Buatlah grafik fungsi menggunakan skema umum penelitian. Eksplorasi dan plotting fungsi penuh

Untuk studi penuh fungsi dan membangun grafiknya, disarankan untuk menggunakan skema berikut:

1) temukan ruang lingkup fungsi;

2) temukan titik diskontinuitas fungsi dan asimtot vertikal (jika ada);

3) selidiki perilaku fungsi di tak terhingga, temukan asimtot horizontal dan miring;

4) menyelidiki fungsi kemerataan (keanehan) dan periodisitas (untuk fungsi trigonometri);

5) temukan ekstrem dan interval kemonotonan fungsi;

6) menentukan interval titik cembung dan belok;

7) temukan titik potong dengan sumbu koordinat, jika memungkinkan, dan beberapa titik tambahan yang menyempurnakan grafik.

Studi tentang fungsi dilakukan bersamaan dengan pembuatan grafiknya.

Contoh 9 Jelajahi fungsi dan buat grafik.

1. Domain definisi: ;

2. Fungsi terputus pada titik-titik
,
;

Kami menyelidiki fungsi keberadaan asimtot vertikal.

;
,
─ asimtot vertikal.

;
,
─ asimtot vertikal.

3. Kami menyelidiki fungsi keberadaan asimtot miring dan horizontal.

Lurus
─ asimtot miring, jika
,
.

,
.

Lurus
─ asimtot horizontal.

4. Fungsi genap karena
. Paritas fungsi menunjukkan kesimetrian grafik terhadap sumbu y.

5. Temukan interval kemonotonan dan ekstrem dari fungsi tersebut.

Mari kita temukan titik kritisnya, yaitu. titik di mana turunannya adalah 0 atau tidak ada:
;
. Kami memiliki tiga poin
;

. Titik-titik ini membagi seluruh sumbu nyata menjadi empat interval. Mari kita tentukan tanda-tandanya pada masing-masing.

Pada interval (-∞; -1) dan (-1; 0) fungsinya bertambah, pada interval (0; 1) dan (1; +∞) berkurang. Saat melewati suatu titik
turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus, oleh karena itu, pada titik ini, fungsinya memiliki maksimum
.

6. Mari kita temukan interval konveksitas, titik belok.

Mari kita temukan titik di mana adalah 0, atau tidak ada.

tidak memiliki akar nyata.
,
,

poin
Dan
membagi sumbu nyata menjadi tiga interval. Mari kita tentukan tandanya pada setiap interval.

Dengan demikian, kurva pada interval
Dan
cembung ke bawah, pada interval (-1;1) cembung ke atas; tidak ada titik belok, karena fungsi pada titik-titik tersebut
Dan
tidak ditentukan.

7. Temukan titik potong dengan sumbu.

dengan poros
grafik fungsi berpotongan di titik (0; -1), dan dengan sumbu
grafik tidak berpotongan, karena pembilang fungsi ini tidak memiliki akar nyata.

Grafik dari fungsi yang diberikan ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1 ─ Grafik fungsi

Penerapan konsep derivatif dalam ilmu ekonomi. elastisitas fungsi

Untuk mempelajari proses ekonomi dan memecahkan masalah terapan lainnya, konsep elastisitas fungsi sering digunakan.

Definisi. elastisitas fungsi
disebut batas rasio kenaikan relatif dari fungsi dengan kenaikan relatif dari variabel pada
, . (VII)

Elastisitas suatu fungsi menunjukkan kira-kira berapa persen fungsi tersebut akan berubah
ketika mengubah variabel independen sebesar 1%.

Elastisitas suatu fungsi digunakan dalam analisis permintaan dan konsumsi. Jika elastisitas permintaan (dalam nilai absolut)
, maka permintaan dianggap elastis jika
─ netral jika
─ tidak elastis terhadap harga (atau pendapatan).

Contoh 10 Menghitung elastisitas suatu fungsi
dan temukan nilai indeks elastisitas untuk = 3.

Solusi: menurut rumus (VII) elastisitas fungsi:

Biarkan x = 3 kemudian
Artinya jika variabel independen meningkat sebesar 1%, maka nilai variabel dependen akan meningkat sebesar 1,42%.

Contoh 11 Biarkan fungsi permintaan mengenai harga memiliki bentuk
, Di mana ─ koefisien konstan. Carilah nilai indeks elastisitas fungsi permintaan pada harga x = 3 den. unit

Solusi: hitung elastisitas fungsi permintaan menggunakan rumus (VII)

Asumsi
unit moneter, kita dapatkan
. Ini berarti bahwa pada harga
satuan moneter kenaikan harga sebesar 1% akan menyebabkan penurunan permintaan sebesar 6%, yaitu. permintaan bersifat elastis.

Hari ini kami mengundang Anda untuk menjelajahi dan memplot grafik fungsi bersama kami. Setelah mempelajari artikel ini dengan cermat, Anda tidak perlu berkeringat lama untuk menyelesaikan tugas semacam ini. Tidak mudah untuk mengeksplorasi dan membangun grafik suatu fungsi, pekerjaannya sangat banyak, membutuhkan perhatian dan akurasi perhitungan yang maksimal. Untuk memudahkan persepsi materi, secara bertahap kita akan mempelajari fungsi yang sama, menjelaskan semua tindakan dan perhitungan kita. Selamat datang di dunia matematika yang menakjubkan dan mempesona! Pergi!

Domain

Untuk menjelajahi dan memplot suatu fungsi, Anda perlu mengetahui beberapa definisi. Fungsi adalah salah satu konsep dasar (dasar) dalam matematika. Ini mencerminkan ketergantungan antara beberapa variabel (dua, tiga atau lebih) dengan perubahan. Fungsi juga menunjukkan ketergantungan himpunan.

Bayangkan kita memiliki dua variabel yang memiliki rentang perubahan tertentu. Jadi, y adalah fungsi dari x, asalkan setiap nilai dari variabel kedua sesuai dengan satu nilai dari kedua. Dalam hal ini, variabel y bergantung, dan itu disebut fungsi. Merupakan kebiasaan untuk mengatakan bahwa variabel x dan y masuk Untuk lebih jelasnya ketergantungan ini, grafik fungsi dibuat. Apa itu grafik fungsi? Ini adalah sekumpulan titik pada bidang koordinat, di mana setiap nilai x sesuai dengan satu nilai y. Grafik bisa berbeda - garis lurus, hiperbola, parabola, sinusoidal, dan sebagainya.

Grafik fungsi tidak dapat diplot tanpa eksplorasi. Hari ini kita akan belajar bagaimana melakukan penelitian dan memplot grafik fungsi. Sangat penting untuk membuat catatan selama belajar. Jadi akan lebih mudah untuk mengatasi tugas tersebut. Rencana studi yang paling nyaman:

1. Domain.
2. Kontinuitas.
3. Genap atau ganjil.
4. Periodisitas.
5. Asimtot.
6. Nol.
7. Keteguhan.
8. Naik dan turun.
9. Ekstrem.
10. Cembung dan cekung.

Mari kita mulai dengan poin pertama. Mari kita cari domain definisinya, yaitu pada interval berapa fungsi kita ada: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Dalam kasus kami, fungsi ada untuk nilai x apa pun, yaitu, domain definisi adalah R. Ini dapat ditulis sebagai xОR.

Kontinuitas

Sekarang kita akan mengeksplorasi fungsi diskontinuitas. Dalam matematika, istilah "kontinuitas" muncul sebagai hasil studi tentang hukum gerak. Apa itu tak terbatas? Ruang, waktu, beberapa ketergantungan (contohnya adalah ketergantungan variabel S dan t dalam masalah gerak), suhu benda yang dipanaskan (air, penggorengan, termometer, dan sebagainya), garis kontinu (yaitu, satu yang dapat digambar tanpa melepasnya dari lembar pensil).

Grafik dianggap kontinu jika tidak pecah di beberapa titik. Salah satu yang paling contoh yang baik grafik seperti itu adalah gelombang sinus, yang dapat Anda lihat pada gambar di bagian ini. Fungsi kontinu di beberapa titik x0 jika sejumlah kondisi terpenuhi:

• suatu fungsi didefinisikan pada titik tertentu;
• batas kanan dan kiri pada suatu titik adalah sama;
• limitnya sama dengan nilai fungsi di titik x0.

Jika setidaknya satu syarat tidak terpenuhi, fungsi tersebut dikatakan rusak. Dan titik-titik di mana fungsi berhenti disebut titik putus. Contoh fungsi yang akan “pecah” saat ditampilkan secara grafis adalah: y=(x+4)/(x-3). Selain itu, y tidak ada pada titik x = 3 (karena tidak mungkin membaginya dengan nol).

Dalam fungsi yang sedang kita pelajari (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) semuanya ternyata sederhana, karena grafiknya akan kontinu.

Bahkan aneh

Sekarang periksa fungsi untuk paritas. Mari kita mulai dengan sedikit teori. Fungsi genap adalah fungsi yang memenuhi syarat f(-x) = f(x) untuk sembarang nilai variabel x (dari rentang nilai). Contohnya adalah:

• modul x (grafik terlihat seperti gagak, garis bagi dari kuartal pertama dan kedua grafik);
• x kuadrat (parabola);
• kosinus x (gelombang kosinus).

Perhatikan bahwa semua grafik ini simetris jika dilihat terhadap sumbu y.

Lalu apa yang disebut fungsi ganjil? Ini adalah fungsi yang memenuhi syarat: f (-x) \u003d - f (x) untuk nilai variabel x apa pun. Contoh:

• hiperbola;
• parabola kubik;
• sinusoidal;
• tangen dan sebagainya.

Perhatikan bahwa fungsi-fungsi ini simetris terhadap titik (0:0), yaitu titik asal. Berdasarkan apa yang dikatakan di bagian artikel ini, fungsi genap dan ganjil harus memiliki properti: x milik himpunan definisi dan -x juga.

Mari kita periksa fungsi paritas. Kita dapat melihat bahwa dia tidak cocok dengan deskripsi apa pun. Oleh karena itu, fungsi kita bukan genap atau ganjil.

Asimtot

Mari kita mulai dengan definisi. Asimtot adalah kurva yang sedekat mungkin dengan grafik, yaitu jarak dari suatu titik cenderung nol. Ada tiga jenis asimtot:

• vertikal, yaitu sejajar dengan sumbu y;
• horizontal, yaitu sejajar dengan sumbu x;
• miring.

Adapun jenis pertama, garis-garis ini harus dicari di beberapa titik:

• celah;
• ujung domain.

Dalam kasus kami, fungsinya kontinu, dan domain definisinya adalah R. Oleh karena itu, tidak ada asimtot vertikal.

Grafik suatu fungsi memiliki asimtot horizontal, yang memenuhi persyaratan berikut: jika x cenderung tak terhingga atau minus tak terhingga, dan limitnya sama dengan bilangan tertentu (misalnya a). DI DALAM kasus ini y=a adalah asimtot horizontal. Tidak ada asimtot horizontal dalam fungsi yang sedang kita pelajari.

Asimtot miring hanya ada jika dua kondisi terpenuhi:

• lim(f(x))/x=k;
• batas f(x)-kx=b.

Kemudian dapat ditemukan dengan rumus: y=kx+b. Sekali lagi, dalam kasus kami tidak ada asimtot miring.

Fungsi nol

Langkah selanjutnya adalah memeriksa grafik fungsi untuk nol. Penting juga untuk dicatat bahwa tugas yang terkait dengan menemukan nol suatu fungsi tidak hanya terjadi dalam studi dan konstruksi grafik fungsi, tetapi juga sebagai tugas independen, dan sebagai cara untuk menyelesaikan ketidaksetaraan. Anda mungkin diminta untuk menemukan nol fungsi pada grafik atau menggunakan notasi matematika.

Menemukan nilai-nilai ini akan membantu Anda memplot fungsi dengan lebih akurat. Jika untuk berbicara bahasa sederhana, maka nol fungsi adalah nilai variabel x, di mana y=0. Jika Anda mencari nol fungsi pada grafik, Anda harus memperhatikan titik-titik perpotongan grafik dengan sumbu x.

Untuk mencari nol fungsi, Anda harus menyelesaikan persamaan berikut: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Setelah melakukan perhitungan yang diperlukan, kami mendapatkan jawaban berikut:

tanda keteguhan

Tahap selanjutnya dalam studi dan konstruksi suatu fungsi (grafik) adalah menemukan interval keteguhan tanda. Ini berarti bahwa kita harus menentukan pada interval mana fungsi mengambil nilai positif, dan pada interval mana mengambil nilai negatif. Angka nol dari fungsi yang ditemukan di bagian sebelumnya akan membantu kita melakukan ini. Jadi, kita perlu membuat garis lurus (terpisah dari grafik) dan mendistribusikan nol fungsi di sepanjang garis itu dengan urutan yang benar dari yang terkecil ke yang terbesar. Sekarang Anda perlu menentukan interval mana yang memiliki tanda "+", dan mana yang memiliki tanda "-".

Dalam kasus kami, fungsi mengambil nilai positif pada interval:

• dari 1 sampai 4;
• dari 9 hingga tak terhingga.

Makna negatif:

• dari minus tak terhingga ke 1;
• dari 4 sampai 9.

Ini cukup mudah untuk ditentukan. Gantikan angka apa pun dari interval ke dalam fungsi dan lihat tanda apa jawabannya (minus atau plus).

Fungsi Naik dan Turun

Untuk menjelajahi dan membangun sebuah fungsi, kita perlu mengetahui di mana grafik akan naik (naik pada Oy), dan di mana grafik akan turun (merayap ke bawah sepanjang sumbu y).

Fungsi meningkat hanya jika nilai variabel x yang lebih besar sesuai dengan nilai y yang lebih besar. Artinya, x2 lebih besar dari x1, dan f(x2) lebih besar dari f(x1). Dan kami mengamati fenomena yang sepenuhnya berlawanan dalam fungsi menurun (semakin banyak x, semakin sedikit y). Untuk menentukan interval kenaikan dan penurunan, Anda perlu menemukan yang berikut:

• ruang lingkup (kami sudah memilikinya);
• turunan (dalam kasus kita: 1/3(3x^2-28x+49);
• selesaikan persamaan 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Setelah perhitungan, kami mendapatkan hasilnya:

Kami mendapatkan: fungsi meningkat pada interval dari minus tak hingga hingga 7/3 dan dari 7 hingga tak terbatas, dan menurun pada interval dari 7/3 hingga 7.

Ekstrem

Fungsi yang diselidiki y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) kontinu dan ada untuk setiap nilai variabel x. Titik ekstrim menunjukkan maksimum dan minimum dari fungsi ini. Dalam kasus kami, tidak ada, yang sangat menyederhanakan tugas konstruksi. Jika tidak, mereka juga ditemukan menggunakan fungsi turunan. Setelah menemukan, jangan lupa menandainya di bagan.

Cembung dan cekung

Kami terus mempelajari fungsi y (x). Sekarang kita perlu memeriksa kecembungan dan kecekungannya. Definisi konsep-konsep ini cukup sulit untuk dipahami, lebih baik menganalisis semuanya dengan contoh. Untuk pengujian: suatu fungsi cembung jika itu adalah fungsi yang tidak menurun. Setuju, ini tidak bisa dimengerti!

Kita perlu mencari turunan dari fungsi orde kedua. Kita mendapatkan: y=1/3(6x-28). Sekarang kita samakan sisi kanan dengan nol dan selesaikan persamaannya. Jawaban: x=14/3. Kami telah menemukan titik belok, yaitu tempat perubahan grafik dari cembung menjadi cekung atau sebaliknya. Pada interval dari minus tak hingga hingga 14/3, fungsinya cembung, dan dari 14/3 hingga plus tak terbatas, fungsinya cekung. Penting juga untuk diperhatikan bahwa titik belok pada grafik harus halus dan lembut, tidak sudut tajam tidak harus hadir.

Definisi poin tambahan

Tugas kita adalah menjelajahi dan memplot grafik fungsi. Kami telah menyelesaikan studi, tidak akan sulit untuk memplot fungsinya sekarang. Untuk reproduksi kurva atau garis lurus yang lebih akurat dan terperinci pada bidang koordinat, Anda dapat menemukan beberapa titik tambahan. Cukup mudah untuk menghitungnya. Misalnya, kita ambil x=3, selesaikan persamaan yang dihasilkan dan temukan y=4. Atau x=5 dan y=-5 dan seterusnya. Anda dapat mengambil poin tambahan sebanyak yang Anda butuhkan untuk membangun. Setidaknya 3-5 dari mereka ditemukan.

Merencanakan

Kami perlu menyelidiki fungsi (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Semua tanda yang diperlukan selama perhitungan dilakukan pada bidang koordinat. Yang harus dilakukan hanyalah membuat grafik, yaitu menghubungkan semua titik satu sama lain. Menghubungkan titik-titik itu lancar dan akurat, ini soal keterampilan - sedikit latihan dan jadwal Anda akan sempurna.

Petunjuk

Temukan ruang lingkup fungsi. Sebagai contoh, fungsi sin(x) didefinisikan pada seluruh interval dari -∞ hingga +∞, dan fungsi 1/x didefinisikan dari -∞ hingga +∞, kecuali untuk titik x = 0.

Tentukan area kontinuitas dan break point. Biasanya suatu fungsi kontinu dalam domain yang sama di mana ia didefinisikan. Untuk mendeteksi diskontinuitas, Anda perlu menghitung saat argumen mendekati titik terisolasi di dalam domain definisi. Misalnya, fungsi 1/x cenderung tak hingga jika x→0+ dan minus tak hingga jika x→0-. Artinya pada titik x = 0 terdapat diskontinuitas jenis kedua.
Jika batas-batas pada titik diskontinu terbatas tetapi tidak sama, maka ini merupakan diskontinuitas jenis pertama. Jika keduanya sama, maka fungsinya dianggap kontinu, meskipun tidak terdefinisi pada titik terisolasi.

Temukan asimtot vertikal, jika ada. Perhitungan dari langkah sebelumnya akan membantu Anda di sini, karena asimtot vertikal hampir selalu berada pada titik diskontinu jenis kedua. Namun, terkadang bukan titik individual yang dikecualikan dari domain definisi, tetapi seluruh interval titik, dan kemudian asimtot vertikal dapat ditempatkan di tepi interval ini.

Periksa apakah fungsi tersebut memiliki properti khusus: genap, ganjil, dan periodik.
Fungsinya akan genap jika untuk sembarang x dalam domain f(x) = f(-x). Misalnya, cos(x) dan x^2 adalah fungsi genap.

Periodisitas adalah sifat yang menyatakan bahwa ada bilangan tertentu T yang disebut periode, yang untuk sembarang x f(x) = f(x + T). Misalnya, semua jurusan fungsi trigonometri(sinus, cosinus, tangen) - periodik.

Temukan poin. Untuk melakukan ini, hitung turunan dari fungsi yang diberikan dan temukan nilai x yang menghilang. Misalnya, fungsi f(x) = x^3 + 9x^2 -15 memiliki turunan g(x) = 3x^2 + 18x yang hilang pada x = 0 dan x = -6.

Untuk menentukan titik ekstrim mana yang maksimum dan mana yang minimum, telusuri perubahan tanda turunan pada nol yang ditemukan. g(x) berubah tanda dari plus di x = -6 dan kembali dari minus ke plus di x = 0. Oleh karena itu, fungsi f(x) memiliki minimum pada titik pertama dan minimum pada titik kedua.

Dengan demikian, Anda juga menemukan area monoton: f(x) meningkat secara monoton pada interval -∞;-6, menurun secara monoton pada -6;0 dan meningkat lagi pada 0;+∞.

Temukan turunan kedua. Akarnya akan menunjukkan di mana grafik fungsi tertentu akan cembung, dan di mana akan cekung. Sebagai contoh, turunan kedua dari fungsi f(x) adalah h(x) = 6x + 18. Fungsi ini hilang di x = -3, mengubah tandanya dari minus menjadi plus. Oleh karena itu, grafik f (x) sebelum titik ini akan cembung, setelahnya - cekung, dan titik ini sendiri akan menjadi titik belok.

Suatu fungsi dapat memiliki asimtot lain, kecuali asimtot vertikal, tetapi hanya jika domain definisinya mencakup . Untuk menemukannya, hitung limit dari f(x) ketika x→∞ atau x→-∞. Jika terbatas, maka Anda telah menemukan asimtot horizontal.

Asimtot miring adalah garis lurus berbentuk kx + b. Untuk mencari k, hitung limit dari f(x)/x sebagai x→∞. Untuk mencari b - limit (f(x) – kx) dengan x→∞ yang sama.

Plot fungsi pada data yang dihitung. Beri label asimtotnya, jika ada. Tandai titik ekstrem dan nilai fungsi di dalamnya. Untuk akurasi grafik yang lebih baik, hitung nilai fungsi di beberapa titik tengah lainnya. Penelitian selesai.

Salah satu tugas terpenting kalkulus diferensial adalah perkembangan contoh umum studi tentang perilaku fungsi.

Jika fungsi y \u003d f (x) kontinu pada interval, dan turunannya positif atau sama dengan 0 pada interval (a, b), maka y \u003d f (x) bertambah sebesar (f "(x) 0).Jika fungsi y \u003d f (x) kontinu pada ruas , dan turunannya negatif atau sama dengan 0 pada interval (a,b), maka y=f(x) berkurang sebesar (f"( x)0)

Interval di mana fungsi tidak berkurang atau meningkat disebut interval fungsi monoton. Sifat monoton suatu fungsi hanya dapat berubah pada titik-titik domain definisinya, di mana tanda turunan pertama berubah. Titik-titik di mana turunan pertama dari suatu fungsi hilang atau rusak disebut titik kritis.

Teorema 1 (Syarat cukup ke-1 untuk keberadaan ekstrem).

Misalkan fungsi y=f(x) terdefinisi pada titik x 0 dan misalkan ada lingkungan δ>0 sehingga fungsi tersebut kontinu pada segmen , dapat dibedakan pada interval (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dan turunannya mempertahankan tanda konstan pada setiap interval ini. Kemudian jika pada x 0 -δ, x 0) dan (x 0, x 0 + δ) tanda turunannya berbeda, maka x 0 merupakan titik ekstrem, dan jika cocok maka x 0 bukan titik ekstrem . Apalagi jika ketika melewati titik x0, turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus (di sebelah kiri x 0, f "(x)> 0 dilakukan, maka x 0 adalah titik maksimum; jika turunannya berubah tanda dari minus ke plus (di sebelah kanan x 0 dieksekusi oleh f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Titik maksimum dan minimum disebut titik ekstrem fungsi, dan maksimum dan minimum fungsi disebut nilai ekstrimnya.

Teorema 2 (kriteria yang diperlukan untuk ekstrem lokal).

Jika fungsi y=f(x) memiliki ekstrem pada arus x=x 0, maka f'(x 0)=0 atau f'(x 0) tidak ada.
Pada titik ekstrem fungsi terdiferensiasi, garis singgung grafiknya sejajar dengan sumbu Ox.

Algoritma untuk mempelajari fungsi untuk ekstrem:

1) Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2) Temukan titik kritis, mis. titik di mana fungsi kontinu dan turunannya nol atau tidak ada.
3) Perhatikan ketetanggaan masing-masing titik, dan periksalah tanda turunan di kiri dan kanan titik tersebut.
4) Tentukan koordinat titik ekstrim, untuk nilai titik kritis ini, gantikan ke dalam fungsi ini. Menggunakan kondisi ekstrim yang cukup, menarik kesimpulan yang tepat.

Contoh 18. Selidiki fungsi y=x 3 -9x 2 +24x

Larutan.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Menyamakan turunannya dengan nol, kita dapatkan x 1 =2, x 2 =4. Dalam hal ini, turunannya didefinisikan di mana-mana; karenanya, selain dua titik yang ditemukan, tidak ada titik kritis lainnya.
3) Tanda turunan y”=3(x-2)(x-4) berubah tergantung interval seperti pada Gambar 1. Ketika melewati titik x=2, turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus, dan ketika melewati titik x=4 - dari minus ke plus.
4) Pada titik x=2, fungsi memiliki maksimum y max =20, dan pada titik x=4 - minimum y min =16.

Teorema 3. (Syarat cukup ke-2 untuk keberadaan ekstrem).

Misalkan f "(x 0) dan f "" (x 0) ada di titik x 0. Maka jika f "" (x 0)> 0, maka x 0 adalah titik minimum, dan jika f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pada segmen, fungsi y \u003d f (x) dapat mencapai nilai terkecil (setidaknya) atau terbesar (paling banyak) baik di titik kritis fungsi yang terletak di interval (a; b), atau di ujung dari segmen.

Algoritma mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu y=f(x) pada ruas :

1) Temukan f "(x).
2) Temukan titik-titik di mana f "(x) = 0 atau f" (x) - tidak ada, dan pilih titik-titik yang terletak di dalam segmen tersebut.
3) Hitung nilai fungsi y \u003d f (x) pada titik-titik yang diperoleh di paragraf 2), serta di ujung segmen dan pilih yang terbesar dan terkecil: masing-masing, yang terbesar ( untuk yang terbesar) dan nilai fungsi terkecil (untuk yang terkecil) pada interval .

Contoh 19. Carilah nilai terbesar dari fungsi kontinu y=x 3 -3x 2 -45+225 pada ruas .

1) Kami memiliki y "=3x 2 -6x-45 pada segmen tersebut
2) Turunan y" ada untuk semua x. Mari cari titik di mana y"=0; kita mendapatkan:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Hitung nilai fungsi di titik x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Hanya titik x=5 yang termasuk dalam segmen tersebut. Nilai terbesar dari fungsi yang ditemukan adalah 225, dan yang terkecil adalah angka 50. Jadi, pada maks = 225, pada maks = 50.

Investigasi fungsi pada konveksitas

Gambar tersebut menunjukkan grafik dari dua fungsi. Yang pertama dibalik dengan tonjolan ke atas, yang kedua - dengan tonjolan ke bawah.

Fungsi y=f(x) kontinu pada segmen dan dapat dibedakan dalam interval (a;b), disebut cembung ke atas (ke bawah) pada segmen ini, jika untuk axb grafiknya terletak tidak lebih tinggi (tidak lebih rendah) dari garis singgung ditarik pada setiap titik M 0 (x 0 ;f(x 0)), di mana axb.

Teorema 4. Misalkan fungsi y=f(x) memiliki turunan kedua di sembarang titik interior x segmen dan kontinu di ujung segmen ini. Kemudian jika pertidaksamaan f""(x)0 terpenuhi pada interval (a;b), maka fungsinya cembung ke bawah pada ruas ; jika pertidaksamaan f""(x)0 terpenuhi pada interval (а;b), maka fungsinya cembung ke atas pada .

Teorema 5. Jika fungsi y=f(x) memiliki turunan kedua pada interval (a;b) dan jika berubah tanda ketika melewati titik x 0 , maka M(x 0 ;f(x 0)) adalah sebuah titik belok.

Aturan untuk menemukan titik belok:

1) Temukan titik di mana f""(x) tidak ada atau hilang.
2) Periksa tanda f""(x) di kiri dan kanan setiap titik yang ditemukan pada langkah pertama.
3) Berdasarkan Teorema 4, buatlah kesimpulan.

Contoh 20. Temukan titik ekstrem dan titik belok dari grafik fungsi y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Kita memiliki f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Jelas, f"(x)=0 untuk x 1 =0, x 2 =1. Turunannya, ketika melewati titik x=0, berubah tanda dari minus menjadi plus, dan ketika melewati titik x=1, tidak berubah tanda. Ini berarti x=0 adalah titik minimum (y min =12), dan tidak ada titik ekstrim di titik x=1. Selanjutnya, kita temukan . Turunan kedua hilang di titik x 1 =1, x 2 =1/3. Tanda-tanda turunan kedua berubah sebagai berikut: Pada sinar (-∞;) kita memiliki f""(x)>0, pada interval (;1) kita memiliki f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Oleh karena itu, x= adalah titik belok dari grafik fungsi (transisi dari konveksitas ke bawah ke konveksitas ke atas) dan x=1 juga merupakan titik belok (transisi dari konveksitas ke atas ke konveksitas ke bawah). Jika x=, maka y= ; jika, maka x=1, y=13.

Algoritma untuk menemukan asimtot grafik

I. Jika y=f(x) sebagai x → a , maka x=a adalah asimtot vertikal.
II. Jika y=f(x) sebagai x → ∞ atau x → -∞ maka y=A adalah asimtot horizontal.
AKU AKU AKU. Untuk menemukan asimtot miring, kami menggunakan algoritma berikut:
1) Hitung . Jika limitnya ada dan sama dengan b, maka y=b adalah asimtot horizontal; jika , maka lanjutkan ke langkah kedua.
2) Hitung . Jika batas ini tidak ada, maka tidak ada asimtot; jika ada dan sama dengan k, lanjutkan ke langkah ketiga.
3) Hitung. Jika batas ini tidak ada, maka tidak ada asimtot; jika ada dan sama dengan b, lanjutkan ke langkah keempat.
4) Tuliskan persamaan asimtot miring y=kx+b.

Contoh 21: Temukan asimtot untuk suatu fungsi

1)
2)
3)
4) Persamaan asimtot miring memiliki bentuk

Skema studi fungsi dan konstruksi grafiknya

I. Temukan domain dari fungsi tersebut.
II. Temukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat.
AKU AKU AKU. Temukan asimtot.
IV. Temukan titik ekstrem yang mungkin.
V. Temukan titik-titik kritis.
VI. Dengan menggunakan gambar bantu, selidiki tanda turunan pertama dan kedua. Tentukan luas kenaikan dan penurunan fungsi, temukan arah konveksitas grafik, titik ekstrem, dan titik belok.
VII. Bangun grafik, dengan mempertimbangkan studi yang dilakukan di paragraf 1-6.

Contoh 22: Plot grafik fungsi menurut skema di atas

Larutan.
I. Domain fungsi adalah himpunan semua bilangan real, kecuali x=1.
II. Karena persamaan x 2 +1=0 tidak memiliki akar real, maka grafik fungsi tersebut tidak memiliki titik potong dengan sumbu Ox, tetapi memotong sumbu Oy di titik (0; -1).
AKU AKU AKU. Mari kita perjelas pertanyaan tentang keberadaan asimtot. Kami menyelidiki perilaku fungsi di dekat titik diskontinuitas x=1. Karena y → ∞ untuk x → -∞, y → +∞ untuk x → 1+, maka garis x=1 adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi tersebut.
Jika x → +∞(x → -∞), maka y → +∞(y → -∞); oleh karena itu, grafik tersebut tidak memiliki asimtot horizontal. Selanjutnya dari adanya batasan

Memecahkan persamaan x 2 -2x-1=0, kita mendapatkan dua titik ekstrem yang mungkin:
x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2

V. Untuk mencari titik kritis, kita menghitung turunan kedua:

Karena f""(x) tidak hilang, tidak ada titik kritis.
VI. Kami menyelidiki tanda turunan pertama dan kedua. Titik ekstrem yang mungkin dipertimbangkan: x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2, bagi luas keberadaan fungsi menjadi interval (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) dan (1+√2;+∞).

Di setiap interval ini, turunannya mempertahankan tandanya: yang pertama - plus, yang kedua - minus, yang ketiga - plus. Urutan tanda turunan pertama akan ditulis sebagai berikut: +, -, +.
Kita mendapatkan bahwa fungsi pada (-∞;1-√2) meningkat, pada (1-√2;1+√2) menurun, dan pada (1+√2;+∞) meningkat lagi. Titik ekstrim: maksimum pada x=1-√2, apalagi f(1-√2)=2-2√2 minimum pada x=1+√2, apalagi f(1+√2)=2+2√2. Di (-∞;1) grafiknya cembung ke atas, dan di (1;+∞) - ke bawah.
VII Mari kita buat tabel dari nilai yang diperoleh

VIII Berdasarkan data yang diperoleh, kami membuat sketsa grafik fungsi

Titik referensi dalam studi fungsi dan konstruksi grafiknya adalah titik karakteristik - titik diskontinuitas, ekstrem, infleksi, persimpangan dengan sumbu koordinat. Dengan bantuan kalkulus diferensial, dimungkinkan untuk menetapkan ciri-ciri karakteristik dari perubahan fungsi: naik dan turun, maksima dan minima, arah kecembungan dan kecekungan grafik, keberadaan asimtot.

Sketsa grafik fungsi dapat (dan harus) dibuat sketsa setelah menemukan asimtot dan titik ekstrem, dan akan lebih mudah untuk mengisi tabel ringkasan studi fungsi selama studi.

Biasanya, skema penelitian fungsi berikut digunakan.

1.Temukan domain, interval kontinuitas, dan breakpoint suatu fungsi.

2.Periksa fungsi untuk genap atau ganjil (simetri aksial atau pusat grafik.

3.Temukan asimtot (vertikal, horizontal atau miring).

4.Temukan dan selidiki interval kenaikan dan penurunan fungsi, titik ekstremnya.

5.Temukan interval kecembungan dan kecekungan kurva, titik beloknya.

6.Temukan titik potong kurva dengan sumbu koordinat, jika ada.

7.Menyusun tabel ringkasan studi.

8.Bangun grafik, dengan mempertimbangkan studi fungsi, dilakukan sesuai dengan poin di atas.

Contoh. Jelajahi Fungsi

dan plot itu.

7. Mari kita buat tabel ringkasan dari studi fungsi, di mana kita akan memasukkan semua titik karakteristik dan interval di antara keduanya. Mengingat paritas fungsi, kami mendapatkan tabel berikut: