Dom › Razno › Log 1 baza 4. Definicija logaritma i njegovih svojstava: teorija i rješavanje problema

Log 1 baza 4. Definicija logaritma i njegovih svojstava: teorija i rješavanje problema

Jedan od elemenata algebre primitivne razine je logaritam. Ime je došlo od grčki od riječi “broj” ili “potencija” i označava potenciju na koju je potrebno podići broj u bazi da bi se dobio konačni broj.

Vrste logaritama

log a b je logaritam broja b na bazu a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
lg b - decimalni logaritam (logaritamska baza 10, a = 10);
ln b - prirodni logaritam (logaritamska baza e, a = e).

Kako riješiti logaritme?

Logaritam broja b na bazu a je eksponent, što zahtijeva da se baza a podigne na broj b. Rezultat se izgovara ovako: "logaritam od b na bazu a". Rješenje logaritamskih problema je da trebate odrediti zadani stupanj prema brojevima prema navedenim brojevima. Postoje neka osnovna pravila za određivanje ili rješavanje logaritma, kao i za transformaciju samog zapisa. Pomoću njih se rješavaju logaritamske jednadžbe, nalaze izvodnice, rješavaju integrali i izvode mnoge druge operacije. U osnovi, rješenje za sam logaritam je njegov pojednostavljeni zapis. Ispod su glavne formule i svojstva:

Za bilo koji a ; a > 0; a ≠ 1 i za bilo koji x ; y > 0.

a log a b = b - osnovni logaritamski identitet
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x y ) = log a x + log a y
log a x/ y = log a x – log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k log a x , za k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x \u003d log b x / log b a - formula za prijelaz na novu bazu
log a x = 1/log x a

Kako riješiti logaritme - korak po korak upute za rješavanje

Prvo zapišite traženu jednadžbu.

Napomena: ako je osnovni logaritam 10, tada se zapis skraćuje, dobiva se decimalni logaritam. Ako postoji prirodni broj e, tada ga zapisujemo, svodeći na prirodni logaritam. To znači da je rezultat svih logaritama potencija na koju je bazni broj podignut da bi se dobio broj b.

Izravno, rješenje leži u izračunu ovog stupnja. Prije rješavanja izraza s logaritmom potrebno ga je pojednostaviti prema pravilu, odnosno pomoću formula. Glavne identitete možete pronaći ako se vratite malo unatrag u članku.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama s dva razni brojevi, ali s istim bazama, zamijenite jednim logaritmom s umnoškom ili dijeljenjem brojeva b odnosno c. U tom slučaju možete primijeniti formulu prijelaza na drugu bazu (vidi gore).

Ako koristite izraze za pojednostavljenje logaritma, morate biti svjesni nekih ograničenja. A to je: baza logaritma a samo je pozitivan broj, ali nije jednaka jedinici. Broj b, kao i a, mora biti veći od nule.

Postoje slučajevi kada, nakon što ste pojednostavili izraz, nećete moći izračunati logaritam u numeričkom obliku. Događa se da takav izraz nema smisla, jer su mnogi stupnjevi iracionalni brojevi. Pod ovim uvjetom ostavite potenciju broja kao logaritam.

osnovna svojstva.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

iste osnove

log6 4 + log6 9.

Sada malo zakomplicirajmo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prijelaz na novi temelj

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dvaput godina rođenja Lava Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Poznavajući ovo pravilo znat ćete i točna vrijednost izlagači, te datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

4. Gdje .

Primjer 2 Nađi x if

Primjer 3. Neka je zadana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svaki drugi broj, mogu zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila, koja se zovu osnovna svojstva.

Ova se pravila moraju znati - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći u izračunavanju logaritamski izrazčak i kada se ne razmatraju njegovi pojedini dijelovi (vidi lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na temelju ove činjenice mnogi testni radovi. Da, kontrola - slični izrazi s punom ozbiljnošću (ponekad - gotovo bez promjena) ponuđeni su na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

To je lako vidjeti posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

mislim da posljednji primjer potrebno je pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom.

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log2 7. Kako je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalni logaritam, preseljenje u novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Doista, što će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stupanj da broj b u tom stupnju daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi se ljudi "zakače" na njega.

Poput novih formula za pretvorbu baza, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima - prije su to posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednijim" studentima.

logaa = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Vidi također:

Logaritam broja b s bazom a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takvu snagu x () pri kojoj je jednakost istinita

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva potrebno je poznavati jer se na temelju njih gotovo svi zadaci i primjeri rješavaju logaritmima. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama s ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri izračunavanju formule za zbroj i razliku logaritama (3.4) često se susreću. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka nezamjenjivi za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritma

Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijal ili dvojka.
Logaritam s bazom deset obično se naziva logaritam s bazom deset i jednostavno se označava lg(x).

Iz zapisnika je vidljivo da u zapisniku nisu upisane osnove. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označava se ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dvaput godina rođenja Lava Tolstoja. Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam s bazom dva je

Derivacija logaritma funkcije jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom

Integralni ili antiderivacijski logaritam određen je ovisnošću

Gornji materijal dovoljan vam je za rješavanje široke klase zadataka vezanih uz logaritme i logaritme. Radi razumijevanja gradiva navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školski plan i program i sveučilišta.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama, imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. Gdje .

Naizgled složen izraz koji koristi niz pravila pojednostavljen je do forme

Pronalaženje logaritamskih vrijednosti

Primjer 2 Nađi x if

Riješenje. Za izračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana

Zamjena u zapisnik i tugovati

Budući da su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prva razina.

Neka je dana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: uzmite logaritam varijable da biste zapisali logaritam kroz zbroj članova

Ovo je tek početak upoznavanja s logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte računanje, obogaćujte svoje praktične vještine – stečeno znanje uskoro će vam trebati za rješavanje logaritamskih jednadžbi. Nakon što smo proučili osnovne metode rješavanja takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednadžbe ...

Osnovna svojstva logaritama

Ova se pravila moraju znati - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule pomoći će izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi s punom ozbiljnošću (ponekad - gotovo bez promjena) ponuđeni su na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Poput novih formula za pretvorbu baza, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Dana su glavna svojstva prirodnog logaritma, graf, domena definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, derivacija, integral, širenje u potencijski niz i prikaz funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.

Definicija

prirodni logaritam je funkcija y = u x, inverzan eksponentu, x \u003d e y , a koji je logaritam baze broja e: ln x = log e x.

Prirodni logaritam se široko koristi u matematici jer njegov izvod ima najjednostavniji oblik: (ln x)′ = 1/ x.

Na temelju definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkcije y = u x.

Graf prirodnog logaritma (funkcije y = u x) dobiva se iz dijagrama eksponenata zrcalni odraz u odnosu na ravnu liniju y = x .

Prirodni logaritam je definiran za pozitivne vrijednosti x. Monotono raste na svojoj domeni definicije.

Kao x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačno ( - ∞ ).

Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačno ( + ∞ ). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Bilo koja funkcija snage x a s pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.

Svojstva prirodnog logaritma

Područje definiranja, skup vrijednosti, ekstremi, porast, pad

Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tablici.

ln x vrijednosti

log 1 = 0

Osnovne formule za prirodne logaritme

Formule koje proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritama i njegove posljedice

Formula za zamjenu baze

Bilo koji logaritam može se izraziti prirodnim logaritmom pomoću formule promjene baze:

Dokazi ovih formula prikazani su u odjeljku "Logaritam".

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost prirodnog logaritma je eksponent.

Ako tada

Ako tada .

Derivacija ln x

Derivacija prirodnog logaritma:
.
Derivacija prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula >>>

Sastavni

Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
Tako,

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Ili
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
tada će to biti isti broj za različite n.

Stoga prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije funkcija s jednom vrijednošću.

Proširenje niza potencija

Za , proširenje se odvija:

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

\(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)

Objasnimo to lakše. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) jednako je potenciji \(2\) na koju se mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

Primjeri:	\(\log_(5)(25)=2\)	jer \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	jer \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma obično se piše na njegovoj razini, a baza se piše u indeksu bliže znaku logaritma. A ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet na bazi pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: na koji stupanj treba podići bazu da dobijete argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koju potenciju treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očito drugo. Zato:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? A koji stupanj čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(7)\) da bi se dobilo \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stupnju jednak je sam sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koju potenciju treba podići \(3\) da bi se dobilo \(\sqrt(3)\)? Iz znamo da je to frakcijska snaga, što znači Korijen je stupanj \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Riješenje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Moramo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga kao x. Sada upotrijebimo definiciju logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Lijeva desna strelica\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Što povezuje \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer oba broja mogu biti predstavljena dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		S lijeve strane koristimo svojstva stupnja: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Baze su jednake, prelazimo na jednakost pokazatelja
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obje strane jednadžbe s \(\frac(2)(5)\)
		Dobiveni korijen je vrijednost logaritma

Odgovor : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednadžbu: \(3^(x)=9\). Samo spojite \(x\) da jednakost funkcionira. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednadžbu: \(3^(x)=8\). Čemu je jednako x? To je bit.

Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako točno treba napisati ovaj broj? Kako bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim naglasiti da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratko. Jer da ga želimo napisati kao decimalu, izgledalo bi ovako: \(1,892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednadžbu \(4^(5x-4)=10\)

Riješenje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) ne mogu se svesti na istu bazu. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Poslužimo se definicijom logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Okrenite jednadžbu tako da x bude s lijeve strane
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prije nas. Pomakni \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao običan broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podijelite jednadžbu s 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ovdje je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali odgovor nije odabran.

Odgovor : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koji pozitivan broj osim jedan \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama postoje dvije koje se javljaju toliko često da je za logaritme s njima izmišljen poseban kratki zapis:

Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Eulerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam se piše kao \(\ln(a)\).

To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše \(\lg(a)\).

To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Osnovni logaritamski identitet" i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ovo svojstvo izravno proizlazi iz definicije. Pogledajmo kako se točno pojavila ova formula.

Prisjetimo se kratka bilješka definicije logaritma:

ako \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Odnosno, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\) . Ispalo je \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Ostala svojstva logaritama možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza s logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Riješenje :

Odgovor : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. Vrijedi i obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.

Ali \(\log_(3)(9)\) također je jednako \(2\), tako da također možete napisati \(2=\log_(3)(9)\) . Slično s \(\log_(5)(25)\), i s \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispada

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Stoga, ako trebamo, možemo zapisati dva kao logaritam s bilo kojom bazom bilo gdje (čak iu jednadžbi, čak i u izrazu, čak i u nejednadžbi) - samo zapišemo kvadrat baze kao argument.

Isto je i s trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje pišemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

I s jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam s bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Riješenje :

Odgovor : \(1\)

U vezi sa

može se postaviti zadatak pronalaženja bilo kojeg od tri broja iz druga dva zadana. Zadano je a, a zatim se N nalazi potenciranjem. Ako je zadano N, a tada se a nalazi izvlačenjem korijena potencije x (ili potenciranjem). Razmotrimo sada slučaj kada je za dane a i N potrebno pronaći x.

Neka je broj N pozitivan: broj a je pozitivan i nije jednak jedinici: .

Definicija. Logaritam broja N na bazu a je eksponent na koji trebate podići a da biste dobili broj N; logaritam je označen sa

Dakle, u jednakosti (26.1), eksponent se nalazi kao logaritam od N na bazu a. Upisi

imaju isto značenje. Jednakost (26.1) ponekad se naziva osnovnim identitetom teorije logaritama; zapravo, izražava definiciju pojma logaritma. Po ovu definiciju baza logaritma a uvijek je pozitivna i različita od jedinice; logaritmljivi broj N je pozitivan. Negativni brojevi i nula nemaju logaritme. Može se dokazati da svaki broj sa zadanom bazom ima točno definiran logaritam. Stoga jednakost podrazumijeva . Imajte na umu da je uvjet ovdje bitan, inače zaključak ne bi bio opravdan, budući da je jednakost istinita za bilo koju vrijednost x i y.

Primjer 1. Pronađite

Riješenje. Da biste dobili broj, trebate podići bazu 2 na potenciju Dakle.

Prilikom rješavanja takvih primjera možete bilježiti u sljedećem obliku:

Primjer 2. Pronađite .

Riješenje. Imamo

U primjerima 1 i 2 lako smo pronašli željeni logaritam predstavljajući logaritmljivi broj kao stupanj baze s racionalnim eksponentom. U općem slučaju, na primjer, za itd., to se ne može učiniti, jer logaritam ima iracionalnu vrijednost. Obratimo pažnju na jedno pitanje vezano za ovu izjavu. U odjeljku 12 uveli smo koncept mogućnosti definiranja bilo koje stvarne snage danog pozitivan broj. To je bilo potrebno za uvođenje logaritama, koji općenito mogu biti iracionalni brojevi.

Razmotrimo neka svojstva logaritama.

Svojstvo 1. Ako su broj i baza jednaki, onda je logaritam jednak jedan, i obrnuto, ako je logaritam jednak jedan, onda su broj i baza jednaki.

Dokaz. Neka Prema definiciji logaritma, imamo i odakle

Obrnuto, neka Onda po definiciji

Svojstvo 2. Logaritam jedinice prema bilo kojoj bazi jednak je nuli.

Dokaz. Prema definiciji logaritma (nulta potencija bilo koje pozitivne baze jednaka je jedinici, vidi (10.1)). Odavde

Q.E.D.

Vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako je , tada je N = 1. Doista, imamo .

Prije nego što navedemo sljedeće svojstvo logaritama, složimo se reći da dva broja a i b leže s iste strane trećeg broja c ako su oba veća od c ili manja od c. Ako je jedan od tih brojeva veći od c, a drugi manji od c, onda kažemo da leže na suprotnim stranama od c.

Svojstvo 3. Ako broj i baza leže s iste strane jedinice, tada je logaritam pozitivan; ako broj i baza leže na suprotnim stranama jedinice, tada je logaritam negativan.

Dokaz svojstva 3 temelji se na činjenici da je stupanj a veći od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent pozitivan, ili je baza manja od jedan, a eksponent negativan. Stupanj je manji od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent negativan, ili je baza manja od jedan, a eksponent pozitivan.

Postoje četiri slučaja koja treba razmotriti:

Ograničavamo se na analizu prvog od njih, ostalo će čitatelj razmotriti sam.

Neka onda eksponent u jednakosti nije ni negativan ni jednak nuli, dakle, pozitivan je, tj. što je i trebalo dokazati.

Primjer 3. Odredite koji su od sljedećih logaritama pozitivni, a koji negativni:

Rješenje, a) budući da se broj 15 i baza 12 nalaze na istoj strani jedinice;

b) , budući da se 1000 i 2 nalaze na istoj strani jedinice; u isto vrijeme, nije bitno da je baza veća od logaritamskog broja;

c), budući da 3.1 i 0.8 leže na suprotnim stranama jedinice;

G) ; Zašto?

e) ; Zašto?

Sljedeća svojstva 4-6 često se nazivaju pravilima logaritma: oni omogućuju, znajući logaritme nekih brojeva, pronaći logaritme njihovog proizvoda, kvocijenta, stupnja svakog od njih.

Svojstvo 4 (pravilo za logaritam umnoška). Logaritam umnoška nekoliko pozitivnih brojeva u danoj bazi jednak je zbroju logaritama tih brojeva u istoj bazi.

Dokaz. Neka su dati pozitivni brojevi.

Za logaritam njihovog umnoška zapisujemo jednakost (26.1) koja definira logaritam:

Odavde nalazimo

Uspoređujući eksponente prvog i posljednjeg izraza, dobivamo traženu jednakost:

Imajte na umu da je uvjet bitan; logaritam umnoška dvaju negativnih brojeva ima smisla, ali u ovom slučaju dobivamo

Općenito, ako je umnožak nekoliko faktora pozitivan, tada je njegov logaritam jednak zbroju logaritama modula tih faktora.

Svojstvo 5 (pravilo kvocijentnog logaritma). Logaritam kvocijenta pozitivnih brojeva jednak je razlici između logaritama djelitelja i djelitelja, uzetih u istoj bazi. Dokaz. Dosljedno nalaziti

Q.E.D.

Svojstvo 6 (pravilo logaritma stupnja). Logaritam potencije bilo kojeg pozitivnog broja jednak je logaritmu tog broja puta eksponenta.

Dokaz. Ponovno pišemo glavni identitet (26.1) za broj:

Q.E.D.

Posljedica. Logaritam korijena pozitivnog broja jednak je logaritmu korijena broja podijeljenog s eksponentom korijena:

Valjanost ovog korolara možemo dokazati predstavljanjem načina i korištenjem svojstva 6.

Primjer 4. Logaritam prema bazi a:

a) (pretpostavlja se da su sve vrijednosti b, c, d, e pozitivne);

b) (pretpostavlja se da ).

Rješenje, a) Pogodno je u ovom izrazu prijeći na razlomke:

Na temelju jednakosti (26.5)-(26.7) sada možemo napisati:

Primjećujemo da se s logaritmima brojeva izvode jednostavnije operacije nego sa samim brojevima: kod množenja se brojevima zbrajaju logaritmi, kod dijeljenja oduzimaju itd.

Zato se logaritmi koriste u računskoj praksi (vidi odjeljak 29).

Radnja inverzna logaritmu naziva se potenciranje, naime: potenciranje je radnja kojom se sam taj broj nalazi prema zadanom logaritmu broja. U biti, potenciranje nije nikakva posebna radnja: ono se svodi na podizanje baze na potenciju ( jednak logaritmu brojevi). Izraz "potenciranje" može se smatrati sinonimom pojma "potenciranje".

Kod potenciranja potrebno je koristiti pravila koja su inverzna pravilima logaritma: zbroj logaritama zamijeniti logaritmom umnoška, razliku logaritma logaritmom kvocijenta itd. Osobito ako postoji bilo koji faktor ispred znaka logaritma, tada se tijekom potenciranja mora prenijeti na stupnjeve indikatora pod znakom logaritma.

Primjer 5. Nađi N ako je poznato da

Riješenje. U vezi s upravo navedenim pravilom potenciranja faktori 2/3 i 1/3, koji se nalaze ispred predznaka logaritama na desnoj strani ove jednakosti, prenijet će se na eksponente pod predznacima tih logaritama; dobivamo

Sada razliku logaritama zamijenimo logaritmom kvocijenta:

da bismo dobili posljednji razlomak u ovom lancu jednakosti, prethodni smo razlomak oslobodili iracionalnosti u nazivniku (odjeljak 25).

Svojstvo 7. Ako je baza veća od jedan, tada veći broj ima veći logaritam (a manji ima manji), ako je baza manja od jedan, tada veći broj ima manji logaritam (a manji jedan ima veći).

Ovo se svojstvo također formulira kao pravilo za logaritam nejednakosti, čija su oba dijela pozitivna:

Kod logaritmiranja nejednadžbi s bazom većom od jedan znak nejednakosti se čuva, a kod logaritmiranja s bazom manjom od jedan, predznak nejednadžbe se mijenja (vidi i točku 80).

Dokaz se temelji na svojstvima 5 i 3. Razmotrimo slučaj kada If , tada i, uzimajući logaritam, dobivamo

(a i N/M leže na istoj strani jedinice). Odavde