rumah › Aneka ragam › Temukan luas sosok pesawat. integral tertentu

Temukan luas sosok pesawat. integral tertentu

Kami sekarang beralih ke pertimbangan penerapan kalkulus integral. Dalam pelajaran ini, kami akan menganalisis masalah khas dan paling umum dalam menghitung luas bangun datar menggunakan integral tertentu. Akhirnya, semua orang yang mencari makna dalam matematika yang lebih tinggi - semoga mereka menemukannya. Kau tak pernah tahu. Dalam kehidupan nyata, Anda harus memperkirakan pondok musim panas dengan fungsi dasar dan mencari luasnya menggunakan integral tertentu.

Untuk berhasil menguasai materi, Anda harus:

1) Memahami integral tak tentu setidaknya pada tingkat menengah. Jadi, boneka pertama-tama harus membaca Pelajaran He.

2) Mampu menerapkan rumus Newton-Leibniz dan menghitung integral tentu. Menempa hangat hubungan persahabatan dengan integral tertentu, lihat halaman Integral Pasti. Contoh solusi. Tugas "menghitung luas menggunakan integral tertentu" selalu melibatkan pembuatan gambar, sehingga pengetahuan dan keterampilan Anda dalam menggambar gambar juga akan menjadi masalah yang relevan. Minimal, seseorang harus bisa membuat garis lurus, parabola, dan hiperbola.

Mari kita mulai dengan trapesium lengkung. Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh grafik fungsi tertentu y = F(X), sumbu SAPI dan garis X = A; X = B.

Luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu

Setiap integral pasti (yang ada) memiliki arti geometris yang sangat baik. Pelajaran Integral Tentu. Contoh solusi Kami mengatakan bahwa integral tertentu adalah angka. Dan sekarang saatnya untuk menyatakan yang lain fakta yang berguna. Dari sudut pandang geometri, integral tentu adalah AREA. Artinya, integral pasti (jika ada) secara geometris sesuai dengan luas suatu gambar. Pertimbangkan integral tertentu

Integrand

mendefinisikan kurva pada bidang (dapat digambar jika diinginkan), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang sesuai.

Contoh 1

, , , .

Ini adalah tugas yang khas. Poin terpenting dari keputusan adalah konstruksi gambar. Apalagi gambarnya harus dibuat dengan BENAR.

Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama, lebih baik membuat semua garis (jika ada) dan baru kemudian - parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Teknik konstruksi pointwise dapat ditemukan di materi referensi Grafik dan Properti Fungsi Dasar. Di sana Anda juga dapat menemukan materi yang sangat berguna sehubungan dengan pelajaran kita - cara membuat parabola dengan cepat.

Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.

Ayo buat gambar (perhatikan bahwa persamaannya y= 0 menentukan sumbu SAPI):

Kami tidak akan menetas trapesium lengkung, jelas di sini area apa dalam pertanyaan. Solusinya berlanjut seperti ini:

Di segmen [-2; 1] grafik fungsi y = X 2 + 2 terletak di atas sumbu SAPI, Itu sebabnya:

Menjawab: .

Siapa yang kesulitan menghitung integral tertentu dan menerapkan rumus Newton-Leibniz

mengacu pada kuliah Integral Pasti. Contoh solusi. Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambar dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. DI DALAM kasus ini"Dengan mata" kami menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, sekitar 9 akan diketik, tampaknya benar. Sangat jelas bahwa jika kita memiliki, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka, jelas, telah terjadi kesalahan di suatu tempat - 20 sel jelas tidak cocok dengan angka yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya ternyata negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan tidak benar.

Contoh 2

Menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis xy = 4, X = 2, X= 4 dan sumbu SAPI.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu SAPI?

Contoh 3

Menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis y = mantan, X= 1 dan sumbu koordinat.

Solusi: Ayo buat gambar:

Jika trapesium lengkung sepenuhnya berada di bawah sumbu SAPI, maka luasnya dapat dicari dengan rumus:

Pada kasus ini:

Perhatian! Dua jenis tugas tidak boleh bingung:

1) Jika Anda diminta untuk menyelesaikan integral tertentu saja tanpa makna geometris apa pun, maka hasilnya bisa negatif.

2) Jika Anda diminta mencari luas suatu bangun menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul dalam rumus yang baru saja dipertimbangkan.

Dalam praktiknya, gambar tersebut paling sering terletak di bidang setengah atas dan bawah, dan oleh karena itu, dari masalah sekolah yang paling sederhana, kami beralih ke contoh yang lebih bermakna.

Contoh 4

Temukan luas bidang datar yang dibatasi oleh garis y = 2X – X 2 , y = -X.

Solusi: Pertama, Anda perlu membuat gambar. Saat membuat gambar dalam masalah luas, kami paling tertarik pada titik persimpangan garis. Temukan titik potong parabola y = 2X – X 2 dan lurus y = -X. Ini bisa dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:

Jadi batas bawah integrasi A= 0, batas atas integrasi B= 3. Seringkali lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, sementara batas integrasi ditemukan seolah-olah “dengan sendirinya”. Namun demikian, metode analitik untuk menemukan batas kadang-kadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi berulir tidak mengungkapkan batas integrasi (bisa fraksional atau irasional). Kami kembali ke tugas kami: lebih rasional untuk terlebih dahulu membangun garis lurus dan baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambar:

Kami ulangi bahwa dalam konstruksi titik, batas integrasi paling sering ditemukan "secara otomatis".

Dan sekarang rumus kerjanya:

Jika pada segmen [ A; B] beberapa fungsi kontinu F(X) lebih besar dari atau sama dengan beberapa fungsi kontinu G(X), maka luas gambar yang bersesuaian dapat dicari dengan rumus:

Di sini Anda tidak perlu lagi memikirkan di mana gambar itu berada - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi penting grafik mana yang DI ATAS (relatif terhadap grafik lain), dan mana yang DI BAWAH.

Dalam contoh yang sedang dibahas, terlihat jelas bahwa parabola terletak di atas garis lurus pada ruas tersebut, dan oleh karena itu dari 2 X – X 2 harus dikurangi - X.

Penyelesaian solusi mungkin terlihat seperti ini:

Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola y = 2X – X 2 atas dan lurus y = -X dari bawah.

Pada segmen 2 X – X 2 ≥ -X. Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab: .

Faktanya, rumus sekolah untuk luas trapesium lengkung di setengah bidang bawah (lihat contoh No. 3) adalah kasus spesial formula

Sejak sumbu SAPI diberikan oleh persamaan y= 0, dan grafik fungsi G(X) terletak di bawah sumbu SAPI, Itu

Dan sekarang beberapa contoh untuk solusi independen

Contoh 5

Contoh 6

Temukan luas bangun yang dibatasi oleh garis

Dalam menyelesaikan soal perhitungan luas dengan menggunakan integral tertentu, terkadang terjadi kejadian lucu. Gambar dibuat dengan benar, perhitungannya benar, tetapi karena kurangnya perhatian, ... ditemukan area gambar yang salah.

Contoh 7

Mari menggambar dulu:

Sosok, area yang perlu kita temukan, diarsir dengan warna biru (perhatikan baik-baik kondisinya - betapa terbatasnya sosok itu!). Namun dalam praktiknya, karena kurangnya perhatian, mereka sering memutuskan bahwa mereka perlu mencari area yang diarsir berwarna hijau!

Contoh ini juga berguna karena di dalamnya luas gambar dihitung menggunakan dua integral tertentu. Benar-benar:

1) Pada segmen [-1; 1] di atas poros SAPI grafiknya lurus y = X+1;

2) Pada segmen di atas sumbu SAPI grafik hiperbola terletak y = (2/X).

Sangat jelas bahwa area dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:

Menjawab:

Contoh 8

Menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis

Mari sajikan persamaan dalam bentuk "sekolah".

dan lakukan gambar garis:

Terlihat dari gambar bahwa batas atas kita adalah "baik": B = 1.

Tapi apa batas bawahnya? Jelas ini bukan bilangan bulat, tapi apa?

Mungkin, A= (-1/3)? Tapi di manakah jaminan bahwa gambar itu dibuat dengan akurasi yang sempurna, mungkin saja ternyata begitu A= (-1/4). Bagaimana jika kita sama sekali tidak mendapatkan grafik yang benar?

Dalam kasus seperti itu, seseorang harus menghabiskan waktu tambahan dan menyempurnakan batas integrasi secara analitis.

Temukan titik potong grafik

Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan persamaan:

Karena itu, A=(-1/3).

Solusi lebih lanjut adalah sepele. Hal utama adalah jangan bingung dengan pergantian dan tanda. Perhitungan di sini bukanlah yang termudah. Di segmen

, ,

sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Sebagai penutup pelajaran, kami akan mempertimbangkan dua tugas yang lebih sulit.

Contoh 9

Menghitung luas bangun yang dibatasi oleh garis

Solusi: Gambarlah angka ini dalam gambar.

Untuk menggambar poin demi poin, Anda perlu tahu penampilan sinusoid. Secara umum, mengetahui grafik semua fungsi dasar, serta beberapa nilai sinus, berguna. Mereka dapat ditemukan di tabel nilai fungsi trigonometri. Dalam beberapa kasus (misalnya, dalam kasus ini), diperbolehkan untuk membuat gambar skematik, di mana grafik dan batas integrasi pada prinsipnya harus ditampilkan dengan benar.

Tidak ada masalah dengan batas integrasi di sini, mereka mengikuti langsung dari kondisi:

- "x" berubah dari nol menjadi "pi". Kami membuat keputusan lebih lanjut:

Pada segmen, grafik fungsi y= dosa 3 X terletak di atas sumbu SAPI, Itu sebabnya:

(1) Anda dapat melihat bagaimana sinus dan cosinus diintegrasikan dalam pangkat ganjil dalam pelajaran Integral dari fungsi trigonometri. Kami mencubit satu sinus.

(2) Kami menggunakan identitas trigonometri dasar dalam bentuk

(3) Mari kita ubah variabelnya T= cos X, maka: terletak di atas sumbu , jadi:

Catatan: perhatikan cara pengambilan integral garis singgung pada kubus, disini digunakan konsekwensi dari identitas trigonometri utama

Padahal, untuk mencari luas suatu bangun, Anda tidak membutuhkan begitu banyak pengetahuan tentang integral tak tentu dan tak tentu. Tugas "menghitung luas menggunakan integral tertentu" selalu melibatkan pembuatan gambar, sehingga pengetahuan dan keterampilan Anda dalam menggambar gambar akan menjadi masalah yang jauh lebih relevan. Dalam hal ini, berguna untuk menyegarkan ingatan grafik fungsi dasar utama, dan, minimal, dapat membuat garis lurus, dan hiperbola.

Trapesium lengkung adalah sosok datar yang dibatasi oleh sumbu, garis lurus, dan grafik fungsi kontinu pada segmen yang tidak mengubah tanda pada interval ini. Biarkan angka ini ditemukan tidak kurang absis:

Maka luas trapesium lengkung secara numerik sama dengan integral tertentu. Setiap integral pasti (yang ada) memiliki arti geometris yang sangat baik.

Dalam istilah geometri, integral tentu adalah AREA.

Artinya, integral tertentu (jika ada) secara geometris sesuai dengan luas suatu gambar. Sebagai contoh, perhatikan integral tertentu . Integran mendefinisikan kurva pada bidang yang terletak di atas sumbu (mereka yang ingin dapat menyelesaikan gambarnya), dan integral tertentu itu sendiri secara numerik sama dengan luas trapesium lengkung yang sesuai.

Contoh 1

Ini adalah pernyataan tugas yang khas. Pertama dan momen krusial solusi - membangun gambar. Apalagi gambarnya harus dibuat dengan BENAR.

Saat membuat gambar, saya merekomendasikan urutan berikut: pertama, lebih baik buat semua garis (jika ada) dan baru kemudian - parabola, hiperbola, grafik fungsi lainnya. Grafik fungsi lebih menguntungkan untuk dibangun poin demi poin.

Dalam masalah ini, solusinya mungkin terlihat seperti ini.
Mari kita menggambar (perhatikan bahwa persamaan menentukan sumbu):

Pada ruas tersebut, grafik fungsi terletak di atas sumbu, oleh karena itu:

Menjawab:

Setelah tugas selesai, selalu berguna untuk melihat gambar dan mencari tahu apakah jawabannya nyata. Dalam hal ini, "dengan mata" kami menghitung jumlah sel dalam gambar - yah, sekitar 9 akan diketik, tampaknya benar. Sangat jelas bahwa jika kita memiliki, katakanlah, jawabannya: 20 unit persegi, maka, jelas, telah terjadi kesalahan di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dimaksud, paling banyak selusin. Jika jawabannya ternyata negatif, maka tugas tersebut juga diselesaikan dengan tidak benar.

Contoh 3

Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis dan sumbu koordinat.

Solusi: Ayo buat gambar:

Jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu (atau setidaknya tidak lebih tinggi diberikan sumbu), maka luasnya dapat dicari dengan rumus:

Pada kasus ini:

Perhatian! Dua jenis tugas tidak boleh bingung:

1) Jika Anda diminta untuk menyelesaikan integral tertentu saja tanpa makna geometris apa pun, maka hasilnya bisa negatif.

2) Jika Anda diminta mencari luas suatu bangun menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul dalam rumus yang baru saja dipertimbangkan.

Contoh 4

Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , .

Solusi: Pertama, Anda harus menyelesaikan gambarnya. Secara umum, saat membuat gambar dalam masalah luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Mari kita temukan titik potong parabola dan garis. Ini bisa dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitis. Kami memecahkan persamaan:

Oleh karena itu, batas bawah integrasi , batas atas integrasi .

Lebih baik tidak menggunakan metode ini, jika memungkinkan.

Jauh lebih menguntungkan dan lebih cepat untuk membangun garis titik demi titik, sementara batas integrasi ditemukan seolah-olah "dengan sendirinya". Namun demikian, metode analitik untuk menemukan batas kadang-kadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi berulir tidak mengungkapkan batas integrasi (bisa fraksional atau irasional). Dan kami juga akan mempertimbangkan contoh seperti itu.

Kami kembali ke tugas kami: lebih rasional untuk terlebih dahulu membangun garis lurus dan baru kemudian parabola. Mari kita membuat gambar:

Dan sekarang rumus kerjanya: Jika pada segmen beberapa fungsi kontinu lebih besar dari atau sama dengan beberapa fungsi kontinu, maka luas gambarnya, grafik-terbatas dari fungsi-fungsi ini dan garis lurus , , dapat ditemukan dengan rumus:

Di sini tidak perlu lagi memikirkan di mana gambar itu berada - di atas sumbu atau di bawah sumbu, dan, secara kasar, penting bagan mana yang DI ATAS (relatif terhadap bagan lain), dan mana yang DI BAWAH.

Pada contoh yang dimaksud, terlihat jelas bahwa parabola terletak di atas garis lurus pada ruas tersebut, oleh karena itu perlu dikurangi dari

Penyelesaian solusi mungkin terlihat seperti ini:

Angka yang diinginkan dibatasi oleh parabola dari atas dan garis lurus dari bawah.
Di segmen , sesuai dengan rumus yang sesuai:

Menjawab:

Contoh 4

Hitung luas bangun yang dibatasi oleh garis , , , .

Solusi: Pertama, mari kita buat gambarnya:

Sosok, area yang perlu kita temukan, diarsir dengan warna biru (perhatikan baik-baik kondisinya - bagaimana sosok itu terbatas!). Namun dalam praktiknya, karena kurangnya perhatian, sering terjadi "kesalahan", yaitu Anda perlu menemukan area sosok yang diarsir hijau!

Contoh ini juga berguna karena di dalamnya luas gambar dihitung menggunakan dua integral tertentu.

Benar-benar :

1) Pada ruas di atas sumbu terdapat grafik garis lurus;

2) Pada segmen di atas sumbu terdapat grafik hiperbola.

Sangat jelas bahwa area dapat (dan harus) ditambahkan, oleh karena itu:

Bagaimana cara memasukkan rumus matematika di situs?

Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika dengan mudah dimasukkan ke dalam situs dalam bentuk gambar yang dibuat secara otomatis oleh Wolfram Alpha. Selain kesederhanaan, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah bekerja untuk waktu yang lama (dan saya pikir itu akan bekerja selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.

Jika Anda terus-menerus menggunakan rumus matematika di situs Anda, saya sarankan Anda menggunakan MathJax, pustaka JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX, atau ASCIIMathML.

Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs Anda, yang akan dimuat secara otomatis dari server jarak jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unggah skrip MathJax dari server jarak jauh ke server Anda dan sambungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua lebih kompleks dan memakan waktu dan memungkinkan Anda mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax menjadi tidak tersedia untuk sementara karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda sendiri dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama, karena lebih sederhana, lebih cepat, dan tidak memerlukan keterampilan teknis. Ikuti contoh saya, dan dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs Anda.

Anda dapat menghubungkan skrip pustaka MathJax dari server jarak jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs utama MathJax atau dari halaman dokumentasi:

Salah satu opsi kode ini harus disalin dan ditempelkan ke kode laman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag. Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman lebih sedikit. Tetapi opsi kedua secara otomatis melacak dan memuat MathJax versi terbaru. Jika Anda memasukkan kode pertama, maka perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda menempelkan kode kedua, halaman akan memuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus memantau pembaruan MathJax.

Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode muat di atas ke dalamnya, dan tempatkan widget lebih dekat ke awal template (omong-omong, ini tidak diperlukan sama sekali , karena skrip MathJax dimuat secara asinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML dan Anda siap menyematkan rumus matematika ke halaman web Anda.

Fraktal apa pun dibangun menurut aturan tertentu, yang diterapkan secara konsisten dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu seperti itu disebut iterasi.

Algoritme berulang untuk membuat spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan permukaannya menjadi 27 kubus yang sama. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan di sepanjang sisinya dihilangkan darinya. Ternyata satu set terdiri dari 20 kubus kecil yang tersisa. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kami mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa batas waktu, kami mendapatkan spons Menger.

Kami mulai mempertimbangkan proses penghitungan integral ganda yang sebenarnya dan berkenalan dengan makna geometrisnya.

Integral ganda secara numerik sama dengan luas bangun datar (daerah integrasi). Ini bentuk paling sederhana integral ganda ketika fungsi dua variabel sama dengan satu: .

Pertama-tama mari kita pertimbangkan masalah di pandangan umum. Sekarang Anda akan terkejut betapa sederhananya itu! Mari menghitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis. Untuk kepastian, kami berasumsi bahwa pada interval . Luas gambar ini secara numerik sama dengan:

Mari gambarkan area dalam gambar:

Mari kita pilih cara pertama untuk melewati area tersebut:

Dengan demikian:

Dan segera trik teknis yang penting: integral iterasi dapat dipertimbangkan secara terpisah. Pertama integral dalam, kemudian integral luar. Metode ini sangat dianjurkan untuk pemula dalam topik teko.

1) Hitung integral internal, sedangkan integrasi dilakukan atas variabel "y":

Integral tak tentu di sini adalah yang paling sederhana, dan kemudian rumus Newton-Leibniz yang dangkal digunakan, dengan satu-satunya perbedaan bahwa batas integrasi bukanlah angka, tetapi fungsi. Pertama, kami mensubstitusi batas atas ke "y" (fungsi antiturunan), lalu batas bawah

2) Hasil yang diperoleh pada paragraf pertama harus disubstitusikan ke dalam integral eksternal:

Notasi yang lebih ringkas untuk keseluruhan solusi terlihat seperti ini:

Formula yang dihasilkan - ini persis rumus kerja untuk menghitung luas bangun datar menggunakan integral pasti "biasa"! Lihat pelajaran Menghitung luas menggunakan integral tertentu, itu ada di setiap langkah!

Yaitu, soal menghitung luas menggunakan integral ganda sedikit berbeda dari soal mencari luas menggunakan integral tertentu! Faktanya, mereka adalah satu dan sama!

Karenanya, tidak ada kesulitan yang muncul! Saya tidak akan mempertimbangkan banyak contoh, karena Anda sebenarnya telah berulang kali mengalami masalah ini.

Contoh 9

Solusi: Gambarlah area pada gambar:

Mari kita pilih urutan traversal wilayah berikut:

Di sini dan di bawah, saya tidak akan membahas cara melintasi suatu area karena paragraf pertama sangat detail.

Dengan demikian:

Seperti yang sudah saya catat, lebih baik bagi pemula untuk menghitung integral iterasi secara terpisah, saya akan mengikuti metode yang sama:

1) Pertama, dengan menggunakan rumus Newton-Leibniz, kita berurusan dengan integral internal:

2) Hasil yang diperoleh pada langkah pertama disubstitusikan ke dalam integral luar:

Poin 2 sebenarnya mencari luas bangun datar menggunakan integral tertentu.

Menjawab:

Inilah tugas yang bodoh dan naif.

Contoh aneh untuk solusi independen:

Contoh 10

Dengan menggunakan integral ganda, hitung luas bangun datar yang dibatasi oleh garis , ,

Sampel Sampel finalisasi solusi di akhir pelajaran.

Dalam Contoh 9-10, jauh lebih menguntungkan menggunakan cara pertama untuk melewati area, pembaca yang penasaran, omong-omong, dapat mengubah urutan bypass dan menghitung area dengan cara kedua. Jika Anda tidak membuat kesalahan, maka secara alami diperoleh nilai area yang sama.

Tetapi dalam beberapa kasus, cara kedua untuk melewati area tersebut lebih efektif, dan sebagai penutup dari kursus kutu buku muda, mari kita lihat beberapa contoh lagi tentang topik ini:

Contoh 11

Dengan menggunakan integral ganda, hitung luas bidang datar yang dibatasi oleh garis.

Solusi: kami menantikan dua parabola dengan angin sepoi-sepoi yang ada di sisinya. Tidak perlu tersenyum, hal serupa dalam banyak integral sering ditemui.

Apa cara termudah untuk membuat gambar?

Mari kita nyatakan parabola sebagai dua fungsi:
- cabang atas dan - cabang bawah.

Demikian pula, bayangkan parabola sebagai bagian atas dan bawah ranting.

Selanjutnya, drive plotting poin demi poin, menghasilkan angka yang aneh:

Luas gambar dihitung menggunakan integral ganda sesuai dengan rumus:

Apa yang terjadi jika kita memilih cara pertama untuk melewati area tersebut? Pertama, area ini harus dibagi menjadi dua bagian. Dan kedua, kita akan mengamati gambaran sedih ini: . Integral, tentu saja, bukanlah level super kompleks, tapi ... ada pepatah matematika kuno: siapa yang bersahabat dengan akarnya, dia tidak membutuhkan set-off.

Oleh karena itu, dari kesalahpahaman yang diberikan dalam kondisi tersebut, kami menyatakan fungsi invers:

Fungsi invers V contoh ini memiliki keuntungan bahwa mereka segera mengatur seluruh parabola tanpa daun, biji, cabang dan akar.

Menurut metode kedua, area traversal adalah sebagai berikut:

Dengan demikian:

Seperti yang mereka katakan, rasakan bedanya.

1) Kami berurusan dengan integral internal:

Kami mengganti hasilnya dengan integral luar:

Integrasi atas variabel "y" seharusnya tidak memalukan, jika ada huruf "zyu" - akan sangat bagus untuk mengintegrasikannya. Meskipun seseorang yang telah membaca paragraf kedua pelajaran Cara menghitung volume benda revolusi, dia tidak lagi merasa malu sedikit pun dengan integrasi atas "y".

Perhatikan juga langkah pertama: integralnya genap, dan segmen integrasinya simetris tentang nol. Oleh karena itu, ruasnya bisa dibelah dua, dan hasilnya bisa dua kali lipat. Teknik ini dikomentari secara rinci dalam pelajaran Metode Efektif perhitungan integral tertentu.

Apa yang harus ditambahkan…. Semua!

Menjawab:

Untuk menguji teknik integrasi Anda, Anda dapat mencoba menghitung . Jawabannya harus persis sama.

Contoh 12

Dengan menggunakan integral ganda, hitung luas bidang datar yang dibatasi oleh garis

Ini adalah contoh do-it-yourself. Menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mencoba menggunakan cara pertama untuk melewati area tersebut, maka angka tersebut tidak lagi terbagi menjadi dua, tetapi menjadi tiga bagian! Dan, karenanya, kami mendapatkan tiga pasang integral berulang. Terkadang itu terjadi.

Kelas master telah berakhir, dan saatnya beralih ke tingkat grandmaster - Bagaimana cara menghitung integral ganda? Contoh solusi. Saya akan mencoba untuk tidak terlalu maniak di artikel kedua =)

Aku harap kamu berhasil!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2:Larutan: Gambarlah suatu daerah pada gambar:

Mari kita pilih urutan traversal wilayah berikut:

Dengan demikian:
Mari beralih ke fungsi invers:

Dengan demikian:
Menjawab:

Contoh 4:Larutan: Mari beralih ke fungsi langsung:

Mari kita jalankan gambarnya:

Mari ubah urutan traversal area:

Menjawab:

Larutan.

Momen keputusan pertama dan terpenting adalah pembuatan gambar.

Mari kita membuat gambar:

Persamaan y=0 mengatur sumbu x;

- x=-2 Dan x=1- lurus, sejajar dengan sumbu OU;

- y \u003d x 2 +2 - parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke atas, dengan titik puncak di titik (0;2).

Komentar. Untuk membuat parabola, cukup mencari titik potongnya dengan sumbu koordinat, yaitu menempatkan x=0 menemukan persimpangan dengan sumbu OU dan memutuskan yang sesuai persamaan kuadrat, temukan persimpangan dengan sumbu Oh .

Titik puncak parabola dapat ditemukan menggunakan rumus:

Anda dapat menggambar garis dan titik demi titik.

Pada interval [-2;1] grafik fungsi y = x 2 +2 terletak di atas sumbu Sapi, Itu sebabnya:

Menjawab: S\u003d 9 satuan persegi

Apa yang harus dilakukan jika trapesium lengkung terletak di bawah sumbu Oh?

b) Hitung luas gambar yang dibatasi oleh garis y=-e x , x=1 dan sumbu koordinat.

Larutan.

Mari kita membuat gambar.

Jika trapesium lengkung sepenuhnya berada di bawah sumbu Oh , maka luasnya dapat dicari dengan rumus:

Menjawab: S=(e-1) unit persegi" 1,72 unit persegi

Perhatian! Dua jenis tugas tidak boleh bingung:

1) Jika Anda diminta untuk menyelesaikan integral tertentu saja tanpa makna geometris apa pun, maka hasilnya bisa negatif.

2) Jika Anda diminta mencari luas suatu bangun menggunakan integral tertentu, maka luasnya selalu positif! Itu sebabnya minus muncul dalam rumus yang baru saja dipertimbangkan.

Dalam praktiknya, paling sering sosok itu terletak di bidang setengah atas dan bawah.

c) Temukan luas bidang datar yang dibatasi oleh garis y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Larutan.

Pertama, Anda perlu membuat gambar. Secara umum, saat membuat gambar dalam masalah luas, kita paling tertarik pada titik potong garis. Temukan titik potong parabola dan langsung Ini bisa dilakukan dengan dua cara. Cara pertama adalah analitis.

Kami memecahkan persamaan:

Jadi batas bawah integrasi a=0, batas atas integrasi b=3 .

Kami membangun garis yang diberikan: 1. Parabola - puncak pada titik (1;1); persimpangan sumbu Oh - poin (0;0) dan (0;2). 2. Garis lurus - garis bagi sudut koordinat ke-2 dan ke-4. Dan sekarang Perhatian! Jika pada segmen [ a;b] beberapa fungsi kontinu f(x) lebih besar atau sama dengan beberapa fungsi kontinu g(x), maka luas gambar yang sesuai dapat dicari dengan rumus: .

Dan tidak masalah di mana gambar itu berada - di atas sumbu atau di bawah sumbu, tetapi yang penting bagan mana yang LEBIH TINGGI (relatif terhadap bagan lain), dan mana yang DI BAWAH. Pada contoh yang dimaksud, terlihat jelas bahwa parabola terletak di atas garis lurus pada ruas tersebut, oleh karena itu perlu dikurangi dari

Dimungkinkan untuk membangun garis titik demi titik, sementara batas integrasi ditemukan seolah-olah "dengan sendirinya". Namun demikian, metode analitik untuk menemukan batas kadang-kadang masih harus digunakan jika, misalnya, grafiknya cukup besar, atau konstruksi berulir tidak mengungkapkan batas integrasi (bisa fraksional atau irasional).