Ekspresi harfiah. Konversi ekspresi

Bahasa apa pun dapat mengungkapkan informasi yang sama kata yang berbeda dan turnover. Bahasa matematika tidak terkecuali. Tetapi ungkapan yang sama dapat ditulis secara setara dengan cara yang berbeda. Dan dalam beberapa situasi, salah satu entri lebih sederhana. Kami akan berbicara tentang menyederhanakan ekspresi dalam pelajaran ini.

Orang berkomunikasi terus bahasa berbeda. Bagi kami, perbandingan penting adalah pasangan "bahasa Rusia - bahasa matematika". Informasi yang sama dapat dilaporkan dalam berbagai bahasa. Tapi, selain itu, bisa diucapkan berbeda dalam satu bahasa.

Misalnya: “Peter berteman dengan Vasya”, “Vasya berteman dengan Petya”, “Peter dan Vasya berteman”. Dikatakan berbeda, tetapi satu dan sama. Dengan salah satu dari frasa ini, kami akan memahami apa yang dipertaruhkan.

Mari kita lihat kalimat ini: "Anak laki-laki Petya dan anak laki-laki Vasya adalah teman." Kami mengerti apa dalam pertanyaan. Namun, kami tidak menyukai bunyi frasa ini. Tidak bisakah kita menyederhanakannya, mengatakan hal yang sama, tetapi lebih sederhana? "Laki-laki dan laki-laki" - Anda bisa mengatakan sekali: "Laki-laki Petya dan Vasya adalah teman."

"Laki-laki" ... Bukankah dari nama mereka jelas bahwa mereka bukan perempuan. Kami menghapus "anak laki-laki": "Petya dan Vasya adalah teman." Dan kata "teman" bisa diganti dengan "teman": "Petya dan Vasya adalah teman." Alhasil, frasa pertama yang panjang dan jelek diganti dengan pernyataan setara yang lebih mudah diucapkan dan lebih mudah dipahami. Kami telah menyederhanakan frasa ini. Menyederhanakan berarti mengatakannya lebih mudah, tetapi tidak menghilangkan, tidak memutarbalikkan makna.

Hal yang sama terjadi dalam bahasa matematika. Hal yang sama bisa dikatakan berbeda. Apa artinya menyederhanakan ekspresi? Ini berarti bahwa untuk ekspresi aslinya ada banyak ekspresi yang setara, yaitu yang memiliki arti yang sama. Dan dari sekian banyak ini, kita harus memilih yang paling sederhana, menurut pendapat kita, atau yang paling cocok untuk keperluan kita selanjutnya.

Misalnya, pertimbangkan ekspresi numerik. Ini akan setara dengan .

Ini juga akan setara dengan dua yang pertama: .

Ternyata kita telah menyederhanakan ekspresi kita dan menemukan ekspresi padanan terpendek.

Untuk ekspresi numerik, Anda harus selalu melakukan semua pekerjaan dan mendapatkan ekspresi yang setara sebagai satu angka.

Pertimbangkan contoh ekspresi literal . Jelas, itu akan lebih sederhana.

Saat menyederhanakan ekspresi literal, Anda harus melakukan semua tindakan yang memungkinkan.

Apakah selalu diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi? Tidak, terkadang notasi yang setara tetapi lebih panjang akan lebih nyaman bagi kita.

Contoh: Kurangi angka dari angka.

Dimungkinkan untuk menghitung, tetapi jika angka pertama diwakili oleh notasi ekuivalennya: , maka perhitungannya akan seketika: .

Artinya, ungkapan yang disederhanakan tidak selalu bermanfaat bagi kita untuk perhitungan lebih lanjut.

Namun demikian, sangat sering kita dihadapkan pada tugas yang terdengar seperti "menyederhanakan ekspresi".

Sederhanakan ekspresi: .

Larutan

1) Lakukan tindakan dalam tanda kurung pertama dan kedua: .

2) Hitung produk: .

Jelas, ekspresi terakhir memiliki bentuk yang lebih sederhana daripada yang pertama. Kami telah menyederhanakannya.

Untuk menyederhanakan ekspresi, itu harus diganti dengan yang setara (sama).

Untuk menentukan ekspresi yang setara, Anda harus:

1) melakukan semua tindakan yang mungkin,

2) menggunakan sifat penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian untuk mempermudah perhitungan.

Sifat penjumlahan dan pengurangan:

1. Sifat komutatif penjumlahan: jumlahnya tidak berubah dari penataan ulang suku-sukunya.

2. Sifat asosiatif penjumlahan: untuk menjumlahkan bilangan ketiga dengan jumlah dua bilangan, Anda dapat menjumlahkan bilangan kedua dan ketiga dengan bilangan pertama.

3. Properti mengurangkan jumlah dari suatu angka: untuk mengurangi jumlah dari suatu angka, Anda dapat mengurangkan setiap suku satu per satu.

Sifat perkalian dan pembagian

1. Sifat komutatif perkalian: perkalian tidak berubah dari permutasi faktor.

2. Sifat asosiatif: untuk mengalikan suatu bilangan dengan perkalian dua bilangan, pertama-tama Anda dapat mengalikannya dengan faktor pertama, lalu mengalikan hasilnya dengan faktor kedua.

3. Sifat distributif perkalian: untuk mengalikan suatu bilangan dengan suatu penjumlahan, Anda harus mengalikannya dengan setiap suku secara terpisah.

Mari kita lihat bagaimana sebenarnya kita melakukan perhitungan mental.

Menghitung:

Larutan

1) Bayangkan caranya

2) Mari kita nyatakan pengali pertama sebagai jumlah suku bit dan lakukan perkalian:

3) Anda dapat membayangkan bagaimana dan melakukan perkalian:

4) Ganti faktor pertama dengan jumlah yang setara:

Hukum distributif juga dapat digunakan dalam sisi sebaliknya: .

Ikuti langkah ini:

1) 2)

Larutan

1) Untuk kenyamanan, Anda dapat menggunakan hukum distribusi, gunakan saja dalam arah yang berlawanan - keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

2) Mari kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung

Anda perlu membeli linoleum di dapur dan lorong. Area dapur - lorong -. Ada tiga jenis linoleum: untuk, dan rubel untuk. Berapa masing-masing dari tiga jenis linolium? (Gbr. 1)

Beras. 1. Ilustrasi kondisi masalah

Larutan

Metode 1. Anda dapat menemukan secara terpisah berapa banyak uang yang diperlukan untuk membeli linoleum di dapur, lalu menambahkannya ke lorong dan menjumlahkan karya yang dihasilkan.

Di awal pelajaran, kita akan meninjau sifat-sifat dasar akar kuadrat, dan kemudian kita akan melihat beberapa contoh yang sulit untuk menyederhanakan ekspresi yang mengandung akar kuadrat.

Subjek:Fungsi. Properti akar pangkat dua

Pelajaran:Mengonversi dan menyederhanakan ekspresi yang lebih kompleks dengan akar

1. Pengulangan sifat-sifat akar kuadrat

Mari kita ulangi teorinya secara singkat dan mengingat kembali sifat-sifat utama akar kuadrat.

Sifat-sifat akar kuadrat:

1. , oleh karena itu, ;

3. ;

4. .

2. Contoh penyederhanaan ekspresi dengan akar

Mari beralih ke contoh penggunaan properti ini.

Contoh 1: Sederhanakan ekspresi .

Larutan. Untuk menyederhanakan, angka 120 harus didekomposisi menjadi faktor prima:

Kami akan membuka kuadrat dari jumlah tersebut sesuai dengan rumus yang sesuai:

Contoh 2: Sederhanakan ekspresi .

Larutan. Kami memperhitungkan bahwa ungkapan ini tidak masuk akal untuk semua kemungkinan nilai variabel, karena ungkapan ini mengandung akar kuadrat dan pecahan, yang mengarah ke "penyempitan" rentang nilai yang dapat diterima. ODZ: ().

Kami membawa ekspresi dalam tanda kurung ke penyebut yang sama dan menulis pembilang pecahan terakhir sebagai selisih kuadrat:

Menjawab. pada.

Contoh 3: Sederhanakan ekspresi .

Larutan. Terlihat bahwa tanda kurung kedua pembilangnya memiliki bentuk yang janggal dan perlu disederhanakan, mari kita coba memfaktorkannya menggunakan metode pengelompokan.

Untuk dapat menghilangkan faktor persekutuan, kami menyederhanakan akar dengan memfaktorkannya. Gantikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam pecahan asli:

Setelah mengurangi pecahan, kami menerapkan rumus selisih kuadrat.

3. Contoh menyingkirkan irasionalitas

Contoh 4. Singkirkan irasionalitas (akar) pada penyebut: a) ; B) .

Larutan. a) Untuk menghilangkan irasionalitas pada penyebut, metode standar untuk mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan faktor konjugat ke penyebut digunakan (ungkapan yang sama, tetapi dengan tanda yang berlawanan). Ini dilakukan untuk melengkapi penyebut pecahan dengan selisih kuadrat, yang memungkinkan Anda untuk menghilangkan akar penyebut. Mari kita lakukan ini dalam kasus kita:

b) melakukan tindakan serupa:

4. Contoh pembuktian dan pemilihan kuadrat lengkap dalam radikal kompleks

Contoh 5. Buktikan persamaannya .

Bukti. Mari kita gunakan definisi akar kuadrat, yang darinya kuadrat dari ekspresi yang tepat harus sama dengan ekspresi akar:

. Mari kita buka tanda kurung sesuai dengan rumus kuadrat dari jumlah tersebut:

, kita mendapatkan persamaan yang benar.

Terbukti.

Contoh 6. Sederhanakan ekspresi.

Larutan. Ungkapan ini biasa disebut dengan radikal kompleks (akar di bawah akar). DI DALAM contoh ini perlu menebak untuk mengekstrak kuadrat penuh dari ekspresi radikal. Untuk melakukan ini, kami mencatat bahwa dari dua istilah itu adalah pesaing untuk peran perkalian ganda dalam rumus kuadrat selisih (perbedaan, karena ada minus). Kami menulisnya dalam bentuk produk seperti itu: , lalu untuk peran salah satu istilah persegi penuh klaim, dan untuk peran yang kedua - 1.

Mari kita gantikan ungkapan ini di bawah root.

Bagian 5 EKSPRESI DAN PERSAMAAN

Di bagian ini Anda akan belajar:

ü o ekspresi dan penyederhanaannya;

ü apa sifat-sifat persamaan;

ü cara menyelesaikan persamaan berdasarkan sifat-sifat persamaan;

ü jenis masalah apa yang diselesaikan dengan bantuan persamaan; apa itu garis tegak lurus dan bagaimana membangunnya;

ü garis apa yang disebut paralel dan bagaimana membangunnya;

ü apa itu bidang koordinat;

ü cara menentukan koordinat suatu titik pada bidang;

ü apa itu grafik ketergantungan antara jumlah dan bagaimana membangunnya;

ü bagaimana menerapkan materi yang dipelajari dalam praktik

§ 30. EKSPRESI DAN PENYEDERHANANYA

Anda sudah tahu apa itu ekspresi literal dan tahu cara menyederhanakannya menggunakan hukum penjumlahan dan perkalian. Misalnya, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . Dalam ekspresi yang dihasilkan, angka -8 disebut koefisien ekspresi.

Apakah ekspresi CD koefisien? Jadi. Sama dengan 1 karena cd - 1 ∙ cd .

Ingatlah bahwa mengubah ekspresi dengan tanda kurung menjadi ekspresi tanpa tanda kurung disebut perluasan tanda kurung. Contoh: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Tindakan kebalikan dalam contoh ini adalah mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Istilah yang mengandung faktor literal yang sama disebut istilah serupa. Dengan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, istilah serupa dibuat:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

Bx + 7y - 5.

Aturan ekspansi braket

1. Jika ada tanda “+” di depan tanda kurung, maka saat membuka tanda kurung, tanda istilah di dalam tanda kurung dipertahankan;

2. Jika ada tanda “-” di depan tanda kurung, maka pada saat tanda kurung dibuka, tanda suku di dalam tanda kurung dibalik.

Tugas 1 . Sederhanakan ekspresi:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 tahun -(-8 + 7 tahun ).

Solusi. 1. Ada tanda “+” di depan tanda kurung, oleh karena itu, saat membuka tanda kurung, tanda semua istilah dipertahankan:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Ada tanda “-” di depan tanda kurung, oleh karena itu, pada saat tanda kurung dibuka: tanda semua istilah dibalik:

15 - (- 8 + 7y) \u003d 15y + 8 - 7y \u003d 8y +8.

Untuk membuka tanda kurung, gunakan sifat distributif perkalian: a( b + c) = ab + ac. Jika a > 0, maka tanda suku B dan dengan tidak berubah. Jika sebuah< 0, то знаки слагаемых B dan dari dibalik.

Tugas 2. Sederhanakan ekspresi:

1) 2(6tahun -8) + 7tahun;

2) -5 (2-5x) + 12.

Solusi. 1. Faktor 2 di depan tanda kurung e adalah positif, oleh karena itu, saat membuka tanda kurung, tanda semua suku tetap: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Faktor -5 di depan tanda kurung e negatif, oleh karena itu, saat membuka tanda kurung, kami mengubah tanda semua suku menjadi kebalikannya:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Temukan lebih banyak lagi

1. Kata "jumlah" berasal dari bahasa Latin summa , yang berarti "total", "total".

2. Kata "plus" berasal dari bahasa Latin ditambah , yang artinya "lebih", dan kata "minus" - dari bahasa Latin dikurangi , yang artinya “kurang”. Tanda "+" dan "-" digunakan untuk menunjukkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Tanda-tanda ini diperkenalkan oleh ilmuwan Ceko J. Vidman pada tahun 1489 dalam buku "Akun yang cepat dan menyenangkan untuk semua pedagang"(Gbr. 138).

Beras. 138

INGAT HAL-HAL UTAMA

1. Istilah apa yang disebut serupa? Bagaimana istilah serupa dibangun?

2. Bagaimana cara membuka tanda kurung yang diawali dengan tanda “+”?

3. Bagaimana cara membuka tanda kurung yang diawali dengan tanda "-"?

4. Bagaimana cara membuka tanda kurung yang diawali dengan faktor positif?

5. Bagaimana cara membuka tanda kurung yang diawali dengan faktor negatif?

1374". Sebutkan koefisien ekspresi:

1) 12a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Sebutkan suku-suku yang hanya berbeda dalam koefisien:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Istilah-istilah ini disebut apa?

1376". Apakah ada istilah serupa dalam ungkapan:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". Apakah perlu mengubah tanda-tanda istilah dalam tanda kurung, membuka tanda kurung dalam ekspresi:

1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d ); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Sederhanakan ekspresi dan garis bawahi koefisien:

1379°. Sederhanakan ekspresi dan garis bawahi koefisien:

1380°. Kurangi istilah suka:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Kurangi istilah suka:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9b+12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:

1) 1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5 dtk + 5d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 dtk + 1 4 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.

1384°. Buka tanda kurung dan kurangi istilah serupa;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Buka tanda kurung dan kurangi istilah serupa:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Perluas tanda kurung dan temukan arti ungkapan:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Perluas tanda kurung dan temukan arti ungkapan:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Buka tanda kurung:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2.7-1.2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 T);

3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Buka tanda kurung:

1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Sederhanakan ungkapan:

1391. Sederhanakan ungkapan:

1392. Reduksi suku-suku sejenis:

1393. Kurangi istilah suka:

1394. Sederhanakan ungkapan:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, oleh) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Sederhanakan ungkapan:

1396. Temukan arti ungkapan itu;

1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), jika a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), jika = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Temukan nilai ekspresi:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), jika x = -0,25;

1398*. Temukan kesalahan dalam solusi:

1) 5- (a-2.4) -7 ∙ (-a + 1.2) \u003d 5a - 12-7a + 8.4 \u003d -2a-3.6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5a) \u003d -9,2a + 46 + 4,26 - 14,7a \u003d -5,5a + 8,26.

1399*. Perluas tanda kurung dan sederhanakan ekspresi:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Atur tanda kurung untuk mendapatkan persamaan yang benar:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan a dan b jika a > b , maka persamaan berikut berlaku:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Apakah persamaan ini benar jika: a) a< B; b) a = 6?

1402*. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan asli a, rata-rata aritmetika bilangan sebelum dan sesudahnya sama dengan a.

BERLAKU DALAM PRAKTEK

1403. Untuk menyiapkan makanan penutup buah untuk tiga orang, Anda membutuhkan: 2 apel, 1 jeruk, 2 pisang, dan 1 kiwi. Bagaimana cara membuat ekspresi literal untuk menentukan jumlah buah yang dibutuhkan untuk menyiapkan makanan penutup untuk tamu? Bantu Marin untuk menghitung berapa buah yang harus dia beli jika dia datang berkunjung: 1) 5 teman; 2) 8 teman.

1404. Membuat pernyataan literal untuk menentukan waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan rumah dalam matematika, jika:

1) satu menit dihabiskan untuk memecahkan masalah; 2) penyederhanaan ekspresi 2 kali lebih banyak daripada untuk memecahkan masalah. Berapa lama waktu yang dibutuhkan pekerjaan rumah Vasilko, jika dia menghabiskan 15 menit untuk memecahkan masalah?

1405. Makan siang di kantin sekolah terdiri dari salad, borscht, kubis gulung, dan kolak. Biaya salad adalah 20%, borscht - 30%, kubis gulung - 45%, kolak - 5% dari total biaya seluruh makanan. Tulislah sebuah ungkapan untuk mencari biaya makan siang di kantin sekolah. Berapa biaya makan siang jika harga salad adalah 2 UAH?

TUGAS PENGULANGAN

1406. Selesaikan persamaan:

1407. Tanya dihabiskan untuk es krimsemua uang yang tersedia, dan untuk permen -sisanya. Berapa banyak uang yang dimiliki Tanya?

jika permen harganya 12 UAH?

§ 1 Konsep menyederhanakan ekspresi literal

Dalam pelajaran ini, kita akan mengenal konsep "istilah serupa" dan, dengan menggunakan contoh, kita akan belajar bagaimana melakukan pengurangan suku sejenis, sehingga menyederhanakan ekspresi literal.

Mari kita cari tahu arti dari konsep "penyederhanaan". Kata "penyederhanaan" berasal dari kata "menyederhanakan". Menyederhanakan berarti menjadikan sederhana, lebih sederhana. Oleh karena itu, menyederhanakan ekspresi literal berarti membuatnya lebih pendek, dengan jumlah tindakan minimum.

Pertimbangkan ekspresi 9x + 4x. Ini adalah ekspresi literal yang merupakan jumlah. Istilah di sini disajikan sebagai produk dari angka dan huruf. Faktor numerik dari suku-suku tersebut disebut koefisien. Dalam ungkapan ini, koefisiennya adalah angka 9 dan 4. Perhatikan bahwa pengali yang diwakili oleh huruf itu sama untuk kedua suku dari penjumlahan ini.

Ingat hukum distributif perkalian:

Untuk mengalikan jumlah dengan angka, Anda dapat mengalikan setiap suku dengan angka ini dan menjumlahkan hasilnya.

DI DALAM pandangan umum ditulis sebagai berikut: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Hukum ini berlaku di kedua arah ac + bc = (a + b) ∙ c

Mari kita terapkan pada ekspresi literal kita: jumlah hasil kali 9x dan 4x sama dengan hasil kali, faktor pertama adalah hasil penjumlahan 9 dan 4, faktor kedua adalah x.

9 + 4 = 13 menghasilkan 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Alih-alih tiga tindakan dalam ekspresi, satu tindakan tetap - perkalian. Jadi, kami telah membuat ekspresi literal kami lebih sederhana, yaitu. disederhanakan itu.

§ 2 Pengurangan suku-suku sejenis

Suku 9x dan 4x hanya berbeda dalam koefisiennya - suku seperti itu disebut serupa. Bagian huruf dari istilah serupa adalah sama. Istilah serupa juga mencakup angka dan istilah yang sama.

Misalnya, dalam ekspresi 9a + 12 - 15, angka 12 dan -15 akan menjadi suku yang serupa, dan dalam jumlah hasil kali 12 dan 6a, angka 14 dan hasil kali 12 dan 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), suku-suku yang sama akan serupa, diwakili oleh hasil kali 12 dan 6a.

Penting untuk dicatat bahwa suku-suku yang memiliki koefisien yang sama dan faktor literal yang berbeda tidak serupa, meskipun terkadang berguna untuk menerapkan hukum distributif perkalian, misalnya, jumlah hasil kali 5x dan 5y sama dengan produk dari angka 5 dan jumlah dari x dan y

5x + 5y = 5(x + y).

Mari sederhanakan ekspresi -9a + 15a - 4 + 10.

Istilah serupa di kasus ini adalah suku -9a dan 15a, karena perbedaannya hanya pada koefisiennya. Mereka memiliki pengali huruf yang sama, dan suku -4 dan 10 juga serupa, karena merupakan angka. Kami menambahkan istilah serupa:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Kami mendapatkan: 6a + 6.

Menyederhanakan ekspresi, kami menemukan jumlah suku sejenis, dalam matematika ini disebut pengurangan suku sejenis.

Jika membawa istilah seperti itu sulit, Anda dapat menemukan kata-kata untuknya dan menambahkan objek.

Misalnya, pertimbangkan ekspresi:

Untuk setiap huruf kita ambil objek kita sendiri: b-apple, c-pear, maka akan didapat: 2 buah apel dikurangi 5 buah pir ditambah 8 buah pir.

Bisakah kita mengurangi pir dari apel? Tentu saja tidak. Tapi kita bisa menambahkan 8 buah pir menjadi minus 5 buah pir.

Kami memberikan istilah serupa -5 pir + 8 pir. Suku-suku sejenis memiliki bagian literal yang sama, oleh karena itu, saat mereduksi suku-suku sejenis, cukup menjumlahkan koefisien dan menambahkan bagian literal ke hasil:

(-5 + 8) pir - Anda mendapatkan 3 buah pir.

Kembali ke ekspresi literal kita, kita memiliki -5s + 8s = 3s. Jadi, setelah mengurangi suku-suku yang serupa, kita memperoleh ungkapan 2b + 3c.

Jadi, dalam pelajaran ini, Anda berkenalan dengan konsep "istilah serupa" dan belajar bagaimana menyederhanakan ekspresi literal dengan membawa suku-suku serupa.

Daftar literatur yang digunakan:

1. Matematika. Kelas 6: rencana pelajaran untuk buku teks oleh I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // penulis-kompiler L.A. Topilin. Mnemosyne 2009.
2. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk institusi pendidikan / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov dan lainnya / diedit oleh G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia, Akademi Pendidikan Rusia. M.: "Pencerahan", 2010.
4. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan umum / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
5. Matematika. Kelas 6: buku teks / G.K. Muravin, O.V. Semut. – M.: Bustard, 2014.

Gambar yang digunakan:

Tingkat pertama

Konversi ekspresi. Teori Detil (2019)

Konversi ekspresi

Seringkali kita mendengar ungkapan yang tidak menyenangkan ini: "sederhanakan ungkapan". Biasanya, dalam hal ini, kami memiliki monster seperti ini:

“Ya, jauh lebih mudah,” kata kami, tetapi jawaban seperti itu biasanya tidak berhasil.

Sekarang saya akan mengajari Anda untuk tidak takut dengan tugas semacam itu. Selain itu, di akhir pelajaran, Anda sendiri akan menyederhanakan contoh ini menjadi (hanya!) angka biasa (ya, persetan dengan huruf-huruf ini).

Tetapi sebelum Anda memulai pelajaran ini, Anda harus bisa menangani pecahan dan polinomial faktor. Oleh karena itu, pertama-tama, jika Anda belum pernah melakukan ini sebelumnya, pastikan untuk menguasai topik "" dan "".

Membaca? Jika ya, maka Anda siap.

Operasi penyederhanaan dasar

Sekarang kita akan menganalisis teknik utama yang digunakan untuk menyederhanakan ekspresi.

Yang paling sederhana adalah

1. Membawa serupa

Apa yang serupa? Anda melewati ini di kelas 7, ketika huruf pertama kali muncul dalam matematika, bukan angka. Serupa adalah suku-suku (monomial) dengan bagian huruf yang sama. Misalnya, dalam penjumlahan, suku-suku sejenis adalah dan.

Ingat?

Memunculkan suku-suku yang mirip berarti menjumlahkan beberapa suku yang mirip satu sama lain dan mendapatkan satu suku.

Tapi bagaimana kita bisa menyatukan huruf? - Anda bertanya.

Ini sangat mudah dipahami jika Anda membayangkan bahwa huruf-huruf itu adalah semacam benda. Misalnya, surat itu adalah kursi. Lalu apa ekspresinya? Dua kursi ditambah tiga kursi, berapa harganya? Itu benar, kursi: .

Sekarang coba ungkapan ini:

Agar tidak bingung, biarkan huruf yang berbeda menunjukkan objek yang berbeda. Misalnya, - ini (seperti biasa) kursi, dan - ini meja. Kemudian:

kursi meja kursi meja kursi kursi meja

Angka-angka yang digunakan untuk mengalikan huruf-huruf dalam suku-suku tersebut disebut koefisien. Misalnya, dalam monomial koefisiennya sama. Dan dia setara.

Jadi, aturan untuk membawa yang serupa:

Contoh:

Bawa yang serupa:

Jawaban:

2. (dan serupa, karena, oleh karena itu, istilah-istilah ini memiliki bagian huruf yang sama).

2. Faktorisasi

Ini biasanya yang paling banyak bagian penting dalam menyederhanakan ekspresi. Setelah Anda memberikan yang serupa, paling sering ekspresi yang dihasilkan harus difaktorkan, yaitu disajikan sebagai produk. Ini sangat penting dalam pecahan: lagipula, untuk mengurangi pecahan, pembilang dan penyebut harus direpresentasikan sebagai produk.

Anda mempelajari metode terperinci untuk memfaktorkan ekspresi dalam topik "", jadi di sini Anda hanya perlu mengingat apa yang telah Anda pelajari. Untuk melakukan ini, selesaikan beberapa contoh(untuk difaktorkan):

Solusi:

3. Pengurangan pecahan.

Nah, apa yang lebih baik daripada mencoret bagian pembilang dan penyebut, dan membuangnya dari hidup Anda?

Itulah keindahan singkatan.

Itu mudah:

Jika pembilang dan penyebutnya mengandung faktor yang sama, keduanya dapat dikurangi, yaitu dihilangkan dari pecahan.

Aturan ini mengikuti dari sifat dasar pecahan:

Artinya, inti dari operasi reduksi adalah itu Kami membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan angka yang sama (atau dengan ekspresi yang sama).

Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu:

1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali

2) jika pembilang dan penyebutnya berisi faktor umum, mereka dapat dihapus.

Prinsipnya, menurut saya, sudah jelas?

Saya ingin menarik perhatian Anda pada satu kesalahan umum dalam singkatan. Meskipun topik ini sederhana, tetapi banyak orang melakukan kesalahan tanpa menyadarinya memotong- ini berarti membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.

Tidak ada singkatan jika pembilang atau penyebutnya adalah hasil penjumlahan.

Misalnya: Anda perlu menyederhanakan.

Beberapa melakukan ini: yang benar-benar salah.

Contoh lain: kurangi.

"Yang paling cerdas" akan melakukan ini :.

Katakan apa yang salah di sini? Tampaknya: - ini adalah pengganda, jadi Anda bisa mengurangi.

Tapi tidak: - ini adalah faktor dari hanya satu suku di pembilang, tetapi pembilang itu sendiri secara keseluruhan tidak didekomposisi menjadi faktor.

Ini contoh lainnya: .

Ungkapan ini didekomposisi menjadi faktor, yang artinya Anda dapat mengurangi, yaitu membagi pembilang dan penyebut dengan, lalu dengan:

Anda dapat langsung membaginya dengan:

Untuk menghindari kesalahan seperti itu, ingatlah jalan mudah cara menentukan apakah suatu ekspresi difaktorkan:

Operasi aritmatika yang dilakukan terakhir saat menghitung nilai ekspresi adalah "utama". Artinya, jika Anda mengganti beberapa (apa saja) angka alih-alih huruf, dan mencoba menghitung nilai ekspresi, maka jika tindakan terakhir adalah perkalian, maka kita memiliki produk (ekspresi didekomposisi menjadi faktor). Jika tindakan terakhir adalah penjumlahan atau pengurangan, ini berarti ekspresi tersebut tidak difaktorkan (dan karenanya tidak dapat direduksi).

Untuk memperbaikinya, selesaikan sendiri beberapa contoh:

Jawaban:

1. Saya harap Anda tidak langsung terburu-buru memotong dan? Masih belum cukup untuk "mengurangi" unit seperti ini:

Langkah pertama adalah memfaktorkan:

4. Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Menjumlahkan dan mengurangkan pecahan biasa adalah operasi yang terkenal: kami mencari penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menjumlahkan / mengurangkan pembilangnya. Mari kita ingat:

Jawaban:

1. Penyebut dan adalah koprime, yaitu tidak memiliki faktor persekutuan. Oleh karena itu, KPK dari angka-angka ini sama dengan perkaliannya. Ini akan menjadi penyebut yang sama:

2. Di sini penyebut yang sama adalah:

3. Hal pertama di sini pecahan campuran mengubahnya menjadi yang salah, dan kemudian - sesuai dengan skema yang biasa:

Lain halnya jika pecahan mengandung huruf, misalnya:

Mari kita mulai dengan sederhana:

a) Penyebut tidak mengandung huruf

Di sini semuanya sama dengan pecahan numerik biasa: kami menemukan penyebut yang sama, kalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan tambahkan / kurangi pembilangnya:

sekarang di pembilang Anda dapat membawa yang serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:

Cobalah sendiri:

b) Penyebut berisi huruf

Mari kita ingat prinsip menemukan penyebut yang sama tanpa huruf:

Pertama-tama, kami menentukan faktor umum;

Kemudian kita menuliskan semua faktor persekutuan satu kali;

dan mengalikannya dengan semua faktor lain, bukan faktor umum.

Untuk menentukan faktor persekutuan penyebut, pertama-tama kita uraikan menjadi faktor-faktor sederhana:

Kami menekankan faktor umum:

Sekarang kita tuliskan faktor persekutuan satu kali dan tambahkan semua faktor non-umum (tidak digarisbawahi):

Ini adalah penyebut yang umum.

Mari kita kembali ke huruf. Penyebut diberikan dengan cara yang persis sama:

Kami menguraikan penyebut menjadi faktor;

menentukan pengganda umum (identik);

tuliskan semua faktor persekutuan satu kali;

Kami mengalikannya dengan semua faktor lain, bukan faktor umum.

Jadi, secara berurutan:

1) menguraikan penyebut menjadi faktor:

2) tentukan faktor umum (identik):

3) tuliskan semua faktor persekutuan satu kali dan kalikan dengan semua faktor lain (tidak digarisbawahi):

Jadi penyebut yang sama ada di sini. Fraksi pertama harus dikalikan dengan, yang kedua - dengan:

Omong-omong, ada satu trik:

Misalnya: .

Kami melihat faktor yang sama di penyebut, hanya semuanya dengan indikator berbeda. Penyebut yang sama akan menjadi:

sejauh itu

sejauh itu

sejauh itu

dalam derajat.

Mari kita memperumit tugas:

Bagaimana cara membuat pecahan memiliki penyebut yang sama?

Mari kita ingat properti dasar pecahan:

Tidak ada yang mengatakan bahwa angka yang sama dapat dikurangi (atau ditambahkan) dari pembilang dan penyebut pecahan. Karena itu tidak benar!

Lihat sendiri: ambil pecahan apa pun, misalnya, dan tambahkan beberapa angka ke pembilang dan penyebutnya, misalnya, . Apa yang telah dipelajari?

Jadi, aturan lain yang tak tergoyahkan:

Saat Anda membawa pecahan ke penyebut yang sama, gunakan hanya operasi perkalian!

Tapi apa yang Anda butuhkan untuk mengalikan untuk mendapatkan?

Di sini dan berkembang biak. Dan kalikan dengan:

Ekspresi yang tidak dapat difaktorkan disebut "faktor elementer". Misalnya, adalah faktor elementer. - Sama. Tapi - tidak: itu diuraikan menjadi beberapa faktor.

Bagaimana dengan ekspresi? Apakah ini dasar?

Tidak, karena dapat difaktorkan:

(Anda sudah membaca tentang faktorisasi di topik "").

Jadi, faktor dasar yang Anda gunakan untuk menguraikan ekspresi dengan huruf adalah analog dari faktor sederhana yang Anda gunakan untuk menguraikan angka. Dan kami akan melakukan hal yang sama dengan mereka.

Kita melihat bahwa kedua penyebut memiliki faktor. Ini akan menjadi penyebut yang sama dalam kekuasaan (ingat mengapa?).

Penggandanya dasar, dan mereka tidak memiliki kesamaan, yang berarti bahwa pecahan pertama harus dikalikan dengannya:

Contoh lain:

Larutan:

Sebelum mengalikan penyebut ini dengan panik, Anda perlu memikirkan cara memfaktorkannya? Keduanya mewakili:

Besar! Kemudian:

Contoh lain:

Larutan:

Seperti biasa, kita memfaktorkan penyebutnya. Pada penyebut pertama, kami cukup mengeluarkannya dari tanda kurung; di detik - perbedaan kotak:

Tampaknya tidak ada faktor umum. Tetapi jika Anda melihat lebih dekat, mereka sudah sangat mirip ... Dan kenyataannya adalah:

Jadi mari kita menulis:

Artinya, ternyata seperti ini: di dalam tanda kurung, kami menukar sukunya, dan pada saat yang sama, tanda di depan pecahan berubah menjadi kebalikannya. Perhatikan, Anda harus sering melakukan ini.

Sekarang kami membawa ke penyebut yang sama:

Mengerti? Sekarang mari kita periksa.

Tugas untuk solusi independen:

Jawaban:

Di sini kita harus mengingat satu hal lagi - perbedaan kubus:

Perhatikan bahwa penyebut pecahan kedua tidak mengandung rumus "kuadrat dari jumlah"! Kuadrat dari jumlah tersebut akan terlihat seperti ini:

A adalah apa yang disebut kuadrat tidak lengkap dari jumlah tersebut: suku kedua di dalamnya adalah produk dari yang pertama dan terakhir, dan bukan hasil perkaliannya. Kuadrat tak lengkap dari jumlah tersebut adalah salah satu faktor perluasan selisih pangkat tiga:

Bagaimana jika sudah ada tiga pecahan?

Ya sama! Pertama-tama, kami akan memastikan bahwa jumlah faktor maksimum penyebut adalah sama:

Perhatikan: jika Anda mengubah tanda di dalam salah satu tanda kurung, tanda di depan pecahan berubah menjadi kebalikannya. Saat kita mengubah tanda di kurung kedua, tanda di depan pecahan dibalik lagi. Alhasil, dia (tanda di depan pecahan) tidak berubah.

Kami menuliskan penyebut pertama secara lengkap dalam penyebut yang sama, dan kemudian kami menambahkan semua faktor yang belum ditulis, dari yang kedua, dan kemudian dari yang ketiga (dan seterusnya, jika ada lebih banyak pecahan). Yaitu, seperti ini:

Hmm ... Dengan pecahan, jelas apa yang harus dilakukan. Tapi bagaimana dengan keduanya?

Sederhana saja: Anda tahu cara menjumlahkan pecahan, bukan? Jadi, Anda perlu memastikan bahwa deuce menjadi pecahan! Ingat: pecahan adalah operasi pembagian (pembilang dibagi dengan penyebutnya, jika Anda tiba-tiba lupa). Dan tidak ada yang lebih mudah daripada membagi angka dengan. Dalam hal ini, angka itu sendiri tidak akan berubah, tetapi akan berubah menjadi pecahan:

Apa yang dibutuhkan!

5. Perkalian dan pembagian pecahan.

Nah, bagian tersulit sekarang sudah berakhir. Dan di depan kita adalah yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama yang paling penting:

Prosedur

Bagaimana prosedur untuk menghitung ekspresi numerik? Ingat, mengingat nilai ekspresi seperti itu:

Apakah Anda menghitung?

Ini harus bekerja.

Jadi, saya ingatkan.

Langkah pertama adalah menghitung derajat.

Yang kedua adalah perkalian dan pembagian. Jika ada beberapa perkalian dan pembagian sekaligus, Anda dapat melakukannya dalam urutan apa pun.

Dan terakhir, kami melakukan penjumlahan dan pengurangan. Sekali lagi, dalam urutan apa pun.

Tapi: ekspresi dalam tanda kurung dievaluasi rusak!

Jika beberapa tanda kurung dikalikan atau dibagi satu sama lain, pertama-tama kita mengevaluasi ekspresi di setiap tanda kurung, lalu mengalikan atau membaginya.

Bagaimana jika ada tanda kurung lain di dalam tanda kurung? Baiklah, mari kita pikirkan: beberapa ekspresi tertulis di dalam tanda kurung. Apa hal pertama yang harus dilakukan ketika mengevaluasi ekspresi? Benar, hitung tanda kurung. Nah, kami menemukan jawabannya: pertama kami menghitung tanda kurung bagian dalam, lalu yang lainnya.

Jadi, urutan tindakan untuk ekspresi di atas adalah sebagai berikut (tindakan saat ini disorot dengan warna merah, yaitu tindakan yang sedang saya lakukan sekarang):

Oke, semuanya sederhana.

Tapi itu tidak sama dengan ekspresi dengan huruf kan?

Tidak, itu sama! Hanya alih-alih operasi aritmatika yang perlu dilakukan operasi aljabar, yaitu operasi yang dijelaskan di bagian sebelumnya: membawa serupa, penjumlahan pecahan, pengurangan pecahan, dan sebagainya. Satu-satunya perbedaan adalah tindakan memfaktorkan polinomial (kita sering menggunakannya saat bekerja dengan pecahan). Paling sering, untuk faktorisasi, Anda perlu menggunakan i atau cukup keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Biasanya tujuan kami adalah untuk mewakili ekspresi sebagai produk atau hasil bagi.

Misalnya:

Mari kita sederhanakan ekspresinya.

1) Pertama kita sederhanakan ekspresi dalam tanda kurung. Di sana kami memiliki perbedaan pecahan, dan tujuan kami adalah untuk menyatakannya sebagai produk atau hasil bagi. Jadi, kami membawa pecahan ke penyebut yang sama dan menambahkan:

Tidak mungkin untuk menyederhanakan ungkapan ini lebih jauh, semua faktor di sini adalah dasar (apakah Anda masih ingat artinya?).

2) Kami mendapatkan:

Perkalian pecahan: apa yang bisa lebih mudah.

3) Sekarang Anda dapat mempersingkat:

OK itu semua berakhir Sekarang. Tidak ada yang rumit, bukan?

Contoh lain:

Sederhanakan ekspresi.

Pertama, coba selesaikan sendiri, dan baru kemudian lihat solusinya.

Pertama-tama, mari kita tentukan prosedurnya. Pertama, mari tambahkan pecahan dalam tanda kurung, alih-alih dua pecahan, satu akan berubah. Kemudian kita akan melakukan pembagian pecahan. Nah, hasilnya kita tambahkan dengan pecahan terakhir. Saya akan memberi nomor secara skematis langkah-langkahnya:

Sekarang saya akan menunjukkan seluruh proses, mewarnai tindakan saat ini dengan warna merah:

Terakhir, saya akan memberi Anda dua tip berguna:

1. Jika ada yang serupa, harus segera dibawa. Kapan pun kita memiliki yang serupa, disarankan untuk segera membawanya.

2. Hal yang sama berlaku untuk mengurangi pecahan: segera setelah ada kesempatan untuk mengurangi, itu harus digunakan. Pengecualian adalah pecahan yang Anda tambahkan atau kurangi: jika sekarang mereka memiliki penyebut yang sama, maka pengurangannya harus dibiarkan nanti.

Berikut adalah beberapa tugas untuk Anda selesaikan sendiri:

Dan berjanji di awal:

Solusi (singkat):

Jika Anda mengatasi setidaknya tiga contoh pertama, maka Anda, pertimbangkan, telah menguasai topik tersebut.

Sekarang untuk belajar!

KONVERSI EKSPRESI. RINGKASAN DAN RUMUS DASAR

Operasi penyederhanaan dasar:

• Membawa serupa: untuk menambah (mengurangi) suku sejenis, Anda perlu menjumlahkan koefisiennya dan menetapkan bagian hurufnya.
• Faktorisasi: mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung, menerapkan, dll.
• Pengurangan pecahan: pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, yang nilai pecahannya tidak berubah.
  1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali
  2) jika ada faktor persekutuan pada pembilang dan penyebutnya, dapat dicoret.

  PENTING: hanya pengganda yang dapat dikurangi!

• Penjumlahan dan pengurangan pecahan:
  ;
• Perkalian dan pembagian pecahan:
  ;