Quello che viene chiamato il seno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo. Triangolo rettangolo

Istruzione

Se hai bisogno di trovare il coseno angolo in un triangolo arbitrario, è necessario utilizzare il teorema del coseno:
se l'angolo è acuto: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
se angolo : cos? = (c2 - a2 - b2)/(2ab), dove a, b sono le lunghezze dei lati adiacenti all'angolo, c è la lunghezza del lato opposto all'angolo.

Consigli utili

La notazione matematica per il coseno è cos.
Il valore del coseno non può essere maggiore di 1 e minore di -1.

Fonti:

• come calcolare il coseno di un angolo
• Funzioni trigonometriche sulla circonferenza unitaria

Cosenoè la funzione trigonometrica di base dell'angolo. La capacità di determinare il coseno è utile in algebra vettoriale quando si determinano le proiezioni dei vettori su vari assi.

Istruzione

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

C'è un triangolo con i lati a, b, c pari a 3, 4, 5 mm, rispettivamente.

Trovare coseno l'angolo racchiuso tra i lati maggiori.

Indichiamo l'angolo opposto al lato a passante?, quindi, secondo la formula derivata sopra, abbiamo:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Risposta: 0.8.

Se il triangolo è un triangolo rettangolo, allora da trovare coseno ed è sufficiente conoscere le lunghezze di due lati qualsiasi dell'angolo ( coseno l'angolo retto è 0).

Sia un triangolo rettangolo di lati a, b, c, dove c è l'ipotenusa.

Considera tutte le opzioni:

Trova cos? se le lunghezze dei lati a e b (di un triangolo) sono note

Usiamo inoltre il teorema di Pitagora:

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(b?+b?+a?-a?)/(2*b*v(b?+a?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Per la correttezza della formula risultante, la sostituiamo dall'esempio 1, ad es.

Dopo aver fatto i calcoli elementari, otteniamo:

Allo stesso modo, c'è coseno in un rettangolare triangolo in altri casi:

Noti a e c (ipotenusa e cateto opposto), trovare cos?

cos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(c?-a?+c?-a?)/(2*c*v(c?-a?)) =(2*s?-2*a?)/(2*s*v(s?-a?))=v(s?-a?)/s.

Sostituendo i valori a=3 e c=5 dell'esempio, otteniamo:

b e c sono note (l'ipotenusa e il cateto adiacente).

Trova cos?

Avendo eseguito trasformazioni simili (mostrate negli esempi 2 e 3), otteniamo che in questo caso coseno v triangolo calcolato utilizzando una formula molto semplice:

La semplicità della formula derivata è spiegata in modo elementare: infatti, adiacente all'angolo? la gamba è una proiezione dell'ipotenusa, la sua lunghezza è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa moltiplicata per cos?.

Sostituendo i valori b=4 e c=5 del primo esempio, otteniamo:

Quindi tutte le nostre formule sono corrette.

Suggerimento 5: come trovare un angolo acuto in un triangolo rettangolo

Direttamente carbonico il triangolo è probabilmente uno dei più famosi, dal punto di vista storico, forme geometriche. I "pantaloni" pitagorici possono competere solo con "Eureka!" Archimede.

Avrai bisogno

• - disegno di un triangolo;
• - governate;
• - goniometro.

Istruzione

La somma degli angoli di un triangolo è di 180 gradi. in un rettangolare triangolo un angolo (a destra) sarà sempre di 90 gradi, e il resto è acuto, cioè meno di 90 gradi ciascuno. Per determinare quale angolo in un rettangolo triangoloè dritto, misura i lati del triangolo con un righello e determina il più grande. È l'ipotenusa (AB) ed è opposta all'angolo retto (C). I restanti due lati formano un angolo retto e gambe (AC, BC).

Dopo aver determinato quale angolo è acuto, puoi utilizzare un goniometro per calcolare l'angolo o calcolarlo utilizzando formule matematiche.

Per determinare il valore dell'angolo usando un goniometro, allinea la sua parte superiore (denotiamola con la lettera A) con un segno speciale sul righello al centro del goniometro, la gamba AC deve coincidere con il suo bordo superiore. Segna sulla parte semicircolare del goniometro il punto attraverso il quale passa l'ipotenusa AB. Il valore a questo punto corrisponde al valore dell'angolo in gradi. Se sul goniometro sono indicate 2 quantità, allora per angolo acuto devi sceglierne uno più piccolo, per uno stupido - uno più grande.

Trova il valore risultante nel Bradis di riferimento e determina quale angolo corrisponde al valore numerico risultante. Le nostre nonne usavano questo metodo.

Nel nostro è sufficiente prendere con la funzione di calcolare le formule trigonometriche. Ad esempio, la calcolatrice di Windows integrata. Avvia l'applicazione "Calcolatrice", nella voce di menu "Visualizza", seleziona la voce "Ingegneria". Calcola il seno dell'angolo desiderato, ad esempio sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Passare la calcolatrice alla modalità funzione inversa facendo clic sul pulsante INV sul display della calcolatrice, quindi fare clic sul pulsante funzione arcoseno (etichettato sin to the minus one power sul display). Nella finestra di calcolo apparirà la seguente iscrizione: asind (0.5) = 30. Cioè, l'angolo desiderato è di 30 gradi.

Fonti:

• Tabelle di Bradis (seno, coseno)

Il teorema del coseno in matematica viene spesso utilizzato quando è necessario trovare il terzo lato di un angolo e due lati. Tuttavia, a volte la condizione del problema è posta al contrario: è necessario trovare l'angolo per dati tre lati.

Istruzione

Immagina di avere un triangolo con lunghezze note di due lati e il valore di un angolo. Tutti gli angoli di questo triangolo non sono uguali tra loro e anche i suoi lati hanno dimensioni diverse. L'angolo γ si trova di fronte al lato del triangolo, designato come AB, che è questa figura. Attraverso questo angolo, così come attraverso i restanti lati AC e BC, puoi trovare quel lato del triangolo, che è sconosciuto, usando il teorema del coseno, derivando la formula seguente sulla base:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, dove a=BC, b=AB, c=AC
Il teorema del coseno è altrimenti chiamato teorema di Pitagora generalizzato.

Ora immagina che tutti e tre i lati della figura siano dati, ma il suo angolo γ è sconosciuto. Sapendo che la forma a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, trasforma questa espressione in modo che il valore desiderato sia l'angolo γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Quindi porta l'equazione precedente in una forma leggermente diversa: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Allora questa espressione dovrebbe essere trasformata nella seguente: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Resta da sostituire i numeri nella formula ed eseguire i calcoli.

Per trovare il coseno, indicato con γ, deve essere espresso attraverso l'inverso trigonometrico, chiamato coseno inverso. L'arcoseno del numero m è il valore dell'angolo γ, per il quale il coseno dell'angolo γ è uguale a m. La funzione y=arccos m è decrescente. Immagina, ad esempio, che il coseno dell'angolo γ sia la metà. Quindi l'angolo γ può essere definito in termini di arco coseno come segue:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, dove m = 1/2.
Allo stesso modo, puoi trovare gli angoli rimanenti di un triangolo con altri due lati sconosciuti.

Seno e coseno sono due funzioni trigonometriche chiamate "rette". Sono loro che devono essere calcolati più spesso di altri, e oggi ognuno di noi ha una notevole scelta di opzioni per risolvere questo problema. Di seguito sono riportati alcuni dei più modi semplici.

Istruzione

Utilizzare un goniometro, matita e carta se non sono disponibili altri mezzi di calcolo. Una delle definizioni del coseno è data dagli angoli acuti in un triangolo rettangolo: è uguale al rapporto tra la lunghezza della gamba opposta a questo angolo e la lunghezza. Disegna un triangolo in cui uno degli angoli è retto (90°) e l'altro è l'angolo che vuoi calcolare. La lunghezza dei lati non ha importanza: disegnali in modo tale che sia più conveniente per te misurare. Misura la lunghezza della gamba e dell'ipotenusa desiderate e dividi la prima per la seconda in qualsiasi modo conveniente.

Cogli l'opportunità di valore funzioni trigonometriche utilizzando la calcolatrice integrata nel motore di ricerca Nigma se si dispone di accesso a Internet. Ad esempio, se vuoi calcolare il coseno di un angolo di 20°, allora caricando pagina iniziale service http://nigma.ru digitare la query di ricerca "coseno 20" e fare clic sul pulsante "Trova!". Puoi omettere "gradi" e sostituire la parola "coseno" con cos - in ogni caso, il motore di ricerca mostrerà il risultato con una precisione fino a 15 cifre decimali (0,939692620785908).

Apri il programma standard - installato con l'operativo Sistema Windows se non c'è accesso a Internet. Questo può essere fatto, ad esempio, premendo contemporaneamente i tasti win e r, quindi immettendo il comando calc e facendo clic sul pulsante OK. Per calcolare le funzioni trigonometriche, ecco un'interfaccia chiamata "ingegneria" o "scientifica" (a seconda della versione del sistema operativo) - selezionare l'elemento desiderato nella sezione "Visualizza" del menu della calcolatrice. Successivamente, inserisci il valore dell'angolo in e fai clic sul pulsante cos nell'interfaccia del programma.

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Suggerimento 8: come determinare gli angoli in un triangolo rettangolo

Rettangolare è caratterizzato da determinati rapporti tra angoli e lati. Conoscendo i valori di alcuni di essi, puoi calcolarne altri. Per questo vengono utilizzate formule basate, a loro volta, sugli assiomi e sui teoremi della geometria.

Dati di riferimento per tangente (tg x) e cotangente (ctg x). Definizione geometrica, proprietà, grafici, formule. Tavola di tangenti e cotangenti, derivate, integrali, sviluppi in serie. Espressioni attraverso variabili complesse. Collegamento con funzioni iperboliche.

Definizione geometrica

|BD| - la lunghezza dell'arco di cerchio centrato nel punto A.
α è l'angolo espresso in radianti.

Tangente ( tga) è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza della gamba adiacente |AB| .

Cotangente ( ctga) è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza della gamba opposta |BC| .

Tangente

Dove N- Totale.

Nella letteratura occidentale, la tangente è indicata come segue:
.
;
;
.

Grafico della funzione tangente, y = tg x

Cotangente

Dove N- Totale.

Nella letteratura occidentale, la cotangente è indicata come segue:
.
È stata inoltre adottata la seguente notazione:
;
;
.

Grafico della funzione cotangente, y = ctg x

Proprietà di tangente e cotangente

Periodicità

Funzioni y= tg x e y= ctg x sono periodiche di periodo π.

Parità

Le funzioni tangente e cotangente sono dispari.

Domini di definizione e valori, ascendenti, discendenti

Le funzioni tangente e cotangente sono continue nel loro dominio di definizione (vedi la dimostrazione di continuità). Le principali proprietà della tangente e della cotangente sono presentate nella tabella ( N- numero intero).

	e= tg x	e= ctg x
Portata e continuità
Intervallo di valori	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Ascendente		-
Discendente	-
Estremi	-	-
Zero, y= 0
Punti di intersezione con l'asse y, x = 0	e= 0	-

Formule

Espressioni in termini di seno e coseno

; ;
; ;
;

Formule per tangente e cotangente di somma e differenza

Il resto delle formule è facile da ottenere, per esempio

Prodotto di tangenti

La formula per la somma e la differenza delle tangenti

Questa tabella mostra i valori di tangenti e cotangenti per alcuni valori dell'argomento.

Espressioni in termini di numeri complessi

Espressioni in termini di funzioni iperboliche

;
;

Derivati

; .

.
Derivata dell'ennesimo ordine rispetto alla variabile x della funzione :
.
Derivazione di formule per la tangente > > > ; per cotangente > > >

Integrali

Espansioni in serie

Per ottenere l'espansione della tangente in potenze di x, è necessario prendere diversi termini dell'espansione in una serie di potenze per le funzioni peccato x E cosx e dividere questi polinomi l'uno nell'altro , . Ciò si traduce nelle seguenti formule.

A .

A .
Dove B n- Numeri di Bernoulli. Sono determinati dalla relazione di ricorrenza:
;
;
Dove .
Oppure secondo la formula di Laplace:

Funzioni inverse

Funzioni inverse a tangente e cotangente sono rispettivamente arcotangente e arcotangente.

Arcotangente, arctg

, Dove N- Totale.

Arcotangente, arcctg

, Dove N- Totale.

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.
G. Korn, Manuale di matematica per ricercatori e ingegneri, 2012.

Il seno è una delle funzioni trigonometriche di base, la cui applicazione non è limitata alla sola geometria. Le tabelle per il calcolo delle funzioni trigonometriche, come le calcolatrici ingegneristiche, non sono sempre a portata di mano e talvolta il calcolo del seno è necessario per risolvere vari problemi. In generale, il calcolo del seno aiuterà a consolidare le capacità di disegno e la conoscenza delle identità trigonometriche.

Giochi con righello e matita

Un compito semplice: come trovare il seno di un angolo disegnato su carta? Per risolvere, hai bisogno di un normale righello, un triangolo (o un compasso) e una matita. Il modo più semplice per calcolare il seno di un angolo è dividere la gamba più lontana di un triangolo con un angolo retto per il lato lungo - l'ipotenusa. Quindi, prima devi completare l'angolo acuto alla figura di un triangolo rettangolo tracciando una linea perpendicolare a uno dei raggi a una distanza arbitraria dal vertice dell'angolo. Sarà necessario osservare un angolo di esattamente 90 °, per il quale abbiamo bisogno di un triangolo clericale.

Usare una bussola è un po' più preciso, ma richiederà più tempo. Su uno dei raggi, devi segnare 2 punti a una certa distanza, impostare un raggio sulla bussola approssimativamente uguale alla distanza tra i punti e tracciare semicerchi con centri in questi punti finché queste linee non si intersecano. Collegando tra loro i punti di intersezione dei nostri cerchi, otterremo una rigorosa perpendicolare al raggio del nostro angolo, non resta che estendere la linea fino a quando non si interseca con un altro raggio.

Nel triangolo risultante, devi misurare il lato opposto all'angolo e il lato lungo su uno dei raggi con un righello. Il rapporto tra la prima misura e la seconda sarà il valore desiderato del seno dell'angolo acuto.

Trova il seno per un angolo maggiore di 90°

Per un angolo ottuso, il compito non è molto più difficile. È necessario disegnare un raggio dal vertice nella direzione opposta usando un righello per formare una linea retta con uno dei raggi dell'angolo che ci interessa. Con l'angolo acuto risultante, dovresti procedere come descritto sopra, i seni degli angoli adiacenti, formando insieme un angolo sviluppato di 180 °, sono uguali.

Calcolo del seno da altre funzioni trigonometriche

Inoltre, il calcolo del seno è possibile se sono noti i valori di altre funzioni trigonometriche dell'angolo o almeno la lunghezza dei lati del triangolo. Le identità trigonometriche ci aiuteranno in questo. Diamo un'occhiata a esempi comuni.

Come trovare il seno con un coseno noto di un angolo? La prima identità trigonometrica, proveniente dal teorema di Pitagora, dice che la somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è uguale a uno.

Come trovare il seno con una tangente nota di un angolo? La tangente si ottiene dividendo la gamba lontana per quella vicina o dividendo il seno per il coseno. Pertanto, il seno sarà il prodotto del coseno e della tangente, e il quadrato del seno sarà il quadrato di questo prodotto. Sostituiamo il coseno quadrato con la differenza tra l'unità e il seno quadrato secondo la prima identità trigonometrica e, attraverso semplici manipolazioni, portiamo l'equazione per calcolare il seno quadrato attraverso la tangente, rispettivamente, per calcolare il seno, dovrai estrarre la radice dal risultato ottenuto.

Come trovare il seno con una cotangente nota di un angolo? Il valore della cotangente può essere calcolato dividendo la lunghezza del vicino dall'angolo della gamba per la lunghezza del lontano, e dividendo anche il coseno per il seno, cioè la cotangente è la funzione inversa della tangente con rispetto al numero 1. Per calcolare il seno, puoi calcolare la tangente utilizzando la formula tg α \u003d 1 / ctg α e utilizzare la formula nella seconda opzione. Puoi anche derivare una formula diretta per analogia con la tangente, che sarà simile a questa.

Come trovare il seno dei tre lati di un triangolo

Esiste una formula per trovare la lunghezza del lato sconosciuto di qualsiasi triangolo, non solo un triangolo rettangolo, dati due lati noti usando la funzione trigonometrica del coseno dell'angolo opposto. Ha questo aspetto.

Bene, il seno può essere ulteriormente calcolato dal coseno secondo le formule sopra.

I concetti di seno, coseno, tangente e cotangente sono le principali categorie della trigonometria, una branca della matematica, e sono indissolubilmente legate alla definizione di un angolo. Il possesso di questa scienza matematica richiede la memorizzazione e la comprensione di formule e teoremi, nonché un pensiero spaziale sviluppato. Ecco perché i calcoli trigonometrici spesso causano difficoltà a scolari e studenti. Per superarli, dovresti acquisire maggiore familiarità con le funzioni e le formule trigonometriche.

Concetti di trigonometria

Per comprendere i concetti di base della trigonometria, devi prima decidere cosa sono un triangolo rettangolo e un angolo in un cerchio e perché tutti i calcoli trigonometrici di base sono associati a loro. Un triangolo in cui uno degli angoli è di 90 gradi è un triangolo rettangolo. Storicamente, questa figura è stata spesso utilizzata da persone in architettura, navigazione, arte, astronomia. Di conseguenza, studiando e analizzando le proprietà di questa figura, le persone sono arrivate al calcolo dei corrispondenti rapporti dei suoi parametri.

Le principali categorie associate ai triangoli rettangoli sono l'ipotenusa e le gambe. L'ipotenusa è il lato di un triangolo che è opposto all'angolo retto. Le gambe, rispettivamente, sono gli altri due lati. La somma degli angoli di ogni triangolo è sempre di 180 gradi.

La trigonometria sferica è una sezione della trigonometria che non viene studiata a scuola, ma nelle scienze applicate come l'astronomia e la geodesia, gli scienziati la usano. Una caratteristica di un triangolo nella trigonometria sferica è che ha sempre una somma di angoli maggiore di 180 gradi.

Angoli di un triangolo

In un triangolo rettangolo, il seno di un angolo è il rapporto tra la gamba opposta all'angolo desiderato e l'ipotenusa del triangolo. Di conseguenza, il coseno è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa. Entrambi questi valori hanno sempre un valore inferiore a uno, poiché l'ipotenusa è sempre più lunga della gamba.

La tangente di un angolo è un valore uguale al rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente dell'angolo desiderato, o seno a coseno. La cotangente, a sua volta, è il rapporto tra la gamba adiacente dell'angolo desiderato e il cactet opposto. La cotangente di un angolo può essere ottenuta anche dividendo l'unità per il valore della tangente.

cerchio unitario

Un cerchio unitario in geometria è un cerchio il cui raggio è uguale a uno. Tale cerchio è costruito nel sistema di coordinate cartesiane, con il centro del cerchio coincidente con il punto di origine, e la posizione iniziale del raggio vettore è determinata dalla direzione positiva dell'asse X (asse delle ascisse). Ogni punto del cerchio ha due coordinate: XX e YY, cioè le coordinate dell'ascissa e dell'ordinata. Selezionando un qualsiasi punto della circonferenza nel piano XX, e trascinando da esso la perpendicolare all'asse delle ascisse, otteniamo un triangolo rettangolo formato da un raggio al punto selezionato (denotiamolo con la lettera C), una perpendicolare disegnata a l'asse X (il punto di intersezione è indicato con la lettera G), e un segmento l'asse delle ascisse tra l'origine (il punto è indicato con la lettera A) e il punto di intersezione G. Il triangolo risultante ACG è un triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza, dove AG è l'ipotenusa e AC e GC sono i cateti. L'angolo tra il raggio del cerchio AC e il segmento dell'asse delle ascisse con la designazione AG, definiamo come α (alfa). Quindi, cos α = AG/AC. Dato che AC è il raggio della circonferenza unitaria, ed è uguale a uno, risulta che cos α=AG. Allo stesso modo, sin α=CG.

Inoltre, conoscendo questi dati, è possibile determinare la coordinata del punto C sul cerchio, poiché cos α \u003d AG e sin α \u003d CG, il che significa che il punto C ha coordinate date(cosα;sinα). Sapendo che la tangente è uguale al rapporto tra seno e coseno, possiamo determinarlo tg α \u003d y / xe ctg α \u003d x / y. Considerando gli angoli in un sistema di coordinate negativo, si può calcolare che i valori seno e coseno di alcuni angoli possono essere negativi.

Calcoli e formule di base

Valori delle funzioni trigonometriche

Avendo considerato l'essenza delle funzioni trigonometriche attraverso la circonferenza unitaria, possiamo derivare i valori di queste funzioni per alcuni angoli. I valori sono elencati nella tabella sottostante.

Le identità trigonometriche più semplici

Le equazioni in cui è presente un valore sconosciuto sotto il segno della funzione trigonometrica sono chiamate trigonometriche. Identità con il valore sin x = α, k è qualsiasi numero intero:

1. peccato x = 0, x = πk.
2. 2. peccato x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. peccato x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. peccato x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
5. peccato x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identità con il valore cos x = a, dove k è qualsiasi numero intero:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, nessuna soluzione.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±archi α + 2πk.

Identità con il valore tg x = a, dove k è qualsiasi numero intero:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identità con valore ctg x = a, dove k è qualsiasi numero intero:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Formule di fusione

Questa categoria di formule costanti denota i metodi con cui è possibile passare dalle funzioni trigonometriche della forma alle funzioni dell'argomento, ovvero convertire il seno, il coseno, la tangente e la cotangente di un angolo di qualsiasi valore nei corrispondenti indicatori dell'angolo di l'intervallo da 0 a 90 gradi per una maggiore comodità di calcolo.

Le formule per ridurre le funzioni per il seno di un angolo sono le seguenti:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Per il coseno di un angolo:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

L'uso delle formule di cui sopra è possibile soggetto a due regole. Innanzitutto, se l'angolo può essere rappresentato come un valore (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), il valore della funzione cambia:

• dal peccato al cos;
• da cos a sin;
• da tg a ctg;
• da ctg a tg.

Il valore della funzione rimane invariato se l'angolo può essere rappresentato come (π ± a) o (2π ± a).

In secondo luogo, il segno della funzione ridotta non cambia: se inizialmente era positivo, lo rimane. Lo stesso vale per le funzioni negative.

Formule di addizione

Queste formule esprimono i valori di seno, coseno, tangente e cotangente della somma e della differenza di due angoli di rotazione in termini delle loro funzioni trigonometriche. Gli angoli sono generalmente indicati come α e β.

Le formule hanno questo aspetto:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Queste formule sono valide per qualsiasi angolo α e β.

Formule del doppio e del triplo angolo

Le formule trigonometriche di un angolo doppio e triplo sono formule che mettono in relazione le funzioni degli angoli 2α e 3α, rispettivamente, con le funzioni trigonometriche dell'angolo α. Derivato da formule di addizione:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3α) / (1-tg^2α).

Transizione dalla somma al prodotto

Considerando che 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), semplificando questa formula, otteniamo l'identità sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Analogamente, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Transizione dal prodotto alla somma

Queste formule seguono dalle identità per la transizione della somma al prodotto:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule di riduzione

In queste identità, le potenze quadrate e cubiche del seno e del coseno possono essere espresse in termini di seno e coseno della prima potenza di un angolo multiplo:

• sin^2α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Sostituzione universale

Le formule di sostituzione trigonometriche universali esprimono funzioni trigonometriche in termini di tangente di un mezzo angolo.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), mentre x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), dove x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), dove x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), mentre x \u003d π + 2πn.

Casi speciali

Di seguito sono riportati casi particolari delle equazioni trigonometriche più semplici (k è qualsiasi numero intero).

Privato per seno:

peccato x valore	valore x
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk o 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk o -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk o 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk o -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk o 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk o -2π/3 + 2πk

Quozienti del coseno:

cos x valore	valore x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privato per tangente:

tg x valore	valore x
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Quozienti cotangenti:

ctg x valore	valore x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremi

Teorema del seno

Esistono due versioni del teorema: semplice ed estesa. Semplice teorema del seno: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. In questo caso, a, b, c sono i lati del triangolo e α, β, γ sono rispettivamente gli angoli opposti.

Teorema del seno esteso per un triangolo arbitrario: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. In questa identità, R denota il raggio del cerchio in cui è inscritto il triangolo dato.

Teorema del coseno

L'identità viene visualizzata in questo modo: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Nella formula, a, b, c sono i lati del triangolo e α è l'angolo opposto al lato a.

Teorema della tangente

La formula esprime il rapporto tra le tangenti di due angoli e la lunghezza dei lati opposti. I lati sono indicati con a, b, c e gli angoli opposti corrispondenti sono α, β, γ. La formula del teorema della tangente: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Teorema della cotangente

Associa il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo alla lunghezza dei suoi lati. Se a, b, c sono i lati di un triangolo, e A, B, C, rispettivamente, sono i loro angoli opposti, r è il raggio del cerchio inscritto e p è il semiperimetro del triangolo, le seguenti identità Presa:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Applicazioni

La trigonometria non è solo scienza teorica associati a formule matematiche. Le sue proprietà, teoremi e regole sono utilizzate nella pratica da vari settori attività umana– astronomia, navigazione aerea e marittima, teoria musicale, geodesia, chimica, acustica, ottica, elettronica, architettura, economia, ingegneria meccanica, lavori di misurazione, grafica computerizzata, cartografia, oceanografia e molti altri.

Seno, coseno, tangente e cotangente sono i concetti base della trigonometria, con i quali è possibile esprimere matematicamente la relazione tra angoli e lunghezze dei lati in un triangolo, e trovare le quantità desiderate attraverso identità, teoremi e regole.

Qual è il seno, il coseno, la tangente, la cotangente di un angolo ti aiuterà a capire un triangolo rettangolo.

Come si chiamano i lati di un triangolo rettangolo? Esatto, l'ipotenusa e le gambe: l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo retto (nel nostro esempio, questo è il lato \ (AC \) ); le gambe sono i due lati rimanenti \ (AB \) e \ (BC \) (quelli adiacenti all'angolo retto), inoltre, se consideriamo le gambe rispetto all'angolo \ (BC \) , allora la gamba \ (AB \) è la gamba adiacente e la gamba \ (BC \) è opposta. Quindi, ora rispondiamo alla domanda: quali sono il seno, il coseno, la tangente e la cotangente di un angolo?

Seno di un angolo- questo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e l'ipotenusa.

Nel nostro triangolo:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Coseno di un angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e l'ipotenusa.

Nel nostro triangolo:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Angolo tangente- questo è il rapporto tra la gamba opposta (lontana) e quella adiacente (vicina).

Nel nostro triangolo:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangente di un angolo- questo è il rapporto tra la gamba adiacente (vicina) e quella opposta (lontana).

Nel nostro triangolo:

\[ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Queste definizioni sono necessarie Ricordare! Per rendere più facile ricordare quale gamba dividere per cosa, devi capirlo chiaramente tangente E cotangente solo le gambe si siedono e l'ipotenusa appare solo dentro seno E coseno. E poi puoi inventare una catena di associazioni. Ad esempio, questo:

coseno→tocco→tocco→adiacente;

Cotangente→tocco→tocco→adiacente.

Prima di tutto, è necessario ricordare che seno, coseno, tangente e cotangente come rapporti dei lati di un triangolo non dipendono dalle lunghezze di questi lati (ad un angolo). Non credere? Quindi assicurati guardando l'immagine:

Considera, ad esempio, il coseno dell'angolo \(\beta \) . Per definizione, da un triangolo \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ma possiamo calcolare il coseno dell'angolo \(\beta \) dal triangolo \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vedi, le lunghezze dei lati sono diverse, ma il valore del coseno di un angolo è lo stesso. Pertanto, i valori di seno, coseno, tangente e cotangente dipendono esclusivamente dall'ampiezza dell'angolo.

Se capisci le definizioni, vai avanti e correggile!

Per il triangolo \(ABC \) , mostrato nella figura sotto, troviamo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Beh, l'hai preso? Quindi prova tu stesso: calcola lo stesso per l'angolo \(\beta \) .

Risposte: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Cerchio unitario (trigonometrico).

Comprendendo i concetti di grado e radiante, abbiamo considerato un cerchio con raggio pari a \ (1 \) . Tale cerchio è chiamato separare. È molto utile nello studio della trigonometria. Pertanto, ci soffermiamo un po 'più in dettaglio.

Come puoi vedere, questo cerchio è costruito nel sistema di coordinate cartesiane. Il raggio del cerchio è uguale a uno, mentre il centro del cerchio giace nell'origine, la posizione iniziale del raggio vettore è fissata lungo la direzione positiva dell'asse \(x \) (nel nostro esempio, questo è il raggio \(AB \) ).

Ogni punto sul cerchio corrisponde a due numeri: la coordinata lungo l'asse \(x \) e la coordinata lungo l'asse \(y \) . Quali sono questi numeri di coordinate? E in generale, cosa hanno a che fare con l'argomento in questione? Per fare ciò, ricorda il triangolo ad angolo retto considerato. Nella figura sopra, puoi vedere due triangoli rettangoli interi. Considera il triangolo \(ACG \) . È rettangolare perché \(CG \) è perpendicolare all'asse \(x \).

Cos'è \(\cos \ \alpha \) dal triangolo \(ACG \) ? Giusto \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Inoltre, sappiamo che \(AC \) è il raggio della circonferenza unitaria, quindi \(AC=1 \) . Sostituisci questo valore nella nostra formula del coseno. Ecco cosa succede:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

E cos'è \(\sin \ \alpha \) dal triangolo \(ACG \) ? Beh, certo, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Sostituisci il valore del raggio \ (AC \) in questa formula e ottieni:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Allora, puoi dirmi quali sono le coordinate del punto \(C \) , che appartiene al cerchio? Beh, in nessun modo? Ma cosa succede se ti rendi conto che \(\cos \ \alpha \) e \(\sin \alpha \) sono solo numeri? A quale coordinata corrisponde \(\cos \alpha \)? Bene, ovviamente, la coordinata \(x \) ! E a quale coordinata corrisponde \(\sin \alpha \)? Esatto, la coordinata \(y \)! Quindi il punto \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Cosa sono allora \(tg \alpha \) e \(ctg \alpha \) ? Esatto, usiamo le definizioni appropriate di tangente e cotangente e otteniamo ciò \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), UN \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

E se l'angolo è maggiore? Qui, ad esempio, come in questa immagine:

Cosa è cambiato in questo esempio? Scopriamolo. Per fare ciò, ci rivolgiamo nuovamente a un triangolo rettangolo. Considera un triangolo rettangolo \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : un angolo (come adiacente all'angolo \(\beta \) ). Qual è il valore di seno, coseno, tangente e cotangente per un angolo \(((C)_(1))((A)_(1))SOL=180()^\circ -\beta \ \)? Esatto, aderiamo alle corrispondenti definizioni di funzioni trigonometriche:

\(\begin(array)(l)\sin \angolo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angolo ((C)_(1))((A)_(1))SOL=\dfrac(((A)_(1))SOL)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))SOL)(1)=((A)_(1))SOL=x;\\tg\angolo ((C) )_(1))((A)_(1))SOL=\dfrac(((C)_(1))SOL)(((A)_(1))SOL)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angolo ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Bene, come puoi vedere, il valore del seno dell'angolo corrisponde ancora alla coordinata \ (y \) ; il valore del coseno dell'angolo - la coordinata \ (x \) ; e i valori di tangente e cotangente ai corrispondenti rapporti. Pertanto, queste relazioni sono applicabili a qualsiasi rotazione del raggio vettore.

Si è già detto che la posizione iniziale del raggio vettore è lungo la direzione positiva dell'asse \(x\). Finora abbiamo ruotato questo vettore in senso antiorario, ma cosa succede se lo ruotiamo in senso orario? Niente di straordinario, otterrai anche un angolo di una certa dimensione, ma solo negativo. Pertanto, ruotando il vettore del raggio in senso antiorario, otteniamo angoli positivi, e quando si ruota in senso orario - negativo.

Quindi, sappiamo che l'intera rivoluzione del raggio vettore attorno al cerchio è \(360()^\circ \) o \(2\pi \) . È possibile ruotare il raggio vettore di \(390()^\circ \) o di \(-1140()^\circ \) ? Beh, certo che puoi! Nel primo caso, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), quindi il raggio vettore farà una rotazione completa e si fermerà a \(30()^\circ \) o \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Nel secondo caso, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), ovvero il raggio vettore compie tre giri completi e si ferma alla posizione \(-60()^\circ \) o \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Pertanto, dagli esempi precedenti, possiamo concludere che gli angoli che differiscono di \(360()^\circ \cdot m \) o \(2\pi \cdot m \) (dove \(m \) è qualsiasi numero intero ) corrispondono alla stessa posizione del raggio vettore.

La figura seguente mostra l'angolo \(\beta =-60()^\circ \) . La stessa immagine corrisponde all'angolo \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) eccetera. Questo elenco può essere continuato all'infinito. Tutti questi angoli possono essere scritti con la formula generale \(\beta +360()^\circ \cdot m\) o \(\beta +2\pi \cdot m \) (dove \(m \) è qualsiasi numero intero)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Ora, conoscendo le definizioni delle funzioni trigonometriche di base e utilizzando il cerchio unitario, prova a rispondere a quali valori sono uguali a:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\testo(tg)\ 180()^\circ =\testo(tg)\ \pi =?\\\testo(ctg)\ 180()^\circ =\testo(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Ecco un cerchio unitario per aiutarti:

Qualche difficoltà? Allora scopriamolo. Quindi sappiamo che:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)

Da qui, determiniamo le coordinate dei punti corrispondenti a determinate misure dell'angolo. Bene, iniziamo con ordine: l'angolo dentro \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corrisponde a un punto di coordinate \(\left(0;1 \right) \) , quindi:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- non esiste;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Inoltre, aderendo alla stessa logica, scopriamo che gli angoli dentro \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corrispondono a punti con coordinate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \destra) \), rispettivamente. Sapendo questo, è facile determinare i valori delle funzioni trigonometriche nei punti corrispondenti. Prova prima tu stesso, quindi controlla le risposte.

Risposte:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- non esiste

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos\270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- non esiste

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos\360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- non esiste

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- non esiste

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Possiamo quindi creare la seguente tabella:

Non è necessario ricordare tutti questi valori. Basta ricordare la corrispondenza tra le coordinate dei punti sulla circonferenza unitaria e i valori delle funzioni trigonometriche:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Necessario ricordare o essere in grado di emettere!! \) !}

Ed ecco i valori delle funzioni trigonometriche degli angoli in e \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) riportato nella tabella sottostante, è necessario ricordare:

Non c'è bisogno di aver paura, ora mostreremo uno degli esempi di una memorizzazione abbastanza semplice dei valori corrispondenti:

Per utilizzare questo metodo, è fondamentale ricordare i valori del seno per tutte e tre le misure dell'angolo ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), così come il valore della tangente dell'angolo in \(30()^\circ \) . Conoscendo questi valori \(4\), è abbastanza facile ripristinare l'intera tabella: i valori del coseno vengono trasferiti secondo le frecce, ovvero:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), sapendo questo, è possibile ripristinare i valori per \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Il numeratore “\(1 \) ” corrisponderà a \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , e il denominatore “\(\sqrt(\text(3)) \) ” corrisponderà a \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . I valori cotangenti vengono trasferiti secondo le frecce mostrate nella figura. Se lo capisci e ricordi lo schema con le frecce, sarà sufficiente ricordare solo i valori \(4 \) dalla tabella.

Coordinate di un punto su una circonferenza

È possibile trovare un punto (le sue coordinate) su un cerchio, conoscendo le coordinate del centro del cerchio, il suo raggio e l'angolo di rotazione? Beh, certo che puoi! Deriviamo una formula generale per trovare le coordinate di un punto. Qui, ad esempio, abbiamo un tale cerchio:

Ci è dato quel punto \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)è il centro del cerchio. Il raggio del cerchio è \(1,5 \) . È necessario trovare le coordinate del punto \(P \) ottenute ruotando il punto \(O \) di \(\delta \) gradi.

Come si vede dalla figura, la coordinata \ (x \) del punto \ (P \) corrisponde alla lunghezza del segmento \ (TP=UQ=UK+KQ \) . La lunghezza del segmento \ (UK \) corrisponde alla coordinata \ (x \) del centro del cerchio, cioè è uguale a \ (3 \) . La lunghezza del segmento \(KQ \) può essere espressa utilizzando la definizione di coseno:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Allora abbiamo che per il punto \(P \) la coordinata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Con la stessa logica, troviamo il valore della coordinata y per il punto \(P\) . Così,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Quindi dentro vista generale le coordinate del punto sono determinate dalle formule:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Dove

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordinate del centro del cerchio,

\(r\) - raggio del cerchio,

\(\delta \) - angolo di rotazione del raggio del vettore.

Come puoi vedere, per il cerchio unitario che stiamo considerando, queste formule sono notevolmente ridotte, poiché le coordinate del centro sono zero e il raggio è uguale a uno:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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