Prirodni logaritam od 0 jednak je. Logaritam

Što je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge maturante. Tradicionalno se tema logaritama smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno - jednadžbe s logaritmima.

To apsolutno nije točno. Apsolutno! Ne vjerujete? Fino. Sada, nekih 10-20 minuta vi:

1. Razumjeti što je logaritam.

2. Naučite rješavati cijelu klasu eksponencijalnih jednadžbi. Čak i ako niste čuli za njih.

3. Naučiti izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za ovo ćete morati znati samo tablicu množenja i kako se broj podiže na potenciju ...

Osjećam da sumnjate ... Pa, čuvajte vrijeme! Ići!

Prvo u mislima riješite sljedeću jednadžbu:

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Logaritam broja b na bazu a je eksponent na koji trebate povisiti broj a da biste dobili broj b.

Ako tada .

Logaritam je izuzetno važna matematička veličina, budući da logaritamski račun omogućuje ne samo rješavanje eksponencijalne jednadžbe, ali i raditi s indikatorima, razlikovati eksponencijalne i logaritamske funkcije, integrirati ih i dovesti do prihvatljivijeg oblika za izračunavanje.

U kontaktu s

Sva svojstva logaritama izravno su povezana sa svojstvima eksponencijalne funkcije. Na primjer, činjenica da znači da:

Treba napomenuti da pri rješavanju specifičnih problema svojstva logaritama mogu biti važnija i korisnija od pravila za rad s ovlastima.

Evo nekoliko identiteta:

Evo glavnih algebarskih izraza:

;

.

Pažnja! može postojati samo za x>0, x≠1, y>0.

Pokušajmo razumjeti pitanje što su prirodni logaritmi. Odvojeno zanimanje za matematiku predstavljaju dvije vrste- prvi ima broj "10" u podnožju, a zove se " decimalni logaritam". Drugi se naziva prirodnim. Osnovica prirodnog logaritma je broj e. O njemu ćemo detaljno govoriti u ovom članku.

Oznake:

• lg x - decimala;
• ln x - prirodno.

Koristeći se identitetom, možemo vidjeti da je ln e = 1, kao i da je lg 10=1.

prirodni log graf

Konstruiramo graf prirodnog logaritma na standardni klasičan način po točkama. Ako želite, možete provjeriti gradimo li funkciju ispravno pregledom funkcije. Međutim, ima smisla naučiti kako ga graditi "ručno" kako biste znali ispravno izračunati logaritam.

Funkcija: y = log x. Napišimo tablicu točaka kroz koje će graf prolaziti:

Objasnimo zašto smo odabrali takve vrijednosti argumenta x. Sve je u identitetu: Za prirodni logaritam, ovaj identitet će izgledati ovako:

Radi praktičnosti, možemo uzeti pet referentnih točaka:

;

;

.

;

.

Dakle, brojanje prirodnih logaritama je prilično jednostavan zadatak, štoviše, pojednostavljuje izračun operacija s ovlastima, pretvarajući ih u normalno množenje.

Izgradnjom grafa po točkama dobivamo približni graf:

Domena prirodnog logaritma (to jest, sve važeće vrijednosti argumenta X) su svi brojevi veći od nule.

Pažnja! Područje definiranja prirodnog logaritma uključuje samo pozitivni brojevi! Opseg ne uključuje x=0. To je nemoguće na temelju uvjeta postojanja logaritma.

Raspon vrijednosti (tj. sve važeće vrijednosti funkcije y = ln x) su svi brojevi u intervalu.

granica prirodnog dnevnika

Proučavajući graf, postavlja se pitanje - kako se funkcija ponaša kada y<0.

Očito, graf funkcije teži prijeći y-os, ali to neće moći učiniti, budući da je prirodni logaritam od x<0 не существует.

Prirodna granica log može se napisati ovako:

Formula za promjenu baze logaritma

Rad s prirodnim logaritmom mnogo je lakši nego rad s logaritmom koji ima proizvoljnu bazu. Zato ćemo pokušati naučiti kako svesti bilo koji logaritam na prirodni ili ga izraziti u proizvoljnoj bazi kroz prirodne logaritme.

Počnimo s logaritamskim identitetom:

Tada se bilo koji broj ili varijabla y može predstaviti kao:

gdje je x bilo koji broj (pozitivan prema svojstvima logaritma).

Ovaj izraz se može logaritmirati s obje strane. Učinimo to s proizvoljnom bazom z:

Upotrijebimo svojstvo (samo umjesto "with" imamo izraz):

Odavde dobivamo univerzalnu formulu:

.

Konkretno, ako je z=e, tada:

.

Uspjeli smo prikazati logaritam proizvoljnoj bazi kroz omjer dva prirodna logaritma.

Rješavamo probleme

Kako biste se bolje snalazili u prirodnim logaritmima, razmotrite primjere nekoliko problema.

Zadatak 1. Potrebno je riješiti jednadžbu ln x = 3.

Riješenje: Koristeći definiciju logaritma: ako , onda , dobivamo:

Zadatak 2. Riješite jednadžbu (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Rješenje: Koristeći definiciju logaritma: ako , onda , dobivamo:

.

Još jednom primjenjujemo definiciju logaritma:

.

Tako:

.

Odgovor možete približno izračunati ili ga možete ostaviti u ovom obrascu.

Zadatak 3. Riješite jednadžbu.

Riješenje: Napravimo zamjenu: t = ln x. Tada će jednadžba imati sljedeći oblik:

.

Imamo kvadratnu jednadžbu. Nađimo njegovu diskriminantu:

Prvi korijen jednadžbe:

.

Drugi korijen jednadžbe:

.

Sjetimo se da smo napravili zamjenu t = ln x, dobivamo:

U statistici i teoriji vjerojatnosti logaritamske su veličine vrlo česte. To ne čudi, jer broj e - često odražava stopu rasta eksponencijalnih vrijednosti.

U informatici, programiranju i teoriji računala, logaritmi su prilično česti, na primjer, kako bi se u memoriju pohranilo N bitova.

U teorijama fraktala i dimenzija stalno se koriste logaritmi, budući da se jedino pomoću njih određuju dimenzije fraktala.

U mehanici i fizici nema odjeljka gdje se nisu koristili logaritmi. Barometrijska raspodjela, svi principi statističke termodinamike, jednadžba Ciolkovskog i tako dalje su procesi koji se mogu opisati samo matematički koristeći logaritme.

U kemiji se logaritam koristi u Nernstovim jednadžbama, opisima redoks procesa.

Nevjerojatno, čak iu glazbi, kako bi se saznao broj dijelova oktave, koriste se logaritmi.

Prirodni logaritam Funkcija y=ln x njena svojstva

Dokaz glavnog svojstva prirodnog logaritma

često uzeti broj e = 2,718281828 . Logaritmi u ovoj bazi nazivaju se prirodni. Kada se izvode izračuni s prirodnim logaritmima, uobičajeno je raditi sa znakom ln, ali ne log; dok je broj 2,718281828 , definirajući bazu, ne ukazuju.

Drugim riječima, tekst će izgledati ovako: prirodni logaritam brojevima x je eksponent na koji treba povećati broj e, Dobiti x.

Tako, U (7,389...)= 2 jer e 2 =7,389... . Prirodni logaritam samog broja e= 1 jer e 1 =e, a prirodni logaritam jedinice je jednak nuli, jer e 0 = 1.

Sam broj e definira limit monotonog ograničenog niza

izračunao da e = 2,7182818284... .

Vrlo često, kako bi se popravio broj u memoriji, znamenke traženog broja povezuju se s nekim izvanrednim datumom. Brzina pamćenja prvih devet znamenki broja e nakon decimalne točke će se povećati ako primijetite da je 1828. godina rođenja Lava Tolstoja!

Do danas postoje prilično potpune tablice prirodnih logaritama.

prirodni log graf(funkcije y=u x) posljedica je prikaza eksponenta kao zrcalne slike u odnosu na ravnu liniju y = x i izgleda ovako:

Prirodni logaritam može se pronaći za svaki pozitivni realni broj a kao površina ispod krivulje g = 1/x iz 1 prije a.

Elementarnost ove formulacije, koja se slaže s mnogim drugim formulama u kojima je uključen prirodni logaritam, bila je razlog nastanka naziva "prirodni".

Ako analiziramo prirodni logaritam, kao realna funkcija realne varijable, tada djeluje inverzna funkcija na eksponencijalnu funkciju, koja se svodi na identitete:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Po analogiji sa svim logaritmima, prirodni logaritam pretvara množenje u zbrajanje, dijeljenje u oduzimanje:

ul(xy) = ul(x) + ul(g)

ul(x/y)= lnx - lny

Logaritam se može pronaći za svaku pozitivnu bazu koja nije jednaka jedinici, ne samo za e, ali se logaritmi za druge baze razlikuju od prirodnog logaritma samo po konstantnom faktoru i obično se definiraju u terminima prirodnog logaritma.

Nakon što je analizirao prirodni log graf, dobivamo da postoji za pozitivne vrijednosti varijable x. Monotono raste na svojoj domeni definicije.

Na x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost ( -∞ ).Na x → +∞ granica prirodnog logaritma je plus beskonačno ( + ∞ ). U cjelini x logaritam raste prilično sporo. Bilo koja funkcija snage x a s pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma. Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema.

Korištenje prirodni logaritmi vrlo racionalan u prolazu više matematike. Stoga je uporaba logaritma prikladna za pronalaženje odgovora na jednadžbe u kojima se nepoznanice pojavljuju kao eksponent. Korištenje prirodnih logaritama u izračunima omogućuje uvelike olakšavanje velikog broja matematičkih formula. osnovni logaritmi e prisutni su u rješavanju značajnog broja fizikalnih problema i prirodno su uključeni u matematički opis pojedinih kemijskih, bioloških i drugih procesa. Stoga se logaritmi koriste za izračunavanje konstante raspada za poznato vrijeme poluraspada ili za izračunavanje vremena raspada pri rješavanju problema radioaktivnosti. Imaju vodeću ulogu u mnogim dijelovima matematike i praktičnih znanosti, pribjegavaju im se u području financija za rješavanje velikog broja problema, uključujući izračun složenih kamata.

Lekcija i prezentacija na teme: "Prirodni logaritmi. Baza prirodnog logaritma. Logaritam prirodnog broja"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna pomagala i simulatori u online trgovini "Integral" za 11. razred
Interaktivni priručnik za razrede 9-11 "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za razrede 10-11 "Logaritmi"

Što je prirodni logaritam

Dečki, u prošloj lekciji naučili smo novi, poseban broj - e. Danas ćemo nastaviti raditi s ovim brojem.
Proučavali smo logaritme i znamo da baza logaritma može biti skup brojeva koji su veći od 0. Danas ćemo također razmotriti logaritam koji se temelji na broju e. Takav logaritam se obično naziva prirodnim logaritmom . Ima svoju notaciju: $\ln(n)$ je prirodni logaritam. Ova notacija je ekvivalentna: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponencijalna i logaritamska funkcija su inverzne, tada je prirodni logaritam inverzna funkcija: $y=e^x$.
Inverzne funkcije su simetrične u odnosu na ravnu liniju $y=x$.
Nacrtajmo prirodni logaritam crtanjem eksponencijalne funkcije s obzirom na ravnu liniju $y=x$.

Važno je napomenuti da je nagib tangente na graf funkcije $y=e^x$ u točki (0;1) 45°. Tada će nagib tangente na graf prirodnog logaritma u točki (1; 0) također biti jednak 45°. Obje ove tangente bit će paralelne s pravcem $y=x$. Skiciramo tangente:

Svojstva funkcije $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nije ni paran ni neparan.
3. Povećava se preko cijele domene definicije.
4. Nije ograničeno odozgo, nije ograničeno odozdo.
5. Ne postoji maksimalna vrijednost, ne postoji minimalna vrijednost.
6. Kontinuirano.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveksno gore.
9. Svugdje se može razlikovati.

U tečaju više matematike dokazuje se da derivacija inverzne funkcije je recipročna vrijednost derivacije dane funkcije.
Nema puno smisla upuštati se u dokaz, samo napišimo formulu: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Primjer.
Izračunajte vrijednost derivacije funkcije: $y=\ln(2x-7)$ u točki $x=4$.
Riješenje.
Općenito, naša funkcija je predstavljena funkcijom $y=f(kx+m)$, možemo izračunati derivacije takvih funkcija.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Izračunajmo vrijednost derivacije u traženoj točki: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Odgovor: 2.

Primjer.
Nacrtajte tangentu na graf funkcije $y=ln(x)$ u točki $x=e$.
Riješenje.
Jednadžbu tangente na graf funkcije, u točki $x=a$, dobro smo zapamtili.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Izračunajmo redoslijedom potrebne vrijednosti.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Jednadžba tangente u točki $x=e$ je funkcija $y=\frac(x)(e)$.
Nacrtajmo prirodni logaritam i tangens.

Primjer.
Istražite funkciju za monotonost i ekstreme: $y=x^6-6*ln(x)$.
Riješenje.
Domena funkcije $D(y)=(0;+∞)$.
Nađi izvod zadane funkcije:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivacija postoji za sve x iz domene definicije, tada nema kritičnih točaka. Nađimo stacionarne točke:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Točka $h=-1$ ne pripada domeni definicije. Tada imamo jednu stacionarnu točku $h=1$. Pronađite intervale povećanja i smanjenja:

Točka $x=1$ je minimalna točka, tada $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Odgovor: Funkcija je padajuća na segmentu (0;1], funkcija je rastuća na zraku $)