपूर्ण बिंदुओं को चिह्नित करें और परिणामी अंतराल में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करें। यदि व्युत्पन्न का चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो महत्वपूर्ण बिंदु अधिकतम बिंदु होता है, और यदि "माइनस" से "प्लस" में बदल जाता है, तो महत्वपूर्ण बिंदु न्यूनतम बिंदु होता है।
4. चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें।

उदाहरण 2किसी फ़ंक्शन का चरम खोजें .

समाधान। आइए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:

महत्वपूर्ण बिंदु ज्ञात करने के लिए व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

.

चूँकि "x" के किसी भी मान के लिए हर शून्य के बराबर नहीं है, तो हम अंश को शून्य के बराबर करते हैं:

एक महत्वपूर्ण बिंदु मिला एक्स= 3 . हम इस बिंदु द्वारा सीमांकित अंतराल में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करते हैं:

माइनस इनफिनिटी से लेकर 3 - माइनस साइन तक की रेंज में, यानी फंक्शन घट जाता है,

3 से प्लस अनंत तक की सीमा में - एक प्लस चिह्न, यानी, फ़ंक्शन बढ़ता है।

यानी बिंदु एक्स= 3 न्यूनतम बिंदु है.

न्यूनतम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

इस प्रकार, फ़ंक्शन का चरम बिंदु पाया जाता है: (3; 0), और यह न्यूनतम बिंदु है।

प्रमेय (किसी फ़ंक्शन के चरम के अस्तित्व के लिए दूसरा पर्याप्त मानदंड)।महत्वपूर्ण बिन्दू एक्स0 फ़ंक्शन का चरम बिंदु है एफ(एक्स) , यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर नहीं है ( एफ ""(एक्स) ≠ 0 ), इसके अलावा, यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य से अधिक है ( एफ ""(एक्स) > 0 ), तो अधिकतम बिंदु, और यदि दूसरा व्युत्पन्न शून्य से कम है ( एफ ""(एक्स) < 0 ), то точкой минимума.

टिप्पणी 1. यदि एक बिंदु पर एक्स0 पहले और दूसरे दोनों व्युत्पन्न गायब हो जाते हैं, फिर इस बिंदु पर दूसरे पर्याप्त संकेत के आधार पर एक चरम की उपस्थिति का न्याय करना असंभव है। इस मामले में, आपको फ़ंक्शन के चरम के लिए पहले पर्याप्त मानदंड का उपयोग करने की आवश्यकता है।

टिप्पणी 2. किसी फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरा पर्याप्त मानदंड भी अनुपयुक्त है जब पहला व्युत्पन्न स्थिर बिंदु पर मौजूद नहीं है (तब दूसरा व्युत्पन्न भी मौजूद नहीं है)। इस मामले में, फ़ंक्शन के चरम के लिए पहले पर्याप्त मानदंड का उपयोग करना भी आवश्यक है।

कार्य की चरम सीमा की स्थानीय प्रकृति

उपरोक्त परिभाषाओं से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी फ़ंक्शन का चरम स्थानीय प्रकृति का होता है - यह निकटतम मानों की तुलना में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान है।

मान लीजिए आप एक वर्ष की समयावधि में अपनी कमाई पर विचार करते हैं। यदि मई में आपने 45,000 रूबल कमाए, और अप्रैल में 42,000 रूबल और जून में 39,000 रूबल कमाए, तो मई की कमाई निकटतम मूल्यों की तुलना में कमाई फ़ंक्शन की अधिकतम है। लेकिन अक्टूबर में आपने 71,000 रूबल, सितंबर में 75,000 रूबल और नवंबर में 74,000 रूबल कमाए, इसलिए अक्टूबर की कमाई आस-पास के मूल्यों की तुलना में कमाई फ़ंक्शन का न्यूनतम है। और आप आसानी से देख सकते हैं कि अप्रैल-मई-जून के मूल्यों में अधिकतम सितंबर-अक्टूबर-नवंबर के न्यूनतम से कम है।

सामान्यतया, एक फ़ंक्शन के अंतराल पर कई चरम सीमाएँ हो सकती हैं, और यह पता चल सकता है कि फ़ंक्शन का कोई भी न्यूनतम किसी भी अधिकतम से अधिक है। तो, उपरोक्त चित्र में दिखाए गए फ़ंक्शन के लिए,।

अर्थात्, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम, विचाराधीन संपूर्ण खंड पर क्रमशः उसके अधिकतम और न्यूनतम मान हैं। अधिकतम बिंदु पर, फ़ंक्शन का मान केवल उन मानों की तुलना में सबसे बड़ा होता है, जो अधिकतम बिंदु के पर्याप्त करीब सभी बिंदुओं पर होता है, और न्यूनतम बिंदु पर, केवल उन मानों की तुलना में सबसे छोटा मान होता है। कि यह सभी बिंदुओं पर न्यूनतम बिंदु के पर्याप्त करीब है।

इसलिए, हम ऊपर दिए गए किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं की अवधारणा को परिष्कृत कर सकते हैं और न्यूनतम बिंदुओं को स्थानीय न्यूनतम बिंदु और अधिकतम बिंदुओं को स्थानीय अधिकतम बिंदु कह सकते हैं।

हम एक साथ समारोह के चरम की तलाश कर रहे हैं

उदाहरण 3

समाधान: फ़ंक्शन पूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित और निरंतर है। इसका व्युत्पन्न संपूर्ण संख्या रेखा पर भी मौजूद है। इसलिए, में इस मामले मेंकेवल वे जिस पर, अर्थात्, , कहाँ से और . महत्वपूर्ण बिंदु और फ़ंक्शन के संपूर्ण डोमेन को एकरसता के तीन अंतरालों में विभाजित करें:। हम उनमें से प्रत्येक में एक नियंत्रण बिंदु का चयन करते हैं और इस बिंदु पर व्युत्पन्न का चिह्न ढूंढते हैं।

अंतराल के लिए, संदर्भ बिंदु हो सकता है: हम पाते हैं। अंतराल में एक बिंदु लेने पर, हमें मिलता है, और अंतराल में एक बिंदु लेने पर, हमें मिलता है। तो, अंतराल में और, और अंतराल में। एक चरम के पहले पर्याप्त संकेत के अनुसार, बिंदु पर कोई चरम नहीं है (चूंकि व्युत्पन्न अंतराल में अपना संकेत बरकरार रखता है), और फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम होता है (चूंकि व्युत्पन्न परिवर्तन संकेत को शून्य से प्लस में बदल देता है जब गुजरता है) इस बिंदु के माध्यम से)। फ़ंक्शन के संबंधित मान खोजें: , और . अंतराल में, फ़ंक्शन घटता है, क्योंकि इस अंतराल में, और अंतराल में यह बढ़ता है, क्योंकि इस अंतराल में।

ग्राफ़ की संरचना को स्पष्ट करने के लिए, हम निर्देशांक अक्षों के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं। जब हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जिसके मूल और, यानी, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के दो बिंदु (0; 0) और (4; 0) पाए जाते हैं। प्राप्त सभी सूचनाओं का उपयोग करके, हम एक ग्राफ़ बनाते हैं (उदाहरण की शुरुआत में देखें)।

उदाहरण 4फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करें और उसका ग्राफ़ बनाएं।

फ़ंक्शन का डोमेन बिंदु को छोड़कर, संपूर्ण संख्या रेखा है, अर्थात। .

अध्ययन को छोटा करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि यह फ़ंक्शन सम है, चूँकि . इसलिए, इसका ग्राफ़ अक्ष के प्रति सममित है ओएऔर अध्ययन केवल अंतराल के लिए ही किया जा सकता है।

व्युत्पन्न ढूँढना और फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु:

1) ;

2) ,

लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन में रुकावट आती है, इसलिए यह एक चरम बिंदु नहीं हो सकता है।

इस प्रकार, दिए गए फ़ंक्शन के दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं: और। फ़ंक्शन की समता को ध्यान में रखते हुए, हम चरम के दूसरे पर्याप्त चिह्न द्वारा केवल बिंदु की जांच करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं और इसका चिन्ह निर्धारित करें: हमें मिलता है। चूँकि और, तब फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है, जबकि .

फ़ंक्शन के ग्राफ़ की अधिक संपूर्ण तस्वीर प्राप्त करने के लिए, आइए परिभाषा के क्षेत्र की सीमाओं पर इसके व्यवहार का पता लगाएं:

(यहाँ प्रतीक इच्छा को इंगित करता है एक्सदाहिनी ओर शून्य करने के लिए, और एक्ससकारात्मक रहता है; इसी प्रकार आकांक्षा का भी अर्थ है एक्सबाईं ओर शून्य करने के लिए, और एक्सनकारात्मक रहता है)। इस प्रकार, यदि, तो। अगला, हम पाते हैं

,

वे। तो अगर ।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ में अक्षों के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। चित्र उदाहरण की शुरुआत में है.

हम साथ मिलकर फ़ंक्शन के चरम की खोज जारी रखते हैं

उदाहरण 8फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान। फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें. चूँकि असमानता कायम रहनी चाहिए, हम इससे प्राप्त करते हैं।

आइए फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें:

आइए फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।