Formula za množenje logaritama. Definicija logaritma, osnovni logaritamski identitet
Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule i dati demonstraciju primjeri rješenja.
Sami po sebi podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene formula logaritma na rješenje, prvo se prisjećamo svih svojstava:
Sada, na temelju ovih formula (svojstava), pokazujemo primjeri rješavanja logaritama.
Primjeri rješavanja logaritama na temelju formula.
Logaritam pozitivan broj b u bazi a (označen kao log a b) je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobilo b, s b > 0, a > 0 i 1.
Prema definiciji log a b = x, što je ekvivalentno s a x = b, pa je log a a x = x.
Logaritmi, primjeri:
log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8
log 7 49 = 2 jer 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5
Decimalni logaritam je obični logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.
log 10 100 = 2 jer 10 2 = 100
prirodni logaritam- također uobičajeni logaritamski logaritam, ali s bazom e (e \u003d 2,71828 ... - iracionalan broj). Navodi se kao ln.
Poželjno je zapamtiti formule odnosno svojstva logaritama jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi. Prođimo ponovno kroz svaku formulu s primjerima.
- Osnovni logaritamski identitet
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Svojstva stupnja logaritmljivog broja i baze logaritma
Eksponent logaritamskog broja log a b m = mlog a b
Eksponent baze logaritma log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ako je m = n, dobivamo log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Prijelaz na novi temelj
log a b = log c b / log c a,ako je c = b, dobivamo log b b = 1
tada je log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kao što vidite, formule logaritma nisu tako komplicirane kao što se čine. Sada, nakon razmatranja primjera rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo razmotriti primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!
Ako još uvijek imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.
Napomena: odlučio sam kao opciju steći obrazovanje druge klase studija u inozemstvu.
Počnimo s svojstva logaritma jedinice. Njegova formulacija je sljedeća: logaritam jedinice jednak je nuli, tj. log a 1=0 za bilo koji a>0 , a≠1 . Dokaz je jednostavan: budući da je a 0 =1 za bilo koje a koje zadovoljava gornje uvjete a>0 i a≠1, tada dokazana jednakost log a 1=0 neposredno slijedi iz definicije logaritma.
Navedimo primjere primjene razmatranog svojstva: log 3 1=0 , lg1=0 i .
Prijeđimo na sljedeće svojstvo: logaritam broja jednakog osnovici jednak je jedan, to je, log a a=1 za a>0 , a≠1 . Doista, budući da je a 1 =a za bilo koje a , tada prema definiciji logaritma log a a=1 .
Primjeri korištenja ovog svojstva logaritama su log 5 5=1 , log 5.6 5.6 i lne=1 .
Na primjer, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 i 
.
Logaritam umnoška dvaju pozitivnih brojeva x i y jednaki su proizvodu logaritama ovih brojeva: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dokažimo svojstvo logaritma umnoška. Zbog svojstava stupnja a log a x+log a y =a log a x a log a y, a kako je po glavnom logaritamskom identitetu log a x =x i log a y =y , onda je log a x a log a y =x y . Dakle, log a x+log a y =x y , odakle iz definicije logaritma slijedi tražena jednakost.
Pokažimo primjere korištenja svojstva logaritma umnoška: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 i 
.
Svojstvo logaritma umnoška može se generalizirati na umnožak konačnog broja n pozitivnih brojeva x 1 , x 2 , …, x n kao log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ova se jednakost lako dokazuje.
Na primjer, prirodni logaritam umnoška može se zamijeniti zbrojem tri prirodni logaritmi brojevi 4 , e i .
Logaritam kvocijenta dvaju pozitivnih brojeva x i y jednak je razlici logaritama tih brojeva. Svojstvo kvocijentnog logaritma odgovara formuli oblika , gdje su a>0 , a≠1 , x i y neki pozitivni brojevi. Valjanost ove formule dokazuje se poput formule za logaritam umnoška: budući da 
, zatim po definiciji logaritma .
Evo primjera korištenja ovog svojstva logaritma: 
.
Prijeđimo na svojstvo logaritma stupnja. Logaritam stupnja jednak je umnošku eksponenta i logaritma modula baze tog stupnja. Ovo svojstvo logaritma stupnja zapisujemo u obliku formule: log a b p =p log a |b|, gdje su a>0 , a≠1 , b i p brojevi takvi da stupanj b p ima smisla i b p >0 .
Prvo ćemo dokazati ovo svojstvo za pozitivno b. Osnovni logaritamski identitet omogućuje nam da broj b predstavimo kao log a b , tada b p =(a log a b) p , a rezultirajući izraz, zbog svojstva potencije, jednak je a p log a b . Tako dolazimo do jednakosti b p =a p log a b , iz čega po definiciji logaritma zaključujemo da je log a b p =p log a b .
Ostaje dokazati ovo svojstvo za negativ b . Ovdje napominjemo da izraz log a b p za negativno b ima smisla samo za parne eksponente p (budući da vrijednost stupnja b p mora biti veća od nule, inače logaritam neće imati smisla), au ovom slučaju b p =|b| p . Zatim b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odakle log a b p =p log a |b| .
Na primjer, 
i ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Iz prethodnog svojstva proizlazi svojstvo logaritma iz korijena: logaritam korijena n-tog stupnja jednak je umnošku razlomka 1/n i logaritma korijenskog izraza, tj. 
, gdje je a>0 , a≠1 , n prirodni broj veći od jedan, b>0 .
Dokaz se temelji na jednakosti (vidi ), koja vrijedi za svaki pozitivan b, i svojstvu logaritma stupnja: 
.
Evo primjera korištenja ovog svojstva: 
.
Sada dokažimo formula za pretvorbu u novu bazu logaritma ljubazan 
. Za to je dovoljno dokazati valjanost jednakosti log c b=log a b log c a . Osnovni logaritamski identitet omogućuje nam da broj b predstavimo kao log a b , tada log c b=log c a log a b . Ostaje koristiti svojstvo logaritma stupnja: log c a log a b = log a b log c a. Time je dokazana jednakost log c b=log a b log c a, što znači da je dokazana i formula za prijelaz na novu bazu logaritma.
Pokažimo nekoliko primjera primjene ovog svojstva logaritama: i 
.
Formula za prelazak na novu bazu omogućuje vam prelazak na rad s logaritmima koji imaju "prikladnu" bazu. Na primjer, može se koristiti za prebacivanje na prirodne ili decimalne logaritme tako da možete izračunati vrijednost logaritma iz tablice logaritama. Formula za prijelaz na novu bazu logaritma također omogućuje u nekim slučajevima pronalaženje vrijednosti danog logaritma, kada su poznate vrijednosti nekih logaritama s drugim bazama.
Često korišten poseban slučaj formule za prijelaz na novu bazu logaritma za c=b oblika 
. Ovo pokazuje da su log a b i log b a – . npr. 
.
Često se koristi i formula 
, što je korisno za pronalaženje vrijednosti logaritma. Da bismo potvrdili svoje riječi, pokazat ćemo kako se pomoću njega izračunava vrijednost logaritma obrasca. Imamo 
. Da bismo dokazali formulu 
dovoljno je upotrijebiti formulu prijelaza na novu bazu logaritma a: 
.
Ostaje dokazati usporedna svojstva logaritama.
Dokažimo da za bilo koje pozitivne brojeve b 1 i b 2 vrijedi b 1 log a b 2 , a za a>1 nejednakost log a b 1 Na kraju preostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava logaritama. Ograničavamo se na dokazivanje njegovog prvog dijela, odnosno dokazujemo da ako je a 1 >1 , a 2 >1 i a 1 1 je istina log a 1 b>log a 2 b . Ostale tvrdnje ovog svojstva logaritama dokazuju se sličnim principom. Upotrijebimo suprotnu metodu. Pretpostavimo da je za a 1 >1, a 2 >1 i a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je točno. Po svojstvima logaritama, ove se nejednakosti mogu prepisati kao 
I 
respektivno, a iz njih slijedi da je log b a 1 ≤log b a 2 odnosno log b a 1 ≥log b a 2. Tada, prema svojstvima potencija s istim bazama, moraju biti zadovoljene jednakosti b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2, odnosno a 1 ≥a 2 . Dakle, došli smo do kontradikcije uvjeta a 1
Bibliografija.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razrede općeobrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).
Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
- Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje trećim stranama
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno zbog sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga od javnog interesa.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.
Logaritam od b (b > 0) na bazu a (a > 0, a ≠ 1) je eksponent na koji trebate povisiti broj a da biste dobili b.
Logaritam s bazom 10 od b može se napisati kao log(b), i logaritam s bazom e (prirodni logaritam) - ln(b).
Često se koristi pri rješavanju problema s logaritmima:
Svojstva logaritama
Četiri su glavna svojstva logaritama.
Neka je a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.
Svojstvo 1. Logaritam umnoška
Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Svojstvo 2. Logaritam kvocijenta
Logaritam kvocijenta jednaka je razlici logaritama:
log a (x / y) = log a x – log a y
Svojstvo 3. Logaritam stupnja
Logaritam stupnja jednak je umnošku stupnja i logaritma:
Ako je baza logaritma u eksponentu, tada se primjenjuje druga formula:
Svojstvo 4. Logaritam korijena
Ovo se svojstvo može dobiti iz svojstva logaritma stupnja, budući da je korijen n-tog stupnja jednak potenciji 1/n:
Formula za prijelaz od logaritma po jednoj bazi do logaritma po drugoj bazi
Ova se formula također često koristi pri rješavanju raznih zadataka za logaritme:
Poseban slučaj:
Usporedba logaritama (nejednakosti)
Pretpostavimo da imamo 2 funkcije f(x) i g(x) pod logaritmima s istim bazama i da postoji znak nejednakosti između njih:
Da biste ih usporedili, prvo trebate pogledati bazu logaritama a:
- Ako je a > 0, tada je f(x) > g(x) > 0
- Ako je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Kako riješiti probleme s logaritmima: primjeri
Zadaci s logaritmima uključeni u USE iz matematike za 11. razred u zadatku 5 i zadatku 7, zadatke s rješenjima možete pronaći na našoj web stranici u odgovarajućim odjeljcima. Također, zadaci s logaritmima nalaze se u banci zadataka iz matematike. Sve primjere možete pronaći pretraživanjem stranice.
Što je logaritam
Logaritmi su se uvijek smatrali teškom temom u školskom tečaju matematike. Postoji mnogo različitih definicija logaritma, ali iz nekog razloga većina udžbenika koristi najsloženiju i najnesretniju od njih.
Logaritam ćemo definirati jednostavno i jasno. Napravimo tablicu za ovo:
Dakle, imamo potencije dvojke.
Logaritmi - svojstva, formule, kako se rješavaju
Ako uzmete broj iz donjeg retka, lako možete pronaći snagu na koju morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.
A sada - zapravo, definicija logaritma:
baza a argumenta x je potencija na koju se mora podići broj a da bi se dobio broj x.
Zapis: log a x \u003d b, gdje je a baza, x argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.
Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Moglo bi se i zapisati 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.
Operacija pronalaženja logaritma broja prema danoj bazi naziva se. Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Nažalost, ne razmatraju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Takve brojeve nazivamo iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati neograničeno dugo i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti ovako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). U početku mnogi brkaju gdje je baza, a gdje argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:
Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je snaga, na koju trebate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Ovo prekrasno pravilo govorim svojim učenicima na prvoj lekciji - i nema zabune.
Kako računati logaritme
Shvatili smo definiciju - ostaje naučiti kako brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:
- Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
- Baza se mora razlikovati od jedinice, budući da je jedinica na bilo koju potenciju još uvijek jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!
Takva se ograničenja nazivaju važeći raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuto. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1 .
Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema već su uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada u igru uđu logaritamske jednadžbe i nejednakosti, zahtjevi DHS-a postat će obvezni. Doista, u osnovi i argumentu mogu postojati vrlo jake konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.
Sada razmislite opća shema logaritamski izračuni. Sastoji se od tri koraka:
- Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput je bolje riješiti se decimalnih razlomaka;
- Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
- Rezultirajući broj b bit će odgovor.
To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan vrlo je relevantan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Slično je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje pogrešaka.
Pogledajmo kako ova shema funkcionira s konkretnim primjerima:
Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25
- Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Dobio odgovor: 2.
Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Zadatak. Izračunajte logaritam:
Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64
- Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Dobio odgovor: 3.
Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1
- Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Primljen odgovor: 0.
Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14
- Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen od sedam, jer je 7 1< 14 < 7 2 ;
- Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne uzima u obzir;
- Odgovor je bez promjene: log 7 14.
Mala napomena za posljednji primjer. Kako biti siguran da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga rastavite na proste faktore. Ako postoje barem dva različita faktora u proširenju, broj nije točna potencija.
Zadatak. Saznajte jesu li točne potencije broja: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije točna potencija jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 5 - opet nije točan stupanj;
14 \u003d 7 2 - opet nije točan stupanj;
Također napominjemo da mi primarni brojevi uvijek su točne moći same po sebi.
Decimalni logaritam
Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i oznaku.
argumenta x je logaritam s bazom 10, tj. potenciju na koju se mora podići 10 da bi se dobilo x. Oznaka: lgx.
Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.
Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte da to nije tipfeler. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x
Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.
prirodni logaritam
Postoji još jedan logaritam koji ima vlastitu notaciju. U određenom je smislu čak i važniji od decimalnog. Riječ je o o prirodnom logaritmu.
argumenta x je logaritam s bazom e, tj. potenciju na koju treba podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: lnx.
Mnogi će se upitati: što je broj e? Ovo je iracionalan broj točna vrijednost nemoguće pronaći i zabilježiti. Evo samo prvih brojki:
e = 2,718281828459…
Nećemo ulaziti u to koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x
Stoga je ln e = 1; log e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam svakog racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.
Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.
Vidi također:
Logaritam. Svojstva logaritma (potencija logaritma).
Kako predstaviti broj kao logaritam?
Koristimo se definicijom logaritma.
Logaritam je pokazatelj stepena na koji se mora podići baza da bi se dobio broj pod znakom logaritma.
Dakle, da biste određeni broj c predstavili kao logaritam na bazu a, potrebno je ispod znaka logaritma staviti stupanj s istom bazom kao i baza logaritma i taj broj c upisati u eksponent:
U obliku logaritma možete predstaviti apsolutno bilo koji broj - pozitivan, negativan, cijeli broj, razlomak, racionalan, iracionalan:
Kako ne biste pobrkali a i c u stresnim uvjetima kolokvija ili ispita, možete zapamtiti sljedeće pravilo:
ono što je ispod pada, ono gore ide gore.
Na primjer, želite predstaviti broj 2 kao logaritam s bazom 3.
Imamo dva broja - 2 i 3. Ti brojevi su baza i eksponent, koje ćemo napisati ispod znaka logaritma. Ostaje odrediti koji od ovih brojeva treba zapisati dolje, u osnovi stupnja, a koji - gore, u eksponentu.
Baza 3 u zapisu logaritma je na dnu, što znači da kada dvojku predstavljamo kao logaritam na osnovu 3, također ćemo 3 zapisati na bazu.
2 je veći od 3. A u oznaci stupnja pišemo dva iznad tri, odnosno u eksponentu:
Logaritmi. Prva razina.
Logaritmi
logaritam pozitivan broj b razumom a, Gdje a > 0, a ≠ 1, je eksponent na koji se broj mora podići. a, Dobiti b.
Definicija logaritma može se ukratko napisati ovako:
Ova jednakost vrijedi za b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obično se zove logaritamski identitet.
Radnja pronalaženja logaritma broja naziva se logaritam.
Svojstva logaritama:
Logaritam umnoška:
Logaritam kvocijenta od dijeljenja:
Zamjena baze logaritma:
Logaritam stupnja:
korijenski logaritam:
Logaritam s bazom potencije:
Decimalni i prirodni logaritmi.
Decimalni logaritam brojevi nazivaju logaritam baze 10 tog broja i pišu lg b
prirodni logaritam brojevi nazivaju logaritam ovog broja na bazu e, Gdje e je iracionalan broj, približno jednak 2,7. Istodobno pišu ln b.
Ostale bilješke o algebri i geometriji
Osnovna svojstva logaritama
Osnovna svojstva logaritama
Logaritmi se, kao i svaki drugi broj, mogu zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila, koja se zovu osnovna svojstva.
Ova se pravila moraju znati - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.
Zbrajanje i oduzimanje logaritama
Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: log a x i log a y. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!
Ove formule će vam pomoći u izračunavanju logaritamski izrazčak i kada se ne razmatraju njegovi pojedini dijelovi (vidi lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:
log 6 4 + log 6 9.
Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.
Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.
Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kao što vidite, originalni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na temelju ove činjenice mnogi testni radovi. Da, kontrola - slični izrazi s punom ozbiljnošću (ponekad - gotovo bez promjena) ponuđeni su na ispitu.
Uklanjanje eksponenta iz logaritma
Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:
To je lako vidjeti posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam.
Kako riješiti logaritme
To je ono što se najčešće traži.
Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 7 49 6 .
Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:
Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.
Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.
Prijelaz na novi temelj
Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?
U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:
Neka se da logaritamski dnevnik sjekira. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:
Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:
Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.
Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.
Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:
Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.
Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Sada okrenimo drugi logaritam:
Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.
Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.
Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:
Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:
Osnovni logaritamski identitet
Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze.
U ovom slučaju pomoći će nam formule:
U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.
Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:
Doista, što će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stupanj da broj b u tom stupnju daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi se ljudi "zakače" na njega.
Poput novih formula za pretvorbu baza, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:
Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:
Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂
Logaritamska jedinica i logaritamska nula
U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima - prije su to posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednijim" studentima.
- log a a = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
- log a 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je 0 = 1 izravna posljedica definicije.
To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.
\(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)
Objasnimo to lakše. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) jednako je potenciji \(2\) na koju se mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).
|
Primjeri: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
jer \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
jer \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argument i baza logaritma
Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":
Argument logaritma obično se piše na njegovoj razini, a baza se piše u indeksu bliže znaku logaritma. A ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet na bazi pet."
Kako izračunati logaritam?
Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: na koji stupanj treba podići bazu da dobijete argument?
Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Na koju potenciju treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očito drugo. Zato:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? A koji stupanj čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(7)\) da bi se dobilo \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stupnju jednak je sam sebi.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Na koju potenciju treba podići \(3\) da bi se dobilo \(\sqrt(3)\)? Iz znamo da je to frakcijska snaga, što znači Korijen je stupanj \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Riješenje :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Moramo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga kao x. Sada upotrijebimo definiciju logaritma: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Što povezuje \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer oba broja mogu biti predstavljena dvojkama: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
S lijeve strane koristimo svojstva stupnja: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Baze su jednake, prelazimo na jednakost pokazatelja |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Pomnožite obje strane jednadžbe s \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Dobiveni korijen je vrijednost logaritma |
Odgovor : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Zašto je izmišljen logaritam?
Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednadžbu: \(3^(x)=9\). Samo spojite \(x\) da jednakost funkcionira. Naravno, \(x=2\).
Sada riješite jednadžbu: \(3^(x)=8\). Čemu je jednako x? To je bit.
Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako točno treba napisati ovaj broj? Kako bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).
Želim naglasiti da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratko. Jer da ga želimo napisati kao decimalu, izgledalo bi ovako: \(1,892789260714.....\)
Primjer : Riješite jednadžbu \(4^(5x-4)=10\)
Riješenje :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) i \(10\) ne mogu se svesti na istu bazu. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Poslužimo se definicijom logaritma: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Okrenite jednadžbu tako da x bude s lijeve strane |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Prije nas. Pomakni \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao normalan broj. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Podijelite jednadžbu s 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Ovdje je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali odgovor nije odabran. |
Odgovor : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Decimalni i prirodni logaritmi
Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koja pozitivan broj, osim jedinice \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama postoje dvije koje se javljaju toliko često da je za logaritme s njima izmišljen poseban kratki zapis:
Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Eulerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam se piše kao \(\ln(a)\).
To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)
Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše \(\lg(a)\).
To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.
Osnovni logaritamski identitet
Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Osnovni logaritamski identitet" i izgleda ovako:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Ovo svojstvo izravno proizlazi iz definicije. Pogledajmo kako je nastala ova formula.
Prisjetimo se kratka bilješka definicije logaritma:
ako \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)
Odnosno, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\) . Ispalo je \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.
Ostala svojstva logaritama možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza s logaritmima, koje je teško izravno izračunati.
Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)
Riješenje :
Odgovor : \(25\)
Kako napisati broj kao logaritam?
Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. Vrijedi i obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.
Ali \(\log_(3)(9)\) također je jednako \(2\), tako da također možete napisati \(2=\log_(3)(9)\) . Slično s \(\log_(5)(25)\), i s \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispada
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Stoga, ako trebamo, možemo zapisati dva kao logaritam s bilo kojom bazom bilo gdje (čak iu jednadžbi, čak i u izrazu, čak i u nejednadžbi) - samo zapišemo kvadrat baze kao argument.
Isto je i s trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje pišemo bazu u kocki kao argument:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
I sa četiri:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
I sa minus jedan:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)
I s jednom trećinom:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam s bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Riješenje :
Odgovor : \(1\)
