Primjeri geometrijske progresije. Budite uvijek raspoloženi

Geometrijska progresija, uz aritmetiku, važan je niz brojeva koji se proučava u školskom tečaju algebre u 9. razredu. U ovom ćemo članku razmotriti nazivnik geometrijske progresije i kako njegova vrijednost utječe na svojstva.

Definicija geometrijske progresije

Za početak dajemo definiciju ovog niza brojeva. Geometrijska progresija je niz racionalnih brojeva koji se formira uzastopnim množenjem njegovog prvog elementa konstantnim brojem koji se naziva nazivnik.

Na primjer, brojevi u nizu 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožimo 3 (prvi element) sa 2, dobit ćemo 6. Ako pomnožimo 6 sa 2, dobit ćemo 12, i tako dalje.

Članovi niza koji se razmatra obično se označavaju simbolom ai, gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.

Gornja definicija progresije može se jezikom matematike napisati na sljedeći način: an = bn-1 * a1, gdje je b nazivnik. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, tada je b1-1 = 1, te dobivamo a1 = a1. Ako je n = 2, tada je an = b * a1, i opet dolazimo do definicije niza brojeva koji se razmatra. Slično razmišljanje može se nastaviti za velike vrijednosti n.

Nazivnik geometrijske progresije

Broj b u potpunosti određuje kakav će karakter imati cijeli niz brojeva. Nazivnik b može biti pozitivan, negativan ili veći ili manji od jedan. Sve gore navedene opcije dovode do različitih sekvenci:

• b > 1. Postoji sve veći niz racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a1 negativan, tada će se cijeli niz povećavati samo modulo, ali smanjivati ​​uzimajući u obzir predznak brojeva.
• b = 1. Često se takav slučaj ne naziva progresijom, budući da postoji običan niz identičnih racionalnih brojeva. Na primjer, -4, -4, -4.

Formula za zbroj

Prije nego što prijeđemo na razmatranje specifičnih problema koristeći nazivnik vrste progresije koja se razmatra, treba dati važnu formulu za zbroj njenih prvih n elemenata. Formula je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Ovaj izraz možete dobiti sami ako uzmete u obzir rekurzivni niz članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno znati samo prvi element i nazivnik da biste pronašli zbroj proizvoljnog broja članova.

Beskonačno padajući niz

Gore je bilo objašnjenje što je to. Sada, znajući formulu za Sn, primijenimo je na ovaj niz brojeva. Budući da svaki broj čiji modul ne prelazi 1 teži nuli kada se podigne na velike potencije, to jest, b∞ => 0 ako je -1

Kako će razlika (1 - b) uvijek biti pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, predznak zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije S∞ jednoznačno je određen predznakom njenog prvog elementa a1.

Sada ćemo razmotriti nekoliko problema, gdje ćemo pokazati kako primijeniti stečeno znanje na određene brojeve.

Zadatak broj 1. Izračunavanje nepoznatih elemenata progresije i zbroja

Zadana je geometrijska progresija, nazivnik progresije je 2, a njen prvi element je 3. Koliki će biti njen 7. i 10. član, a koliki je zbroj njenih sedam početnih elemenata?

Uvjet problema je prilično jednostavan i uključuje izravnu upotrebu gornjih formula. Dakle, za izračun elementa s brojem n koristimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, zamjenom poznatih podataka dobivamo: a7 = 26 * 3 = 192. Isto radimo i za 10. član: a10 = 29 * 3 = 1536.

Koristimo dobro poznatu formulu za zbroj i tu vrijednost određujemo za prvih 7 elemenata niza. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Zadatak broj 2. Određivanje zbroja proizvoljnih elemenata progresije

Neka -2 bude nazivnik eksponencijalne progresije bn-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti zbroj od 5. do uključivo 10. elementa ovog niza.

Postavljeni problem ne može se izravno riješiti pomoću poznatih formula. Može se riješiti na 2 različita načina. Radi cjelovitosti, predstavljamo oboje.

Metoda 1. Ideja je jednostavna: morate izračunati dva odgovarajuća zbroja prvih članova, a zatim od jednog oduzeti drugi. Izračunajte manji zbroj: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada računamo velika količina: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Imajte na umu da su u posljednjem izrazu zbrojena samo 4 člana, budući da je 5. već uključen u zbroj koji treba izračunati prema uvjetu problema. Na kraju, uzimamo razliku: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Prije zamjene brojeva i brojanja, možete dobiti formulu za zbroj između članova m i n predmetnog niza. Ponašamo se na potpuno isti način kao u metodi 1, samo što prvo radimo sa simboličkim prikazom zbroja. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Možete zamijeniti poznate brojeve u dobiveni izraz i izračunati konačni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Zadatak broj 3. Što je nazivnik?

Neka je a1 = 2, nađi nazivnik geometrijske progresije, uz uvjet da je njegov beskonačni zbroj 3, a poznato je da je to opadajući niz brojeva.

Prema uvjetu zadatka nije teško pogoditi kojom formulom ga treba riješiti. Naravno, za zbroj beskonačno opadajuće progresije. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a1 / S∞. Ostaje zamijeniti poznate vrijednosti ​​i dobiti traženi broj: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 ili -0,333 (3). Ovaj rezultat možemo kvalitativno provjeriti ako se sjetimo da za ovu vrstu niza, modul b ne smije prelaziti 1. Kao što vidite, |-1 / 3|

Zadatak broj 4. Vraćanje niza brojeva

Neka su dana 2 elementa niza brojeva, npr. 5. je jednak 30, a 10. je jednak 60. Potrebno je obnoviti cijeli niz iz tih podataka, znajući da on zadovoljava svojstva geometrijske progresije.

Da biste riješili zadatak, morate prvo napisati odgovarajući izraz za svaki poznati član. Imamo: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Sada dijelimo drugi izraz s prvim, dobivamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odavde određujemo nazivnik uzimajući korijen petog stupnja omjera članova poznatog iz uvjeta problema, b = 1,148698. Zamijenimo dobiveni broj u jedan od izraza za poznati element, dobivamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Dakle, našli smo koliki je nazivnik progresije bn, a geometrijske progresije bn-1 * 17,2304966 = an, gdje je b = 1,148698.

Gdje se koriste geometrijske progresije?

Kad ne bi bilo primjene ovog numeričkog niza u praksi, njegovo bi se proučavanje svelo na čisto teorijski interes. Ali postoji takva aplikacija.

U nastavku su navedena 3 najpoznatija primjera:

• Zenonov paradoks, u kojem okretni Ahil ne može sustići sporu kornjaču, rješava se konceptom beskonačno padajućeg niza brojeva.
• Ako se zrna pšenice stave na svaku ćeliju šahovske ploče tako da se 1 zrno stavi u 1. ćeliju, 2 - u 2., 3 - u 3. i tako dalje, tada će biti potrebno 18446744073709551615 zrna da se popune sve ćelije šahovske ploče. Ploča!
• U igrici "Tower of Hanoi", da bi se presložili diskovi s jedne šipke na drugu, potrebno je izvršiti 2n - 1 operaciju, odnosno njihov broj eksponencijalno raste od broja diskova n koji se koriste.

Geometrijska progresija ništa manje važno u matematici nego u aritmetici. Geometrijska progresija je takav niz brojeva b1, b2,..., b[n] čiji je svaki sljedeći član dobiven množenjem prethodnog s konstantnim brojem. Ovaj broj, koji također karakterizira stopu rasta ili smanjenja progresije, naziva se nazivnik geometrijske progresije i označavaju

Za dovršiti zadatak geometrijske progresije, osim nazivnika, potrebno je znati odnosno odrediti njen prvi član. Za pozitivnu vrijednost nazivnika progresija je monoton niz, a ako je taj niz brojeva monotono opadajući i monotono rastući kada. Slučaj kada je nazivnik jednak jedan ne razmatra se u praksi, jer imamo niz identičnih brojeva, a njihovo zbrajanje nije od praktičnog interesa

Opći pojam geometrijske progresije izračunati prema formuli

Zbroj prvih n članova geometrijske progresije određena formulom

Razmotrimo rješenja klasičnih problema geometrijske progresije. Počnimo s najjednostavnijim za razumijevanje.

Primjer 1. Prvi član geometrijske progresije je 27, a nazivnik mu je 1/3. Pronađite prvih šest članova geometrijske progresije.

Rješenje: Zapisujemo uvjet zadatka u obrazac

Za izračune koristimo formulu za n-ti član geometrijske progresije

Na temelju njega nalazimo nepoznate članove progresije

Kao što vidite, izračunavanje članova geometrijske progresije nije teško. Sama progresija će izgledati ovako

Primjer 2. Zadana su prva tri člana geometrijske progresije: 6; -12; 24. Nađi nazivnik i sedmi član.

Rješenje: Nazivnik geometrijske progresije izračunavamo na temelju njene definicije

Dobili smo izmjeničnu geometrijsku progresiju čiji je nazivnik -2. Sedmi član izračunava se formulom

Na ovaj zadatak je riješen.

Primjer 3. Geometrijska progresija dana je s dva svoja člana . Pronađite deseti član progresije.

Riješenje:

Zapišimo zadane vrijednosti kroz formule

Prema pravilima, bilo bi potrebno pronaći nazivnik, a zatim tražiti željenu vrijednost, ali za deseti član imamo

Ista se formula može dobiti na temelju jednostavnih manipulacija s ulaznim podacima. Šesti član niza dijelimo s drugim, kao rezultat koji dobivamo

Ako se dobivena vrijednost pomnoži sa šestim članom, dobit ćemo deseti

Dakle, za takve probleme, uz pomoć jednostavnih transformacija u brz način možete pronaći pravo rješenje.

Primjer 4. Geometrijska progresija dana je rekurentnim formulama

Nađite nazivnik geometrijske progresije i zbroj prvih šest članova.

Riješenje:

Zadane podatke zapisujemo u obliku sustava jednadžbi

Izrazite nazivnik dijeljenjem druge jednadžbe s prvom

Pronađite prvi član progresije iz prve jednadžbe

Izračunajte sljedećih pet članova da biste pronašli zbroj geometrijske progresije

Ako svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da dano niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti član sekvence , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n I a n +1 nizovi članova a n +1 nazvao naknadni (prema a n ), A a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste odredili slijed, morate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se niz daje uz n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 I -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

Ako a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada je prvih sedam članova numeričkog niza postavljeno na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni I beskrajan .

Niz se zove ultimativno ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove opadajući , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je uzlazni niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je silazni niz. ◄

Niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju, naziva se monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

Gdje d - neki broj.

Dakle, razlika između sljedećeg i prethodnog člana danog aritmetička progresija uvijek konstantno:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

Ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećeg člana.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stoga,

◄

Imajte na umu da n -ti član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

Za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja članova te aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova s ​​brojem članova:

Iz ovoga osobito proizlazi da ako je potrebno zbrajati pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, onda količine a 1 , a n, d, n IS n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

• Ako d > 0 , tada se povećava;
• Ako d < 0 , tada se smanjuje;
• Ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

geometrijska progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

Gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana ove geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je odrediti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

Ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n -ti član se može pronaći formulom:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećeg člana.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća tvrdnja:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Stoga,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje traženu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n th član geometrijske progresije može se naći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · q n - k.

Na primjer,

Za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova te progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se formulom:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= n.b. 1

Imajte na umu da ako trebamo zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, onda količine b 1 , b n, q, n I S n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi se sljedeće svojstva monotonosti :

• progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I q> 1;

b 1 < 0 I 0 < q< 1;

• Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I 0 < q< 1;

b 1 < 0 I q> 1.

Ako q< 0 , tada je geometrijska progresija predznakoizmjenična: njezini neparni članovi imaju isti predznak kao prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji od 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je predznakoizmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem je zbroj prvog n uvjetima progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom

Na primjer,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Odnos aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetika i geometrijska progresija blisko su povezani. Razmotrimo samo dva primjera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na primjer,

1, 3, 5, . . . — aritmetička progresija s razlikom 2 I

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetička progresija s razlikom log aq .

Na primjer,

2, 12, 72, . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 6 I

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄

Razmotrimo seriju.

7 28 112 448 1792...

Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg njegovog elementa točno četiri puta veća od prethodnog. Dakle, ova serija je progresija.

Geometrijska progresija je beskonačan niz brojeva glavna značajka a to je da se sljedeći broj dobiva iz prethodnog množenjem s nekim određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.

a z +1 =a z q, gdje je z broj odabranog elementa.

Prema tome, z ∈ N.

Period kada se u školi uči geometrijska progresija je 9. razred. Primjeri će vam pomoći razumjeti koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na temelju ove formule, nazivnik progresije može se pronaći na sljedeći način:

Ni q ni b z ne mogu biti nula. Također, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.

Prema tome, da biste saznali sljedeći broj u nizu, trebate pomnožiti posljednji s q.

Da biste specificirali ovu progresiju, morate specificirati njen prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od sljedećih članova i njihov zbroj.

Sorte

Ovisno o q i a 1, ova progresija se dijeli na nekoliko vrsta:

• Ako su i a 1 i q veći od jedan, tada je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer takvog prikazan je u nastavku.

Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.

Tada se numerički niz može napisati ovako:

3 6 12 24 48 ...

• Ako je |q| manje od jedan, odnosno množenje njime je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima padajuća geometrijska progresija. Primjer takvog prikazan je u nastavku.

Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veće od jedan, q je manje.

Tada se numerički niz može napisati na sljedeći način:

6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji mu slijedi.

• Predznak-varijabla. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Primjer: a 1 = -3 , q = -2 - oba su parametra manja od nule.

Tada se niz može napisati ovako:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Za prikladnu upotrebu geometrijskih progresija postoje mnoge formule:

• Formula z-tog člana. Omogućuje vam izračunavanje elementa pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.

Primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je izračunati četvrti element progresije.

Riješenje:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Zbroj prvih elemenata čiji je broj z. Omogućuje vam izračunavanje zbroja svih elemenata niza doa zuključivo.

Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednako 1.

Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz broja koji se beskonačno ponavlja.

Zbroj geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunajte S 5 .

Riješenje:S 5 = 22 - izračun po formuli.

• Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.

Riješenje:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Neka svojstva:

• karakteristično svojstvo. Ako je sljedeći uvjet izvedena za bilo kojiz, tada je zadani niz brojeva geometrijska progresija:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Također, kvadrat bilo kojeg broja geometrijske progresije nalazi se zbrajanjem kvadrata bilo koja druga dva broja u danom nizu, ako su jednako udaljeni od tog elementa.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Gdjetje udaljenost između tih brojeva.

• Elementirazlikuju se u qjednom.
• Logaritmi elemenata progresije također tvore progresiju, ali već aritmetičku, to jest, svaki od njih je veći od prethodnog za određeni broj.

Primjeri nekih klasičnih problema

Za bolje razumijevanje što je geometrijska progresija mogu pomoći primjeri s rješenjem za 9. razred.

• Uvjeti:a 1 = 3, a 3 = 48. Pronađiteq.

Rješenje: svaki sljedeći element veći je od prethodnog uq jednom.Potrebno je izraziti neke elemente kroz druge pomoću nazivnika.

Stoga,a 3 = q 2 · a 1

Prilikom zamjeneq= 4

• Uvjeti:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunajte S 6 .

Riješenje:Da biste to učinili, dovoljno je pronaći q, prvi element i zamijeniti ga u formulu.

a 3 = q· a 2 , stoga,q= 2

a 2 = q a 1,Zato a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.

Rješenje: za to je dovoljno četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Primjer primjene:

• Klijent banke položio je depozit u iznosu od 10.000 rubalja, prema uvjetima koje će klijent svake godine dodati 6% na iznos glavnice. Koliko će novca biti na računu nakon 4 godine?

Rješenje: početni iznos je 10 tisuća rubalja. Dakle, godinu dana nakon ulaganja na računu će biti iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Sukladno tome, iznos na računu nakon još godinu dana bit će izražen na sljedeći način:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije koji je dan prvim elementom jednakim 10 tisuća, a nazivnikom jednakim 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Primjeri zadataka za izračunavanje zbroja:

U raznim problemima koristi se geometrijska progresija. Primjer za pronalaženje zbroja može se dati na sljedeći način:

a 1 = 4, q= 2, izračunajS5.

Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih treba zamijeniti u formulu.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj zbroj prvih šest elemenata.

Riješenje:

Geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno za izračunavanje zbroja potrebno je znati elementa 1 i nazivnikq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Slično tome, moramo pronaćia 1 , znajućia 2 Iq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Geometrijska progresija je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki sljedeći član jednak je prethodnom članu pomnoženom s istim brojem koji nije nula.

Pojam geometrijske progresije

Geometrijska progresija je označena sa b1,b2,b3, …, bn, … .

Omjer bilo kojeg člana geometrijske pogreške prema njegovom prethodnom članu jednak je istom broju, to jest, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. To izravno proizlazi iz definicije aritmetičke progresije. Taj se broj naziva nazivnik geometrijske progresije. Obično se nazivnik geometrijske progresije označava slovom q.

Zbroj beskonačne geometrijske progresije za |q|<1

Jedan od načina postavljanja geometrijske progresije je postavljanje njenog prvog člana b1 i nazivnika geometrijske pogreške q. Na primjer, b1=4, q=-2. Ova dva uvjeta daju geometrijsku progresiju od 4, -8, 16, -32, ….

Ako je q>0 (q nije jednako 1), tada je progresija monoton niz. Na primjer, niz, 2, 4,8,16,32, ... je monotono rastući niz (b1=2, q=2).

Ako je u geometrijskoj grešci nazivnik q=1, tada će svi članovi geometrijske progresije biti međusobno jednaki. U takvim slučajevima kaže se da je napredovanje stalan niz.

Da bi brojčani niz (bn) bio geometrijska progresija, potrebno je da svaki njegov član, počevši od drugog, bude geometrijska sredina susjednih članova. Odnosno, potrebno je ispuniti sljedeću jednadžbu
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), za bilo koji n>0, gdje n pripada skupu prirodnih brojeva N.

Sada stavimo (Xn) - geometrijsku progresiju. Nazivnik geometrijske progresije q, uz |q|∞).
Ako sada sa S označimo zbroj beskonačne geometrijske progresije, tada će vrijediti sljedeća formula:
S=x1/(1-q).

Razmotrimo jednostavan primjer:

Nađite zbroj beskonačne geometrijske progresije 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Da bismo pronašli S, koristimo se formulom za zbroj beskonačne aritmetičke progresije. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.