Dom › električna oprema › Primjeri geometrijske progresije. Zbroj beskonačne opadajuće geometrijske progresije i Zenonova paradoksa

Primjeri geometrijske progresije. Zbroj beskonačne opadajuće geometrijske progresije i Zenonova paradoksa

Lekcija i prezentacija na temu: "Brojevni nizovi. Geometrijska progresija"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna pomagala i simulatori u online trgovini "Integral" za 9. razred
Potencije i korijeni Funkcije i grafovi

Dečki, danas ćemo se upoznati s drugom vrstom progresije.
Tema današnje lekcije je geometrijska progresija.

Geometrijska progresija

Definicija. Brojčani niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak umnošku prethodnog i nekog fiksnog broja, naziva se geometrijska progresija.
Definirajmo naš niz rekurzivno: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
gdje su b i q određeni zadani brojevi. Broj q naziva se nazivnik progresije.

Primjer. 1,2,4,8,16… Geometrijska progresija, u kojoj je prvi član jednak jedan, a $q=2$.

Primjer. 8,8,8,8… Geometrijska progresija čiji je prvi član osam,
i $q=1$.

Primjer. 3,-3,3,-3,3... Geometrijska progresija čiji je prvi član tri,
i $q=-1$.

Geometrijska progresija ima svojstva monotonosti.
Ako $b_(1)>0$, $q>1$,
tada se niz povećava.
Ako $b_(1)>0$, $0 Niz se obično označava kao: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Baš kao u aritmetičkoj progresiji, ako je u geometrijska progresija broj elemenata konačan, tada se progresija naziva konačnom geometrijskom progresijom.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Imajte na umu da ako je niz geometrijska progresija, onda je niz članova na kvadrat također geometrijska progresija. Drugi niz ima prvi član $b_(1)^2$ i nazivnik $q^2$.

Formula n-tog člana geometrijske progresije

Geometrijska progresija također se može specificirati u analitičkom obliku. Pogledajmo kako to učiniti:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Lako možemo vidjeti uzorak: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Naša formula se zove "formula n-tog člana geometrijske progresije".

Vratimo se našim primjerima.

Primjer. 1,2,4,8,16… Geometrijska progresija čiji je prvi član jednak jedan,
i $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Primjer. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrijska progresija čiji je prvi član šesnaest i $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Primjer. 8,8,8,8… Geometrijska progresija gdje je prvi član osam i $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Primjer. 3,-3,3,-3,3… Geometrijska progresija čiji je prvi član tri i $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Primjer. Dana je geometrijska progresija $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Poznato je da je $b_(1)=6, q=3$. Pronađite $b_(5)$.
b) Poznato je da je $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Pronađite n.
c) Poznato je da je $q=-2, b_(6)=96$. Pronađite $b_(1)$.
d) Poznato je da je $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Nađi q.

Riješenje.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ budući da je $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Primjer. Razlika između sedmog i petog člana geometrijske progresije je 192, a zbroj petog i šestog člana progresije je 192. Nađite deseti član ove progresije.

Riješenje.
Znamo da je: $b_(7)-b_(5)=192$ i $b_(5)+b_(6)=192$.
Također znamo: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Zatim:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Dobili smo sustav jednadžbi:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Izjednačavanjem, naše jednadžbe dobivaju:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Dobili smo dva rješenja q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Zamijenite sukcesivno u drugu jednadžbu:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nema rješenja.
Dobili smo da je: $b_(1)=4, q=2$.
Nađimo deseti član: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Zbroj konačne geometrijske progresije

Pretpostavimo da imamo konačnu geometrijsku progresiju. Izračunajmo, kao i za aritmetičku progresiju, zbroj njegovih članova.

Neka je dana konačna geometrijska progresija: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uvedimo oznaku zbroja njegovih članova: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
U slučaju kada je $q=1$. Svi članovi geometrijske progresije jednaki su prvom članu, tada je očito $S_(n)=n*b_(1)$.
Razmotrimo sada slučaj $q≠1$.
Pomnožite gornji iznos s q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Bilješka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Dobili smo formulu za zbroj konačne geometrijske progresije.

Primjer.
Pronađite zbroj prvih sedam članova geometrijske progresije čiji je prvi član 4, a nazivnik 3.

Riješenje.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Primjer.
Nađite peti član geometrijske progresije, koji je poznat: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Riješenje.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Karakteristično svojstvo geometrijske progresije

Dečki, s obzirom na geometrijsku progresiju. Razmotrimo njegova tri uzastopna člana: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Mi to znamo:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Zatim:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ako je progresija konačna, tada ova jednakost vrijedi za sve članove osim za prvi i posljednji.
Ako se unaprijed ne zna kakav niz ima niz, ali se zna da je: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Tada možemo sa sigurnošću reći da je ovo geometrijska progresija.

Brojevni niz je geometrijska progresija samo kada je kvadrat svakog od njegovih članova jednak umnošku dvaju susjednih članova progresije. Ne zaboravite da za konačnu progresiju ovaj uvjet nije zadovoljen za prvi i zadnji član.

Pogledajmo ovaj identitet: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ naziva se geometrijska sredina a i b.

Modul bilo kojeg člana geometrijske progresije jednak je geometrijskoj sredini dvaju susjednih članova.

Primjer.
Nađite x tako da je $x+2; 2x+2; 3x+3$ bila su tri uzastopna člana geometrijske progresije.

Riješenje.
Iskoristimo karakteristično svojstvo:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ i $x_(2)=-1$.
Zamijenite redom u izvornom izrazu, naša rješenja:
S $x=2$ dobili smo niz: 4;6;9 je geometrijska progresija s $q=1,5$.
Uz $x=-1$, dobili smo niz: 1;0;0.
Odgovor: $x=2.$

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Pronađite osmi prvi član geometrijske progresije 16; -8; 4; -2 ....
2. Pronađite deseti član geometrijske progresije 11,22,44….
3. Poznato je da je $b_(1)=5, q=3$. Pronađite $b_(7)$.
4. Poznato je da je $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Pronađite n.
5. Nađi zbroj prvih 11 članova geometrijske progresije 3;12;48….
6. Nađite x tako da je $3x+4; 2x+4; x+5$ su tri uzastopna člana geometrijske progresije.

Svrha lekcije: upoznati učenike s novom vrstom niza - beskonačno padajućom geometrijskom progresijom.
Zadaci:
formulacija početne ideje granice niz brojeva;
upoznavanje s drugim načinom pretvaranja beskonačnih periodičnih razlomaka u obične pomoću formule za zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije;
razvoj intelektualnih kvaliteta osobnosti školaraca, kao što su logično razmišljanje, sposobnost evaluacijskih radnji, generalizacija;
obrazovanje aktivnosti, uzajamne pomoći, kolektivizma, interesa za predmet.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Povezana lekcija “Beskonačno padajuća geometrijska progresija” (algebra, 10. razred)

Svrha lekcije: upoznavanje učenika s novom vrstom niza – beskonačno padajućom geometrijskom progresijom.

Zadaci:

formulacija početne ideje o granici numeričkog niza; upoznavanje s drugim načinom pretvaranja beskonačnih periodičnih razlomaka u obične pomoću formule za zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije;

razvoj intelektualnih kvaliteta osobnosti školaraca, kao što su logično razmišljanje, sposobnost evaluacijskih radnji, generalizacija;

obrazovanje aktivnosti, uzajamne pomoći, kolektivizma, interesa za predmet.

Oprema: informatički razred, projektor, platno.

Vrsta lekcije: Lekcija - svladavanje nove teme.

Tijekom nastave

I. Org. trenutak. Poruka o temi i svrsi lekcije.

II. Obnavljanje znanja učenika.

U 9. razredu učili ste aritmetičku i geometrijsku progresiju.

Pitanja

1. Definicija aritmetičke progresije.

(Aritmetička progresija je niz u kojem svaki član,

Počevši od drugog, jednak je prethodnom članu, dodanom s istim brojem).

2. Formula br -ti član aritmetičke progresije

3. Formula za zbroj prvog n članovi aritmetičke progresije.

( ili )

4. Definicija geometrijske progresije.

(Geometrijska progresija je niz brojeva različitih od nule,

Od kojih je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu, pomnoženom s

isti broj).

5. Formula br član geometrijske progresije

6. Formula za zbroj prve n članovi geometrijske progresije.

7. Koje formule još znaš?

(, Gdje ; ;

; , )

Zadaci

1. Aritmetička progresija dana je formulom a n = 7 - 4n. Pronađite 10. (-33)

2. Aritmetička progresija a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite 4. (4)

3. Aritmetička progresija a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite 17. (-35)

4. Aritmetička progresija a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite S 17 . (-187)

5. Za geometrijsku progresijupronađite peti član.

6. Za geometrijsku progresiju pronađite n-ti član.

7. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2 . Nađi b 4 . (4)

8. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2 . Nađite b 1 i q .

9. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2 . Pronađite S 5 . (62)

III. Istraživanje nove teme(pokazni prikaz).

Promotrimo kvadrat sa stranicom jednakom 1. Nacrtajmo drugi kvadrat čija je stranica polovica prvog kvadrata, zatim još jedan čija je stranica polovica drugog kvadrata, zatim sljedeći i tako dalje. Svaki put je stranica novog kvadrata polovica prethodne.

Kao rezultat, dobili smo niz stranica kvadratatvoreći geometrijsku progresiju s nazivnikom.

I što je vrlo važno, što više budemo gradili takvih kvadrata, stranica će kvadrata biti manja. Na primjer ,

Oni. kako se broj n povećava, članovi progresije se približavaju nuli.

Uz pomoć ove figure može se razmotriti još jedan niz.

Na primjer, niz površina kvadrata:

I, opet, ako n raste neograničeno, tada se područje proizvoljno približava nuli.

Razmotrimo još jedan primjer. Jednakostranični trokut sa stranicom 1 cm. Izgradimo sljedeći trokut s vrhovima u središtima stranica 1. trokuta, prema teoremu o srednjoj liniji trokuta - stranica 2. jednaka je polovici stranice prvog, stranica 3. je polovici stranice trokuta. 2. itd. Opet dobivamo niz duljina stranica trokuta.

U .

Ako uzmemo u obzir geometrijsku progresiju s negativnim nazivnikom.

Zatim, opet, sa sve većim brojevima n uvjeti progresije približavaju se nuli.

Obratimo pozornost na nazivnike ovih nizova. Svugdje su nazivnici bili manji od 1 modula.

Možemo zaključiti: geometrijska progresija će biti beskonačno padajuća ako je modul njezina nazivnika manji od 1.

Prednji rad.

Definicija:

Kaže se da je geometrijska progresija beskonačno opadajuća ako je modul njezina nazivnika manji od jedan..

Uz pomoć definicije moguće je riješiti pitanje je li geometrijska progresija beskonačno padajuća ili ne.

Zadatak

Je li niz beskonačno padajuća geometrijska progresija ako je dan formulom:

Riješenje:

Nađimo q.

; ; ; .

ova geometrijska progresija je beskonačno opadajuća.

b) ovaj niz nije beskonačno padajuća geometrijska progresija.

Razmotrite kvadrat sa stranicom jednakom 1. Podijelite ga na pola, jednu od polovica ponovno na pola, i tako dalje. površine svih rezultirajućih pravokutnika čine beskonačno padajuću geometrijsku progresiju:

Zbroj površina svih tako dobivenih pravokutnika bit će jednak površini 1. kvadrata i jednak 1.

Ali na lijevoj strani ove jednakosti nalazi se zbroj beskonačnog broja članova.

Promotrimo zbroj prvih n članova.

Prema formuli za zbroj prvih n članova geometrijske progresije, on je jednak.

Ako je n raste unedogled, dakle

ili . Prema tome, t.j. .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresijepostoji ograničenje niza S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … .

Na primjer, za napredovanje,

imamo

Jer

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresijemože se pronaći pomoću formule.

III. Refleksija i konsolidacija(izvršenje zadataka).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Sažimajući.

Koji ste slijed danas upoznali?

Definirajte beskonačno padajuću geometrijsku progresiju.

Kako dokazati da je geometrijska progresija beskonačno opadajuća?

Navedite formulu za zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije.

V. Domaća zadaća.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Pregled:

Za korištenje pregleda prezentacija kreirajte Google račun (račun) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Svatko bi trebao znati dosljedno misliti, zaključivati i pobijati krive zaključke: fizičar i pjesnik, traktorist i kemičar. E.Kolman U matematici se ne treba sjetiti formula, nego procesa mišljenja. VP Ermakov Lakše je pronaći kvadrat kruga nego nadmudriti matematičara. Augustus de Morgan Koja znanost može biti plemenitija, vrijednija divljenja, korisnija čovječanstvu od matematike? Franklin

Beskonačno padajuća geometrijska progresija 10. razred

ja Aritmetička i geometrijska progresija. Pitanja 1. Definicija aritmetičke progresije. Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju. 2. Formula n-tog člana aritmetičke progresije. 3. Formula za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. 4. Definicija geometrijske progresije. Geometrijska progresija je niz brojeva različitih od nule, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s istim brojem 5. Formula n-tog člana geometrijske progresije. 6. Formula za zbroj prvih n članova geometrijske progresije.

II. Aritmetička progresija. Zadaci Aritmetička progresija dana je formulom a n = 7 – 4 n Nađi a 10 . (-33) 2. U aritmetičkoj progresiji a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite 4. (4) 3. U aritmetičkoj progresiji a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite 17. (-35) 4. U aritmetičkoj progresiji a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite S 17 . (-187)

II. Geometrijska progresija. Zadaci 5. Za geometrijsku progresiju pronaći peti član 6. Za geometrijsku progresiju pronaći n-ti član. 7. U geometrijskoj progresiji b 3 = 8 i b 5 = 2. Nađi b 4 . (4) 8. U geometrijskoj progresiji b 3 = 8 i b 5 = 2 . Nađite b 1 i q . 9. U geometrijskoj progresiji b 3 = 8 i b 5 = 2. Pronađite S 5 . (62)

definicija: Kaže se da je geometrijska progresija beskonačno opadajuća ako je modul njezina nazivnika manji od jedan.

Problem №1 Je li niz beskonačno padajuća geometrijska progresija ako je zadan formulom: Rješenje: a) ta geometrijska progresija je beskonačno padajuća. b) ovaj niz nije beskonačno padajuća geometrijska progresija.

Zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije je limit niza S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … . Na primjer, za progresiju imamo Budući da se zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije može pronaći formulom

Rješavanje zadataka Nađite zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije s prvim članom 3, drugim 0,3. 2. broj 13; broj 14; udžbenik, str 138 3. Broj 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. broj 19; broj 20.

Koji ste slijed danas upoznali? Definirajte beskonačno padajuću geometrijsku progresiju. Kako dokazati da je geometrijska progresija beskonačno opadajuća? Navedite formulu za zbroj beskonačno padajuće geometrijske progresije. Pitanja

Poznati poljski matematičar Hugo Steinghaus u šali tvrdi da postoji zakon koji je formuliran na sljedeći način: matematičar će to učiniti bolje. Naime, ako dvojici ljudi, od kojih je jedan matematičar, povjerite da obave bilo koji posao koji ne poznaju, tada će rezultat uvijek biti sljedeći: matematičar će to učiniti bolje. Hugo Steinghaus 14.01.1887.-25.02.1972

Uputa

10, 30, 90, 270...

Potrebno je pronaći nazivnik geometrijske progresije.
Riješenje:

1 opcija. Uzmimo proizvoljni član progresije (npr. 90) i podijelimo ga s prethodnim (30): 90/30=3.

Ako je poznat zbroj nekoliko članova geometrijske progresije ili zbroj svih članova padajuće geometrijske progresije, tada za pronalaženje nazivnika progresije koristite odgovarajuće formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), gdje je Sn zbroj prvih n članova geometrijske progresije i
S = b1/(1-q), gdje je S zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije (zbroj svih članova progresije s nazivnikom manjim od jedan).
Primjer.

Prvi član padajuće geometrijske progresije jednak je jedan, a zbroj svih njegovih članova jednak je dva.

Potrebno je odrediti nazivnik ove progresije.
Riješenje:

Zamijenite podatke iz zadatka u formulu. Dobiti:
2=1/(1-q), odakle – q=1/2.

Progresija je niz brojeva. U geometrijskoj progresiji svaki sljedeći član dobiva se množenjem prethodnog s određenim brojem q koji se naziva nazivnik progresije.

Uputa

Ako su poznata dva susjedna člana geometrije b(n+1) i b(n), da bi se dobio nazivnik, potrebno je broj s velikim brojem podijeliti s onim koji mu prethodi: q=b(n +1)/b(n). To proizlazi iz definicije progresije i njezina nazivnika. Važan uvjet je da prvi član i nazivnik progresije nisu jednaki nuli, inače se smatra neodređenom.

Tako se između članova progresije uspostavljaju sljedeće relacije: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Po formuli b(n)=b1 q^(n-1) može se izračunati bilo koji član geometrijske progresije u kojem su poznati nazivnik q i član b1. Također, svaka od progresija po modulu jednaka je prosjeku svojih susjednih članova: |b(n)|=√, stoga je progresija dobila svoj .

Analog geometrijske progresije je najjednostavniji eksponencijalna funkcija y=a^x, gdje je x u eksponentu, a je neki broj. U ovom slučaju, nazivnik progresije podudara se s prvim članom i jednak je broju a. Vrijednost funkcije y može se shvatiti kao n-ti pojam progresije, ako se argument x uzme kao prirodni broj n (brojač).

Postoji za zbroj prvih n članova geometrijske progresije: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ova formula vrijedi za q≠1. Ako je q=1, tada se zbroj prvih n članova izračunava formulom S(n)=n b1. Usput, progresiju ćemo zvati rastućom za q veće od jedan i pozitivno b1. Kada nazivnik progresije, modulo ne prelazi jedan, progresiju ćemo zvati opadajućom.

poseban slučaj geometrijska progresija - beskonačno padajuća geometrijska progresija (b.u.g.p.). Činjenica je da će se članovi padajuće geometrijske progresije uvijek iznova smanjivati, ali nikada neće doći do nule. Unatoč tome, moguće je pronaći zbroj svih članova takve progresije. Određuje se formulom S=b1/(1-q). Ukupno n članova je beskonačno.

Da biste vizualizirali kako možete zbrojiti beskonačan broj brojeva, a ne dobiti beskonačnost, ispecite kolač. Odrežite pola. Zatim odrežite 1/2 polovice, i tako dalje. Dijelovi koje ćete dobiti nisu ništa drugo nego članovi beskonačno padajuće geometrijske progresije s nazivnikom 1/2. Ako spojite sve ove komadiće, dobit ćete originalnu tortu.

Geometrijski problemi su posebna sorta vježbe koje zahtijevaju prostorno razmišljanje. Ako ne možete riješiti geometrijski zadatak pokušajte slijediti dolje navedena pravila.

Uputa

Vrlo pažljivo pročitajte uvjet zadatka, ako se nečega ne sjećate ili ne razumijete, ponovno ga pročitajte.

Pokušajte utvrditi o kakvim se geometrijskim problemima radi, npr.: računski, kada treba saznati neku vrijednost, zadaci koji zahtijevaju logičko zaključivanje, zadaci za građenje pomoću šestara i ravnala. Više zadataka mješoviti tip. Nakon što shvatite vrstu problema, pokušajte razmišljati logično.

Primijenite potreban teorem za ovaj problem, ako postoje nedoumice ili uopće nema opcija, pokušajte se sjetiti teorije koju ste proučavali o relevantnoj temi.

Napravite i nacrt problema. Pokušajte se prijaviti poznate načine provjeravajući točnost vašeg rješenja.

Dovršite rješenje problema uredno u bilježnici, bez mrlja i precrtanih znakova, i što je najvažnije - Možda će trebati vremena i truda da se riješe prvi geometrijski problemi. Međutim, nakon što se uhodate u ovom procesu, počet ćete klikati zadatke poput oraha i zabavljati se radeći to!

Geometrijska progresija je niz brojeva b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) takav da je b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Drugim riječima, svaki član progresije dobiva se iz prethodnog množenjem s nekim nazivnikom progresije q koji nije nula.

Uputa

Zadaci o progresiji najčešće se rješavaju sastavljanjem i praćenjem sustava s obzirom na prvi član progresije b1 i nazivnik progresije q. Za pisanje jednadžbi korisno je zapamtiti neke formule.

Kako izraziti n-ti član progresije kroz prvi član progresije i nazivnik progresije: b(n)=b1*q^(n-1).

Razmotrimo posebno slučaj |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Geometrijska progresija je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki sljedeći član jednak je prethodnom članu pomnoženom s istim brojem koji nije nula.

Pojam geometrijske progresije

Geometrijska progresija je označena sa b1,b2,b3, …, bn, … .

Omjer bilo kojeg člana geometrijske pogreške prema njegovom prethodnom članu jednak je istom broju, to jest, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. To izravno proizlazi iz definicije aritmetičke progresije. Taj se broj naziva nazivnik geometrijske progresije. Obično se nazivnik geometrijske progresije označava slovom q.

Zbroj beskonačne geometrijske progresije za |q|<1

Jedan od načina postavljanja geometrijske progresije je postavljanje njenog prvog člana b1 i nazivnika geometrijske pogreške q. Na primjer, b1=4, q=-2. Ova dva uvjeta daju geometrijsku progresiju od 4, -8, 16, -32, ….

Ako je q>0 (q nije jednako 1), tada je progresija monoton niz. Na primjer, niz, 2, 4,8,16,32, ... je monotono rastući niz (b1=2, q=2).

Ako je u geometrijskoj grešci nazivnik q=1, tada će svi članovi geometrijske progresije biti međusobno jednaki. U takvim slučajevima kaže se da je napredovanje stalan niz.

Da bi brojčani niz (bn) bio geometrijska progresija, potrebno je da svaki njegov član, počevši od drugog, bude geometrijska sredina susjednih članova. Odnosno, potrebno je ispuniti sljedeću jednadžbu
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), za bilo koji n>0, gdje n pripada skupu prirodnih brojeva N.

Sada stavimo (Xn) - geometrijsku progresiju. Nazivnik geometrijske progresije q, uz |q|∞).
Ako sada sa S označimo zbroj beskonačne geometrijske progresije, tada će vrijediti sljedeća formula:
S=x1/(1-q).

Razmotrimo jednostavan primjer:

Nađite zbroj beskonačne geometrijske progresije 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Da bismo pronašli S, koristimo se formulom za zbroj beskonačne aritmetičke progresije. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Ako svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da dano niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti član sekvence , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n I a n +1 nizovi članova a n +1 nazvao naknadni (prema a n ), A a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste odredili slijed, morate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se niz daje uz n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 I -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

Ako a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada je prvih sedam članova numeričkog niza postavljeno na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni I beskrajan .

Niz se zove ultimativno ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove opadajući , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je uzlazni niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je silazni niz. ◄

Niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju, naziva se monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

Gdje d - neki broj.

Stoga je razlika između sljedećeg i prethodnog člana dane aritmetičke progresije uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

Ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

a n=	a n-1 + a n+1
	2

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećeg člana.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stoga,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Imajte na umu da n -ti član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

Za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

a n=	a n-k +a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja članova te aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova s brojem članova:

Iz ovoga osobito proizlazi da ako je potrebno zbrajati pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dano aritmetička progresija, zatim količine a 1 , a n, d, n IS n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

Ako d > 0 , tada se povećava;
Ako d < 0 , tada se smanjuje;
Ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

geometrijska progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

Gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana ove geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je odrediti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

Ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n -ti član se može pronaći formulom:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećeg člana.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća tvrdnja:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Stoga,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje traženu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n th član geometrijske progresije može se naći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · q n - k.

Na primjer,

Za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova te progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se formulom:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= n.b. 1

Imajte na umu da ako trebamo zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dana geometrijska progresija, onda količine b 1 , b n, q, n I S n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi se sljedeće svojstva monotonosti :

progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I q> 1;

b 1 < 0 I 0 < q< 1;

Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I 0 < q< 1;

b 1 < 0 I q> 1.

Ako q< 0 , tada je geometrijska progresija predznakoizmjenična: njezini neparni članovi imaju isti predznak kao prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji od 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je predznakoizmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem je zbroj prvog n uvjetima progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom