Dnevnik po bazi. Logaritamski izrazi

Dakle, imamo potencije dvojke. Ako uzmete broj iz donjeg retka, lako možete pronaći snagu na koju morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrtu potenciju. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šestu potenciju. To se vidi iz tablice.

A sada - zapravo, definicija logaritma:

Logaritam na bazi a argumenta x je potencija na koju se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Zapis: log a x \u003d b, gdje je a baza, x argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritam s bazom 2 od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Moglo bi se i logaritirati 2 64 = 6 jer je 2 6 = 64 .

Operacija pronalaženja logaritma broja na zadanu bazu naziva se logaritam. Dakle, dodajmo novi red u našu tablicu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, ne razmatraju se svi logaritmi tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći dnevnik 2 5 . Broja 5 nema u tablici, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takve brojeve nazivamo iracionalnim: brojevi iza decimalne točke mogu se pisati neograničeno dugo i nikada se ne ponavljaju. Ako se logaritam pokaže iracionalnim, bolje ga je ostaviti ovako: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Važno je razumjeti da je logaritam izraz s dvije varijable (baza i argument). U početku mnogi brkaju gdje je baza, a gdje argument. Kako biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama je ništa više od definicije logaritma. Zapamtiti: logaritam je snaga, na koju trebate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na potenciju - na slici je označena crvenom bojom. Ispada da je baza uvijek na dnu! Ovo prekrasno pravilo govorim svojim učenicima na prvoj lekciji - i nema zabune.

Shvatili smo definiciju - ostaje naučiti kako brojati logaritme, tj. riješite se znaka "log". Za početak napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

1. Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. To proizlazi iz definicije stupnja pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
2. Baza se mora razlikovati od jedinice, budući da je jedinica na bilo koju potenciju još uvijek jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje "na koju se snagu treba uzdići da bi se dobilo dvoje". Ne postoji takva diploma!

Takva se ograničenja nazivaju važeći raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuto. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 \u003d -1, jer 0,5 = 2 −1 .

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema već su uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada u igru ​​uđu logaritamske jednadžbe i nejednakosti, zahtjevi DHS-a postat će obvezni. Doista, u osnovi i argumentu mogu postojati vrlo jake konstrukcije, koje ne moraju nužno odgovarati gornjim ograničenjima.

Sada razmislite opća shema logaritamski izračuni. Sastoji se od tri koraka:

1. Izrazite bazu a i argument x kao potenciju s najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput je bolje riješiti se decimalnih razlomaka;
2. Riješite jednadžbu za varijablu b: x = a b ;
3. Rezultirajući broj b bit će odgovor.

To je sve! Ako se logaritam pokaže iracionalnim, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan vrlo je relevantan: to smanjuje vjerojatnost pogreške i uvelike pojednostavljuje izračune. Slično je i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje pogrešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira s konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja pet: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i riješimo jednadžbu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunajte logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Napravimo i riješimo jednadžbu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Napravimo i riješimo jednadžbu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Primljen odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

1. Predstavimo bazu i argument kao potenciju broja sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen od sedam, jer je 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iz prethodnog odlomka proizlazi da se logaritam ne uzima u obzir;
3. Odgovor je bez promjene: log 7 14.

Mala napomena za posljednji primjer. Kako biti siguran da broj nije točna potencija drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga rastavite na proste faktore. Ako postoje barem dva različita faktora u proširenju, broj nije točna potencija.

Zadatak. Saznajte jesu li točne potencije broja: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - točan stupanj, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije točna potencija jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - točan stupanj;
35 = 7 5 - opet nije točan stupanj;
14 \u003d 7 2 - opet nije točan stupanj;

Primijetite također da su sami prosti brojevi uvijek sami sebi točne potencije.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko uobičajeni da imaju poseban naziv i oznaku.

Decimalni logaritam argumenta x je logaritam baze 10, tj. potenciju na koju treba povisiti broj 10 da bi se dobio broj x. Oznaka: lg x .

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput "Pronađi lg 0,01", znajte da to nije tipfeler. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima vlastitu notaciju. U određenom je smislu čak i važniji od decimalnog. Riječ je o o prirodnom logaritmu.

Prirodni logaritam od x je logaritam baze e, tj. potenciju na koju treba podići broj e da bi se dobio broj x. Oznaka: ln x .

Mnogi će se pitati: što je još broj e? Ovo je iracionalan broj točna vrijednost nemoguće pronaći i zabilježiti. Evo samo prvih brojki:
e = 2,718281828459...

Nećemo ulaziti u to koji je to broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Stoga je ln e = 1; log e 2 = 2; U 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam svakog racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodni logaritmi vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Logaritmi se, kao i svaki drugi broj, mogu zbrajati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali budući da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila, koja se zovu osnovna svojstva.

Ova se pravila moraju znati - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, jako ih je malo – sve se može naučiti u jednom danu. Pa krenimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istom bazom: log a x i log a g. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

1. log a x+log a g= log a (x · g);
2. log a x−log a g= log a (x : g).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, ​​a razlika je logaritam kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je - iste osnove. Ako su baze različite, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

log 6 4 + log 6 9.

Budući da su baze logaritama iste, koristimo formulu zbroja:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Na temelju ove činjenice mnogi testni radovi. Da, kontrola - slični izrazi s punom ozbiljnošću (ponekad - gotovo bez promjena) ponuđeni su na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako postoji stupanj u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

To je lako vidjeti posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x> 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Riješimo se stupnja u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

[Natpis slike]

Imajte na umu da je nazivnik logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

[Natpis slike]

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili su bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku stupnjeva i izvadili indikatore - dobili su "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik imaju isti broj: log 2 7. Budući da je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su baze različite? Što ako nisu točne potencije istog broja?

U pomoć dolaze formule za prijelaz na novu bazu. Formuliramo ih u obliku teorema:

Neka se da logaritamski dnevnik a x. Zatim za bilo koji broj c takav da c> 0 i c≠ 1, vrijedi jednakost:

[Natpis slike]

Konkretno, ako stavimo c = x, dobivamo:

[Natpis slike]

Iz druge formule proizlazi da je moguće zamijeniti bazu i argument logaritma, ali u ovom slučaju cijeli izraz je "okrenut", tj. logaritam je u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje zadaci koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Razmotrimo nekoliko od njih:

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma točni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

[Natpis slike]

Budući da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo to i riješimo se indikatora:

[Natpis slike]

Sada se riješimo decimalni logaritam, preseljenje u novu bazu:

[Natpis slike]

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent argumenta. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula zapravo je parafrazirana definicija. To se zove osnovni logaritamski identitet.

Doista, što će se dogoditi ako broj b podići na vlast tako da b u ovoj mjeri daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj paragraf - mnogi se ljudi "zakače" na njega.

Poput novih formula za pretvorbu baza, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

[Natpis slike]

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - samo izvadio kvadrat iz baze i argumenta logaritma. S obzirom na pravila množenja potencija s istom bazom, dobivamo:

[Natpis slike]

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima - prije su to posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i "naprednijim" studentima.

1. log a a= 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam prema bilo kojoj bazi a iz ove baze sama je jednaka jedan.
2. log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo što, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Jer a 0 = 1 izravna je posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

S razvojem društva, složenošću proizvodnje, razvijala se i matematika. Kretanje od jednostavnog prema složenom. Od uobičajenog obračunskog načina zbrajanja i oduzimanja, uz njihovo opetovano ponavljanje, došli su do pojma množenja i dijeljenja. Redukcija višestruko ponovljene operacije postala je koncept potenciranja. Prve tablice ovisnosti brojeva o bazi i broju potenciranja sastavio je još u 8. stoljeću indijski matematičar Varasena. Iz njih možete računati vrijeme pojavljivanja logaritama.

Povijesni ocrt

Preporod Europe u 16. stoljeću potaknuo je i razvoj mehanike. T zahtijevao veliku količinu računanja povezana s množenjem i dijeljenjem višeznamenkastih brojeva. Drevni stolovi učinili su veliku uslugu. Omogućili su zamjenu složenih operacija jednostavnijim – zbrajanjem i oduzimanjem. Veliki korak naprijed bio je rad matematičara Michaela Stiefela, objavljen 1544. godine, u kojem je ostvario zamisao mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za stupnjeve u obrascu primarni brojevi, ali i za proizvoljne racionalne.

Godine 1614. Škot John Napier, razvijajući te ideje, prvi je uveo novi pojam "logaritam broja". Sastavljene su nove složene tablice za izračunavanje logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangensa. To je znatno smanjilo rad astronoma.

Počele su se pojavljivati ​​nove tablice koje su znanstvenici uspješno koristili za tri stoljeća. Prije je trebalo dosta vremena nova operacija u algebri dobio svoj gotov oblik. Definiran je logaritam i proučavana su njegova svojstva.

Tek u 20. stoljeću, pojavom kalkulatora i računala, čovječanstvo je napustilo drevne tablice koje su uspješno funkcionirale kroz 13. stoljeće.

Danas logaritam od b na osnovu a nazivamo brojem x, što je potencija od a, da bismo dobili broj b. Ovo je zapisano kao formula: x = log a(b).

Na primjer, log 3(9) će biti jednak 2. Ovo je očito ako slijedite definiciju. Ako 3 podignemo na potenciju 2, dobit ćemo 9.

Dakle, formulirana definicija postavlja samo jedno ograničenje, brojevi a i b moraju biti realni.

Varijante logaritama

Klasična definicija naziva se realni logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Napomena: 1 na bilo koju potenciju je 1.

Prava vrijednost logaritma definirano samo ako su baza i argument veći od 0, a baza ne smije biti jednaka 1.

Posebno mjesto u području matematike igrati logaritme, koji će biti imenovani ovisno o vrijednosti njihove baze:

Pravila i ograničenja

Temeljno svojstvo logaritama je pravilo: logaritam umnoška jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a(b) + log a(p).

Kao varijanta ove izjave bit će: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), funkcija kvocijenta jednaka je razlici funkcija.

Lako je vidjeti iz prethodna dva pravila da je: log a(b p) = p * log a(b).

Ostala svojstva uključuju:

Komentar. Nemojte napraviti uobičajenu pogrešku - logaritam zbroja nije jednak zbroju logaritama.

Stoljećima je operacija pronalaženja logaritma bila prilično dugotrajan zadatak. Matematičari su koristili poznatu formulu logaritamske teorije proširenja u polinom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), gdje je n prirodni broj veći od 1, koji određuje točnost izračuna.

Logaritmi s drugim bazama izračunati su pomoću teorema o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstva logaritma umnoška.

Budući da je ova metoda vrlo naporna i pri rješavanju praktičnih problema teško implementirati, koristili su unaprijed sastavljene tablice logaritama, što je uvelike ubrzalo cijeli rad.

U nekim slučajevima korišteni su posebno sastavljeni grafikoni logaritama, koji su dali manju točnost, ali su značajno ubrzali traženje željene vrijednosti. Krivulja funkcije y = log a (x), izgrađena na nekoliko točaka, omogućuje korištenje uobičajenog ravnala za pronalaženje vrijednosti funkcije u bilo kojoj drugoj točki. inženjeri Dugo vrijeme u te svrhe korišten je milimetarski papir tzv.

U 17. stoljeću pojavili su se prvi pomoćni analogni računalni uvjeti koji su do XIX stoljeće dobio gotov izgled. Najuspješniji uređaj nazvan je klizač. Unatoč jednostavnosti uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerskih proračuna, a to je teško precijeniti. Trenutno je malo ljudi upoznato s ovim uređajem.

Pojava kalkulatora i računala učinila je besmislenim korištenje bilo kojih drugih uređaja.

Jednadžbe i nejednadžbe

Sljedeće se formule koriste za rješavanje raznih jednadžbi i nejednadžbi pomoću logaritama:

• Prijelaz s jedne baze na drugu: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Kao posljedica prethodne verzije: log a(b) = 1 / log b(a).

Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:

• Vrijednost logaritma bit će pozitivna samo ako su i baza i argument veći ili manji od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma će biti negativna.
• Ako se funkcija logaritma primijeni na desnu i lijevu stranu nejednadžbe, a baza logaritma je veća od jedan, tada je znak nejednadžbe sačuvan; inače se mijenja.

Primjeri zadataka

Razmotrite nekoliko opcija za korištenje logaritama i njihovih svojstava. Primjeri s rješavanjem jednadžbi:

Razmotrite mogućnost postavljanja logaritma u stupanj:

• Zadatak 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rješenje: u uvjetima zadatka zapis je sličan sljedećem (5^2)^log5(3) ili 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo to drugačije: 5^log 5(3*2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se napisati kao kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Koristeći svojstva logaritama, ovaj izraz je 3^2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobivamo 9.

Praktična upotreba

Budući da je čisto matematički alat, čini se daleko od toga stvaran život da je logaritam iznenada stekao veliki značaj opisivati ​​predmete stvarni svijet. Teško je pronaći znanost u kojoj se to ne koristi. To se u potpunosti odnosi ne samo na prirodna, već i na humanistička područja znanja.

Logaritamske ovisnosti

Evo nekoliko primjera numeričkih ovisnosti:

Mehanika i fizika

Povijesno gledano, mehanika i fizika uvijek su se razvijale korištenjem matematičke metode istraživanja te je ujedno poslužio kao poticaj razvoju matematike, pa tako i logaritma. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Dajemo samo dva primjera opisa fizikalnih zakona pomoću logaritma.

Moguće je riješiti problem izračuna tako složene veličine kao što je brzina rakete pomoću formule Ciolkovskog, koja je postavila temelje teorije istraživanja svemira:

V = I * ln(M1/M2), gdje je

• V je konačna brzina zrakoplova.
• I je specifični impuls motora.
• M 1 je početna masa rakete.
• M 2 - konačna masa.

Još jedan važan primjer- to je upotreba u formuli još jednog velikog znanstvenika, Maxa Plancka, koja služi za procjenu stanja ravnoteže u termodinamici.

S = k * ln (Ω), gdje je

• S je termodinamičko svojstvo.
• k je Boltzmannova konstanta.
• Ω je statistička težina različitih stanja.

Kemija

Manje očita bi bila uporaba formula u kemiji koje sadrže omjer logaritama. Evo samo dva primjera:

• Nernstova jednadžba, uvjet redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost tvari i konstantu ravnoteže.
• Izračun takvih konstanti kao što su indeks autoprolize i kiselost otopine također nije potpun bez naše funkcije.

Psihologija i biologija

I potpuno je neshvatljivo kakve veze psihologija ima s tim. Ispostavilo se da je snaga osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao obrnuti omjer vrijednosti intenziteta podražaja prema vrijednosti nižeg intenziteta.

Nakon gornjih primjera više ne čudi što se tema logaritama također široko koristi u biologiji. O biološkim oblicima koji odgovaraju logaritamskim spiralama mogu se napisati cijeli tomovi.

Ostala područja

Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez povezanosti s tom funkcijom, a ona upravlja svim zakonima. Pogotovo kada su zakoni prirode povezani s geometrijska progresija. Vrijedno je pogledati web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:

Popis bi mogao biti beskrajan. Nakon što ste svladali osnovne zakone ove funkcije, možete uroniti u svijet beskrajne mudrosti.

Što je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Što je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge maturante. Tradicionalno se tema logaritama smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno - jednadžbe s logaritmima.

To apsolutno nije točno. Apsolutno! Ne vjerujete? Fino. Sada, nekih 10-20 minuta vi:

1. Razumjeti što je logaritam.

2. Naučite riješiti cijeli razred eksponencijalne jednadžbe. Čak i ako niste čuli za njih.

3. Naučiti izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za ovo ćete morati znati samo tablicu množenja i kako se broj podiže na potenciju ...

Osjećam da sumnjate ... Pa, čuvajte vrijeme! Ići!

Prvo u mislima riješite sljedeću jednadžbu:

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Kao što znate, kod množenja izraza s potencijama, njihovi eksponenti uvijek se zbrajaju (a b * a c = a b + c). Ovaj matematički zakon izveo je Arhimed, a kasnije, u 8. stoljeću, matematičar Virasen izradio je tablicu cjelobrojnih pokazatelja. Upravo su oni poslužili za daljnje otkriće logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo posvuda gdje je potrebno pojednostaviti glomazno množenje u jednostavno zbrajanje. Ako provedete 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, odnosno logaritam bilo kojeg nenegativan broj(tj. bilo koje pozitivno) "b" na svoju bazu "a" smatra se potencijom od "c" na koju se baza "a" mora podići da bi se konačno dobila vrijednost "b". Analizirajmo logaritam koristeći primjere, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takav stupanj da od 2 do traženog stupnja dobijete 8. Nakon što smo malo izračunali u vašem umu, dobili smo broj 3! I s pravom, jer 2 na potenciju 3 daje broj 8 u odgovoru.

Varijante logaritama

Za mnoge učenike i studente ova se tema čini kompliciranom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu tako strašni, glavna stvar je razumjeti njihovo opće značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri određene vrste logaritamski izrazi:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Eulerov broj (e = 2,7).
2. Decimala a, gdje je baza 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja b s bazom a>1.

Svaki od njih rješava se na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadnu redukciju na jedan logaritam pomoću logaritamskih teorema. Da bismo dobili točne vrijednosti logaritama, treba zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji u njihovim odlukama.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i istinita su. Na primjer, nemoguće je podijeliti brojeve s nulom, a također je nemoguće izvući korijen parnog stupnja iz negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, nakon kojih možete lako naučiti kako raditi čak i s dugim i prostranim logaritamskim izrazima:

• baza "a" mora uvijek biti veća od nule, au isto vrijeme ne smije biti jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su "1" i "0" na bilo kojem stupnju uvijek jednake svojim vrijednostima;
• ako je a > 0, tada je a b > 0, ispada da "c" mora biti veće od nule.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, dan je zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x \u003d 100. Vrlo je jednostavno, trebate odabrati takvu snagu, podižući broj deset na koji dobivamo 100. To je, naravno, 10 2 \u003d 100.

Sada predstavimo ovaj izraz kao logaritamski. Dobivamo log 10 100 = 2. Kod rješavanja logaritama sve radnje praktički konvergiraju na pronalaženje stupnja do kojeg je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio zadani broj.

Da biste točno odredili vrijednost nepoznatog stupnja, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. Ovako izgleda:

Kao što vidite, neki se eksponenti mogu intuitivno pogoditi ako imate tehnički način razmišljanja i znanje o tablici množenja. Međutim, za velike vrijednosti potrebna vam je tablica stupnjeva. Mogu ga koristiti čak i oni koji se ne razumiju baš ništa u složene matematičke teme. Lijevi stupac sadrži brojeve (baza a), gornji red brojeva je vrijednost potencije c na koju je podignut broj a. Na sjecištu u ćelijama određuju se vrijednosti brojeva koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju s brojem 10 i kvadriramo je, dobivamo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najpraviji humanist shvatiti!

Jednadžbe i nejednadžbe

Ispada da je pod određenim uvjetima eksponent logaritam. Stoga se svaki matematički numerički izraz može napisati kao logaritamska jednadžba. Na primjer, 3 4 =81 može se napisati kao logaritam od 81 na bazu 3, što je četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapisujemo kao logaritam, dobivamo log 2 (1/32) = -5. Jedan od najfascinantnijih dijelova matematike je tema "logaritmi". Razmotrit ćemo primjere i rješenja jednadžbi malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Sada pogledajmo kako nejednadžbe izgledaju i kako ih razlikovati od jednadžbi.

Dan je izraz sljedećeg oblika: log 2 (x-1) > 3 - jest logaritamska nejednakost, budući da je nepoznata vrijednost "x" pod predznakom logaritma. Također se u izrazu uspoređuju dvije količine: logaritam željenog broja u bazi dva veći je od broja tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi je u tome što jednadžbe s logaritmima (npr. logaritam od 2 x = √9) podrazumijevaju jednu ili više specifičnih brojčanih vrijednosti u odgovoru, dok se pri rješavanju nejednadžbe oba raspona prihvatljive vrijednosti i točke koje krše ovu funkciju. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuirani niz ili skup brojeva.

Osnovni teoremi o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednadžbe, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i u praksi primijeniti sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo se upoznati s primjerima jednadžbi, prvo ćemo detaljnije analizirati svako svojstvo.

1. Osnovni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo ako je a veće od 0, a ne jednako jedan, a B je veće od nule.
2. Logaritam umnoška može se predstaviti sljedećom formulom: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju, preduvjet je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu formulu logaritama, s primjerima i rješenjem. Neka je log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2 , tada je a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Dobivamo da je s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (svojstva stupnjeva ), i dalje po definiciji: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo i dokazati.
3. Logaritam kvocijenta izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.

Ova se formula naziva "svojstvo stupnja logaritma". Sliči svojstvima običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer sva matematika počiva na pravilnim postulatima. Pogledajmo dokaz.

Neka se log a b \u003d t, ispada a t \u003d b. Ako oba dijela dignete na potenciju m: a tn = b n ;

ali budući da je a tn = (a q) nt/q = b n, stoga je log a q b n = (n*t)/t, tada je log a q b n = n/q log a b. Teorem je dokazan.

Primjeri problema i nejednakosti

Najčešći tipovi problema s logaritmima su primjeri jednadžbi i nejednadžbi. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a uključeni su i u obvezni dio ispita iz matematike. Da biste ušli na sveučilište ili položili prijemne testove iz matematike, morate znati kako ispravno riješiti takve zadatke.

Nažalost, ne postoji jedinstveni plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritma, ali se na svaku matematičku nejednadžbu ili logaritamsku jednadžbu mogu primijeniti određena pravila. Prije svega, trebali biste saznati može li se izraz pojednostaviti ili svesti na opći pogled. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako ispravno koristite njihova svojstva. Upoznajmo ih uskoro.

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi potrebno je odrediti kakav logaritam imamo pred sobom: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da trebate odrediti stupanj do kojeg će baza 10 biti jednaka 100, odnosno 1026. Za rješenja prirodnih logaritama potrebno je primijeniti logaritamski identiteti odnosno njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema raznih vrsta.

Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima

Dakle, pogledajmo primjere korištenja glavnih teorema o logaritmima.

1. Svojstvo logaritma umnoška može se koristiti u zadacima gdje je potrebno veliku vrijednost broja b rastaviti na jednostavnije faktore. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, pomoću četvrtog svojstva stupnja logaritma uspjeli smo riješiti na prvi pogled složen i nerješiv izraz. Potrebno je samo faktorizirati bazu i zatim uzeti vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.

Zadaci s ispita

Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno puno logaritamskih problema na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ti zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši ispitni dio ispit), ali i u dijelu C (najteži i najobimniji zadaci). Ispit podrazumijeva točno i savršeno poznavanje teme "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja problema preuzeti su sa službenih USE opcije. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Zadani je log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, malo ga pojednostavimo log 2 (2x-1) = 2 2 , po definiciji logaritma dobivamo da je 2x-1 = 2 4 , dakle 2x = 17; x = 8,5.

• Sve logaritme najbolje je svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i ​​zbunjujuće.
• Svi izrazi pod znakom logaritma označeni su kao pozitivni, stoga, kada se eksponent iz eksponenta iz izraza, koji je pod znakom logaritma i kao njegova baza, izuzme, izraz koji ostaje ispod logaritma mora biti pozitivan.