Dom › Sustav goriva › Napravite aritmetičku progresiju razlike. Aritmetička progresija – niz brojeva

Napravite aritmetičku progresiju razlike. Aritmetička progresija – niz brojeva

Online kalkulator.
Rješenje aritmetičke progresije.
Zadano: a n , d, n
Pronađite: a 1

Ovaj matematički program pronalazi $a_1$ aritmetičke progresije na temelju korisnički navedenih brojeva $a_n, d $ i $n $.
Brojevi $a_n$ i $d $ mogu se specificirati ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci. Štoviše, razlomački broj može se unijeti u obliku decimalnog razlomka (\ (2,5 \)) iu obliku obični razlomak($-5\frac(2)(7) $).

Program ne samo da daje odgovor na problem, već također prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj online kalkulator može biti koristan srednjoškolcima općeobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite to obaviti što je prije moguće? domaća zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjem.

Dakle, možete izvršiti svoje vlastiti trening i/ili osposobljavanje njihove mlađe braće ili sestara, dok se povećava razina obrazovanja u području zadataka koje treba rješavati.

Ukoliko niste upoznati s pravilima unosa brojeva, preporučamo da se s njima upoznate.

Pravila za unos brojeva

Brojevi $a_n$ i $d $ mogu se specificirati ne samo kao cijeli brojevi, već i kao razlomci.
Broj $n$ može biti samo pozitivan cijeli broj.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
Cijeli i razlomački dio u decimalnim razlomcima mogu biti odvojeni točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale poput 2,5 ili 2,5

Pravila za upisivanje običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Nazivnik ne može biti negativan.

Pri unosu brojčanog razlomka brojnik se od nazivnika odvaja znakom dijeljenja: /
Ulazni:
Rezultat: $-\frac(2)(3) $

Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom &: &
Ulazni:
Rezultat: $-1\frac(2)(3) $

Upiši brojeve a n , d, n Pronađite 1

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U pregledniku vam je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, tada možete pisati o tome u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Numerički niz

Numeriranje se često koristi u svakodnevnoj praksi. razne predmete da naznači njihov redoslijed. Na primjer, kuće u svakoj ulici su numerirane. U knjižnici se čitateljske pretplate numeriraju, a zatim slažu po redoslijedu dodijeljenih brojeva u posebne ormare.

U štedionici po broju osobnog računa deponenta lako možete pronaći taj račun i vidjeti kakav depozit ima. Neka bude depozit od a1 rubalja na računu br. 1, depozit od a2 rubalja na računu br. 2, itd. Ispada brojčani niz
a 1, a 2, a 3, ..., a N
gdje je N broj svih računa. Ovdje je svakom prirodnom broju n od 1 do N pridružen broj a n .

Matematika također proučava beskonačni brojčani nizovi:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
Poziva se broj a 1 prvi član niza, broj a 2 - drugi član niza, broj a 3 - treći član niza itd.
Broj a n naziva se n-ti (n-ti) član niza, a prirodni broj n je njegov broj.

Na primjer, u nizu kvadrata prirodnih brojeva 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... i 1 = 1 je prvi član niza; i n = n 2 je n-ti član sekvence; a n+1 = (n + 1) 2 je (n + 1)-ti (en plus prvi) član niza. Često se niz može odrediti formulom njegovog n-tog člana. Na primjer, formula $a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) $ daje niz $1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots $

Aritmetička progresija

Dužina godine je otprilike 365 dana. Više točna vrijednost jednako je $365\frac(1)(4) $ dana, tako da se svake četiri godine akumulira pogreška od jednog dana.

Kako bi se objasnila ova pogreška, svakoj četvrtoj godini dodaje se dan, a produljena godina naziva se prijestupnom.

Primjerice, u trećem tisućljeću prijestupne godine su 2004., 2008., 2012., 2016., ... .

U tom nizu je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, zbrojenom s istim brojem 4. Takve nizove nazivamo aritmetičke progresije.

Definicija.
Brojčani niz a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... naziva se aritmetička progresija, ako za sve prirodne n vrijedi jednakost
$a_(n+1) = a_n+d, $
gdje je d neki broj.

Iz ove formule slijedi da je a n+1 - a n = d. Broj d naziva se razlika aritmetička progresija.

Po definiciji aritmetičke progresije imamo:
$a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, $
gdje
$a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) $, gdje $n>1 $

Dakle, svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini dvaju njemu susjednih članova. Ovo objašnjava naziv "aritmetička" progresija.

Imajte na umu da ako su zadani a 1 i d, tada se preostali članovi aritmetičke progresije mogu izračunati pomoću rekurzivne formule a n+1 = a n + d. Na ovaj način nije teško izračunati prvih nekoliko članova progresije, međutim, na primjer, za 100 već će biti potrebno mnogo izračuna. Obično se za to koristi formula n-tog člana. Prema definiciji aritmetičke progresije
$a_2=a_1+d, $
$a_3=a_2+d=a_1+2d, $
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
itd.
Uopće,
$a_n=a_1+(n-1)d, $
jer n-ti član aritmetička progresija se dobiva iz prvog člana zbrajanjem (n-1) puta broja d.
Ova formula se zove formula n-tog člana aritmetičke progresije.

Zbroj prvih n članova aritmetičke progresije

Nađimo zbroj svih prirodnih brojeva od 1 do 100.
Ovaj zbroj zapisujemo na dva načina:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Ove jednakosti zbrajamo član po član:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
U ovom zbroju ima 100 pojmova.
Prema tome, 2S = 101 * 100, odakle je S = 101 * 50 = 5050.

Razmotrimo sada proizvoljnu aritmetičku progresiju
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Neka je S n zbroj prvih n članova ove progresije:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Zatim zbroj prvih n članova aritmetičke progresije je
$S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) $

Budući da $a_n=a_1+(n-1)d $, onda zamjenom n u ovoj formuli, dobivamo drugu formulu za pronalaženje zbrojevi prvih n članova aritmetičke progresije:
$S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) $

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova online Igre, zagonetke Izgradnja grafova funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik žargona mladih Imenik ruskih škola Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog ruskih sveučilišta Popis zadataka

Ili aritmetika - ovo je vrsta uređenog numeričkog niza, čija se svojstva proučavaju u školskom tečaju algebre. Ovaj članak detaljno raspravlja o tome kako pronaći zbroj aritmetičke progresije.

Što je ovo napredovanje?

Prije nego što pređemo na razmatranje pitanja (kako pronaći zbroj aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu će se raspravljati.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti svakom prethodnom broju naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, prevedena na jezik matematike, ima oblik:

Ovdje je i redni broj elementa niza a i . Dakle, znajući samo jedan početni broj, možete lako vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da za razmatrani niz brojeva vrijedi sljedeća jednakost:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, dodajte razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Koliki je zbroj aritmetičke progresije: formula

Prije nego što date formulu za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavnu poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, trebate pronaći njihov zbroj. Budući da ima malo članova u progresiji (10), moguće je problem riješiti direktno, odnosno zbrojiti sve elemente redom.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vrijedno je razmotriti jednu zanimljivu stvar: budući da se svaki član razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d \u003d 1, tada će parno zbrajanje prvog s desetim, drugog s devetim i tako dalje dati isti rezultat . Stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, postoji samo 5 ovih zbrojeva, odnosno točno dva puta manje od broja elemenata u nizu. Zatim množenjem broja zbrojeva (5) s rezultatom svakog zbroja (11) doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generaliziramo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n , a također ukupni broj pojmovi n.

Vjeruje se da je Gauss prvi put pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje problema koji mu je postavio njegov učitelj: zbrojiti prvih 100 cijelih brojeva.

Zbroj elemenata od m do n: formula

Formula navedena u prethodnom odlomku odgovara na pitanje kako pronaći zbroj aritmetičke progresije (prvih elemenata), no često je u zadacima potrebno zbrojiti niz brojeva u sredini progresije. Kako to učiniti?

Na ovo pitanje najlakše ćemo odgovoriti na sljedećem primjeru: neka je potrebno pronaći zbroj članova od m-tog do n-tog. Da bismo riješili problem, zadani segment od m do n progresije treba predstaviti kao novi niz brojeva. U takvim reprezentacija m-thčlan a m će biti prvi, a a n će biti označen brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za zbroj, dobit će se sljedeći izraz:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

Ispod je numerički niz, trebali biste pronaći zbroj njegovih članova, počevši od 5. do 12.:

Zadani brojevi pokazuju da je razlika d jednaka 3. Pomoću izraza za n-ti element možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Znajući vrijednosti brojeva na krajevima algebarske progresije koja se razmatra, a također znajući koje brojeve u nizu zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom odlomku. Dobiti:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vrijedno je napomenuti da se ova vrijednost može dobiti na drugačiji način: prvo, pronađite zbroj prvih 12 elemenata pomoću standardne formule, zatim izračunajte zbroj prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbroja .

Što glavna točka formule?

Ova formula vam omogućuje da pronađete bilo koji NJEGOVIM BROJEM" n" .

Naravno, morate znati prvi pojam a 1 i razlika u progresiji d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određeni napredak.

Nije dovoljno zapamtiti (ili prevariti) ovu formulu. Potrebno je usvojiti njegovu bit i primijeniti formulu u raznim problemima. Da, i ne zaboravite u pravo vrijeme, da ...) Kako ne zaboraviti- Ne znam. I ovdje kako zapamtiti Ako treba, dat ću vam savjet. Za one koji savladaju lekciju do kraja.)

Dakle, pozabavimo se formulom n-tog člana aritmetičke progresije.

Što je uopće formula - zamišljamo.) Što je aritmetička progresija, broj člana, razlika progresije - jasno je rečeno u prethodnoj lekciji. Baci oko ako nisi čitao. Tamo je sve jednostavno. Ostaje shvatiti što n-ti član.

napredovanje u opći pogled može se napisati kao niz brojeva:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo sa a 5, ako je sto dvadeseti - od a 120.

Kako općenito definirati bilo kojičlan aritmetičke progresije, s bilo koji broj? Jako jednostavno! Kao ovo:

a n

To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Pod slovom n kriju se odjednom svi brojevi članova: 1, 2, 3, 4 i tako dalje.

I što nam takav rekord daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...

Ova nam notacija daje moćan alat za rad s aritmetičkim progresijama. Koristeći notni zapis a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I hrpa zadataka za rješavanje u progresiji. Vidjet ćete dalje.

U formuli n-tog člana aritmetičke progresije:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- prvi član aritmetičke progresije;

n- broj člana.

Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1; d I n. Oko ovih parametara sve se zagonetke vrte u progresiji.

Formula n-tog člana također se može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, u problemu se može reći da je progresija dana uvjetom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav problem može čak i zbuniti ... Nema serije, nema razlike ... Ali, uspoređujući stanje s formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 \u003d 5 i d \u003d 2.

A može biti još ljući!) Ako uzmemo isti uvjet: a n = 5 + (n-1) 2, da, otvorite zagrade i navedite slične? Dobivamo novu formulu:

an = 3 + 2n.

Ovaj Samo ne općenito, već za određeni napredak. Tu leži zamka. Neki ljudi misle da je prvi član trojka. Iako je u stvarnosti prvi član pet ... Malo niže ćemo raditi s tako modificiranom formulom.

U zadacima za napredovanje postoji još jedna oznaka - a n+1. Ovo je, pogađate, "n plus prvi" član progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj za jedan veći od broja n. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo za a n peti mandat, dakle a n+1 bit će šesti član. itd.

Najčešće oznaka a n+1 javlja se u rekurzivnim formulama. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Pretpostavimo da nam je dana aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. I kako odmah brojati, recimo dvadeseti pojam, a 20? Ali nema šanse!) Dok se 19. mandat ne zna, 20. se ne može računati. To je temeljna razlika između rekurzivne formule i formule n-tog člana. Rekurzivno radi samo kroz prethodničlan, a formula n-tog člana - kroz prvi i dopušta odmah pronaći bilo kojeg člana prema njegovom broju. Ne računajući cijeli niz brojeva po redu.

U aritmetičkoj progresiji, rekurzivna formula se lako može pretvoriti u regularnu. Prebrojite par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi član a 1, napišite formulu u uobičajenom obliku i radite s njom. U GIA se takvi zadaci često nalaze.

Primjena formule n-tog člana aritmetičke progresije.

Prvo, pogledajmo izravnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

S obzirom na aritmetičku progresiju (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Ovaj se problem može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na temelju značenja aritmetičke progresije. Dodajte, da dodajte ... Sat ili dva.)

A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete tempirati.) Mi odlučujemo.

Uvjeti daju sve podatke za korištenje formule: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ostaje za vidjeti što n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Ovdje pišemo:

Molim obratite pažnju! Umjesto indeksa n pojavio se konkretan broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije. broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je značenje n= 121 zamijenit ćemo dalje u formulu, u zagradi. Zamijenite sve brojeve u formuli i izračunajte:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je sve. Jednako tako brzo bi se mogao pronaći petsto deseti član, a tisuću i treći bilo koji. Umjesto toga stavljamo nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradi, i smatramo.

Dopustite mi da vas podsjetim na bit: ova formula vam omogućuje da pronađete bilo kojičlan aritmetičke progresije NJEGOVIM BROJEM" n" .

Riješimo problem pametnije. Recimo da imamo sljedeći problem:

Nađite prvi član aritmetičke progresije (a n) ako je a 17 =-2; d=-0,5.

Ako budete imali poteškoća, predložit ću vam prvi korak. Zapiši formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Napišite rukom, izravno u svoju bilježnicu:

a n = a 1 + (n-1)d

I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a što nedostaje? Dostupno d=-0,5, postoji sedamnaesti član ... Sve? Ako mislite da je to sve, onda ne možete riješiti problem, da ...

Imamo i broj n! U stanju a 17 =-2 skriven dvije mogućnosti. To je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). Oni. n=17. Ta "sitnica" često promakne pokraj glave, a bez nje, (bez "sitnice", ne glave!) problem se ne može riješiti. Iako ... i bez glave.)

Sada možemo samo glupo zamijeniti naše podatke u formulu:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

O da, a 17 znamo da je -2. U redu, stavimo to u:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

To je, u biti, sve. Preostaje izraziti prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunati. Dobijate odgovor: a 1 = 6.

Takva tehnika - pisanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - puno pomaže u jednostavnim zadacima. Pa, morate, naravno, moći izraziti varijablu iz formule, ali što učiniti!? Bez ove vještine matematika se uopće ne može proučavati ...

Još jedan popularan problem:

Odredite razliku aritmetičke progresije (a n) ako je a 1 =2; a 15 =12.

Što radimo? Iznenadit ćete se, mi pišemo formulu!)

a n = a 1 + (n-1)d

Razmotrite ono što znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (poseban naglasak!) n=15. Slobodno zamijenite u formuli:

12=2 + (15-1)d

Idemo računati.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je točan odgovor.

Dakle, zadaci a n, a 1 I d odlučio. Ostaje naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.

Zamijenimo poznate količine u formulu n-tog člana:

a n = 12 + (n-1) 3

Ovdje su na prvi pogled nepoznate dvije veličine: a n i n. Ali a n je neki član progresije s brojem n... A ovaj član progresije znamo! 99 je. Ne znamo njegov broj. n, pa treba pronaći i ovaj broj. Zamijenite progresivni član 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.

A sada problem na istu temu, ali kreativniji):

Odredite hoće li broj 117 biti član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Napišimo formulu ponovno. Što, nema opcija? Hm... Zašto nam trebaju oči?) Vidimo li prvi član progresije? Mi vidimo. Ovo je -3,6. Možete slobodno napisati: a 1 \u003d -3,6. Razlika d može se odrediti iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Da, napravili smo najjednostavniju stvar. Ostaje još da se pozabavimo nepoznatim brojem n a nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku barem se znalo da je zadan član progresije. Ali kod nas to ni ne znamo... Kako biti!? Pa kako biti, kako biti... Uključi Kreativne vještine!)

Mi pretpostaviti da je 117 ipak član naše progresije. S nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. Oni. pišemo formulu (da-da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobivamo:

Ups! Broj je ispao razlomak! Sto jedan i pol. I razlomačke brojeve u progresijama ne može biti. Kakav zaključak izvlačimo? Da! Broj 117 niječlan naše progresije. Nalazi se negdje između 101. i 102. člana. Ako se broj pokazao prirodnim, tj. pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: Ne.

Zadatak temeljen na stvarnoj verziji GIA:

Aritmetička progresija dano uvjetom:

a n \u003d -4 + 6,8n

Pronađite prvi i deseti član progresije.

Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Neka vrsta formule ... Događa se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula n-tog člana aritmetičke progresije! Ona također dopušta pronađite bilo koji član progresije po njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri, fatalno je pogrešno!) Jer je formula u zadatku modificirana. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriven. Ništa, sad ćemo to pronaći.)

Kao iu prethodnim zadacima, vršimo zamjenu n=1 u ovu formulu:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Ovdje! Prvi član je 2,8, a ne -4!

Slično, tražimo deseti član:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

To je sve.

A sada, za one koji su pročitali do ovih redaka, obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji GIA ili Jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu n-tog člana aritmetičke progresije. Nešto mi pada na pamet, ali nekako nesigurno... Da li n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?

Smiriti! Ovu je formulu lako izvesti. Ne baš strogo, ali svakako dovoljno za samopouzdanje i ispravnu odluku!) Za zaključak je dovoljno sjetiti se elementarnog značenja aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo trebate nacrtati sliku. Radi jasnoće.

Nacrtamo numeričku os i na njoj označimo prvu. drugi, treći itd. članova. I primijetite razliku d između članova. Kao ovo:

Gledamo sliku i razmišljamo: čemu je jednak drugi član? Drugi jedan d:

a 2 =a 1 + 1 d

Što je treći pojam? Treći pojam je prvi pojam plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

shvaćate li Ne stavljam neke riječi podebljane uzalud. U redu, još jedan korak.)

Što je četvrti pojam? Četvrta pojam je prvi pojam plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Vrijeme je da shvatimo da broj praznina, tj. d, Stalno jedan manje od broja člana kojeg tražite n. Odnosno do broja n, broj praznina htjeti n-1. Dakle, formula će biti (bez opcija!):

a n = a 1 + (n-1)d

Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih problema u matematici. Ne zanemarujte slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućuje vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike s rješenjem - jednadžbe, nejednadžbe, sustavi itd. Ne možete staviti sliku u jednadžbu...

Zadaci za samostalno rješavanje.

Za zagrijavanje:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Pronađite 3.

Savjet: prema slici, problem se rješava za 20 sekundi ... Prema formuli, ispada teže. Ali za svladavanje formule to je korisnije.) U odjeljku 555 ovaj je problem riješen i slikom i formulom. Osjeti razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Nađi a 3 .

Što, nevoljkost crtanja slike?) Ipak! Bolje je u formuli, da ...

3. Aritmetička progresija dana je uvjetom:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite stotinu dvadeset peti član ove progresije.

U ovom se zadatku napredovanje daje na ponavljajući način. Ali računajući do stotinu dvadeset i petog člana... Ne može svatko učiniti takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Odredite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.

5. Prema uvjetu zadatka 4. pronađite zbroj najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.

6. Umnožak petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije je -2,5, a zbroj trećeg i jedanaestog člana je nula. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da ...) Ovdje metoda "na prstima" neće raditi. Morate pisati formule i rješavati jednadžbe.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Dogodilo se? Lijepo je!)

Ne ide sve? Događa se. Usput, u posljednji zadatak postoji jedna suptilna točka. Bit će potrebna pažnja pri čitanju problema. I logika.

O rješenju svih ovih problema detaljno se govori u odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilni trenutak za šesti, i opći pristupi rješavanju bilo kojeg problema za formulu n-tog člana - sve je naslikano. Preporučam.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Da, da: aritmetička progresija nije igračka za vas :)

Pa prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi interni cap evidence govori da još uvijek ne znate što je aritmetička progresija, ali stvarno (ne, ovako: TAOOOO!) želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i odmah ću prijeći na posao.

Za početak par primjera. Razmotrite nekoliko skupova brojeva:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Što je zajedničko svim ovim setovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. Naime: svaki sljedeći element razlikuje se od prethodnog istim brojem.

Prosudite sami. Prvi skup su samo uzastopni brojevi, svaki veći od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva već je jednaka pet, ali je ta razlika još uvijek konstantna. U trećem slučaju postoje korijeni općenito. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dok je $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. u tom slučaju se svaki sljedeći element jednostavno povećava za $\sqrt(2)$ (i nemojte se bojati da je taj broj iracionalan).

Dakle: svi takvi nizovi nazivaju se samo aritmetičkim progresijama. Dajmo strogu definiciju:

Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za točno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.

Notacija: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.

I samo nekoliko važnih napomena. Prvo, razmatra se samo napredovanje uredno niz brojeva: dopušteno ih je čitati strogo redoslijedom kojim su napisani - i ništa drugo. Ne možete presložiti ili zamijeniti brojeve.

Drugo, sam niz može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očito konačna aritmetička progresija. Ali ako napišete nešto u duhu (1; 2; 3; 4; ...) - to je već beskonačna progresija. Elipsa iza četiri, takoreći, nagovještava da dosta brojeva ide dalje. Beskrajno mnogo, na primjer. :)

Također bih želio primijetiti da se progresije povećavaju i smanjuju. Već smo vidjeli rastuće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: posljednji primjer može izgledati previše komplicirano. Ali ostalo, mislim, razumijete. Stoga uvodimo nove definicije:

Definicija. Aritmetička progresija se naziva:

raste ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;

opadajući, ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.

Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - sastoje se od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).

Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastuću progresiju od one koja se smanjuje? Srećom, ovdje sve ovisi samo o predznaku broja $d$, tj. razlike u progresiji:

Ako je $d \gt 0$, tada progresija raste;
Ako je $d \lt 0$, tada je progresija očito opadajuća;
Konačno, tu je i slučaj $d=0$ — u ovom slučaju cijela progresija se svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; ...), itd.

Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri gore navedene opadajuće progresije. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i od broja s desne strane oduzeti broj s lijeve strane. Izgledat će ovako:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kao što vidite, u sva tri slučaja razlika je doista bila negativna. I sada kada smo više-manje shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako se progresije opisuju i koja svojstva imaju.

Članovi progresijske i rekurentne formule

Budući da se elementi naših nizova ne mogu međusobno mijenjati, mogu se numerirati:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno$\]

Pojedinačni elementi tog skupa nazivaju se članovima progresije. Tako se označavaju pomoću broja: prvi član, drugi član i tako dalje.

Osim toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\desna strelica ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, trebate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Takva se formula naziva ponavljajućom, jer uz njezinu pomoć možete pronaći bilo koji broj, znajući samo prethodni (i zapravo sve prethodne). Ovo je vrlo nezgodno, pa postoji složenija formula koja svaki izračun svodi na prvi član i razliku:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d\]

Vjerojatno ste već naišli na ovu formulu. Vole ga dati u svim vrstama referentnih knjiga i reshebnika. I u svakom razumnom udžbeniku matematike, jedan je od prvih.

Ipak, predlažem da malo vježbate.

Zadatak broj 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.

Riješenje. Dakle, znamo prvi član $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Upotrijebimo upravo danu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\lijevo(1-1 \desno)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\lijevo(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\lijevo(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Odgovor: (8; 3; -2)

To je sve! Imajte na umu da se naše napredovanje smanjuje.

Naravno, $n=1$ nije mogao biti zamijenjen - već znamo prvi član. No, zamjenom jedinice uvjerili smo se da i za prvi član naša formula funkcionira. U ostalim slučajevima sve se svodilo na banalnu aritmetiku.

Zadatak broj 2. Napiši prva tri člana aritmetičke progresije ako je njen sedmi član −40, a sedamnaesti član −50.

Riješenje. Stanje problema pišemo uobičajenim terminima:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \pravo.\]

Stavljam znak sustava jer ti zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. I sada primjećujemo da ako oduzmemo prvu jednadžbu od druge jednadžbe (imamo pravo na to, jer imamo sustav), dobivamo ovo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\lijevo(((a)_(1))+6d \desno)=-50-\lijevo(-40 \desno); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Upravo tako, pronašli smo razliku u progresiji! Ostaje zamijeniti pronađeni broj u bilo kojoj od jednadžbi sustava. Na primjer, u prvom:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \kraj(matrica)\]

Sada, znajući prvi član i razliku, ostaje pronaći drugi i treći član:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Spreman! Problem riješen.

Odgovor: (-34; -35; -36)

Primijetite neobično svojstvo progresije koje smo otkrili: ako uzmemo $n$-ti i $m$-ti član i oduzmemo ih jedan od drugog, dobit ćemo razliku progresije pomnoženu s brojem $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]

Jednostavno, ali vrlo korisno svojstvo, što svakako morate znati - uz njegovu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema u progresijama. Evo najboljeg primjera ovoga:

Zadatak broj 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član je 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.

Riješenje. Budući da je $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, a mi trebamo pronaći $((a)_(15))$, bilježimo sljedeće:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ali prema uvjetu $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, dakle $5d=6$, odakle imamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Odgovor: 20.4

To je sve! Nismo trebali sastavljati nikakve sustave jednadžbi i računati prvi član i razliku - sve je odlučeno u samo par redaka.

Razmotrimo sada drugu vrstu problema - potragu za negativnim i pozitivnim članovima progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, dok je njen prvi član negativan, tada će se prije ili kasnije u njemu pojaviti pozitivni termini. I obrnuto: uvjeti opadajuće progresije će prije ili kasnije postati negativni.

U isto vrijeme, nije uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "na čelu", uzastopno sortirajući elemente. Često su problemi osmišljeni na način da bi bez poznavanja formula izračuni trajali nekoliko listova - samo bismo zaspali dok ne nađemo odgovor. Stoga ćemo te probleme pokušati riješiti na brži način.

Zadatak broj 4. Koliko negativnih članova u aritmetičkoj progresiji -38,5; -35,8; …?

Riješenje. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, iz čega odmah nalazimo razliku:

Imajte na umu da je razlika pozitivna, tako da progresija raste. Prvi član je negativan, tako da ćemo doista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.

Pokušajmo saznati koliko dugo (tj. do kojeg prirodnog broja $n$) ostaje negativnost članova:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2,7 \lt 0;\kvad \lijevo| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\desna strelica ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Posljednji redak treba pojasniti. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, odgovarat će nam samo cjelobrojne vrijednosti broja (štoviše: $n\in \mathbb(N)$), pa je najveći dopušteni broj upravo $n=15$, a nikako 16.

Zadatak broj 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.

Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali poznati su susjedni članovi: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da možemo lako pronaći razliku progresije:

Uz to, pokušajmo izraziti peti član u smislu prvog i razlike koristeći standardnu formulu:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Sada nastavljamo po analogiji s prethodnim problemom. Saznajemo na kojoj će se točki našeg niza pojaviti pozitivni brojevi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\desna strelica ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Najmanje cjelobrojno rješenje ove nejednadžbe je broj 56.

Napominjemo da se u prošlom zadatku sve svelo na strogu nejednakost, pa nam opcija $n=55$ neće odgovarati.

Sada kada smo naučili rješavati jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, naučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam uštedjeti puno vremena i nejednakih ćelija u budućnosti. :)

Aritmetička sredina i jednake uvlake

Razmotrimo nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti na brojevnom pravcu:

Članovi aritmetičke progresije na brojevnom pravcu

Posebno sam primijetio proizvoljne članove $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne bilo koje $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Jer pravilo, koje ću vam sada reći, vrijedi isto za sve "segmente".

A pravilo je vrlo jednostavno. Sjetimo se rekurzivne formule i zapišimo je za sve označene članove:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Međutim, ove se jednakosti mogu prepisati drugačije:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Pa što onda? Ali činjenica da se pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ nalaze na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . A ova udaljenost je jednaka $d$. Isto se može reći za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ za istu udaljenost jednaku $2d$. Možete nastaviti unedogled, ali slika dobro ilustrira značenje

Članovi progresije leže na istoj udaljenosti od središta

Što to znači za nas? To znači da možete pronaći $((a)_(n))$ ako su susjedni brojevi poznati:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Izveli smo veličanstvenu tvrdnju: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini susjednih članova! Štoviše, možemo odstupiti od našeg $((a)_(n))$ ulijevo i udesno ne za jedan korak, već za $k$ koraka — i dalje će formula biti točna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Oni. lako možemo pronaći neki $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može se činiti da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi zadaci posebno "izoštreni" za korištenje aritmetičke sredine. Pogledaj:

Zadatak broj 6. Pronađite sve vrijednosti od $x$ tako da su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni članovi aritmetička progresija (u određenom redoslijedu).

Riješenje. Budući da su ti brojevi članovi progresije, za njih je zadovoljen uvjet aritmetičke sredine: središnji element $x+1$ može se izraziti preko susjednih elemenata:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ispalo je klasično kvadratna jednadžba. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.

Odgovor: -3; 2.

Zadatak broj 7. Pronađite vrijednosti $$ tako da brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ čine aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).

Riješenje. Opet izražavamo srednji član u smislu aritmetičke sredine susjednih članova:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\kvad \lijevo| \cdot 2\desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Još jedna kvadratna jednadžba. I opet dva korijena: $x=6$ i $x=1$.

Odgovor: 1; 6.

Ako u procesu rješavanja problema dobijete neke brutalne brojke ili niste potpuno sigurni u točnost pronađenih odgovora, onda postoji prekrasan trik koji vam omogućuje da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?

Recimo da smo u zadatku 6 dobili odgovore -3 i 2. Kako možemo provjeriti jesu li ti odgovori točni? Uključimo ih u izvorno stanje i vidimo što će se dogoditi. Da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$, koji bi trebali činiti aritmetičku progresiju. Zamijenite $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dobili smo brojeve -54; −2; 50 koji se razlikuju za 52 nedvojbeno je aritmetička progresija. Ista stvar se događa za $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Opet progresija, ali s razlikom od 27. Dakle, zadatak je ispravno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi zadatak, ali odmah ću reći: i tamo je sve točno.

Uglavnom, rješavajući zadnje zadatke, naletjeli smo na još jedan zanimljiva činjenica, što također treba zapamtiti:

Ako su tri broja takva da je drugi prosjek prvog i posljednjeg, tada ti brojevi čine aritmetičku progresiju.

U budućnosti će nam razumijevanje ove izjave omogućiti doslovno "konstruiranje" potrebnih progresija na temelju uvjeta problema. Ali prije nego što se upustimo u takvu "konstrukciju", valja obratiti pozornost na još jednu činjenicu, koja izravno proizlazi iz već razmotrenog.

Grupiranje i zbroj elemenata

Vratimo se ponovno brojevnom pravcu. Tu bilježimo nekoliko članova progresije, između kojih možda. vrijedi puno drugih članova:

Na brojevnoj crti označeno 6 elemenata

Pokušajmo izraziti "lijevi rep" u terminima $((a)_(n))$ i $d$, a "desni rep" u terminima $((a)_(k))$ i $ d$. Vrlo je jednostavno:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Sada primijetite da su sljedeći zbrojevi jednaki:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Jednostavno rečeno, ako kao početak uzmemo u obzir dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, a zatim od tih elemenata počnemo koračati u suprotnim smjerovima (jedan prema drugom ili obrnuto da se udaljimo), zatim jednaki će biti i zbrojevi elemenata na koje ćemo se spotaknuti$S$. To se najbolje može grafički prikazati:

Iste alineje daju jednake zbrojeve

Razumijevanje ova činjenica omogućit će nam da suštinski više riješimo probleme visoka razina složenosti od onih o kojima se gore raspravljalo. Na primjer, ove:

Zadatak broj 8. Odredite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a umnožak drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.

Riješenje. Zapišimo sve što znamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Dakle, ne znamo razliku progresije $d$. Zapravo, cijelo će se rješenje izgraditi oko razlike, budući da se umnožak $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\lijevo(66+d \desno)\cdot \lijevo(66+11d \desno)= \\ & =11 \cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno). \end(align)\]

Za one u spremniku: izbacio sam zajednički faktor 11 iz druge zagrade. Dakle, željeni umnožak je kvadratna funkcija u odnosu na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\lijevo(d \desno)=11\lijevo(d+66 \desno)\lijevo(d+6 \desno)$ - njen graf će biti parabola s granama prema gore, jer otvorimo li zagrade, dobivamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kao što vidite, koeficijent na najvišem članu je 11 - to je pozitivan broj, tako da stvarno imamo posla s parabolom s granama prema gore:

graf kvadratne funkcije – parabola
Imajte na umu: ova parabola dobiva svoju najmanju vrijednost na svom vrhu s apscisom $((d)_(0))$. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati prema standardnoj shemi (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bilo bi mnogo razumnije da imajte na umu da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, pa je točka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Zato nisam žurio otvoriti zagrade: u izvornom obliku, korijenje je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Dakle, apscisa je jednaka aritmetičkoj sredini brojeva −66 i −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Što nam daje otkriveni broj? Uz to, traženi proizvod zauzima najmanja vrijednost(Usput, nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - nismo obavezni to učiniti). Ujedno, ovaj broj je razlika početne progresije, tj. našli smo odgovor. :)

Odgovor: -36

Zadatak broj 9. Između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ umetnite tri broja tako da zajedno sa zadanim brojevima čine aritmetičku progresiju.

Riješenje. Zapravo, moramo napraviti niz od pet brojeva, s prvim i posljednji broj već poznato. Brojeve koji nedostaju označimo varijablama $x$, $y$ i $z$:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \desno\ )\]

Imajte na umu da je broj $y$ "sredina" našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)( 6)$. A ako smo od brojeva $x$ i $z$ u ovaj trenutak ne možemo dobiti $y$, onda je situacija drugačija s krajevima progresije. Zapamtite aritmetičku sredinu:

Sada, znajući $y$, pronaći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da se $x$ nalazi između $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$ upravo pronađeno. Zato

Raspravljajući na sličan način, nalazimo preostali broj:

Spreman! Pronašli smo sva tri broja. Zapišimo ih u odgovor redoslijedom kojim ih treba umetnuti između izvornih brojeva.

Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Zadatak broj 10. Između brojeva 2 i 42 upiši nekoliko brojeva koji sa zadanim brojevima čine aritmetičku progresiju, ako je poznato da je zbroj prvog, drugog i zadnjeg uvrštenog broja 56.

Riješenje. Još teži zadatak, koji se, međutim, rješava na isti način kao i prethodni - kroz aritmetičku sredinu. Problem je što ne znamo točno koliko brojeva ubaciti. Stoga, radi određenosti, pretpostavljamo da će nakon umetanja biti točno $n$ brojeva, od kojih je prvi 2, a posljednji 42. U ovom slučaju željena aritmetička progresija može se prikazati kao:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Imajte na umu, međutim, da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobiveni iz brojeva 2 i 42 koji stoje na rubovima jedan korak jedan prema drugom , tj. u središte niza. A ovo znači to

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ali tada se gornji izraz može prepisati ovako:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \lijevo(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \desno)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Poznavajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku progresije:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\lijevo(3-1 \desno)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\desna strelica d=5. \\ \end(align)\]

Ostaje samo pronaći preostale članove:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstualni zadaci s napredovanjem

Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavnih problema. Pa one jednostavne: većini učenika koji u školi uče matematiku, a nisu pročitali što je gore napisano, ovi se zadaci mogu činiti kao gesta. Ipak, upravo se takvi zadaci susreću u OGE i USE iz matematike, pa preporučujem da se upoznate s njima.

Zadatak broj 11. Tim je u siječnju izradio 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveli su 14 dijelova više nego u prethodnom. Koliko je dijelova brigada proizvela u studenom?

Riješenje. Očito, broj dijelova, oslikanih po mjesecima, bit će sve veća aritmetička progresija. I:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Studeni je 11. mjesec u godini, pa moramo pronaći $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Dakle, u studenom će biti proizvedena 202 dijela.

Zadatak broj 12. Knjigoveška radionica je u siječnju ukoričila 216 knjiga, a svaki mjesec je uvezala 4 knjige više nego prethodni mjesec. Koliko je knjiga uvezano na radionici u prosincu?

Riješenje. Sve isto:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$

Prosinac je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ovo je odgovor – u prosincu će biti ukoričeno 260 knjiga.

Pa, ako ste dovde pročitali, žurim vam čestitati: uspješno ste završili “tečaj za mladog borca” u aritmetičkim progresijama. Možete sigurno otići na sljedeća lekcija, gdje ćemo proučiti formulu zbroja progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz nje.

Ako svaki prirodni broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da dano niz brojeva :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.

Broj a 1 nazvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći i tako dalje. Broj a n nazvao n-ti član niza , i prirodni broj n — njegov broj .

Od dva susjedna člana a n I a n +1 nizovi članova a n +1 nazvao naknadni (prema a n ), A a n — prethodni (prema a n +1 ).

Da biste odredili slijed, morate navesti metodu koja vam omogućuje pronalazak člana niza s bilo kojim brojem.

Često se niz daje uz n-ti član formule , odnosno formula koja omogućuje određivanje člana niza po njegovom broju.

Na primjer,

niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom

a n= 2n- 1,

i slijed izmjeničnog 1 I -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Redoslijed se može odrediti rekurentna formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jednog ili više) članova.

Na primjer,

Ako a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ako a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada je prvih sedam članova numeričkog niza postavljeno na sljedeći način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Nizovi se mogu konačni I beskrajan .

Niz se zove ultimativno ako ima konačan broj članova. Niz se zove beskrajan ako ima beskonačno mnogo članova.

Na primjer,

niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konačni.

Niz prostih brojeva:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

beskrajan. ◄

Niz se zove povećavajući se , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.

Niz se zove opadajući , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.

Na primjer,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je uzlazni niz;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je silazni niz. ◄

Niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja ili, obrnuto, ne povećavaju, naziva se monoton niz .

Konkretno, monotoni nizovi su rastući i opadajući nizovi.

Aritmetička progresija

Aritmetička progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom kojemu se dodaje isti broj.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

a n +1 = a n + d,

Gdje d - neki broj.

Stoga je razlika između sljedećeg i prethodnog člana dane aritmetičke progresije uvijek konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Broj d nazvao razlika aritmetičke progresije.

Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.

Na primjer,

Ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Na primjer,

pronaći trideseti član aritmetičke progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

onda očito

a n=	a n-1 + a n+1
	2

svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećeg člana.

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.

Na primjer,

a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.

Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Stoga,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Imajte na umu da n -ti član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k

a n = a k + (n- k)d.

Na primjer,

Za a 5 može se napisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

onda očito

a n=	a n-k +a n+k
	2

bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja članova te aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.

Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi jednakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n članova aritmetičke progresije jednak je umnošku polovine zbroja ekstremnih članova s brojem članova:

Iz ovoga osobito proizlazi da ako je potrebno zbrajati pojmove

a k, a k +1 , . . . , a n,

tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:

Na primjer,

u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ako je dana aritmetička progresija, onda količine a 1 , a n, d, n IS n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:

Ako d > 0 , tada se povećava;
Ako d < 0 , tada se smanjuje;
Ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.

Geometrijska progresija

geometrijska progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom s istim brojem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijska progresija ako za bilo koji prirodni broj n uvjet je ispunjen:

b n +1 = b n · q,

Gdje q ≠ 0 - neki broj.

Dakle, omjer sljedećeg člana ove geometrijske progresije prema prethodnom je konstantan broj:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Broj q nazvao nazivnik geometrijske progresije.

Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je odrediti njen prvi član i nazivnik.

Na primjer,

Ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalazi na sljedeći način:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i nazivnik q nju n -ti član se može pronaći formulom:

b n = b 1 · q n -1 .

Na primjer,

pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

onda očito

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećeg člana.

Budući da vrijedi i obrnuto, vrijedi sljedeća tvrdnja:

brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.

Na primjer,

dokažimo da niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Iskoristimo gornju izjavu. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Stoga,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

što dokazuje traženu tvrdnju. ◄

Imajte na umu da n th član geometrijske progresije može se naći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu

b n = b k · q n - k.

Na primjer,

Za b 5 može se napisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

onda očito

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova te progresije jednako udaljenih od njega.

Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Na primjer,

eksponencijalno

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunava se formulom:

I kada q = 1 - prema formuli

S n= n.b. 1

Imajte na umu da ako trebamo zbrojiti pojmove

b k, b k +1 , . . . , b n,

tada se koristi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Na primjer,

eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ako je dano geometrijska progresija, zatim količine b 1 , b n, q, n I S n povezuju dvije formule:

Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula spojenih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q dogodi se sljedeće svojstva monotonosti :

progresija se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I q> 1;

b 1 < 0 I 0 < q< 1;

Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

b 1 > 0 I 0 < q< 1;

b 1 < 0 I q> 1.

Ako q< 0 , tada je geometrijska progresija predznakoizmjenična: njezini neparni članovi imaju isti predznak kao prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.

Proizvod prvog n članovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na primjer,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Beskonačno padajuća geometrijska progresija

Beskonačno padajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji od 1 , to je

|q| < 1 .

Imajte na umu da beskonačno padajuća geometrijska progresija ne mora biti padajući niz. Ovo odgovara slučaju

1 < q< 0 .

S takvim nazivnikom niz je predznakoizmjeničan. Na primjer,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj kojem je zbroj prvog n uvjetima progresije s neograničenim povećanjem broja n . Taj je broj uvijek konačan i izražava se formulom