शून्य में गॉस का प्रमेय. विद्युत क्षेत्रों की गणना के लिए गॉस प्रमेय का अनुप्रयोग

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, बल की रेखाओं को ऐसे घनत्व के साथ खींचने पर सहमति हुई थी कि साइट की रेखाओं के लंबवत सतह की एक इकाई को छेदने वाली रेखाओं की संख्या वेक्टर के मापांक के बराबर होगी। फिर, तनाव रेखाओं के पैटर्न से, कोई न केवल दिशा, बल्कि अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर वेक्टर के परिमाण का भी अंदाजा लगा सकता है।

आइए एक स्थिर धनात्मक बिंदु आवेश की क्षेत्र रेखाओं पर विचार करें। वे रेडियल रेखाएं हैं जो आवेश से फैली हुई हैं और अनंत पर समाप्त होती हैं। आइए अमल करें एनऐसी पंक्तियाँ. फिर कुछ दूरी पर आरआवेश से, त्रिज्या के एक गोले की एक इकाई सतह को प्रतिच्छेद करने वाली बल रेखाओं की संख्या आर, बराबर होगा. यह मान किसी दूरी पर स्थित बिंदु आवेश की क्षेत्र शक्ति के समानुपाती होता है आर।संख्या एनआप हमेशा ऐसा चुन सकते हैं जो समानता रखता हो

कहाँ । चूँकि बल की रेखाएँ सतत होती हैं, समान संख्या में बल की रेखाएँ आवेश को घेरने वाली किसी भी आकार की बंद सतह को काटती हैं क्यू।आवेश के चिन्ह के आधार पर, बल की रेखाएँ या तो इस बंद सतह में प्रवेश करती हैं या बाहर जाती हैं। यदि बाहर जाने वाली रेखाओं की संख्या धनात्मक मानी जाती है और आने वाली रेखाओं की संख्या ऋणात्मक मानी जाती है, तो हम मापांक चिह्न को हटा सकते हैं और लिख सकते हैं:

.

(1.4)

तनाव वेक्टर प्रवाह.आइए क्षेत्रफल के साथ एक प्राथमिक पैड रखें। क्षेत्रफल इतना छोटा होना चाहिए कि उसके सभी बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्र की शक्ति समान मानी जा सके। आइए साइट पर एक सामान्य चित्र बनाएं (चित्र 1.17)। इस सामान्य की दिशा मनमाने ढंग से चुनी जाती है। सामान्य सदिश के साथ एक कोण बनाता है। चयनित सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह सतह क्षेत्र का उत्पाद है और क्षेत्र के सामान्य पर विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रक्षेपण है:

साइट के अभिलंब पर वेक्टर का प्रक्षेपण कहां है।

चूँकि किसी एक क्षेत्र को भेदने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या चयनित क्षेत्र के आसपास तीव्रता वेक्टर के मापांक के बराबर होती है, सतह के माध्यम से तीव्रता वेक्टर का प्रवाह इस सतह को पार करने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या के समानुपाती होता है। इसलिए, सामान्य स्थिति में, क्षेत्र के माध्यम से क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह को इस क्षेत्र में प्रवेश करने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या के बराबर मूल्य के रूप में समझा जा सकता है:

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(1.5)

ध्यान दें कि सामान्य की दिशा का चुनाव सशर्त है; इसे दूसरी दिशा में निर्देशित किया जा सकता है। नतीजतन, प्रवाह एक बीजगणितीय मात्रा है: प्रवाह का संकेत न केवल क्षेत्र के विन्यास पर निर्भर करता है, बल्कि सामान्य वेक्टर और तीव्रता वेक्टर के सापेक्ष अभिविन्यास पर भी निर्भर करता है। यदि ये दोनों सदिश एक न्यून कोण बनाते हैं, तो फ्लक्स धनात्मक होता है; यदि यह अधिक कोण होता है, तो फ्लक्स ऋणात्मक होता है। एक बंद सतह के मामले में, सामान्य को इस सतह द्वारा कवर किए गए क्षेत्र से बाहर ले जाने की प्रथा है, अर्थात बाहरी सामान्य को चुनने के लिए।

यदि क्षेत्र अमानवीय है और सतह मनमानी है, तो प्रवाह को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। संपूर्ण सतह को क्षेत्रफल के साथ छोटे तत्वों में विभाजित किया जाना चाहिए, इनमें से प्रत्येक तत्व के माध्यम से तनाव प्रवाह की गणना करें, और फिर सभी तत्वों के माध्यम से प्रवाह का योग करें:

इस प्रकार, क्षेत्र की ताकत अंतरिक्ष में एक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की विशेषता बताती है। तीव्रता का प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर क्षेत्र की ताकत के मूल्य पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि किसी विशेष क्षेत्र की सतह पर क्षेत्र के वितरण पर निर्भर करता है।

विद्युत क्षेत्र रेखाएँ केवल धनात्मक आवेशों पर शुरू हो सकती हैं और ऋणात्मक आवेशों पर समाप्त हो सकती हैं। वे अंतरिक्ष में प्रारंभ या समाप्त नहीं हो सकते। इसलिए, यदि किसी निश्चित बंद आयतन के अंदर कोई विद्युत आवेश नहीं है, तो इस आयतन में प्रवेश करने और बाहर निकलने वाली रेखाओं की कुल संख्या शून्य होनी चाहिए। यदि वॉल्यूम में प्रवेश करने की तुलना में अधिक रेखाएं बाहर निकलती हैं, तो वॉल्यूम के अंदर एक सकारात्मक चार्ज होता है; यदि बाहर आने की तुलना में अधिक रेखाएँ अंदर आ रही हैं, तो अंदर एक नकारात्मक चार्ज होना चाहिए। जब आयतन के अंदर कुल आवेश शून्य के बराबर होता है या जब इसमें कोई विद्युत आवेश नहीं होता है, तो क्षेत्र रेखाएँ इसके माध्यम से प्रवेश करती हैं, और कुल प्रवाह शून्य होता है।

ये सरल विचार इस बात पर निर्भर नहीं करते हैं कि आयतन के भीतर विद्युत आवेश कैसे वितरित किया जाता है। यह आयतन के केंद्र में या आयतन को सीमित करने वाली सतह के पास स्थित हो सकता है। एक वॉल्यूम में किसी भी तरह से वॉल्यूम के भीतर वितरित कई सकारात्मक और नकारात्मक चार्ज शामिल हो सकते हैं। केवल कुल चार्ज ही आने वाली या बाहर जाने वाली वोल्टेज लाइनों की कुल संख्या निर्धारित करता है।

जैसा कि (1.4) और (1.5) से देखा जा सकता है, चार्ज को घेरने वाली एक मनमानी बंद सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह क्यू,के बराबर । अगर सतह के अंदर है एनआवेश, तो, क्षेत्र सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, कुल प्रवाह सभी आवेशों की क्षेत्र शक्तियों के प्रवाह का योग होगा और इसके बराबर होगा, जहां इस मामले में हमारा मतलब बंद द्वारा कवर किए गए सभी आवेशों के बीजगणितीय योग से है सतह।

गॉस का प्रमेय. गॉसवह इस सरल तथ्य की खोज करने वाले पहले व्यक्ति थे कि एक मनमानी बंद सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह इस आयतन के अंदर स्थित कुल चार्ज से जुड़ा होना चाहिए:

गॉस कार्ल फ्रेडरिक (1777-1855)

महान जर्मन गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी और खगोलशास्त्री, भौतिकी में इकाइयों की पूर्ण प्रणाली के निर्माता। उन्होंने इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता का सिद्धांत विकसित किया और इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय (गॉस प्रमेय) को सिद्ध किया। जटिल ऑप्टिकल प्रणालियों में छवियों के निर्माण के लिए एक सिद्धांत बनाया। वह गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के अस्तित्व की संभावना के बारे में विचार करने वाले पहले लोगों में से एक थे। इसके अलावा, गॉस ने गणित की लगभग हर शाखा में उत्कृष्ट योगदान दिया।

अंतिम संबंध विद्युत क्षेत्र के लिए गॉस का प्रमेय है: एक मनमानी बंद सतह के माध्यम से तीव्रता वेक्टर का प्रवाह इस सतह के अंदर स्थित आवेशों के बीजगणितीय योग के समानुपाती होता है। आनुपातिकता गुणांक इकाइयों की प्रणाली की पसंद पर निर्भर करता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गॉस का प्रमेय कूलम्ब के नियम और सुपरपोजिशन सिद्धांत के परिणामस्वरूप प्राप्त होता है। यदि विद्युत क्षेत्र की ताकत दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती में नहीं बदलती, तो प्रमेय अमान्य होगा। इसलिए, गॉस का प्रमेय किसी भी क्षेत्र पर लागू होता है जिसमें उलटा वर्ग कानून और सुपरपोजिशन का सिद्धांत सख्ती से संतुष्ट होता है, उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पर। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के मामले में, क्षेत्र बनाने वाले आवेशों की भूमिका पिंडों के द्रव्यमान द्वारा निभाई जाती है। किसी बंद सतह के माध्यम से गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र रेखाओं का प्रवाह उस सतह के भीतर मौजूद कुल द्रव्यमान के समानुपाती होता है।

आवेशित विमान की क्षेत्र शक्ति.आइए हम एक अनंत आवेशित विमान की विद्युत क्षेत्र शक्ति निर्धारित करने के लिए गॉस प्रमेय को लागू करें। यदि विमान अनंत और समान रूप से आवेशित है, अर्थात किसी भी स्थान पर सतह आवेश घनत्व समान है, तो किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की ताकत रेखाएं इस विमान के लंबवत होती हैं। इसे दिखाने के लिए, हम तनाव वेक्टर के लिए सुपरपोजिशन सिद्धांत का उपयोग करेंगे। आइए हम समतल पर दो प्रारंभिक खंडों का चयन करें, जिन्हें बिंदु के लिए बिंदु माना जा सकता है ए, जिसमें क्षेत्र की ताकत का निर्धारण करना आवश्यक है। जैसे कि चित्र से देखा जा सकता है। 1.18, परिणामी तनाव वेक्टर को विमान के लंबवत निर्देशित किया जाएगा। चूँकि किसी भी अवलोकन बिंदु के लिए विमान को ऐसे खंडों के अनंत जोड़े में विभाजित किया जा सकता है, यह स्पष्ट है कि आवेशित विमान की क्षेत्र रेखाएँ विमान के लंबवत हैं, और क्षेत्र एक समान है (चित्र 1.19)। यदि ऐसा नहीं होता, तो जब विमान अपने साथ चलता, तो अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र बदल जाता, लेकिन यह आवेशित प्रणाली की समरूपता का खंडन करता है (विमान अनंत है)। सकारात्मक रूप से चार्ज किए गए विमान के मामले में, बल की रेखाएं विमान पर शुरू होती हैं और अनंत पर समाप्त होती हैं, जबकि नकारात्मक रूप से चार्ज किए गए विमान के लिए, बल की रेखाएं अनंत पर शुरू होती हैं और विमान में प्रवेश करती हैं।

चावल। 1.18	चावल। 1.19

एक अनंत धनावेशित विमान की विद्युत क्षेत्र की ताकत निर्धारित करने के लिए, हम मानसिक रूप से अंतरिक्ष में एक सिलेंडर का चयन करते हैं, जिसकी धुरी आवेशित विमान के लंबवत है, और आधार इसके समानांतर हैं, और आधारों में से एक क्षेत्र बिंदु से होकर गुजरता है हमारे लिए रुचिकर (चित्र 1.19)। सिलेंडर आवेशित तल से क्षेत्रफल का एक भाग काट देता है, और तल के विभिन्न किनारों पर स्थित सिलेंडर के आधारों का क्षेत्रफल समान होता है।

गॉस के प्रमेय के अनुसार, सिलेंडर की सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह अभिव्यक्ति द्वारा सिलेंडर के अंदर विद्युत आवेश से संबंधित है:

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चूँकि तनाव रेखाएँ केवल सिलेंडर के आधारों को काटती हैं, सिलेंडर की पार्श्व सतह से प्रवाह शून्य होता है। इसलिए, बेलनाकार सतह के माध्यम से तनाव वेक्टर के प्रवाह में केवल सिलेंडर के आधारों के माध्यम से प्रवाह शामिल होगा, इसलिए,

तीव्रता वेक्टर प्रवाह के लिए अंतिम दो अभिव्यक्तियों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

विपरीत रूप से आवेशित प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र की ताकत।यदि प्लेटों के आयाम उनके बीच की दूरी से काफी अधिक हैं, तो प्रत्येक प्लेट के विद्युत क्षेत्र को एक अनंत समान रूप से चार्ज किए गए विमान के क्षेत्र के करीब माना जा सकता है। चूँकि प्लेटों के बीच विपरीत आवेशित प्लेटों की विद्युत क्षेत्र शक्ति रेखाएँ एक दिशा में निर्देशित होती हैं (चित्र 1.20), प्लेटों के बीच क्षेत्र की शक्ति बराबर होती है

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बाह्य अंतरिक्ष में, विपरीत रूप से आवेशित प्लेटों की विद्युत क्षेत्र शक्ति रेखाओं की दिशाएँ विपरीत होती हैं, इसलिए, इन प्लेटों के बाहर, परिणामी विद्युत क्षेत्र शक्ति शून्य होती है। तीव्रता के लिए प्राप्त अभिव्यक्ति बड़ी आवेशित प्लेटों के लिए मान्य है, जब तीव्रता उनके किनारों से दूर स्थित एक बिंदु पर निर्धारित की जाती है।

अनंत लंबाई के एक समान रूप से चार्ज किए गए पतले तार की विद्युत क्षेत्र की ताकत।आइए गॉस प्रमेय का उपयोग करके अनंत लंबाई के एक समान रूप से चार्ज किए गए पतले तार की तार अक्ष की दूरी पर विद्युत क्षेत्र की ताकत की निर्भरता का पता लगाएं। आइए हम परिमित लंबाई के तार के एक खंड का चयन करें। यदि तार पर रैखिक चार्ज घनत्व है, तो चयनित क्षेत्र का चार्ज बराबर है।

आइए एक बिंदु आवेश $q$ के क्षेत्र पर विचार करें और बंद सतह $S$ के माध्यम से तीव्रता वेक्टर ($\overrightarrow(E)$) का प्रवाह ज्ञात करें। हम मान लेंगे कि आवेश सतह के अंदर स्थित है। किसी भी सतह के माध्यम से तनाव वेक्टर का प्रवाह तनाव वेक्टर की बाहर जाने वाली रेखाओं की संख्या के बराबर होता है (चार्ज पर शुरू होता है, यदि $q>0$) या अंदर जाने वाली रेखाओं $\overrightarrow(E)$ की संख्या के बराबर होता है , यदि $q \[F_E=\frac( q)((\varepsilon )_0)\ \left(1\right),\]

जहां फ्लक्स का चिह्न आवेश के चिह्न से मेल खाता है।

अभिन्न रूप में ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय

आइए मान लें कि सतह S के अंदर N बिंदु आवेश हैं, मान $q_1,q_2,\dots q_N.$ सुपरपोजिशन के सिद्धांत से हम जानते हैं कि सभी N आवेशों की परिणामी क्षेत्र शक्ति को योग के रूप में पाया जा सकता है क्षेत्र की ताकतें जो प्रत्येक आवेश द्वारा निर्मित होती हैं, तो यह है:

इसलिए, बिंदु आवेशों की प्रणाली के प्रवाह के लिए हम लिख सकते हैं:

सूत्र (1) का उपयोग करके, हम यह प्राप्त करते हैं:

\[F_E=\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )\ बाएँ(4\दाएँ).\]

समीकरण (4) का अर्थ है कि एक बंद सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह इस सतह के अंदर मौजूद आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, जो विद्युत स्थिरांक से विभाजित होता है। यह अभिन्न रूप में ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय है। यह प्रमेय कूलम्ब के नियम का परिणाम है। इस प्रमेय का महत्व यह है कि यह विभिन्न चार्ज वितरणों के लिए विद्युत क्षेत्रों की काफी सरलता से गणना करने की अनुमति देता है।

ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय के परिणामस्वरूप, यह कहा जाना चाहिए कि एक बंद सतह के माध्यम से तीव्रता वेक्टर ($Ф_E$) का प्रवाह उस मामले में शून्य के बराबर है जिसमें चार्ज इस सतह के बाहर हैं।

ऐसे मामले में जहां चार्ज की विसंगति को नजरअंदाज किया जा सकता है, वॉल्यूमेट्रिक चार्ज घनत्व ($\rho $) की अवधारणा का उपयोग किया जाता है यदि चार्ज पूरे वॉल्यूम में वितरित किया जाता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\[\rho =\frac(dq)(dV)\left(5\right),\]

जहां $dq$ एक शुल्क है जिसे बिंदु-जैसा माना जा सकता है, $dV$ एक छोटी मात्रा है। ($dV$ के संबंध में, निम्नलिखित टिप्पणी की जानी चाहिए। यह वॉल्यूम इतना छोटा है कि इसमें चार्ज घनत्व को स्थिर माना जा सकता है, लेकिन इतना बड़ा है कि चार्ज विसंगति दिखाई नहीं देनी शुरू हो जाती है)। गुहा में मौजूद कुल आवेश को इस प्रकार पाया जा सकता है:

\[\sum\limits^N_(i=1)(q_i\ )=\int\limits_V(\rho dV)\left(6\right).\]

इस मामले में, हम सूत्र (4) को इस रूप में फिर से लिखते हैं:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)d\overrightarrow(S))=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV)\left(7\right).\ ]

ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय विभेदक रूप में

वेक्टर प्रकृति के किसी भी क्षेत्र के लिए ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस सूत्र का उपयोग करना, जिसकी सहायता से एक बंद सतह पर एकीकरण से एक आयतन पर एकीकरण तक संक्रमण किया जाता है:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(a)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(a)dV\ \left(8\right),\]

जहां $\overrightarrow(a)-$फ़ील्ड वेक्टर (हमारे मामले में यह $\overrightarrow(E)$ है), $div\overrightarrow(a)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(a)=\frac(\ आंशिक a_x)(\आंशिक x)+\frac(\आंशिक a_y)(\आंशिक y)+\frac(\आंशिक a_z)(\आंशिक z)$ -- वेक्टर $\overrightarrow(a)$ का विचलन निर्देशांक (x,y,z) के साथ बिंदु, जो एक सदिश क्षेत्र को एक अदिश क्षेत्र में मैप करता है। $\overrighterror(\nabla )=\frac(\partial )(\partial x)\overrightarrow(i)+\frac(\partial )(\partial y)\overrightarrow(j)+\frac(\partial )(\ आंशिक z)\overrightarrow(k)$ - अवलोकन योग्य ऑपरेटर। (हमारे मामले में यह $div\overrightarrow(E)=\overrightarrow(\nabla )\overrightarrow(E)=\frac(\partial E_x)(\partial x)+\frac(\partial E_y)(\partial होगा y) +\frac(\आंशिक E_z)(\आंशिक z)$) - तनाव वेक्टर का विचलन। उपरोक्त का अनुसरण करते हुए, हम सूत्र (6) को इस प्रकार पुनः लिखते हैं:

\[\oint\limits_S(\overrightarrow(E)\overrightarrow(dS)=\int\nolimits_V(div))\overrightarrow(E)dV=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V( \rho dV)\left(9\right).\]

समीकरण (9) में समानताएं किसी भी आयतन के लिए संतुष्ट हैं, और यह केवल तभी संभव है जब इंटीग्रैंड्स में मौजूद फ़ंक्शन अंतरिक्ष की प्रत्येक धारा में बराबर हों, यानी, हम लिख सकते हैं कि:

अभिव्यक्ति (10) विभेदक रूप में ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय है। इसकी व्याख्या इस प्रकार है: आवेश विद्युत क्षेत्र के स्रोत हैं। यदि $div\overrightarrow(E)>0$, तो फ़ील्ड के इन बिंदुओं पर (आवेश सकारात्मक हैं) हमारे पास फ़ील्ड स्रोत हैं, यदि $div\overrightarrow(E)

असाइनमेंट: चार्ज को वॉल्यूम पर समान रूप से वितरित किया जाता है; इस वॉल्यूम में साइड बी के साथ एक क्यूबिक सतह का चयन किया जाता है। यह गोले में अंकित है। इन सतहों के माध्यम से तनाव वेक्टर फ्लक्स का अनुपात ज्ञात करें।

गॉस के प्रमेय के अनुसार, आयतन पर एक समान चार्ज वितरण के साथ एक बंद सतह के माध्यम से तीव्रता वेक्टर $\overrightarrow(E)$ का फ्लक्स ($Ф_E$) बराबर है:

\[Ф_E=\frac(1)((\varepsilon )_0)Q=\frac(1)((\varepsilon )_0)\int\limits_V(\rho dV=\frac(\rho )((\varepsilon ) _0)\int\limits_V(dV)=\frac(\rho V)((\varepsilon )_0))\left(1.1\right).\]

इसलिए, यदि गेंद को इस घन के चारों ओर वर्णित किया गया है तो हमें घन और गेंद का आयतन निर्धारित करने की आवश्यकता है। आरंभ करने के लिए, एक घन का आयतन ($V_k$) यदि उसकी भुजा b बराबर है:

आइए सूत्र का उपयोग करके गेंद का आयतन ($V_(sh)$) ज्ञात करें:

जहां $D$ गेंद का व्यास है और (चूंकि गेंद घन के चारों ओर परिचालित है), घन का मुख्य विकर्ण। इसलिए, हमें किसी घन के विकर्ण को उसकी भुजा के पदों में व्यक्त करने की आवश्यकता है। यदि आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं तो यह करना आसान है। किसी घन के विकर्ण की गणना करने के लिए, उदाहरण के लिए, (1.5), हमें पहले वर्ग (घन का निचला आधार) (1.6) का विकर्ण ज्ञात करना होगा। विकर्ण की लंबाई (1.6) बराबर है:

इस मामले में, विकर्ण की लंबाई (1.5) बराबर है:

\[(D=D)_(15)=\sqrt(b^2+((\sqrt(b^2+b^2\ \ )))^2)=b\sqrt(3)\ \left (1.5\दाएं).\]

गेंद के पाए गए व्यास को (1.3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

अब हम घन की सतह के माध्यम से तनाव वेक्टर के प्रवाह को पा सकते हैं, यह इसके बराबर है:

\[F_(Ek)=\frac(\rho V_k)((\varepsilon )_0)=\frac(\rho b^3)((\varepsilon )_0)\left(1.7\right),\]

गेंद की सतह के माध्यम से:

\[Ф_(Esh)=\frac(\rho V_(sh))((\varepsilon )_0)=\frac(\rho )((\varepsilon )_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3\ \left(1.8\right).\]

आइए अनुपात ज्ञात करें $\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))$:

\[\frac(Ф_(Esh))(Ф_(Ek))=\frac(\frac(с)(\varepsilon_0)\frac(\sqrt(3))(2) \pi b^3)(\frac (сb^3)(\varepsilon_0))=\frac(\pi)(2)\sqrt(3)\ \लगभग 2.7\left(1.9\right).\]

उत्तर: गेंद की सतह के माध्यम से प्रवाह 2.7 गुना अधिक है।

कार्य: सिद्ध करें कि किसी चालक का आवेश उसकी सतह पर स्थित होता है।

इसे सिद्ध करने के लिए हम गॉस प्रमेय का उपयोग करते हैं। आइए हम चालक की सतह के निकट चालक में मनमाने आकार की एक बंद सतह का चयन करें (चित्र 2)।

आइए मान लें कि कंडक्टर के अंदर चार्ज हैं, हम सतह एस पर किसी भी बिंदु के लिए क्षेत्र विचलन के लिए ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय लिखते हैं:

जहां $\rho आंतरिक आवेश का घनत्व\ $है। हालाँकि, कंडक्टर के अंदर कोई फ़ील्ड नहीं है, यानी, $\overrightarrow(E)=0$, इसलिए, $div\overrightarrow(E)=0\to \rho =0$। विभेदक रूप में ओस्ट्रोग्राडस्की-गॉस प्रमेय स्थानीय है, अर्थात यह एक क्षेत्र बिंदु के लिए लिखा गया है, हमने बिंदु का चयन विशेष तरीके से नहीं किया है, इसलिए, कंडक्टर के अंदर क्षेत्र के किसी भी बिंदु पर चार्ज घनत्व शून्य है।

कूलम्ब के नियम के साथ संयोजन में सुपरपोजिशन का सिद्धांत आवेशों की एक मनमानी प्रणाली के विद्युत क्षेत्र की गणना करने की कुंजी प्रदान करता है, लेकिन सूत्र (4.2) का उपयोग करके क्षेत्रों के सीधे योग के लिए आमतौर पर जटिल गणना की आवश्यकता होती है। हालाँकि, आवेशों की प्रणाली की एक या किसी अन्य समरूपता की उपस्थिति में, यदि हम विद्युत क्षेत्र प्रवाह की अवधारणा का परिचय देते हैं और गॉस के प्रमेय का उपयोग करते हैं, तो गणना काफी सरल हो जाती है।

विद्युत क्षेत्र प्रवाह की अवधारणा को हाइड्रोडायनामिक्स से इलेक्ट्रोडायनामिक्स में पेश किया गया था। हाइड्रोडायनामिक्स में, एक पाइप के माध्यम से द्रव का प्रवाह, अर्थात, प्रति इकाई समय में एक पाइप के क्रॉस-सेक्शन से गुजरने वाले द्रव एन की मात्रा, v ⋅ S के बराबर होती है, जहां v द्रव का वेग है और S है पाइप का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र। यदि द्रव का वेग क्रॉस सेक्शन में भिन्न होता है, तो आपको अभिन्न सूत्र एन = ∫ एस वी → ⋅ डी एस → का उपयोग करने की आवश्यकता है। वास्तव में, आइए हम वेग क्षेत्र में वेग वेक्टर के लंबवत एक छोटे से क्षेत्र d S को उजागर करें (चित्र)।

चावल। 1.4: द्रव प्रवाह

समय d t में इस क्षेत्र से बहने वाले तरल की मात्रा v d S d t के बराबर है। यदि प्लेटफ़ॉर्म प्रवाह की ओर झुका हुआ है, तो संबंधित आयतन v d S cos θ d t होगा, जहां θ वेग वेक्टर v → और सामान्य n → से प्लेटफ़ॉर्म d S के बीच का कोण है। क्षेत्र d S से प्रति इकाई समय में बहने वाले तरल की मात्रा इस मान को d t से विभाजित करके प्राप्त की जाती है। यह v d S cos θ d t के बराबर है, अर्थात। अदिश गुणनफल v → ⋅ d S → वेग वेक्टर v → क्षेत्र तत्व वेक्टर d S → = n → d S द्वारा। इकाई सदिश n → क्षेत्र d S के अभिलंब को दो सीधे विपरीत दिशाओं में खींचा जा सकता है। उनमें से एक को सशर्त रूप से सकारात्मक स्वीकार किया जाता है। सामान्य n → इस दिशा में खींचा जाता है। साइट का वह पक्ष जहां से सामान्य n → निकलता है, बाहरी कहलाता है, और वह पक्ष जिसमें सामान्य n → प्रवेश करता है, आंतरिक कहलाता है। क्षेत्र तत्व वेक्टर d S → सतह पर बाहरी सामान्य n → के साथ निर्देशित है, और परिमाण में तत्व d S = ∣ d S → ∣ के क्षेत्र के बराबर है। परिमित आयामों के एक क्षेत्र S के माध्यम से बहने वाले तरल पदार्थ की मात्रा की गणना करते समय, इसे अनंत छोटे क्षेत्रों d S में विकसित किया जाना चाहिए, और फिर संपूर्ण सतह S पर अभिन्न ∫ S v → ⋅ d S → की गणना करें।

∫ S v → ⋅ d S → जैसे भाव भौतिकी और गणित की कई शाखाओं में पाए जाते हैं। उन्हें वेक्टर v → की प्रकृति की परवाह किए बिना, सतह S के माध्यम से वेक्टर v → का प्रवाह कहा जाता है। इलेक्ट्रोडायनामिक्स में अभिन्न

एन = ∫ एस ई → ⋅ डी एस →

(5.1)

एक मनमानी सतह एस के माध्यम से विद्युत क्षेत्र की ताकत ई → का प्रवाह कहा जाता है, हालांकि इस अवधारणा के साथ कोई वास्तविक प्रवाह जुड़ा नहीं है।

आइए मान लें कि वेक्टर E → को एक ज्यामितीय योग द्वारा दर्शाया गया है

ई → = ∑ जे ई → जे .

इस समानता को अदिश रूप से d S → से गुणा करने और एकीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है

एन = ∑ जे एन जे .

जहाँ N j उसी सतह से होकर वेक्टर E → j का प्रवाह है। इस प्रकार, विद्युत क्षेत्र की ताकत के सुपरपोजिशन के सिद्धांत से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक ही सतह से गुजरने वाले फ्लक्स बीजगणितीय रूप से जुड़ते हैं।

गॉस के प्रमेय में कहा गया है कि एक मनमानी बंद सतह के माध्यम से वेक्टर ई → का प्रवाह इस सतह के अंदर स्थित सभी कणों के कुल चार्ज क्यू को 4 π से गुणा करने के बराबर है:

हम प्रमेय का प्रमाण तीन चरणों में पूरा करेंगे।

1. आइए एक बिंदु आवेश q (चित्र) के विद्युत क्षेत्र प्रवाह की गणना करके प्रारंभ करें। सबसे सरल मामले में, जब एकीकरण सतह एस एक गोला है और चार्ज इसके केंद्र में है, तो गॉस के प्रमेय की वैधता लगभग स्पष्ट है। गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र की ताकत होती है

ई → = क्यू आर → ∕ आर 3

परिमाण में स्थिर और हर जगह सतह पर सामान्य रूप से निर्देशित, ताकि विद्युत क्षेत्र का प्रवाह उत्पाद E = q ∕ r 2 और गोले के क्षेत्रफल S = 4 π r 2 के बराबर हो। इसलिए, N = 4 π q. यह परिणाम आवेश के आसपास की सतह के आकार से स्वतंत्र है। इसे साबित करने के लिए, हम पर्याप्त रूप से छोटे आकार की सतह के एक मनमाने क्षेत्र का चयन करते हैं, जिस पर बाहरी सामान्य n → की दिशा निर्धारित होती है। चित्र में. ऐसा ही एक खंड अतिरंजित रूप से बड़े (स्पष्टता के लिए) आकार में दिखाया गया है।

इस क्षेत्र के माध्यम से वेक्टर E → का प्रवाह d N = E → ⋅ d S → = E cos θ d S के बराबर है,

जहां θ दिशा E → और बाहरी सामान्य n → से क्षेत्र d S के बीच का कोण है। चूँकि E = q ∕ r 2 , और d S cos θ ∕ ​​​​r 2 निरपेक्ष मान में ठोस कोण d Ω = d S ∣ cos θ ∣ ∕ r 2 का तत्व है, जिसके अंतर्गत क्षेत्र d S दिखाई देता है वह बिंदु जहां आवेश स्थित है,

डी एन = ± क्यू डी Ω .

जहां प्लस और माइनस चिह्न कॉस θ चिह्न के अनुरूप हैं, अर्थात्: यदि वेक्टर ई → बाहरी सामान्य एन → की दिशा के साथ एक न्यून कोण बनाता है, तो आपको प्लस चिह्न लेना चाहिए, और अन्यथा ऋण चिह्न लेना चाहिए।

2. अब एक परिमित सतह S पर विचार करें, जो कुछ चयनित आयतन V को कवर करती है। इस आयतन के संबंध में, यह निर्धारित करना हमेशा संभव होता है कि सतह S के किसी भी तत्व के सामान्य की दो विपरीत दिशाओं में से किसे बाहरी माना जाना चाहिए। बाहरी सामान्य को आयतन V से बाहर की ओर निर्देशित किया जाता है। खंडों को सारांशित करते हुए, संकेत तक हमारे पास N = q Ω है, जहां Ω वह ठोस कोण है जिस पर सतह S उस बिंदु से दिखाई देता है जहां चार्ज q स्थित है। यदि सतह S बंद है, तो Ω = 4 π, बशर्ते कि आवेश q S के अंदर हो। अन्यथा Ω = 0. अंतिम कथन को स्पष्ट करने के लिए, हम फिर से चित्र देख सकते हैं। .

यह स्पष्ट है कि एक बंद सतह के खंडों के माध्यम से प्रवाह, समान ठोस कोणों के आधार पर, लेकिन विपरीत दिशाओं का सामना करते हुए, एक दूसरे को रद्द कर देते हैं। यह भी स्पष्ट है कि यदि आवेश बंद सतह के बाहर है, तो बाहर की ओर मुख वाले किसी भी खंड के लिए अंदर की ओर मुख वाला एक संगत खंड होता है।

3. अंत में, सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, हम गॉस के प्रमेय () के अंतिम सूत्रीकरण पर पहुंचते हैं। वास्तव में, आवेशों की एक प्रणाली का क्षेत्र अलग-अलग प्रत्येक आवेश के क्षेत्रों के योग के बराबर होता है, लेकिन केवल बंद सतह के अंदर स्थित आवेश ही प्रमेय के दाईं ओर गैर-शून्य योगदान करते हैं ()। इससे प्रमाण पूर्ण हो जाता है।

स्थूल पिंडों में, आवेश वाहकों की संख्या इतनी बड़ी होती है कि आवेश घनत्व की अवधारणा का परिचय देते हुए, निरंतर वितरण के रूप में कणों के एक अलग समूह का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक होता है। परिभाषा के अनुसार, चार्ज घनत्व ρ उस सीमा में Δ Q ∕ Δ V का अनुपात है जब वॉल्यूम Δ V भौतिक रूप से असीम मान की ओर जाता है:

जहां दाईं ओर का एकीकरण सतह एस द्वारा बंद वॉल्यूम वी पर किया जाता है।

गॉस का प्रमेय वेक्टर E → के तीन घटकों के लिए एक अदिश समीकरण देता है, इसलिए यह प्रमेय अकेले विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए पर्याप्त नहीं है। चार्ज घनत्व वितरण की ज्ञात समरूपता आवश्यक है ताकि समस्या को एकल अदिश समीकरण में कम किया जा सके। गॉस का प्रमेय उन मामलों में क्षेत्र को ढूंढना संभव बनाता है जहां () में एकीकरण की सतह को चुना जा सकता है ताकि विद्युत क्षेत्र की ताकत ई पूरी सतह पर स्थिर रहे। आइए सबसे शिक्षाप्रद उदाहरण देखें।

▸ समस्या 5.1

आयतन में समान रूप से आवेशित गोले का क्षेत्र ज्ञात कीजिएसतहों.

समाधान: एक बिंदु आवेश का विद्युत क्षेत्र E → = q r → ∕ r 3 की ओर प्रवृत्त होता है अनंत परआर → 0 . यह तथ्य विचार की असंगति को दर्शाता है बिंदु आवेशों द्वारा प्राथमिक कण। यदि आरोपक्यू परिमित त्रिज्या के एक गोले के आयतन पर समान रूप से वितरितए, फिर विद्युत क्षेत्र में कोई विलक्षणता नहीं है।

समस्या की समरूपता से यह स्पष्ट है कि विद्युत क्षेत्रई → हर जगह रेडियल रूप से निर्देशित है, और इसका तनाव E = E(r) केवल दूरी r पर निर्भर करता है गेंद के केंद्र तक. फिर विद्युत क्षेत्र त्रिज्या के एक गोले से होकर प्रवाहित होता है r बस 4 π r 2 E (चित्र) के बराबर है।

दूसरी ओर, उसी गोले के अंदर का आवेश कुल आवेश के बराबर होता हैगेंद Q यदि r ≥ a. 4 π r 2 E को गेंद के आवेश q से 4 π से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं: E (r) = q ∕ r 2।

इस प्रकार बाह्य अंतरिक्ष में एक आवेशित गेंद का निर्माण होता है ऐसा क्षेत्र मानो सारा आवेश उसके केंद्र पर केंद्रित हो। यह परिणाम किसी भी गोलाकार सममिति के लिए मान्य है प्रभार वितरण.

गेंद के अंदर का क्षेत्र है E (r) = Q ∕ r 2, जहां Q त्रिज्या r के सल्फर के अंदर का आवेश है। यदि आवेश गेंद के पूरे आयतन में समान रूप से वितरित हो, तोक्यू = क्यू (आर ∕ ए) 3 . इस मामले में

ई (आर) = क्यू आर ∕ ए 3 = (4 π ∕ 3) ρ आर,

जहाँ ρ = q ∕ (4 π a 3 ∕ 3) - चार्ज का घनत्व। गेंद के अंदर, क्षेत्र अपने अधिकतम से रैखिक रूप से घटता जाता है गेंद की सतह पर इसके केंद्र पर मान शून्य है (चित्र)। ).

फ़ंक्शन ई(आर) साथ ही, यह हर जगह सीमित और निरंतर है।

यदि आवेश गेंद की सतह पर वितरित हो, तोक्यू = 0, और इसलिए ई = 0 भी। यह परिणाम उस स्थिति के लिए भी मान्य है जब गोलाकार के अंदर हो यहां कोई आवेश गुहा नहीं है, और बाह्य आवेश गोलाकार रूप से वितरित होते हैंसममित रूप से। ▸ समस्या 5.2

एक समान रूप से आवेशित अनंत धागे का क्षेत्र ज्ञात करें; धागे की त्रिज्याए, प्रति यूनिट लंबाई चार्ज ϰ।

▸ समस्या 5.3

एक अनंत सीधे धागे और एक अनंत लंबे धागे का क्षेत्र ज्ञात कीजिए समान रूप से चार्ज किया गया सिलेंडर।

▸ समस्या 5.4

एक अनंत आवेशित तल का क्षेत्र और समान रूप से ज्ञात कीजिए आवेशित अनंत समतल परत।

समाधान: समस्या की समरूपता के कारण, क्षेत्र निर्देशित होता है परत के लिए सामान्य और केवल दूरी पर निर्भर करता हैएक्स से प्लेट की समरूपता का तल. का उपयोग करके किसी फ़ील्ड की गणना करना गॉस के प्रमेय के अनुसार, एकीकरण की सतह का चयन करना सुविधाजनक हैएस इन एक समान्तर चतुर्भुज के रूप में, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। .

अंतिम परिणाम सीमा को पार करके प्राप्त किया जाता हैए → 0 साथ ही साथ चार्ज घनत्व भी बढ़ता हैρ ताकि मान σ = ρ ए अपरिवर्तित रहा है। समतल के विपरीत दिशा में विद्युत क्षेत्र की ताकत परिमाण में समान है, लेकिन दिशा में विपरीत. इसलिए, जब गुजरते हैं आवेशित तल पर, मात्रा के अनुसार क्षेत्र अचानक बदल जाता है 4 π σ . ध्यान दें कि प्लेट को अनंत माना जा सकता है यदि इसकी दूरी इसके आकार की तुलना में नगण्य है। पर प्लेट के आयामों की तुलना में दूरियाँ बहुत बड़ी हैं एक बिंदु आवेश की तरह कार्य करता है, और इसका क्षेत्र वापस घट जाता है दूरी के वर्ग के समानुपाती.

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र को बल रेखाओं (तनाव रेखाओं) का उपयोग करके स्पष्ट रूप से चित्रित किया जा सकता है। बिजली की लाइनोंवे वक्र कहलाते हैं जिनके प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखाएँ तनाव वेक्टर E के साथ मेल खाती हैं।

बल की रेखाएँ एक पारंपरिक अवधारणा है और वास्तव में अस्तित्व में नहीं है। एकल ऋणात्मक और एकल धनात्मक आवेश की क्षेत्र रेखाएँ चित्र में दिखाई गई हैं। 5 धनात्मक आवेश से आने वाली या ऋणात्मक आवेश की ओर जाने वाली रेडियल सीधी रेखाएँ हैं।

यदि क्षेत्र के संपूर्ण आयतन में क्षेत्र रेखाओं का घनत्व और दिशा अपरिवर्तित रहती है, तो ऐसे इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र को सजातीय माना जाता है (रेखाओं की संख्या संख्यात्मक रूप से क्षेत्र की ताकत ई के बराबर होनी चाहिए)।

उनके लंबवत ">dS" चिह्नित फ़ील्ड रेखाओं की संख्या निर्धारित करती है इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह:

सूत्र" src='http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-1.gif' border='0' ign='absmiddle' alt='- साइट डीएस (छवि 6) के लिए सामान्य एन की दिशा पर वेक्टर ई का प्रक्षेपण।

तदनुसार, एक मनमानी बंद सतह एस के माध्यम से वेक्टर ई का प्रवाह

मार्क">एस न केवल परिमाण, बल्कि प्रवाह का संकेत भी बदल सकता है:

1) सूत्र के साथ" src='http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/17-4.gif' border='0' ign='absmiddle' alt='

3) चयन करते समय"> आइए एक गोलाकार सतह S के माध्यम से वेक्टर E का प्रवाह ज्ञात करें, जिसके केंद्र में एक बिंदु आवेश q है।

इस मामले में, निशान ">E और n गोलाकार सतह के सभी बिंदुओं पर मेल खाते हैं।

एक बिंदु आवेश की क्षेत्र शक्ति को ध्यान में रखते हुए, सूत्र" src='http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-2.gif' border='0' ign='absmiddle " alt="(! LANG:हम पाते हैं

सूत्र" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Fe.gif" border = "0" ign = "absmiddle" alt = "- आवेश के चिन्ह के आधार पर एक बीजगणितीय मात्रा। उदाहरण के लिए, जब q<0 линии Е направлены к заряду и противоположны направлению внешней нормали n ..gif" border="0" align="absmiddle" alt="आवेश q के चारों ओर एक मनमाना आकार होता है। जाहिर है, सतह को ">E, जैसा कि सतह S है, चिह्नित किया गया है। इसलिए, एक मनमानी सतह के माध्यम से वेक्टर E का प्रवाह सूत्र है" src='http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/ फ़ाइलें/Fe.gif" बॉर्डर = "0" संरेखित करें = "absmiddle" alt = ".

यदि आवेश बंद सतह के बाहर स्थित है, तो जाहिर है, जितनी रेखाएँ बंद क्षेत्र में प्रवेश करती हैं, उतनी ही संख्या में उसे छोड़ देंगी। परिणामस्वरूप, वेक्टर E का प्रवाह शून्य के बराबर होगा।

यदि विद्युत क्षेत्र बिंदु आवेशों की एक प्रणाली द्वारा निर्मित होता हैसूत्र" src='http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-4.gif' border='0' ign='absmiddle' alt='

यह सूत्र गॉस के प्रमेय की गणितीय अभिव्यक्ति है: एक मनमाना बंद सतह के माध्यम से निर्वात में विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर ई का प्रवाह, इसे कवर करने वाले आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, जिसे विभाजित किया जाता हैसूत्र" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/18-6.gif" border = "0" ign = "absmiddle" alt = "

विवरण को पूरा करने के लिए, आइए गॉस के प्रमेय को स्थानीय रूप में भी प्रस्तुत करें, जो अभिन्न संबंधों पर नहीं, बल्कि अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु पर फ़ील्ड मापदंडों पर निर्भर करता है। ऐसा करने के लिए, विभेदक ऑपरेटर - वेक्टर विचलन, - का उपयोग करना सुविधाजनक है

सूत्र" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/nabla.gif" border = "0" ign = "absmiddle" alt = "("नबला") -

सूत्र" src='http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-1.gif' border='0' ign='absmiddle' alt='

गणितीय विश्लेषण में, गॉस-ओस्ट्रोग्रैडस्की प्रमेय ज्ञात है: एक बंद सतह के माध्यम से एक वेक्टर का प्रवाह इस सतह द्वारा सीमित मात्रा पर इसके विचलन के अभिन्न अंग के बराबर है -

सूत्र" src = "http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/ro.gif" border = "0" ign = "absmiddle" alt = ":

सूत्र" src='http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/19-4.gif' border='0' ign='absmiddle' alt='

यह अभिव्यक्ति स्थानीय (अंतर) रूप में गॉस का प्रमेय है।

गॉस का प्रमेय (2.2) हमें विभिन्न इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रों की ताकत निर्धारित करने की अनुमति देता है। आइए गॉस प्रमेय के अनुप्रयोग के कई उदाहरण देखें।

1. आइए गणना करें ई इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र एक समान रूप से चार्ज की गई गोलाकार सतह द्वारा निर्मित होता है।

आइए मान लें कि त्रिज्या R की एक गोलाकार सतह पर समान रूप से वितरित आवेश q है, अर्थात। सतह आवेश घनत्व हर जगह एक ही चिह्न है ">r >R गोले के केंद्र से, हम मानसिक रूप से एक नई गोलाकार सतह S का निर्माण करते हैं, जो आवेशित गोले के सममित है। गॉस के प्रमेय के अनुसार

सूत्र" src='http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/20-1.gif' border='0' ign='absmiddle' alt='

त्रिज्या R के आवेशित गोले की सतह पर स्थित बिंदुओं के लिए, सादृश्य द्वारा हम लिख सकते हैं:

चयन">आवेशित गोले के अंदर, अपने भीतर विद्युत आवेश नहीं रखता है, इसलिए फ्लक्स चिह्न">ई = 0.

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रों के सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करके विद्युत आवेशों की एक प्रणाली की क्षेत्र शक्ति की गणना करने का कार्य बहुत सरल किया जा सकता है यदि हम जर्मन वैज्ञानिक के. गॉस (1777-1855) द्वारा खोजे गए प्रमेय को लागू करते हैं, जो प्रवाह को निर्धारित करता है। एक मनमानी बंद सतह के माध्यम से विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर।

एक बंद सतह के माध्यम से तीव्रता वेक्टर प्रवाह की परिभाषा से, त्रिज्या r की एक गोलाकार सतह के माध्यम से तीव्रता वेक्टर प्रवाह, जो इसके केंद्र पर स्थित एक बिंदु आवेश Q को कवर करता है (चित्र 1), के बराबर है

यह परिणाम मनमाने आकार की बंद सतह के लिए मान्य है। दरअसल, यदि आप एक गोले (चित्र 1) को एक मनमानी बंद सतह में घेरते हैं, तो गोले को भेदने वाली प्रत्येक तनाव रेखा भी इस सतह से होकर गुजरेगी।

यदि किसी भी आकार की बंद सतह किसी आवेश को घेरती है (चित्र 2), तो जब कोई तनाव रेखा सतह के साथ प्रतिच्छेद करती है, तो वह या तो उसमें प्रवेश करती है या छोड़ देती है। फ्लक्स की गणना करते समय, चौराहों की एक विषम संख्या अंततः एक ही चौराहे में कम हो जाती है, क्योंकि यदि तनाव की रेखाएं सतह छोड़ती हैं तो फ्लक्स को सकारात्मक माना जाता है, और सतह में प्रवेश करने वाली रेखाओं के लिए नकारात्मक माना जाता है। यदि एक बंद सतह चार्ज को घेरती नहीं है , तो इसके माध्यम से प्रवाह शून्य है, तो सतह में प्रवेश करने वाली तनाव रेखाओं की संख्या इससे बाहर निकलने वाली तनाव रेखाओं की संख्या के बराबर कैसे है।

इसका मतलब यह है कि मनमाने आकार की सतह के लिए, यदि यह बंद है और इसमें एक बिंदु आवेश Q है, तो वेक्टर का प्रवाह इ Q/ε 0 के बराबर होगा, अर्थात।

फ्लक्स का चिन्ह आवेश Q के चिन्ह से मेल खाता है।

आइए हम n आवेशों से घिरी एक मनमानी सतह के सामान्य मामले का अध्ययन करें। सुपरपोजिशन, तनाव के सिद्धांत का उपयोग करना इक्षेत्र, जो सभी आवेशों द्वारा निर्मित होता है, तीव्रताओं के योग के बराबर होता है ई मैंवे फ़ील्ड जो प्रत्येक चार्ज द्वारा अलग-अलग बनाए जाते हैं। इसीलिए

(1) के अनुसार, योग चिह्न के नीचे दिखाई देने वाला प्रत्येक अभिन्न अंग Q i /ε 0 के बराबर है। मतलब,

(2)

सूत्र (2) व्यक्त करता है निर्वात में स्थिरवैद्युत क्षेत्र के लिए गॉस का प्रमेय: एक मनमाना बंद सतह के माध्यम से निर्वात में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह इस सतह के अंदर मौजूद आरोपों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, जिसे ε 0 से विभाजित किया जाता है। यह प्रमेय रूसी गणितज्ञ एम.वी. ओस्ट्रोग्रैडस्की (1801-1862) द्वारा मनमानी प्रकृति के एक वेक्टर क्षेत्र के लिए गणितीय रूप से प्राप्त किया गया था, और फिर इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के संबंध में उनसे स्वतंत्र रूप से - के. गॉस द्वारा प्राप्त किया गया था।

सामान्य स्थिति में, विद्युत आवेशों को एक निश्चित आयतन घनत्व ρ=dQ/dV के साथ वितरित किया जा सकता है, जो अंतरिक्ष में विभिन्न स्थानों पर भिन्न होता है। फिर बंद सतह S के अंदर समाहित कुल चार्ज, जो एक निश्चित आयतन V को कवर करता है,

(3)

सूत्र (3) का उपयोग करके, गॉस का प्रमेय (2) इस प्रकार लिखा जा सकता है:

वोल्टेज वेक्टर का परिसंचरण एक बंद पथ एल के साथ एक सकारात्मक चार्ज को स्थानांतरित करते समय विद्युत बलों द्वारा किया गया कार्य है

(13.18)

चूँकि एक बंद लूप के साथ इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र बलों का कार्य शून्य है (संभावित क्षेत्र बलों का कार्य), इसलिए एक बंद लूप के साथ इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत का परिसंचरण शून्य है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र क्षमता.एक रूढ़िवादी बल के क्षेत्र को न केवल एक वेक्टर फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, बल्कि इसके प्रत्येक बिंदु पर एक उपयुक्त अदिश राशि को परिभाषित करके इस क्षेत्र का एक समतुल्य विवरण प्राप्त किया जा सकता है। एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए, यह मात्रा है इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र क्षमता, परीक्षण चार्ज की संभावित ऊर्जा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है क्यूइस आवेश के परिमाण के लिए,  = डब्ल्यूपी / क्यू, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्षमता संख्यात्मक रूप से क्षेत्र में किसी दिए गए बिंदु पर एक इकाई सकारात्मक चार्ज द्वारा रखी गई संभावित ऊर्जा के बराबर है। क्षमता के माप की इकाई वोल्ट (1 V) है।

बिंदु आवेश क्षेत्र क्षमता क्यूढांकता हुआ स्थिरांक के साथ एक सजातीय आइसोट्रोपिक माध्यम में :

सुपरपोजिशन सिद्धांत.विभव एक अदिश फलन है; सुपरपोजिशन का सिद्धांत इसके लिए मान्य है। तो बिंदु आवेशों की एक प्रणाली की क्षेत्र क्षमता के लिए क्यू 1, क्यू 2, Qnहमारे पास है

,

कहाँ आर मैं- क्षमता वाले क्षेत्र बिंदु से आवेश तक की दूरी क्यूई. यदि चार्ज को मनमाने ढंग से अंतरिक्ष में वितरित किया जाता है, तो

,

कहाँ आर- प्राथमिक आयतन से दूरी d एक्स,डी य,डी जेडइंगित करने के लिए ( एक्स, य, जेड), जहां क्षमता निर्धारित की जाती है; वी- स्थान का आयतन जिसमें आवेश वितरित होता है।

विद्युत क्षेत्र बलों की क्षमता और कार्य।विभव की परिभाषा के आधार पर यह दर्शाया जा सकता है कि किसी बिंदु आवेश को हिलाने पर विद्युत क्षेत्र बल द्वारा किया गया कार्य होता है क्यूक्षेत्र के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक इस आवेश के परिमाण और पथ के प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं पर संभावित अंतर के उत्पाद के बराबर है, ए = क्यू (     
यदि, संभावित ऊर्जा के अनुरूप, हम मानते हैं कि विद्युत आवेशों - क्षेत्र स्रोतों से असीम रूप से दूर के बिंदुओं पर, क्षमता शून्य है, तो आवेश को स्थानांतरित करते समय विद्युत क्षेत्र बलों का कार्य क्यूबिंदु 1 से अनंत तक को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है ए   क्यू  1 .
इस प्रकार, इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के किसी दिए गए बिंदु पर क्षमता है भौतिक मात्रा संख्यात्मक रूप से विद्युत क्षेत्र की शक्तियों द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है जब एक इकाई धनात्मक बिंदु आवेश को क्षेत्र में दिए गए बिंदु से अनंत दूरी तक ले जाया जाता है:  = ए  / क्यू.
कुछ मामलों में, विद्युत क्षेत्र क्षमता को अधिक स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है एक भौतिक मात्रा जो संख्यात्मक रूप से एक इकाई धनात्मक बिंदु आवेश को अनंत से किसी दिए गए बिंदु तक ले जाने पर विद्युत क्षेत्र की ताकतों के विरुद्ध बाहरी ताकतों के कार्य के बराबर होती है. अंतिम परिभाषा को इस प्रकार लिखना सुविधाजनक है:

आधुनिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी में, विशेष रूप से सूक्ष्म जगत में घटित होने वाली घटनाओं का वर्णन करते समय, कार्य और ऊर्जा की एक इकाई को कहा जाता है इलेक्ट्रॉन-वोल्ट(ईवी). यह वह कार्य है जो 1 V के संभावित अंतर वाले दो बिंदुओं के बीच एक इलेक्ट्रॉन के चार्ज के बराबर चार्ज को ले जाने पर किया जाता है: 1 eV = 1.6010  C1 V = 1.6010  J

समविभव सतहें- किसी भी संभावित वेक्टर क्षेत्र पर लागू एक अवधारणा, उदाहरण के लिए, एक स्थिर विद्युत क्षेत्र या न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र। एक समविभव सतह वह सतह होती है जिस पर किसी दिए गए संभावित क्षेत्र की अदिश क्षमता एक स्थिर मान (संभावित स्तर की सतह) लेती है। एक अन्य, समकक्ष, परिभाषा एक सतह है जो किसी भी बिंदु पर क्षेत्र रेखाओं के लिए ओर्थोगोनल है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में एक कंडक्टर की सतह एक समविभव सतह है। इसके अलावा, किसी कंडक्टर को समविभव सतह पर रखने से इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र का विन्यास नहीं बदलता है। इस तथ्य का उपयोग छवि विधि में किया जाता है, जो जटिल कॉन्फ़िगरेशन के लिए इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की गणना की अनुमति देता है।

एक (स्थिर) गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, एक स्थिर तरल पदार्थ का स्तर समविभव सतह के साथ स्थापित किया जाता है। विशेष रूप से, यह लगभग कहा जा सकता है कि महासागरों का स्तर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की समविभव सतह से होकर गुजरता है। पृथ्वी की सतह तक विस्तारित महासागरों की सतह के आकार को जियोइड कहा जाता है और यह भूगणित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इस प्रकार जियोइड गुरुत्वाकर्षण की एक सुसज्जित सतह है, जिसमें एक गुरुत्वाकर्षण और एक केन्द्रापसारक घटक शामिल है।