Formula za razliku aritmetičke progresije. Zbroj prvih n-članova aritmetičke progresije
Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (članovi progresije)
U kojem se svaki sljedeći termin razlikuje od prethodnog čeličnim pojmom, koji se također zove razlika u koraku ili progresiji.
Dakle, postavljanjem koraka progresije i njenog prvog člana, možete pronaći bilo koji od njenih elemenata pomoću formule
Svojstva aritmetičke progresije
1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije.
Vrijedi i obrnuto. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka članu koji stoji između njih, tada je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Ovom tvrdnjom vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.
Također pomoću svojstva aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeće
To je lako provjeriti ako izraze napišemo desno od znaka jednakosti
Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.
2) Zbroj prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se formulom
Zapamtite dobro formulu za zbroj aritmetičke progresije, ona je neizostavna u izračunima i prilično je česta u jednostavnim životnim situacijama.
3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbroj, već dio niza počevši od njegovog k -tog člana, tada će vam dobro doći sljedeća formula za zbroj
4) Od praktičnog je interesa pronaći zbroj n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, upotrijebite formulu
Na ovo teorijsko gradivo završava i prelazimo na rješavanje uobičajenih praktičnih problema.
Primjer 1. Nađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...
Riješenje:
Prema stanju, imamo
Definirajte korak napredovanja
Prema poznatoj formuli nalazimo četrdeseti član progresije
Primjer2. Aritmetička progresija daje njegov treći i sedmi član. Nađi prvi član progresije i zbroj desetica.
Riješenje:
Zadane elemente progresije zapisujemo prema formulama
Oduzimamo prvu jednadžbu od druge jednadžbe, kao rezultat nalazimo korak progresije
Pronađena vrijednost zamjenjuje se u bilo koju od jednadžbi kako bi se pronašao prvi član aritmetičke progresije
Izračunajte zbroj prvih deset članova progresije
Bez primjene složenih izračuna pronašli smo sve tražene vrijednosti.
Primjer 3. Aritmetička progresija dana je nazivnikom i jednim od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbroj njegovih 50 članova počevši od 50 i zbroj prvih 100.
Riješenje:
Napišimo formulu za stoti element progresije
i pronaći prvi
Na temelju prvog nalazimo 50. član progresije
Pronalaženje zbroja dijela progresije
i zbroj prvih 100
Zbroj progresije je 250.
Primjer 4
Odredite broj članova aritmetičke progresije ako:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Riješenje:
Jednadžbe napišemo u terminima prvog člana i koraka progresije te ih definiramo
Dobivene vrijednosti zamjenjujemo u formulu zbroja kako bismo odredili broj članova u zbroju
Izrada pojednostavljenja
i riješiti kvadratnu jednadžbu
Od dvije pronađene vrijednosti, samo je broj 8 prikladan za stanje problema. Stoga je zbroj prvih osam članova progresije 111.
Primjer 5
riješiti jednadžbu
1+3+5+...+x=307.
Rješenje: Ova jednadžba je zbroj aritmetičke progresije. Ispisujemo njegov prvi član i nalazimo razliku progresije
Zbroj aritmetičke progresije.
Zbroj aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od elementarnog do sasvim solidnog.
Prvo, pozabavimo se značenjem i formulom zbroja. A onda ćemo odlučiti. Za vlastito zadovoljstvo.) Značenje zbroja jednostavno je poput mukanja. Da biste pronašli zbroj aritmetičke progresije, samo trebate pažljivo zbrojiti sve njezine članove. Ako je ovih izraza malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno ... dodavanje je neugodno.) U ovom slučaju, formula štedi.
Formula zbroja je jednostavna:
Hajde da shvatimo koja su slova uključena u formulu. Ovo će mnogo toga razjasniti.
S n je zbroj aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svičlanova, sa prvi Po posljednji. To je važno. Zbrojite točno svičlanova u nizu, bez razmaka i skokova. I, upravo, počevši od prvi. U problemima poput pronalaženja zbroja trećeg i osmog člana ili zbroja članova od petog do dvadesetog, izravna primjena formule bit će razočaravajuća.)
a 1 - prvičlan progresije. Ovdje je sve jasno, jednostavno je prvi broj reda.
a n- posljednjičlan progresije. posljednji broj red. Naziv nije baš poznat, ali kad se primijeni na količinu, vrlo je prikladan. Onda ćete se sami uvjeriti.
n je broj posljednjeg člana. Važno je razumjeti da u formuli ovaj broj poklapa se s brojem dodanih članova.
Definirajmo pojam posljednjičlan a n. Ispunjavanje pitanja: kakav će član posljednji, ako je dano beskrajan aritmetička progresija?
Za siguran odgovor potrebno je razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i ... pažljivo pročitati zadatak!)
U zadatku pronalaženja zbroja aritmetičke progresije uvijek se (izravno ili neizravno) pojavljuje zadnji član, koje treba ograničiti. Inače, konačan, određeni iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje nije važno kakva je progresija dana: konačna ili beskonačna. Nije bitno kako je zadan: nizom brojeva, ili formulom n-tog člana.
Najvažnije je razumjeti da formula radi od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puni naziv formule izgleda ovako: zbroj prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, t.j. n, određuje se isključivo zadatkom. U zadatku su sve te vrijedne informacije često šifrirane, da ... Ali ništa, u primjerima ispod otkrit ćemo te tajne.)
Primjeri zadataka za zbroj aritmetičke progresije.
Kao prvo, korisne informacije:
Glavna poteškoća u zadacima za zbroj aritmetičke progresije je ispravno određivanje elemenata formule.
Autori zadataka šifriraju upravo te elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je samo dešifrirati. Pogledajmo potanko nekoliko primjera. Počnimo sa zadatkom temeljenim na stvarnom GIA.
1. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a n = 2n-3,5. Pronađite zbroj prvih 10 članova.
Dobar posao. Jednostavno.) Što trebamo znati da bismo odredili količinu prema formuli? Prvi član a 1, posljednji mandat a n, da broj zadnjeg roka n.
Gdje dobiti zadnji članski broj n? Da, na istom mjestu, u stanju! Piše nađi zbroj prvih 10 članova. Pa koji će to broj biti posljednji, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n zamijenit ćemo u formulu a 10, ali umjesto n- deset. Opet, broj posljednjeg člana jednak je broju članova.
Ostaje da se utvrdi a 1 I a 10. To se lako izračunava pomoću formule n-tog člana, koja je dana u tekstu problema. Ne znate kako to učiniti? Posjetite prethodnu lekciju, bez ove - ništa.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbroj aritmetičke progresije. Ostaje ih zamijeniti i prebrojati:
To je sve. Odgovor: 75.
Još jedan zadatak temeljen na GIA. Malo kompliciranije:
2. Zadana je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 \u003d 2.3. Pronađite zbroj prvih 15 članova.
Odmah napišemo formulu zbroja:
Ova formula nam omogućuje da pronađemo vrijednost bilo kojeg člana prema njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Ostaje zamijeniti sve elemente u formuli za zbroj aritmetičke progresije i izračunati odgovor:
Odgovor: 423.
Usput, ako je u formuli zbroja umjesto a n samo zamijenimo formulu n-tog člana, dobivamo:
Dajemo slične, dobivamo novu formulu za zbroj članova aritmetičke progresije:
 |
Kao što vidite, nema potrebe n-ti pojam a n. U nekim zadacima ova formula jako pomaže, da... Možete se sjetiti ove formule. I jednostavno ga možete povući u pravom trenutku, kao ovdje. Uostalom, formula za zbroj i formula za n-ti član moraju se zapamtiti na svaki način.)
Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):
3. Odredi zbroj svih pozitivnih dvoznamenkastih brojeva koji su višekratnici tri.
Kako! Nema prvog člana, nema zadnjeg, nema progresije uopće... Kako živjeti!?
Morat ćete razmisliti svojom glavom i iz uvjeta izvući sve elemente zbroja aritmetičke progresije. Što su dvoznamenkasti brojevi - znamo. Sastoje se od dva broja.) Koji će dvoznamenkasti broj prvi? 10, vjerojatno.) zadnja stvar dvoznamenkasti broj? 99, naravno! Troznamenkaste će ga slijediti...
Višekratnici od tri... Hm... Ovo su brojevi koji su ravnomjerno djeljivi s tri, evo! Deset nije djeljivo s tri, 11 nije djeljivo... 12... je djeljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete napisati niz prema uvjetu problema:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Hoće li ovaj niz biti aritmetička progresija? Sigurno! Svaki se termin razlikuje od prethodnog striktno za tri. Ako se izrazu doda 2, ili 4, recimo rezultat, tj. novi broj se više neće dijeliti s 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije do gomile: d = 3. Koristan!)
Dakle, možemo sa sigurnošću zapisati neke parametre progresije:
Koji će biti broj n zadnji član? Tko misli da je 99, kobno se vara... Brojevi – uvijek idu u nizu, a naši članovi preskaču prva tri. Ne poklapaju se.
Ovdje postoje dva rješenja. Jedan način je za super marljive. Možete slikati progresiju, cijeli niz brojeva i brojati članove prstom.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Ako se formula primijeni na naš problem, dobivamo da je 99 trideseti član progresije. Oni. n = 30.
Gledamo formulu za zbroj aritmetičke progresije:
Gledamo i radujemo se.) Iz uvjeta zadatka izvukli smo sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Ono što ostaje je elementarna aritmetika. Zamijenite brojeve u formuli i izračunajte:
Odgovor: 1665
Još jedna vrsta popularnih zagonetki:
4. Dana je aritmetička progresija:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Nađite zbroj članova od dvadesetog do trideset četvrtog.
Gledamo formulu zbroja i ... uzrujani smo.) Formula, da vas podsjetim, izračunava zbroj iz prvečlan. A u zadatku treba izračunati zbroj od dvadesetog... Formula neće raditi.
Možete, naravno, slikati cijelu progresiju u nizu i staviti članove od 20 do 34. Ali ... nekako ispada glupo i dugo, zar ne?)
Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju na dva dijela. Prvi dio će od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbroj članova prvog dijela S 1-19, dodajmo ga zbroju članova drugog dijela S 20-34, dobivamo zbroj progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Kao ovo:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Ovo pokazuje da pronaći zbroj S 20-34 može se izvršiti jednostavnim oduzimanjem
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Razmatraju se oba zbroja na desnoj strani iz prvečlan, tj. standardna formula zbroja sasvim je primjenjiva na njih. Počinjemo li?
Ekstrahiramo parametre napredovanja iz uvjeta zadatka:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Da bismo izračunali zbrojeve prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Brojimo ih prema formuli n-tog člana, kao u zadatku 2:
a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Nema više ničega. Od zbroja 34 člana oduzmite zbroj 19 članova:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Odgovor: 262,5
Jedna važna napomena! Postoji vrlo korisna značajka u rješavanju ovog problema. Umjesto izravnog obračuna što ti treba (S 20-34), brojali smo ono što, čini se, nije potrebno - S 1-19. I onda su odredili S 20-34, odbacujući nepotrebno iz punog rezultata. Takva "finta s ušima" često spašava u zlim zagonetkama.)
U ovoj lekciji ispitivali smo probleme za koje je dovoljno razumjeti značenje zbroja aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)
Prilikom rješavanja bilo kojeg problema za zbroj aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.
Formula n-tog člana:
Ove formule će vam odmah reći što trebate tražiti, u kojem smjeru razmišljati kako biste riješili problem. Pomaže.
A sada zadaci za samostalno rješavanje.
5. Odredi zbroj svih dvoznamenkastih brojeva koji nisu djeljivi s tri.
Cool?) Savjet je skriven u bilješci za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.
6. Aritmetička progresija dana je uvjetom: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Nađi zbroj prva 24 člana.
Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takve se zagonetke često nalaze u GIA.
7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučio sam najdražoj osobi (sebi) pokloniti nekoliko dana sreće). Živite lijepo ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više nego prethodnog! Dok ne ponestane novca. Koliko je dana sreće imao Vasya?
Je li teško?) Pomoći će dodatna formula iz 2. zadatka.
Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Prilikom proučavanja algebre u općeobrazovna škola(9. razred) jedan od važne teme je proučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom ćemo članku razmotriti aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.
Što je aritmetička progresija?
Da bismo to razumjeli, potrebno je dati definiciju progresije koja se razmatra, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.
Aritmetika ili je takav skup uređenih racionalnih brojeva, čiji se svaki član razlikuje od prethodnog za neku konstantnu vrijednost. Ova se vrijednost naziva razlika. To jest, znajući bilo koji član uređenog niza brojeva i razliku, možete vratiti cijelu aritmetičku progresiju.
Uzmimo primjer. Sljedeći niz brojeva bit će aritmetička progresija: 4, 8, 12, 16, ..., budući da je razlika u ovom slučaju 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ali skup brojeva 3, 5, 8, 12, 17 više se ne može pripisati razmatranoj vrsti progresije, budući da razlika za njega nije konstantna vrijednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Važne formule
Sada dajemo osnovne formule koje će biti potrebne za rješavanje problema pomoću aritmetičke progresije. Neka n označava n-ti član niza, gdje je n cijeli broj. Označimo razliku latinično pismo d. Tada su sljedeći izrazi istiniti:
- Za određivanje vrijednosti n-tog člana prikladna je formula: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Za određivanje zbroja prvih n članova: S n = (a n + a 1)*n/2.
Da biste razumjeli sve primjere aritmetičke progresije s rješenjem u 9. razredu, dovoljno je zapamtiti ove dvije formule, budući da su svi problemi ove vrste izgrađeni na njihovoj upotrebi. Također, ne zaboravite da je razlika progresije određena formulom: d = a n - a n-1 .
Primjer #1: Pronalaženje nepoznatog člana
Dajemo jednostavan primjer aritmetičke progresije i formule koje se moraju koristiti za rješavanje.
Neka je dan niz 10, 8, 6, 4, ... potrebno je u njemu pronaći pet članova.
Već iz uvjeta zadatka proizlazi da su prva 4 člana poznata. Peti se može definirati na dva načina:
- Prvo izračunajmo razliku. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Slično, mogu se uzeti bilo koja druga dva pojma koji stoje jedan pored drugog. Na primjer, d = 4 - 6 = -2. Pošto je poznato da je d \u003d a n - a n-1, onda je d \u003d a 5 - a 4, odakle dobivamo: a 5 \u003d a 4 + d. Zamjenjujemo poznate vrijednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Druga metoda također zahtijeva poznavanje razlike dotične progresije, tako da je prvo morate odrediti, kao što je prikazano gore (d = -2). Znajući da je prvi član a 1 = 10, koristimo formulu za n broj niza. Imamo: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Zamjenom n = 5 u zadnji izraz, dobivamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Kao što vidite, oba rješenja vode do istog rezultata. Imajte na umu da je u ovom primjeru razlika d progresije negativna. Takvi se nizovi nazivaju padajućim jer je svaki naredni član manji od prethodnog.
Primjer #2: razlika u progresiji
Sada malo zakomplicirajmo zadatak, dajmo primjer kako pronaći razliku aritmetičke progresije.
Poznato je da je u nekoj algebarskoj progresiji 1. član jednak 6, a 7. član jednak 18. Potrebno je pronaći razliku i taj niz vratiti na 7. član.
Upotrijebimo formulu za određivanje nepoznatog člana: a n = (n - 1) * d + a 1 . U njega zamijenimo poznate podatke iz uvjeta, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza lako možete izračunati razliku: d = (18 - 6) / 6 = 2. Time je prvi dio zadatka riješen.
Da biste vratili niz na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d itd. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 i 7 = 18.
Primjer #3: napredovanje
Zakomplicirajmo stanje problema još više. Sada morate odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Možemo navesti sljedeći primjer: dana su dva broja, npr. 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da između njih stanu još tri člana.
Prije nego što počnete rješavati ovaj problem, potrebno je razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzeti u budućoj progresiji. Budući da će između njih biti još tri člana, zatim 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Nakon što smo to utvrdili, prelazimo na zadatak koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti izraz koristimo formulu, dobivamo: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Ovdje razlika nije cjelobrojna vrijednost, već je to racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.
Dodajmo sada pronađenu razliku 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobivamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, koji se poklapao s uvjetom problema.
Primjer #4: Prvi član progresije
Nastavljamo davati primjere aritmetičke progresije s rješenjem. U svim prethodnim zadacima bio je poznat prvi broj algebarske progresije. Sada razmotrite problem drugačijeg tipa: neka su dana dva broja, gdje je 15 = 50 i 43 = 37. Potrebno je pronaći od kojeg broja počinje ovaj niz.
Formule koje su do sada korištene pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. Ništa se ne zna o ovim brojevima u uvjetu zadatka. Ipak, ispišimo izraze za svaki pojam o kojem imamo informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednadžbe u kojima su 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sustava linearnih jednadžbi.
Navedeni sustav je najlakše riješiti ako u svakoj jednadžbi izrazite 1, a zatim usporedite dobivene izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavajući ove izraze, dobivamo: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odakle razlika d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (dana su samo 3 decimalna mjesta).
Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Ako postoje dvojbe oko rezultata, možete ga provjeriti, npr. odrediti 43. član progresije koji je naveden u uvjetu. Dobivamo: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Mala pogreška je zbog činjenice da je u izračunima korišteno zaokruživanje na tisućinke.
Primjer #5: Zbroj
Sada pogledajmo neke primjere s rješenjima za zbroj aritmetičke progresije.
Neka je zadana numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbroj 100 ovih brojeva?
Zahvaljujući razvoju računalne tehnologije ovaj se problem može riješiti, odnosno redom zbrajati sve brojeve, što će računalo učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pozornost da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Primjenom formule za zbroj dobivamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Zanimljivo je napomenuti da se ovaj problem naziva "Gaussov", budući da ga je početkom 18. stoljeća slavni Nijemac, još u dobi od samo 10 godina, uspio riješiti u svom umu u nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbroj algebarske progresije, ali je primijetio da ako zbrojite parove brojeva koji se nalaze na rubovima niza, uvijek ćete dobiti isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., a budući da će ti zbrojevi biti točno 50 (100 / 2), onda je za točan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.
Primjer #6: zbroj članova od n do m
Još jedan tipičan primjer zbroja aritmetičke progresije je sljedeći: zadan je niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., trebate pronaći koliki će biti zbroj njegovih članova od 8 do 14.
Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo uzastopno zbrajanje. Budući da ima malo pojmova, ova metoda nije dovoljno naporna. Ipak, predlaže se riješiti ovaj problem drugom metodom, koja je univerzalnija.
Ideja je dobiti formulu za zbroj algebarske progresije između članova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbroj:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Budući da je n > m, očito je da zbroj 2 uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između tih zbrojeva, i dodamo joj član a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzima od zbroja S n), tada dobivamo potreban odgovor na zadatak. Imamo: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobivamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Dobivena formula je donekle glomazna, međutim zbroj S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobivamo: S mn = 301.
Kao što je vidljivo iz gornjih rješenja, svi zadaci temelje se na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbroj skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporuča se pažljivo pročitati uvjet, jasno razumjeti što želite pronaći i tek onda nastaviti s rješavanjem.
Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih izračuna, onda trebate učiniti upravo to, jer je u tom slučaju vjerojatnost pogreške manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i podijeliti zajednički zadatak u zasebne podzadatke (in ovaj slučaj prvo pronađite pojmove a n i a m).
Ako postoje sumnje u dobiveni rezultat, preporuča se provjeriti ga, kao što je učinjeno u nekim od navedenih primjera. Kako pronaći aritmetičku progresiju, saznali smo. Nakon što to shvatite, nije tako teško.
IV Jakovljev | Materijali iz matematike | MathUs.ru
Aritmetička progresija
Aritmetička progresija je posebna vrsta niza. Stoga, prije definiranja aritmetičke (a potom i geometrijske) progresije, moramo se ukratko raspraviti važan koncept niz brojeva.
Naknadna slijed
Zamislite uređaj na čijem se ekranu jedan za drugim prikazuju neki brojevi. Recimo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Takav skup brojeva samo je primjer niza.
Definicija. Numerički niz je skup brojeva u kojem se svakom broju može dodijeliti jedinstveni broj (odnosno dovesti u korespondenciju s jednim prirodnim brojem)1. Broj s brojem n naziva se n-ti član sekvence.
Dakle, u gornjem primjeru, prvi broj ima broj 2, koji je prvi član niza, koji se može označiti s a1 ; broj pet ima broj 6 koji je peti član niza, koji se može označiti a5 . Općenito, n-ti član niza označava se s an (ili bn , cn itd.).
Vrlo zgodna situacija je kada se n-ti član niza može odrediti nekom formulom. Na primjer, formula an = 2n 3 specificira niz: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n definira niz: 1; 1; 1; 1; : : :
Nije svaki skup brojeva niz. Dakle, segment nije niz; sadrži ¾previše¿ brojeva za ponovno numeriranje. Skup R svih realnih brojeva također nije niz. Ove činjenice se dokazuju tijekom matematičke analize.
Aritmetička progresija: osnovne definicije
Sada smo spremni definirati aritmetičku progresiju.
Definicija. Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član (počevši od drugog) jednak zbroju prethodnog člana i nekog fiksnog broja (koji se naziva razlika aritmetičke progresije).
Na primjer, niz 2; 5; 8; jedanaest; : : : je aritmetička progresija s prvim članom 2 i razlikom 3. Niz 7; 2; 3; 8; : : : je aritmetička progresija s prvim članom 7 i razlikom 5. Niz 3; 3; 3; : : : je aritmetička progresija s nula razlike.
Ekvivalentna definicija: Niz an naziva se aritmetička progresija ako je razlika an+1 an konstantna vrijednost (ne ovisi o n).
Kaže se da je aritmetička progresija rastuća ako je razlika pozitivna, a opadajuća ako je razlika negativna.
1 Evo još sažetije definicije: niz je funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva. Na primjer, niz realnih brojeva je funkcija f: N! R.
Prema zadanim postavkama, nizovi se smatraju beskonačnima, odnosno sadrže beskonačan broj brojeva. Ali nitko se ne zamara razmatranjem i konačnih nizova; zapravo, svaki konačni skup brojeva može se nazvati konačnim nizom. Na primjer, konačna sekvenca 1; 2; 3; 4; 5 se sastoji od pet brojeva.
Formula n-tog člana aritmetičke progresije
Lako je razumjeti da je aritmetička progresija u potpunosti određena dvama brojevima: prvim članom i razlikom. Stoga se postavlja pitanje: kako, znajući prvi član i razliku, pronaći proizvoljan član aritmetičke progresije?
Nije teško dobiti željenu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Neka
aritmetička progresija s razlikom d. Imamo: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Posebno pišemo: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
i sada postaje jasno da je formula za an: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Zadatak 1. U aritmetičkoj progresiji 2; 5; 8; jedanaest; : : : pronađite formulu n-tog člana i izračunajte stoti član.
Riješenje. Prema formuli (1) imamo:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Svojstvo i predznak aritmetičke progresije
svojstvo aritmetičke progresije. U aritmetičkoj progresiji za bilo koji
Drugim riječima, svaki član aritmetičke progresije (počevši od drugog) je aritmetička sredina susjednih članova.
Dokaz. Imamo: | ||||
a n 1+ a n+1 | (d) + (an + d) | |||
što je i bilo potrebno.
Općenitije, aritmetička progresija an zadovoljava jednakost
a n = a n k+ a n+k
za svaki n > 2 i svaki prirodni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Pokazuje se da formula (2) nije samo nužan nego i dovoljan uvjet da niz bude aritmetička progresija.
Predznak aritmetičke progresije. Ako jednakost (2) vrijedi za sve n > 2, tada je niz an aritmetička progresija.
Dokaz. Prepišimo formulu (2) na sljedeći način:
a na n 1= a n+1a n:
To pokazuje da razlika an+1 an ne ovisi o n, a to samo znači da je niz an aritmetička progresija.
Svojstvo i predznak aritmetičke progresije mogu se formulirati kao jedna izjava; zbog praktičnosti, učinit ćemo to za tri broja (to je situacija koja se često događa u problemima).
Karakterizacija aritmetičke progresije. Tri broja a, b, c tvore aritmetičku progresiju ako i samo ako je 2b = a + c.
Zadatak 2. (Moskovsko državno sveučilište, Ekonomski fakultet, 2007.) Tri broja 8x, 3 x2 i 4 navedenim redom tvore padajuću aritmetičku progresiju. Nađi x i napiši razliku te progresije.
Riješenje. Po svojstvu aritmetičke progresije imamo:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Ako je x = 1, tada se dobiva opadajuća progresija od 8, 2, 4 s razlikom od 6. Ako je x = 5, tada se dobiva rastuća progresija od 40, 22, 4; ovaj slučaj ne radi.
Odgovor: x = 1, razlika je 6.
Zbroj prvih n članova aritmetičke progresije
Legenda kaže da je jednom učitelj rekao djeci da nađu zbroj brojeva od 1 do 100 i sjeo da tiho čita novine. Međutim, za nekoliko minuta jedan dječak je rekao da je riješio problem. Bio je to 9-godišnji Carl Friedrich Gauss, kasnije jedan od najvećih matematičara u povijesti.
Ideja malog Gaussa je bila ova. Neka
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Zapišimo ovaj zbroj obrnutim redom:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
i dodajte ove dvije formule:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Svaki član u zagradama jednak je 101, a takvih članova ima ukupno 100. Dakle
2S = 101 100 = 10100;
Ovu ideju koristimo za izvođenje formule zbroja
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Korisna modifikacija formule (3) dobiva se zamjenom formule za n-ti član an = a1 + (n 1)d u nju:
2a1 + (n 1)d | |||||
Zadatak 3. Odredi zbroj svih pozitivnih troznamenkastih brojeva djeljivih s 13.
Riješenje. Troznamenkasti brojevi koji su višekratnici broja 13 tvore aritmetičku progresiju s prvim članom 104 i razlikom 13; n-ti član ove progresije je:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Saznajmo koliko članova sadrži naša progresija. Da bismo to učinili, rješavamo nejednadžbu:
an 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Dakle, u našem nizu ima 69 članova. Prema formuli (4) nalazimo traženi iznos:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
