Moltiplicazione tra parentesi. Apertura parentesi: regole ed esempi (Grade 7)
Le parentesi sono utilizzate per indicare l'ordine in cui le operazioni vengono eseguite in numeri e espressioni letterali, così come nelle espressioni con variabili. Conviene passare da un'espressione con parentesi ad un'espressione identicamente uguale senza parentesi. Questa tecnica è chiamata apertura di parentesi.
Espandere le parentesi significa liberare l'espressione da queste parentesi.
Un altro punto merita un'attenzione particolare, che riguarda le peculiarità delle soluzioni di scrittura all'apertura delle parentesi. Possiamo scrivere l'espressione iniziale tra parentesi e il risultato ottenuto dopo aver aperto le parentesi come uguaglianza. Ad esempio, dopo aver aperto le parentesi, invece dell'espressione
3−(5−7) si ottiene l'espressione 3−5+7. Possiamo scrivere entrambe queste espressioni come uguaglianza 3−(5−7)=3−5+7.
E ancora uno punto importante. In matematica, per ridurre le voci, è consuetudine non scrivere un segno più se è il primo in un'espressione o tra parentesi. Ad esempio, se aggiungiamo due numeri positivi, ad esempio sette e tre, non scriviamo +7 + 3, ma semplicemente 7 + 3, nonostante il fatto che anche sette sia numero positivo. Allo stesso modo, se vedi, ad esempio, l'espressione (5 + x) - sappi che c'è un più davanti alla parentesi, che non è scritto, e c'è un più + (+5 + x) davanti alla cinque.
Regola di espansione della parentesi per l'addizione
Quando si aprono le parentesi, se c'è un segno più prima delle parentesi, allora questo segno più viene omesso insieme alle parentesi.
Esempio. Apri le parentesi nell'espressione 2 + (7 + 3) Prima delle parentesi più, quindi i caratteri davanti ai numeri tra parentesi non cambiano.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
La regola per espandere le parentesi durante la sottrazione
Se c'è un meno prima delle parentesi, allora questo meno viene omesso insieme alle parentesi, ma i termini che erano tra parentesi cambiano il loro segno al contrario. L'assenza di un segno prima del primo termine tra parentesi implica un segno +.
Esempio. Parentesi aperte nell'espressione 2 − (7 + 3)
C'è un segno meno prima delle parentesi, quindi è necessario modificare i segni prima dei numeri dalle parentesi. Non c'è segno tra parentesi prima del numero 7, il che significa che il sette è positivo, si considera che il segno + sia davanti ad esso.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Quando apriamo le parentesi togliamo dall'esempio il segno meno, che era prima delle parentesi, e le parentesi stesse 2 − (+ 7 + 3), e cambiamo i segni che erano tra parentesi con quelli opposti.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Espandere le parentesi durante la moltiplicazione
Se c'è un segno di moltiplicazione davanti alle parentesi, ogni numero all'interno delle parentesi viene moltiplicato per il fattore davanti alle parentesi. Allo stesso tempo, moltiplicando un meno per un meno si ottiene un vantaggio e moltiplicando un meno per un vantaggio, come moltiplicare un vantaggio per un segno meno, si ottiene un segno meno.
Pertanto, le parentesi nei prodotti vengono espanse in accordo con la proprietà distributiva della moltiplicazione.
Esempio. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Quando si moltiplicano parentesi per parentesi, ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda parentesi.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Infatti non c'è bisogno di ricordare tutte le regole, basta ricordarne solo una, questa: c(a−b)=ca−cb. Perché? Perché se sostituiamo uno invece di c, otteniamo la regola (a−b)=a−b. E se sostituiamo meno uno, otteniamo la regola −(a−b)=−a+b. Bene, se sostituisci un'altra parentesi invece di c, puoi ottenere l'ultima regola.
Espandi le parentesi durante la divisione
Se c'è un segno di divisione dopo le parentesi, allora ogni numero all'interno delle parentesi è divisibile per il divisore dopo le parentesi e viceversa.
Esempio. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
Come espandere le parentesi nidificate
Se l'espressione contiene parentesi nidificate, vengono espanse in ordine, a partire da external o internal.
Allo stesso tempo, quando si apre una delle parentesi, è importante non toccare le altre parentesi, riscrivendole semplicemente così come sono.
Esempio. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Tra le varie espressioni che vengono considerate in algebra, le somme di monomi occupano un posto importante. Ecco alcuni esempi di tali espressioni:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
La somma dei monomi si chiama polinomio. I termini in un polinomio sono detti membri del polinomio. I mononomi sono anche indicati come polinomi, considerando un monomio come un polinomio costituito da un membro.
Ad esempio, polinomio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
può essere semplificato.
Rappresentiamo tutti i termini sotto forma di monomi vista standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Diamo termini simili nel polinomio risultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Il risultato è un polinomio, i cui membri sono tutti monomi della forma standard, e tra loro non ce ne sono di simili. Tali polinomi sono chiamati polinomi di forma standard.
Dietro grado polinomiale forma standard prende il più grande dei poteri dei suoi membri. Quindi, il binomio \(12a^2b - 7b \) ha il terzo grado, e il trinomio \(2b^2 -7b + 6 \) ha il secondo.
Di solito, i termini dei polinomi in forma standard contenenti una variabile sono disposti in ordine decrescente dei suoi esponenti. Per esempio:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
La somma di più polinomi può essere convertita (semplificata) in un polinomio in forma standard.
A volte i membri di un polinomio devono essere divisi in gruppi, racchiudendo ciascun gruppo tra parentesi. Poiché le parentesi sono l'opposto delle parentesi, è facile da formulare regole di apertura delle parentesi:
Se il segno + è posto prima delle parentesi, allora i termini racchiusi tra parentesi si scrivono con gli stessi segni.
Se un segno "-" è posto davanti alle parentesi, allora i termini racchiusi tra parentesi sono scritti con segni opposti.
Trasformazione (semplificazione) del prodotto di un monomio e di un polinomio
Utilizzando la proprietà distributiva della moltiplicazione, si può trasformare (semplificare) il prodotto di un monomio e un polinomio in un polinomio. Per esempio:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Il prodotto di un monomio e di un polinomio è identicamente uguale alla somma dei prodotti di questo monomio e ciascuno dei termini del polinomio.
Questo risultato è solitamente formulato come regola.
Per moltiplicare un monomio per un polinomio, bisogna moltiplicare questo monomio per ciascuno dei termini del polinomio.
Abbiamo usato ripetutamente questa regola per moltiplicare per una somma.
Il prodotto di polinomi. Trasformazione (semplificazione) del prodotto di due polinomi
In generale, il prodotto di due polinomi è identicamente uguale alla somma del prodotto di ciascun termine di un polinomio e ciascun termine dell'altro.
Di solito usa la seguente regola.
Per moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ogni termine di un polinomio per ogni termine dell'altro e sommare i prodotti risultanti.
Formule di moltiplicazione abbreviate. Somma, differenza e quadrati delle differenze
Alcune espressioni nelle trasformazioni algebriche devono essere trattate più spesso di altre. Forse le espressioni più comuni sono \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) e \(a^2 - b^2 \), cioè il quadrato della somma, il quadrato della differenza e quadrato della differenza. Hai notato che i nomi di queste espressioni sembrano essere incompleti, quindi, ad esempio, \((a + b)^2 \) è, ovviamente, non solo il quadrato della somma, ma il quadrato della somma di a e b. Tuttavia, il quadrato della somma di a e b non è così comune, di regola, invece delle lettere a e b, contiene varie espressioni, a volte piuttosto complesse.
Le espressioni \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sono facili da convertire (semplificare) in polinomi della forma standard, infatti, hai già incontrato un compito del genere durante la moltiplicazione dei polinomi :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Le identità risultanti sono utili da ricordare e applicare senza calcoli intermedi. Brevi formulazioni verbali aiutano questo.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - il quadrato della somma è uguale alla somma dei quadrati e al doppio prodotto.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - il quadrato della differenza è la somma dei quadrati senza raddoppiare il prodotto.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la differenza dei quadrati è uguale al prodotto della differenza per la somma.
Queste tre identità consentono nelle trasformazioni di sostituire le loro parti sinistre con quelle destre e viceversa - parti destre con quelle sinistre. La cosa più difficile in questo caso è vedere le espressioni corrispondenti e capire quali variabili a e b vengono sostituite in esse. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate.
Quella parte dell'equazione è l'espressione tra parentesi. Per aprire le parentesi, guarda il segno davanti alle parentesi. Se c'è un segno più, non cambierà nulla quando si espandono le parentesi nel record dell'espressione: basta rimuovere le parentesi. Se c'è un segno meno, quando si aprono le parentesi, è necessario cambiare tutti i segni che sono inizialmente tra parentesi in quelli opposti. Ad esempio, -(2x-3)=-2x+3.
Moltiplicazione di due parentesi.
Se l'equazione contiene il prodotto di due parentesi, espandere le parentesi secondo la regola standard. Ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda parentesi. I numeri risultanti vengono sommati. In questo caso, il prodotto di due "più" o due "meno" dà al termine un segno "più", e se i fattori hanno segni diversi, quindi ottiene un segno meno.
Prendere in considerazione .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Espandendo le parentesi, a volte elevando un'espressione a . Le formule per squadrare e cubettare devono essere conosciute a memoria e ricordate.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Le formule per elevare un'espressione maggiore di tre possono essere fatte usando il triangolo di Pascal.
Fonti:
- formula di apertura delle parentesi
Le operazioni matematiche racchiuse tra parentesi possono contenere variabili ed espressioni di vari gradi di complessità. Per moltiplicare tali espressioni, si dovrà cercare una soluzione in vista generale, espandendo le parentesi e semplificando il risultato. Se le parentesi contengono operazioni senza variabili, solo con valori numerici, allora non è necessario aprire le parentesi, poiché se un computer è disponibile per il suo utente, sono disponibili risorse di calcolo molto significative - è più facile usarle che semplificare il espressione.
Istruzione
Moltiplicare successivamente ciascuno (o ridotto da) contenuto in una parentesi per il contenuto di tutte le altre parentesi se si desidera ottenere un risultato generale. Per esempio, scriviamo l'espressione originale così: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Quindi la moltiplicazione successiva (cioè espandendo le parentesi) darà il seguente risultato: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Semplifica dopo il risultato accorciando le espressioni. Ad esempio, l'espressione ottenuta nel passaggio precedente può essere semplificata come segue: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Usa una calcolatrice se devi moltiplicare x uguale a 4.75, cioè (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). Per calcolare questo valore, vai sul sito web del motore di ricerca Google o Nigma e inserisci l'espressione nel campo della query nella sua forma originale (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google mostrerà 82.265625 immediatamente senza premere un pulsante, mentre Nigma deve inviare i dati al server premendo un pulsante.
In questa lezione imparerai come trasformare un'espressione che contiene parentesi in un'espressione che non contiene parentesi. Imparerai come aprire le parentesi precedute da un segno più e un segno meno. Ricorderemo come aprire le parentesi usando la legge distributiva della moltiplicazione. Gli esempi considerati consentiranno di collegare materiale nuovo e precedentemente studiato in un unico insieme.
Argomento: Risoluzione di equazioni
Lezione: espansione delle parentesi
Come aprire le parentesi precedute dal segno "+". Uso della legge associativa dell'addizione.
Se devi aggiungere la somma di due numeri a un numero, puoi aggiungere il primo termine a questo numero e poi il secondo.
A sinistra del segno uguale c'è un'espressione con parentesi ea destra c'è un'espressione senza parentesi. Ciò significa che passando dal lato sinistro dell'uguaglianza al lato destro, le parentesi sono state aperte.
Considera esempi.
Esempio 1 
Espandendo le parentesi, abbiamo cambiato l'ordine delle operazioni. Il conteggio è diventato più conveniente.
Esempio 2 
Esempio 3
Nota che in tutti e tre gli esempi abbiamo semplicemente rimosso le parentesi. Formuliamo la regola:
Commento.
Se il primo termine tra parentesi è senza segno, deve essere scritto con un segno più.
Puoi seguire l'esempio passo dopo passo. Innanzitutto, aggiungi 445 a 889. Questa azione mentale può essere eseguita, ma non è molto facile. Apriamo le parentesi e vediamo che l'ordine modificato delle operazioni semplificherà notevolmente i calcoli.
Se segui l'ordine di azioni indicato, devi prima sottrarre 345 da 512, quindi aggiungere al risultato 1345. Espandendo le parentesi, cambieremo l'ordine delle azioni e semplificheremo notevolmente i calcoli.
Esempio illustrativo e regola.
Considera un esempio: . Puoi trovare il valore dell'espressione sommando 2 e 5, e poi prendendo il numero risultante con il segno opposto. Otteniamo -7.
D'altra parte, lo stesso risultato può essere ottenuto sommando i numeri opposti.
Formuliamo la regola:
Esempio 1 
Esempio 2
La regola non cambia se non ci sono due, ma tre o più termini tra parentesi.
Esempio 3 
Commento. I segni sono invertiti solo davanti ai termini.
Per aprire le parentesi, questo caso ricorda la proprietà distributiva.
Innanzitutto, moltiplica la prima parentesi per 2 e la seconda per 3.
La prima parentesi è preceduta da un segno “+”, il che significa che i segni devono essere lasciati invariati. Il secondo è preceduto da un segno “-”, quindi tutti i segni devono essere invertiti
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematica 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematica 6a elementare. - Ginnasio, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Dietro le pagine di un manuale di matematica. - Illuminismo, 1989.
- Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Compiti per il corso di matematica di grado 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Ciajkovskij K.G. Matematica 5-6. Un manuale per gli studenti del 6 ° grado della scuola per corrispondenza MEPhI. - ZSH MEPHI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematica: libro di testo interlocutore per i gradi 5-6 Scuola superiore. Biblioteca dell'insegnante di matematica. - Illuminismo, 1989.
- Test di matematica online ().
- È possibile scaricare quelli specificati nella clausola 1.2. libri().
Compiti a casa
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematica 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (vedi link 1.2)
- Compiti a casa: n. 1254, n. 1255, n. 1256 (b, d)
- Altri incarichi: n. 1258 (c), n. 1248
In questo articolo considereremo in dettaglio le regole di base per un argomento così importante in un corso di matematica come l'apertura delle parentesi. È necessario conoscere le regole per l'apertura delle parentesi per risolvere correttamente le equazioni in cui vengono utilizzate.
Come aprire correttamente le parentesi durante l'aggiunta
Espandi le parentesi precedute dal segno "+".
Questo è il caso più semplice, perché se c'è un segno di addizione davanti alle parentesi, quando si aprono le parentesi, i segni al loro interno non cambiano. Esempio:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Come aprire le parentesi precedute da un segno "-".
In questo caso è necessario riscrivere tutti i termini senza parentesi, ma allo stesso tempo cambiare tutti i segni al loro interno con quelli opposti. I segni cambiano solo per i termini di quelle parentesi che erano precedute dal segno “-”. Esempio:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Come aprire le parentesi durante la moltiplicazione
Le parentesi sono precedute da un moltiplicatore
In questo caso, devi moltiplicare ogni termine per un fattore e aprire le parentesi senza cambiare segno. Se il moltiplicatore ha il segno "-", durante la moltiplicazione i segni dei termini vengono invertiti. Esempio:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Come aprire due parentesi con un segno di moltiplicazione tra di loro
In questo caso, devi moltiplicare ogni termine della prima parentesi con ogni termine della seconda parentesi e poi sommare i risultati. Esempio:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Come aprire le parentesi in un quadrato
Se la somma o la differenza di due termini è al quadrato, le parentesi devono essere espanse secondo la seguente formula:
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
In caso di meno tra parentesi, la formula non cambia. Esempio:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Come aprire le parentesi in un grado diverso
Se la somma o la differenza dei termini viene elevata, ad esempio, alla 3a o 4a potenza, è sufficiente suddividere il grado della parentesi in "quadrati". Vengono sommati i poteri degli stessi fattori e, durante la divisione, il grado del divisore viene sottratto dal grado del dividendo. Esempio:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Come aprire 3 parentesi
Ci sono equazioni in cui 3 parentesi vengono moltiplicate contemporaneamente. In questo caso, devi prima moltiplicare tra loro i termini delle prime due parentesi, quindi moltiplicare la somma di questa moltiplicazione per i termini della terza parentesi. Esempio:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Queste regole di apertura delle parentesi si applicano ugualmente sia alle equazioni lineari che a quelle trigonometriche.
