Proces pronalaženja najmanje i najveće vrijednosti funkcije na segmentu podsjeća na fascinantan let oko objekta (grafa funkcije) helikopterom uz pucanje iz dalekometnog topa na određene točke i odabirom ove točke vrlo posebne točke za kontrolni hici. Bodovi se biraju na određeni način i prema određenim pravilima. Po kojim pravilima? O ovome ćemo dalje govoriti.
Ako funkcija g = f(x)
kontinuirano na intervalu [ a, b] , tada doseže ovaj segment najmanje
I najviše vrijednosti
. To se može dogoditi ili u ekstremne točke ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanje
I najveće vrijednosti funkcije
, kontinuirano na intervalu [ a, b], trebate izračunati njegove vrijednosti u svim kritične točke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.
Neka je, na primjer, potrebno odrediti najveću vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Da biste to učinili, pronađite sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b]
.
kritična točka
naziva se točka u kojoj definirana funkcija, i nju izvedenica ili je nula ili ne postoji. Zatim biste trebali izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama. I, na kraju, treba usporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) I f(b) ). Najveći od ovih brojeva bit će najveća vrijednost funkcije na intervalu
[a, b]
.
Problem pronalaženja najmanje vrijednosti funkcije
.
Tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije zajedno
Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije 
na segmentu [-1, 2]
.
Riješenje. Nalazimo izvod ove funkcije. Izjednačimo derivaciju s nulom () i dobijemo dvije kritične točke: i . Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, dovoljno je izračunati njezine vrijednosti na krajevima segmenta iu točki , budući da točka ne pripada segmentu [-1, 2] . Ove vrijednosti funkcije su sljedeće: , , . Iz toga slijedi da najmanja vrijednost funkcije(označeno crvenom bojom na donjem grafikonu), jednako -7, doseže se na desnom kraju segmenta - u točki , i najveći(također crveno na grafikonu), jednako je 9, - u kritičnoj točki .
Ako je funkcija kontinuirana u nekom intervalu, a taj interval nije segment (ali jest npr. interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, ali granične točke segmenta uključene su u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako je, na primjer, funkcija prikazana na slici ispod kontinuirana na ]-∞, +∞[ i nema najveću vrijednost.
Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan) vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.
Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3]
.
Riješenje. Derivaciju ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:
.
Derivaciju izjednačavamo s nulom, što nam daje jedinicu kritična točka: . Pripada intervalu [-1, 3] . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na određenom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:
Usporedimo ove vrijednosti. Zaključak: jednako -5/13, u točki i najveća vrijednost jednak 1 u točki .
Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije
Ima učitelja koji na temu pronalaženja najmanje i najveće vrijednosti funkcije učenicima ne daju kompliciranije primjere od upravo razmatranih, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, brojnik a nazivnik su polinomi. Ali nećemo se ograničiti na takve primjere, jer među nastavnicima postoje ljubitelji natjerati učenike da razmišljaju u potpunosti (tablica izvedenica). Stoga će se koristiti logaritam i trigonometrijska funkcija.
Primjer 6. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu
.
Riješenje. Derivaciju ove funkcije nalazimo kao derivat proizvoda :
Derivaciju izjednačavamo s nulom, što daje jednu kritičnu točku: . Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na određenom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:
Rezultat svih radnji: funkcija dosegne svoju minimalnu vrijednost, jednako 0, u točki i u točki i najveća vrijednost jednak e², u točki.
Primjer 7. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije 
na segmentu .
Riješenje. Nalazimo izvod ove funkcije:
Izjednačite derivaciju s nulom:
Jedina kritična točka pripada segmentu . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na određenom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:
Zaključak: funkcija dosegne svoju minimalnu vrijednost, jednako , u točki i najveća vrijednost, jednako , u točki .
U primijenjenim ekstremnim problemima nalaženje najmanjih (najvećih) vrijednosti funkcije u pravilu se svodi na nalaženje najmanje (maksimalne). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već vrijednosti argumenta na kojem su postignuti. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - kompilacija funkcija koje opisuju pojavu ili proces koji se razmatra.
Primjer 8 Spremnik kapaciteta 4, koji ima oblik paralelopipeda s kvadratnom bazom i otvoren na vrhu, mora biti pokositren. Kolike bi trebale biti dimenzije spremnika da bi se pokrilo sa što manje materijala?
Riješenje. Neka x- bazna strana h- visina spremnika, S– njegovu površinu bez pokrova, V- njegov volumen. Površina spremnika izražava se formulom, tj. je funkcija dviju varijabli. Izraziti S kao funkciju jedne varijable, koristimo činjenicu da je , odakle . Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:
Ispitajmo ovu funkciju za ekstrem. Definirana je i diferencijabilna posvuda u ]0, +∞[ , i
.
Derivaciju izjednačavamo s nulom () i nalazimo kritičnu točku. Osim toga, pri , derivacija ne postoji, ali ta vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti točka ekstrema. Dakle, - jedina kritična točka. Provjerimo postojanje ekstrema pomoću drugog dovoljnog znaka. Nađimo drugu derivaciju. Kada je drugi izvod veći od nule (). To znači da kada funkcija dosegne minimum 
. Jer ovo minimum - jedini ekstrem ove funkcije, to je njezina najmanja vrijednost. Dakle, strana baze spremnika trebala bi biti jednaka 2 m, a njegova visina.
Primjer 9 Iz paragrafa A, koji se nalazi na željezničkoj pruzi, do točke S, na udaljenosti od njega l, roba se mora transportirati. Cijena prijevoza jedinice težine po jedinici udaljenosti željeznicom jednaka je , a autocestom jednaka je . Do koje točke M linije željeznička pruga treba izgraditi autocestu kako bi se transport robe iz A V S bila najekonomičnija AB pretpostavlja se da je pruga ravna)?
Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?
Za ovo slijedimo dobro poznati algoritam:
1
. Nalazimo ODZ funkcije.
2
. Pronalaženje derivacije funkcije
3
. Derivaciju izjednačiti s nulom
4
. Nađemo intervale u kojima derivacija zadržava predznak i iz njih odredimo intervale porasta i opadanja funkcije:
Ako je na intervalu I izvod funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} povećava u ovom intervalu.
Ako je na intervalu I izvod funkcije , tada funkcija smanjuje u ovom intervalu.
5
. Pronašli smo maksimalne i minimalne točke funkcije.
U točka maksimuma funkcije, derivacija mijenja predznak iz "+" u "-".
U minimalna točka funkcijederivat mijenja predznak iz "-" u "+".
6
. Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima segmenta,
- zatim uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu maksimalnim točkama, te odaberite najveću od njih ako želite pronaći najveću vrijednost funkcije
- ili uspoređujemo vrijednost funkcije na krajevima segmenta iu točkama minimuma, te odaberite najmanji od njih ako želite pronaći najmanju vrijednost funkcije
Međutim, ovisno o tome kako se funkcija ponaša na intervalu, ovaj se algoritam može znatno reducirati.
Razmotrite funkciju 
. Graf ove funkcije izgleda ovako:
Pogledajmo neke primjere rješavanja problema iz otvorena banka zadaci za
1 . Zadatak B15 (#26695)
Na rezu.
1. Funkcija je definirana za sve realne vrijednosti x
Očito, ova jednadžba nema rješenja, a derivacija je pozitivna za sve vrijednosti x. Dakle, funkcija raste i najveću vrijednost poprima na desnom kraju intervala, odnosno pri x=0.
Odgovor: 5.
2
. Zadatak B15 (br. 26702)
Pronađite najveću vrijednost funkcije 
na segmentu.
1.ODZ funkcija title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Derivacija je nula na , ali u ovim točkama ne mijenja predznak:
Prema tome, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} raste i poprima najveću vrijednost na desnom kraju intervala, na .
Da bismo pojasnili zašto derivacija ne mijenja predznak, transformiramo izraz za derivaciju na sljedeći način:
Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}
Odgovor: 5.
3 . Zadatak B15 (#26708)
Pronađite najmanju vrijednost funkcije na intervalu .
1. ODZ funkcije: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}
Postavimo korijene ove jednadžbe na trigonometrijsku kružnicu.
Interval sadrži dva broja: i
Postavimo znakove. Da bismo to učinili, odredimo predznak derivacije u točki x=0: 
. Pri prolasku kroz točke i derivacija mijenja predznak.
Oslikajmo promjenu predznaka derivacije funkcije na koordinatnoj liniji:
Očito, točka je minimalna točka (gdje derivacija mijenja predznak s "-" na "+"), a da biste pronašli najmanju vrijednost funkcije na intervalu, morate usporediti vrijednosti funkcije u minimalnoj točki i na lijevom kraju segmenta, .
U ovom ću članku govoriti o algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcija, točke minimuma i maksimuma.
Iz teorije, svakako će nam trebati tablica izvedenica I pravila razlikovanja. Sve je na ovoj ploči:
Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.
Lakše mi je objasniti konkretan primjer. Smatrati:
Primjer: Pronađite najveću vrijednost funkcije y=x^5+20x^3–65x na segmentu [–4;0].
Korak 1. Uzimamo izvedenicu.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
Korak 2 Pronalaženje ekstremnih točaka.
ekstremna točka imenujemo takve točke u kojima funkcija postiže maksimalnu ili minimalnu vrijednost.
Da bismo pronašli točke ekstrema, potrebno je izjednačiti derivaciju funkcije s nulom (y "= 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
Sada rješavamo ovu bikvadratnu jednadžbu i pronađeni korijeni su naše točke ekstrema.
Takve jednadžbe rješavam zamjenom t = x^2, zatim 5t^2 + 60t - 65 = 0.
Smanjimo jednadžbu za 5, dobivamo: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
Napravimo obrnutu zamjenu x^2 = t:
X_(1 i 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 i 4) = ±sqrt(-13) (isključujemo, ispod korijena ne mogu biti negativni brojevi, osim naravno ako ne govorimo o kompleksnim brojevima)
Ukupno: x_(1) = 1 i x_(2) = -1 - ovo su naše točke ekstrema.
3. korak Odredi najveću i najmanju vrijednost.
Metoda zamjene.
U uvjetu smo dobili segment [b][–4;0]. Točka x=1 nije uključena u ovaj segment. Dakle, ne uzimamo u obzir. Ali osim točke x=-1, također moramo uzeti u obzir lijevu i desnu granicu našeg segmenta, odnosno točke -4 i 0. Da bismo to učinili, zamijenimo sve te tri točke u izvornu funkciju. Primijetite da je izvorni onaj dan u uvjetu (y=x^5+20x^3–65x), neki počinju zamjenjivati u izvedenicu...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
To znači da je najveća vrijednost funkcije [b]44 i postiže se u točkama [b]-1, što se naziva točka maksimuma funkcije na segmentu [-4; 0].
Odlučili smo i dobili odgovor, super smo, možete se opustiti. Ali stani! Ne misliš li da je brojanje y(-4) nekako previše komplicirano? U uvjetima ograničenog vremena, bolje je koristiti drugu metodu, ja je zovem ovako:
Kroz intervale postojanosti.
Ove praznine nalaze se za derivaciju funkcije, odnosno za našu bikvadratnu jednadžbu.
Ja to radim na sljedeći način. Crtam smjernu liniju. Postavio sam točke: -4, -1, 0, 1. Unatoč činjenici da 1 nije uključen u zadani segment, ipak ga treba zabilježiti kako bi se ispravno odredili intervali konstantnosti. Uzmimo neki broj mnogo puta veći od 1, recimo 100, mentalno ga zamijenimo u našu bikvadratnu jednadžbu 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Čak i bez brojanja bilo čega, postaje očito da u točki 100 funkcija ima znak plus. To znači da za intervale od 1 do 100 ima predznak plus. Prolaskom kroz 1 (idemo s desna na lijevo) funkcija će promijeniti predznak u minus. Kada prolazi kroz točku 0, funkcija će zadržati svoj predznak, jer je to samo granica segmenta, a ne korijen jednadžbe. Kada prođe kroz -1, funkcija će ponovno promijeniti predznak u plus.
Iz teorije znamo gdje je derivacija funkcije (i to smo nacrtali za nju) mijenja predznak s plusa na minus (točka -1 u našem slučaju) funkcija doseže njegov lokalni maksimum (y(-1)=44 kako je ranije izračunato) na ovom segmentu (ovo je logički vrlo jasno, funkcija je prestala rasti, jer je dosegla svoj maksimum i počela se smanjivati).
Prema tome, gdje je izvod funkcije mijenja predznak iz minusa u plus, postignuto lokalni minimum funkcije. Da, da, također smo pronašli lokalnu minimalnu točku, koja je 1, a y(1) je minimalna vrijednost funkcije na intervalu, recimo od -1 do +∞. Napominjemo da je ovo samo LOKALNI MINIMUM, odnosno minimum na određenom segmentu. Budući da će stvarni (globalni) minimum funkcije doseći negdje tamo, u -∞.
Po mom mišljenju, prvi je način teoretski jednostavniji, a drugi je računski jednostavniji, ali teorijski mnogo teži. Uostalom, ponekad ima slučajeva da funkcija ne promijeni predznak pri prolasku kroz korijen jednadžbe, i doista se možete zbuniti s tim lokalnim, globalnim maksimumima i minimumima, iako ćete to ionako morati dobro savladati ako planirate za upis na tehničko sveučilište (i za što drugo dati profilni ispit i riješiti ovaj problem). Ali praksa i samo praksa će vas naučiti kako riješiti takve probleme jednom zauvijek. I možete trenirati na našoj web stranici. ovdje .
Ako imate pitanja, ili nešto nije jasno, svakako pitajte. Rado ću vam odgovoriti, te napraviti izmjene, dopune članka. Ne zaboravite da ovu stranicu radimo zajedno!
Popularno u kategoriji:
Sivka-burka Ruska narodna priča sa slikama
čitati
Izvješće o samoobrazovanju odgojitelja novaka
čitati
Batina lakša kazna za lake batine...
čitati
Kako napraviti ciganski kostim vlastitim rukama od improviziranih materijala ...
čitati
Vrh
na segmentu. 
