Doslovni izrazi. Pretvorba izraza

Svaki jezik može izraziti istu informaciju različite riječi i prometa. Matematički jezik nije iznimka. Ali isti izraz može se ekvivalentno napisati na različite načine. A u nekim situacijama jedan od unosa je jednostavniji. U ovoj lekciji ćemo govoriti o pojednostavljivanju izraza.

Ljudi komuniciraju dalje različiti jezici. Za nas je važna usporedba par "ruski jezik - matematički jezik". Iste informacije mogu se prijaviti na različitim jezicima. Ali, osim toga, može se različito izgovarati u jednom jeziku.

Na primjer: "Petar je prijatelj s Vasjom", "Vasja je prijatelj s Petjom", "Petar i Vasja su prijatelji". Različito rečeno, ali jedno te isto. Bilo kojom od ovih fraza shvatili bismo što je u pitanju.

Pogledajmo ovu frazu: "Dječak Petya i dječak Vasya su prijatelji." Razumijemo što u pitanju. Međutim, ne sviđa nam se kako ova fraza zvuči. Ne možemo li to pojednostaviti, reći isto, ali jednostavnije? "Dječak i dječak" - možete jednom reći: "Dječaci Petya i Vasya su prijatelji."

"Dečki" ... Nije li jasno iz njihovih imena da nisu djevojčice. Uklanjamo "dečke": "Petya i Vasya su prijatelji." A riječ "prijatelji" može se zamijeniti s "prijatelji": "Petya i Vasya su prijatelji." Kao rezultat toga, prva, dugačka, ružna fraza zamijenjena je ekvivalentnom izjavom koju je lakše izgovoriti i razumjeti. Pojednostavili smo ovu frazu. Pojednostaviti znači reći lakše, ali ne izgubiti, ne iskriviti značenje.

Ista stvar se događa u matematičkom jeziku. Ista stvar se može reći i drugačije. Što znači pojednostaviti izraz? To znači da za izvorni izraz postoji mnogo ekvivalentnih izraza, odnosno onih koji znače isto. I iz sveg tog mnoštva moramo odabrati najjednostavniji, po našem mišljenju, ili najprikladniji za naše daljnje svrhe.

Na primjer, razmotrite numerički izraz. To će biti ekvivalentno .

Također će biti ekvivalentan prva dva: .

Ispada da smo pojednostavili svoje izraze i pronašli najkraći ekvivalentni izraz.

Za numeričke izraze uvijek morate obaviti sav posao i dobiti ekvivalentni izraz kao jedan broj.

Razmotrimo primjer doslovnog izraza . Očito će biti jednostavnije.

Kada pojednostavljujete doslovne izraze, morate izvršiti sve radnje koje su moguće.

Je li uvijek potrebno pojednostaviti izraz? Ne, ponekad će nam odgovarati ekvivalentna, ali duža notacija.

Primjer: Oduzmite broj od broja.

Moguće je izračunati, ali ako bi prvi broj bio predstavljen svojim ekvivalentnim zapisom: , tada bi izračuni bili trenutni: .

To jest, pojednostavljeni izraz nije uvijek koristan za nas za daljnje izračune.

Ipak, vrlo često se susrećemo sa zadatkom koji samo zvuči kao "pojednostavite izraz".

Pojednostavite izraz: .

Riješenje

1) Izvršite radnje u prvoj i drugoj zagradi: .

2) Izračunajte umnoške: .

Očito je da posljednji izraz ima jednostavniji oblik od početnog. Mi smo to pojednostavili.

Da bi se izraz pojednostavio, mora se zamijeniti ekvivalentom (jednako).

Da biste odredili ekvivalentni izraz, morate:

1) izvršiti sve moguće radnje,

2) koristiti svojstva zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja za pojednostavljenje izračuna.

Svojstva zbrajanja i oduzimanja:

1. Komutativno svojstvo zbrajanja: zbroj se ne mijenja preuređivanjem članova.

2. Asocijativnost zbrajanja: da biste zbroju dvaju brojeva dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbroj drugog i trećeg broja.

3. Svojstvo oduzimanja zbroja od broja: da biste od broja oduzeli zbroj, možete oduzeti svaki član pojedinačno.

Svojstva množenja i dijeljenja

1. Komutativno svojstvo množenja: umnožak se ne mijenja permutacijom faktora.

2. Svojstvo asocijativnosti: da biste broj pomnožili umnoškom dvaju brojeva, prvo ga možete pomnožiti s prvim faktorom, a zatim dobiveni umnožak pomnožiti s drugim faktorom.

3. Svojstvo distributivnosti množenja: da bi neki broj pomnožili zbrojem, potrebno ga je pomnožiti sa svakim članom posebno.

Pogledajmo kako zapravo radimo mentalne izračune.

Izračunati:

Riješenje

1) Zamislite kako

2) Predstavimo prvi množitelj kao zbroj bitnih članova i izvršimo množenje:

3) možete zamisliti kako i izvesti množenje:

4) Zamijenite prvi faktor ekvivalentnim zbrojem:

Zakon distribucije također se može koristiti u obrnuta strana: .

Prati ove korake:

1) 2)

Riješenje

1) Radi praktičnosti, možete koristiti zakon distribucije, samo ga koristite u suprotnom smjeru - izbacite zajednički faktor iz zagrada.

2) Izbacimo zajednički faktor iz zagrade

Potrebno je kupiti linoleum u kuhinji i hodniku. Kuhinjski dio - hodnik -. Postoje tri vrste linoleuma: za, i rubalja za. Koliko će svaki od tri vrste linoleum? (Sl. 1)

Riža. 1. Ilustracija uvjeta zadatka

Riješenje

Metoda 1. Zasebno možete pronaći koliko će novca biti potrebno za kupnju linoleuma u kuhinji, a zatim ga dodajte u hodnik i zbrojite rezultirajuće radove.

Na početku lekcije ponovit ćemo osnovna svojstva kvadratnih korijena, a zatim ćemo pogledati nekoliko teški primjeri za pojednostavljenje izraza koji sadrže kvadratne korijene.

Predmet:Funkcija. Svojstva korijen

Lekcija:Pretvaranje i pojednostavljenje složenijih izraza s korijenima

1. Ponavljanje svojstava kvadratnih korijena

Ponovimo ukratko teoriju i prisjetimo se glavnih svojstava kvadratnih korijena.

Svojstva kvadratnih korijena:

1. , dakle, ;

3. ;

4. .

2. Primjeri za pojednostavljenje izraza s korijenima

Prijeđimo na primjere korištenja ovih svojstava.

Primjer 1: Pojednostavite izraz .

Riješenje. Da pojednostavimo, broj 120 mora se rastaviti na proste faktore:

Otvorit ćemo kvadrat zbroja prema odgovarajućoj formuli:

Primjer 2: Pojednostavite izraz .

Riješenje. Uzimamo u obzir da ovaj izraz nema smisla za sve moguće vrijednosti varijable, budući da ovaj izraz sadrži kvadratne korijene i razlomke, što dovodi do "sužavanja" raspona prihvatljivih vrijednosti. ODZ: ().

Izraz u zagradi dovodimo na zajednički nazivnik, a brojnik zadnjeg razlomka zapisujemo kao razliku kvadrata:

Odgovor. na.

Primjer 3: Pojednostavite izraz .

Riješenje. Vidi se da je druga zagrada brojnika nezgodnog oblika i treba je pojednostaviti, pokušajmo je faktorizirati metodom grupiranja.

Da bismo mogli izvaditi zajednički faktor, pojednostavili smo korijene rastavljajući ih na faktore. Zamijenite dobiveni izraz u izvorni razlomak:

Nakon redukcije razlomka, primjenjujemo formulu razlike kvadrata.

3. Primjer oslobađanja od iracionalnosti

Primjer 4. Oslobodite se iracionalnosti (korijena) u nazivniku: a) ; b) .

Riješenje. a) Da bi se uklonila iracionalnost u nazivniku, koristi se standardna metoda množenja i brojnika i nazivnika razlomka faktorom konjugiranim na nazivnik (isti izraz, ali sa suprotnim predznakom). To se radi kako bi se nazivnik razlomka dopunio razlikom kvadrata, što vam omogućuje da se riješite korijena u nazivniku. Učinimo ovo u našem slučaju:

b) izvršiti slične radnje:

4. Primjer za dokaz i izbor potpunog kvadrata u kompleksnom radikalu

Primjer 5. Dokaži jednakost .

Dokaz. Poslužimo se definicijom kvadratnog korijena iz koje slijedi da kvadrat desnog izraza mora biti jednak korijenskom izrazu:

. Otvorimo zagrade prema formuli kvadrata zbroja:

, dobivamo točnu jednadžbu.

dokazano.

Primjer 6. Pojednostavite izraz.

Riješenje. Ovaj izraz se obično naziva složeni radikal (korijen ispod korijena). U ovaj primjer potrebno je pogoditi da se iz radikalnog izraza izvuče puni kvadrat. Da bismo to učinili, napominjemo da je od dva pojma kandidat za ulogu dvostrukog proizvoda u formuli za kvadrat razlike (razlika, budući da postoji minus). Zapisujemo ga u obliku takvog proizvoda: , zatim za ulogu jednog od pojmova puni kvadrat zahtjeva, a za ulogu drugog - 1.

Zamijenimo ovaj izraz ispod korijena.

Odjeljak 5 IZRAZI I JEDNADŽBE

U rubrici ćete naučiti:

ü o izrazi i njihova pojednostavljenja;

ü koja su svojstva jednakosti;

ü kako rješavati jednadžbe na temelju svojstava jednakosti;

ü koje se vrste zadataka rješavaju pomoću jednadžbi; što su okomite crte i kako ih graditi;

ü koje se linije nazivaju paralelnim i kako ih graditi;

ü što je koordinatna ravnina;

ü kako odrediti koordinate točke na ravnini;

ü što je graf ovisnosti između veličina i kako ga izgraditi;

ü kako naučeno gradivo primijeniti u praksi

§ 30. IZRAZI I NJIHOVO POJEDNOSTAVLJIVANJE

Već znate što su doslovni izrazi i znate kako ih pojednostaviti pomoću zakona zbrajanja i množenja. Na primjer, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . U dobivenom izrazu broj -8 naziva se koeficijent izraza.

Da li izraz CD koeficijent? Tako. Jednako je 1 jer cd - 1 ∙ cd .

Podsjetimo se da se pretvaranje izraza sa zagradama u izraz bez zagrada naziva proširenje zagrada. Na primjer: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Obrnuta radnja u ovom primjeru je stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada.

Pojmovi koji sadrže iste literalne faktore nazivaju se slični pojmovi. Izvlačenjem zajedničkog faktora iz zagrada, postavljaju se slični pojmovi:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

B x + 7y - 5.

Pravila proširenja zagrada

1. Ako ispred zagrada stoji znak “+”, tada se pri otvaranju zagrada čuvaju znakovi pojmova u zagradama;

2. Ako ispred zagrada stoji znak “-”, tada se kod otvaranja zagrada znaci pojmova u zagradama mijenjaju.

1. zadatak . Pojednostavite izraz:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Rješenja. 1. Ispred zagrada je znak “+”, stoga se pri otvaranju zagrada čuvaju znakovi svih pojmova:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Ispred zagrada je znak “-”, dakle, prilikom otvaranja zagrada: znakovi svih pojmova su obrnuti:

15 - (- 8 + 7y) \u003d 15y + 8 - 7y \u003d 8y +8.

Za otvaranje zagrada upotrijebite svojstvo distribucije množenja: a( b + c) = ab + ak. Ako je a > 0, onda su predznaci članova b a sa ne mijenjaju. Ako a< 0, то знаки слагаемых b a od su obrnuti.

Zadatak 2. Pojednostavite izraz:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

Rješenja. 1. Faktor 2 ispred zagrada e je pozitivan, stoga pri otvaranju zagrada zadržavamo predznake svih članova: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Faktor -5 ispred zagrada e je negativan, stoga pri otvaranju zagrada svim članovima mijenjamo predznake u suprotne:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Saznaj više

1. Riječ "zbir" dolazi od lat summa , što znači "ukupno", "ukupno".

2. Riječ "plus" dolazi od lat plus, što znači "više", a riječ "minus" - od latinskog minus, što znači "manje". Znakovi "+" i "-" označavaju operacije zbrajanja i oduzimanja. Ove znakove uveo je češki znanstvenik J. Vidman 1489. godine u knjizi "Brz i ugodan račun za sve trgovce"(Slika 138).

Riža. 138

ZAPAMTITE GLAVNE STVARI

1. Koji se pojmovi nazivaju sličnim? Kako se konstruiraju lajkovi?

2. Kako se otvaraju zagrade ispred kojih stoji znak “+”?

3. Kako se otvaraju zagrade ispred kojih stoji znak "-"?

4. Kako otvarate zagrade ispred kojih stoji pozitivan faktor?

5. Kako otvarate zagrade ispred kojih stoji negativan faktor?

1374". Imenujte koeficijent izraza:

1) 12 a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Navedite članove koji se razlikuju samo po koeficijentu:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Kako se zovu ovi pojmovi?

1376". Postoje li slični pojmovi u izrazu:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4) 12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". Da li je potrebno mijenjati predznake pojmova u zagradama, otvarajući zagrade u izrazu:

1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Pojednostavite izraz i podcrtajte koeficijent:

1379°. Pojednostavite izraz i podcrtajte koeficijent:

1380°. Smanjite slične uvjete:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Smanjite slične uvjete:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

1) 1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5 s + 5d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.

1384°. Otvorite zagrade i smanjite slične pojmove;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Otvorite zagrade i smanjite slične članove:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) -(- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Proširite zagrade i pronađite značenje izraza:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Proširite zagrade i pronađite značenje izraza:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Otvorena zagrada:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Otvorena zagrada:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Pojednostavite izraz:

1391. Pojednostavite izraz:

1392. Skrati slične članove:

1393. Smanjite slične uvjete:

1394. Pojednostavite izraz:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, prema) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Pojednostavite izraz:

1396. Pronađite značenje izraza;

1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), ako je a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), ako je = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Odredi vrijednost izraza:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), ako je x = -0,25;

1398*. Pronađite grešku u rješenju:

1) 5- (a-2,4) -7 ∙ (-a + 1,2) \u003d 5a - 12-7a + 8,4 \u003d -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.

1399*. Proširite zagrade i pojednostavite izraz:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Rasporedite zagrade da dobijete točnu jednakost:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Dokažite da za bilo koje brojeve a i b ako je a > b , tada vrijedi jednakost:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Hoće li ova jednakost biti točna ako: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Dokažite da je za svaki prirodni broj a aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg broja jednaka a.

PRIMIJENITE U PRAKSI

1403. Za pripremu voćnog deserta za tri osobe potrebno je: 2 jabuke, 1 naranča, 2 banane i 1 kivi. Kako doslovnim izrazom odrediti količinu voća potrebnu za pripremu deserta za goste? Pomozite Marin izračunati koliko voća treba kupiti ako dođe u posjet: 1) 5 prijatelja; 2) 8 prijatelja.

1404. Napravite doslovan izraz za određivanje vremena potrebnog za izradu domaće zadaće iz matematike, ako:

1) min je potrošeno na rješavanje problema; 2) pojednostavljenje izraza je 2 puta više nego za rješavanje problema. Koliko je trajalo domaća zadaća Vasilko, ako je proveo 15 minuta rješavajući probleme?

1405. Ručak u školskoj kantini sastoji se od salate, boršča, sarmice i kompota. Trošak salate je 20%, boršč - 30%, kupus - 45%, kompot - 5% ukupne cijene cijelog obroka. Napiši izraz kojim ćeš pronaći cijenu ručka u školskoj kantini. Koliko košta ručak ako je cijena salate 2 UAH?

ZADACI ZA PONAVLJANJE

1406. Riješi jednadžbu:

1407. Tanya potrošila na sladoledsav raspoloživi novac, a za slatkiše -ostatak. Koliko novca ima Tanya?

ako slatkiši koštaju 12 UAH?

§ 1. Koncept pojednostavljivanja doslovnog izraza

U ovoj lekciji upoznat ćemo se s konceptom „sličnih pojmova“ i na primjerima ćemo naučiti kako izvršiti redukciju sličnih pojmova, pojednostavljujući tako doslovne izraze.

Otkrijmo značenje pojma "pojednostavljenje". Riječ "pojednostavljenje" izvedena je iz riječi "pojednostaviti". Pojednostaviti znači učiniti jednostavnim, jednostavnijim. Stoga, pojednostaviti doslovni izraz znači učiniti ga kraćim, s minimalnim brojem radnji.

Razmotrimo izraz 9x + 4x. Ovo je doslovni izraz koji je zbroj. Pojmovi su ovdje predstavljeni kao umnožak broja i slova. Numerički faktor takvih članova naziva se koeficijent. U ovom izrazu, koeficijenti će biti brojevi 9 i 4. Imajte na umu da je množitelj predstavljen slovom isti u oba člana ovog zbroja.

Prisjetimo se zakona distribucije množenja:

Da biste zbroj pomnožili s brojem, možete pomnožiti svaki član s tim brojem i zbrojiti dobivene umnoške.

U opći pogled piše se na sljedeći način: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Ovaj zakon vrijedi u oba smjera ac + bc = (a + b) ∙ c

Primijenimo to na naš doslovni izraz: zbroj umnožaka 9x i 4x jednak je umnošku, čiji je prvi faktor zbroj 9 i 4, a drugi faktor je x.

9 + 4 = 13 čini 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Umjesto tri radnje u izrazu je ostala jedna radnja – množenje. Dakle, pojednostavili smo naš doslovni izraz, tj. pojednostavio ga.

§ 2 Smanjenje sličnih uvjeta

Članovi 9x i 4x razlikuju se samo po svojim koeficijentima - takvi se članovi nazivaju sličnima. Slovni dio sličnih izraza je isti. Slični pojmovi također uključuju brojeve i jednake pojmove.

Na primjer, u izrazu 9a + 12 - 15, brojevi 12 i -15 bit će slični članovi, a u zbroju umnožaka 12 i 6a, brojevi 14 i umnošci 12 i 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), jednaki članovi bit će slični, predstavljeni umnoškom 12 i 6a.

Važno je napomenuti da pojmovi koji imaju jednake koeficijente i različite literalne faktore nisu slični, iako je ponekad korisno na njih primijeniti distribucijski zakon množenja, na primjer, zbroj umnožaka 5x i 5y jednak je umnožak broja 5 i zbroja x i y

5x + 5y = 5(x + y).

Pojednostavimo izraz -9a + 15a - 4 + 10.

Slični pojmovi u ovaj slučaj su članovi -9a i 15a, jer se razlikuju samo u koeficijentima. Imaju isti množitelj slova, a članovi -4 i 10 su također slični jer su brojevi. Dodajemo slične pojmove:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Dobivamo: 6a + 6.

Pojednostavljujući izraz, pronašli smo zbrojeve sličnih članova, u matematici se to zove redukcija sličnih članova.

Ako je dovođenje takvih pojmova teško, možete smisliti riječi za njih i dodati objekte.

Na primjer, razmotrite izraz:

Za svako slovo uzmemo vlastiti objekt: b-jabuka, c-kruška, tada će ispasti: 2 jabuke minus 5 krušaka plus 8 krušaka.

Možemo li od jabuke oduzeti kruške? Naravno da ne. Ali možemo dodati 8 krušaka na minus 5 krušaka.

Dajemo slične uvjete -5 krušaka + 8 krušaka. Slični pojmovi imaju isti doslovni dio, stoga je kod redukcije sličnih članova dovoljno dodati koeficijente i rezultatu dodati doslovni dio:

(-5 + 8) krušaka - dobivate 3 kruške.

Vraćajući se našem doslovnom izrazu, imamo -5s + 8s = 3s. Dakle, nakon redukcije sličnih članova, dobivamo izraz 2b + 3c.

Dakle, u ovoj ste se lekciji upoznali s konceptom "sličnih pojmova" i naučili kako pojednostaviti doslovne izraze dovođenjem sličnih pojmova.

Popis korištene literature:

1. Matematika. 6. razred: nastavni planovi za udžbenik I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-sastavljač L.A. Topilin. Mnemozina 2009.
2. Matematika. Razred 6: udžbenik za učenike obrazovnih ustanova. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematika. Razred 6: udžbenik za obrazovne ustanove / G.V. Dorofejev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov i drugi / uredio G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Ruska akademija znanosti, Ruska akademija obrazovanja. M.: "Prosvjetljenje", 2010.
4. Matematika. Razred 6: udžbenik za općeobrazovne ustanove / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
5. Matematika. 6. razred: udžbenik / G.K. Muravin, O.V. Mrav. – M.: Bustard, 2014.

Korištene slike:

Prva razina

Pretvorba izraza. Detaljna teorija (2019.)

Pretvorba izraza

Često čujemo ovu neugodnu frazu: "pojednostavite izraz." Obično, u ovom slučaju, imamo neku vrstu čudovišta poput ovog:

„Da, puno lakše“, kažemo, ali takav odgovor obično ne funkcionira.

Sada ću vas naučiti da se ne bojite takvih zadataka. Štoviše, na kraju lekcije, sami ćete pojednostaviti ovaj primjer na (samo!) običan broj (da, kvragu s ovim slovima).

Ali prije nego započnete ovu lekciju, morate znati baratati razlomcima i faktorizirati polinome. Stoga, prvo, ako to već niste radili, svakako savladajte teme "" i "".

Čitati? Ako da, onda ste spremni.

Osnovne operacije pojednostavljenja

Sada ćemo analizirati glavne tehnike koje se koriste za pojednostavljenje izraza.

Najjednostavniji od njih je

1. Dovođenje sličnih

Što su slični? Prošli ste kroz to u 7. razredu, kada su se u matematici prvi put pojavila slova umjesto brojeva. Slični su pojmovi (monomi) s istim slovnim dijelom. Na primjer, u zbroju, kao pojmovi su i.

Sjetio se?

Donijeti slične pojmove znači dodati nekoliko sličnih pojmova jedan drugome i dobiti jedan pojam.

Ali kako možemo sastaviti slova? - pitaš.

Ovo je vrlo lako razumjeti ako zamislite da su slova neka vrsta predmeta. Na primjer, slovo je stolica. Što je onda izraz? Dvije stolice plus tri stolice, koliko će to biti? Tako je, stolice: .

Sada pokušajte s ovim izrazom:

Da ne bi došlo do zabune, neka različita slova označavaju različite predmete. Na primjer, - ovo je (kao i obično) stolica, a - ovo je stol. Zatim:

stolice stolovi stolice stolice stolice stolice stolovi

Nazivaju se brojevi kojima se množe slova u takvim izrazima koeficijenti. Na primjer, u monomu koeficijent je jednak. I on je ravnopravan.

Dakle, pravilo za donošenje sličnog:

Primjeri:

Donesite slično:

odgovori:

2. (i slični su, jer, dakle, ovi pojmovi imaju isti slovni dio).

2. Rastavljanje na faktore

To je obično najviše važan dio u pojednostavljivanju izraza. Nakon što ste zadali slične, najčešće se dobiveni izraz mora faktorizirati, odnosno prikazati kao umnožak. Ovo je posebno važno u razlomcima: na kraju krajeva, da bismo smanjili razlomak, brojnik i nazivnik moraju biti predstavljeni kao umnožak.

Prošli ste kroz detaljne metode faktoriziranja izraza u temi "", tako da ovdje samo trebate zapamtiti što ste naučili. Da biste to učinili, riješite nekoliko primjeri(izbaciti):

rješenja:

3. Redukcija razlomaka.

Pa, što može biti ljepše nego prekrižiti dio brojnika i nazivnika, i izbaciti ih iz svog života?

To je ljepota kratica.

Jednostavno je:

Ako brojnik i nazivnik sadrže iste faktore, oni se mogu reducirati, odnosno ukloniti iz razlomka.

Ovo pravilo proizlazi iz osnovnog svojstva razlomka:

Odnosno, bit operacije redukcije je u tome Brojnik i nazivnik razlomka dijelimo istim brojem (ili istim izrazom).

Da biste smanjili razlomak, potrebno vam je:

1) brojnik i nazivnik razložiti na činioce

2) ako brojnik i nazivnik sadrže zajednički faktori, mogu se izbrisati.

Princip je, mislim, jasan?

Želio bih vam skrenuti pozornost na jednu tipičnu pogrešku u kratici. Iako je ova tema jednostavna, mnogi ljudi rade sve pogrešno, ne shvaćajući to izrezati- to znači podijeliti brojnik i nazivnik istim brojem.

Bez kratica ako je brojnik ili nazivnik zbroj.

Na primjer: morate pojednostaviti.

Neki to čine: što je apsolutno pogrešno.

Drugi primjer: smanjiti.

"Najpametniji" će ovako:.

Reci mi što ovdje nije u redu? Čini se: - ovo je množitelj, tako da možete smanjiti.

Ali ne: - ovo je faktor samo jednog člana u brojniku, ali se sam brojnik kao cjelina ne rastavlja na faktore.

Evo još jednog primjera: .

Ovaj izraz se rastavlja na faktore, što znači da brojnik i nazivnik možete smanjiti, odnosno podijeliti sa, a zatim sa:

Možete odmah podijeliti na:

Kako biste izbjegli takve pogreške, zapamtite jednostavan način kako odrediti je li izraz faktoriziran:

Računska operacija koja se izvodi posljednja pri izračunavanju vrijednosti izraza je "glavna". Odnosno, ako umjesto slova zamijenite neke (bilo koje) brojeve i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako je zadnja radnja množenje, tada imamo umnožak (izraz se rastavlja na faktore). Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da izraz nije rastavljen na faktore (i stoga se ne može smanjiti).

Da biste to popravili, riješite sami nekoliko primjeri:

odgovori:

1. Nadam se da niste odmah požurili rezati i? Još uvijek nije bilo dovoljno ovako “smanjiti” jedinice:

Prvi korak trebao bi biti rastavljanje na faktore:

4. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka dobro je poznata operacija: tražimo zajednički nazivnik, svaki razlomak množimo faktorom koji nedostaje i zbrajamo/oduzimamo brojnike. Prisjetimo se:

odgovori:

1. Nazivnici i su prosti, tj. nemaju zajedničkih faktora. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom umnošku. Ovo će biti zajednički nazivnik:

2. Ovdje je zajednički nazivnik:

3. Prva stvar ovdje mješovite frakcije pretvoriti ih u pogrešne, a zatim - prema uobičajenoj shemi:

Sasvim je druga stvar ako razlomci sadrže slova, na primjer:

Počnimo jednostavno:

a) Nazivnici ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i kod običnih brojčanih razlomaka: nalazimo zajednički nazivnik, svaki razlomak množimo faktorom koji nedostaje i zbrajamo/oduzimamo brojnike:

sada u brojnik možete unijeti slične, ako postoje, i faktorizirati ih:

Pokušajte sami:

b) Nazivnici sadrže slova

Sjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

Prije svega, utvrđujemo zajedničke faktore;

Zatim ispisujemo sve zajedničke faktore jednom;

i pomnožite ih sa svim drugim faktorima, ne uobičajenim.

Da bismo odredili zajedničke faktore nazivnika, prvo ih rastavljamo na jednostavne faktore:

Ističemo zajedničke čimbenike:

Sada ispisujemo zajedničke faktore jednom i dodajemo im sve neuobičajene (nepodcrtane) faktore:

Ovo je zajednički nazivnik.

Vratimo se slovima. Nazivnici su dati na potpuno isti način:

Nazivnike rastavljamo na faktore;

odrediti zajedničke (identične) množitelje;

ispišite sve zajedničke faktore jednom;

Množimo ih sa svim drugim faktorima, a ne s uobičajenim.

Dakle, redom:

1) rastavite nazivnike na faktore:

2) odrediti zajedničke (identične) faktore:

3) sve zajedničke faktore ispišite jednom i pomnožite sa svim ostalim (nepodcrtanim) faktorima:

Dakle, zajednički nazivnik je ovdje. Prvi razlomak mora se pomnožiti s, drugi s:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

Vidimo iste faktore u nazivnicima, samo svi s različitim pokazateljima. Zajednički nazivnik će biti:

do te mjere

do te mjere

do te mjere

u stupnju.

Zakomplicirajmo zadatak:

Kako postići da razlomci imaju isti nazivnik?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite, na primjer, bilo koji razlomak i brojniku i nazivniku dodajte neki broj, na primjer, . Što je naučeno?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada razlomke dovodite pod zajednički nazivnik, koristite samo operaciju množenja!

Ali što trebate pomnožiti da biste dobili?

Evo i umnožite. I pomnožite sa:

Izrazi koji se ne mogu faktorizirati nazvat ćemo "elementarni faktori". Na primjer, je elementarni faktor. - Isto. Ali – ne: on se rastavlja na faktore.

Što je s izražavanjem? Je li elementarno?

Ne, jer se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi "").

Dakle, elementarni faktori na koje rastavite izraz sa slovima analogni su jednostavnim faktorima na koje rastavite brojeve. I mi ćemo učiniti isto s njima.

Vidimo da oba nazivnika imaju faktor. Ići će na zajednički nazivnik u snazi ​​(sjećate se zašto?).

Množitelj je elementaran i nije im zajednički, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Još jedan primjer:

Riješenje:

Prije nego panično pomnožite ove nazivnike, morate razmisliti kako ih faktorizirati? Obojica predstavljaju:

Sjajno! Zatim:

Još jedan primjer:

Riješenje:

Kao i obično, faktoriziramo nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo izvan zagrade; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih faktora. Ali ako bolje pogledate, već su toliko slični ... A istina je:

Pa napišimo:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotan. Imajte na umu, morat ćete to činiti često.

Sada dovodimo do zajedničkog nazivnika:

kužiš Sada provjerimo.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

Ovdje moramo zapamtiti još jednu stvar - razliku kockica:

Imajte na umu da nazivnik drugog razlomka ne sadrži formulu "kvadrat zbroja"! Kvadrat zbroja bi izgledao ovako:

A je takozvani nepotpuni kvadrat zbroja: drugi član u njemu je umnožak prvog i posljednjeg, a ne njihov udvostručeni umnožak. Nepotpuni kvadrat zbroja jedan je od čimbenika proširenja razlike kubova:

Što ako već postoje tri razlomka?

Da, isti! Prije svega, pobrinut ćemo se da najveći broj faktora u nazivnicima bude isti:

Obratite pažnju: ako promijenite predznake unutar jedne zagrade, predznak ispred razlomka se mijenja u suprotan. Kad promijenimo predznake u drugoj zagradi, predznak ispred razlomka opet se obrne. Zbog toga se on (znak ispred razlomka) nije promijenio.

Prvi nazivnik u cijelosti ispišemo u zajednički nazivnik, a zatim mu dodamo sve faktore koji još nisu napisani, iz drugog, pa iz trećeg (i tako dalje, ako ima više razlomaka). Odnosno, ide ovako:

Hmm ... S razlomcima je jasno što učiniti. Ali što je s njih dvoje?

Jednostavno je: znate kako zbrajati razlomke, zar ne? Dakle, morate se pobrinuti da dvojka postane razlomak! Zapamtite: razlomak je operacija dijeljenja (brojnik se dijeli nazivnikom, ako ste iznenada zaboravili). A nema ništa lakše nego podijeliti broj s. U ovom slučaju, sam broj se neće promijeniti, već će se pretvoriti u razlomak:

Upravo ono što je potrebno!

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pa, najteži dio je sada gotov. A pred nama je najjednostavniji, ali ujedno i najvažniji:

Postupak

Koji je postupak za izračunavanje numeričkog izraza? Zapamtite, s obzirom na vrijednost takvog izraza:

Jeste li brojali?

Trebalo bi raditi.

Dakle, podsjećam vas.

Prvi korak je izračunavanje stupnja.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji više množenja i dijeljenja u isto vrijeme, možete ih raditi bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, izvodimo zbrajanje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradama se vrednuje nepravilno!

Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, najprije procjenjujemo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili dijelimo.

Što ako postoje druge zagrade unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Što je prvo što treba učiniti kada se procjenjuje izraz? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutarnje zagrade, a zatim sve ostalo.

Dakle, redoslijed radnji za gornji izraz je sljedeći (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju upravo sada izvodim):

U redu, sve je jednostavno.

Ali to nije isto što i izraz sa slovima, zar ne?

Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija potrebno je raditi algebarske operacije, odnosno operacije opisane u prethodnom odjeljku: dovođenje sličnih, zbrajanje razlomaka, smanjivanje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika će biti djelovanje polinoma na faktore (često ga koristimo kada radimo s razlomcima). Najčešće, za faktorizaciju, trebate koristiti i ili jednostavno izvaditi zajednički faktor iz zagrada.

Obično je naš cilj predstaviti izraz kao umnožak ili kvocijent.

Na primjer:

Pojednostavimo izraz.

1) Prvo ćemo pojednostaviti izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je prikazati je kao umnožak ili kvocijent. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je dalje pojednostaviti ovaj izraz, svi faktori ovdje su elementarni (sjećate li se još što to znači?).

2) Dobivamo:

Množenje razlomaka: što bi moglo biti lakše.

3) Sada možete skratiti:

OK, sada je sve gotovo. Ništa komplicirano, zar ne?

Još jedan primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte sami riješiti, pa tek onda pogledajte rješenje.

Prije svega, definirajmo postupak. Prvo zbrojimo razlomke u zagradama, umjesto dva razlomka ispast će jedan. Zatim ćemo raditi dijeljenje razlomaka. Pa, zbrajamo rezultat sa zadnjim razlomkom. Shematski ću numerirati korake:

Sada ću pokazati cijeli proces, obojeći trenutnu radnju crvenom bojom:

Na kraju ću vam dati dva korisna savjeta:

1. Ako postoje slični, moraju se odmah donijeti. U kojem god trenutku imamo slične, preporučljivo ih je odmah donijeti.

2. Isto vrijedi i za smanjivanje razlomaka: čim se ukaže prilika za smanjenje, mora se iskoristiti. Iznimka su razlomci koje zbrajate ili oduzimate: ako oni sada imaju iste nazivnike, tada smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje možete riješiti sami:

I obećao na samom početku:

Rješenja (ukratko):

Ako ste se snašli barem u prva tri primjera, onda ste, smatrajte, svladali temu.

Sada na učenje!

PRETVORBA IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Osnovne operacije pojednostavljenja:

• Dovođenje sličnih: za zbrajanje (smanjivanje) sličnih članova potrebno je zbrojiti njihove koeficijente i dodijeliti slovni dio.
• Faktorizacija: uzimanje zajedničkog faktora iz zagrada, primjena itd.
• Smanjenje razlomaka: brojnik i nazivnik razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti s istim brojem koji nije nula, od čega se vrijednost razlomka ne mijenja.
  1) brojnik i nazivnik razložiti na činioce
  2) ako u brojniku i nazivniku postoje zajednički faktori, mogu se precrtati.

  VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!

• Zbrajanje i oduzimanje razlomaka:
  ;
• Množenje i dijeljenje razlomaka:
  ;