Dom › Sustav hlađenja › Logaritamski prikaz broja. Logaritam

Logaritamski prikaz broja. Logaritam

Logaritam od b (b > 0) na bazu a (a > 0, a ≠ 1) je eksponent na koji trebate povisiti broj a da biste dobili b.

Logaritam s bazom 10 od b može se napisati kao log(b), i logaritam s bazom e (prirodni logaritam) - ln(b).

Često se koristi pri rješavanju problema s logaritmima:

Svojstva logaritama

Četiri su glavna svojstva logaritama.

Neka je a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.

Svojstvo 1. Logaritam umnoška

Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Svojstvo 2. Logaritam kvocijenta

Logaritam kvocijenta jednaka je razlici logaritama:

log a (x / y) = log a x – log a y

Svojstvo 3. Logaritam stupnja

Logaritam stupnja jednak je umnošku stupnja i logaritma:

Ako je baza logaritma u eksponentu, tada se primjenjuje druga formula:

Svojstvo 4. Logaritam korijena

Ovo se svojstvo može dobiti iz svojstva logaritma stupnja, budući da je korijen n-tog stupnja jednak potenciji 1/n:

Formula za prijelaz od logaritma po jednoj bazi do logaritma po drugoj bazi

Ova se formula također često koristi pri rješavanju raznih zadataka za logaritme:

Poseban slučaj:

Usporedba logaritama (nejednakosti)

Pretpostavimo da imamo 2 funkcije f(x) i g(x) pod logaritmima s istim bazama i da postoji znak nejednakosti između njih:

Da biste ih usporedili, prvo trebate pogledati bazu logaritama a:

Ako je a > 0, tada je f(x) > g(x) > 0
Ako je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako riješiti probleme s logaritmima: primjeri

Zadaci s logaritmima uključeni u USE iz matematike za 11. razred u zadatku 5 i zadatku 7, zadatke s rješenjima možete pronaći na našoj web stranici u odgovarajućim odjeljcima. Također, zadaci s logaritmima nalaze se u banci zadataka iz matematike. Sve primjere možete pronaći pretraživanjem stranice.

Što je logaritam

Logaritmi su se uvijek razmatrali teška tema u školskoj matematici. Postoji mnogo različitih definicija logaritma, ali iz nekog razloga većina udžbenika koristi najsloženiju i najnesretniju od njih.

Logaritam ćemo definirati jednostavno i jasno. Napravimo tablicu za ovo:

Dakle, imamo potencije dvojke.

Logaritmi - svojstva, formule, kako se rješavaju

Ako uzmete broj iz donjeg retka, lako možete pronaći snagu na koju morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

baza a argumenta x je potencija na koju se mora podići broj a da bi se dobio broj x.

Zapis: log a x \u003d b, gdje je a baza, x argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Moglo bi se i zapisati 2 64 = 6, budući da je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja prema danoj bazi naziva se. Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, ne razmatraju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takve brojeve nazivamo iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati neograničeno dugo i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti ovako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). U početku mnogi brkaju gdje je baza, a gdje argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je snaga, na koju trebate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Ovo prekrasno pravilo govorim svojim učenicima na prvoj lekciji - i nema zabune.

Kako računati logaritme

Shvatili smo definiciju - ostaje naučiti kako brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
Baza se mora razlikovati od jedinice, budući da je jedinica na bilo koju potenciju još uvijek jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!

Takva se ograničenja nazivaju važeći raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuto. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1 .

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema već su uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada u igru uđu logaritamske jednadžbe i nejednakosti, zahtjevi DHS-a postat će obvezni. Doista, u osnovi i argumentu mogu postojati vrlo jake konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada razmislite opća shema logaritamski izračuni. Sastoji se od tri koraka:

Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput je bolje riješiti se decimalnih razlomaka;
Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan vrlo je relevantan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Slično je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira s konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Primljen odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen od sedam, jer je 7 1< 14 < 7 2 ;
Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne uzima u obzir;
Odgovor je bez promjene: log 7 14.

Mala napomena za posljednji primjer. Kako biti siguran da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga rastavite na proste faktore. Ako postoje barem dva različita faktora u proširenju, broj nije točna potencija.

Zadatak. Saznajte jesu li točne potencije broja: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije točna potencija jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 5 - opet nije točan stupanj;
14 \u003d 7 2 - opet nije točan stupanj;

Primijetite također da su sami prosti brojevi uvijek sami sebi točne potencije.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i oznaku.

argumenta x je logaritam s bazom 10, tj. potenciju na koju se mora podići 10 da bi se dobilo x. Oznaka: lgx.

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte da to nije tipfeler. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima vlastitu notaciju. U određenom je smislu čak i važniji od decimalnog. Riječ je o o prirodnom logaritmu.

argumenta x je logaritam s bazom e, tj. potenciju na koju treba podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: lnx.

Mnogi će se upitati: što je broj e? Ovo je iracionalan broj točna vrijednost nemoguće pronaći i zabilježiti. Evo samo prvih brojki:
e = 2,718281828459…

Nećemo ulaziti u to koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodni logaritam:
ln x = log e x

Stoga je ln e = 1; log e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam svakog racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Vidi također:

Logaritam. Svojstva logaritma (potencija logaritma).

Kako predstaviti broj kao logaritam?

Koristimo se definicijom logaritma.

Logaritam je pokazatelj stepena na koji se mora podići baza da bi se dobio broj pod znakom logaritma.

Dakle, da biste određeni broj c predstavili kao logaritam na bazu a, potrebno je ispod znaka logaritma staviti stupanj s istom bazom kao i baza logaritma i taj broj c upisati u eksponent:

U obliku logaritma možete predstaviti apsolutno bilo koji broj - pozitivan, negativan, cijeli broj, razlomak, racionalan, iracionalan:

Kako ne biste pobrkali a i c u stresnim uvjetima kolokvija ili ispita, možete zapamtiti sljedeće pravilo:

ono što je ispod pada, ono gore ide gore.

Na primjer, želite predstaviti broj 2 kao logaritam s bazom 3.

Imamo dva broja - 2 i 3. Ti brojevi su baza i eksponent, koje ćemo napisati ispod znaka logaritma. Ostaje odrediti koji od ovih brojeva treba zapisati dolje, u osnovi stupnja, a koji - gore, u eksponentu.

Baza 3 u zapisu logaritma je na dnu, što znači da kada dvojku predstavljamo kao logaritam na osnovu 3, također ćemo 3 zapisati na bazu.

2 je veći od 3. A u oznaci stupnja pišemo dva iznad tri, odnosno u eksponentu:

Logaritmi. Prva razina.

Logaritmi

logaritam pozitivan broj b razumom a, Gdje a > 0, a ≠ 1, je eksponent na koji se broj mora podići. a, Dobiti b.

Definicija logaritma može se ukratko napisati ovako:

Ova jednakost vrijedi za b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obično se zove logaritamski identitet.
Radnja pronalaženja logaritma broja naziva se logaritam.

Svojstva logaritama:

Logaritam umnoška:

Logaritam kvocijenta od dijeljenja:

Zamjena baze logaritma:

Logaritam stupnja:

korijenski logaritam:

Logaritam s bazom potencije:

Decimalni i prirodni logaritmi.

Decimalni logaritam brojevi nazivaju logaritam baze 10 tog broja i pišu lg b
prirodni logaritam brojevi nazivaju logaritam ovog broja na bazu e, Gdje e je iracionalan broj, približno jednak 2,7. Istodobno pišu ln b.

Ostale bilješke o algebri i geometriji

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svaki drugi broj, mogu zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila, koja se zovu osnovna svojstva.

Ova se pravila moraju znati - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: log a x i log a y. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći u izračunavanju logaritamski izrazčak i kada se ne razmatraju njegovi pojedini dijelovi (vidi lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

log 6 4 + log 6 9.

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na temelju ove činjenice mnogi testni radovi. Da, kontrola - slični izrazi s punom ozbiljnošću (ponekad - gotovo bez promjena) ponuđeni su na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

To je lako vidjeti posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam log a x. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze.

U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Doista, što će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stupanj da broj b u tom stupnju daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi se ljudi "zakače" na njega.

Kao i formule za prelazak na novu bazu, glavni logaritamski identitet ponekad je to jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima - prije su to posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednijim" studentima.

log a a = 1 je. Upamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a iz same baze jednak je jedan.
log a 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Budući da je 0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Logaritamski izrazi, rješenje primjera. U ovom ćemo članku razmotriti probleme vezane uz rješavanje logaritama. U zadacima se postavlja pitanje određivanja vrijednosti izraza. Treba napomenuti da se pojam logaritma koristi u mnogim zadacima te je izuzetno važno razumjeti njegovo značenje. Što se tiče USE, logaritam se koristi u rješavanju jednadžbi, u primijenjenim problemima, a također iu zadacima koji se odnose na proučavanje funkcija.

Evo primjera za razumijevanje samog značenja logaritma:

Osnovni logaritamski identitet:

Svojstva logaritama kojih se uvijek morate sjetiti:

*Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama faktora.

* * *

* Logaritam kvocijenta (razlomka) jednak je razlici logaritama faktora.

* * *

* Logaritam stupnja jednak je umnošku eksponenta i logaritma njegove baze.

* * *

*Prelazak na novu bazu

* * *

Više nekretnina:

* * *

Izračunavanje logaritama usko je povezano s korištenjem svojstava eksponenata.

Navodimo neke od njih:

Suština ovog svojstva je da se kod prijenosa brojnika u nazivnik i obrnuto znak eksponenta mijenja u suprotan. Na primjer:

Posljedica ovog svojstva:

* * *

Kod dizanja potencije na potenciju baza ostaje ista, ali se eksponenti množe.

* * *

Kao što vidite, sam koncept logaritma je jednostavan. Glavna stvar je da je potrebna dobra praksa, koja daje određenu vještinu. Svakako je obavezno poznavanje formula. Ako se ne formira vještina pretvaranja elementarnih logaritama, tada se pri rješavanju jednostavnih zadataka lako može pogriješiti.

Vježbajte, prvo riješite najjednostavnije primjere iz matematike, pa prijeđite na složenije. Ubuduće ću svakako pokazati kako se rješavaju “ružni” logaritmi, takvih neće biti na ispitu, ali su zanimljivi, ne propustite!

To je sve! Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

Nastavljamo proučavati logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o računanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo se pozabaviti izračunavanjem logaritama po definiciji. Zatim razmotrite kako se vrijednosti logaritama nalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se zadržati na izračunavanju logaritama kroz početno zadane vrijednosti drugih logaritama. Na kraju, naučimo kako koristiti tablice logaritama. Cijela teorija je opremljena primjerima s detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Računanje logaritama po definiciji

U najjednostavnijim slučajevima moguće je brzo i jednostavno izvesti nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo pobliže kako se taj proces odvija.

Njegova suština je prikazati broj b u obliku a c , odakle je, prema definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, pronalaženje logaritma odgovara sljedećem lancu jednakosti: log a b=log a a c =c .

Dakle, izračun logaritma, po definiciji, svodi se na pronalaženje takvog broja c da je a c \u003d b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.

S obzirom na informacije iz prethodnih odlomaka, kada je broj ispod znaka logaritma dan nekim stupnjem baze logaritma, tada možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Pokažimo primjere.

Primjer.

Nađite log 2 2 −3 , a također izračunajte prirodni logaritam od e 5.3 .

Riješenje.

Definicija logaritma nam omogućuje da odmah kažemo da je log 2 2 −3 = −3 . Doista, broj pod znakom logaritma jednak je bazi 2 na −3 potenciju.

Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5,3 =5,3.

Odgovor:

log 2 2 −3 = −3 i lne 5.3 =5.3 .

Ako broj b pod znakom logaritma nije zadan kao potencija baze logaritma, tada treba dobro razmisliti je li moguće doći do prikaza broja b u obliku a c . Često je ovaj prikaz prilično očigledan, pogotovo kada je broj ispod znaka logaritma jednak bazi na potenciju 1, ili 2, ili 3, ...

Primjer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , i .

Riješenje.

Lako je vidjeti da je 25=5 2 , što vam omogućuje izračunavanje prvog logaritma: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Nastavljamo s izračunom drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao potencija broja 7: (pogledajte ako je potrebno). Stoga, .

Prepišimo treći logaritam u sljedećem obliku. Sada to možete vidjeti , odakle to zaključujemo . Prema tome, po definiciji logaritma .

Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

Odgovor:

log 5 25=2 , I .

Kad je dovoljno velik prirodan broj pod predznakom logaritma, onda ne škodi rastaviti ga na proste faktore. Često pomaže predstaviti takav broj kao neku potenciju baze logaritma, i prema tome, izračunati taj logaritam po definiciji.

Primjer.

Pronađite vrijednost logaritma.

Riješenje.

Neka svojstva logaritama omogućuju vam da odmah odredite vrijednost logaritama. Ta svojstva uključuju svojstvo logaritma od jedan i svojstvo logaritma broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . Odnosno, kada je broj 1 ili broj a ispod znaka logaritma, jednak osnovici logaritma, tada su u tim slučajevima logaritmi 0 odnosno 1.

Primjer.

Što su logaritmi i lg10?

Riješenje.

Budući da , to slijedi iz definicije logaritma .

U drugom primjeru broj 10 pod znakom logaritma poklapa se sa svojom bazom, pa je decimalni logaritam desetice jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1 .

Odgovor:

I lg10=1 .

Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo govorili u prethodnom paragrafu) podrazumijeva korištenje log jednakosti a a p =p, što je jedno od svojstava logaritama.

U praksi, kada se broj pod predznakom logaritma i baza logaritma lako predstavljaju kao potencija nekog broja, vrlo je zgodno koristiti se formulom , što odgovara jednom od svojstava logaritama. Razmotrite primjer pronalaženja logaritma koji ilustrira upotrebu ove formule.

Primjer.

Izračunajte logaritam od .

Riješenje.

Odgovor:

Svojstva logaritama koja nisu gore spomenuta također se koriste u izračunu, ali o tome ćemo govoriti u sljedećim paragrafima.

Nalaženje logaritama u smislu drugih poznatih logaritama

Informacije u ovom odlomku nastavljaju temu korištenja svojstava logaritama u njihovom izračunu. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritama koriste za izražavanje izvornog logaritma u smislu drugog logaritma, čija je vrijednost poznata. Uzmimo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963, tada možemo pronaći, na primjer, log 2 6 radeći malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma umnoška. Međutim, mnogo češće morate koristiti širi arsenal svojstava logaritama kako biste izračunali izvorni logaritam u smislu zadanih.

Primjer.

Izračunajte logaritam od 27 na bazu 60 ako je poznato da je log 60 2=a i log 60 5=b.

Riješenje.

Dakle, moramo pronaći dnevnik 60 27 . Lako je vidjeti da je 27=3 3 , a izvorni logaritam, zbog svojstva logaritma stupnja, može se prepisati kao 3·log 60 3 .

Sada da vidimo kako se log 60 3 može izraziti u smislu poznatih logaritama. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućuje vam da napišete dnevnik jednakosti 60 60=1 . S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Tako, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Stoga, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Na kraju izračunavamo izvorni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odgovor:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Zasebno je vrijedno spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika . Omogućuje vam prijelaz s logaritama s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se s izvornog logaritma, prema formuli prijelaza, prelazi na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, budući da za te baze postoje tablice logaritama koje im omogućuju izračunavanje s određenim stupnjem točnosti. U sljedećem odjeljku pokazat ćemo kako se to radi.

Tablice logaritama, njihova upotreba

Za približan izračun vrijednosti logaritama, može se koristiti logaritamske tablice. Najčešće korištene su tablica logaritma baze 2, tablica prirodnog logaritma i tablica decimalnog logaritma. Kada radite u decimalnom brojevnom sustavu, zgodno je koristiti tablicu logaritama s bazom deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.

Prikazana tablica omogućuje, s točnošću od jedne desettisućinke, pronalaženje vrijednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (s tri decimalna mjesta). Princip određivanja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama bit će analiziran u konkretan primjer- tako jasnije. Pronađimo lg1,256.

U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije znamenke broja 1,256, odnosno nalazimo 1,2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi jasnoće). Treća znamenka broja 1.256 (broj 5) nalazi se u prvom ili zadnjem retku lijevo od dvostrukog retka (taj je broj zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka izvornog broja 1.256 (broj 6) nalazi se u prvom ili zadnjem retku desno od dvostrukog retka (ovaj broj je zaokružen zeleno). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tablice logaritama na sjecištu označenog retka i označenih stupaca (ovi su brojevi označeni naranča). Zbroj označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma do četvrte decimale, tj. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je li moguće pomoću gornje tablice pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalne točke, a također prelaze granice od 1 do 9,999? Da, možete. Pokažimo na primjeru kako se to radi.

Izračunajmo lg102,76332 . Prvo morate pisati broj u standardna forma : 102,76332=1,0276332 10 2 . Nakon toga mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, dok je izvorni decimalni logaritam približno jednak logaritmu dobivenog broja, odnosno uzimamo lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Sada primijenite svojstva logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Na kraju nalazimo vrijednost logaritma lg1,028 prema tablici decimalnih logaritama lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kao rezultat toga, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Zaključno, vrijedi napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je upotrijebiti formulu prijelaza za odlazak na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale izračune.

Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma imamo . Iz tablice decimalnih logaritama nalazimo lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. Tako, .

Bibliografija.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razrede općeobrazovnih ustanova.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule i dati demonstraciju primjeri rješenja.

Sami po sebi podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene formula logaritma na rješenje, prvo se prisjećamo svih svojstava:

Sada, na temelju ovih formula (svojstava), pokazujemo primjeri rješavanja logaritama.

Primjeri rješavanja logaritama na temelju formula.

Logaritam pozitivan broj b u bazi a (označen kao log a b) je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobilo b, s b > 0, a > 0 i 1.

Prema definiciji log a b = x, što je ekvivalentno s a x = b, pa je log a a x = x.

Logaritmi, primjeri:

log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8

log 7 49 = 2 jer 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritam je obični logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.

log 10 100 = 2 jer 10 2 = 100

prirodni logaritam- također uobičajeni logaritamski logaritam, ali s bazom e (e \u003d 2,71828 ... - iracionalan broj). Navodi se kao ln.

Poželjno je zapamtiti formule odnosno svojstva logaritama jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi. Prođimo ponovno kroz svaku formulu s primjerima.

Osnovni logaritamski identitet
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Svojstva stupnja logaritmljivog broja i baze logaritma
Eksponent logaritamskog broja log a b m = mlog a b

Osnovni eksponent logaritamski dnevnik a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

ako je m = n, dobivamo log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Prijelaz na novi temelj
log a b = log c b / log c a,
ako je c = b, dobivamo log b b = 1

tada je log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kao što vidite, formule logaritma nisu tako komplicirane kao što se čine. Sada, nakon razmatranja primjera rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo razmotriti primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!

Ako još uvijek imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.

Napomena: odlučio sam kao opciju steći obrazovanje druge klase studija u inozemstvu.

Fokus ovog članka je logaritam. Ovdje ćemo dati definiciju logaritma, prikazati prihvaćene zapise, dati primjere logaritama te govoriti o prirodnim i decimalnim logaritmima. Nakon toga razmotrite osnovni logaritamski identitet.

Navigacija po stranici.

Definicija logaritma

Pojam logaritma javlja se pri rješavanju problema u u određenom smislu inverzno, kada trebate pronaći eksponent iz poznate vrijednosti stupnja i poznate baze.

Ali dosta preambule, vrijeme je da odgovorimo na pitanje "što je logaritam"? Dajmo odgovarajuću definiciju.

Definicija.

Logaritam od b na bazu a, gdje je a>0 , a≠1 i b>0 eksponent na koji trebate podići broj a da dobijete b kao rezultat.

U ovoj fazi, napominjemo da bi izgovorena riječ "logaritam" odmah trebala pokrenuti dva pitanja koja slijede: "koji broj" i "na kojoj osnovi". Drugim riječima, logaritma jednostavno nema, već postoji samo logaritam broja u nekoj bazi.

Odmah ćemo se predstaviti logaritamski zapis: logaritam broja b na bazu a obično se označava kao log a b . Logaritam broja b s bazom e i logaritam s bazom 10 imaju svoje posebne oznake lnb odnosno lgb, odnosno ne pišu log e b , nego lnb , a ne log 10 b , već lgb .

Sada možete donijeti: .
I zapisi nemaju smisla, jer u prvom od njih postoji negativan broj pod znakom logaritma, u drugom - negativan broj u bazi, au trećem - i negativan broj pod znakom logaritma i jedinica u bazi.

Sada razgovarajmo o pravila za čitanje logaritama. Dnevnik unosa a b čita se kao "logaritam od b na bazu a". Na primjer, log 2 3 je logaritam od tri na bazu 2 i logaritam od dva zarez dvije trećine na bazu Korijen od pet. Logaritam s bazom e naziva se prirodni logaritam, a oznaka lnb se čita kao "prirodni logaritam od b". Na primjer, ln7 je prirodni logaritam od sedam, a mi ćemo ga čitati kao prirodni logaritam od pi. Logaritam s bazom 10 ima i poseban naziv - decimalni logaritam, a zapis lgb se čita kao "decimalni logaritam b". Na primjer, lg1 je decimalni logaritam od jedan, a lg2,75 je decimalni logaritam od dva zarez sedamdeset pet stotinki.

Vrijedi se posebno zadržati na uvjetima a>0, a≠1 i b>0, pod kojima je dana definicija logaritma. Objasnimo otkud ta ograničenja. U tome će nam pomoći jednakost oblika, nazvana , koja izravno slijedi iz definicije logaritma dane gore.

Počnimo s a≠1. Budući da je jedan jednak jedan na bilo koju potenciju, tada jednakost može biti istinita samo za b=1, ali log 1 1 može biti bilo koji realni broj. Kako bi se izbjegla ova dvosmislenost, prihvaća se a≠1.

Potkrijepimo svrhovitost uvjeta a>0 . Uz a=0, po definiciji logaritma, imali bismo jednakost , što je moguće samo uz b=0 . Ali tada log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, budući da je nula prema bilo kojoj potenciji različitoj od nule nula. Ova se dvosmislenost može izbjeći uvjetom a≠0 . I za a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Konačno, uvjet b>0 slijedi iz nejednakosti a>0 , budući da je , a vrijednost stupnja s pozitivnom bazom a uvijek je pozitivna.

U zaključku ovog odlomka kažemo da vam glasovna definicija logaritma omogućuje da odmah naznačite vrijednost logaritma kada je broj ispod znaka logaritma određeni stupanj baze. Doista, definicija logaritma nam dopušta da tvrdimo da ako je b=a p , onda je logaritam broja b na bazi a jednak p . Odnosno, jednakost log a a p =p je istinita. Na primjer, znamo da je 2 3 =8 , tada je log 2 8=3 . O tome ćemo više govoriti u članku.

Popularno u kategoriji: