Značenje kvadratne jednadžbe. Rješenje kvadratnih jednadžbi, formula korijena, primjeri
Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi pravih, višestrukih i kompleksnih korijena. Faktorizacija kvadratnog trinoma. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktorizacije.
Osnovne formule
Razmotrimo kvadratnu jednadžbu:
(1)
.
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
;
.
Ove formule mogu se kombinirati ovako:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stupnja može prikazati kao umnožak faktora (faktoriziran):
.
Nadalje, pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Smatrati diskriminanta kvadratne jednadžbe:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
;
.
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminant nula, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminant negativan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je zamišljena jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
;
.
Zatim
.
Grafička interpretacija
Ako se gradi graf funkcije
,
koja je parabola, tada će točke presjeka grafa s osi biti korijeni jednadžbe
.
Kada je , graf siječe apscisnu os (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-os u jednoj točki.
Kada je , graf ne prelazi x-os.
Ispod su primjeri takvih grafikona.
Korisne formule povezane s kvadratnom jednadžbom
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe
Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):
,
Gdje
;
.
Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stupnja u obliku:
.
Iz ovoga se vidi da jednadžba
izvedeno na
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.
Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe
Primjer 1
(1.1)
.
Riješenje
.
Uspoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant pozitivan, jednadžba ima dva realna korijena:
;
;
.
Odavde dobivamo rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore:
.
Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 siječe x-os u dvije točke.
Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca x-os (os) u dvije točke:
i .
Ove točke su korijeni izvorne jednadžbe (1.1).
Odgovor
;
;
.
Primjer 2
Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1)
.
Riješenje
Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u opći pogled:
.
Uspoređujući s izvornom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant nula, jednadžba ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.
Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.
Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-os u jednoj točki.
Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dotiče x-osu (os) u jednoj točki:
.
Ova točka je korijen izvorne jednadžbe (2.1). Budući da je ovaj korijen faktoriziran dva puta:
,
onda se takav korijen naziva višekratnik. Odnosno, oni smatraju da postoje dva jednaka korijena:
.
Odgovor
;
.
Primjer 3
Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1)
.
Riješenje
Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
(1)
.
Prepišimo izvornu jednadžbu (3.1):
.
Uspoređujući s (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Diskriminanta je negativna, . Dakle, nema pravih korijena.
Možete pronaći složene korijene:
;
;
.
Zatim
.
Graf funkcije ne siječe x-os. Nema pravih korijena.
Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne siječe apscisu (os). Dakle, nema pravih korijena.
Odgovor
Nema pravih korijena. Složeni korijeni:
;
;
.
Video lekcija 2: Rješavanje kvadratnih jednadžbi
Predavanje: Kvadratne jednadžbe
Jednadžba
Jednadžba- ovo je vrsta jednakosti, u čijim izrazima postoji varijabla.
riješiti jednadžbu- znači pronaći takav broj umjesto varijable koja će ga dovesti do točne jednakosti.
Jednadžba može imati jedno rješenje, nekoliko ili niti jedno rješenje.
Za rješavanje bilo koje jednadžbe potrebno ju je maksimalno pojednostaviti na oblik:
Linearno: a*x = b;
Kvadrat: a*x 2 + b*x + c = 0.
To jest, svaka jednadžba prije rješavanja mora se pretvoriti u standardni oblik.
Svaka jednadžba se može riješiti na dva načina: analitički i grafički.
Na grafu se rješenjem jednadžbe smatraju točke u kojima graf siječe x-os.
Kvadratne jednadžbe
Jednadžba se može nazvati kvadratnom ako, kada se pojednostavi, ima oblik:
a*x 2 + b*x + c = 0.
pri čemu a, b, c su koeficijenti jednadžbe koji se razlikuju od nule. A "X"- korijen jednadžbe. Vjeruje se da kvadratna jednadžba ima dva korijena ili da uopće ne mora imati rješenje. Dobiveni korijeni mogu biti isti.
"A"- koeficijent koji stoji ispred korijena u kvadratu.
"b"- stoji pred nepoznatim na prvom stupnju.
"S"- slobodni član jednadžbe.
Ako, na primjer, imamo jednadžbu oblika:
2x 2 -5x+3=0
U njemu je "2" koeficijent na najvišem članu jednadžbe, "-5" je drugi koeficijent, a "3" je slobodni član.
Rješavanje kvadratne jednadžbe
Postoji mnogo načina za rješavanje kvadratne jednadžbe. Međutim, u školskom tečaju matematike, rješenje se proučava pomoću Vieta teorema, kao i pomoću diskriminante.
Diskriminativno rješenje:
Prilikom rješavanja sa ovu metodu potrebno je izračunati diskriminant prema formuli:
Ako ste tijekom izračuna dobili da je diskriminant manji od nule, to znači da ova jednadžba nema rješenja.
Ako je diskriminant nula, onda jednadžba ima dva identična rješenja. U tom slučaju polinom se može sažeti prema skraćenoj formuli množenja na kvadrat zbroja ili razlike. Zatim je riješite kao linearnu jednadžbu. Ili upotrijebite formulu:
Ako je diskriminant veći od nule, tada se mora koristiti sljedeća metoda:
Vietin teorem
Ako je jednadžba reducirana, to jest, koeficijent na najvišem članu je jednak jedan, tada možete koristiti Vietin teorem.
Dakle, recimo da je jednadžba:
Korijeni jednadžbe nalaze se na sljedeći način:
Nepotpuna kvadratna jednadžba
Postoji nekoliko opcija za dobivanje nepotpune kvadratne jednadžbe, čiji oblik ovisi o prisutnosti koeficijenata.
1. Ako su drugi i treći koeficijent jednaki nuli (b=0, c=0), tada će kvadratna jednadžba izgledati ovako:
Ova će jednadžba imati jedina odluka. Jednakost će biti istinita samo ako je rješenje jednadžbe nula.
U nastavku teme “Rješavanje jednadžbi”, materijal u ovom članku uvest će vas u kvadratne jednadžbe.
Razmotrimo sve detaljno: suštinu i zapis kvadratne jednadžbe, postavimo srodne pojmove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpunih jednadžbi, upoznamo se s formulom korijena i diskriminantom, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, i naravno dat ćemo vizualno rješenje praktičnih primjera.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kvadratna jednadžba, njene vrste
Definicija 1Kvadratna jednadžba je jednadžba napisana kao a x 2 + b x + c = 0, Gdje x– varijabla, a , b i c su neki brojevi, dok a nije nula.
Često se kvadratne jednadžbe nazivaju i jednadžbama drugog stupnja, jer je zapravo kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugog stupnja.
Navedimo primjer za ilustraciju date definicije: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. su kvadratne jednadžbe.
Definicija 2
Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koef a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent pri x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, A c naziva slobodnim članom.
Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najveći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pozornost na činjenicu da kada su koeficijenti b i/ili c su tada negativni kratki oblik evidencija obrasca 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Pojasnimo i ovaj aspekt: ako koeficijenti a i/ili b jednak 1 ili − 1 , tada možda neće eksplicitno sudjelovati u pisanju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava osobitostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 seniorski koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .
Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe
Prema vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne jednadžbe dijelimo na reducirane i nereducirane.
Definicija 3
Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba je nereducirana.
Evo nekoliko primjera: reducirane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, u svakoj od kojih je vodeći koeficijent 1 .
9 x 2 - x - 2 = 0- nereducirana kvadratna jednadžba, gdje je prvi koeficijent različit od 1 .
Svaka nereducirana kvadratna jednadžba može se pretvoriti u reduciranu jednadžbu dijeljenjem oba njezina dijela s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba će imati iste korijene kao i dana nereducirana jednadžba ili također neće imati korijene.
Obzir studija slučaja omogućit će nam vizualnu demonstraciju prijelaza s nereducirane kvadratne jednadžbe na reduciranu.
Primjer 1
Zadana je jednadžba 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Potrebno je izvornu jednadžbu pretvoriti u reducirani oblik.
Riješenje
Prema gornjoj shemi, oba dijela izvorne jednadžbe dijelimo s vodećim koeficijentom 6 . Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7 : 3 = 0 i dalje: (6 : 6) x 2 + (18 : 6) x − 7 : 6 = 0 . Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobiva jednadžba ekvivalentna zadanoj.
Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe
Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to naveli a ≠ 0. Sličan uvjet je neophodan za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 bio točno kvadrat, budući da a = 0 u biti pretvara u linearnu jednadžbu b x + c = 0.
U slučaju kada su koeficijenti b I c jednaki nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba se naziva nepotpunom.
Definicija 4
Nepotpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c \u003d 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b I c(ili oboje) je nula.
Potpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba u kojoj svi numerički koeficijenti nisu jednaki nuli.
Razmotrimo zašto se vrstama kvadratnih jednadžbi daju upravo takvi nazivi.
Za b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto što i a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratna jednadžba se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 jednadžba će dobiti oblik a x 2 = 0. Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže niti član s varijablom x, niti slobodni član, niti oboje odjednom. Zapravo, ta je činjenica dala naziv ovoj vrsti jednadžbi - nepotpune.
Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.
Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi
Gore navedena definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
- a x 2 = 0, koeficijenti odgovaraju takvoj jednadžbi b = 0 i c = 0;
- a x 2 + c \u003d 0 za b \u003d 0;
- a x 2 + b x = 0 za c = 0 .
Razmotrimo redom rješenja svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.
Rješenje jednadžbe a x 2 \u003d 0
Kao što je već gore spomenuto, takva jednadžba odgovara koeficijentima b I c, jednako nuli. Jednadžba a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednadžbu x2 = 0, koju dobijemo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe s brojem a, nije jednako nuli. Očita je činjenica da je korijen jednadžbe x2 = 0 je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema drugih korijena, što se objašnjava svojstvima stupnja: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je istinita p2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p2 = 0 nikada neće biti dostignut.
Definicija 5
Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 = 0 postoji jedan korijen x=0.
Primjer 2
Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednadžbi x2 = 0, njegov jedini korijen je x=0, tada izvorna jednadžba ima jedan korijen - nulu.
Rješenje je sažeto kako slijedi:
− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.
Rješenje jednadžbe a x 2 + c \u003d 0
Sljedeće na redu je rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b \u003d 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbi oblika a x 2 + c = 0. Transformirajmo ovu jednadžbu prenošenjem člana s jedne strane jednadžbe na drugu, promjenom predznaka u suprotan i dijeljenjem obje strane jednadžbe s brojem koji nije jednak nuli:
- izdržati c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 = − c;
- podijelite obje strane jednadžbe s a, dobivamo kao rezultat x = - c a .
Naše transformacije su ekvivalentne, odnosno rezultirajuća jednadžba je također ekvivalentna originalnoj, a ta činjenica omogućuje izvođenje zaključka o korijenima jednadžbe. Od čega su vrijednosti a I c ovisi o vrijednosti izraza - c a: može imati znak minus (na primjer, if a = 1 I c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = -2 I c=6, tada je - c a = - 6 - 2 = 3); nije jednak nuli jer c ≠ 0. Zadržimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .
U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti istinita.
Sve je drugačije kada je - c a > 0: sjetite se kvadratnog korijena i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 \u003d - c a biti broj - c a, budući da je - c a 2 \u003d - c a. Lako je razumjeti da je broj - - c a - također korijen jednadžbe x 2 = - c a: doista, - - c a 2 = - c a .
Jednadžba neće imati drugih korijena. To možemo pokazati koristeći suprotnu metodu. Prvo, postavimo zapis korijena pronađenih gore kao x 1 I − x 1. Pretpostavimo da jednadžba x 2 = - c a također ima korijen x2, koji se razlikuje od korijena x 1 I − x 1. To znamo zamjenom u jednadžbu umjesto x njezine korijene, transformiramo jednadžbu u pravednu numeričku jednakost.
Za x 1 I − x 1 napiši: x 1 2 = - c a , i za x2- x 2 2 \u003d - c a. Na temelju svojstava numeričkih jednakosti oduzimamo jednu pravu jednakost od drugog člana po član, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Upotrijebite svojstva numeričkih operacija da prepišete posljednju jednakost kao (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je umnožak dvaju brojeva nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz rečenog proizlazi da x1 − x2 = 0 i/ili x1 + x2 = 0, što je isto x2 = x1 i/ili x 2 = − x 1. Pojavila se očita kontradikcija, jer se isprva složilo da je korijen jednadžbe x2 razlikuje se od x 1 I − x 1. Dakle, dokazali smo da jednadžba nema drugih korijena osim x = - c a i x = - - c a .
Sažimamo sve gore navedene argumente.
Definicija 6
Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a , koja:
- neće imati korijene na - c a< 0 ;
- imat će dva korijena x = - c a i x = - - c a kada je - c a > 0 .
Navedimo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c = 0.
Primjer 3
Zadana je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 . Potrebno je pronaći njegovo rješenje.
Riješenje
Slobodni član prenesemo na desnu stranu jednadžbe, tada će jednadžba poprimiti oblik 9 x 2 \u003d - 7.
Obje strane dobivene jednadžbe podijelimo s 9
, dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj s predznakom minus, što znači: navedena jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korijena.
Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.
Primjer 4
Potrebno je riješiti jednadžbu − x2 + 36 = 0.
Riješenje
Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela na − 1
, dobivamo x2 = 36. Na desnoj strani - pozitivan broj, pa se može zaključiti da
x = 36 ili
x = - 36 .
Izvadimo korijen i zapišemo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednadžba − x2 + 36 = 0 ima dva korijena x=6 ili x = -6.
Odgovor: x=6 ili x = -6.
Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0
Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristimo metodu faktorizacije. Faktorizirajmo polinom, koji je na lijevoj strani jednadžbe, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njezin ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova je jednadžba, pak, ekvivalentna skupu jednadžbi x=0 I a x + b = 0. Jednadžba a x + b = 0 linearna, a njen korijen: x = − b a.
Definicija 7
Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imat će dva korijena x=0 I x = − b a.
Učvrstimo gradivo primjerom.
Primjer 5
Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .
Riješenje
Izvadimo x izvan zagrada i dobijemo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbama x=0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sada biste trebali riješiti dobivenu linearnu jednadžbu: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .
Ukratko, zapisujemo rješenje jednadžbe na sljedeći način:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 ili x = 3 3 7
Odgovor: x = 0, x = 3 3 7 .
Diskriminanta, formula korijena kvadratne jednadžbe
Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:
Definicija 8
x = - b ± D 2 a, gdje je D = b 2 − 4 a c je takozvani diskriminant kvadratne jednadžbe.
Pisanje x \u003d - b ± D 2 a u biti znači da je x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.
Bit će korisno razumjeti kako je navedena formula izvedena i kako je primijeniti.
Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe
Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Provedimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:
- podijeli obje strane jednadžbe brojem a, različito od nule, dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
- izdvojiti puni kvadrat na lijevoj strani rezultirajuće jednadžbe:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
Nakon toga, jednadžba će poprimiti oblik: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0; - sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- konačno, transformiramo izraz napisan na desnoj strani posljednje jednakosti:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.
Tako smo došli do jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , koja je ekvivalentna izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0.
O rješavanju takvih jednadžbi raspravljali smo u prethodnim paragrafima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje izvođenje zaključaka o korijenima jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:
- za b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednadžba ima oblik x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.
Odavde je očit jedini korijen x = - b 2 · a;
- za b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, točan je: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , što je isto kao x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.
Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a time i izvorne jednadžbe) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 a c 4 · a 2 napisano s desne strane. A znak ovog izraza dat je znakom brojnika, (nazivnika 4 do 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno predznak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c daje se naziv - diskriminanta kvadratne jednadžbe i definira se slovo D kao njezina oznaka. Ovdje možete napisati bit diskriminante - po njegovoj vrijednosti i znaku zaključuju hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene, i, ako hoće, koliko korijena - jedan ili dva.
Vratimo se na jednadžbu x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Prepišimo to koristeći diskriminacijski zapis: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Rezimirajmo zaključke:
Definicija 9
- na D< 0 jednadžba nema pravih korijena;
- na D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
- na D > 0 jednadžba ima dva korijena: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ili x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Na temelju svojstava radikala, ti se korijeni mogu napisati kao: x \u003d - b 2 a + D 2 a ili - b 2 a - D 2 a. A kada otvorimo module i svedemo razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.
Dakle, rezultat našeg razmišljanja je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:
x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminanta D izračunati po formuli D = b 2 − 4 a c.
Ove formule omogućuju, kada je diskriminant veći od nule, da se odrede oba stvarna korijena. Kada je diskriminant nula, primjena obje formule dat će isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, pokušavajući koristiti formulu kvadratnog korijena, suočit ćemo se s potrebom izdvajanja Korijen od negativnog broja, što će nas odvesti dalje od realnih brojeva. S negativnom diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati prave korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određenih istim formulama korijena koje smo dobili.
Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula
Moguće je riješiti kvadratnu jednadžbu odmah koristeći formulu korijena, ali u osnovi se to radi kada je potrebno pronaći složene korijene.
U većini slučajeva, pretraga se obično ne odnosi na kompleksne, već na stvarne korijene kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe prvo odrediti diskriminantu i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a zatim prijeći na izračunavanje vrijednost korijena.
Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.
Definicija 10
Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, potrebno:
- prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći vrijednost diskriminante;
- kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- za D = 0 pronađite jedini korijen jednadžbe po formuli x = - b 2 · a ;
- za D > 0 odredite dva realna korijena kvadratne jednadžbe formulom x = - b ± D 2 · a.
Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a , ona će dati isti rezultat kao formula x = - b 2 · a .
Razmotrite primjere.
Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi
Navedimo primjer rješenja za različite vrijednosti diskriminirajući.
Primjer 6
Potrebno je pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x - 6 = 0.
Riješenje
Zapisujemo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a \u003d 1, b \u003d 2 i c = − 6. Zatim postupamo prema algoritmu, tj. Počnimo računati diskriminantu, za koju ćemo zamijeniti koeficijente a , b I c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .
Dakle, dobili smo D > 0, što znači da će originalna jednadžba imati dva stvarna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo korijensku formulu x \u003d - b ± D 2 · a, zamjenjujući odgovarajuće vrijednosti, dobivamo: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Dobiveni izraz pojednostavljujemo izuzimanjem faktora iz predznaka korijena, nakon čega slijedi smanjenje razlomka:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7
Odgovor: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .
Primjer 7
Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Riješenje
Definirajmo diskriminantu: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Uz ovu vrijednost diskriminante, izvorna jednadžba će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5
Odgovor: x = 3, 5.
Primjer 8
Potrebno je riješiti jednadžbu 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Riješenje
Brojčani koeficijenti ove jednadžbe bit će: a = 5 , b = 6 i c = 2 . Koristimo ove vrijednosti da bismo pronašli diskriminant: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunata diskriminacija je negativna, tako da izvorna kvadratna jednadžba nema realne korijene.
U slučaju kada je zadatak naznačiti složene korijene, primjenjujemo formulu korijena izvodeći operacije s kompleksnim brojevima:
x \u003d - 6 ± - 4 2 5,
x \u003d - 6 + 2 i 10 ili x \u003d - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 i ili x = - 3 5 - 1 5 i .
Odgovor: nema pravih korijena; složeni korijeni su: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .
U školski plan i program prema zadanim postavkama, nema zahtjeva za traženjem složenih korijena, stoga, ako se diskriminant tijekom rješavanja odredi kao negativan, odmah se bilježi odgovor da nema pravih korijena.
Formula za korijen parnih koeficijenata sekunde
Korijenska formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja vam omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom pri x (ili s koeficijentom oblika 2 a n, na primjer, 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo kako je ova formula izvedena.
Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom pronalaženja rješenja kvadratne jednadžbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Ponašamo se prema algoritmu: odredimo diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , a zatim koristimo formulu korijena:
x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .
Neka izraz n 2 − a c bude označen kao D 1 (ponekad se označava D "). Tada će formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n imati oblik:
x \u003d - n ± D 1 a, gdje je D 1 \u003d n 2 - a c.
Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1 , odnosno D 1 = D 4 . Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminante. Očito, predznak D 1 je isti kao predznak D, što znači da predznak D 1 također može poslužiti kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.
Definicija 11
Dakle, da bi se pronašlo rješenje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, potrebno je:
- nađi D 1 = n 2 − a c ;
- na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- za D 1 = 0 jedini korijen jednadžbe odredite formulom x = - n a ;
- za D 1 > 0, odredite dva realna korijena pomoću formule x = - n ± D 1 a.
Primjer 9
Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.
Riješenje
Drugi koeficijent dane jednadžbe može se prikazati kao 2 · (− 3) . Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , gdje je a = 5 , n = − 3 i c = − 32 .
Izračunajmo četvrti dio diskriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva realna korijena. Definiramo ih odgovarajućom formulom korijena:
x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,
x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 ili x = - 2
Bilo bi moguće izvesti izračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom bi slučaju rješenje bilo glomaznije.
Odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .
Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi
Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.
Na primjer, kvadratna jednadžba 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 očito je prikladnija za rješavanje od 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.
Češće se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe izvodi množenjem ili dijeljenjem njezina oba dijela s određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednadžbe 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, dobiven dijeljenjem oba njezina dijela sa 100.
Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu međusobno povezani primarni brojevi. Tada je uobičajeno obje strane jednadžbe podijeliti s najvećim zajednički djelitelj apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata.
Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definirajmo gcd apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Podijelimo oba dijela izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .
Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se eliminiraju frakcijski koeficijenti. U ovom slučaju pomnožite s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tada će biti zapisan u više jednostavna forma x 2 + 4 x - 18 = 0 .
Na kraju napominjemo da se gotovo uvijek oslobađamo minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe, mijenjajući predznake svakom članu jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) oba dijela s −1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, možete prijeći na njezinu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.
Odnos između korijena i koeficijenata
Već poznata formula za korijene kvadratnih jednadžbi x = - b ± D 2 · a izražava korijene jednadžbe preko njezinih numeričkih koeficijenata. Na temelju ove formule imamo mogućnost postaviti druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.
Najpoznatije i najprimjenjivije su formule Vieta teorema:
x 1 + x 2 \u003d - b a i x 2 \u003d c a.
Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu zbroj korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, po obliku kvadratne jednadžbe 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a produkt korijena 22 3.
Također možete pronaći niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u obliku koeficijenata:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Ova bi se tema u početku mogla činiti teškom zbog mnogih jednostavne formule. Ne samo da same kvadratne jednadžbe imaju duge unose, već se i korijeni nalaze pomoću diskriminante. Ukupno su tri nove formule. Nije baš lako zapamtiti. To je moguće samo nakon čestog rješavanja takvih jednadžbi. Tada će se sve formule same zapamtiti.
Opći pogled na kvadratnu jednadžbu
Ovdje se predlaže njihova eksplicitna notacija, kada je najveći stupanj napisan prvi, a zatim - u silaznom redoslijedu. Često postoje situacije kada se pojmovi razlikuju. Tada je bolje prepisati jednadžbu silaznim redoslijedom stupnja varijable.
Uvedimo notaciju. Oni su prikazani u tablici ispod.
Ako prihvatimo ove oznake, sve kvadratne jednadžbe svode se na sljedeću oznaku.
Štoviše, koeficijent a ≠ 0. Označimo ovu formulu brojem jedan.
Kada je jednadžba dana, nije jasno koliko će korijena biti u odgovoru. Jer uvijek je moguća jedna od tri opcije:
- otopina će imati dva korijena;
- odgovor će biti jedan broj;
- Jednadžba uopće nema korijena.
I dok odluka nije dovedena do kraja, teško je razumjeti koja će od opcija ispasti u pojedinom slučaju.
Vrste zapisa kvadratnih jednadžbi
Zadaci mogu imati različite unose. Neće uvijek izgledati kao opća formula kvadratne jednadžbe. Ponekad će nedostajati neki pojmovi. Gore napisano je potpuna jednadžba. Ako u njemu uklonite drugi ili treći izraz, dobit ćete nešto drugačije. Ovi zapisi se također nazivaju kvadratne jednadžbe, samo nepotpune.
Štoviše, samo članovi za koje koeficijenti "b" i "c" mogu nestati. Broj "a" ni pod kojim okolnostima ne može biti jednak nuli. Budući da se u ovom slučaju formula pretvara u linearnu jednadžbu. Formule za nepotpuni oblik jednadžbi bit će sljedeće:
Dakle, postoje samo dvije vrste, osim potpunih, postoje i nepotpune kvadratne jednadžbe. Neka prva formula bude broj dva, a druga broj tri.
Diskriminanta i ovisnost broja korijena o njezinoj vrijednosti
Ovaj broj mora biti poznat da bi se izračunali korijeni jednadžbe. Uvijek se može izračunati, bez obzira koja je formula kvadratne jednadžbe. Da biste izračunali diskriminant, potrebno je koristiti dolje napisanu jednakost koja će imati broj četiri.
Nakon što zamijenite vrijednosti koeficijenata u ovu formulu, možete dobiti brojeve s različite znakove. Ako je odgovor potvrdan, tada će odgovor na jednadžbu biti dva različita korijena. S negativnim brojem, korijeni kvadratne jednadžbe će biti odsutni. Ako je jednak nuli, odgovor će biti jedan.
Kako se rješava potpuna kvadratna jednadžba?
Zapravo, razmatranje ovog pitanja je već počelo. Jer prvo morate pronaći diskriminantu. Nakon što je razjašnjeno da postoje korijeni kvadratne jednadžbe i njihov broj je poznat, trebate koristiti formule za varijable. Ako postoje dva korijena, tada morate primijeniti takvu formulu.
Budući da sadrži znak "±", bit će dvije vrijednosti. Izraz pod znakom kvadratnog korijena je diskriminant. Stoga se formula može prepisati na drugačiji način.
Formula pet. Iz istog zapisa može se vidjeti da ako je diskriminant nula, tada će oba korijena imati iste vrijednosti.
Ako rješenje kvadratnih jednadžbi još nije razrađeno, onda je bolje zapisati vrijednosti svih koeficijenata prije primjene diskriminantnih i varijabilnih formula. Kasnije ovaj trenutak neće uzrokovati poteškoće. Ali na samom početku dolazi do zabune.
Kako se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba?
Ovdje je sve puno jednostavnije. Čak nema potrebe za dodatnim formulama. I neće vam trebati oni koji su već napisani za diskriminant i nepoznato.
Prvo, razmotrite nepotpunu jednadžbu broj dva. U ovoj jednakosti treba nepoznatu vrijednost izvaditi iz zagrade i riješiti linearnu jednadžbu koja će ostati u zagradama. Odgovor će imati dva korijena. Prvi je nužno jednak nuli, jer postoji faktor koji se sastoji od same varijable. Drugi se dobiva rješavanjem linearne jednadžbe.
Nepotpuna jednadžba na broju tri rješava se prenošenjem broja s lijeve strane jednadžbe na desnu. Zatim treba podijeliti s koeficijentom ispred nepoznate. Ostaje samo izvući kvadratni korijen i ne zaboravite ga dva puta zapisati sa suprotnim predznacima.
Slijede neke radnje koje vam pomažu da naučite kako riješiti sve vrste jednakosti koje se pretvaraju u kvadratne jednadžbe. Pomoći će učeniku da izbjegne pogreške zbog nepažnje. Ovi nedostaci uzrok su loših ocjena pri proučavanju opsežne teme "Kvadratne jednadžbe (8. razred)". Nakon toga, ove se radnje neće morati stalno izvoditi. Jer će postojati stabilna navika.
- Najprije morate napisati jednadžbu u standardnom obliku. Odnosno, prvo pojam s najvećim stupnjem varijable, a zatim - bez stupnja i posljednji - samo broj.
- Ako se prije koeficijenta "a" pojavi minus, početniku može zakomplicirati posao proučavanja kvadratnih jednadžbi. Bolje ga se riješiti. U tu svrhu sve jednakosti moraju se pomnožiti s "-1". To znači da će svi članovi promijeniti predznak u suprotan.
- Na isti način, preporuča se riješiti frakcija. Jednostavno pomnožite jednadžbu s odgovarajućim faktorom tako da se nazivnici ponište.
Primjeri
Potrebno je riješiti sljedeće kvadratne jednadžbe:
x 2 - 7x \u003d 0;
15 - 2x - x 2 \u003d 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Prva jednadžba: x 2 - 7x \u003d 0. Nepotpuna je, stoga se rješava kao što je opisano za formulu broj dva.
Nakon stavljanja u zagrade, ispada: x (x - 7) \u003d 0.
Prvi korijen ima vrijednost: x 1 = 0. Drugi će se pronaći iz Linearna jednadžba: x - 7 = 0. Lako je vidjeti da je x 2 = 7.
Druga jednadžba: 5x2 + 30 = 0. Opet nepotpuna. Samo se ona rješava kao što je opisano za treću formulu.
Nakon prijenosa 30 na desnu stranu jednadžbe: 5x 2 = 30. Sada trebate podijeliti s 5. Ispada: x 2 = 6. Odgovori će biti brojevi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.
Treća jednadžba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Ovdje i dolje, rješavanje kvadratnih jednadžbi počet će njihovim prepisivanjem u standardni prikaz: - x 2 - 2x + 15 = 0. Sada je vrijeme da upotrijebimo drugi koristan savjet i sve pomnožite s minus jedan. Ispada x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Prema četvrtoj formuli, trebate izračunati diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivan broj. Iz gore rečenog ispada da jednadžba ima dva korijena. Potrebno ih je izračunati prema petoj formuli. Prema tome, ispada da je x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Zatim x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.
Četvrta jednadžba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 pretvara se u ovo: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njena diskriminanta jednaka je ovoj vrijednosti: -23. Budući da je ovaj broj negativan, odgovor na ovaj zadatak bit će sljedeći unos: "Nema korijena."
Petu jednadžbu 12x + x 2 + 36 = 0 treba prepisati na sljedeći način: x 2 + 12x + 36 = 0. Nakon primjene formule za diskriminantu dobiva se broj nula. To znači da će imati jedan korijen, naime: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.
Šesta jednadžba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahtijeva transformacije, koje se sastoje u tome da trebate donijeti slične članove, prije otvaranja zagrada. Umjesto prvog bit će takav izraz: x 2 + 2x + 1. Nakon jednakosti pojavit će se ovaj unos: x 2 + 3x + 2. Nakon prebrojavanja sličnih članova, jednadžba će poprimiti oblik: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepotpuno. Slično tome već je razmatrano malo više. Korijeni ovoga bit će brojevi 0 i 1.
S ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednadžbu.
Program ne samo da daje odgovor na problem, već također prikazuje proces rješavanja na dva načina:
- pomoću diskriminante
- koristeći Vieta teorem (ako je moguće).
Štoviše, odgovor se prikazuje točan, a ne približan.
Na primjer, za jednadžbu \(81x^2-16x-1=0\), odgovor se prikazuje u ovom obliku:
Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce općeobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite to obaviti što je prije moguće? domaća zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjem.
Dakle, možete izvršiti svoje vlastiti trening i/ili osposobljavanje njihove mlađe braće ili sestara, dok se povećava razina obrazovanja u području zadataka koje treba rješavati.
Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučamo da se s njima upoznate.
Pravila za unos kvadratnog polinoma
Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.
Brojevi se mogu unijeti kao cijeli brojevi ili razlomci.
Štoviše, frakcijski brojevi mogu se unijeti ne samo u obliku decimalnog, već iu obliku običnog razlomka.
Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak od cijelog broja može biti odvojen točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale ovako: 2,5x - 3,5x^2
Pravila za upisivanje običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.
Nazivnik ne može biti negativan.
Pri unosu brojčanog razlomka brojnik se od nazivnika odvaja znakom dijeljenja: /
Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom &: &
Unos: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U tom se slučaju kod rješavanja kvadratne jednadžbe uvedeni izraz najprije pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Odlučiti
Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.
Jer Puno je ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molimo pričekajte sekund...
Ako ti uočio grešku u rješenju, tada možete pisati o tome u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.
Naše igre, zagonetke, emulatori:
Malo teorije.
Kvadratna jednadžba i njezini korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe
Svaka od jednadžbi
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ima oblik
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednadžbi a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve se jednadžbe nazivaju kvadratne jednadžbe.
Definicija.
kvadratna jednadžba poziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c neki brojevi i \(a \neq 0 \).
Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b je drugi koeficijent, a broj c presjek.
U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a \neq 0 \), najveća potencija varijable x je kvadrat. Otuda naziv: kvadratna jednadžba.
Imajte na umu da se kvadratna jednadžba naziva i jednadžba drugog stupnja, jer je njena lijeva strana polinom drugog stupnja.
Naziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent pri x 2 jednak 1 reducirana kvadratna jednadžba. Na primjer, dane kvadratne jednadžbe su jednadžbe
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednadžba naziva nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednadžbe -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.
Tri su vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
1) ax 2 +c=0, gdje \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.
Razmotrimo rješenje jednadžbi svake od ovih vrsta.
Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), njen slobodni član se prenosi na desnu stranu i oba dijela jednadžbe se dijele s a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Budući da je \(c \neq 0 \), tada \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Ako \(-\frac(c)(a)>0 \), tada jednadžba ima dva korijena.
Ako \(-\frac(c)(a) Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) faktorizirajte njezinu lijevu stranu i dobijete jednadžbu
\(x(ax+b)=0 \desna strelica \lijevo\( \begin(niz)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \desna strelica \lijevo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno. \)
Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.
Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 \u003d 0 ekvivalentna je jednadžbi x 2 \u003d 0 i stoga ima jedan korijen 0.
Formula za korijene kvadratne jednadžbe
Razmotrimo sada kako se rješavaju kvadratne jednadžbe u kojima su oba koeficijenta nepoznanica i slobodnog člana različiti od nule.
Rješavamo kvadratnu jednadžbu u općem obliku i kao rezultat dobivamo formulu korijena. Tada se ova formula može primijeniti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.
Riješite kvadratnu jednadžbu ax 2 +bx+c=0
Podijelimo li oba njezina dijela s a, dobivamo ekvivalentnu reduciranu kvadratnu jednadžbu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Transformiramo ovu jednadžbu označavanjem kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^2- \lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \desna strelica \)
Korijenski izraz se zove diskriminanta kvadratne jednadžbe ax 2 +bx+c=0 ("diskriminant" na latinskom - razlikovač). Označava se slovom D, tj.
\(D = b^2-4ac\)
Sada, koristeći zapis diskriminante, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje \(D= b^2-4ac \)
Očito je da:
1) Ako je D>0, onda kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, ovisno o vrijednosti diskriminante, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili bez korijena (za D Kada se kvadratna jednadžba rješava pomoću ove formule , preporučljivo je učiniti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminant i usporediti ga s nulom;
2) ako je diskriminant pozitivan ili jednak nuli, onda upotrijebite formulu za korijen, ako je diskriminant negativan, onda zapišite da nema korijena.
Vietin teorem
Zadana kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbroj korijena je 7, a umnožak 10. Vidimo da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu, uzetom s suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Svaka reducirana kvadratna jednadžba koja ima korijene ima ovo svojstvo.
Zbroj korijena zadane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.
Oni. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\lijevo\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)
