Mempelajari grafik fungsi. Investigasi fungsi dengan metode kalkulus diferensial

Salah satu tugas terpenting kalkulus diferensial adalah pengembangan contoh umum studi tentang perilaku fungsi.

Jika fungsi y \u003d f (x) kontinu pada interval, dan turunannya positif atau sama dengan 0 pada interval (a, b), maka y \u003d f (x) bertambah sebesar (f "(x) 0).Jika fungsi y \u003d f (x) kontinu pada ruas , dan turunannya negatif atau sama dengan 0 pada interval (a,b), maka y=f(x) berkurang sebesar (f"( x)0)

Interval di mana fungsi tidak berkurang atau meningkat disebut interval fungsi monoton. Sifat monoton suatu fungsi hanya dapat berubah pada titik-titik domain definisinya, di mana tanda turunan pertama berubah. Titik-titik di mana turunan pertama dari suatu fungsi hilang atau rusak disebut titik kritis.

Teorema 1 (Syarat cukup ke-1 untuk keberadaan ekstrem).

Misalkan fungsi y=f(x) terdefinisi pada titik x 0 dan misalkan ada lingkungan δ>0 sehingga fungsi tersebut kontinu pada segmen , dapat dibedakan pada interval (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dan turunannya mempertahankan tanda konstan pada setiap interval ini. Kemudian jika pada x 0 -δ, x 0) dan (x 0, x 0 + δ) tanda turunannya berbeda, maka x 0 merupakan titik ekstrem, dan jika cocok maka x 0 bukan titik ekstrem . Apalagi jika ketika melewati titik x0, turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus (di sebelah kiri x 0, f "(x)> 0 dilakukan, maka x 0 adalah titik maksimum; jika turunannya berubah tanda dari minus ke plus (di sebelah kanan x 0 dieksekusi oleh f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Titik maksimum dan minimum disebut titik ekstrem fungsi, dan maksimum dan minimum fungsi disebut nilai ekstrimnya.

Teorema 2 (kriteria yang diperlukan untuk ekstrem lokal).

Jika fungsi y=f(x) memiliki ekstrem pada arus x=x 0, maka f'(x 0)=0 atau f'(x 0) tidak ada.
Pada titik ekstrem fungsi terdiferensiasi, garis singgung grafiknya sejajar dengan sumbu Ox.

Algoritma untuk mempelajari fungsi untuk ekstrem:

1) Temukan turunan dari fungsi tersebut.
2) Temukan titik kritis, mis. titik di mana fungsi kontinu dan turunannya nol atau tidak ada.
3) Perhatikan ketetanggaan masing-masing titik, dan periksalah tanda turunan di kiri dan kanan titik tersebut.
4) Tentukan koordinat titik ekstrim, untuk nilai titik kritis ini, gantikan ke dalam fungsi ini. Menggunakan kondisi ekstrim yang cukup, menarik kesimpulan yang tepat.

Contoh 18. Selidiki fungsi y=x 3 -9x 2 +24x

Larutan.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Menyamakan turunannya dengan nol, kita dapatkan x 1 =2, x 2 =4. DI DALAM kasus ini turunannya didefinisikan di mana-mana; karenanya, selain dua titik yang ditemukan, tidak ada titik kritis lainnya.
3) Tanda turunan y"=3(x-2)(x-4) berubah tergantung interval seperti pada Gambar 1. Ketika melewati titik x=2, turunannya berubah tanda dari plus menjadi minus, dan ketika melewati titik x=4 - dari minus ke plus.
4) Pada titik x=2, fungsi memiliki maksimum y max =20, dan pada titik x=4 - minimum y min =16.

Teorema 3. (Syarat cukup ke-2 untuk keberadaan ekstrem).

Misalkan f "(x 0) dan f "" (x 0) ada di titik x 0. Maka jika f "" (x 0)> 0, maka x 0 adalah titik minimum, dan jika f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pada segmen tersebut, fungsi y \u003d f (x) dapat mencapai nilai terkecil (setidaknya) atau terbesar (paling banyak) baik pada titik kritis fungsi yang terletak pada interval (a; b), atau pada ujungnya dari segmen.

Algoritma mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu y=f(x) pada ruas :

1) Temukan f "(x).
2) Temukan titik-titik di mana f "(x) = 0 atau f" (x) - tidak ada, dan pilih titik-titik yang terletak di dalam segmen tersebut.
3) Hitung nilai fungsi y \u003d f (x) pada titik-titik yang diperoleh di paragraf 2), serta di ujung segmen dan pilih yang terbesar dan terkecil: masing-masing, yang terbesar ( untuk yang terbesar) dan nilai fungsi terkecil (untuk yang terkecil) pada segmen .

Contoh 19. Carilah nilai terbesar dari fungsi kontinu y=x 3 -3x 2 -45+225 pada ruas .

1) Kami memiliki y "=3x 2 -6x-45 pada segmen tersebut
2) Turunan y" ada untuk semua x. Mari cari titik di mana y"=0; kita mendapatkan:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Hitung nilai fungsi di titik x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Hanya titik x=5 yang termasuk dalam segmen tersebut. Nilai terbesar dari fungsi yang ditemukan adalah 225, dan yang terkecil adalah angka 50. Jadi, pada maks = 225, pada maks = 50.

Investigasi fungsi pada konveksitas

Gambar tersebut menunjukkan grafik dari dua fungsi. Yang pertama dibalik dengan tonjolan ke atas, yang kedua - dengan tonjolan ke bawah.

Fungsi y=f(x) kontinu pada segmen dan terdiferensiasi dalam interval (a;b), disebut cembung ke atas (ke bawah) pada segmen ini, jika untuk axb grafiknya terletak tidak lebih tinggi (tidak lebih rendah) dari garis singgung ditarik pada setiap titik M 0 (x 0 ;f(x 0)), di mana axb.

Teorema 4. Misalkan fungsi y=f(x) memiliki turunan kedua di sembarang titik interior x segmen dan kontinu di ujung segmen ini. Kemudian jika pertidaksamaan f""(x)0 terpenuhi pada interval (a;b), maka fungsinya cembung ke bawah pada ruas ; jika pertidaksamaan f""(x)0 terpenuhi pada interval (а;b), maka fungsinya cembung ke atas pada .

Teorema 5. Jika fungsi y=f(x) memiliki turunan kedua pada interval (a;b) dan jika berubah tanda ketika melewati titik x 0 , maka M(x 0 ;f(x 0)) adalah sebuah titik belok.

Aturan untuk menemukan titik belok:

1) Temukan titik di mana f""(x) tidak ada atau hilang.
2) Periksa tanda f""(x) di kiri dan kanan setiap titik yang ditemukan pada langkah pertama.
3) Berdasarkan Teorema 4, buatlah kesimpulan.

Contoh 20. Temukan titik ekstrem dan titik belok dari grafik fungsi y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Kita memiliki f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Jelas, f"(x)=0 untuk x 1 =0, x 2 =1. Turunannya, ketika melewati titik x=0, berubah tanda dari minus menjadi plus, dan ketika melewati titik x=1, tidak berubah tanda. Ini berarti x=0 adalah titik minimum (y min =12), dan tidak ada titik ekstrim di titik x=1. Selanjutnya, kita temukan . Turunan kedua hilang di titik x 1 =1, x 2 =1/3. Tanda-tanda turunan kedua berubah sebagai berikut: Pada sinar (-∞;) kita memiliki f""(x)>0, pada interval (;1) kita memiliki f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Oleh karena itu, x= adalah titik belok dari grafik fungsi (transisi dari konveksitas ke bawah ke konveksitas ke atas) dan x=1 juga merupakan titik belok (transisi dari konveksitas ke atas ke konveksitas ke bawah). Jika x=, maka y= ; jika, maka x=1, y=13.

Algoritma untuk menemukan asimtot grafik

I. Jika y=f(x) sebagai x → a , maka x=a adalah asimtot vertikal.
II. Jika y=f(x) sebagai x → ∞ atau x → -∞ maka y=A adalah asimtot horizontal.
AKU AKU AKU. Untuk menemukan asimtot miring, kami menggunakan algoritma berikut:
1) Hitung . Jika limitnya ada dan sama dengan b, maka y=b adalah asimtot horizontal; jika , maka lanjutkan ke langkah kedua.
2) Hitung . Jika batas ini tidak ada, maka tidak ada asimtot; jika ada dan sama dengan k, lanjutkan ke langkah ketiga.
3) Hitung. Jika batas ini tidak ada, maka tidak ada asimtot; jika ada dan sama dengan b, lanjutkan ke langkah keempat.
4) Tuliskan persamaan asimtot miring y=kx+b.

Contoh 21: Temukan asimtot untuk suatu fungsi

1)
2)
3)
4) Persamaan asimtot miring memiliki bentuk

Skema studi fungsi dan konstruksi grafiknya

I. Temukan domain dari fungsi tersebut.
II. Temukan titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat.
AKU AKU AKU. Temukan asimtot.
IV. Temukan titik ekstrem yang mungkin.
V. Temukan titik-titik kritis.
VI. Dengan menggunakan gambar bantu, selidiki tanda turunan pertama dan kedua. Tentukan luas kenaikan dan penurunan fungsi, temukan arah konveksitas grafik, titik ekstrem, dan titik belok.
VII. Bangun grafik, dengan mempertimbangkan studi yang dilakukan di paragraf 1-6.

Contoh 22: Plot grafik fungsi menurut skema di atas

Larutan.
I. Domain fungsi adalah himpunan semua bilangan real, kecuali x=1.
II. Karena persamaan x 2 +1=0 tidak memiliki akar real, maka grafik fungsi tersebut tidak memiliki titik potong dengan sumbu Ox, tetapi memotong sumbu Oy di titik (0; -1).
AKU AKU AKU. Mari kita perjelas pertanyaan tentang keberadaan asimtot. Kami menyelidiki perilaku fungsi di dekat titik diskontinuitas x=1. Karena y → ∞ untuk x → -∞, y → +∞ untuk x → 1+, maka garis x=1 adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi tersebut.
Jika x → +∞(x → -∞), maka y → +∞(y → -∞); oleh karena itu, grafik tersebut tidak memiliki asimtot horizontal. Selanjutnya dari adanya batasan

Memecahkan persamaan x 2 -2x-1=0, kita mendapatkan dua titik ekstrem yang mungkin:
x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2

V. Untuk mencari titik kritis, kita menghitung turunan kedua:

Karena f""(x) tidak hilang, tidak ada titik kritis.
VI. Kami menyelidiki tanda turunan pertama dan kedua. Titik ekstrem yang mungkin dipertimbangkan: x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2, bagi luas keberadaan fungsi ke dalam interval (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) dan (1+√2;+∞).

Di setiap interval ini, turunannya mempertahankan tandanya: yang pertama - plus, yang kedua - minus, yang ketiga - plus. Urutan tanda turunan pertama akan ditulis sebagai berikut: +, -, +.
Kita mendapatkan bahwa fungsi pada (-∞;1-√2) meningkat, pada (1-√2;1+√2) menurun, dan pada (1+√2;+∞) meningkat lagi. Titik ekstrim: maksimum di x=1-√2, apalagi f(1-√2)=2-2√2 minimum di x=1+√2, apalagi f(1+√2)=2+2√2. Di (-∞;1) grafiknya cembung ke atas, dan di (1;+∞) - ke bawah.
VII Mari kita buat tabel dari nilai yang diperoleh

VIII Berdasarkan data yang diperoleh, kami membuat sketsa grafik fungsi

Studi tentang fungsi dilakukan sesuai dengan skema yang jelas dan mengharuskan siswa untuk memiliki pengetahuan yang kuat tentang konsep matematika dasar seperti domain definisi dan nilai, kesinambungan fungsi, asimtot, titik ekstrem, paritas, periodisitas, dll. Siswa harus dengan bebas membedakan fungsi dan menyelesaikan persamaan, yang terkadang sangat rumit.

Artinya, tugas ini menguji lapisan pengetahuan yang signifikan, celah apa pun yang akan menjadi penghalang untuk mendapatkan solusi yang tepat. Terutama kesulitan yang sering muncul dengan konstruksi grafik fungsi. Kesalahan ini segera menarik perhatian guru dan dapat sangat merusak nilai Anda, meskipun segala sesuatu dilakukan dengan benar. Di sini Anda dapat menemukan tugas untuk mempelajari fungsi online: mempelajari contoh, mengunduh solusi, memesan tugas.

Selidiki Fungsi dan Plot: Contoh dan Solusi Online

Kami telah menyiapkan banyak studi fitur siap pakai untuk Anda, baik berbayar di buku solusi, maupun gratis di bagian Contoh Riset Fitur. Berdasarkan tugas-tugas yang diselesaikan ini, Anda akan dapat berkenalan secara detail dengan metodologi untuk melakukan tugas-tugas tersebut, dengan analogi, melakukan penelitian Anda sendiri.

Kami menawarkan contoh siap pakai dari studi lengkap dan memplot grafik fungsi dari jenis yang paling umum: polinomial, pecahan rasional, irasional, eksponensial, logaritma, fungsi trigonometri. Setiap masalah yang diselesaikan disertai dengan grafik yang sudah jadi dengan titik-titik kunci yang dipilih, asimtot, maksima dan minima, solusinya dilakukan sesuai dengan algoritma untuk mempelajari fungsi.

Contoh yang dipecahkan, dalam hal apa pun, akan sangat membantu Anda, karena mencakup jenis fungsi yang paling populer. Kami menawarkan kepada Anda ratusan soal yang sudah dipecahkan, tetapi, seperti yang Anda ketahui, ada banyak sekali fungsi matematika di dunia, dan guru adalah pakar hebat dalam menciptakan tugas yang semakin rumit untuk siswa miskin. Jadi, para siswa yang terkasih, bantuan yang berkualitas tidak akan merugikan Anda.

Memecahkan masalah untuk mempelajari fungsi untuk memesan

Dalam hal ini, mitra kami akan menawarkan layanan lain kepada Anda - studi fungsi penuh online untuk memesan. Tugas akan diselesaikan untuk Anda sesuai dengan semua persyaratan algoritme untuk menyelesaikan masalah seperti itu, yang akan sangat menyenangkan guru Anda.

Kami akan melakukan studi lengkap tentang fungsi untuk Anda: kami akan menemukan domain definisi dan rentang nilai, memeriksa kontinuitas dan diskontinuitas, mengatur paritas, memeriksa fungsi Anda untuk periodisitas, menemukan titik potong dengan sumbu koordinat . Dan, tentu saja, lebih jauh dengan bantuan kalkulus diferensial: kita akan menemukan asimtot, menghitung ekstrem, titik belok, dan membuat grafik itu sendiri.

Mari kita periksa fungsi \(y= \frac(x^3)(1-x) \) dan buat grafiknya.

1. Domain definisi.
Domain definisi fungsi rasional (pecahan) adalah: penyebutnya tidak sama dengan nol, yaitu \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domain $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Breakpoint suatu fungsi dan klasifikasinya.
Fungsi memiliki satu break point x = 1
periksa titik x= 1. Cari limit fungsi di kanan dan kiri titik diskontinu, di kanan $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x )) = -\infty $$ dan di sebelah kiri titik $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ batas satu sisi adalah \(\infty\).

Garis lurus \(x = 1\) adalah asimtot vertikal.

3. Kemerataan fungsi.
Memeriksa paritas \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) fungsinya bukan genap atau ganjil.

4. Nol dari fungsi (titik perpotongan dengan sumbu Ox). Interval keteguhan fungsi.
Fungsi nol ( titik potong dengan sumbu Ox): samakan \(y=0\), kita dapatkan \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Kurva memiliki satu titik potong dengan sumbu Ox dengan koordinat \((0;0)\).

Interval keteguhan fungsi.
Pada interval yang dipertimbangkan \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) kurva memiliki satu titik potong dengan sumbu Ox , jadi kita akan mempertimbangkan domain definisi pada tiga interval.

Mari kita tentukan tanda fungsi pada interval domain definisi:
interval \((-\infty; 0) \) temukan nilai fungsi di sembarang titik \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
interval \((0; 1) \) cari nilai fungsi di sembarang titik \(f(0,5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), pada interval ini fungsinya positif \(f(x ) > 0 \), yaitu. berada di atas sumbu x.
interval \((1;+\infty) \) cari nilai fungsi di sembarang titik \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Titik potong dengan sumbu Oy: samakan \(x=0 \), kita dapatkan \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Koordinat titik potong dengan sumbu Oy \((0; 0)\)

6. Interval kemonotonan. Fungsi ekstrem.
Ayo cari titik kritis (stasioner), untuk ini kita cari turunan pertama dan samakan dengan nol $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1 -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ sama dengan 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Temukan nilai fungsi pada titik ini \(f (0) = 0\) dan \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\). Mendapat dua titik kritis dengan koordinat \((0;0)\) dan \((1.5;-6.75)\)

Interval monotonitas.
Fungsi tersebut memiliki dua titik kritis (kemungkinan titik ekstrem), jadi kami akan mempertimbangkan kemonotonan pada empat interval:
interval \((-\infty; 0) \) cari nilai turunan pertama di sembarang titik interval \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
interval \((0;1)\) cari nilai turunan pertama di sembarang titik interval \(f(0,5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , fungsi meningkat pada interval ini.
interval \((1;1.5)\) cari nilai turunan pertama di sembarang titik interval \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , fungsi meningkat pada interval ini.
interval \((1.5; +\infty)\) cari nilai turunan pertama di sembarang titik interval \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Fungsi ekstrem.

Dalam studi fungsi, diperoleh dua titik kritis (stasioner) pada interval domain definisi. Mari kita tentukan apakah mereka ekstrem. Pertimbangkan perubahan tanda turunan saat melewati titik kritis:

titik \(x = 0\) tanda perubahan turunan dari \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - titik tersebut bukan ekstrem.
titik \(x = 1.5\) tanda perubahan turunan dari \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - titik tersebut adalah titik maksimum.

7. Interval kecembungan dan kecekungan. Titik belok.

Untuk menemukan interval kecembungan dan kecekungan, kita menemukan turunan kedua dari fungsi dan menyamakannya dengan nol $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Set $$ sama dengan nol \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Fungsi memiliki satu titik kritis jenis kedua dengan koordinat \((0;0)\).
Mari kita definisikan konveksitas pada interval domain definisi, dengan mempertimbangkan titik kritis jenis kedua (titik belok yang mungkin).

interval \((-\infty; 0)\) cari nilai turunan kedua di sembarang titik \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
interval \((0; 1)\) cari nilai turunan kedua di sembarang titik \(f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), pada interval ini turunan kedua dari fungsi tersebut adalah positif \(f""(x) > 0 \) fungsinya cembung ke bawah (cembung).
interval \((1; \infty)\) cari nilai turunan kedua di sembarang titik \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Titik belok.

Pertimbangkan perubahan tanda turunan kedua ketika melewati titik kritis jenis kedua:
Pada titik \(x =0\) turunan kedua berubah tanda dari \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), grafik fungsi berubah kecembungan, yaitu ini adalah titik belok dengan koordinat \((0;0)\).

8. Asimtot.

Asimtot vertikal. Grafik fungsi memiliki satu asimtot vertikal \(x =1\) (lihat item 2).
Asimtot miring.
Agar grafik fungsi \(y= \frac(x^3)(1-x) \) untuk \(x \to \infty\) memiliki asimtot miring \(y = kx+b\) , itu perlu dan cukup , sehingga ada dua batasan $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ temukan $$ \lim_(x \ ke \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ dan batas kedua $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, karena \(k = \infty\) - tidak ada asimtot miring.

asimtot horisontal: agar asimtot horizontal ada, limit $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ harus ada, temukan $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
Tidak ada asimtot horizontal.

9. Grafik fungsi.

Titik referensi dalam studi fungsi dan konstruksi grafiknya adalah titik karakteristik - titik diskontinuitas, ekstrem, infleksi, persimpangan dengan sumbu koordinat. Dengan bantuan kalkulus diferensial, seseorang dapat menetapkan karakteristik perubahan fungsi: naik dan turun, maksima dan minima, arah kecembungan dan kecekungan grafik, adanya asimtot.

Sketsa grafik fungsi dapat (dan harus) dibuat sketsa setelah menemukan asimtot dan titik ekstrem, dan akan lebih mudah untuk mengisi tabel ringkasan studi fungsi selama studi.

Biasanya, skema penelitian fungsi berikut digunakan.

1.Temukan domain, interval kontinuitas, dan breakpoint suatu fungsi.

2.Periksa fungsi untuk genap atau ganjil (simetri aksial atau pusat grafik.

3.Temukan asimtot (vertikal, horizontal atau miring).

4.Temukan dan selidiki interval kenaikan dan penurunan fungsi, titik ekstremnya.

5.Temukan interval kecembungan dan kecekungan kurva, titik beloknya.

6.Temukan titik potong kurva dengan sumbu koordinat, jika ada.

7.Menyusun tabel ringkasan studi.

8.Bangun grafik, dengan mempertimbangkan studi fungsi, dilakukan sesuai dengan poin di atas.

Contoh. Jelajahi Fungsi

dan plot itu.

7. Mari kita buat tabel ringkasan dari studi fungsi, di mana kita akan memasukkan semua titik karakteristik dan interval di antara keduanya. Mengingat paritas fungsi, kami mendapatkan tabel berikut: