rumah › Sistem pendingin › Representasi logaritmik dari suatu bilangan. Logaritma

Representasi logaritmik dari suatu bilangan. Logaritma

Logaritma b (b > 0) ke basis a (a > 0, a ≠ 1) adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan b.

Logaritma basis 10 dari b dapat ditulis sebagai log(b), dan logaritma ke basis e (logaritma natural) - dalam (b).

Sering digunakan saat memecahkan masalah dengan logaritma:

Properti logaritma

Ada empat utama sifat-sifat logaritma.

Misalkan a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0.

Sifat 1. Logaritma hasil kali

Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Properti 2. Logaritma hasil bagi

Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma:

log a (x / y) = log a x – log a y

Sifat 3. Logaritma derajat

Logaritma derajat sama dengan produk dari derajat dan logaritma:

Jika basis logaritma dalam eksponen, maka rumus lain berlaku:

Properti 4. Logaritma akar

Sifat ini dapat diperoleh dari sifat logaritma derajat, karena akar derajat ke-n sama dengan pangkat 1/n:

Rumus untuk beralih dari logaritma di satu basis ke logaritma di basis lain

Rumus ini juga sering digunakan saat menyelesaikan berbagai tugas logaritma:

Kasus spesial:

Perbandingan logaritma (pertidaksamaan)

Misalkan kita memiliki 2 fungsi f(x) dan g(x) di bawah logaritma dengan basis yang sama dan ada tanda pertidaksamaan di antara keduanya:

Untuk membandingkannya, pertama-tama Anda harus melihat basis logaritma a:

Jika a > 0, maka f(x) > g(x) > 0
Jika 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Bagaimana memecahkan masalah dengan logaritma: contoh

Tugas dengan logaritma termasuk dalam USE dalam matematika untuk kelas 11 di tugas 5 dan tugas 7, Anda dapat menemukan tugas dengan solusi di situs web kami di bagian yang relevan. Juga, tugas dengan logaritma ditemukan di bank tugas dalam matematika. Anda dapat menemukan semua contoh dengan mencari di situs.

Apa itu logaritma

Logaritma selalu dipertimbangkan topik yang sulit dalam matematika sekolah. Ada banyak definisi logaritma yang berbeda, tetapi untuk beberapa alasan sebagian besar buku teks menggunakan definisi yang paling rumit dan tidak menguntungkan.

Kami akan mendefinisikan logaritma secara sederhana dan jelas. Mari buat tabel untuk ini:

Jadi, kita memiliki kekuatan dua.

Logaritma - properti, rumus, cara menyelesaikannya

Jika Anda mengambil angka dari baris terbawah, maka Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Ini bisa dilihat dari tabel.

Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:

basis a dari argumen x adalah pangkat yang harus dipangkatkan oleh bilangan a untuk mendapatkan bilangan x.

Notasi: log a x \u003d b, di mana a adalah basis, x adalah argumen, b sebenarnya sama dengan logaritma.

Misalnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Mungkin juga mencatat 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.

Operasi pencarian logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut. Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Sayangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Misalnya, coba temukan log 2 5. Angka 5 tidak ada di tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat di segmen tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Angka seperti itu disebut irasional: angka setelah titik desimal dapat ditulis tanpa batas waktu, dan tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik biarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya, banyak orang yang bingung mana pangkalnya dan mana dalilnya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:

Sebelum kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana Anda perlu menaikkan basis untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan menjadi kekuatan - dalam gambar itu disorot dengan warna merah. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu aturan yang luar biasa ini kepada siswa saya di pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan.

Cara menghitung logaritma

Kami menemukan definisinya - masih mempelajari cara menghitung logaritma, mis. singkirkan tanda "log". Sebagai permulaan, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti dari definisi tersebut:

Argumen dan basis harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat dengan eksponen rasional, yang definisi logaritmanya direduksi.
Basis harus berbeda dari kesatuan, karena satu unit untuk kekuatan apa pun tetaplah satu unit. Karena itu, pertanyaan "kekuasaan apa yang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua" tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti itu disebut rentang yang valid(ODZ). Ternyata ODZ dari logaritma terlihat seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Misalnya, logaritma mungkin negatif: log 2 0,5 = −1, karena 0,5 = 2 −1 .

Namun, sekarang kami hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, di mana tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ logaritma. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penyusun soal. Tetapi ketika persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik mulai berlaku, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Memang, dalam dasar dan argumen bisa ada konstruksi yang sangat kuat, yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang pertimbangkan skema umum perhitungan logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis terkecil yang mungkin lebih besar dari satu. Sepanjang jalan, lebih baik singkirkan pecahan desimal;
Selesaikan persamaan untuk variabel b: x = a b ;
Angka yang dihasilkan b akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangat relevan: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Demikian pula dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahan akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat bagaimana skema ini bekerja dengan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritma: log 5 25

Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Mendapat jawaban: 2.

Tugas. Hitung logaritma:

Tugas. Hitung logaritma: log 4 64

Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Mendapat jawaban: 3.

Tugas. Hitung logaritma: log 16 1

Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Mendapat tanggapan: 0.

Tugas. Hitung logaritma: log 7 14

Mari kita nyatakan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak direpresentasikan sebagai kekuatan tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
Mengikuti dari paragraf sebelumnya bahwa logaritma tidak dipertimbangkan;
Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Catatan kecil untuk contoh terakhir. Bagaimana cara memastikan bahwa suatu angka bukanlah kekuatan pasti dari angka lain? Sangat sederhana - cukup uraikan menjadi faktor prima. Jika setidaknya ada dua faktor berbeda dalam pemuaian, jumlahnya bukanlah pangkat yang tepat.

Tugas. Cari tahu apakah pangkat yang tepat dari angka tersebut adalah: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - derajat yang tepat, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan pangkat pasti karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - derajat pasti;
35 = 7 5 - sekali lagi bukan derajat yang tepat;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan derajat yang tepat;

Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.

Logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga memiliki nama dan penunjukan khusus.

dari argumen x adalah basis 10 logaritma, yaitu kekuatan yang 10 harus dinaikkan untuk mendapatkan x. Penunjukan: lgx.

Misalnya, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti "Temukan lg 0,01" muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda tidak terbiasa dengan penunjukan seperti itu, Anda selalu dapat menulis ulang:
log x = log 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk desimal.

logaritma alami

Ada logaritma lain yang memiliki notasinya sendiri. Dalam arti tertentu, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Ini tentang tentang logaritma natural.

dari argumen x adalah logaritma ke basis e, yaitu pangkat yang harus dipangkatkan bilangan e untuk mendapatkan bilangan x. Penunjukan: lnx.

Banyak yang akan bertanya: berapa angka e? Ini adalah bilangan irasional nilai yang tepat tidak mungkin ditemukan dan dicatat. Ini hanya angka pertama:
e = 2,718281828459…

Kami tidak akan menyelidiki apa nomor ini dan mengapa itu diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis logaritma alami:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1; log e 2 = 2; Dalam e 16 = 16 - dst. Di sisi lain, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari setiap bilangan rasional adalah irasional. Kecuali, tentu saja, kesatuan: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.

Lihat juga:

Logaritma. Properti logaritma (pangkat logaritma).

Bagaimana cara merepresentasikan angka sebagai logaritma?

Kami menggunakan definisi logaritma.

Logaritma adalah indikator kekuatan yang basisnya harus dinaikkan untuk mendapatkan angka di bawah tanda logaritma.

Jadi, untuk merepresentasikan bilangan tertentu c sebagai logaritma ke basis a, Anda perlu meletakkan derajat dengan basis yang sama dengan basis logaritma di bawah tanda logaritma, dan menuliskan bilangan c ini ke dalam eksponen:

Dalam bentuk logaritma, Anda dapat merepresentasikan angka apa pun - positif, negatif, bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional:

Agar tidak membingungkan a dan c dalam kondisi stres ujian atau ujian, Anda dapat menggunakan aturan berikut untuk diingat:

yang di bawah turun, yang di atas naik.

Misalnya, Anda ingin merepresentasikan angka 2 sebagai logaritma ke basis 3.

Kami memiliki dua angka - 2 dan 3. Angka-angka ini adalah basis dan eksponen, yang akan kami tulis di bawah tanda logaritma. Tetap menentukan mana dari angka-angka ini yang harus ditulis, di dasar derajat, dan mana - di atas, dalam eksponen.

Basis 3 dalam catatan logaritma ada di bagian bawah, artinya ketika kita menyatakan deuce sebagai logaritma ke basis 3, kita juga akan menuliskan 3 ke bawah.

2 lebih tinggi dari 3. Dan dalam notasi derajat, kita tulis dua di atas tiga, yaitu dalam eksponen:

Logaritma. Tingkat pertama.

Logaritma

logaritma nomor positif B dengan alasan A, Di mana a > 0, a ≠ 1, adalah eksponen yang harus dipangkatkan. A, Untuk memperoleh B.

Definisi logaritma secara singkat dapat ditulis seperti ini:

Kesetaraan ini berlaku untuk b > 0, a > 0, a ≠ 1. Dia biasa dipanggil identitas logaritmik.
Tindakan menemukan logaritma suatu bilangan disebut logaritma.

Properti logaritma:

Logaritma produk:

Logaritma hasil bagi dari pembagian:

Mengganti basis logaritma:

Logaritma derajat:

logaritma akar:

Logaritma dengan basis daya:

Logaritma desimal dan natural.

Logaritma desimal angka panggil logaritma basis 10 dari angka itu dan tulis lg B
logaritma alami angka memanggil logaritma dari angka ini ke basis e, Di mana e adalah bilangan irasional, kira-kira sama dengan 2,7. Pada saat yang sama, mereka menulis ln B.

Catatan Lain tentang Aljabar dan Geometri

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti angka apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara yang memungkinkan. Tetapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut properti dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan tanpanya. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penambahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangi, dan:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: titik kunci di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritmik bahkan ketika masing-masing bagiannya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh-contohnya dan lihat:

log 6 4 + log 6 9.

Karena basis logaritma sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 2 48 − log 2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka yang cukup normal diperoleh. Berdasarkan fakta ini, banyak kertas ujian. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (terkadang - hampir tanpa perubahan) ditawarkan pada ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat dikeluarkan dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Sangat mudah untuk melihat itu aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.

Bagaimana memecahkan logaritma

Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 7 49 6 .

Mari singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Kita punya:

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikatornya - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebut memiliki angka yang sama: log 2 7. Karena log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan yang tepat dari angka yang sama?

Rumus untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma log a x diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa dimungkinkan untuk menukar basis dan argumen logaritma, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi "dibalik", yaitu. logaritma ada di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari pertimbangkan beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Sekarang mari kita balik logaritma kedua:

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menghitung logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari tuliskan dan singkirkan indikatornya:

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

Identitas logaritmik dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk merepresentasikan angka sebagai logaritma ke basis tertentu.

Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Ini disebut seperti ini:

Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dinaikkan sedemikian rupa sehingga angka b dalam derajat ini menghasilkan angka a? Itu benar: ini adalah angka yang sama a. Baca lagi paragraf ini dengan hati-hati - banyak orang "bertahan" di situ.

Seperti rumus pindah ke basis baru, yang utama identitas logaritmik terkadang itu adalah satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari alas dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

Jika seseorang tidak mengetahuinya, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu 🙂

Satuan logaritmik dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit disebut properti - sebaliknya, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

log a a = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma ke basis apa pun a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
log a 1 = 0 adalah. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya nol! Karena 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan soal.

Ekspresi logaritmik, solusi contoh. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugas tersebut menimbulkan pertanyaan untuk menemukan nilai ekspresi. Perlu dicatat bahwa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan sangat penting untuk memahami artinya. Adapun USE, logaritma digunakan dalam menyelesaikan persamaan, dalam masalah terapan, dan juga dalam tugas yang berkaitan dengan studi fungsi.

Berikut adalah contoh untuk memahami arti logaritma:

Identitas logaritmik dasar:

Properti logaritma yang harus selalu Anda ingat:

*Logaritma hasil perkalian sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

* * *

* Logaritma hasil bagi (pecahan) sama dengan selisih logaritma faktor.

* * *

* Logaritma derajat sama dengan perkalian eksponen dan logaritma basisnya.

* * *

* Transisi ke basis baru

* * *

Lebih banyak properti:

* * *

Komputasi logaritma sangat erat kaitannya dengan penggunaan sifat-sifat eksponen.

Kami mencantumkan beberapa di antaranya:

Inti dari sifat ini adalah ketika memindahkan pembilang ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah menjadi kebalikannya. Misalnya:

Konsekuensi dari properti ini:

* * *

Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.

* * *

Seperti yang Anda lihat, konsep logaritma itu sendiri sederhana. Yang utama adalah diperlukan latihan yang baik, yang memberikan keterampilan tertentu. Tentu pengetahuan tentang rumus adalah wajib. Jika keterampilan mengonversi logaritma dasar tidak terbentuk, maka saat menyelesaikan tugas sederhana, seseorang dapat dengan mudah membuat kesalahan.

Berlatih, selesaikan contoh paling sederhana dari kursus matematika terlebih dahulu, lalu lanjutkan ke yang lebih kompleks. Di masa mendatang, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma yang "jelek" diselesaikan, tidak akan ada yang seperti itu di ujian, tetapi menarik, jangan lewatkan!

Itu saja! Semoga beruntung untukmu!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda menceritakan tentang situs tersebut di jejaring sosial.

Kami terus mempelajari logaritma. Pada artikel ini kita akan berbicara tentang perhitungan logaritma, proses ini disebut logaritma. Pertama, kita akan membahas perhitungan logaritma menurut definisi. Selanjutnya, pertimbangkan bagaimana nilai logaritma ditemukan menggunakan propertinya. Setelah itu, kita akan memikirkan perhitungan logaritma melalui nilai logaritma lain yang awalnya diberikan. Terakhir, mari pelajari cara menggunakan tabel logaritma. Seluruh teori dilengkapi dengan contoh-contoh dengan solusi terperinci.

navigasi halaman.

Menghitung logaritma menurut definisi

Dalam kasus yang paling sederhana, dimungkinkan untuk melakukan dengan cepat dan mudah menemukan logaritma menurut definisi. Mari kita lihat lebih dekat bagaimana proses ini terjadi.

Esensinya adalah untuk merepresentasikan angka b dalam bentuk a c , di mana, menurut definisi logaritma, angka c adalah nilai logaritma. Artinya, menurut definisi, menemukan logaritma sesuai dengan rangkaian persamaan berikut: log a b=log a a c =c .

Jadi, perhitungan logaritma, menurut definisi, bermuara pada menemukan bilangan c sehingga a c \u003d b, dan bilangan c itu sendiri adalah nilai logaritma yang diinginkan.

Mengingat informasi dari paragraf sebelumnya, ketika angka di bawah tanda logaritma diberikan oleh beberapa derajat basis logaritma, maka Anda dapat segera menunjukkan apa yang sama dengan logaritma - itu sama dengan eksponen. Mari kita tunjukkan contoh.

Contoh.

Temukan log 2 2 −3 , dan hitung juga logaritma natural dari e 5.3 .

Larutan.

Definisi logaritma memungkinkan kita untuk langsung mengatakan bahwa log 2 2 −3 = −3 . Memang, angka di bawah tanda logaritma sama dengan basis 2 pangkat −3.

Demikian pula, kami menemukan logaritma kedua: lne 5.3 =5.3.

Menjawab:

log 2 2 −3 = −3 dan lne 5.3 =5.3 .

Jika angka b di bawah tanda logaritma tidak diberikan sebagai kekuatan basis logaritma, maka Anda perlu mempertimbangkan dengan hati-hati apakah mungkin untuk menghasilkan representasi angka b dalam bentuk a c . Seringkali representasi ini cukup jelas, terutama ketika angka di bawah tanda logaritma sama dengan basis pangkat 1, atau 2, atau 3, ...

Contoh.

Hitung logaritma log 5 25 , dan .

Larutan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa 25=5 2 , ini memungkinkan Anda menghitung logaritma pertama: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Kami melanjutkan ke perhitungan logaritma kedua. Angka dapat direpresentasikan sebagai kekuatan 7: (lihat jika perlu). Karena itu, .

Mari tulis ulang logaritma ketiga dalam bentuk berikut. Sekarang Anda bisa melihatnya , dari mana kita menyimpulkan itu . Oleh karena itu, menurut definisi logaritma .

Secara singkat, solusinya dapat ditulis sebagai berikut:

Menjawab:

log 5 25=2 , Dan .

Ketika bilangan asli yang cukup besar berada di bawah tanda logaritma, maka tidak ada salahnya untuk menguraikannya menjadi faktor prima. Seringkali membantu untuk merepresentasikan angka seperti kekuatan basis logaritma, dan oleh karena itu, menghitung logaritma ini dengan definisi.

Contoh.

Temukan nilai logaritma.

Larutan.

Beberapa properti logaritma memungkinkan Anda untuk segera menentukan nilai logaritma. Properti ini termasuk properti logaritma satu dan properti logaritma angka yang sama dengan basis: log 1 1=log a a 0 =0 dan log a a=log a a 1 =1 . Artinya, ketika angka 1 atau angka a berada di bawah tanda logaritma, sama dengan basis logaritma, maka dalam kasus ini logaritma masing-masing adalah 0 dan 1.

Contoh.

Apa itu logaritma dan lg10?

Larutan.

Sejak , Ini mengikuti dari definisi logaritma .

Pada contoh kedua, angka 10 di bawah tanda logaritma bertepatan dengan alasnya, sehingga logaritma desimal dari sepuluh sama dengan satu, yaitu lg10=lg10 1 =1 .

Menjawab:

DAN lg10=1 .

Perhatikan bahwa menghitung logaritma menurut definisi (yang telah kita bahas di paragraf sebelumnya) menyiratkan penggunaan persamaan log a a p =p , yang merupakan salah satu sifat logaritma.

Dalam praktiknya, ketika angka di bawah tanda logaritma dan basis logaritma dengan mudah direpresentasikan sebagai kekuatan dari suatu angka, akan sangat mudah untuk menggunakan rumus , yang sesuai dengan salah satu sifat logaritma. Pertimbangkan contoh menemukan logaritma, yang menggambarkan penggunaan rumus ini.

Contoh.

Hitung logaritma dari .

Larutan.

Menjawab:

Properti logaritma yang tidak disebutkan di atas juga digunakan dalam perhitungan, tetapi kita akan membicarakannya di paragraf berikut.

Menemukan logaritma dalam bentuk logaritma lain yang diketahui

Informasi dalam paragraf ini melanjutkan topik penggunaan properti logaritma dalam perhitungannya. Tetapi di sini perbedaan utamanya adalah bahwa sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyatakan logaritma asli dalam bentuk logaritma lain, yang nilainya diketahui. Mari kita ambil contoh untuk klarifikasi. Katakanlah kita tahu bahwa log 2 3≈1.584963 , maka kita dapat menemukan, misalnya, log 2 6 dengan melakukan sedikit transformasi menggunakan sifat-sifat logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dalam contoh di atas, cukup bagi kita untuk menggunakan properti logaritma hasil kali. Namun, lebih sering Anda harus menggunakan gudang properti logaritma yang lebih luas untuk menghitung logaritma asli dalam kaitannya dengan yang diberikan.

Contoh.

Hitung logaritma dari 27 ke basis 60 jika diketahui bahwa log 60 2=a dan log 60 5=b .

Larutan.

Jadi kita perlu menemukan log 60 27 . Sangat mudah untuk melihat bahwa 27=3 3 , dan logaritma asli, karena sifat logaritma derajat, dapat ditulis ulang sebagai 3·log 60 3 .

Sekarang mari kita lihat bagaimana log 60 3 dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma yang diketahui. Properti logaritma angka yang sama dengan basis memungkinkan Anda menulis log persamaan 60 60=1 . Sebaliknya, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 + log 60 3+ log 60 5= 2 log 60 2+ log 60 3+ log 60 5 . Dengan demikian, 2 log 60 2+ log 60 3+ log 60 5=1. Karena itu, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Akhirnya, kami menghitung logaritma asli: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Menjawab:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Secara terpisah, perlu disebutkan arti rumus untuk transisi ke basis logaritma bentuk baru . Ini memungkinkan Anda untuk berpindah dari logaritma dengan basis apa pun ke logaritma dengan basis tertentu, yang nilainya diketahui atau dimungkinkan untuk menemukannya. Biasanya, dari logaritma asli, menurut rumus transisi, mereka beralih ke logaritma di salah satu basis 2, e atau 10, karena untuk basis ini terdapat tabel logaritma yang memungkinkannya dihitung dengan tingkat akurasi tertentu. Pada bagian selanjutnya, kami akan menunjukkan bagaimana hal ini dilakukan.

Tabel logaritma, penggunaannya

Untuk perkiraan perhitungan nilai logaritma, seseorang dapat menggunakan tabel logaritma. Yang paling umum digunakan adalah tabel logaritma basis 2, tabel logaritma natural, dan tabel logaritma desimal. Saat bekerja dalam sistem bilangan desimal, akan lebih mudah menggunakan tabel logaritma ke basis sepuluh. Dengan bantuannya, kita akan belajar menemukan nilai logaritma.

Tabel yang disajikan memungkinkan, dengan akurasi sepersepuluh ribu, untuk menemukan nilai logaritma desimal angka dari 1.000 hingga 9.999 (dengan tiga tempat desimal). Prinsip mencari nilai logaritma menggunakan tabel logaritma desimal akan dianalisis pada contoh spesifik- jauh lebih jelas. Ayo cari lg1,256 .

Di kolom kiri tabel logaritma desimal, kami menemukan dua digit pertama dari angka 1,256, yaitu, kami menemukan 1,2 (angka ini dilingkari dengan warna biru untuk kejelasan). Digit ketiga dari angka 1.256 (angka 5) terdapat di baris pertama atau terakhir di sebelah kiri garis ganda (nomor ini dilingkari merah). Digit keempat dari angka asli 1.256 (angka 6) terdapat di baris pertama atau terakhir di sebelah kanan garis ganda (nomor ini dilingkari hijau). Sekarang kita menemukan angka-angka dalam sel tabel logaritma di persimpangan baris yang ditandai dan kolom yang ditandai (angka-angka ini disorot oranye). Jumlah dari angka yang ditandai memberikan nilai logaritma desimal yang diinginkan hingga tempat desimal keempat, yaitu, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Apakah mungkin, dengan menggunakan tabel di atas, untuk menemukan nilai logaritma desimal dari bilangan yang memiliki lebih dari tiga digit setelah titik desimal, dan juga melampaui batas dari 1 hingga 9,999? Ya kamu bisa. Mari kita tunjukkan bagaimana ini dilakukan dengan sebuah contoh.

Mari menghitung lg102.76332 . Pertama, Anda perlu menulis nomor masuk bentuk standar : 102,76332=1,0276332 10 2 . Setelah itu, mantissa harus dibulatkan ke tempat desimal ketiga, kita punya 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, sedangkan logaritma desimal asli kira-kira sama dengan logaritma angka yang dihasilkan, yaitu, kita ambil lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sekarang terapkan properti logaritma: lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 = lg1.028+2. Terakhir, kita mencari nilai logaritma lg1,028 menurut tabel logaritma desimal lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Hasilnya, seluruh proses penghitungan logaritma terlihat seperti ini: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 = lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa dengan menggunakan tabel logaritma desimal, Anda dapat menghitung nilai perkiraan logaritma apa pun. Untuk melakukan ini, cukup menggunakan rumus transisi untuk beralih ke logaritma desimal, menemukan nilainya di tabel, dan melakukan perhitungan yang tersisa.

Sebagai contoh, mari kita hitung log 2 3 . Menurut rumus untuk transisi ke basis logaritma baru, kami memiliki . Dari tabel logaritma desimal kita temukan lg3≈0.4771 dan lg2≈0.3010. Dengan demikian, .

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Awal Analisis: Buku Teks untuk Kelas 10-11 Lembaga Pendidikan Umum.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan untuk pelamar ke sekolah teknik).

Hari ini kita akan berbicara tentang rumus logaritma dan memberikan demonstrasi contoh solusi.

Sendiri, mereka menyiratkan pola solusi sesuai dengan sifat dasar logaritma. Sebelum menerapkan rumus logaritma ke solusi, kami mengingatkan Anda, pertama-tama semua properti:

Sekarang, berdasarkan rumus (properti) ini, kami tampilkan contoh penyelesaian logaritma.

Contoh penyelesaian logaritma berdasarkan rumus.

Logaritma bilangan positif b pada basis a (dilambangkan log a b) adalah eksponen yang harus dipangkatkan a untuk mendapatkan b, dengan b > 0, a > 0, dan 1.

Menurut definisi log a b = x, yang setara dengan a x = b, jadi log a a x = x.

Logaritma, contoh:

log 2 8 = 3, karena 2 3 = 8

log 7 49 = 2 karena 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, karena 5 -1 = 1/5

Logaritma desimal adalah logaritma biasa, yang dasarnya adalah 10. Dilambangkan dengan lg.

log 10 100 = 2 karena 10 2 = 100

logaritma alami- juga logaritma logaritma biasa, tetapi dengan basis e (e \u003d 2.71828 ... - bilangan irasional). Disebut sebagai ln.

Sangat diinginkan untuk mengingat rumus atau sifat logaritma, karena kita akan membutuhkannya nanti saat menyelesaikan logaritma, persamaan logaritma, dan pertidaksamaan. Mari kita bahas setiap rumus lagi dengan contoh.

Identitas logaritmik dasar
log ab = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logaritma produk sama dengan jumlah logaritma
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Sifat-sifat derajat bilangan logaritma dan basis logaritma
Eksponen bilangan logaritma log a b m = mlog a b

eksponen dasar log logaritma a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

jika m = n, kita mendapatkan log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Transisi ke yayasan baru
log a b = log c b / log c a,
jika c = b, kita mendapatkan log b b = 1

lalu log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Seperti yang Anda lihat, rumus logaritma tidak serumit kelihatannya. Sekarang, setelah mempertimbangkan contoh pemecahan logaritma, kita dapat beralih ke persamaan logaritmik. Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian persamaan logaritma secara lebih rinci di artikel: "". Jangan lewatkan!

Jika Anda masih memiliki pertanyaan tentang solusinya, tulis di komentar artikel.

Catatan: memutuskan untuk mendapatkan pendidikan studi kelas lain di luar negeri sebagai pilihan.

Fokus artikel ini adalah logaritma. Di sini kami akan memberikan definisi logaritma, menunjukkan notasi yang diterima, memberikan contoh logaritma, dan berbicara tentang logaritma natural dan desimal. Setelah itu, pertimbangkan identitas logaritmik dasar.

navigasi halaman.

Definisi logaritma

Konsep logaritma muncul saat memecahkan masalah di dalam arti tertentu invers, ketika Anda perlu menemukan eksponen dari nilai derajat yang diketahui dan basis yang diketahui.

Tapi cukup basa-basi, saatnya menjawab pertanyaan "apa itu logaritma"? Mari kita berikan definisi yang sesuai.

Definisi.

Logaritma dari b ke basis a, di mana a>0 , a≠1 dan b>0 adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.

Pada tahap ini, kami mencatat bahwa kata yang diucapkan "logaritma" harus segera menimbulkan dua pertanyaan berikutnya: "angka berapa" dan "atas dasar apa". Dengan kata lain, tidak ada logaritma, tetapi hanya ada logaritma dari suatu bilangan di beberapa basis.

Kami akan segera memperkenalkan notasi logaritma: logaritma bilangan b ke basis a biasanya dinotasikan sebagai log a b . Logaritma bilangan b ke basis e dan logaritma ke basis 10 masing-masing memiliki sebutan khusus lnb dan lgb, yaitu, mereka tidak menulis log e b , tetapi lnb , dan bukan log 10 b , tetapi lgb .

Sekarang Anda dapat membawa: .
Dan catatannya tidak masuk akal, karena yang pertama ada bilangan negatif di bawah tanda logaritma, yang kedua - bilangan negatif di basis, dan yang ketiga - keduanya bilangan negatif di bawah tanda logaritma dan unit di pangkalan.

Sekarang mari kita bicara tentang aturan untuk membaca logaritma. Entri log a b dibaca sebagai "logaritma b ke basis a". Misalnya, log 2 3 adalah logaritma dari tiga ke basis 2, dan logaritma dari dua koma dua pertiga ke basis Akar pangkat dua dari lima. Logaritma ke basis e disebut logaritma alami, dan notasi lnb dibaca sebagai "logaritma natural dari b". Misalnya, ln7 adalah logaritma natural dari tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma natural dari pi. Logaritma ke basis 10 juga memiliki nama khusus - logaritma desimal, dan notasi lgb dibaca sebagai "logaritma desimal b". Misalnya, lg1 adalah logaritma desimal dari satu, dan lg2.75 adalah logaritma desimal dari dua koma tujuh puluh lima ratus.

Penting untuk memikirkan secara terpisah kondisi a>0, a≠1 dan b>0, di mana definisi logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana batasan ini berasal. Untuk melakukan ini, kita akan dibantu oleh persamaan bentuk yang disebut , yang secara langsung mengikuti definisi logaritma yang diberikan di atas.

Mari kita mulai dengan a≠1 . Karena satu sama dengan satu pangkat apa pun, maka persamaan hanya berlaku untuk b=1, tetapi log 1 1 dapat berupa bilangan real apa pun. Untuk menghindari ambiguitas ini, a≠1 diterima.

Mari kita buktikan kelayakan kondisi a>0 . Dengan a=0, menurut definisi logaritma, kita akan memiliki persamaan , yang hanya mungkin dengan b=0 . Tapi kemudian log 0 0 dapat berupa bilangan real bukan nol, karena nol pangkat bukan nol adalah nol. Ambiguitas ini dapat dihindari dengan kondisi a≠0 . Dan untuk<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Akhirnya, kondisi b>0 mengikuti pertidaksamaan a>0 , karena , dan nilai derajat dengan basis positif a selalu positif.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mengatakan bahwa definisi logaritma yang disuarakan memungkinkan Anda untuk segera menunjukkan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah derajat basis tertentu. Memang, definisi logaritma memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa jika b=a p , maka logaritma bilangan b ke basis a sama dengan p . Artinya, log persamaan a a p = p benar. Misalnya, kita tahu bahwa 2 3 =8 , maka log 2 8=3 . Kami akan berbicara lebih banyak tentang ini di artikel.

Populer dalam kategori: