Persamaan eksponensial adalah nol. persamaan eksponensial
Persamaan disebut eksponensial jika yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen. Persamaan eksponensial paling sederhana berbentuk: a x \u003d a b, di mana a> 0, dan 1, x tidak diketahui.
Sifat-sifat utama derajat, yang dengannya persamaan eksponensial diubah: a>0, b>0.
Saat memutuskan persamaan eksponensial nikmati juga properti berikut ini Fungsi eksponensial: y = a x , a > 0, a1:
Untuk menyatakan angka sebagai kekuatan, gunakan basis identitas logaritmik: b = , a > 0, a1, b > 0.
Tugas dan tes pada topik "Persamaan Eksponensial"
- persamaan eksponensial
Pelajaran: 4 Tugas: 21 Tes: 1
- persamaan eksponensial - Topik penting untuk mengulang ujian matematika
Tugas: 14
- Sistem persamaan eksponensial dan logaritmik - Fungsi eksponensial dan logaritmik Kelas 11
Pelajaran: 1 Tugas: 15 Tes: 1
- §2.1. Solusi persamaan eksponensial
Pelajaran: 1 Tugas: 27
- §7 Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik - Bagian 5. Fungsi eksponensial dan logaritmik Kelas 10
Pelajaran: 1 Tugas: 17
Untuk solusi sukses persamaan eksponensial Anda harus mengetahui sifat dasar pangkat, sifat fungsi eksponensial, identitas logaritmik dasar.
Saat memecahkan persamaan eksponensial, dua metode utama digunakan:
- transisi dari persamaan a f(x) = a g(x) ke persamaan f(x) = g(x);
- pengenalan baris baru.
Contoh.
1. Reduksi Persamaan menjadi Paling Sederhana. Mereka diselesaikan dengan membawa kedua sisi persamaan ke pangkat dengan basis yang sama.
3x \u003d 9x - 2.
Larutan:
3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
x = 2x -4;
x=4.
Menjawab: 4.
2. Persamaan diselesaikan dengan mengurung faktor persekutuan.
Larutan:
3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 x - 2 = 3
x - 2 = 1
x=3.
Menjawab: 3.
3. Persamaan Diselesaikan dengan Perubahan Variabel.
Larutan:
2 2x + 2 x - 12 = 0
Kami menunjukkan 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4. Persamaan tersebut tidak memiliki solusi, karena 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.
Menjawab: log 2 3.
4. Persamaan yang mengandung pangkat dengan dua basis yang berbeda (tidak dapat direduksi satu sama lain).
3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.
3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
x - 2 = 0
x = 2.
Menjawab: 2.
5. Persamaan yang homogen terhadap a x dan b x .
Bentuk umum: .
9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .
Larutan:
3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Nyatakan (3/2) x = y.
y 2 - 2,5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½. 
Menjawab: log 3/2 2; - log 3/2 2.
Solusi persamaan eksponensial. Contoh.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu ..."
Dan bagi mereka yang "sangat ...")
Apa yang terjadi persamaan eksponensial? Ini adalah persamaan di mana tidak diketahui (x) dan ekspresi dengannya indikator beberapa derajat. Dan hanya di sana! Itu penting.
Anda disana contoh persamaan eksponensial:
3 x 2 x = 8 x + 3
Catatan! Di dasar derajat (di bawah) - hanya angka. DI DALAM indikator derajat (atas) - berbagai macam ekspresi dengan x. Jika, tiba-tiba, sebuah x muncul dalam persamaan selain indikatornya, misalnya:
ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak memiliki aturan yang jelas untuk diselesaikan. Kami tidak akan mempertimbangkannya untuk saat ini. Di sini kita akan berurusan dengan solusi persamaan eksponensial dalam bentuknya yang paling murni.
Faktanya, bahkan persamaan eksponensial murni tidak selalu diselesaikan dengan jelas. Tetapi ada beberapa jenis persamaan eksponensial yang dapat dan harus diselesaikan. Ini adalah tipe-tipe yang akan kita lihat.
Solusi dari persamaan eksponensial paling sederhana.
Mari kita mulai dengan sesuatu yang sangat mendasar. Misalnya:
Bahkan tanpa teori apapun, dengan seleksi sederhana jelas bahwa x = 2. Tidak lebih, kan!? Tidak ada gulungan nilai x lainnya. Dan sekarang mari kita lihat solusi dari persamaan eksponensial yang rumit ini:
Apa yang telah kita lakukan? Faktanya, kami baru saja membuang pantat yang sama (tiga kali lipat). Benar-benar dibuang. Dan, apa yang menyenangkan, tepat sasaran!
Memang jika dalam persamaan eksponensial di sebelah kiri dan di sebelah kanan adalah sama angka dalam derajat apa pun, angka-angka ini dapat dihapus dan sama dengan eksponen. Matematika memungkinkan. Tetap memecahkan persamaan yang jauh lebih sederhana. Bagus, kan?)
Namun, mari kita ingat ironisnya: Anda dapat menghapus basis hanya ketika bilangan basis di kiri dan kanan berada dalam isolasi yang sangat baik! Tanpa tetangga dan koefisien. Katakanlah dalam persamaan:
2 x +2 x + 1 = 2 3 , atau
Anda tidak dapat menghapus ganda!
Nah, kami telah menguasai hal yang paling penting. Bagaimana berpindah dari ekspresi eksponensial jahat ke persamaan yang lebih sederhana.
"Inilah saat-saat itu!" - kamu bilang. "Siapa yang akan memberikan kontrol dan ujian primitif seperti itu !?"
Terpaksa setuju. Tidak ada yang mau. Tapi sekarang Anda tahu ke mana harus pergi saat memecahkan contoh yang membingungkan. Perlu diingat, ketika nomor basis yang sama ada di kiri - di kanan. Maka semuanya akan lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah matematika klasik. Kami mengambil contoh asli dan mengubahnya menjadi yang diinginkan kita pikiran. Menurut aturan matematika tentunya.
Perhatikan contoh-contoh yang membutuhkan upaya tambahan untuk membawanya ke yang paling sederhana. Mari kita panggil mereka persamaan eksponensial sederhana.
Solusi persamaan eksponensial sederhana. Contoh.
Saat memecahkan persamaan eksponensial, aturan utamanya adalah tindakan dengan kekuatan. Tanpa pengetahuan tentang tindakan ini, tidak ada yang akan berhasil.
Untuk tindakan dengan derajat, seseorang harus menambahkan pengamatan dan kecerdikan pribadi. Apakah kita memerlukan nomor dasar yang sama? Jadi kami mencarinya dalam contoh dalam bentuk eksplisit atau terenkripsi.
Mari kita lihat bagaimana ini dilakukan dalam praktiknya?
Mari beri kami contoh:
2 2x - 8 x+1 = 0
Pandangan pertama pada tanah. Mereka... Mereka berbeda! Dua dan delapan. Tapi masih terlalu dini untuk berkecil hati. Sudah waktunya untuk mengingat itu
Dua dan delapan adalah kerabat dalam derajat.) Sangat mungkin untuk menuliskan:
8 x+1 = (2 3) x+1
Jika kita mengingat rumus dari tindakan dengan kekuatan:
(a n) m = a nm ,
umumnya berfungsi dengan baik:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Contoh asli terlihat seperti ini:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Kami mentransfer 2 3 (x+1) ke kanan (tidak ada yang membatalkan tindakan dasar matematika!), kita mendapatkan:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
Itu saja. Menghapus basis:
Kami memecahkan monster ini dan mendapatkan
Ini adalah jawaban yang benar.
Dalam contoh ini, mengetahui kekuatan dua membantu kita. Kami diidentifikasi di delapan, deuce terenkripsi. Teknik ini (mengkodekan basis umum di bawah angka yang berbeda) adalah trik yang sangat populer dalam persamaan eksponensial! Ya, bahkan dalam logaritma. Seseorang harus dapat mengenali kekuatan angka lain dalam angka. Ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.
Faktanya adalah menaikkan angka berapa pun ke kekuatan apa pun bukanlah masalah. Lipat gandakan, bahkan di selembar kertas, dan itu saja. Misalnya, setiap orang dapat menaikkan 3 pangkat lima. 243 akan berubah jika Anda mengetahui tabel perkalian.) Tetapi dalam persamaan eksponensial, lebih sering tidak perlu dipangkatkan, tetapi sebaliknya ... nomor berapa sampai sejauh mana bersembunyi di balik angka 243, atau, katakanlah, 343... Tidak ada kalkulator yang akan membantu Anda di sini.
Anda perlu mengetahui kekuatan beberapa angka dengan melihat, ya ... Mari kita berlatih?
Tentukan kekuatan apa dan angka apa yang merupakan angka:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Jawaban (dalam kekacauan, tentu saja!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Jika Anda melihat lebih dekat, Anda dapat melihat fakta aneh. Ada lebih banyak jawaban daripada pertanyaan! Ya, itu terjadi... Misalnya, 2 6 , 4 3 , 8 2 semuanya 64.
Misalkan Anda telah mencatat informasi tentang kenalan dengan angka.) Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, kami menerapkan keseluruhan saham pengetahuan matematika. Termasuk dari kalangan menengah ke bawah. Anda tidak langsung melanjutkan ke SMA, bukan?
Misalnya, saat menyelesaikan persamaan eksponensial, sering kali membantu menghilangkan faktor persekutuan dari tanda kurung (halo ke kelas 7!). Mari kita lihat contohnya:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Dan sekali lagi, pandangan pertama - dengan alasan! Basis derajatnya berbeda ... Tiga dan sembilan. Dan kami ingin mereka sama. Nah, dalam hal ini, keinginan itu cukup bisa dilakukan!) Karena:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Menurut aturan yang sama untuk tindakan dengan derajat:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Itu bagus, Anda bisa menulis:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Jadi, apa selanjutnya!? Bertiga tidak bisa dibuang ... Jalan buntu?
Sama sekali tidak. Mengingat aturan keputusan yang paling universal dan kuat semua tugas matematika:
Jika Anda tidak tahu harus berbuat apa, lakukan apa yang Anda bisa!
Anda lihat, semuanya sudah terbentuk).
Apa yang ada dalam persamaan eksponensial ini Bisa Mengerjakan? Ya, sisi kiri langsung meminta tanda kurung! Faktor persekutuan dari 3 2x dengan jelas mengisyaratkan hal ini. Mari kita coba, dan kemudian kita akan melihat:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Contoh terus menjadi lebih baik dan lebih baik!
Kami ingat bahwa untuk menghilangkan basis, kami membutuhkan derajat murni, tanpa koefisien apa pun. Angka 70 mengganggu kita. Jadi kita membagi kedua sisi persamaan dengan 70, kita mendapatkan:
Op-pa! Semuanya baik-baik saja!
Ini adalah jawaban terakhir.
Namun, kebetulan taksi keluar dengan alasan yang sama diperoleh, tetapi likuidasi mereka tidak. Ini terjadi dalam persamaan eksponensial jenis lain. Ayo dapatkan tipe ini.
Perubahan variabel dalam menyelesaikan persamaan eksponensial. Contoh.
Mari kita selesaikan persamaan:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Pertama - seperti biasa. Mari beralih ke pangkalan. Untuk deuce.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Kami mendapatkan persamaan:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Dan di sini kita akan menggantung. Trik sebelumnya tidak akan berhasil, tidak peduli bagaimana Anda memutarnya. Kita harus mendapatkan dari gudang cara lain yang kuat dan serbaguna. Ini disebut substitusi variabel.
Inti dari metode ini sangat sederhana. Alih-alih satu ikon kompleks (dalam kasus kami, 2 x), kami menulis ikon lain yang lebih sederhana (misalnya, t). Penggantian yang tampaknya tidak berarti seperti itu menghasilkan hasil yang luar biasa!) Semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti!
Jadi biarkan
Kemudian 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Kami mengganti dalam persamaan kami semua kekuatan dengan x dengan t:
Nah, baru sadar?) Belum lupa persamaan kuadrat? Kami memecahkan melalui diskriminan, kami mendapatkan:
Di sini, yang utama adalah jangan berhenti, seperti yang terjadi ... Ini belum jawabannya, kita perlu x, bukan t. Kami kembali ke Xs, mis. membuat pengganti. Pertama untuk t 1:
Itu adalah,
Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua, dari t 2:
Um... Kiri 2 x, Kanan 1... Halangan? Ya, tidak sama sekali! Cukup diingat (dari tindakan dengan derajat, ya ...) bahwa itu adalah satu kesatuan setiap angka ke nol. Setiap. Apa pun yang Anda butuhkan, kami akan menaruhnya. Kami membutuhkan dua. Cara:
Sekarang itu saja. Punya 2 akar:
Inilah jawabannya.
Pada menyelesaikan persamaan eksponensial pada akhirnya, beberapa ekspresi canggung terkadang diperoleh. Jenis:
Dari ketujuh, deuce melalui gelar sederhana tidak akan berhasil. Mereka bukan saudara ... Bagaimana saya bisa berada di sini? Seseorang mungkin bingung ... Tapi orang yang membaca di situs ini topik "Apa itu logaritma?" , hanya tersenyum tipis dan tulis dengan tegas jawaban yang benar-benar benar:
Tidak ada jawaban seperti itu dalam tugas "B" pada ujian. Ada nomor tertentu yang diperlukan. Namun dalam tugas "C" - dengan mudah.
Pelajaran ini memberikan contoh penyelesaian persamaan eksponensial yang paling umum. Mari sorot yang utama.
1. Pertama-tama, kita lihat tanah derajat. Mari kita lihat apakah mereka tidak dapat dilakukan sama. Mari kita coba lakukan ini dengan menggunakan secara aktif tindakan dengan kekuatan. Jangan lupa bahwa angka tanpa x juga bisa diubah menjadi pangkat!
2. Kami mencoba membawa persamaan eksponensial ke bentuk ketika kiri dan kanan adalah sama angka untuk tingkat apapun. Kita gunakan tindakan dengan kekuatan Dan faktorisasi. Apa yang bisa dihitung dalam angka - kami hitung.
3. Jika saran kedua tidak berhasil, kami mencoba menerapkan substitusi variabel. Hasilnya bisa berupa persamaan yang mudah dipecahkan. Paling sering - persegi. Atau pecahan, yang juga direduksi menjadi persegi.
4. Agar berhasil menyelesaikan persamaan eksponensial, Anda perlu mengetahui derajat beberapa angka "dengan penglihatan".
Seperti biasa, di akhir pelajaran Anda diundang untuk memecahkan sedikit.) Sendiri. Dari yang sederhana sampai yang kompleks.
Selesaikan persamaan eksponensial:
Lebih sulit:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0
Cari hasil kali akar:
2 3-x + 2 x = 9
Telah terjadi?
Baiklah kalau begitu contoh yang paling sulit(memutuskan, bagaimanapun, dalam pikiran ...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Apa yang lebih menarik? Maka inilah contoh buruk bagi Anda. Cukup menarik pada peningkatan kesulitan. Saya akan mengisyaratkan bahwa dalam contoh ini, kecerdikan dan aturan paling universal untuk menyelesaikan semua tugas matematika disimpan.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Contohnya lebih sederhana, untuk relaksasi):
9 2 x - 4 3 x = 0
Dan untuk pencuci mulut. Temukan jumlah akar persamaan:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Ya ya! Ini adalah persamaan tipe campuran! Yang tidak kami pertimbangkan dalam pelajaran ini. Dan apa yang harus dipertimbangkan, mereka harus diselesaikan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan. Nah, dibutuhkan kecerdikan ... Dan ya, kelas tujuh akan membantu Anda (ini petunjuknya!).
Jawaban (berantakan, dipisahkan dengan titik koma):
1; 2; 3; 4; tidak ada solusi; 2; -2; -5; 4; 0.
Apakah semuanya berhasil? Besar.
Ada masalah? Tidak masalah! Di Bagian Khusus 555, semua persamaan eksponensial ini diselesaikan dengan penjelasan terperinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, tentu saja, ada tambahan informasi berharga tentang bekerja dengan segala macam persamaan eksponensial. Tidak hanya dengan ini.)
Satu pertanyaan menyenangkan terakhir untuk dipertimbangkan. Dalam pelajaran ini, kami bekerja dengan persamaan eksponensial. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata pun tentang ODZ di sini? Omong-omong, dalam persamaan, ini adalah hal yang sangat penting ...
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunan.
Kuliah: "Metode untuk memecahkan persamaan eksponensial."
1 . persamaan eksponensial.
Persamaan yang mengandung bilangan eksponen yang tidak diketahui disebut persamaan eksponensial. Yang paling sederhana adalah persamaan ax = b, di mana a > 0 dan a ≠ 1.
1) Untuk b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.
2) Untuk b > 0, dengan menggunakan monotonisitas fungsi dan teorema akar, persamaan tersebut memiliki akar tunggal. Untuk menemukannya, b harus direpresentasikan sebagai b = aс, ax = bс ó x = c atau x = logab.
Persamaan eksponensial, melalui transformasi aljabar, menghasilkan persamaan standar, yang diselesaikan dengan menggunakan metode berikut:
1) metode reduksi menjadi satu basis;
2) metode evaluasi;
3) metode grafis;
4) metode pengenalan variabel baru;
5) metode faktorisasi;
6) eksponensial - persamaan daya;
7) eksponensial dengan parameter.
2 . Metode reduksi menjadi satu basis.
Metode ini didasarkan pada sifat derajat berikut: jika dua derajat sama dan basisnya sama, maka eksponennya sama, yaitu persamaan harus dicoba untuk direduksi menjadi bentuk
Contoh. Selesaikan persamaan:
1 . 3x=81;
Mari kita nyatakan ruas kanan persamaan dalam bentuk 81 = 34 dan tuliskan persamaan yang setara dengan 3 x = 34 awal; x = 4. Jawaban: 4.
2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> dan lanjutkan ke persamaan eksponen 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Jawaban: 0,5
3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">
Perhatikan bahwa angka 0,2, 0,04, √5, dan 25 adalah pangkat 5. Mari manfaatkan ini dan ubah persamaan awalnya sebagai berikut:
,
di mana 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, dari mana kita menemukan solusi x = -1. Jawaban 1.
5. 3x = 5. Menurut definisi logaritma, x = log35. Jawaban: log35.
6. 62x+4 = 33x. 2x+8.
Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, yaitu..png" width="181" height="49 src="> Maka x - 4 =0, x = 4. Jawaban: 4.
7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Menggunakan sifat-sifat pangkat, kita menulis persamaan dalam bentuk e.x+1 = 2, x =1. Jawaban 1.
Bank tugas No.1.
Selesaikan persamaan:
Tes nomor 1.
1) 0 2) 4 3) -2 4) -4 |
|
A2 32x-8 = √3. | 1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4 |
A3 | 1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) tanpa akar |
1) 7;1 2) tanpa akar 3) -7;1 4) -1;-7 |
|
A5 | 1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0 |
A6 | 1) -1 2) 0 3) 2 4) 1 |
Tes #2
A1 | 1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1 |
A2 | 1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11 |
A3 | 1) 2;-1 2) tanpa akar 3) 0 4) -2;1 |
A4 | 1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2 |
A5 | 1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3 |
3 Metode penilaian.
Teorema akar: jika fungsi f(x) bertambah (berkurang) pada selang I, bilangan a adalah sembarang nilai yang diambil f pada selang ini, maka persamaan f(x) = a mempunyai akar tunggal pada selang I.
Saat menyelesaikan persamaan dengan metode estimasi, teorema ini dan sifat monoton dari fungsi tersebut digunakan.
Contoh. Selesaikan Persamaan: 1. 4x = 5 - x.
Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya menjadi 4x + x = 5.
1. jika x \u003d 1, maka 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 benar, maka 1 adalah akar persamaan.
Fungsi f(x) = 4x meningkat pada R dan g(x) = x meningkat pada R => h(x)= f(x)+g(x) meningkat pada R sebagai jumlah dari fungsi yang meningkat, jadi x = 1 adalah satu-satunya akar dari persamaan 4x = 5 – x. Jawaban 1.
2.
Larutan. Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk 
.
1. jika x = -1, maka 
, 3 = 3-benar, jadi x = -1 adalah akar persamaan.
2. buktikan bahwa itu unik.
3. Fungsi f(x) = - berkurang pada R, dan g(x) = - x - berkurang pada R => h(x) = f(x) + g(x) - berkurang pada R, sebagai penjumlahan dari penurunan fungsi. Jadi dengan teorema akar, x = -1 adalah satu-satunya akar persamaan. Jawaban 1.
Bank tugas No.2. memecahkan persamaan
a) 4x + 1 = 6 - x;
B) 
c) 2x – 2 =1 – x;
4. Metode pengenalan variabel baru.
Metode ini dijelaskan di bagian 2.1. Pengenalan variabel baru (substitusi) biasanya dilakukan setelah transformasi (penyederhanaan) suku-suku persamaan. Pertimbangkan contoh.
Contoh.
R makan persamaan: 1.
.
Mari kita tulis ulang persamaannya secara berbeda: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">
Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya secara berbeda: 
Tunjukkan https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - tidak cocok.
t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> adalah persamaan irasional. Perhatikan bahwa 
Solusi persamaan tersebut adalah x = 2,5 ≤ 4, jadi 2,5 adalah akar persamaan. Jawaban: 2.5.
Larutan. Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk dan bagi kedua ruas dengan 56x+6 ≠ 0. Kita mendapatkan persamaannya
2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, jadi..png" width="118" height="56">
Akar persamaan kuadrat– t1 = 1 dan t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.
Larutan . Kami menulis ulang persamaan dalam bentuk
dan perhatikan bahwa itu adalah persamaan homogen derajat kedua.
Bagilah persamaan dengan 42x, kita dapatkan 
Ganti https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .
Jawaban: 0; 0,5.
Bank Tugas #3. memecahkan persamaan
B) 
G) 
Tes #3 dengan pilihan jawaban. Tingkat minimal.
A1 | 1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2 |
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0. | 1) 2;1 2) -1;0 3) tanpa akar 4) 0 |
1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5 |
|
A4 52x-5x - 600 = 0. | 1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2 |
1) tanpa akar 2) 2;4 3) 3 4) -1;2 |
Tes #4 dengan pilihan jawaban. Tingkat umum.
A1 | 1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0 |
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0 | 1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1 |
1) 64 2) -14 3) 3 4) 8 |
|
1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0 |
|
A5 | 1) 0 2) 1 3) 0;1 4) tanpa akar |
5. Metode faktorisasi.
1. Selesaikan persamaan: 5x+1 - 5x-1 = 24.
Solusi..png" width="169" height="69"> , dari mana
2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.
Larutan. Mari kita keluarkan 6x di ruas kiri persamaan, dan 2x di ruas kanan. Kita mendapatkan persamaan 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.
Karena 2x >0 untuk semua x, kita dapat membagi kedua sisi persamaan ini dengan 2x tanpa takut kehilangan solusi. Kita dapatkan 3x = 1ó x = 0.
3. 
Larutan. Kami menyelesaikan persamaan dengan memfaktorkan.
Kami memilih kuadrat dari binomial 
4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">
x = -2 adalah akar persamaan.
Persamaan x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.
1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1
A2 3x+1 +3x-1 =270.
1) 2 2) -4 3) 0 4) 4
A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5
1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3
1) 1 2) -3 3) -1 4) 0
A5 2x -2x-4 = 15,x=4
1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2
Tes #6 Tingkat umum.
A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7. | 1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2 |
A2 | 1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0 |
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2. | 1) 2 2) -1 3) 3 4) -3 |
A4 | 1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4 |
A5 | 1) 2 2) -2 3) 5 4) 0 |
6. Eksponensial - persamaan daya.
Persamaan eksponensial digabungkan dengan apa yang disebut persamaan daya eksponensial, yaitu persamaan dalam bentuk (f(x))g(x) = (f(x))h(x).
Jika diketahui bahwa f(x)>0 dan f(x) ≠ 1, maka persamaan, seperti persamaan eksponensial, diselesaikan dengan menyamakan eksponen g(x) = f(x).
Jika kondisi tidak mengecualikan kemungkinan f(x)=0 dan f(x)=1, maka kita harus mempertimbangkan kasus ini saat menyelesaikan persamaan daya eksponensial.
1..png" width="182" height="116 src=">
2. 
Larutan. x2 +2x-8 - masuk akal untuk x apa pun, karena polinomial, jadi persamaannya setara dengan himpunan
https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">
B) 
7. Persamaan eksponensial dengan parameter.
1. Untuk nilai parameter p berapa persamaan 4 (5 – 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) miliki hanya keputusan?
Larutan. Mari kita perkenalkan perubahan 2x = t, t > 0, maka persamaan (1) akan berbentuk t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)
Diskriminan persamaan (2) adalah D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.
Persamaan (1) memiliki solusi unik jika persamaan (2) memiliki satu akar positif. Ini dimungkinkan dalam kasus-kasus berikut.
1. Jika D = 0, yaitu p = 1, maka persamaan (2) akan berbentuk t2 – 2t + 1 = 0, sehingga t = 1, sehingga persamaan (1) memiliki penyelesaian unik x = 0.
2. Jika p1, maka 9(p – 1)2 > 0, maka persamaan (2) memiliki dua akar yang berbeda t1 = p, t2 = 4p – 3. Himpunan sistem memenuhi syarat dari soal
Mengganti t1 dan t2 ke dalam sistem, kita punya
https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}
Larutan. Membiarkan 
maka persamaan (3) akan berbentuk t2 – 6t – a = 0. (4)
Mari kita temukan nilai parameter a yang setidaknya satu akar persamaan (4) memenuhi kondisi t > 0.
Mari kita perkenalkan fungsi f(t) = t2 – 6t – a. Kasus-kasus berikut dimungkinkan.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}
Kasus 2. Persamaan (4) memiliki solusi positif unik jika
D = 0, jika a = – 9, maka persamaan (4) akan berbentuk (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.
Kasus 3. Persamaan (4) memiliki dua akar, tetapi salah satunya tidak memenuhi pertidaksamaan t > 0. Hal ini dimungkinkan jika
https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}
Jadi, pada a 0 persamaan (4) memiliki satu akar positif 
. Maka persamaan (3) memiliki solusi unik 
Untuk sebuah< – 9 уравнение (3) корней не имеет.
jika sebuah< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
jika a = – 9, maka x = – 1;
jika 0, maka
Mari kita bandingkan metode untuk menyelesaikan persamaan (1) dan (3). Perhatikan bahwa saat menyelesaikan persamaan (1) direduksi menjadi persamaan kuadrat, yang diskriminannya adalah kuadrat penuh; dengan demikian, akar persamaan (2) segera dihitung dengan rumus akar persamaan kuadrat, dan kemudian ditarik kesimpulan mengenai akar tersebut. Persamaan (3) telah direduksi menjadi persamaan kuadrat (4), yang tidak diskriminan persegi penuh, oleh karena itu, saat menyelesaikan persamaan (3), disarankan untuk menggunakan teorema tentang letak akar trinomial kuadrat dan model grafis. Perhatikan bahwa persamaan (4) dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta.
Mari kita selesaikan persamaan yang lebih kompleks.
Tugas 3. Selesaikan persamaan 
Larutan. ODZ: x1, x2.
Mari perkenalkan penggantinya. Misalkan 2x = t, t > 0, maka sebagai hasil transformasi persamaan akan berbentuk t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Mari kita cari nilai a yang setidaknya satu akarnya persamaan (*) memenuhi syarat t > 0.
https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}
https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}
Jawab: jika a > - 13, a 11, a 5, lalu jika a - 13,
a = 11, a = 5, maka tidak ada akar.
Bibliografi.
1. Yayasan teknologi pendidikan Guzeev.
2. Teknologi Guzeev: dari penerimaan hingga filosofi.
M. "Kepala Sekolah" No. 4, 1996
3. Guzeev dan bentuk organisasi sedang belajar.
4. Guzeev dan praktik teknologi pendidikan integral.
M. "Pendidikan rakyat", 2001
5. Guzeev dari bentuk pelajaran - seminar.
Matematika di sekolah No. 2, 1987, hlm. 9 - 11.
6. Teknologi pendidikan selevko.
M. "Pendidikan rakyat", 1998
7. Anak sekolah Episheva belajar matematika.
M. "Pencerahan", 1990
8. Ivanov menyiapkan pelajaran - lokakarya.
Matematika di Sekolah No. 6, 1990, hlm. 37-40.
9. Model pengajaran matematika Smirnov.
Matematika di Sekolah No. 1 Tahun 1997, hlm. 32-36.
10. Cara Tarasenko mengatur kerja praktek.
Matematika di Sekolah No. 1 Tahun 1993, hal. 27 - 28.
11. Tentang salah satu jenis pekerjaan individu.
Matematika di Sekolah No. 2, 1994, hlm. 63 - 64.
12. Khazankin Keterampilan kreatif anak sekolah.
Matematika di Sekolah No. 2, 1989, hlm. 10.
13. Pindai. Penerbit, 1997
14. et al.Aljabar dan awal mula analisis. Materi didaktik Untuk
15. Tugas Krivonogov dalam matematika.
M. "Pertama September", 2002
16. Cherkasov. Buku pegangan untuk siswa sekolah menengah dan
memasuki universitas. "A S T - sekolah pers", 2002
17. Zhevnyak untuk pelamar ke universitas.
Minsk dan RF "Review", 1996
18. Tertulis D. Mempersiapkan ujian matematika. M.Rolf, 1999
19. dan lain-lain Belajar memecahkan persamaan dan pertidaksamaan.
M. "Intelek - Pusat", 2003
20. dan lain-lain Pendidikan - materi pelatihan untuk mempersiapkan E G E.
M. "Intelek - Pusat", 2003 dan 2004
21 dan lain-lain Varian dari CMM. Pusat Pengujian Kementerian Pertahanan Federasi Rusia, 2002, 2003
22. Persamaan Goldberg. "Kuantum" No. 3, 1971
23. Volovich M. Bagaimana cara mengajar matematika dengan sukses.
Matematika, 1997 No.3.
24 Okunev untuk pelajarannya, anak-anak! M. Pencerahan, 1988
25. Yakimanskaya - berorientasi pada pendidikan di sekolah.
26. Liimets mengerjakan pelajaran. M. Pengetahuan, 1975
Ke saluran youtube dari situs situs kami untuk mengetahui semua pelajaran video baru.
Pertama, mari kita mengingat kembali rumus dasar derajat dan sifat-sifatnya.
Produk nomor A terjadi dengan sendirinya sebanyak n kali, kita dapat menulis ungkapan ini sebagai a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. an a m = an + m
4. (an) m = nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
Persamaan daya atau eksponensial- ini adalah persamaan yang variabelnya dipangkatkan (atau eksponen), dan basisnya adalah angka.
Contoh persamaan eksponensial:
DI DALAM contoh ini angka 6 adalah basis, selalu di bawah, dan variabel X derajat atau ukuran.
Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponensial.
2x *5=10
16x-4x-6=0
Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponensial diselesaikan?
Mari kita ambil persamaan sederhana:
2 x = 2 3
Contoh seperti itu dapat dipecahkan bahkan di dalam pikiran. Dapat dilihat bahwa x = 3. Lagi pula, agar sisi kiri dan kanan sama, Anda harus meletakkan angka 3, bukan x.
Sekarang mari kita lihat bagaimana keputusan ini harus dibuat:
2 x = 2 3
x = 3
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kami menghapus alasan yang sama(yaitu, deuces) dan tuliskan apa yang tersisa, ini adalah derajat. Kami mendapat jawaban yang kami cari.
Sekarang mari kita meringkas solusi kita.
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Perlu untuk memeriksa sama apakah basis persamaan di kanan dan di kiri. Jika alasannya tidak sama, kami sedang mencari opsi untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Setelah alasnya sama, menyamakan derajat dan memecahkan persamaan baru yang dihasilkan.
Sekarang mari kita selesaikan beberapa contoh:
Mari kita mulai dengan sederhana.
Basis di sisi kiri dan kanan sama dengan angka 2, yang berarti kita dapat membuang alasnya dan menyamakan derajatnya.
x+2=4 Persamaan paling sederhana ternyata.
x=4 - 2
x=2
Jawaban: x=2
Pada contoh berikut, Anda dapat melihat bahwa basisnya berbeda, yaitu 3 dan 9.
3 3x - 9 x + 8 = 0
Untuk memulainya, kami memindahkan sembilan ke sisi kanan, kami mendapatkan:
Sekarang Anda perlu membuat pangkalan yang sama. Kita tahu bahwa 9=3 2 . Mari gunakan rumus pangkat (a n) m = a nm .
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Kami mendapatkan 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 sekarang jelas bahwa alas sisi kiri dan kanan adalah sama dan sama dengan tiga, artinya kita dapat membuangnya dan menyamakan derajatnya.
3x=2x+16 mendapatkan persamaan yang paling sederhana
3x-2x=16
x=16
Jawaban: x=16.
Mari kita lihat contoh berikut:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Pertama-tama, kita melihat alasnya, alasnya berbeda dua dan empat. Dan kita harus sama. Kami mengubah segi empat sesuai dengan rumus (a n) m = a nm .
4 x = (2 2) x = 2 2x
Dan kami juga menggunakan satu rumus a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Tambahkan ke persamaan:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Tapi nomor lain 10 dan 24 mengganggu kita, apa yang harus dilakukan dengan mereka? Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa di sisi kiri kita ulangi 2 2x, inilah jawabannya - kita dapat mengeluarkan 2 2x dari tanda kurung:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Mari kita hitung ekspresi dalam tanda kurung:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Kami membagi seluruh persamaan dengan 6:
Bayangkan 4=2 2:
2 2x \u003d 2 2 basisnya sama, buang dan samakan derajatnya.
2x \u003d 2 ternyata persamaan paling sederhana. Kami membaginya dengan 2, kami dapatkan
x = 1
Jawaban: x = 1.
Mari kita selesaikan persamaan:
9 x - 12*3 x +27= 0
Mari kita ubah:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Kami mendapatkan persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Basis kita sama, sama dengan 3. Dalam contoh ini, jelas bahwa triple pertama memiliki derajat dua kali (2x) dari yang kedua (hanya x). Dalam hal ini, Anda dapat memutuskan metode substitusi. Angka dengan derajat terkecil diganti dengan:
Kemudian 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Kami mengganti semua derajat dengan x dalam persamaan dengan t:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Kami mendapatkan persamaan kuadrat. Kami memecahkan melalui diskriminan, kami mendapatkan:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Kembali ke Variabel X.
Kami mengambil t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Itu adalah,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua, dari t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawab: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
Di situs ini Anda dapat di bagian BANTUAN MEMUTUSKAN untuk mengajukan pertanyaan yang menarik, kami pasti akan menjawab Anda.
Bergabung dengan grup
Solusi dari sebagian besar masalah matematika entah bagaimana terkait dengan transformasi ekspresi numerik, aljabar, atau fungsional. Ini berlaku terutama untuk solusinya. Dalam varian USE dalam matematika, jenis tugas ini mencakup, khususnya, tugas C3. Mempelajari cara menyelesaikan tugas C3 penting tidak hanya untuk tujuan itu pengiriman sukses Ujian Negara Bersatu, tetapi juga karena keterampilan ini berguna saat mempelajari mata kuliah matematika di pendidikan tinggi.
Melakukan tugas C3, Anda harus memutuskan jenis yang berbeda persamaan dan pertidaksamaan. Diantaranya adalah modul rasional, irasional, eksponensial, logaritma, trigonometri, berisi modul (nilai absolut), serta gabungan. Artikel ini membahas jenis utama persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, serta berbagai metode untuk menyelesaikannya. Baca tentang menyelesaikan jenis persamaan dan ketidaksetaraan lain di bawah judul "" dalam artikel yang ditujukan untuk metode penyelesaian masalah C3 dari GUNAKAN opsi matematika.
Sebelum melanjutkan ke analisis spesifik persamaan eksponensial dan pertidaksamaan, sebagai tutor matematika, saya sarankan Anda memoles beberapa bahan teoretis yang akan kita butuhkan.
Fungsi eksponensial
Apa itu fungsi eksponensial?
Lihat fungsi y = x, Di mana A> 0 dan A≠ 1, disebut Fungsi eksponensial.
Utama sifat fungsi eksponensial y = x:
Grafik fungsi eksponensial
Grafik fungsi eksponensial adalah eksponen:
Grafik fungsi eksponensial (eksponen)
Solusi persamaan eksponensial
indikatif disebut persamaan di mana variabel yang tidak diketahui hanya ditemukan dalam eksponen pangkat apa pun.
Untuk solusi persamaan eksponensial Anda perlu mengetahui dan dapat menggunakan teorema sederhana berikut:
Teorema 1. persamaan eksponensial A F(X) = A G(X) (Di mana A > 0, A≠ 1) setara dengan persamaan F(X) = G(X).
Selain itu, berguna untuk mengingat rumus dasar dan tindakan dengan derajat:
Title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Contoh 1 Selesaikan persamaan:
Larutan: gunakan rumus di atas dan substitusi:
Persamaannya kemudian menjadi:
Diskriminan dari persamaan kuadrat yang diperoleh adalah positif:
Title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Ini berarti bahwa persamaan ini memiliki dua akar. Kami menemukan mereka:
Kembali ke substitusi, kita mendapatkan:
Persamaan kedua tidak memiliki akar, karena fungsi eksponensial benar-benar positif di seluruh domain definisi. Mari kita selesaikan yang kedua:
Mempertimbangkan apa yang dikatakan dalam Teorema 1, kami beralih ke persamaan yang setara: X= 3. Ini akan menjadi jawaban tugas.
Menjawab: X = 3.
Contoh 2 Selesaikan persamaan:
Larutan: persamaan tidak memiliki batasan pada area nilai yang dapat diterima, karena ekspresi radikal masuk akal untuk nilai apa pun X(Fungsi eksponensial y = 9 4 -X positif dan tidak sama dengan nol).
Kami memecahkan persamaan dengan transformasi yang setara menggunakan aturan perkalian dan pembagian kekuatan:
Transisi terakhir dilakukan sesuai dengan Teorema 1.
Menjawab:X= 6.
Contoh 3 Selesaikan persamaan:
Larutan: kedua ruas persamaan awal dapat dibagi dengan 0,2 X. Transisi ini akan setara, karena ungkapan ini lebih besar dari nol untuk nilai apa pun X(fungsi eksponensial benar-benar positif pada domainnya). Kemudian persamaan tersebut berbentuk:
Menjawab: X = 0.
Contoh 4 Selesaikan persamaan:
Larutan: kami menyederhanakan persamaan menjadi persamaan dasar dengan transformasi setara menggunakan aturan pembagian dan perkalian pangkat yang diberikan di awal artikel:
Membagi kedua ruas persamaan dengan 4 X, seperti pada contoh sebelumnya, adalah transformasi ekuivalen, karena ekspresi ini tidak sama dengan nol untuk nilai apa pun X.
Menjawab: X = 0.
Contoh 5 Selesaikan persamaan:
Larutan: fungsi y = 3X, berdiri di sisi kiri persamaan, meningkat. Fungsi y = —X-2/3, berdiri di sisi kanan persamaan, menurun. Artinya jika grafik fungsi-fungsi tersebut berpotongan, maka paling banyak pada satu titik. DI DALAM kasus ini mudah ditebak bahwa grafik berpotongan pada suatu titik X= -1. Tidak akan ada akar lain.
Menjawab: X = -1.
Contoh 6 Selesaikan persamaan:
Larutan: kami menyederhanakan persamaan dengan transformasi yang setara, mengingat di mana-mana bahwa fungsi eksponensial pasti lebih besar dari nol untuk nilai apa pun X dan menggunakan aturan untuk menghitung produk dan kekuatan parsial yang diberikan di awal artikel:
Menjawab: X = 2.
Memecahkan pertidaksamaan eksponensial
indikatif disebut ketidaksetaraan di mana variabel yang tidak diketahui hanya terkandung dalam eksponen dari beberapa pangkat.
Untuk solusi pertidaksamaan eksponensial diperlukan pengetahuan tentang teorema berikut:
Teorema 2. Jika A> 1, maka pertidaksamaan A F(X) > A G(X) setara dengan pertidaksamaan dengan arti yang sama: F(X) > G(X). Jika 0< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) setara dengan pertidaksamaan dari makna yang berlawanan: F(X) < G(X).
Contoh 7 Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan: mewakili ketidaksetaraan asli dalam bentuk:
Bagilah kedua ruas pertidaksamaan ini dengan 3 2 X, dan (karena kepositifan fungsi y= 3 2X) tanda pertidaksamaan tidak akan berubah:
Mari kita gunakan substitusi:
Maka pertidaksamaan tersebut berbentuk:
Jadi, solusi untuk pertidaksamaan adalah interval:
beralih ke substitusi terbalik, kita mendapatkan:
Pertidaksamaan kiri, karena kepositifan fungsi eksponensial, terpenuhi secara otomatis. Menggunakan properti logaritma yang terkenal, kami beralih ke ketidaksetaraan yang setara:
Karena basis derajat adalah angka yang lebih besar dari satu, ekuivalen (berdasarkan Teorema 2) akan menjadi transisi ke ketidaksetaraan berikut:
Jadi akhirnya kita dapatkan menjawab:
Contoh 8 Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan: menggunakan sifat perkalian dan pembagian pangkat, kami menulis ulang pertidaksamaan dalam bentuk:
Mari perkenalkan variabel baru:
Dengan substitusi ini, pertidaksamaan berbentuk:
Kalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan 7, kita mendapatkan pertidaksamaan setara berikut:
Jadi, pertidaksamaan dipenuhi oleh nilai variabel berikut T:
Kemudian, kembali ke substitusi, kita mendapatkan:
Karena basis derajat di sini lebih besar dari satu, maka setara (berdasarkan Teorema 2) untuk beralih ke pertidaksamaan:
Akhirnya kita dapatkan menjawab:
Contoh 9 Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan:
Kami membagi kedua sisi ketidaksetaraan dengan ekspresi:
Itu selalu lebih besar dari nol (karena fungsi eksponensialnya positif), jadi tanda pertidaksamaannya tidak perlu diubah. Kita mendapatkan:
t , yang berada dalam interval:
Melewati substitusi terbalik, kami menemukan bahwa ketidaksetaraan asli terbagi menjadi dua kasus:
Pertidaksamaan pertama tidak memiliki solusi karena kepositifan fungsi eksponensial. Mari kita selesaikan yang kedua:
Contoh 10 Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan:
Cabang parabola y = 2X+2-X 2 diarahkan ke bawah, oleh karena itu dibatasi dari atas oleh nilai yang dicapai pada puncaknya:
Cabang parabola y = X 2 -2X+2, yang ada di indikator, diarahkan ke atas, yang artinya dibatasi dari bawah oleh nilai yang dicapai di atasnya:
Pada saat yang sama, fungsinya ternyata dibatasi dari bawah y = 3 X 2 -2X+2 di sisi kanan persamaan. Dia mencapai dia nilai terkecil di titik yang sama dengan parabola di eksponen, dan nilainya adalah 3 1 = 3. Jadi, pertidaksamaan awal hanya bisa benar jika fungsi di sebelah kiri dan fungsi di sebelah kanan mengambil nilai 3 pada satu titik (dengan melintasi rentang fungsi ini hanya angka ini). Kondisi ini terpenuhi pada satu titik X = 1.
Menjawab: X= 1.
Untuk mempelajari cara memecahkan persamaan eksponensial dan pertidaksamaan, Anda perlu terus melatih solusi mereka. Dalam masalah yang sulit ini, berbagai alat bantu pengajaran, buku soal matematika dasar, kumpulan soal lomba, kelas matematika di sekolah, serta sesi individu dengan tutor profesional. Saya dengan tulus berharap Anda sukses dalam persiapan Anda dan hasil yang cemerlang dalam ujian.
Sergey Valerevich
P.S. Para tamu yang terhormat! Tolong jangan tulis permintaan untuk menyelesaikan persamaan Anda di komentar. Sayangnya, saya tidak punya waktu untuk ini sama sekali. Pesan seperti itu akan dihapus. Silakan baca artikelnya. Mungkin di dalamnya Anda akan menemukan jawaban atas pertanyaan yang tidak memungkinkan Anda menyelesaikan tugas Anda sendiri.
