Kubus empat dimensi. Cybercube - langkah pertama menuju dimensi keempat

Evolusi otak manusia terjadi dalam ruang tiga dimensi. Oleh karena itu, sulit bagi kita membayangkan ruang yang dimensinya lebih besar dari tiga. Faktanya, otak manusia tidak dapat membayangkan benda geometris yang dimensinya lebih besar dari tiga. Dan pada saat yang sama, kita dapat dengan mudah membayangkan benda-benda geometris yang tidak hanya berdimensi tiga, tetapi juga berdimensi dua dan satu.

Perbedaan dan analogi ruang satu dimensi dan dua dimensi, serta perbedaan dan analogi ruang dua dimensi dan tiga dimensi, memungkinkan kita sedikit membuka tabir misteri yang memagari kita dari ruang berdimensi lebih tinggi. Untuk memahami bagaimana analogi ini digunakan, perhatikan objek empat dimensi yang sangat sederhana - hypercube, yaitu kubus empat dimensi. Untuk lebih spesifiknya, misalkan kita ingin menyelesaikan suatu masalah tertentu, yaitu menghitung jumlah sisi persegi sebuah kubus empat dimensi. Semua pertimbangan lebih lanjut akan sangat lemah, tanpa bukti apa pun, hanya berdasarkan analogi.

Untuk memahami bagaimana hypercube dibuat dari kubus biasa, Anda harus terlebih dahulu melihat bagaimana kubus biasa dibuat dari persegi biasa. Demi orisinalitas dalam penyajian materi ini, di sini kami akan menyebut persegi biasa sebagai SubCube (dan tidak akan bingung dengan succubus).

Untuk membuat kubus dari subkubus, Anda perlu memanjangkan subkubus ke arah tegak lurus bidang subkubus ke arah dimensi ketiga. Dalam hal ini, dari setiap sisi subkubus awal akan tumbuh subkubus, yaitu sisi muka dua dimensi kubus, yang akan membatasi volume tiga dimensi kubus pada empat sisi, dua tegak lurus setiap arah pada kubus. bidang subkubus. Dan di sepanjang sumbu ketiga yang baru juga terdapat dua subkubus yang membatasi volume tiga dimensi kubus. Ini adalah muka dua dimensi tempat subkubus kita awalnya berada dan muka kubus dua dimensi tempat subkubus berada di akhir konstruksi kubus.

Apa yang baru saja Anda baca disajikan dengan sangat detail dan banyak klarifikasi. Dan untuk alasan yang bagus. Sekarang kita akan melakukan trik seperti itu, secara formal kita akan mengganti beberapa kata pada teks sebelumnya dengan cara ini:
kubus -> hiperkubus
subkubus -> kubus
bidang -> volume
ketiga -> keempat
dua dimensi -> tiga dimensi
empat -> enam
tiga dimensi -> empat dimensi
dua -> tiga
pesawat -> luar angkasa

Hasilnya, kami mendapatkan teks bermakna berikut ini, yang sepertinya tidak lagi terlalu detail.

Untuk membuat hypercube dari sebuah kubus, Anda perlu meregangkan kubus tersebut ke arah tegak lurus volume kubus ke arah dimensi keempat. Dalam hal ini, sebuah kubus akan tumbuh dari setiap sisi kubus aslinya, yang merupakan sisi tiga dimensi hiperkubus, yang akan membatasi volume empat dimensi hiperkubus pada enam sisi, tiga tegak lurus terhadap setiap arah dalam kubus tersebut. ruang kubus. Dan di sepanjang sumbu keempat yang baru juga terdapat dua kubus yang membatasi volume empat dimensi hypercube. Ini adalah wajah tiga dimensi tempat kubus kita awalnya berada dan wajah tiga dimensi hypercube tempat kubus berada di akhir konstruksi hypercube.

Mengapa kami begitu yakin bahwa kami telah menerima gambaran yang benar tentang konstruksi hypercube? Ya, karena dengan substitusi kata formal yang persis sama kita memperoleh gambaran konstruksi kubus dari deskripsi konstruksi persegi. (Lihat sendiri.)

Sekarang jelas bahwa jika kubus tiga dimensi lainnya tumbuh dari setiap sisi kubus, maka sebuah permukaan harus tumbuh dari setiap tepi kubus awal. Secara total, kubus memiliki 12 sisi, yang berarti akan muncul 12 wajah baru (subkubus) tambahan pada 6 kubus yang membatasi volume empat dimensi sepanjang tiga sumbu ruang tiga dimensi. Dan masih ada dua kubus lagi yang membatasi volume empat dimensi ini dari bawah dan atas sepanjang sumbu keempat. Masing-masing kubus ini memiliki 6 sisi.

Secara total, kita menemukan bahwa hypercube memiliki 12+6+6=24 sisi persegi.

Gambar berikut menunjukkan struktur logis dari hypercube. Ini seperti proyeksi hypercube ke dalam ruang tiga dimensi. Ini menghasilkan bingkai tulang rusuk tiga dimensi. Pada gambar, tentu saja, Anda melihat proyeksi bingkai ini ke bidang.

Pada bingkai ini, kubus bagian dalam seperti kubus awal tempat konstruksi dimulai dan membatasi volume empat dimensi hypercube sepanjang sumbu keempat dari bawah. Kami meregangkan kubus awal ini ke atas sepanjang sumbu pengukuran keempat dan masuk ke kubus terluar. Jadi kubus luar dan dalam dari gambar ini membatasi hypercube sepanjang sumbu pengukuran keempat.

Dan di antara dua kubus ini Anda dapat melihat 6 kubus baru lagi, yang bersentuhan dengan dua kubus pertama. Keenam kubus ini mengikat hypercube kita sepanjang tiga sumbu ruang tiga dimensi. Seperti yang Anda lihat, mereka tidak hanya bersentuhan dengan dua kubus pertama, yang merupakan kubus dalam dan luar pada bingkai tiga dimensi ini, tetapi mereka juga bersentuhan satu sama lain.

Anda dapat menghitung langsung pada gambar dan memastikan bahwa hypercube benar-benar memiliki 24 wajah. Namun pertanyaan ini muncul. Bingkai hypercube dalam ruang tiga dimensi ini diisi dengan delapan kubus tiga dimensi tanpa ada celah. Untuk membuat hypercube nyata dari proyeksi tiga dimensi hypercube ini, Anda perlu membalik bingkai ini ke luar sehingga semua 8 kubus mengikat volume 4 dimensi.

Ini dilakukan seperti ini. Kami mengundang penghuni ruang empat dimensi untuk mengunjungi kami dan memintanya membantu kami. Dia mengambil kubus bagian dalam bingkai ini dan memindahkannya ke arah dimensi keempat, yang tegak lurus dengan ruang tiga dimensi kita. Dalam ruang tiga dimensi kita, kita melihatnya seolah-olah seluruh kerangka bagian dalam telah hilang dan hanya kerangka kubus luar yang tersisa.

Selanjutnya, asisten empat dimensi kami menawarkan bantuannya di rumah sakit bersalin untuk melahirkan tanpa rasa sakit, namun wanita hamil kami takut dengan kemungkinan bayi akan hilang begitu saja dari perut dan berakhir di ruang tiga dimensi paralel. Oleh karena itu, orang empat dimensi ditolak dengan sopan.

Dan kami dibingungkan oleh pertanyaan apakah beberapa kubus kami terlepas saat kami membalikkan bingkai hypercube. Lagi pula, jika beberapa kubus tiga dimensi yang mengelilingi hypercube menyentuh tetangganya pada bingkai dengan wajah mereka, apakah mereka juga akan bersentuhan dengan wajah yang sama jika kubus empat dimensi membalikkan bingkai ke dalam?

Mari kita kembali ke analogi dengan ruang berdimensi lebih rendah. Bandingkan gambar bingkai hypercube dengan proyeksi kubus tiga dimensi pada bidang yang ditunjukkan pada gambar berikut.

Penghuni ruang dua dimensi membuat bingkai pada bidang untuk memproyeksikan kubus ke bidang dan mengajak kami, penghuni tiga dimensi, untuk membalikkan bingkai ini. Kami mengambil empat simpul dari kotak bagian dalam dan memindahkannya tegak lurus terhadap bidang. Penghuni dua dimensi melihat hilangnya seluruh bingkai bagian dalam, dan yang tersisa hanyalah bingkai kotak bagian luar. Dengan operasi ini, semua kotak yang bersentuhan dengan tepinya terus bersentuhan dengan tepi yang sama.

Oleh karena itu, kita berharap skema logika hypercube juga tidak dilanggar ketika frame hypercube dibalik ke luar, dan jumlah permukaan persegi hypercube tidak bertambah dan tetap sama dengan 24. Hal ini tentu saja , bukanlah bukti sama sekali, melainkan murni tebakan dengan analogi.

Setelah semua yang Anda baca di sini, Anda dapat dengan mudah menggambar kerangka logis kubus lima dimensi dan menghitung jumlah simpul, sisi, permukaan, kubus, dan hiperkubus yang dimilikinya. Ini tidak sulit sama sekali.

Jika Anda penggemar film Avengers, hal pertama yang mungkin terlintas di benak Anda saat mendengar kata "Tesseract" adalah wadah Batu Infinity berbentuk kubus transparan yang berisi kekuatan tak terbatas.

Bagi penggemar Marvel Universe, Tesseract adalah kubus biru bercahaya yang membuat orang-orang tidak hanya dari Bumi, tetapi juga planet lain menjadi gila. Itu sebabnya semua Avengers bersatu untuk melindungi penduduk bumi dari kekuatan Tesseract yang sangat merusak.

Namun, perlu diingat: Tesseract adalah konsep geometris yang sebenarnya, atau lebih spesifiknya, suatu bentuk yang ada dalam 4D. Ini bukan hanya kubus biru dari Avengers... itu adalah konsep nyata.

Tesseract adalah objek dalam 4 dimensi. Namun sebelum kita menjelaskannya secara detail, mari kita mulai dari awal.

Apa itu "pengukuran"?

Setiap orang pasti pernah mendengar istilah 2D dan 3D yang masing-masing mewakili objek dua dimensi atau tiga dimensi dalam ruang. Tapi apa pengukuran ini?

Dimensi hanyalah arah yang bisa Anda tuju. Misalnya, jika Anda menggambar garis pada selembar kertas, Anda dapat bergerak ke kiri/kanan (sumbu x) atau atas/bawah (sumbu y). Jadi kita katakan kertas itu dua dimensi karena Anda hanya bisa bergerak ke dua arah.

Ada kesan mendalam dalam 3D.

Sekarang di dunia nyata, selain dua arah yang disebutkan di atas (kiri/kanan dan atas/bawah), Anda juga dapat menuju "ke/dari". Akibatnya, kesan kedalaman ditambahkan ke ruang 3D. Oleh karena itu kami mengatakan demikian kehidupan nyata 3 dimensi.

Titik dapat mewakili 0 dimensi (karena tidak bergerak ke segala arah), garis mewakili 1 dimensi (panjang), persegi mewakili 2 dimensi (panjang dan lebar), dan kubus mewakili 3 dimensi (panjang, lebar, dan tinggi). ).

Ambil kubus 3D dan ganti setiap sisinya (yang saat ini berbentuk persegi) dengan kubus. Dan sebagainya! Bentuk yang Anda dapatkan adalah tesseract.

Apa itu tesseract?

Sederhananya, tesseract adalah sebuah kubus dalam ruang 4 dimensi. Anda juga dapat mengatakan bahwa ini adalah analog 4D dari sebuah kubus. Ini adalah bentuk 4D yang setiap wajahnya berbentuk kubus.

Proyeksi 3D tesseract yang melakukan rotasi ganda di sekitar dua bidang ortogonal.
Gambar: Jason Hise

Berikut cara sederhana untuk mengkonsep dimensi: persegi adalah dua dimensi; oleh karena itu, setiap sudutnya mempunyai 2 garis yang memanjang darinya dengan sudut 90 derajat satu sama lain. Kubus itu 3D, jadi tiap sudutnya ada 3 garis yang berasal darinya. Begitu pula tesseract yang bentuknya 4D, jadi setiap sudutnya terdapat 4 garis yang memanjang.

Mengapa sulit membayangkan tesseract?

Karena kita sebagai manusia telah berevolusi untuk memvisualisasikan objek dalam tiga dimensi, apapun yang termasuk dalam dimensi tambahan seperti 4D, 5D, 6D, dll tidak ada gunanya bagi kita. sangat masuk akal, karena kita tidak bisa membayangkannya sama sekali. Otak kita tidak dapat memahami dimensi ke-4 di luar angkasa. Kami tidak bisa memikirkannya.

Namun, hanya karena kita tidak dapat memvisualisasikan konsep ruang multidimensi bukan berarti konsep tersebut tidak ada.

19 September 2009
Tesseract (dari bahasa Yunani kuno τέσσερες ἀκτῖνες - empat sinar) adalah hypercube empat dimensi - analog dari kubus dalam ruang empat dimensi.

Gambar merupakan proyeksi (perspektif) kubus empat dimensi ke dalam ruang tiga dimensi.

Menurut Kamus Oxford, kata "tesseract" diciptakan dan digunakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton (1853–1907) dalam bukunya Era baru pikiran". Belakangan, beberapa orang menyebut sosok yang sama sebagai "tetracube".

Geometri

Tesseract biasa dalam ruang empat dimensi Euclidean didefinisikan sebagai kumpulan titik cembung (±1, ±1, ±1, ±1). Dengan kata lain, dapat direpresentasikan sebagai himpunan berikut:

Tesseract dibatasi oleh delapan hyperplanes, yang perpotongannya dengan Tesseract itu sendiri menentukan wajah tiga dimensinya (yang merupakan kubus biasa). Setiap pasang permukaan 3D yang tidak sejajar berpotongan membentuk permukaan 2D (persegi), dan seterusnya. Terakhir, tesseract memiliki 8 permukaan 3D, 24 permukaan 2D, 32 tepi, dan 16 simpul.

Deskripsi populer

Mari kita coba membayangkan seperti apa bentuk hypercube tanpa meninggalkan ruang tiga dimensi.

Dalam "ruang" satu dimensi - pada sebuah garis - kita memilih segmen AB dengan panjang L. Pada bidang dua dimensi pada jarak L dari AB, kita menggambar segmen DC sejajar dengannya dan menghubungkan ujung-ujungnya. Hasilnya adalah persegi ABCD. Mengulangi operasi ini dengan bidang, kita memperoleh kubus tiga dimensi ABCDHEFG. Dan dengan menggeser kubus pada dimensi keempat (tegak lurus terhadap tiga dimensi pertama) sejauh L, kita mendapatkan hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Segmen satu dimensi AB berfungsi sebagai sisi persegi dua dimensi ABCD, persegi - sebagai sisi kubus ABCDHEFG, yang selanjutnya akan menjadi sisi hypercube empat dimensi. Ruas garis lurus mempunyai dua titik batas, persegi mempunyai empat titik sudut, dan kubus mempunyai delapan titik batas. Dalam hypercube empat dimensi, akan ada 16 simpul: 8 simpul dari kubus asal dan 8 simpul yang digeser pada dimensi keempat. Ia memiliki 32 sisi - 12 masing-masing memberikan posisi awal dan akhir kubus asli, dan 8 sisi lainnya "menggambar" delapan simpulnya, yang telah berpindah ke dimensi keempat. Alasan yang sama dapat dilakukan untuk wajah hypercube. Dalam ruang dua dimensi hanya ada satu (persegi itu sendiri), sebuah kubus memiliki 6 buah (dua sisi dari persegi yang dipindahkan dan empat lagi yang menggambarkan sisi-sisinya). Hypercube empat dimensi memiliki 24 sisi persegi - 12 kotak kubus asli di dua posisi dan 12 kotak dari dua belas tepinya.

Dengan cara yang sama, kita dapat melanjutkan penalaran kita tentang hypercube dengan jumlah dimensi yang lebih besar, namun jauh lebih menarik untuk melihat bagaimana hypercube empat dimensi akan terlihat bagi kita, penghuni ruang tiga dimensi. Untuk ini kita akan menggunakan metode analogi yang sudah dikenal.

Tesseract membuka bungkusnya

Mari kita ambil kubus kawat ABCDHEFG dan melihatnya dengan satu mata dari sisi tepinya. Kita akan melihat dan dapat menggambar dua kotak pada bidang (tepi dekat dan jauhnya), dihubungkan oleh empat garis - tepi samping. Demikian pula, hypercube empat dimensi dalam ruang tiga dimensi akan terlihat seperti dua “kotak” kubik yang disisipkan satu sama lain dan dihubungkan oleh delapan sisi. Dalam hal ini, "kotak" itu sendiri - wajah tiga dimensi - akan diproyeksikan ke ruang "kita", dan garis yang menghubungkannya akan meregang di dimensi keempat. Anda juga dapat mencoba membayangkan kubus bukan dalam proyeksi, tetapi dalam gambar spasial.

Sama seperti kubus tiga dimensi yang dibentuk oleh persegi yang digeser panjang sisinya, kubus yang digeser ke dimensi keempat akan membentuk hiperkubus. Itu dibatasi oleh delapan kubus, yang di masa depan akan terlihat seperti sesuatu yang cantik sosok yang kompleks. Bagian yang tersisa di ruang “kita” digambar garis padat, dan apa yang masuk ke hyperspace diberi titik. Hypercube empat dimensi itu sendiri terdiri dari kubus yang jumlahnya tak terhingga, sama seperti kubus tiga dimensi yang dapat “dipotong” menjadi kotak datar yang jumlahnya tak terhingga.

Dengan memotong enam sisi kubus tiga dimensi, Anda dapat menguraikannya menjadi sosok datar- memindai. Ini akan memiliki persegi di setiap sisi wajah aslinya, ditambah satu lagi - wajah yang berlawanan dengannya. Dan pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi akan terdiri dari kubus asli, enam kubus yang “tumbuh” darinya, ditambah satu lagi - “hyperface” terakhir.

Properti Tesseract adalah perpanjangan dari properti bentuk geometris dimensi yang lebih kecil ke dalam ruang empat dimensi.

Proyeksi

Ke ruang dua dimensi

Struktur ini sulit untuk dibayangkan, tetapi Tesseract dapat diproyeksikan ke dalam ruang dua dimensi atau tiga dimensi. Selain itu, memproyeksikan ke bidang memudahkan untuk memahami lokasi simpul hypercube. Dengan cara ini, dimungkinkan untuk memperoleh gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur koneksi titik, seperti pada contoh berikut:


Ke ruang tiga dimensi

Proyeksi tesseract ke ruang tiga dimensi mewakili dua kubus tiga dimensi yang bersarang, simpul-simpul yang bersesuaian dihubungkan oleh segmen. Kubus bagian dalam dan luar mempunyai ukuran yang berbeda dalam ruang tiga dimensi, tetapi dalam ruang empat dimensi keduanya berbentuk kubus yang sama besar. Untuk memahami kesetaraan semua kubus Tesseract, model Tesseract yang berputar telah dibuat.



Enam piramida terpotong di sepanjang tepi tesseract adalah gambar enam kubus yang sama besarnya.
Pasangan stereo

Sepasang stereo tesseract digambarkan sebagai dua proyeksi ke ruang tiga dimensi. Gambar Tesseract ini dirancang untuk mewakili kedalaman sebagai dimensi keempat. Pasangan stereo dilihat sehingga setiap mata hanya melihat satu dari gambar-gambar ini, gambar stereoskopis muncul yang mereproduksi kedalaman tesseract.

Tesseract membuka bungkusnya

Permukaan tesseract dapat dibentangkan menjadi delapan kubus (mirip dengan bagaimana permukaan kubus dapat dibentangkan menjadi enam kotak). Ada 261 desain Tesseract yang berbeda. Pembukaan tesseract dapat dihitung dengan memplot sudut-sudut yang terhubung pada grafik.

Tesseract dalam seni

Dalam "New Abbott Plain" karya Edwina A., hypercube bertindak sebagai narator.
Dalam salah satu episode Petualangan Jimmy Neutron: "Boy Genius", Jimmy menciptakan hypercube empat dimensi yang identik dengan kotak lipat dari novel Glory Road karya Heinlein tahun 1963.
Robert E. Heinlein telah menyebutkan hypercubes setidaknya dalam tiga cerita fiksi ilmiah. Dalam Rumah Empat Dimensi (Rumah yang Dibangun Teal) (1940), ia menggambarkan sebuah rumah yang dibangun seperti tesseract yang tidak terbungkus.
Novel Glory Road karya Heinlein menggambarkan hidangan berukuran sangat besar yang bagian dalamnya lebih besar daripada bagian luarnya.
Kisah Henry Kuttner "Mimsy Were the Borogoves" menggambarkan mainan edukatif untuk anak-anak dari masa depan yang jauh, strukturnya mirip dengan tesseract.
Dalam novel karya Alex Garland (1999), istilah "tesseract" digunakan untuk pengembangan tiga dimensi dari hypercube empat dimensi, bukan hypercube itu sendiri. Ini adalah metafora yang dirancang untuk menunjukkan bahwa sistem kognitif harus lebih luas dari apa yang dapat diketahui.
Plot Cube 2: Hypercube berpusat pada delapan orang asing yang terperangkap dalam "hypercube", atau jaringan kubus yang terhubung.
Serial televisi Andromeda menggunakan generator tesseract sebagai perangkat plot. Mereka terutama dirancang untuk memanipulasi ruang dan waktu.
Lukisan “Penyaliban” (Corpus Hypercubus) oleh Salvador Dali (1954)
Buku komik Nextwave menggambarkan sebuah kendaraan yang mencakup 5 zona tesseract.
Di album Voivod Nothingface salah satu komposisinya berjudul "In my hypercube".
Dalam novel Route Cube karya Anthony Pearce, salah satu bulan yang mengorbit Asosiasi Pembangunan Internasional disebut tesseract yang telah dikompresi menjadi 3 dimensi.
Dalam serial "Sekolah" Lubang hitam“” di musim ketiga ada episode “Tesseract”. Lucas menekan tombol rahasia dan sekolah mulai berbentuk seperti tesseract matematika.
Istilah “tesseract” dan istilah turunannya “tesserate” ditemukan dalam cerita “A Wrinkle in Time” karya Madeleine L’Engle.

Dalam geometri hypercube- Ini N Analogi -dimensi persegi ( N= 2) dan kubus ( N= 3). Merupakan bangun datar cembung tertutup yang terdiri dari kumpulan garis sejajar yang terletak pada sisi berlawanan dari bangun tersebut, dan dihubungkan satu sama lain pada sudut siku-siku.

Angka ini juga dikenal sebagai tesseract(tesseract). Tesseractnya terhadap kubus seperti halnya kubus terhadap persegi. Secara lebih formal, tesseract dapat digambarkan sebagai polytope empat dimensi cembung beraturan (polyhedron) yang batasnya terdiri dari delapan sel kubik.

Menurut Kamus Bahasa Inggris Oxford, kata "tesseract" diciptakan pada tahun 1888 oleh Charles Howard Hinton dan digunakan dalam bukunya "A New Era of Thought." Kata itu berasal dari bahasa Yunani "τεσσερες ακτινες" ("empat sinar"), berbentuk empat sumbu koordinat. Selain itu, di beberapa sumber disebutkan sosok yang sama tetrakubus(tetrakubus).

N Hypercube -dimensi juga disebut n-kubus.

Suatu titik adalah hiperkubus berdimensi 0. Jika Anda menggeser titik sebanyak satuan panjang, Anda mendapatkan segmen dengan satuan panjang - hiperkubus berdimensi 1. Selanjutnya, jika Anda menggeser segmen tersebut dengan satuan panjang ke arah tegak lurus ke arah ruas, diperoleh kubus - hiperkubus berdimensi 2. Menggeser persegi sebanyak satuan panjang ke arah tegak lurus bidang persegi, diperoleh kubus - hiperkubus berdimensi 3. Proses ini dapat digeneralisasikan ke sejumlah dimensi. Misalnya, jika Anda memindahkan sebuah kubus sejauh satu satuan panjang dalam dimensi keempat, Anda mendapatkan tesseract.

Keluarga hypercube adalah salah satu dari sedikit polihedra beraturan yang dapat direpresentasikan dalam dimensi apa pun.

Elemen hypercube

Dimensi hypercube N memiliki 2 N“sisi” (garis satu dimensi memiliki 2 titik; persegi dua dimensi memiliki 4 sisi; kubus tiga dimensi memiliki 6 sisi; tesseract empat dimensi memiliki 8 sel). Jumlah simpul (titik) dari sebuah hypercube adalah 2 N(misalnya, untuk kubus - 2 3 simpul).

Kuantitas M-dimensi hypercubes pada batas N-kubus sama dengan

Misalnya pada batas hypercube terdapat 8 kubus, 24 persegi, 32 rusuk, dan 16 simpul.

Elemen hypercubes

n-kubus	Nama	Puncak (0-wajah)	Tepian (1 wajah)	Tepian (2 wajah)	Sel (3 wajah)	(4 wajah)	(5 wajah)	(6 sisi)	(7 wajah)	(8 wajah)
0 kubus	Dot	1
1 kubus	Segmen garis	2	1
2 kubus	Persegi	4	4	1
3 kubus	kubus	8	12	6	1
4 kubus	Tesseract	16	32	24	8	1
5 kubus	Menembus	32	80	80	40	10	1
6 kubus	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7 kubus	Heptera	128	448	672	560	280	84	14	1
8 kubus	oktektat	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9 kubus	Energik	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Proyeksi ke pesawat

Pembentukan hypercube dapat direpresentasikan dengan cara berikut:

• Dua titik A dan B dihubungkan membentuk ruas garis AB.
• Dua buah ruas sejajar AB dan CD dapat dihubungkan membentuk persegi ABCD.
• Dua buah persegi sejajar ABCD dan EFGH dapat dihubungkan membentuk kubus ABCDEFGH.
• Dua kubus sejajar ABCDEFGH dan IJKLMNOP dapat dihubungkan membentuk hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.

Struktur yang terakhir ini tidak mudah untuk divisualisasikan, namun dimungkinkan untuk menggambarkan proyeksinya ke dalam ruang dua dimensi atau tiga dimensi. Selain itu, proyeksi ke bidang dua dimensi dapat lebih berguna dengan memungkinkan pengaturan ulang posisi simpul yang diproyeksikan. Dalam hal ini, dimungkinkan untuk memperoleh gambar yang tidak lagi mencerminkan hubungan spasial elemen-elemen dalam tesseract, tetapi menggambarkan struktur koneksi titik, seperti pada contoh di bawah.

Ilustrasi pertama menunjukkan bagaimana, pada prinsipnya, tesseract dibentuk dengan menggabungkan dua kubus. Skema ini mirip dengan skema membuat kubus dari dua kotak. Diagram kedua menunjukkan bahwa semua sisi tesseract memiliki panjang yang sama. Skema ini juga memaksa Anda untuk mencari kubus yang terhubung satu sama lain. Pada diagram ketiga, simpul tesseract terletak sesuai dengan jarak sepanjang permukaan relatif terhadap titik bawah. Skema ini menarik karena digunakan sebagai skema dasar untuk topologi jaringan penghubung prosesor ketika mengatur komputasi paralel: jarak antara dua node tidak melebihi 4 panjang tepi, dan terdapat banyak jalur berbeda untuk menyeimbangkan beban.

Hypercube dalam seni

Hypercube telah muncul dalam literatur fiksi ilmiah sejak tahun 1940, ketika Robert Heinlein, dalam cerita “Dan Dia Membangun Rumah Bengkok,” menggambarkan sebuah rumah yang dibangun dalam bentuk pemindaian tesseract. Dalam ceritanya, selanjutnya, rumah ini runtuh, berubah menjadi tesseract empat dimensi. Setelah itu, hypercube muncul di banyak buku dan cerita pendek.

Film Cube 2: Hypercube berkisah tentang delapan orang yang terjebak dalam jaringan hypercubes.

Lukisan Salvador Dali "Penyaliban (Corpus Hypercubus)", 1954, menggambarkan Yesus disalib pada pemindaian tesseract. Lukisan ini dapat dilihat di Metropolitan Museum of Art di New York.

Kesimpulan

Hypercube adalah salah satu objek empat dimensi paling sederhana, yang darinya kita dapat melihat kompleksitas dan keanehan dimensi keempat. Dan apa yang terlihat mustahil dalam tiga dimensi menjadi mungkin dalam empat dimensi, misalnya angka-angka yang mustahil. Jadi, misalnya, batang-batang segitiga mustahil dalam empat dimensi akan dihubungkan tegak lurus. Dan gambar ini akan terlihat seperti ini dari semua sudut pandang, dan tidak akan terdistorsi, tidak seperti implementasi segitiga mustahil dalam ruang tiga dimensi (lihat.