Načelo najmanjeg djelovanja. Hamilton-Ostrogradskyjev varijacijski princip u konfiguracijskim i faznim prostorima Formula ravnog vala
HAMILTON-OSTROGRADSKI PRINCIP
Princip stacionarnog djelovanja, - opći integral varijacijski princip klasične mehanike, uspostavio W.
Hamilton za holonomske sustave ograničene idealnim stacionarnim ograničenjima, a generalizirao M. V. Ostrogradskii na nestacionarna ograničenja. Prema G. - O.
ima stacionarnu vrijednost u usporedbi s bliskim kinematički mogućim gibanjima, kod kojih su početni i krajnji položaji sustava i vrijeme gibanja isti kao i za stvarno kretanje. Ovdje T - kinetički, U- potencijalna energija, L-T-U Lagrangeovu funkciju sustava. U nekim slučajevima, istina ne odgovara samo stacionarnoj točki funkcionala S, ali mu daje i najmanju vrijednost. Stoga je G. -O. n. često se naziva. princip najmanjeg djelovanja. U slučaju nepotencijalnih djelatnih sila F v uvjet stacionarnosti djelovanja d S= 0 se zamjenjuje uvjetom
Lit.: Hamilton W., Izvješće četvrtog sastanka Britanskog udruženja za unapređenje znanosti, L., 1835., str. 513-18; Ostrogradsku M., "Mem. de 1" Acad. des Sci. de St-Petershourg", 1850., svezak 8, br. 3, str. 33-48.
V. V. Rumjancev.
Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Pogledajte što je "HAMILTON - OSTROGRADSKI PRINCIP" u drugim rječnicima:
Fisherov princip je evolucijski model koji objašnjava zašto je u prirodi dominantan omjer spolova vrsta živih organizama, približno 1:1; u kojem geni za proizvodnju većeg broja jedinki oba spola ... ... Wikipedia
Hamilton (također samo Hamiltonov princip), točnije, princip stacionarnosti djelovanja je metoda dobivanja jednadžbi gibanja fizičkog sustava traženjem stacionarnog (često ekstremnog, obično u vezi s ustaljenom tradicijom ... ... Wikipedia
Lom vala prema Huygensu ... Wikipedia
U metodologiji znanosti, tvrdnja da svaka nova znanstvena teorija, u prisustvu stare, dobro provjerene teorije, nije u potpunoj suprotnosti s njom, već daje iste posljedice u nekoj ograničavajućoj aproksimaciji (poseban slučaj). Na primjer, zakon ... ... Wikipedia
Diskretni Pontryaginov maksimalni princip za vremenski diskretne procese upravljanja. Za takav proces, M. p. možda neće biti zadovoljen, iako za njegov kontinuirani analog, koji se dobiva zamjenom operatora konačne razlike s diferencijalnim ... ... Matematička enciklopedija
Ili početak Hamiltona, u mehanici i matematičkoj fizici, služi za dobivanje diferencijalnih jednadžbi gibanja. Ovo se načelo proteže na sve materijalne sustave, kakvim god silama bili podložni; prvo ćemo to izraziti u tome ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron
Postulatni kvant. mehanike, zahtijevajući slučajnost njezine fizikalne. posljedice u graničnom slučaju velikih kvantnih brojeva s rezultatima klasičnog. teorije. U S. p. činjenica da je kvant. efekti su značajni samo kada se razmatraju mikro-objekti, kada ... ... Fizička enciklopedija
Hamiltonov varijacijski princip- Hamiltono variacinis principas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Hamiltonov princip varijacije vok. Hamiltonsches Variationsprinzip, n rus. Hamiltonov varijacijski princip, m pranc. principe variationnel d'Hamilton, m … Fizikos terminų žodynas
Postulat kvantne mehanike (Vidi Kvantna mehanika) koji zahtijeva podudarnost svojih fizičkih posljedica u graničnom slučaju velikih kvantnih brojeva (Vidi Kvantni brojevi) s rezultatima klasične teorije. U S. p. očituje se činjenica da ... ... Velika sovjetska enciklopedija
- (valna mehanika), teorija koja utvrđuje metodu opisivanja i zakonitosti gibanja mikročestica (elem. h c, atoma, molekula, atomskih jezgri) i njihovih sustava (npr. kristala), kao i odnos količina karakterizirajući čestice i sustave, s fizikalnim veličine, ...... Fizička enciklopedija
Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Akcija (fizika). Dimenzija akcije L2MT−1 Akcija u fizici je skalarna fizikalna veličina koja je ... Wikipedia
knjige
- Načela kretanja gospodarskog sustava. Monografija, Kusner Yuri Semenovich, Tsarev Igor Gennadievich. U analitičkom obliku prikazane su osnovne jednadžbe kretanja ekonomskog sustava te je riješen problem pronalaženja adekvatnih metoda upravljanja njegovim kretanjem. Matematika se koristi...
Ideja koja je u osnovi svih integralnih i nekih diferencijalnih principa je stajalište da stvarno kretanje mehaničkog sustava daje ekstremnost nekoj fizikalnoj veličini. Za matematičku formulaciju ove tvrdnje potrebno je, kao i prije, uvesti u razmatranje, uz stvarno gibanje, ukupnost zamislivih gibanja, podvrgavajući ih sasvim određenim zahtjevima.
Formulacija integralnih načela provodi se u konfiguracijskom prostoru. Prisjetimo se da su za sustav sa stupnjevima slobode generalizirane koordinate 
, koji određuju konfiguraciju sustava u određenom trenutku 
, tretiraju se kao kartezijeve koordinate u odgovarajućim 
-dimenzionalni prostor, koji je konfiguracijski prostor. Tijekom vremena stanje mehaničkog sustava se mijenja i točka koja predstavlja ovaj sustav opisuje određenu krivulju. Prikladno je gibanje sustava promatrati kao gibanje reprezentativne točke po ovoj krivulji. Vrijeme 
pod ovim razmatranjem je parametar, a svaka točka trajektorije će odgovarati jednoj ili više vrijednosti 
.
Ako nas zanima položaj sustava na konfiguracijskoj trajektoriji u svakom trenutku 
, tada trebate dodati još jednu os 
.
Tada ćemo dobiti "višedimenzionalni grafikon" gibanja sustava koji razmatramo. Također se mogu proučavati projekcije multivarijatnog grafa na određene ravnine, recimo 
(Slika 2.7). Na slici A, B su projekcije reprezentativne točke u trenucima 
I 
prema tome, puna linija prikazuje stvarni, isprekidana - jedan od zamislivih pokreta.
Integralni princip je izjava o tome kako se stvarno kretanje sustava provodi u konačnom (ne beskonačno malom!) vremenskom intervalu 
.
Što je bilo sa sustavom prije trenutka vremena 
,
nismo zainteresirani. Ali budući da su početni i konačni trenutak vremena fiksni, vjeruje se da mehanički sustav za sva zamisliva kretanja u trenutku vremena 
prolazi kroz točku A, u trenutku 
- U;
te točke odgovaraju početnom i konačnom položaju sustava u njegovom stvarnom gibanju.
Najopćenitija formulacija stava o gibanju mehaničkih sustava sadržana je u tzv. principu najmanjeg djelovanja (naziva se i princip Hamilton-Ostrogradskog):
Stvarno kretanje mehaničkog sustava u vremenskom intervalu od
prije
je takav da je integral, koji se naziva akcijska funkcija
i jednaki
, (60.7)
Gdje
-- Lagrangian zadanog mehaničkog sustava, ima ekstrem (minimum). Varijabilna
ne varira.
Drugim riječima, tijekom stvarnog gibanja varijacija djelovanja treba biti jednaka nuli
(61.7)
pod uvjetom da sve konfiguracijske putanje u trenucima vremena 
I 
prolaze kroz početnu i završnu točku stvarnog kretanja, tj.
Ovo je načelo, za razliku od d'Alembertova diferencijalnog načela, integralno u smislu da sadrži iskaz o gibanju sustava kao cjeline tijekom konačnog vremenskog razdoblja. 
.
Iz njega zapravo proizlaze Lagrangeove jednadžbe, pa se iz principa najmanjeg djelovanja, može se reći, dobiva cjelokupna dinamika mehaničkog sustava.
Neka funkcije 
, opisuju stvarno kretanje, tj. 
one funkcije za koje 
ima minimum. Razmotrite skup funkcija 
Gdje 
- varijacije funkcija 
, za koje se pretpostavlja da su mali u usporedbi s 
kroz cijeli vremenski interval od 
prije 
. Osim toga, sve 
zadovoljiti odnose (62.7). Izračunavamo tzv. prvu varijaciju 
, imajući na umu da Lagrangeova funkcija može ovisiti o generaliziranim koordinatama 
,
generalizirane brzine 
, i vrijeme 
:
Jer 
, drugi mandat u 
može se integrirati po dijelovima
.
Zbog uvjeta (62.7), zbroj
nestaje, a preostali integral će biti jednak nuli za proizvoljne vrijednosti 
samo kada svaki član sume integranda nestane. Tako dobivamo Lagrangeove jednadžbe 2. vrste
.
(63.7)
Korisno je zapamtiti da se iz rješenja zadatka za ekstremum funkcije dobiva sustav konačnih jednadžbi iz kojeg se nalazi točka u kojoj funkcija doseže ekstremum. U ovom slučaju radi se o funkcionalu, rješenju ekstremnog problema, koji je zadan sustavom diferencijalnih jednadžbi 2. reda. Iz ovih jednadžbi nalazi se pravac u konfiguracijskom prostoru zadan funkcijama 
gdje funkcionalno dostiže svoj minimum. Taj se pravac naziva ekstremal.
Budući da se zadatak konstruiranja jednog ili drugog mehaničkog modela sastoji u sastavljanju jednadžbi gibanja, vidimo da je, zapravo, dinamika sustava određena jednom funkcijom - Lagrangianom, budući da je to funkcija koja rješava problem. Stoga je Lagrangian sustava zanimljiv fizički objekt, čije je proučavanje neophodno u vezi s problemima dinamike. Osobito se iz načela najmanjeg djelovanja vidi da funkcija 
definirana je samo do dodavanja ukupne derivacije proizvoljne funkcije koordinata i vremena. Ovo treba shvatiti jer sustav definiran svojim jednadžbama gibanja odgovara više od jedne Lagrangeove funkcije 
.
Doista, neka bude 
povezano s 
omjer
(64.7)
,
.
Ali budući da 
,
i, posljedično, Lagrangeove jednadžbe dobivene pomoću funkcija 
I 
, isto. Dvosmislenost definicije Lagrangeove funkcije oblika (64.7) ne utječe na jednadžbe gibanja, a svaki 
iz razreda (64.7) jedinstveno rješava problem konstruiranja dinamike sustava.
Važno svojstvo sustava Lagrangeovih jednadžbi je njihova kovarijanca. To znači da Lagrangeove jednadžbe zadržavaju svoj oblik pod točkastim transformacijama generaliziranih koordinata 4
tj. pri korištenju generaliziranih koordinata 
Lagrangeove jednadžbe će imati isti oblik:
,
kao kod korištenja generaliziranih koordinata 
:
.
Dokažimo izravno da su Lagrangeove jednadžbe kovarijantne u odnosu na transformaciju (65.7). Hajdemo graditi 
:
i izvedenice
,
1. Kinematika materijalne točke. Materijalna točka se shvaća kao fizički objekt, geometrijski ekvivalentan matematičkoj točki, ali ima masu. Kinematika je grana fizike koja proučava vrste gibanja tijela bez razmatranja uzroka gibanja. Položaj točke u prostoru karakterizira radijus vektor. Radijus-vektor točke je vektor čiji se početak podudara s ishodištem koordinatnog sustava, a kraj s razmatranom točkom. r = ja x + j y + k z. Brzina je put koji tijelo prijeđe u jedinici vremena. v(t) = d r/dt. v(t) = ja dx/dt+ j dy/dt + k dz/dt. Ubrzanje je stopa promjene brzine. a=d v/dt = d2 r/dt2= ja d2x/dt2 + j d 2 y/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . a = a τ + a n= τ dv/dt + n v2/R.
d r = v dt; d v = a dt, dakle v = v 0 + a t; r = r 2 – r 1 = v 0 t + a t2/2.
2. Dinamika materijalne točke. Newtonovi zakoni. Osnovni pojmovi u dinamici su pojam mase i sile. Sila je uzrok kretanja, tj. pod utjecajem sile tijela dobivaju brzinu. Sila je vektorska veličina. Masa je mjera tromosti tijela. Umnožak mase i brzine naziva se količina gibanja. str= m v. Kutni moment materijalne točke je vektor L = r * str. Moment sile koji djeluje na materijalnu točku naziva se vektor M = r * F. Ako diferenciramo izraz za kutni moment, dobivamo: d L/dt=d r/dt* str + r*d str/dt. S obzirom da d r/dt= v I v paralelno str, dobivamo d L/dt= M.Newtonovi zakoni. Prvi Newtonov zakon kaže da tijelo zadržava stanje mirovanja ili ravnomjernog pravocrtnog gibanja ako na njega ne djeluju druge sile ili je njihovo djelovanje kompenzirano. Drugi Newtonov zakon kaže da je promjena količine gibanja tijekom vremena konstantna vrijednost i jednaka je djelovanju sile d str/ dt = d / dt (m v) = md v/dt= F.Ovo je drugi Newtonov zakon napisan u diferencijalnom obliku. Treći Newtonov zakon kaže da u međudjelovanju dva tijela svako od njih djeluje na drugo istom vrijednošću, ali suprotnog smjera, silom. F 1 = - F 2 .
3. Dinamika sustava materijalnih točaka. Zakoni očuvanja. Sustav materijalnih točaka je ukupnost njihovog konačnog broja. Na svaku točku sustava djeluju unutarnje (iz drugih točaka) i vanjske sile. Neka je m masa, r i radijus vektor. x i , y i , z i - kabel. i-ta točka. Impuls sustava materijalnih točaka zbroj je impulsa materijalnih točaka koje čine sustav: str= Σ (i=1,n) str i = [ str 1 + str 2 +…+ str n]. Kutna količina gibanja sustava materijalnih točaka zbroj je momenata količine gibanja koji čine sustav materijalnih točaka: L = Σ [ L i ] = Σ [ r ja * str ja ]. Sila koja djeluje na sustav materijalnih točaka definirana je kao zbroj svih sila koje djeluju na točke sustava, uključujući sile međudjelovanja između točaka sustava: F = Σ [ F i ], gdje F ja = F i' + Σ(j ≠ i) F ji je sila koja djeluje na materijalnu točku sustava, označena indeksom i. Sastoji se od vanjske sile F i ’ i unutarnja sila Σ(i ≠ j) [ F ji ], djelujući na točku kao rezultat interakcije s drugim točkama sustava. Tada je: F = Σ (i=1,n) [ F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji]. Prema trećem Newtonovom zakonu Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ F ji ] = 0, dakle F = Σ [ F ja']. Moment sile koji djeluje na sustav materijalnih točaka zbroj je momenata sila koji djeluju na točke sustava M= Σ (i) [ M i ] = Σ (i) [ r ja * F i ] = Σ (i) [ r ja * F ja']. Za sustav materijalnih točaka jednadžba gibanja ima oblik d str/ dt = Σ = Σ [ F ja ].
Središte mase sustava materijalnih točaka je zamišljena točka s radijus vektorom R= 1/mΣ. Brzina njegovog kretanja V=d R/dt. Tada jednadžba gibanja m d V/dt= F. Jednadžba momenata za sustav materijalnih točaka d L/dt= M. Zakoni očuvanja. Izolirani sustav je onaj na koji ne utječu vanjske sile. U njoj F= 0, pa d str/dt = 0. Zatim str= konst. U izoliranom sustavu moment vanjskih sila M= 0. Prema tome, d L/dt = 0, što znači L= konst. Promjena kinetičke energije materijalne točke kada se kreće između dva položaja jednaka je radu sile. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) F d l ili m 0 v 2 /2 + E p \u003d konst.
4. Gibanje u centralno simetričnom polju. Keplerovi zakoni. Polje se naziva središnjim ako potencijalna energija tijela u njemu ovisi samo o udaljenosti r do određene fiksne točke. Sila F= - ∂U(r)/ ∂ r= - dU/dr r/r koji djeluje na česticu, u apsolutnoj vrijednosti također ovisi samo o r i usmjeren je na svaku točku duž radijus vektora. Kada se kreće u središnjem polju, moment sustava u odnosu na središte polja je sačuvan. Za jedan trenutak čestice M = [r*R]. Budući da su vektori M i r međusobno okomiti, postojanost M znači da kada se čestica giba, njezin radijus vektor uvijek ostaje u istoj ravnini - ravnini okomitoj na M. Dakle, putanja čestice u središnjem polju leži u cijelosti u jednoj ravnini. Uvodeći u njega polarne koordinate r, φ, zapisujemo Lagrangeovu funkciju u obliku L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r). Ova funkcija ne sadrži eksplicitno koordinatu φ. Za takvu koordinatu, generalizirani moment p i koji joj odgovara je integral gibanja. U tom slučaju generalizirani moment p φ = mr 2 φ(∙) koincidira s momentom M z = M, pa je M = mr 2 φ(∙) (1). Imajte na umu da za ravno gibanje jedne čestice u središnjem polju ovaj zakon dopušta jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Izraz 1/2 r r d φ je područje sektora kojeg tvore dva beskonačno bliska radijus vektora i lučni element putanje. Označavajući ga kao df, impuls čestice zapisujemo u obliku M = 2mf, gdje se derivacija f naziva sektorska brzina. Dakle, očuvanje količine gibanja znači konstantnost sektorske brzine - za jednaka vremena, radijus vektor pokretne točke opisuje jednake površine ( Keplerov drugi zakon). Izražavajući φ(∙) kroz M iz (1) i zamjenjujući u izraz za energiju, dobivamo: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Stoga je r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) ili, odvajanjem varijabli i integriranjem: t = ∫dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + konst. Nadalje, zapisujući (1) kao dφ = M 2 /mr 2 dt, zamjenjujući dt ovdje i integrirajući, nalazimo: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /r 2) + konst. Keplerov prvi zakon. Svaki planet se okreće u elipsi sa Suncem u jednom od svojih žarišta. Keplerov treći zakon. Kvadrati sideričkih perioda planeta odnose se kao kubovi velikih poluosi njihovih putanja T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .
5. Lagrangeova funkcija i Lagrangeove jednadžbe sustava materijalnih točaka. Integrali gibanja. Promotrimo zatvoreni sustav materijalnih točaka. Lagrangeova funkcija za njega ima oblik L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …), gdje je T = Σ (a) kinetička energija, a U potencijalna energija međudjelovanja čestica. Tada jednadžbe gibanja d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a poprimaju oblik m a dv a /dt = - ∂U/∂r a . Ove jednadžbe gibanja nazivaju se Newtonove jednadžbe. Vektor F a = - ∂U/∂r a naziva se sila. Ako se za opis gibanja ne koriste kartezijeve koordinate točaka, već proizvoljne generalizirane koordinate q i , tada je za dobivanje Lagrangeove funkcije potrebno izvršiti odgovarajuću transformaciju: x a = f(q 1 , q 2 , .., q s) , x a (∙) = Σ(k ) [∂f a /∂q k (∙)] itd. Zamjenom ovih izraza u funkciju L= 1 / 2 Σ(a) – U dobivamo željenu Lagrangeovu funkciju oblika L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). Integrali gibanja. Postoje takve funkcije generaliziranih koordinata koje zadržavaju konstantne vrijednosti tijekom kretanja, ovisno samo o početnim uvjetima. Zovu se integrali gibanja. Zbog homogenosti vremena dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. Zamjenom ∂L/∂q i prema Lagrangeovim jednadžbama s d/dt (∂L/∂q i (∙)), dobivamo dL/dt = Σ(i) ili d/dt (Σ(i) - L) = 0 To pokazuje da se veličina E = Σ(i) – L, koja se naziva energija, ne mijenja, tj. integral kretanja. Zbog homogenosti prostora pri beskonačno malom prijenosu ε, kada su sve točke sustava pomaknute za ε = δr, promjena Lagrangeove funkcije, jednaka δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ], mora biti jednak nuli, tj. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. Pomoću Lagrangeovih jednadžbi dobivamo Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Tada je količina R= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], koji se naziva impuls, ostaje nepromijenjen, tj. integral kretanja. Zbog izotropije prostora pri beskonačno maloj rotaciji za kut δφ, promjena Lagrangeove funkcije jednaka je δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ r a + ∂L/∂v a δ v a] mora biti nula. Izvođenje promjene ∂L/∂ v a = str a i ∂L/∂ r a = str a (∙) s obzirom na proizvoljnost δφ, dobivamo d/dt Σ(a) [ r a str a ] = 0. Vrijednost M = Σ(a) [ r a str a ], koji se naziva kutni moment, ostaje konstantan, tj. integral kretanja.
6. Dinamika apsolutno krutog tijela. Tenzor tromosti. Eulerove jednadžbe. Kruto tijelo je sustav materijalnih točaka, udaljenost između kojih ostaje konstantna. Za potpuni opis gibanja krutog tijela, osim gibanja jedne njegove točke, potrebno je poznavati i gibanje tijela u blizini te točke kao točke fiksiranja. Neka je tijelo učvršćeno u točki O. Označavamo radijus vektor točke m i u odnosu na O r ja, w je trenutna kutna brzina tijela, zatim kutna količina gibanja L= Σ [ r ja*sam ja v i] = Σ = wΣ - Σ . Ova vektorska jednakost može se napisati kao tri projekcije na koordinatne osi L x = w x Σ - Σ ; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . S obzirom da ( w r i) = x i w x + y i w y + z i w z dobivamo L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z, gdje je J xx = Σ, J xy = Σ, ostali su slični. Vrijednosti J xx, J yy, J zz nazivaju se aksijalni momenti tromosti, a J xy = J yx, J xz = J zx, J yz = J zy nazivaju se centrifugalni momenti tromosti. Skup vrijednosti J ij naziva se tenzor inercije. Elementi od J ii nazivaju se dijagonalom. Ako su svi nedijagonalni elementi jednaki nuli, tada se kaže da su osi tijela koje se podudaraju s koordinatnim osima glavne osi tromosti, a veličine J ii nazivaju se glavnim momentima tromosti. Takav se tenzor svodi na dijagonalni oblik.
Eulerove jednadžbe. Jednadžba gibanja centra mase tijela ima oblik m d v 0 /dt = md/dt ( w * r 0) = F, Gdje r 0 je radijus vektor centra mase tijela, povučen iz točke njegovog pričvršćivanja. Prikladno je usmjeriti osi koordinatnog sustava povezanog s tijelom duž glavnih osi tromosti. U tom slučaju kutna količina gibanja dobiva jednostavan oblik L 1 = J 1 w 1 , L 2 = J 2 w 2 , L 3 = J 3 w 3 , a w i su projekcije kutne brzine na koordinatne osi koje se kreću zajedno s tijelom. Koristeći opću formulu d A/dt = ∂ A/∂t + w* A, možemo prikazati jednadžbu momenata na sljedeći način: ∂ L/∂t + w * L = M. Uzimajući u obzir da je L x = J x w x, L y = J y w y, L z = J z w z, ovu jednadžbu prepisujemo u projekcijama na osi pomičnog koordinatnog sustava: J x dw x /dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Ove se jednadžbe nazivaju Eulerove jednadžbe.
7.
Gibanje u odnosu na neinercijalne referentne okvire.
NISO je sustav u kojem tijelo se giba ubrzano u odnosu na mirovanje. koordinatni sustavi. Ovdje koncepti homogenosti i izotropije prostora i vremena nisu ispunjeni, jer trajanje i duljina u NISO variraju. Osim toga, gubi se sadržaj 3. Newtonovog zakona i zakona očuvanja. Razlog svemu su sile inercije povezane samo s koordinatnim sustavom, mačka. utjecati na kretanje tijela. DA. ubrzanje se može promijeniti vanjskom silom ili inercijom. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), gdje je Fi sila tromosti, a ubrzanje. tijela u IFR-u, a′-akcel. isto tijelo u NISO. U NISO-u nije ispunjen 1. Newtonov zakon! Fi=-m(a′-a), tj. inercijske sile ne poštuju Newtonov 3. z-well, jer kratkog su vijeka. Pri prijelazu s ISO na NISO nestaju inercijske sile. Inercija sile su uvijek usmjerene protiv kapaka. vanjske sile. Sile inercije se mogu zbrajati vektorski. U ISO: v=const, v< dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x . U NISO se uvode pojmovi apsolutne, relativne i translacijske brzine: u 0 - apsolutna brzina, a 0 - relativno ubrzanje. uspavan koordinatni sustavi. u x 0 \u003d v + u x 0 '; a x 0 \u003d a ' + a x; u x ’ a x - relativna brzina i ubrzanje. pokret koordinatni sustavi. (relativna) ; v, a′-brzina. i ubrzano. k′ se odnosi. k, tj. prijenosna brzina i ubrzanje Postoji -funkcija generalizirane koordinate, brzine, vremena. Promotrimo 2S dimenzionalni prostor, tada je položaj sustava S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L Lagrangeova funkcija; S-akcija. Funkcija djelovanja naziva se itnegral S=∫ Ldt=0, s kat. uzet duž prave trajektorije gibanja, sustav će imati minimalnu vrijednost, tj. S=Smin, δS=0. Oni. sustav od 1 do 2 giba se takvom putanjom da je njegovo djelovanje minimalno – Hamiltonov princip najmanjeg djelovanja. L = T – U je razlika između kinetičke i potencijalne energije sustava. Prema Hamiltonu, stvarna putanja odgovara minimalnom djelovanju. Nađimo putanju. Stvarna putanja je minimalna putanja. S-funkcionalni. Nađimo njegovu min. δS = 0 prva varijacija. δS = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt; δg i ne ovise jedno o drugome 9.
Oscilacije sustava s jednim i više stupnjeva slobode. Slobodne i prisilne vibracije
.
Najjednostavniji slučaj je kada sustav ima jedan stupanj slobode. Takvom položaju sustava odgovara stabilna ravnoteža, u kat. njezin potencijal. hr U(q) ima minimum. Odstupanje od ovog položaja dovodi do pojave sile - dU/dq, koja nastoji vratiti sustav natrag. q 0 - generalizirana koordinata. Proširujemo U(q) - U(q0) u potencije i dobivamo U(q) - U(q0) ≈ k / 2 (q - q 0) 2 gdje je k \u003d U '' (q 0) pozitivan koeficijent . U(q 0) \u003d 0, označavamo x \u003d q - q 0 - odstupanje koordinate od ravnotežne vrijednosti, tada je U (x) \u003d kx 2 / 2 potencijalna energija. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 -kinetička energija pri q = q0 i a(q0) = m dobivamo Lagrangeovu funkciju za sustav koji izvodi jednodimenzionalne oscilacije: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2 /2. Jednadžba gibanja koja odgovara ovoj funkciji bit će: mx(∙∙) + kx = 0 ili x(∙∙) + w 2 x = 0, gdje je w = √(k/m) ciklička frekvencija osciliranja. Rješenje ovih ur-th je x \u003d a cos (wt + α) gdje je a amplituda oscilacija, wt + α je faza oscilacija. Da. energija oscilirajućeg sustava bit će E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2. Prisilne vibracije. U tom slučaju, uz vlastitu potencijalnu energiju ½ kx 2, sustav također ima potencijalnu energiju U e (x, m) povezanu s djelovanjem vanjskog polja. Prema tome, Lagrangeova funkcija takvog sustava bit će: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), gdje je F(t) vanjska sila. Odgovarajuća jednadžba gibanja bit će mx(∙∙) + kx = F(t), ili x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Ako je F(t) jednostavna periodična funkcija vremena s nekom frekvencijom γ: F(t) = f cos(γt + β) tada će rješenje jednadžbi gibanja biti: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a i α određuju se iz početnih uvjeta. Da. pod djelovanjem pogonske sile sustav čini gibanje koje predstavlja kombinaciju dviju oscilacija - s vlastitom frekvencijom sustava w i s frekvencijom pogonske sile - γ. Oscilacije sustava s više stupnjeva slobode
.
Lonac. hr sustav U(q i) ima minimum pri q i =q i 0 . Uvođenjem malih pomaka x i = q i - q i 0 i proširenjem U u njih s točnošću članova 2. reda, dobivamo potencijal. energija: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k ki . Kinet. hr za takav sustav bit će 1/2 Σ(i,k) , gdje je m ik =m ki . Lagrangeova jednadžba za takav sustav bila bi: L = 1/2 Σ(i,k) . Tada je dL = Σ(i,k) . Tražimo x k (t) u obliku x k \u003d A k exp (-iwt), A k je konstanta. Zamjenom ovoga u Lagrangeovu jednadžbu dobivamo sustav linearnih homogenih jednadžbi. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - karakteristična jednadžba, ima s različitih korijena w 2 α (α=1,2,….,s) w α - vlastite frekvencije sustav . Pojedinačno rješenje sustava ima oblik: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). Opće rješenje je zbroj svih partikularnih rješenja: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], gdje je Q = Re (C α exp(-iw α t)). 10.
Kanonska Hamiltonova jednadžba.
Niz prednosti u proučavanju pitanja mehanike je opis uz pomoć generaliziranih koordinata i momenta, prijelaz iz jednog skupa nezavisnih varijabli u drugi može se izvršiti Legendreovom transformacijom. U ovom slučaju se svodi na sljedeće. Ukupni diferencijal Lagrangeovih funkcija kao funkcija koordinata i brzina je: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. Ovaj izraz se može napisati kao dL = Σ(i) + Σ(i) . Prepišimo to u obliku: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . Vrijednost pod predznakom diferencijala je energija sustava izražena koordinatama i momentima, a naziva se Hamiltonova funkcija: H (p, q, t) = Σ (i) - L. Iz dif. jednakosti dH = - Σ(i) + Σ(i) slijede jednadžbe: q i (∙) = ∂H/∂p i , p i (∙) = - ∂H/∂q i su Hamiltonove jednadžbe. S obzirom na njihovu jednostavnost i simetričnost, oni se također nazivaju. kanonski. Poissonove zagrade. Vremenska derivacija bilo koje funkcije F generaliziranih koordinata, momenta i vremena je dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/∂ p i dpi /dt]. Koristeći Hamiltonove jednadžbe, možemo prepisati ovu jednadžbu u sljedećem obliku: dF/dt = ∂F/∂t + , gdje je = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ p i ] - tzv. Poissonova zagrada. Očito je da se Hamiltonova jednadžba može napisati pomoću Poissonovih zagrada. 11.
Hamilton–Jacobijeva jednadžba
.
Prema principu najmanjeg djelovanja, imamo S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. Promatrajmo radnju (S) kao veličinu koja karakterizira kretanje po pravim putanjama. Na temelju Lagrangeove jednadžbe za promjenu djelovanja pri prelasku s jedne putanje na drugu njoj blisku putanju (s jednim stupnjem slobode) dobivamo: δS = pδq ili za bilo koji broj stupnjeva slobode: δS = Σ(i) . Slijedi da su parcijalne derivacije djelovanja u odnosu na koordinate jednake odgovarajućim momentima: ∂S/∂q i = p i (1). Po definiciji, dS/dt = L, s druge strane, razmatrajući S kao funkciju koordinata i vremena i koristeći formulu (1), imamo: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S /∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . Usporedbom oba izraza dobivamo ∂S/∂t = L - Σ(i) ili ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). Formule (1), (2) mogu se napisati zajedno kao dS = Σ(i) – Hdt. A sama akcija (S) bit će S = ∫ (Σ(i) – Hdt). Za H neovisno o t, S(q,t)=S 0 (q) - Et, gdje je S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] skraćeno djelovanje i Et je zamijenjeno s H(p ,q) . Funkcija S(q,t) zadovoljava određenu dif. jednadžbu koju dobijemo zamjenom impulsa R u relaciji (2) s izvedenicama ∂S/∂q: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,… ,q s ,t) = 0 je jednadžba u parcijalnim izvodnicama 1. reda tzv. Hamilton-Jacobijeva jednadžba. Dakle, za jednu česticu u vanjskom polju U(x,y,z,t) ima oblik: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂ y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0. 12.
Deformacije i naprezanja u čvrstim tijelima. Youngov modul, smicanje. Poissonov omjer
.
Deformacija je promjena oblika i volumena tijela pod djelovanjem vanjskih sila. Pod djelovanjem vanjske sile mijenja se oblik tijela. Sve deformacije u prirodi mogu se svesti na 3 m glavne deformacije: 1) napetost, kompresija; 2) smicanje; 3) torzija. Razlikovati homogene i nehomogene deformacije. Ako su svi dijelovi deformirani na isti način, onda ovo jednolično deformiran. Ako se svi dijelovi tijela drugačije deformiraju, onda ovo nehomogeno deformiran. Hookeov zakon je zadovoljen u području samo elastične deformacije. = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F regulacija = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/10; F kontrola \u003d ESx / l 0. Hookeov zakon definira odnos između i . k je koeficijent elastičnosti, ovisi o geometrijskim dimenzijama, materijalu od kojeg je tijelo izrađeno. E je Youngov modul. Youngov modul jednak je sili kojom treba djelovati na tijelo jediničnog presjeka da bi se njegovo tijelo povećalo 2 puta. Druga vrsta deformacije je deformacija smicanja, opaža se kada se površina nanosi tangencijalno; paralelna je s površinom posmične deformacije, promatrano pod djelovanjem tangencijalnih sila, tj. sile djeluju tangencijalno. Ψ~F t /S (kut pomaka). Ψ = nF t /S; n je faktor pomaka. F t = nS. (E>N, E~4N). 13.
Mehanika tekućina i plinova.
Za sve tekućine i plinove objedinjujući parametar je: gustoća ρ, tlak P=F n /S. U tekućinama i plinovima ima mjesta Youngov modul, ali ne dolazi do modula smicanja |σ|=|P|, σ - naprezanje. Ako je tekućina (plin) nepomična, tada se radi o hidrostatici (aerostatici). Karakteristični zakoni: Pascalov zakon: višak tlaka stvoren u plinovima i tekućinama prenosi se jednako u svim smjerovima. Zn Arhimed vrijedi i za tekućine i za plinove. Arhimedova sila uvijek djeluje protiv sile gravitacije. Razlog nastanka Arhimedove sile je postojanje tijela volumena V. Zn Arhimed: Na tijelo u tekućini ili plinu uvijek djeluje sila jednaka težini tekućine ili plina koju istisne uronjeni dio tijela, a usmjeren okomito prema gore. Ako je F A >F TEŠKO, tada tijelo pluta, ako je obrnuto, onda tone. Ako tekućina (plin) teče, tada se ovim jednadžbama dodaje jednadžba kontinuiteta mlaza. Putanja gibanja čestice u tekućini naziva se. trenutna linija. Dio prostora omeđen strujnom linijom naziva se. strujna cijev. Tekućina u mlaznoj cijevi može teći stacionarno ili nestacionarno. Struja se zove stanica ako kroz dani presjek strujne cijevi po jedinici. vrijeme prolazi ista količina tekućine (plina), inače, protok nestatičan. Neka imamo strujnu cijev sljedećeg oblika: Ako je strujanje fluida statično. Tada je m 1 =m 2 =…=m n po jedinici vremena, ako je tekućina nestlačiva, tada je ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n , ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; \u003d ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 \u003d ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n, budući da je tekućina nestlačiva, ρ je konstantan υ 1 S 1 = υ 2 S 2 =… = υ n S n , υS=const; υ=const/S je jednadžba kontinuiteta mlaza. p d v/dt = ρ g– stupanj P – ekv. Euler - 2. reda. Newton za tekućine i plinove. Zakon je očuvan. Energija u tekućinama i plinovima. Lv. Bernoulli. Iskaznica. Naz. Nestlačiva tekućina u kojoj se sile viskoznog trenja mogu zanemariti. Kinetička energija se ne troši na obavljanje rada protiv sila trenja. Ρυ 2 /2+ρgh + P = const – ekv. Bernoulli, ρυ 2 /2 – dinamički tlak, ρgh – hidrostat. Tlak, P - molekularni tlak. Mυ 2 /2 \u003d E K; mυ 2 /2V= E K /V= ρυ 2 /2. Sila viskoznog trenja F A = - ηΔυΔS/ΔZ 6 π r η υ – Stokesova sila. Η - koeficijent. viskoznost, Δυ/ΔZ – grad υ, r – dimenzije tijela. Ovo je Newtonova formula za sile viskoznog trenja. Ako u tekućini postoje sile trenja, tada id. Tekućina postaje viskozna. ρ v 1 2 /2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 /2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 - P 2) \u003d ρ (υ 2 2 - υ 1 2) / 2. Ako je ΔP = 0, tada je υ 2 2 - υ 1 2 = 0, te neće biti strujanja fluida. Gdje je P veći, tu je i brz. Manje struje. Ako presjek S raste, tada se P povećava, a υ smanjuje. Ako strujna cijev ne leži vodoravno, tada je υ 2 2 -υ 1 2 \u003d 2g (h 1 -h 2); υ \u003d sqrt (2g (h 1 -h 2)) - Torricellijeva formula. Putanje koje opisuju gibanja mehaničkih sustava u proširenoj konfiguraciji i faznim prostorima imaju izvanrednu osobinu - one su ekstremi nekog varijacijskog problema, isporučuju stacionarne vrijednosti akcijskom funkcionalu. Razmotrimo formulaciju varijacijskog problema u proširenom konfiguracijskom prostoru R"*",čije su točke skupovi (q, ().
Neka je krivulja yn = ((q, t): q e R t e, 5q(/ 0)= 8q(/,) = 0). Varijacija 8q(/) je proizvoljna funkcija iz klase C 1 koja nestaje na krajevima segmenta = 0. A Prva varijacija funkcionala Sy pri y = y 0 prema definiciji je jednako a nakon integracije po dijelovima poprima oblik Neintegralni član u izrazu (2.3) nestaje, jer bq k (t 0) = bq k (t y) = 0, Za - 1 ..... l, a izraz u kvadratu zagrada pod znakom integrala jednaka je nuli, jer je y 0 realna putanja koja zadovoljava Lagrangeove jednadžbe (2.1). Prema tome, varijacija 55(y 0) = 0. ? Vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako je varijacija 65(y*) = 0, gdje y* pripada klasi kružnih putanja, tada je y* = y 0 prava putanja. Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz izraza prve varijacije (2.3) i glavne leme varijacijskog računa. U ovom slučaju, od jednakosti do nule prve varijacije i neovisnost varijacija 6 k - 1, ..., valjanost Lagrangeovih jednadžbi druge vrste l, slijedi desno Kada q k = q k *(t), k= 1.....l. To znači da je y* stvarna putanja mehaničkog sustava. 3.1. U slučaju nekonzervativnog sustava nemoguće je naznačiti funkcional čija je stacionarna vrijednost postignuta na realnoj putanji. Međutim, u ovom slučaju sljedeće izjave su ekvivalentne: gdje je q(/) realna putanja. Prva od gornjih izjava je sadržaj Hamilton-Ostrogradskyjevog varijacijskog principa za nekonzervativne sustave. 3.2. Može se pokazati da je stacionarna vrijednost akcijskog funkcionala minimalna ako je razlika - / 0 dovoljno mala. Ova je okolnost povezana s drugim nazivom razmatranog načela - načelo najmanjeg djelovanja Hamilton-Ostrogradkog. Gore razmatrani varijacijski problem može se formulirati u proširenom faznom prostoru, što se pokazalo važnim kada se razmatraju pitanja integrabilnosti Hamiltonovih kanoničkih jednadžbi. Označimo s G = ((r + 6r. q + 8q, ja): p, q, 6p. 6q e R", te[r 0, /,]. 5q(/ 0)= 8q(/|) = 0) krivulja u proširenom faznom prostoru i neka je za 8p = 8q = 0 krivulja G 0 rješenje sustava Hamiltonovih kanonskih jednadžbi. Sve vremenske funkcije pripadaju klasi C 1 . Tako je definirana familija kružnih putanja (G) kojoj pripada realna putanja G 0 (slika 46). Akcijski funkcional, uzimajući u obzir vezu između Lagrangeovih i Hamiltonovih funkcija, poprima oblik Ovdje se radi sažetosti koriste slova p, q umjesto slova p + 8p, q + 8q. Računajući varijaciju funkcionala 5[Γ] na realnoj trajektoriji, dobivamo Integrirajući po dijelovima, uzimajući u obzir rubne uvjete, nalazimo Iz ovoga slijedi da je varijacija 85|Γ 0 1 = 0 ako p(/), q(f) zadovoljavaju kanonske Hamiltonove jednadžbe (2.4), u. naprotiv, iz uvjeta neovisnosti varijacija 8p(r), 6q(/) slijede jednadžbe (2.4) prema glavnoj lemi varijacijskog računa. Time je dokazana valjanost principa najmanjeg djelovanja u faznom prostoru sustava: funkcionalno djelovanje 5[G] definirano na prostoru kružnih putanja (G|. poprima stacionarnu vrijednost na stvarnoj putanji, tj. 85 [G 0 1 = 0. Riža. 46 Kada sam prvi put saznao za ovaj princip, imao sam osjećaj neke vrste mističnosti. Čini se da priroda na tajanstven način prebira sve moguće načine kretanja sustava i odabire najbolji od njih. Danas želim malo govoriti o jednom od najznamenitijih fizičkih principa - principu najmanjeg djelovanja. Kada se reflektira, svjetlost se također kreće na takav način da od jedne točke do druge stiže najkraćim putem. Na slici će najkraći put biti zeleni put, na kojem je upadni kut jednak kutu refleksije. Svaki drugi put, poput crvenog, bit će duži. Godine 1662. Pierre Fermat je predložio da je brzina svjetlosti u gustoj tvari, kao što je staklo, manja nego u zraku. Prije toga, općeprihvaćena verzija bila je Descartesova, prema kojoj brzina svjetlosti u materiji mora biti veća nego u zraku da bi se dobio točan zakon loma. Za Fermata se pretpostavka da se svjetlost može kretati brže u gušćem mediju nego u razrijeđenom mediju činila neprirodnom. Stoga je pretpostavio da je sve upravo suprotno i dokazao nevjerojatnu stvar - pod tom pretpostavkom svjetlost se lomi tako da stigne na odredište u minimalnom vremenu. Sve te činjenice sugerirale su da priroda djeluje na neki racionalan način, svjetlost i tijela se kreću na najoptimalniji način, uz što manje truda. Ali koji su to napori bili i kako ih izračunati, ostala je tajna. Godine 1744. Maupertuis uvodi koncept "akcije" i formulira načelo prema kojem se prava putanja čestice razlikuje od bilo koje druge po tome što je djelovanje za nju minimalno. Međutim, sam Maupertuis nije mogao dati jasnu definiciju čemu je to djelovanje jednako. Strogu matematičku formulaciju načela najmanjeg djelovanja razvili su drugi matematičari - Euler, Lagrange, a konačno ju je dao William Hamilton: Dakle, kako trebate voziti da stignete na točku na vrijeme i potrošite što manje goriva? Jasno je da treba ići pravocrtno. S povećanjem prijeđene udaljenosti, gorivo se neće trošiti ništa manje. A onda možete odabrati različite taktike. Na primjer, možete brzo doći na mjesto unaprijed i samo sjediti, čekati da dođe vrijeme. Brzina vožnje, a time i potrošnja goriva u svakom trenutku vremena, bit će visoka, ali će se i vrijeme vožnje smanjiti. Možda ukupna potrošnja goriva u ovom slučaju neće biti tako velika. Ili možete ići ravnomjerno, istom brzinom, tako da, bez žurbe, stignete točno u trenutak. Ili dio puta ići brzo, a dio sporije. Koji je najbolji put? Ispostavilo se da je najoptimalniji, najekonomičniji način vožnje vožnja konstantnom brzinom, na primjer biti na točki točno u dogovoreno vrijeme. Bilo koja druga opcija će potrošiti više goriva. Možete se sami uvjeriti na nekoliko primjera. Razlog je što potrošnja goriva raste s kvadratom brzine. Stoga, kako se brzina povećava, potrošnja goriva raste brže nego što se smanjuje vrijeme vožnje, a povećava se i ukupna potrošnja goriva. Dakle, otkrili smo da ako automobil u bilo kojem trenutku troši gorivo proporcionalno svojoj kinetičkoj energiji, tada je najekonomičniji način da stignete od točke do točke u točno određeno vrijeme voziti ravnomjerno i pravocrtno, baš kao tijelo se giba u nedostatku sila koje na njega djeluju.sile. Svaki drugi način vožnje rezultirat će većom ukupnom potrošnjom goriva. Potrošnja goriva u svakom trenutku jednaka je kinetičkoj energiji umanjenoj za potencijalnu energiju automobila (minus potencijalna energija, jer ugrađeno vozilo proizvodi gorivo, a ne troši). Sada je naš zadatak najekonomičnije kretanje automobila između točaka i to postaje teže. Pravocrtno ravnomjerno gibanje u ovom slučaju nije najučinkovitije. Ispostavilo se da je optimalnije malo se popeti, zadržati se neko vrijeme, razvivši više goriva, a zatim se spustiti do točke. S ispravnom putanjom leta, ukupna potrošnja goriva zbog penjanja će pokriti dodatne troškove goriva za povećanje duljine putanje i povećanje brzine. Ako se pažljivo izračuna, najekonomičniji način za automobil bio bi letjeti u paraboli, točno istom putanjom i točno istom brzinom kojom bi kamen letio u Zemljinom gravitacijskom polju. Analog ukupne količine goriva potrošenog za cijelo vrijeme kretanja, tj. vrijednost Lagrangiana akumulirana tijekom cijelog vremena gibanja naziva se "akcija". Načelo najmanjeg djelovanja je da se tijelo giba tako da je djelovanje (koje ovisi o putanji gibanja) minimalno. U ovom slučaju ne treba zaboraviti da su zadani početni i završni uvjeti, tj. gdje je tijelo u vremenu i u vremenu . U ovom slučaju tijelo se ne mora kretati u jednoličnom gravitacijskom polju, što smo razmatrali za naš automobil. Možete razmotriti potpuno različite situacije. Tijelo može oscilirati na gumi, njihati se na njihalu ili letjeti oko Sunca, u svim tim slučajevima ono se giba tako da minimalizira "ukupnu potrošnju goriva" tj. akcijski. Ako se sustav sastoji od više tijela, tada će Lagrangian takvog sustava biti jednak ukupnoj kinetičkoj energiji svih tijela umanjenoj za ukupnu potencijalnu energiju svih tijela. I opet, sva tijela će se kretati usklađeno tako da je učinak cijelog sustava tijekom takvog kretanja minimalan. Na primjer, uzmimo loptu i stavimo je u prazan prostor. Na određenoj udaljenosti od njega postavljamo elastični zid. Recimo da želimo da lopta nakon nekog vremena završi na istom mjestu. Pod ovim danim uvjetima, lopta se može kretati na dva različita načina. Prvo, može samo ostati na mjestu. Drugo, možete ga gurnuti prema zidu. Lopta će doći do zida, odbiti se od njega i vratiti se. Jasno je da ga možete gurati takvom brzinom da se vrati točno u pravo vrijeme. Kako se načelo najmanje akcije može spasiti tako da vrijedi u takvim situacijama? O ovome ćemo govoriti u.8. Hamiltonov varijacijski princip. (princip najmanjeg djelovanja).
;
=0
na stvarnoj putanji mora biti zadovoljena sljedeća jednadžba: 
- Lagrangeova jednadžba (za bilo koji i= 1,…S).
Kvantitativni odnos između E i N dan je preko Poissonovog omjera. N = E/(2(1+μ)), gdje je Poissonov omjer. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. Poissonov omjer određuje promjenu poprečnih dimenzija tijekom napetosti ili kompresije. 0,5.
pozadina
Još od vremena Galileja poznato je da se tijela na koja ne djeluju nikakve sile kreću pravocrtno, odnosno najkraćim putem. Svjetlosne zrake također putuju u ravnim linijama. 
To je lako dokazati jednostavnom refleksijom putanja zraka na suprotnu stranu zrcala. Na slici su prikazani isprekidanim linijama. 
Vidi se da zelena staza ACB prelazi u ravnu liniju ACB'. A crvena putanja prelazi u isprekidanu liniju ADB ', koja je, naravno, duža od zelene. 
Na slici opet zelena boja pokazuje putanju kojom zapravo putuje zraka svjetlosti. Put označen crvenom bojom je najkraći, ali ne i najbrži, jer svjetlost u staklu ima dulji put, au njemu je i brzina manja. Najbrži je stvarni put svjetlosne zrake. 
U matematičkom jeziku, načelo najmanjeg djelovanja formulirano je prilično kratko, ali neće svi čitatelji razumjeti značenje korištene oznake. Želim pokušati jasnije i jednostavnije objasniti ovo načelo. labavo tijelo
Dakle, zamislite da sjedite u automobilu u određenom trenutku iu određenom trenutku vam je dan jednostavan zadatak: do određenog trenutka trebate voziti automobil do točke . 
Gorivo za automobil je skupo i, naravno, želite ga potrošiti što manje. Vaš je automobil napravljen korištenjem najnovije super-tehnologije i može ubrzavati ili usporavati koliko god želite. Međutim, dizajniran je na takav način da što brže ide, to više goriva troši. Štoviše, potrošnja goriva proporcionalna je kvadratu brzine. Ako vozite dvostruko brže, potrošit ćete 4 puta više goriva za isto vrijeme. Osim brzine, na potrošnju goriva, naravno, utječe i masa automobila. Što je naš automobil teži, to više goriva troši. Potrošnja goriva našeg automobila u svakom trenutku je , tj. točno je jednaka kinetičkoj energiji automobila. U polju gravitacije
Sada malo poboljšajmo naš auto. Pričvrstimo mu mlazne motore da može slobodno letjeti u bilo kojem smjeru. Općenito, dizajn je ostao isti, tako da je potrošnja goriva opet ostala strogo proporcionalna kinetičkoj energiji automobila. Ako se sada dobije zadatak poletjeti iz točke u trenutku i stići u točku u trenutku t, tada će najekonomičniji način, kao i prije, naravno, letjeti ravnomjerno i pravocrtno kako bi se stiglo u točku u točno dogovoreno vrijeme t. To opet odgovara slobodnom kretanju tijela u trodimenzionalnom prostoru. 
No, u najnoviji model automobila ugrađen je neobičan uređaj. Ova jedinica može proizvesti gorivo doslovno iz ničega. Ali dizajn je takav da što je automobil viši, uređaj proizvodi više goriva u bilo kojem trenutku. Izlaz goriva izravno je proporcionalan visini na kojoj se vozilo trenutno nalazi. Također, što je automobil teži, to je snažniji uređaj ugrađen u njega i proizvodi više goriva, a učinak je izravno proporcionalan masi automobila. Pokazalo se da je uređaj takav da je izlaz goriva točno jednak (gdje je ubrzanje slobodnog pada), tj. potencijalna energija automobila. 
Ovdje vrijedi dati objašnjenje. Naravno, moguće je baciti kamen s točke na mnogo različitih načina tako da pogodi točku. Ali morate ga baciti na takav način da, nakon što je izletio iz točke u trenutku, pogodi točku točno u trenutku. To je kretanje koje će biti najekonomičnije za naš automobil. Lagrangeova funkcija i princip najmanjeg djelovanja
Sada ovu analogiju možemo prenijeti na stvarna fizička tijela. Analog intenziteta potrošnje goriva za tijela naziva se Lagrangeova funkcija ili Lagrangeov (u čast Lagrangea) i označava se slovom . Lagrangian pokazuje koliko "goriva" tijelo troši u određenom trenutku. Za tijelo koje se kreće u potencijalnom polju, Lagrangian je jednak njegovoj kinetičkoj energiji umanjenoj za njegovu potencijalnu energiju. Nije tako jednostavno
Zapravo, malo sam varao rekavši da se tijela uvijek kreću na takav način da minimiziraju akciju. Iako je to u vrlo mnogo slučajeva točno, moguće je zamisliti situacije u kojima djelovanje očito nije minimalno. 
Moguće su obje varijante gibanja loptice, ali će djelovanje u drugom slučaju biti veće, jer će se sve to vrijeme loptica gibati s kinetičkom energijom različitom od nule.
