Množenje zagrada. Otvaranje zagrade: pravila i primjeri (7. razred)

Zagrade se koriste za označavanje redoslijeda operacija u brojčanim i doslovni izrazi, kao i u izrazima s varijablama. Pogodno je prijeći s izraza sa zagradama na identično jednak izraz bez zagrada. Ova tehnika se zove otvaranje zagrade.

Proširiti zagrade znači osloboditi izraz tih zagrada.

Još jedna točka zaslužuje posebnu pozornost, a to se odnosi na osobitosti pisanja rješenja pri otvaranju zagrada. Početni izraz sa zagradama i rezultat koji se dobije nakon otvaranja zagrada možemo napisati kao jednakost. Na primjer, nakon otvaranja zagrada, umjesto izraza
3−(5−7) dobivamo izraz 3−5+7. Oba ova izraza možemo napisati kao jednakost 3−(5−7)=3−5+7.

I još jedan važna točka. U matematici, kako bi se smanjili unosi, uobičajeno je ne pisati znak plus ako je prvi u izrazu ili u zagradama. Na primjer, ako zbrojimo dva pozitivna broja, na primjer, sedam i tri, tada ne pišemo +7 + 3, već jednostavno 7 + 3, unatoč činjenici da je sedam također pozitivan broj. Slično, ako vidite, na primjer, izraz (5 + x) - znajte da postoji plus ispred zagrade, koja nije napisana, a postoji plus + (+5 + x) ispred pet.

Pravilo proširenja zagrade za zbrajanje

Pri otvaranju zagrada, ako ispred zagrada stoji plus, onda se taj plus izostavlja zajedno sa zagradama.

Primjer. Otvorite zagrade u izrazu 2 + (7 + 3) Ispred zagrada plus, tada se znakovi ispred brojeva u zagradama ne mijenjaju.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Pravilo za širenje zagrada pri oduzimanju

Ako ispred zagrada stoji minus, onda se taj minus izostavlja zajedno sa zagradama, ali pojmovi koji su bili u zagradi mijenjaju predznak u suprotan. Odsutnost znaka ispred prvog člana u zagradi implicira znak +.

Primjer. Otvorene zagrade u izrazu 2 − (7 + 3)

Ispred zagrada je minus, pa je potrebno promijeniti predznake ispred brojeva iz zagrada. Ispred broja 7 nema znaka u zagradama, što znači da je sedam pozitivan, smatra se da je znak + ispred njega.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Prilikom otvaranja zagrada uklanjamo minus iz primjera koji je bio prije zagrada i same zagrade 2 − (+ 7 + 3), a predznake koji su bili u zagradama mijenjamo suprotnim.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Širenje zagrada pri množenju

Ako ispred zagrada stoji znak množenja, tada se svaki broj unutar zagrada množi faktorom ispred zagrada. U isto vrijeme, množenje minusa s minusom daje plus, a množenje minusa s plusom, kao i množenje plusa s minusom, daje minus.

Dakle, zagrade u umnošcima se proširuju u skladu sa svojstvom distribucije množenja.

Primjer. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Prilikom množenja zagrade po zagradu, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Zapravo, nema potrebe pamtiti sva pravila, dovoljno je zapamtiti samo jedno, ovo: c(a−b)=ca−cb. Zašto? Jer ako zamijenimo jedan umjesto c, dobivamo pravilo (a−b)=a−b. A ako zamijenimo minus jedan, dobit ćemo pravilo −(a−b)=−a+b. Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.

Proširite zagrade prilikom dijeljenja

Ako iza zagrada stoji znak dijeljenja, tada je svaki broj unutar zagrada djeljiv djeliteljem iza zagrada i obrnuto.

Primjer. (9 + 6) : 3=9 : 3 + 6 : 3

Kako proširiti ugniježđene zagrade

Ako izraz sadrži ugniježđene zagrade, tada se one proširuju redom, počevši od vanjskih ili unutarnjih.

U isto vrijeme, kada otvarate jednu od zagrada, važno je ne dirati druge zagrade, samo ih prepisati onakvima kakve jesu.

Primjer. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, sume monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Zbroj monoma naziva se polinom. Članovi u polinomu nazivaju se članovima polinoma. Monomi se također nazivaju polinomi, smatrajući monom polinomom koji se sastoji od jednog člana.

Na primjer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
može se pojednostaviti.

Sve članove predstavljamo u obliku monoma standardni prikaz:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Dajemo slične članove u rezultirajućem polinomu:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika i među njima nema sličnih. Takvi se polinomi nazivaju polinomi standardnog oblika.

Iza polinomski stupanj standardnom obliku preuzimaju najveće ovlasti svojih članova. Dakle, binom \(12a^2b - 7b \) ima treći stupanj, a trinom \(2b^2 -7b + 6 \) ima drugi.

Obično su članovi polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu poredani silaznim redoslijedom njezinih eksponenata. Na primjer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Zbroj nekoliko polinoma može se pretvoriti (pojednostavljeno) u polinom standardnog oblika.

Ponekad je potrebno članove polinoma podijeliti u skupine, stavljajući svaku skupinu u zagrade. Budući da su zagrade suprotne zagradama, lako ih je formulirati pravila otvaranja zagrada:

Ako se ispred zagrada nalazi znak +, onda se pojmovi u zagradama pišu s istim predznacima.

Ako se ispred zagrada nalazi znak "-", tada se pojmovi u zagradi pišu sa suprotnim predznakom.

Transformacija (pojednostavljenje) umnoška monoma i polinoma

Koristeći svojstvo distribucije množenja, može se transformirati (pojednostaviti) umnožak monoma i polinoma u polinom. Na primjer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Umnožak monoma i polinoma identički je jednak zbroju umnožaka tog monoma i svakog člana polinoma.

Ovaj se rezultat obično formulira kao pravilo.

Da bi se monom pomnožio s polinomom, potrebno je pomnožiti taj monom sa svakim članom polinoma.

Više puta smo koristili ovo pravilo za množenje zbrojem.

Umnožak polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) umnoška dvaju polinoma

Općenito, umnožak dvaju polinoma identički je jednak zbroju umnoška svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog.

Obično koristite sljedeće pravilo.

Da biste pomnožili polinom s polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i zbrojiti dobivene umnoške.

Formule skraćenog množenja. Zbroj, razlika i kvadrati razlike

Neki izrazi u algebarskim transformacijama moraju se raditi češće od drugih. Možda su najčešći izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), to jest, kvadrat zbroja, kvadrat razlike i kvadrat razlike. Primijetili ste da imena ovih izraza izgledaju nepotpuna, pa, na primjer, \((a + b)^2 \) nije, naravno, samo kvadrat zbroja, već kvadrat zbroja a i b. Međutim, kvadrat zbroja a i b nije tako čest, u pravilu umjesto slova a i b sadrži razne, ponekad prilično složene izraze.

Izraze \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lako je pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika, zapravo, već ste se susreli s takvim zadatkom pri množenju polinoma :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Dobivene identitete korisno je zapamtiti i primijeniti bez posrednih izračuna. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadrat zbroja jednak je zbroju kvadrata i dvostrukog umnoška.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike je zbroj kvadrata bez umnožavanja umnoška.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadrata jednaka je umnošku razlike i zbroja.

Ova tri identiteta dopuštaju u transformacijama zamjenu svojih lijevih dijelova desnima i obrnuto - desnih dijelova lijevim. Najteže je u ovom slučaju vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti što su varijable a i b zamijenjene u njima. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja formula za skraćeno množenje.

Taj dio jednadžbe je izraz u zagradama. Za otvaranje zagrada pogledajte znak ispred zagrada. Ako postoji znak plus, ništa se neće promijeniti prilikom proširenja zagrada u zapisu izraza: samo uklonite zagrade. Ako postoji predznak minus, prilikom otvaranja zagrada potrebno je sve znakove koji su inicijalno u zagradi promijeniti u suprotne. Na primjer, -(2x-3)=-2x+3.

Množenje dviju zagrada.
Ako jednadžba sadrži umnožak dviju zagrada, proširite zagrade prema standardnom pravilu. Svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade. Dobiveni brojevi se zbrajaju. U ovom slučaju, umnožak dva "plus" ili dva "minusa" daje pojmu znak "plus", a ako faktori imaju različite znakove, tada dobiva znak minus.
Smatrati .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Proširivanjem zagrada, ponekad podizanjem izraza na . Formule za dizanje na kvadrat i kocku moraju se znati napamet i zapamtiti.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formule za povećanje izraza većeg od tri mogu se napraviti pomoću Pascalovog trokuta.

Izvori:

• formula otvaranja zagrada

Matematičke operacije u zagradama mogu sadržavati varijable i izraze različitih stupnjeva složenosti. Za množenje takvih izraza morat će se tražiti rješenje u opći pogled, širenje zagrada i pojednostavljenje rezultata. Ako zagrade sadrže operacije bez varijabli, samo s numeričkim vrijednostima, tada nije potrebno otvarati zagrade, jer ako je računalo dostupno korisniku, dostupni su vrlo značajni računalni resursi - lakše ih je koristiti nego pojednostaviti izraz.

Uputa

Uzastopno pomnožite svaki (ili smanjite) sadržan u jednoj zagradi sa sadržajem svih ostalih zagrada ako želite dobiti opći rezultat. Na primjer, neka je izvorni izraz napisan ovako: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Tada će uzastopno množenje (tj. širenje zagrada) dati sljedeći rezultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Pojednostavite nakon rezultata skraćivanjem izraza. Na primjer, izraz dobiven u prethodnom koraku može se pojednostaviti na sljedeći način: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Upotrijebite kalkulator ako trebate pomnožiti x jednako 4,75, odnosno (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Za izračun ove vrijednosti idite na web stranicu tražilice Google ili Nigma i unesite izraz u polje za upit u izvornom obliku (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google će prikazati 82.265625 odmah bez pritiskanja gumba, dok Nigma mora poslati podatke na server pritiskom na gumb.

U ovoj ćete lekciji naučiti kako transformirati izraz koji sadrži zagrade u izraz koji ne sadrži zagrade. Naučit ćete kako otvoriti zagrade kojima prethode znak plus i znak minus. Prisjetit ćemo se kako otvoriti zagrade koristeći distributivni zakon množenja. Razmotreni primjeri omogućit će povezivanje novog i prethodno proučavanog materijala u jednu cjelinu.

Tema: Rješavanje jednadžbi

Lekcija: Proširenje zagrada

Kako otvoriti zagrade ispred kojih stoji znak "+". Korištenje asocijativnog zakona zbrajanja.

Ako broju trebate dodati zbroj dvaju brojeva, tada ovom broju možete dodati prvi izraz, a zatim drugi.

Lijevo od znaka jednakosti nalazi se izraz sa zagradom, a desno izraz bez zagrade. To znači da su se pri prelasku s lijeve strane jednakosti na desnu otvorile zagrade.

Razmotrite primjere.

Primjer 1

Proširujući zagrade, promijenili smo redoslijed operacija. Brojanje je postalo praktičnije.

Primjer 2

Primjer 3

Imajte na umu da smo u sva tri primjera jednostavno uklonili zagrade. Formulirajmo pravilo:

Komentar.

Ako je prvi izraz u zagradama bez predznaka, tada se mora pisati sa znakom plus.

Možete slijediti primjer korak po korak. Prvo dodajte 445 na 889. Ova se mentalna radnja može izvesti, ali nije baš laka. Otvorimo zagrade i vidimo da će promijenjeni redoslijed operacija uvelike pojednostaviti izračune.

Ako slijedite navedeni redoslijed radnji, tada prvo morate oduzeti 345 od 512, a zatim rezultatu dodati 1345. Proširivanjem zagrada promijenit ćemo redoslijed radnji i uvelike pojednostaviti izračune.

Ilustrativan primjer i pravilo.

Razmotrimo primjer: . Vrijednost izraza možete pronaći zbrajanjem 2 i 5, a zatim uzimanjem dobivenog broja sa suprotnim predznakom. Dobivamo -7.

S druge strane, isti se rezultat može dobiti zbrajanjem suprotnih brojeva.

Formulirajmo pravilo:

Primjer 1

Primjer 2

Pravilo se ne mijenja ako u zagradama nema dva, nego tri ili više pojmova.

Primjer 3

Komentar. Predznaci su obrnuti samo ispred pojmova.

Za otvaranje zagrada, ovaj slučaj zapamtite svojstvo distribucije.

Prvo pomnožite prvu zagradu s 2, a drugu s 3.

Ispred prve zagrade stoji znak “+”, što znači da znakovi moraju ostati nepromijenjeni. Drugom prethodi znak "-", stoga svi znakovi moraju biti obrnuti

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006. (monografija).
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - Prosvjeta, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za tečaj matematike 5-6 razreda - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: udžbenik Sugovornik za 5.-6 Srednja škola. Knjižnica nastavnika matematike. - Prosvjeta, 1989.

1. Online testovi iz matematike ().
2. Možete preuzeti one navedene u točki 1.2. knjige().

Domaća zadaća

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (vidi poveznicu 1.2)
2. Domaća zadaća: br. 1254, br. 1255, br. 1256 (b, d)
3. Ostali zadaci: br. 1258(c), br. 1248

U ovom ćemo članku detaljno razmotriti osnovna pravila za tako važnu temu u tečaju matematike kao otvaranje zagrada. Morate znati pravila otvaranja zagrada kako biste ispravno riješili jednadžbe u kojima se one koriste.

Kako pravilno otvoriti zagrade pri zbrajanju

Raširite zagrade ispred kojih stoji znak "+".

Ovo je najjednostavniji slučaj, jer ako ispred zagrada stoji znak dodavanja, kada se zagrade otvore, znakovi unutar njih se ne mijenjaju. Primjer:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Kako otvoriti zagrade ispred kojih stoji znak "-".

U tom slučaju trebate prepisati sve pojmove bez zagrada, ali istodobno promijeniti sve znakove unutar njih u suprotne. Predznaci se mijenjaju samo za pojmove iz onih zagrada ispred kojih je stajao znak “-”. Primjer:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Kako otvoriti zagrade pri množenju

Ispred zagrada stoji množitelj

U tom slučaju morate svaki pojam pomnožiti s faktorom i otvoriti zagrade bez mijenjanja predznaka. Ako množitelj ima predznak "-", tada se kod množenja predznaci pojmova mijenjaju. Primjer:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Kako otvoriti dvije zagrade sa znakom množenja između njih

U ovom slučaju morate pomnožiti svaki izraz iz prvih zagrada sa svakim članom iz drugih zagrada i zatim zbrojiti rezultate. Primjer:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Kako otvoriti zagrade u kvadratu

Ako se zbroj ili razlika dvaju članova kvadrira, zagrade treba raširiti prema sljedećoj formuli:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

U slučaju minusa unutar zagrade, formula se ne mijenja. Primjer:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Kako otvoriti zagrade u različitom stupnju

Ako se zbroj ili razlika članova podigne, na primjer, na 3. ili 4. potenciju, tada samo trebate razbiti stupanj zagrade na "kvadratiće". Zbrajaju se potencije istih faktora, a pri dijeljenju se od stupnja djelitelja oduzima stupanj djelitelja. Primjer:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Kako otvoriti 3 zagrade

Postoje jednadžbe u kojima se 3 zagrade množe odjednom. U tom slučaju prvo morate međusobno pomnožiti članove prve dvije zagrade, a zatim zbroj tog množenja pomnožiti s članovima treće zagrade. Primjer:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Ova pravila otvaranja zagrada jednako se primjenjuju i na linearne i na trigonometrijske jednadžbe.