Ekstremna točka funkcije f x. Što su ekstremi funkcije: kritične točke maksimuma i minimuma

Prelazeći u ovim nejednakostima do granice kao Δ x→ 0 i uzimajući u obzir da izvod f "(x 0) postoji, pa stoga granica s lijeve strane ne ovisi o tome kako je Δ x→ 0, dobivamo: za Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 i na Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Budući da f" (x 0) definira broj, tada su ove dvije nejednakosti kompatibilne samo ako f" (x 0) = 0.

Dokazani teorem kaže da maksimalne i minimalne točke mogu biti samo među onim vrijednostima argumenta za koje derivacija nestaje.

Razmotrili smo slučaj kada funkcija ima derivaciju u svim točkama određenog segmenta. Što se događa kada derivat ne postoji? Razmotrite primjere.

g =|x |.

Funkcija nema derivaciju u točki x=0 (u ovoj točki graf funkcije nema određenu tangentu), ali u ovoj točki funkcija ima minimum, jer g(0)=0, i za sve x ≠ 0g > 0.

Dakle, iz navedenih primjera i formuliranog teorema jasno je da funkcija može imati ekstrem samo u dva slučaja: 1) u točkama gdje derivacija postoji i jednaka je nuli; 2) na mjestu gdje izvod ne postoji.

Međutim, ako u nekom trenutku x 0 mi to znamo f"(x 0 ) =0, onda se iz ovoga ne može zaključiti da je u točki x 0 funkcija ima ekstrem.

Na primjer.

Ali točka x=0 nije ekstremna točka, jer se lijevo od ove točke vrijednosti funkcije nalaze ispod osi Vol, i gore desno.

Vrijednosti argumenta iz domene funkcije za koje derivacija funkcije nestaje ili ne postoji nazivaju se kritične točke .

Iz navedenog proizlazi da su točke ekstrema funkcije među kritičnim točkama, ali nije svaka kritična točka točka ekstrema. Stoga, da biste pronašli ekstrem funkcije, morate pronaći sve kritične točke funkcije, a zatim ispitati svaku od tih točaka zasebno za maksimum i minimum. Za to služi sljedeći teorem.

Teorem 2. (Dovoljan uvjet za postojanje ekstrema.) Neka je funkcija kontinuirana na nekom intervalu koji sadrži kritičnu točku x 0 , i diferencijabilna je u svim točkama ovog intervala (osim, možda, same točke x 0). Ako pri prolazu s lijeva na desno kroz ovu točku izvod promijeni predznak s plusa na minus, tada u točki x = x 0 funkcija ima maksimum. Ako, prilikom prolaska x 0 slijeva nadesno, izvod mijenja predznak s minusa na plus, tada funkcija ima minimum u ovoj točki.

Dakle, ako

f"(x)>0 pri x <x 0 i f"(x)< 0 at x > x 0, dakle x 0 - maksimalna točka;

Dokaz. Pretpostavimo najprije da pri prolasku x 0, izvod mijenja predznak s plusa na minus, tj. za sve x blizu stvari x 0 f "(x)> 0 za x< x 0 , f"(x)< 0 za x > x 0 . Primijenimo Lagrangeov teorem na razliku f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), gdje c leži između x I x 0 .

Neka x< x 0 . Zatim c< x 0 i f "(c)> 0. Zato f "(c)(x-x 0)< 0 i, prema tome,

f(x) - f(x 0 )< 0, tj. f(x)< f(x 0 ).

Neka x > x 0 . Zatim c>x 0 i f"(c)< 0. Sredstva f "(c)(x-x 0)< 0. Zato f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Dakle, za sve vrijednosti x dovoljno blizu x 0 f(x) < f(x 0 ) . A to znači da u točki x 0 funkcija ima maksimum.

Drugi dio teorema minimuma dokazuje se na sličan način.

Ilustrirajmo značenje ovog teorema na slici. Neka f"(x 1 ) =0 i za bilo koju x, dovoljno blizu x 1 , nejednakosti

f"(x)< 0 at x< x 1 , f "(x)> 0 at x > x 1 .

Zatim lijevo od točke x 1 funkcija je rastuća, a padajuća desno, dakle, kada x = x 1 funkcija ide od rastuće prema padajućoj, odnosno ima maksimum.

Slično, mogu se razmotriti bodovi x 2 i x 3 .

Shematski, sve gore navedeno može se prikazati na slici:

Pravilo za proučavanje funkcije y=f(x) za ekstrem

Pronađite opseg funkcije f(x).

Pronađite prvu derivaciju funkcije f"(x) .

Odredite kritične točke za ovo:

pronaći prave korijene jednadžbe f"(x) =0;

pronaći sve vrijednosti x pod kojim izvedenica f"(x) ne postoji.

Odredite predznak derivacije lijevo i desno od kritične točke. Budući da predznak derivacije ostaje konstantan između dvije kritične točke, dovoljno je odrediti predznak derivacije u bilo kojoj točki lijevo i jednoj točki desno od kritične točke.

Izračunajte vrijednost funkcije u točkama ekstrema.

Prije nego naučite kako pronaći ekstreme funkcije, potrebno je razumjeti što je ekstrem. Najopćenitija definicija ekstremuma je da je to najmanja ili najveća vrijednost funkcije koja se koristi u matematici na određenom skupu brojevne crte ili grafikona. Na mjestu gdje je minimum javlja se ekstrem minimuma, a gdje je maksimum pojavljuje se ekstrem maksimuma. Također u takvoj disciplini kao što je matematička analiza, razlikuju se lokalni ekstremi funkcije. Sada pogledajmo kako pronaći ekstreme.

Ekstremi u matematici spadaju među najvažnije karakteristike funkcije, oni pokazuju njezinu najveću i najmanju vrijednost. Ekstremumi se nalaze uglavnom u kritičnim točkama pronađenih funkcija. Vrijedno je napomenuti da upravo u točki ekstrema funkcija radikalno mijenja svoj smjer. Ako izračunamo derivaciju ekstremne točke, tada, prema definiciji, ona mora biti jednaka nuli ili će potpuno izostati. Stoga, da biste naučili kako pronaći ekstrem funkcije, morate izvršiti dva uzastopna zadatka:

• pronaći izvod za funkciju koju treba odrediti zadatkom;
• pronaći korijene jednadžbe.

Redoslijed nalaženja ekstrema

1. Zapiši zadanu funkciju f(x). Pronađite njegovu derivaciju prvog reda f "(x). Izjednačite dobiveni izraz s nulom.
2. Sada morate riješiti jednadžbu koja je ispala. Dobivena rješenja bit će korijeni jednadžbe, kao i kritične točke funkcije koja se definira.
3. Sada određujemo koje su kritične točke (maksimum ili minimum) pronađeni korijeni. Sljedeći korak, nakon što smo naučili kako pronaći ekstremne točke funkcije, je pronaći drugu derivaciju željene funkcije f "(x). Bit će potrebno zamijeniti vrijednosti pronađenih kritičnih točaka u određenu nejednadžbu, a zatim izračunajte što se događa. Ako se to dogodi, da se druga derivacija pokaže većom od nule u kritičnoj točki, tada će to biti točka minimuma, au suprotnom to će biti točka maksimuma.
4. Preostaje izračunati vrijednost početne funkcije u traženim točkama maksimuma i minimuma funkcije. Da bismo to učinili, zamijenimo dobivene vrijednosti u funkciju i izračunamo. Međutim, treba napomenuti da ako se kritična točka pokaže kao maksimum, onda će ekstrem biti maksimum, a ako je minimum, onda će po analogiji biti minimum.

Algoritam za pronalaženje ekstrema

Da rezimiramo stečeno znanje, napravimo kratak algoritam kako pronaći točke ekstrema.

1. Pronalazimo domenu zadane funkcije i njezine intervale koji točno određuju na kojim intervalima je funkcija kontinuirana.
2. Nalazimo izvod funkcije f "(x).
3. Izračunavamo kritične točke jednadžbe y = f (x).
4. Analiziramo promjene smjera funkcije f(x), kao i predznak derivacije f"(x) gdje kritične točke odvajaju domenu definiranja ove funkcije.
5. Sada utvrđujemo je li svaka točka na grafu maksimum ili minimum.
6. Nalazimo vrijednosti funkcije u onim točkama koje su ekstremi.
7. Fiksiramo rezultat ove studije - ekstreme i intervale monotonosti. To je sve. Sada smo razmotrili kako pronaći ekstrem na bilo kojem intervalu. Ako trebate pronaći ekstrem na određenom intervalu funkcije, onda se to radi na sličan način, samo se granice studije koja se provodi nužno uzimaju u obzir.

Dakle, razmotrili smo kako pronaći ekstremne točke funkcije. Uz pomoć jednostavnih izračuna, kao i znanja o pronalaženju izvedenica, možete pronaći bilo koji ekstrem i izračunati ga, kao i grafički ga označiti. Pronalaženje ekstrema jedan je od najvažnijih dijelova matematike, kako u školi tako i na visokoškolskoj ustanovi, stoga, ako naučite kako ih ispravno odrediti, tada će učenje postati puno lakše i zanimljivije.

Iz ovog članka čitatelj će saznati što je ekstrem funkcionalne vrijednosti, kao io značajkama njegove uporabe u praksi. Proučavanje takvog koncepta iznimno je važno za razumijevanje temelja više matematike. Ova je tema temeljna za dublje proučavanje tečaja.

U kontaktu s

Što je ekstrem?

U školskom tečaju daju se mnoge definicije pojma "ekstremuma". Namjera ovog članka je pružiti najdublje i najjasnije razumijevanje pojma za one koji su neupućeni u to pitanje. Dakle, pojam podrazumijeva do koje mjere funkcionalni interval poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost na određenom skupu.

Ekstrem je istovremeno i minimalna vrijednost funkcije i maksimum. Postoji minimalna točka i maksimalna točka, odnosno ekstremne vrijednosti argumenta na grafu. Glavne znanosti u kojima se koristi ovaj koncept:

• statistika;
• upravljanje strojem;
• ekonometrija.

Ekstremne točke igraju važnu ulogu u određivanju slijeda dane funkcije. Koordinatni sustav na grafikonu najbolje pokazuje promjenu krajnjeg položaja ovisno o promjeni funkcionalnosti.

Ekstremi derivacije funkcije

Postoji i nešto poput "izvedenice". Potrebno je odrediti točku ekstrema. Važno je ne brkati minimalne ili maksimalne bodove s najvećim i najmanjim vrijednostima. To su različiti koncepti, iako se mogu činiti sličnima.

Vrijednost funkcije je glavni čimbenik u određivanju kako pronaći najveću točku. Derivat se ne formira iz vrijednosti, već isključivo iz njegovog krajnjeg položaja u jednom ili onom poretku.

Sama derivacija se određuje na temelju podataka ekstremnih točaka, a ne najveće ili najmanje vrijednosti. U ruskim školama granica između ova dva pojma nije jasno povučena, što utječe na razumijevanje ove teme općenito.

Razmotrimo sada tako nešto kao "oštar ekstrem". Do danas postoji akutna minimalna vrijednost i akutna maksimalna vrijednost. Definicija je dana u skladu s ruskom klasifikacijom kritičnih točaka funkcije. Koncept točke ekstrema osnova je za pronalaženje kritičnih točaka na karti.

Za definiranje takvog koncepta koristi se Fermatov teorem. Najvažniji je u proučavanju ekstremnih točaka i daje jasnu ideju o njihovom postojanju u ovom ili onom obliku. Kako bi se osigurala ekstremnost, važno je stvoriti određene uvjete za smanjenje ili povećanje na grafikonu.

Da biste točno odgovorili na pitanje "kako pronaći maksimalnu točku", morate slijediti ove odredbe:

1. Pronalaženje točnog područja definicije na karti.
2. Traženje derivacije funkcije i točke ekstrema.
3. Riješite standardne nejednadžbe za domenu argumenta.
4. Znati dokazati u kojim je funkcijama točka na grafu definirana i kontinuirana.

Pažnja! Traženje kritične točke funkcije moguće je samo ako postoji derivacija barem drugog reda, što je osigurano visokim udjelom prisutnosti točke ekstrema.

Nužan uvjet za ekstrem funkcije

Da bi postojao ekstrem, važno je da postoje i minimalne i maksimalne točke. Ako se ovo pravilo poštuje samo djelomično, tada je uvjet za postojanje ekstrema povrijeđen.

Svaka se funkcija u bilo kojem položaju mora razlikovati kako bi se identificirala njezina nova značenja. Važno je razumjeti da slučaj kada točka nestaje nije glavni princip pronalaženja diferencijabilne točke.

Oštar ekstrem, kao i minimum funkcije, izuzetno je važan aspekt rješavanja matematičkog problema korištenjem ekstremnih vrijednosti. Kako bismo bolje razumjeli ovu komponentu, važno je pozvati se na tablične vrijednosti za dodjelu funkcionala.

Ekstremna točka funkcije je točka u domeni funkcije u kojoj vrijednost funkcije poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost. Vrijednosti funkcije u tim točkama nazivaju se ekstremima (minimum i maksimum) funkcije.

Definicija. Točka x1 opseg funkcije f(x) Zove se maksimalna točka funkcije , ako je vrijednost funkcije u ovoj točki veća od vrijednosti funkcije u točkama dovoljno blizu njoj, koje se nalaze desno i lijevo od nje (to jest, nejednakost f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definicija. Točka x2 opseg funkcije f(x) Zove se minimalna točka funkcije, ako je vrijednost funkcije u ovoj točki manja od vrijednosti funkcije u točkama dovoljno blizu njoj, koje se nalaze desno i lijevo od nje (to jest, nejednakost f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). U ovom slučaju se kaže da funkcija ima u točki x2 minimum.

Recimo poantu x1 - maksimalna točka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x1 funkcija se povećava, pa je derivacija funkcije veća od nule ( f "(x) > 0 ), au intervalu nakon x1 funkcija se smanjuje, dakle izvod funkcije manje od nule ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Pretpostavimo također da točka x2 - minimalna točka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x2 funkcija je opadajuća i derivacija funkcije je manja od nule ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija raste i derivacija funkcije je veća od nule ( f "(x) > 0 ). U ovom slučaju također u točki x2 derivacija funkcije je nula ili ne postoji.

Fermatov teorem (neophodan kriterij za postojanje ekstrema funkcije). Ako točka x0 - ekstremna točka funkcije f(x), tada je u ovoj točki derivacija funkcije jednaka nuli ( f "(x) = 0 ) ili ne postoji.

Definicija. Točke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji nazivaju se kritične točke .

Primjer 1 Razmotrimo funkciju.

U točki x= 0 derivacija funkcije jednaka je nuli, dakle, točka x= 0 je kritična točka. Međutim, kao što se može vidjeti na grafu funkcije, ona raste u cijeloj domeni definicije, pa točka x= 0 nije točka ekstrema ove funkcije.

Dakle, uvjeti da je derivacija funkcije u točki jednaka nuli ili da ne postoji nužni su uvjeti za ekstremum, ali ne i dovoljni, budući da se mogu dati i drugi primjeri funkcija za koje su ovi uvjeti zadovoljeni, ali funkcija nema ekstrem u odgovarajućoj točki. Zato mora imati dovoljno indikacija, koji omogućuju prosuđivanje postoji li ekstrem u određenoj kritičnoj točki i koji - maksimum ili minimum.

Teorem (prvi dovoljan kriterij za postojanje ekstrema funkcije). Kritična točka x0 f(x) , ako derivacija funkcije mijenja predznak pri prolasku kroz ovu točku, i ako predznak promijeni iz "plus" u "minus", tada je točka maksimuma, a ako iz "minusa" u "plus", tada je točka minimuma .

Ako je blizu točke x0 , lijevo i desno od nje, derivacija zadržava svoj predznak, to znači da funkcija ili samo opada ili samo raste u nekoj okolini točke x0 . U ovom slučaju, u točki x0 nema ekstrema.

Tako, za određivanje točaka ekstrema funkcije potrebno je učiniti sljedeće :

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Izjednačite derivaciju s nulom i odredite kritične točke.
3. Mentalno ili na papiru označite kritične točke na numeričkoj osi i odredite znakove izvoda funkcije u dobivenim intervalima. Ako se predznak derivacije promijeni iz "plus" u "minus", tada je kritična točka točka maksimuma, a ako iz "minus" u "plus", tada je kritična točka točka minimuma.
4. Izračunajte vrijednost funkcije u točkama ekstrema.

Primjer 2 Pronađite ekstreme funkcije .

Riješenje. Nađimo izvod funkcije:

Izjednačite derivaciju s nulom da biste pronašli kritične točke:

.

Budući da za bilo koju vrijednost "x" nazivnik nije jednak nuli, tada brojnik izjednačavamo s nulom:

Imam jednu kritičnu točku x= 3. Određujemo predznak derivacije u intervalima omeđenim ovom točkom:

u rasponu od minus beskonačno do 3 - znak minus, odnosno funkcija opada,

u rasponu od 3 do plus beskonačno - znak plus, odnosno funkcija se povećava.

Odnosno, točka x= 3 je minimalna točka.

Pronađite vrijednost funkcije u točki minimuma:

Dakle, pronađena je točka ekstrema funkcije: (3; 0) , a to je točka minimuma.

Teorem (drugi dovoljan kriterij za postojanje ekstrema funkcije). Kritična točka x0 je ekstremna točka funkcije f(x), ako druga derivacija funkcije u ovoj točki nije jednaka nuli ( f ""(x) ≠ 0 ), osim toga, ako je druga derivacija veća od nule ( f ""(x) > 0 ), tada je maksimalna točka, a ako je druga derivacija manja od nule ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Primjedba 1. Ako u točki x0 i prva i druga derivacija nestaju, tada je u ovom trenutku nemoguće prosuditi prisutnost ekstrema na temelju drugog dovoljnog znaka. U ovom slučaju morate koristiti prvi dovoljan kriterij za ekstrem funkcije.

Opaska 2. Drugi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije također je neprimjenjiv kada prva derivacija ne postoji u stacionarnoj točki (tada ne postoji ni druga derivacija). U tom slučaju također je potrebno koristiti prvi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije.

Lokalna priroda ekstrema funkcije

Iz gornjih definicija proizlazi da je ekstrem funkcije lokalne prirode - to je najveća i najmanja vrijednost funkcije u usporedbi s najbližim vrijednostima.

Pretpostavimo da razmatrate svoju zaradu u vremenskom rasponu od jedne godine. Ako ste u svibnju zaradili 45.000 rubalja, u travnju 42.000 rubalja i u lipnju 39.000 rubalja, tada je svibanjska zarada maksimum funkcije zarade u usporedbi s najbližim vrijednostima. Ali u listopadu ste zaradili 71 000 rubalja, u rujnu 75 000 rubalja, au studenom 74 000 rubalja, tako da je zarada u listopadu minimum funkcije zarade u usporedbi s obližnjim vrijednostima. I lako možete vidjeti da je maksimum među vrijednostima travanj-svibanj-lipanj manji od minimuma rujan-listopad-studeni.

Općenito govoreći, funkcija može imati nekoliko ekstrema na intervalu i može se pokazati da je bilo koji minimum funkcije veći od bilo kojeg maksimuma. Dakle, za funkciju prikazanu na gornjoj slici, .

Odnosno, ne treba misliti da su maksimum i minimum funkcije njezine maksimalne i minimalne vrijednosti na cijelom segmentu koji se razmatra. U točki maksimuma funkcija ima najveću vrijednost samo u usporedbi s onim vrijednostima koje ima u svim točkama dovoljno blizu točki maksimuma, a u točki minimuma najmanju vrijednost samo u usporedbi s tim vrijednostima da ima u svim točkama dovoljno blizu minimalne točke.

Prema tome, možemo poboljšati koncept točaka ekstrema funkcije gore dan i nazvati točke minimuma točkama lokalnog minimuma, a točke maksimuma točkama lokalnog maksimuma.

Zajedno tražimo ekstreme funkcije

Primjer 3

Rješenje.Funkcija je definirana i kontinuirana na cijelom brojevnom pravcu. Njegova izvedenica postoji i na cijelom brojevnom pravcu. Stoga, u ovaj slučaj samo one kod kojih, tj. , odakle i . Kritične točke i cijelu domenu funkcije podijeliti na tri intervala monotonosti: . Odaberemo po jednu kontrolnu točku u svakoj od njih iu njoj pronađemo predznak izvodnice.

Za interval, referentna točka može biti : nalazimo . Uzimajući točku u intervalu, dobivamo , I uzimajući točku u intervalu, imamo . Dakle, u intervalima i , iu intervalu . Prema prvom dovoljnom predznaku ekstrema, u točki nema ekstrema (budući da derivacija zadržava predznak u intervalu ), a funkcija ima minimum u točki (budući da derivacija mijenja predznak s minusa na plus pri prelasku kroz ovu točku). Pronađite odgovarajuće vrijednosti funkcije: , i . U intervalu funkcija pada, jer u ovom intervalu , au intervalu raste, jer u ovom intervalu.

Da bismo pojasnili konstrukciju grafikona, pronalazimo točke njegova sjecišta s koordinatnim osima. Kada dobijemo jednadžbu čiji su korijeni i , tj. dvije točke (0; 0) i (4; 0) grafa funkcije. Koristeći sve dobivene informacije, gradimo grafikon (vidi na početku primjera).

Primjer 4 Pronađite ekstreme funkcije i izgradite njezin graf.

Domena funkcije je cijeli brojevni pravac, osim točke, tj. .

Da skratimo proučavanje, možemo koristiti činjenicu da je ova funkcija parna, jer . Stoga je njegov graf simetričan u odnosu na os Joj a studija se može izvesti samo za interval .

Pronalaženje izvoda i kritične točke funkcije:

1) ;

2) ,

ali funkcija trpi prekid u ovoj točki, tako da ne može biti točka ekstrema.

Dakle, dana funkcija ima dvije kritične točke: i . Uzimajući u obzir parnost funkcije, provjeravamo samo točku drugim dovoljnim znakom ekstremuma. Da bismo to učinili, nalazimo drugu derivaciju i odredimo njegov predznak pri : dobivamo . Od i , Tada je minimalna točka funkcije, dok je .

Da bismo dobili potpuniju sliku grafa funkcije, saznajmo njeno ponašanje na granicama domene definicije:

(ovdje simbol označava želju x na nulu s desne strane i x ostaje pozitivan; slično znači težnja x na nulu s lijeve strane, i x ostaje negativan). Dakle, ako , onda . Dalje, nalazimo

,

oni. ako tada .

Graf funkcije nema sjecišta s osima. Slika je na početku primjera.

Nastavljamo zajedno tražiti ekstreme funkcije

Primjer 8 Pronađite ekstreme funkcije.

Riješenje. Pronađite domenu funkcije. Budući da nejednakost mora vrijediti, dobivamo iz .

Nađimo prvu derivaciju funkcije:

Nađimo kritične točke funkcije.