Logaritma natural dari 0 sama dengan. Logaritma

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat ...")

Apa itu logaritma? Bagaimana cara memecahkan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap rumit, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya? Bagus. Sekarang, selama 10 - 20 menit Anda:

1. Memahami apa itu logaritma.

2. Belajar memecahkan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengarnya.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian, dan bagaimana angka dipangkatkan ...

Saya merasa Anda ragu ... Nah, pertahankan waktu! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam pikiran Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.

Logaritma bilangan b ke basis a adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan bilangan a untuk mendapatkan bilangan b.

Jika kemudian .

Logaritma sangat besaran matematika yang penting, karena kalkulus logaritmik memungkinkan tidak hanya untuk diselesaikan persamaan eksponensial, tetapi juga beroperasi dengan indikator, membedakan fungsi eksponensial dan logaritmik, mengintegrasikannya dan mengarah ke bentuk yang lebih dapat diterima untuk dihitung.

Berhubungan dengan

Semua properti logaritma berhubungan langsung dengan properti fungsi eksponensial. Misalnya fakta bahwa maksudnya:

Perlu dicatat bahwa saat memecahkan masalah tertentu, sifat logaritma mungkin lebih penting dan berguna daripada aturan untuk bekerja dengan kekuatan.

Berikut beberapa identitasnya:

Berikut adalah ekspresi aljabar utama:

;

.

Perhatian! hanya dapat ada untuk x>0, x≠1, y>0.

Mari kita coba memahami pertanyaan tentang apa itu logaritma natural. Minat terpisah dalam matematika mewakili dua jenis- yang pertama memiliki angka "10" di dasarnya, dan disebut " logaritma desimal". Yang kedua disebut alami. Basis logaritma natural adalah angka e. Tentang dia yang akan kita bicarakan secara rinci di artikel ini.

Sebutan:

• lg x - desimal;
• ln x - alami.

Menggunakan identitas, kita dapat melihat bahwa ln e = 1, dan juga lg 10=1.

grafik log natural

Kami membuat grafik logaritma natural dengan cara klasik standar berdasarkan poin. Jika mau, Anda dapat memeriksa apakah kita sedang membangun sebuah fungsi dengan benar dengan memeriksa fungsinya. Namun, masuk akal untuk mempelajari cara membuatnya "secara manual" untuk mengetahui cara menghitung logaritma dengan benar.

Fungsi: y = log x. Mari kita tulis tabel titik-titik yang akan dilewati grafik:

Mari kita jelaskan mengapa kita memilih nilai argumen x seperti itu. Ini semua tentang identitas: Untuk logaritma natural, identitas ini akan terlihat seperti ini:

Untuk kenyamanan, kita dapat mengambil lima titik referensi:

;

;

.

;

.

Jadi, menghitung logaritma natural adalah tugas yang cukup sederhana, terlebih lagi, ini menyederhanakan perhitungan operasi dengan kekuatan, mengubahnya menjadi perkalian biasa.

Setelah membuat grafik berdasarkan poin, kami mendapatkan grafik perkiraan:

Domain logaritma natural (yaitu, semua nilai yang valid dari argumen X) adalah semua angka yang lebih besar dari nol.

Perhatian! Domain definisi logaritma natural hanya mencakup angka positif! Ruang lingkup tidak termasuk x=0. Ini tidak mungkin berdasarkan syarat keberadaan logaritma.

Rentang nilai (yaitu semua nilai yang valid dari fungsi y = ln x) adalah semua angka dalam interval .

batas log alami

Mempelajari grafik, muncul pertanyaan - bagaimana fungsi berperilaku ketika y<0.

Jelas, grafik fungsi cenderung melintasi sumbu y, tetapi tidak akan dapat melakukannya, karena logaritma natural dari x<0 не существует.

Batas alam catatan dapat ditulis seperti ini:

Rumus untuk mengubah basis logaritma

Berurusan dengan logaritma natural jauh lebih mudah daripada berurusan dengan logaritma yang memiliki basis arbitrer. Itulah sebabnya kami akan mencoba mempelajari cara mengurangi logaritma apa pun menjadi logaritma alami, atau mengungkapkannya dalam basis arbitrer melalui logaritma natural.

Mari kita mulai dengan identitas logaritmik:

Maka angka atau variabel apa pun y dapat direpresentasikan sebagai:

di mana x adalah bilangan apa pun (positif menurut sifat-sifat logaritma).

Ungkapan ini dapat dibuat logaritmanya di kedua sisi. Mari kita lakukan ini dengan sembarang basis z:

Mari gunakan properti (hanya alih-alih "dengan" kita memiliki ekspresi):

Dari sini kita mendapatkan rumus universal:

.

Khususnya, jika z=e, maka:

.

Kami berhasil merepresentasikan logaritma ke basis arbitrer melalui rasio dua logaritma natural.

Kami memecahkan masalah

Untuk menavigasi logaritma natural dengan lebih baik, perhatikan contoh beberapa masalah.

Tugas 1. Persamaan ln x = 3 harus diselesaikan.

Larutan: Menggunakan definisi logaritma: jika , maka , kita dapatkan:

Tugas 2. Selesaikan persamaan (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Solusi: Menggunakan definisi logaritma: jika , maka , kita dapatkan:

.

Sekali lagi, kami menerapkan definisi logaritma:

.

Dengan demikian:

.

Anda dapat menghitung kira-kira jawabannya, atau Anda dapat membiarkannya dalam formulir ini.

Tugas 3. Selesaikan persamaan.

Larutan: Mari kita buat substitusi: t = ln x. Maka persamaan akan mengambil bentuk berikut:

.

Kami memiliki persamaan kuadrat. Mari kita temukan diskriminannya:

Akar pertama dari persamaan:

.

Akar kedua persamaan:

.

Mengingat bahwa kita membuat substitusi t = ln x, kita mendapatkan:

Dalam statistik dan teori probabilitas, besaran logaritmik sangat umum. Ini tidak mengherankan, karena angka e - seringkali mencerminkan tingkat pertumbuhan nilai eksponensial.

Dalam ilmu komputer, pemrograman dan teori komputer, logaritma cukup umum, misalnya untuk menyimpan N bit dalam memori.

Dalam teori fraktal dan dimensi, logaritma terus digunakan, karena dimensi fraktal ditentukan hanya dengan bantuannya.

Dalam mekanika dan fisika tidak ada bagian di mana logaritma tidak digunakan. Distribusi barometrik, semua prinsip termodinamika statistik, persamaan Tsiolkovsky, dan sebagainya adalah proses yang hanya dapat dijelaskan secara matematis menggunakan logaritma.

Dalam kimia, logaritma digunakan dalam persamaan Nernst, deskripsi proses redoks.

Hebatnya, bahkan dalam musik, untuk mengetahui jumlah bagian oktaf, digunakan logaritma.

Logaritma natural Fungsi y=ln x sifat-sifatnya

Bukti sifat utama logaritma natural

sering mengambil nomor e = 2,718281828 . Logaritma di pangkalan ini disebut alami. Saat melakukan perhitungan dengan logaritma natural, biasanya beroperasi dengan tanda lN, tapi tidak catatan; sedangkan nomor 2,718281828 , mendefinisikan basis, tidak menunjukkan.

Dengan kata lain, kata-kata akan terlihat seperti: logaritma alami angka X adalah eksponen yang akan dipangkatkan e, Untuk memperoleh X.

Jadi, Dalam(7.389...)= 2 karena e 2 =7,389... . Logaritma natural dari bilangan itu sendiri e= 1 karena e 1 =e, dan logaritma natural dari kesatuan sama dengan nol, karena e 0 = 1.

Nomor itu sendiri e mendefinisikan limit barisan terbatas monoton

menghitung itu e = 2,7182818284... .

Cukup sering, untuk memperbaiki nomor di memori, angka dari nomor yang diperlukan dikaitkan dengan beberapa tanggal yang beredar. Kecepatan mengingat sembilan digit pertama dari sebuah angka e setelah koma desimal akan bertambah jika diperhatikan bahwa 1828 adalah tahun kelahiran Leo Tolstoy!

Sampai saat ini, terdapat tabel logaritma natural yang cukup lengkap.

grafik log natural(fungsi y=di x) adalah konsekuensi dari plot eksponen sebagai bayangan cermin sehubungan dengan garis lurus y = x dan terlihat seperti:

Logaritma natural dapat ditemukan untuk setiap bilangan real positif A sebagai luas di bawah kurva y = 1/X dari 1 sebelum A.

Sifat dasar dari formulasi ini, yang cocok dengan banyak formula lain yang melibatkan logaritma natural, adalah alasan pembentukan nama "natural".

Jika kita menganalisis logaritma alami, sebagai fungsi nyata dari variabel nyata, maka ia bertindak fungsi invers ke fungsi eksponensial, yang direduksi menjadi identitas:

dalam(a)=a (a>0)

Dalam(e a)=a

Dengan analogi dengan semua logaritma, logaritma natural mengubah perkalian menjadi penjumlahan, pembagian menjadi pengurangan:

di(xy) = di(X) + di(y)

di(x/y)= lnx - lny

Logaritma dapat ditemukan untuk setiap basis positif yang tidak sama dengan satu, tidak hanya untuk e, tetapi logaritma untuk basis lain berbeda dari logaritma natural hanya dengan faktor konstanta, dan biasanya didefinisikan dalam bentuk logaritma natural.

Setelah dianalisis grafik log alami, kita mendapatkan bahwa itu ada untuk nilai positif dari variabel tersebut X. Ini meningkat secara monoton pada domain definisinya.

Pada X → 0 batas logaritma natural adalah minus tak terhingga ( -∞ ).Pada x → +∞ batas logaritma natural adalah ditambah tak terhingga ( + ∞ ). Pada umumnya X logaritma meningkat agak lambat. Fungsi daya apa pun xa dengan eksponen positif A meningkat lebih cepat dari logaritma. Logaritma natural adalah fungsi yang meningkat secara monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem.

Penggunaan logaritma natural sangat rasional dalam bagian matematika yang lebih tinggi. Dengan demikian, penggunaan logaritma cocok untuk menemukan jawaban persamaan di mana yang tidak diketahui muncul sebagai eksponen. Penggunaan logaritma natural dalam perhitungan memungkinkan untuk memfasilitasi sejumlah besar rumus matematika. logaritma dasar e hadir dalam memecahkan sejumlah besar masalah fisik dan secara alami termasuk dalam deskripsi matematis dari proses kimia, biologi dan proses lainnya. Jadi, logaritma digunakan untuk menghitung konstanta peluruhan untuk waktu paruh yang diketahui, atau untuk menghitung waktu peluruhan dalam memecahkan masalah radioaktivitas. Mereka memainkan peran utama dalam banyak bagian matematika dan ilmu praktis, mereka menggunakan bidang keuangan untuk menyelesaikan sejumlah besar masalah, termasuk dalam perhitungan bunga majemuk.

Pelajaran dan presentasi tentang topik: "Logaritma natural. Basis logaritma natural. Logaritma bilangan asli"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua materi diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10-11 "Logaritma"

Apa itu logaritma natural

Teman-teman, di pelajaran terakhir kita mempelajari nomor baru yang spesial - e Hari ini kita akan terus bekerja dengan nomor ini.
Kami telah mempelajari logaritma dan kami tahu bahwa basis logaritma dapat berupa himpunan angka yang lebih besar dari 0. Hari ini kami juga akan mempertimbangkan logaritma, yang didasarkan pada angka e. Logaritma semacam itu biasanya disebut logaritma natural . Ia memiliki notasinya sendiri: $\ln(n)$ adalah logaritma natural. Notasi ini setara dengan: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Fungsi eksponensial dan logaritma adalah kebalikannya, maka logaritma natural adalah kebalikan dari fungsi: $y=e^x$.
Fungsi invers simetris terhadap garis lurus $y=x$.
Mari plot logaritma natural dengan memplot fungsi eksponensial sehubungan dengan garis lurus $y=x$.

Perlu dicatat bahwa kemiringan garis singgung grafik fungsi $y=e^x$ pada titik (0;1) adalah 45°. Maka kemiringan garis singgung grafik logaritma natural di titik (1; 0) juga akan sama dengan 45°. Kedua garis singgung ini akan sejajar dengan garis $y=x$. Mari kita buat sketsa garis singgung:

Properti fungsi $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Bukan genap dan bukan ganjil.
3. Meningkat di seluruh domain definisi.
4. Tidak dibatasi dari atas, tidak dibatasi dari bawah.
5. Tidak ada nilai maksimal, tidak ada nilai minimal.
6. Terus menerus.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Cembung ke atas.
9. Dapat dibedakan di mana-mana.

Dalam kursus matematika yang lebih tinggi terbukti bahwa turunan dari fungsi invers adalah kebalikan dari turunan dari fungsi yang diberikan.
Tidak masuk akal untuk mempelajari buktinya, mari kita tulis saja rumusnya: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Contoh.
Hitung nilai turunan dari fungsi: $y=\ln(2x-7)$ di titik $x=4$.
Larutan.
Secara umum, fungsi kita diwakili oleh fungsi $y=f(kx+m)$, kita dapat menghitung turunan dari fungsi tersebut.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Mari hitung nilai turunan pada titik yang diminta: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Jawaban: 2.

Contoh.
Gambar garis singgung grafik fungsi $y=ln(x)$ di titik $x=e$.
Larutan.
Persamaan garis singgung grafik fungsi, pada titik $x=a$, kita ingat dengan baik.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Mari kita menghitung nilai yang dibutuhkan secara berurutan.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Persamaan tangen di titik $x=e$ adalah fungsi $y=\frac(x)(e)$.
Mari plot logaritma natural dan garis singgungnya.

Contoh.
Selidiki fungsi untuk kemonotonan dan ekstrem: $y=x^6-6*ln(x)$.
Larutan.
Domain dari fungsi $D(y)=(0;+∞)$.
Temukan turunan dari fungsi yang diberikan:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivatif ada untuk semua x dari domain definisi, maka tidak ada titik kritis. Mari kita temukan titik stasioner:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Intinya $х=-1$ bukan milik domain definisi. Kemudian kita memiliki satu titik stasioner $х=1$. Temukan interval kenaikan dan penurunan:

Titik $x=1$ adalah titik minimum, lalu $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Jawaban: Fungsi menurun pada segmen (0;1], fungsi meningkat pada ray $)