Espressioni letterali. Conversione di espressioni
Qualsiasi lingua può esprimere le stesse informazioni parole diverse e fatturati. Il linguaggio matematico non fa eccezione. Ma la stessa espressione può essere equivalentemente scritta in modi diversi. E in alcune situazioni, una delle voci è più semplice. Parleremo di semplificare le espressioni in questa lezione.
Le persone comunicano lingue differenti. Per noi un confronto importante è la coppia "lingua russa - lingua matematica". Le stesse informazioni possono essere riportate in diverse lingue. Ma, oltre a questo, può essere pronunciato in modo diverso in una lingua.
Ad esempio: "Peter è amico di Vasya", "Vasya è amico di Petya", "Peter e Vasya sono amici". Detto in modo diverso, ma lo stesso. Con ognuna di queste frasi, capiremmo qual è la posta in gioco.
Diamo un'occhiata a questa frase: "Il ragazzo Petya e il ragazzo Vasya sono amici". Capiamo cosa in questione. Tuttavia, non ci piace come suona questa frase. Non possiamo semplificarlo, diciamo lo stesso, ma più semplice? "Ragazzo e ragazzo" - puoi dire una volta: "I ragazzi Petya e Vasya sono amici".
"Ragazzi" ... Non è chiaro dai loro nomi che non sono ragazze. Rimuoviamo i "ragazzi": "Petya e Vasya sono amici". E la parola "amici" può essere sostituita con "amici": "Petya e Vasya sono amici". Di conseguenza, la prima, lunga e brutta frase è stata sostituita da un'affermazione equivalente più facile da dire e più facile da capire. Abbiamo semplificato questa frase. Semplificare significa dirlo più facile, ma non perdere, non distorcere il significato.
La stessa cosa accade nel linguaggio matematico. La stessa cosa può essere detta diversamente. Cosa significa semplificare un'espressione? Ciò significa che per l'espressione originale esistono molte espressioni equivalenti, cioè quelle che significano la stessa cosa. E da tutta questa moltitudine, dobbiamo scegliere il più semplice, a nostro avviso, o il più adatto ai nostri ulteriori scopi.
Ad esempio, si consideri un'espressione numerica. Sarà equivalente a .
Sarà anche equivalente ai primi due: 
.
Si scopre che abbiamo semplificato le nostre espressioni e trovato l'espressione equivalente più breve.
Per le espressioni numeriche, devi sempre fare tutto il lavoro e ottenere l'espressione equivalente come un singolo numero.
Consideriamo un esempio di espressione letterale . Ovviamente sarà più semplice.
Quando si semplificano le espressioni letterali, è necessario eseguire tutte le azioni possibili.
È sempre necessario semplificare un'espressione? No, a volte una notazione equivalente ma più lunga ci sarà più conveniente.
Esempio: Sottrai il numero dal numero.
È possibile calcolare, ma se il primo numero fosse rappresentato dalla sua notazione equivalente: , allora i calcoli sarebbero istantanei: .
Cioè, un'espressione semplificata non è sempre vantaggiosa per noi per ulteriori calcoli.
Tuttavia, molto spesso ci troviamo di fronte a un compito che suona solo come "semplificare l'espressione".
Semplifica l'espressione: .
Soluzione
1) Eseguire le azioni nella prima e nella seconda parentesi: .
2) Calcola i prodotti: .
Ovviamente l'ultima espressione ha una forma più semplice di quella iniziale. Lo abbiamo semplificato.
Per semplificare l'espressione, deve essere sostituita con un equivalente (uguale).
Per determinare l'espressione equivalente, è necessario:
1) eseguire tutte le azioni possibili,
2) utilizzare le proprietà di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per semplificare i calcoli.
Proprietà di addizione e sottrazione:
1. Proprietà commutativa dell'addizione: la somma non cambia dal riarrangiamento dei termini.
2. Proprietà associativa dell'addizione: per aggiungere un terzo numero alla somma di due numeri, puoi aggiungere la somma del secondo e del terzo numero al primo numero.
3. La proprietà di sottrarre una somma da un numero: per sottrarre la somma da un numero, puoi sottrarre ogni termine singolarmente.
Proprietà della moltiplicazione e della divisione
1. La proprietà commutativa della moltiplicazione: il prodotto non cambia da una permutazione di fattori.
2. Proprietà associativa: per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo fattore.
3. La proprietà distributiva della moltiplicazione: per moltiplicare un numero per una somma, è necessario moltiplicarlo separatamente per ciascun termine.
Vediamo come facciamo effettivamente i calcoli mentali.
Calcolare:
Soluzione
1) Immagina come
2) Rappresentiamo il primo fattore come somma di termini di bit ed eseguiamo la moltiplicazione:
3) puoi immaginare come ed eseguire la moltiplicazione:
4) Sostituisci il primo fattore con una somma equivalente:
La legge distributiva può essere utilizzata anche in rovescio: .
Segui questi passi:
1) 
2) 
Soluzione
1) Per comodità, puoi usare la legge di distribuzione, usala semplicemente nella direzione opposta: togli il fattore comune tra parentesi.
2) Togliamo il fattore comune tra parentesi
È necessario acquistare linoleum in cucina e in corridoio. Zona cucina - disimpegno -. Esistono tre tipi di linoleum: per e rubli per. Quanto sarà ciascuno di tre tipi linoleum? (Fig. 1)
Riso. 1. Illustrazione per la condizione del problema
Soluzione
Metodo 1. Puoi trovare separatamente quanti soldi ci vorranno per acquistare il linoleum in cucina, quindi aggiungerlo al corridoio e sommare i lavori risultanti.
All'inizio della lezione esamineremo le proprietà di base delle radici quadrate e poi ne esamineremo alcune esempi difficili per semplificare espressioni contenenti radici quadrate.
Soggetto:Funzione. Proprietà radice quadrata
Lezione:Conversione e semplificazione di espressioni più complesse con radici
1. Ripetizione delle proprietà delle radici quadrate
Ripetiamo brevemente la teoria e ricordiamo le principali proprietà delle radici quadrate.
Proprietà delle radici quadrate:
1. , quindi, ;
3. 
;
4. 
.
2. Esempi per semplificare espressioni con radici
Passiamo agli esempi di utilizzo di queste proprietà.
Esempio 1: semplificare un'espressione 
.
Soluzione. Per semplificare, il numero 120 deve essere scomposto in fattori primi:
Apriremo il quadrato della somma secondo la formula corrispondente:
Esempio 2: semplificare un'espressione 
.
Soluzione. Prendiamo in considerazione che questa espressione non ha senso per tutti i possibili valori della variabile, poiché questa espressione contiene radici quadrate e frazioni, il che porta a un "restringimento" dell'intervallo di valori accettabili. ODZ: 
().
Portiamo l'espressione tra parentesi a un comune denominatore e scriviamo il numeratore dell'ultima frazione come differenza di quadrati:
Risposta. A.
Esempio 3: semplificare un'espressione 
.
Soluzione. Si può notare che la seconda parentesi del numeratore ha una forma scomoda e necessita di essere semplificata, proviamo a fattorizzarla con il metodo del raggruppamento.
Per poter eliminare il fattore comune, abbiamo semplificato le radici fattorizzandole. Sostituisci l'espressione risultante nella frazione originale:
Dopo aver ridotto la frazione, applichiamo la formula della differenza dei quadrati.
3. Un esempio di eliminazione dell'irrazionalità
Esempio 4. Sbarazzarsi dell'irrazionalità (radici) nel denominatore: a) ; B) .
Soluzione. a) Per eliminare l'irrazionalità nel denominatore, viene utilizzato il metodo standard di moltiplicare sia il numeratore che il denominatore di una frazione per il fattore coniugato al denominatore (la stessa espressione, ma con il segno opposto). Questo viene fatto per integrare il denominatore della frazione alla differenza dei quadrati, che consente di eliminare le radici nel denominatore. Facciamo così nel nostro caso:
b) eseguire azioni simili:
4. Un esempio per la dimostrazione e per la selezione di un quadrato completo in un radicale complesso
Esempio 5. Dimostrare l'uguaglianza 
.
Prova. Usiamo la definizione della radice quadrata, da cui segue che il quadrato dell'espressione giusta deve essere uguale all'espressione radice:
. Apriamo le parentesi secondo la formula del quadrato della somma:
, otteniamo l'equazione corretta.
Provato.
Esempio 6. Semplifica l'espressione.
Soluzione. Questa espressione è comunemente chiamata radicale complesso (radice sotto la radice). IN questo esempioè necessario indovinare per estrarre il quadrato pieno dall'espressione radicale. Per fare ciò, notiamo che dei due termini è un contendente per il ruolo di un doppio prodotto nella formula per il quadrato della differenza (differenza, poiché c'è un segno meno). Lo scriviamo sotto forma di un tale prodotto: , quindi per il ruolo di uno dei termini quadrato pieno rivendicazioni, e per il ruolo del secondo - 1.
Sostituiamo questa espressione sotto la radice.
Sezione 5 ESPRESSIONI ED EQUAZIONI
Nella sezione imparerai:
ü o espressioni e loro semplificazioni;
ü quali sono le proprietà delle uguaglianze;
ü come risolvere equazioni basate sulle proprietà delle uguaglianze;
ü quali tipi di problemi vengono risolti con l'aiuto delle equazioni; cosa sono le linee perpendicolari e come costruirle;
ü quali linee si chiamano parallele e come costruirle;
ü cos'è un piano coordinato;
ü come determinare le coordinate di un punto su un piano;
ü cos'è un grafico delle dipendenze tra grandezze e come costruirlo;
ü come applicare nella pratica il materiale appreso
§ 30. ESPRESSIONI E LORO SEMPLIFICAZIONE
Sai già cosa sono le espressioni letterali e sai come semplificarle usando le leggi dell'addizione e della moltiplicazione. Ad esempio, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . Nell'espressione risultante, il numero -8 è chiamato coefficiente dell'espressione.
Fa l'espressione CD coefficiente? COSÌ. È uguale a 1 perché cd - 1 ∙ cd .
Ricordiamo che la conversione di un'espressione con parentesi in un'espressione senza parentesi si chiama espansione con parentesi. Ad esempio: 5(2x + 4) = 10x + 20.
L'azione inversa in questo esempio è mettere il fattore comune fuori dalle parentesi.
I termini che contengono gli stessi fattori letterali sono chiamati termini simili. Togliendo il fattore comune dalle parentesi, vengono eretti termini simili:
5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =
= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=
B x + 7a - 5.
Regole di espansione della parentesi
1. Se è presente un segno "+" davanti alle parentesi, quando si aprono le parentesi, i segni dei termini tra parentesi vengono preservati;
2. Se c'è un segno "-" davanti alle parentesi, quando le parentesi vengono aperte, i segni dei termini tra parentesi sono invertiti.
Compito 1 . Semplifica l'espressione:
1) 4x+(-7x + 5);
2) 15 anni -(-8 + 7 anni).
Soluzioni. 1. C'è un segno "+" prima delle parentesi, quindi, quando si aprono le parentesi, vengono conservati i segni di tutti i termini:
4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.
2. C'è un segno “-” davanti alle parentesi, quindi, durante l'apertura delle parentesi: i segni di tutti i termini sono invertiti:
15 - (- 8 + 7a) \u003d 15a + 8 - 7a \u003d 8a +8.
Per aprire le parentesi, usa la proprietà distributiva della moltiplicazione: a( b + c) = ab + ac. Se a > 0, allora i segni dei termini B e con non cambiare. Se un< 0, то знаки слагаемых B e da sono invertiti.
Attività 2. Semplifica l'espressione:
1) 2(6a -8) + 7a;
2) -5 (2-5x) + 12.
Soluzioni. 1. Il fattore 2 davanti alle parentesi e è positivo, quindi, aprendo le parentesi, manteniamo i segni di tutti i termini: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.
2. Il fattore -5 davanti alle parentesi e è negativo, quindi, aprendo le parentesi, cambiamo i segni di tutti i termini in quelli opposti:
5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.
Scopri di più
1. La parola "sum" deriva dal latino summa , che significa "totale", "totale".
2. La parola "plus" deriva dal latino in più, che significa "più", e la parola "meno" - dal latino meno, che significa "meno". I segni "+" e "-" sono usati per indicare le operazioni di addizione e sottrazione. Questi segni furono introdotti dallo scienziato ceco J. Vidman nel 1489 nel libro "Un resoconto rapido e piacevole per tutti i mercanti"(figura 138).
Riso. 138
RICORDA LE COSE PRINCIPALI
1. Quali termini sono chiamati simili? Come sono costruiti i termini simili?
2. Come si aprono le parentesi precedute dal segno “+”?
3. Come si aprono le parentesi precedute dal segno "-"?
4. Come si aprono le parentesi precedute da un fattore positivo?
5. Come si aprono le parentesi precedute da un fattore negativo?
1374". Assegna un nome al coefficiente dell'espressione:
1) 12a; 3) -5,6xy;
2)4 6; 4)-s.
1375". Nomina i termini che differiscono solo per il coefficiente:
1) 10a+76-26+a; 3) 5n + 5m -4n + 4;
2) ac -4d - ac + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.
Come si chiamano questi termini?
1376". Ci sono termini simili nell'espressione:
1) 11 bis + 10 bis; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;
2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - n?
1377". È necessario cambiare i segni dei termini tra parentesi, aprendo le parentesi nell'espressione:
1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d ); 3) 16-(5m-8n)?
1378°. Semplifica l'espressione e sottolinea il coefficiente:
1379°. Semplifica l'espressione e sottolinea il coefficiente:
1380°. Riduci i termini simili:
1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 re - 12 + 4d;
2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;
3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.
1381°. Riduci i termini simili:
1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;
2)9 b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.
1382°. Togli il fattore comune tra parentesi:
1) 1,2a+1,2b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;
2) 0,5 s + 5d; 4) 1,2 m - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.
1383°. Togli il fattore comune tra parentesi:
1) 6a-12b; 3) -1,8 m -3,6 m;
2) -0,2 s + 14 d; A) 3p - 0.9k + 2.7t.
1384°. Aprire le parentesi e ridurre i termini simili;
1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5 c);
2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);
3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).
1385°. Apri le parentesi e riduci i termini simili:
1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);
2)-(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).
1386°. Espandi le parentesi e trova il significato dell'espressione:
1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);
2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).
1387°. Espandi le parentesi e trova il significato dell'espressione:
1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);
2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).
1388°. Parentesi aperta:
1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);
2)-s ∙ (2.7-1.2 d ); 5) 3 ∙ (-1.5 p + k - 0.2 T);
3) 1.6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).
1389°. Parentesi aperta:
1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0.5 y );
2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).
1390. Semplifica l'espressione:
1391. Semplifica l'espressione:
1392. Ridurre termini simili:
1393. Riduci i termini simili:
1394. Semplifica l'espressione:
1) 2.8 - (0.5 a + 4) - 2.5 ∙ (2a - 6);
2) -12 ∙ (8 - 2, di) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);
4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m-4,05 m) ∙ 2.
1395. Semplifica l'espressione:
1396. Trova il significato dell'espressione;
1) 4-(0.2 a-3) - (5.8 a-16), se a \u003d -5;
2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), se = -0,8;
m = 0,25, n = 5,7.
1397. Trova il valore dell'espressione:
1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), se x = -0.25;
1398*. Trova l'errore nella soluzione:
1) 5- (a-2.4) -7 ∙ (-a + 1.2) \u003d 5a - 12-7a + 8.4 \u003d -2a-3.6;
2) -4 ∙ (2.3 a - 6) + 4.2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.
1399*. Espandi le parentesi e semplifica l'espressione:
1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;
1400*. Disporre le parentesi per ottenere l'uguaglianza corretta:
1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.
1401*. Dimostrare che per ogni numero a e b se a > b , allora vale la seguente uguaglianza:
1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.
Questa uguaglianza sarà corretta se: a) a< B; b) a = 6?
1402*. Dimostrare che per ogni numero naturale a, la media aritmetica dei numeri precedenti e successivi è uguale a a.
APPLICARE IN PRATICA
1403. Per preparare un dolce alla frutta per tre persone occorrono: 2 mele, 1 arancia, 2 banane e 1 kiwi. Come fare un'espressione letterale per determinare la quantità di frutta necessaria per preparare un dolce per gli ospiti? Aiuta Marin a calcolare quanti frutti deve comprare se viene a trovarci: 1) 5 amici; 2) 8 amici.
1404. Fai un'espressione letterale per determinare il tempo necessario per completare i compiti di matematica, se:
1) è stato speso un minuto per risolvere i problemi; 2) la semplificazione delle espressioni è 2 volte maggiore rispetto alla risoluzione dei problemi. Quanto ci è voluto compiti a casa Vasilko, se passasse 15 minuti a risolvere problemi?
1405. Il pranzo nella mensa scolastica consiste in insalata, borscht, involtini di cavolo e composta. Il costo dell'insalata è del 20%, borscht - 30%, involtini di cavolo - 45%, composta - 5% del costo totale dell'intero pasto. Scrivi un'espressione per trovare il costo del pranzo alla mensa della scuola. Quanto costa il pranzo se il prezzo di un'insalata è di 2 UAH?
COMPITI DI RIPETIZIONE
1406. Risolvi l'equazione:
1407. Tanya speso per il gelatotutti i soldi disponibili e per i dolci -il riposo. Quanti soldi ha Tanya?
se i dolci costano 12 UAH?
§ 1 Il concetto di semplificazione di un'espressione letterale
In questa lezione conosceremo il concetto di “termini simili” e, attraverso esempi, impareremo come eseguire la riduzione di termini simili, semplificando così le espressioni letterali.
Scopriamo il significato del concetto di "semplificazione". La parola "semplificazione" deriva dalla parola "semplificare". Semplificare significa rendere semplice, più semplice. Pertanto, semplificare un'espressione letterale significa renderla più breve, con un numero minimo di azioni.
Considera l'espressione 9x + 4x. Questa è un'espressione letterale che è una somma. I termini qui sono presentati come prodotti di un numero e una lettera. Il fattore numerico di tali termini è chiamato coefficiente. In questa espressione, i coefficienti saranno i numeri 9 e 4. Si noti che il moltiplicatore rappresentato dalla lettera è lo stesso in entrambi i termini di questa somma.
Ricordiamo la legge distributiva della moltiplicazione:
Per moltiplicare la somma per un numero, puoi moltiplicare ciascun termine per questo numero e sommare i prodotti risultanti.
IN vista generaleè scritto come segue: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.
Questa legge vale in entrambe le direzioni ac + bc = (a + b) ∙ c
Applichiamolo alla nostra espressione letterale: la somma dei prodotti di 9x e 4x è uguale al prodotto, il cui primo fattore è la somma di 9 e 4, il secondo fattore è x.
9 + 4 = 13 fa 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
Invece di tre azioni nell'espressione, è rimasta un'azione: la moltiplicazione. Ciò significa che abbiamo semplificato la nostra espressione letterale, ad es. semplificato.
§ 2 Riduzione di termini simili
I termini 9x e 4x differiscono solo per i loro coefficienti: tali termini sono chiamati simili. La parte letterale di termini simili è la stessa. Termini simili includono anche numeri e termini uguali.
Ad esempio, nell'espressione 9a + 12 - 15, i numeri 12 e -15 saranno termini simili, e nella somma dei prodotti di 12 e 6a, i numeri 14 e i prodotti di 12 e 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), i termini uguali saranno simili, rappresentati dal prodotto di 12 e 6a.
È importante notare che i termini che hanno coefficienti uguali e fattori letterali diversi non sono simili, anche se a volte è utile applicare loro la legge distributiva della moltiplicazione, ad esempio, la somma dei prodotti di 5x e 5y è uguale al prodotto del numero 5 e della somma di x e y
5x + 5y = 5(x + y).
Semplifichiamo l'espressione -9a + 15a - 4 + 10.
Termini simili a questo caso sono i termini -9a e 15a, poiché differiscono solo per i loro coefficienti. Hanno lo stesso moltiplicatore di lettere e anche i termini -4 e 10 sono simili, poiché sono numeri. Aggiungiamo termini simili:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Otteniamo: 6a + 6.
Semplificando l'espressione, abbiamo trovato le somme dei termini simili, in matematica si chiama riduzione dei termini simili.
Se portare tali termini è difficile, puoi inventare parole per loro e aggiungere oggetti.
Si consideri ad esempio l'espressione:
Per ogni lettera prendiamo il nostro oggetto: b-mela, c-pera, quindi risulterà: 2 mele meno 5 pere più 8 pere.
Possiamo sottrarre le pere dalle mele? Ovviamente no. Ma possiamo aggiungere 8 pere a meno 5 pere.
Diamo termini simili -5 pere + 8 pere. I termini simili hanno la stessa parte letterale, quindi, riducendo i termini simili, è sufficiente aggiungere i coefficienti e aggiungere la parte letterale al risultato:
(-5 + 8) pere - ottieni 3 pere.
Tornando alla nostra espressione letterale, abbiamo -5s + 8s = 3s. Quindi, dopo aver ridotto termini simili, otteniamo l'espressione 2b + 3c.
Quindi, in questa lezione, hai familiarizzato con il concetto di "termini simili" e hai imparato a semplificare le espressioni letterali portando termini simili.
Elenco della letteratura utilizzata:
- Matematica. Grado 6: piani di lezione per il libro di testo di I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autore-compilatore L.A. Topilin. Mnemosine 2009.
- Matematica. Grado 6: un libro di testo per studenti di istituti scolastici. II Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
- Matematica. Grado 6: libro di testo per istituzioni educative / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov e altri / a cura di G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Accademia Russa delle Scienze, Accademia Russa dell'Educazione. M.: "Illuminismo", 2010.
- Matematica. Grado 6: libro di testo per istituti di istruzione generale / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
- Matematica. Grado 6: libro di testo / G.K. Muravin, O.V. Formica. – M.: Otarda, 2014.
Immagini usate:
Primo livello
Conversione di espressioni. Teoria dettagliata (2019)
Conversione di espressioni
Spesso sentiamo questa frase spiacevole: "semplifica l'espressione". Di solito, in questo caso, abbiamo una specie di mostro come questo:
"Sì, molto più facile", diciamo, ma una risposta del genere di solito non funziona.
Ora ti insegnerò a non aver paura di tali compiti. Inoltre, alla fine della lezione, tu stesso semplificherai questo esempio in un (solo!) numero ordinario (sì, al diavolo queste lettere).
Ma prima di iniziare questa lezione, devi essere in grado di gestire frazioni e fattorizzare polinomi. Pertanto, in primo luogo, se non l'hai mai fatto prima, assicurati di padroneggiare gli argomenti "" e "".
Leggere? Se sì, allora sei pronto.
Operazioni di semplificazione di base
Ora analizzeremo le principali tecniche utilizzate per semplificare le espressioni.
Il più semplice di loro è
1. Portare simili
Cosa sono simili? Ci sei passato in seconda media, quando le lettere sono apparse per la prima volta in matematica invece dei numeri. Simili sono termini (monomi) con la stessa lettera parte. Ad esempio, nella somma, i termini simili sono e.
Ricordato?
Portare termini simili significa aggiungere diversi termini simili tra loro e ottenere un termine.
Ma come possiamo mettere insieme le lettere? - tu chiedi.
Questo è molto facile da capire se immagini che le lettere siano una specie di oggetto. Ad esempio, la lettera è una sedia. Allora qual è l'espressione? Due sedie più tre sedie, quanto costa? Esatto, sedie: .
Ora prova questa espressione:
Per non confondersi, lascia che lettere diverse indichino oggetti diversi. Ad esempio, - questa è (come al solito) una sedia e - questo è un tavolo. Poi:
sedie tavoli sedia tavoli sedie sedie tavoli
Vengono chiamati i numeri per i quali vengono moltiplicate le lettere in tali termini coefficienti. Ad esempio, nel monomio il coefficiente è uguale. Ed è uguale.
Quindi, la regola per portare simili:
Esempi:
Porta simile:
Risposte:
2. (e sono simili, poiché, quindi, questi termini hanno la stessa parte letterale).
2. Fattorizzazione
Questo di solito è il massimo una parte importante nella semplificazione delle espressioni. Dopo aver fornito quelli simili, molto spesso l'espressione risultante deve essere scomposta, cioè presentata come un prodotto. Ciò è particolarmente importante nelle frazioni: dopotutto, per ridurre una frazione, il numeratore e il denominatore devono essere rappresentati come un prodotto.
Hai esaminato i metodi dettagliati di fattorizzazione delle espressioni nell'argomento "", quindi qui devi solo ricordare cosa hai imparato. Per fare questo, risolverne alcuni esempi(da scomporre):
Soluzioni:
3. Riduzione della frazione.
Ebbene, cosa potrebbe esserci di più bello che cancellare parte del numeratore e del denominatore e buttarli fuori dalla tua vita?
Questa è la bellezza dell'abbreviazione.
È semplice:
Se il numeratore e il denominatore contengono gli stessi fattori, possono essere ridotti, cioè rimossi dalla frazione.
Questa regola segue dalla proprietà di base di una frazione:
Cioè, l'essenza dell'operazione di riduzione è quella Dividiamo il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero (o per la stessa espressione).
Per ridurre una frazione, è necessario:
1) numeratore e denominatore fattorizzare
2) se il numeratore e il denominatore contengono fattori comuni, possono essere eliminati.
Il principio, penso, è chiaro?
Vorrei attirare la vostra attenzione su un tipico errore di abbreviazione. Sebbene questo argomento sia semplice, molte persone fanno tutto male senza rendersene conto taglio- questo significa dividere numeratore e denominatore dallo stesso numero.
Nessuna abbreviazione se il numeratore o il denominatore è la somma.
Ad esempio: devi semplificare.
Alcuni lo fanno: il che è assolutamente sbagliato.
Un altro esempio: ridurre.
"Il più intelligente" farà questo:.
Dimmi cosa c'è che non va qui? Sembrerebbe: - questo è un moltiplicatore, quindi puoi ridurre.
Ma no: - questo è un fattore di un solo termine nel numeratore, ma il numeratore stesso nel suo insieme non è scomposto in fattori.
Ecco un altro esempio: .
Questa espressione è scomposta in fattori, il che significa che puoi ridurre, cioè dividere il numeratore e il denominatore per, e poi per:
Puoi immediatamente dividere per:
Per evitare tali errori, ricorda modo semplice come determinare se un'espressione è fattorizzata:
L'operazione aritmetica che viene eseguita per ultima nel calcolo del valore dell'espressione è la "principale". Cioè, se sostituisci alcuni (qualsiasi) numero invece di lettere e provi a calcolare il valore dell'espressione, quindi se l'ultima azione è la moltiplicazione, allora abbiamo un prodotto (l'espressione è scomposta in fattori). Se l'ultima azione è addizione o sottrazione, significa che l'espressione non è fattorizzata (e quindi non può essere ridotta).
Per risolverlo, risolvilo tu stesso alcuni esempi:
Risposte:
1. Spero che tu non ti sia precipitato immediatamente a tagliare e? Non era ancora sufficiente “ridurre” unità come questa:
Il primo passo dovrebbe essere quello di fattorizzare:
4. Addizione e sottrazione di frazioni. Portare le frazioni a un comune denominatore.
L'addizione e la sottrazione di frazioni ordinarie è un'operazione ben nota: cerchiamo un comune denominatore, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo/sottriamo i numeratori. Ricordiamo:
Risposte:
1. I denominatori e sono coprimi, cioè non hanno fattori comuni. Pertanto, il MCM di questi numeri è uguale al loro prodotto. Questo sarà il comune denominatore:
2. Qui il comune denominatore è:
3. Per prima cosa qui frazioni miste trasformali in quelli sbagliati, e poi - secondo il solito schema:
È un'altra cosa se le frazioni contengono lettere, ad esempio:
Iniziamo in modo semplice:
a) I denominatori non contengono lettere
Qui tutto è uguale alle frazioni numeriche ordinarie: troviamo un comune denominatore, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo / sottraiamo i numeratori:
ora al numeratore puoi portare quelli simili, se ce ne sono, e fattorizzarli:
Prova tu stesso:
b) I denominatori contengono lettere
Ricordiamo il principio di trovare un comune denominatore senza lettere:
Prima di tutto, determiniamo i fattori comuni;
Quindi scriviamo tutti i fattori comuni una volta;
e moltiplicali per tutti gli altri fattori, non comuni.
Per determinare i fattori comuni dei denominatori, li decomponiamo prima in fattori semplici:
Sottolineiamo i fattori comuni:
Ora scriviamo i fattori comuni una volta e aggiungiamo a loro tutti i fattori non comuni (non sottolineati):
Questo è il comune denominatore.
Torniamo alle lettere. I denominatori sono dati esattamente nello stesso modo:
Scomponiamo i denominatori in fattori;
determinare moltiplicatori comuni (identici);
scrivere tutti i fattori comuni una volta;
Li moltiplichiamo per tutti gli altri fattori, non comuni.
Quindi, nell'ordine:
1) scomporre i denominatori in fattori:
2) determinare i fattori comuni (identici):
3) scrivi tutti i fattori comuni una volta e moltiplicali per tutti gli altri fattori (non sottolineati):
Quindi il denominatore comune è qui. La prima frazione deve essere moltiplicata per, la seconda - per:
A proposito, c'è un trucco:
Per esempio: .
Vediamo gli stessi fattori nei denominatori, solo tutti con indicatori diversi. Il comune denominatore sarà:
nella misura
nella misura
nella misura
di grado.
Complichiamo il compito:
Come fare in modo che le frazioni abbiano lo stesso denominatore?
Ricordiamo la proprietà di base di una frazione:
Da nessuna parte è detto che lo stesso numero può essere sottratto (o aggiunto) dal numeratore e dal denominatore di una frazione. Perché non è vero!
Guarda tu stesso: prendi una frazione qualsiasi, ad esempio, e aggiungi un numero al numeratore e al denominatore, ad esempio . Cosa è stato appreso?
Quindi, un'altra regola incrollabile:
Quando porti le frazioni a un denominatore comune, usa solo l'operazione di moltiplicazione!
Ma cosa devi moltiplicare per ottenere?
Qui su e moltiplicati. E moltiplicare per:
Le espressioni che non possono essere fattorizzate saranno chiamate "fattori elementari". Ad esempio, è un fattore elementare. - Stesso. Ma - no: è scomposto in fattori.
E l'espressione? È elementare?
No, perché può essere fattorizzato:
(hai già letto della fattorizzazione nell'argomento "").
Quindi, i fattori elementari in cui scomponi un'espressione con lettere sono un analogo dei fattori semplici in cui scomponi i numeri. E noi faremo lo stesso con loro.
Vediamo che entrambi i denominatori hanno un fattore. Andrà al denominatore comune nel potere (ricordi perché?).
Il moltiplicatore è elementare e non lo hanno in comune, il che significa che la prima frazione dovrà semplicemente essere moltiplicata per esso:
Un altro esempio:
Soluzione:
Prima di moltiplicare questi denominatori in preda al panico, devi pensare a come calcolarli? Entrambi rappresentano:
Grande! Poi:
Un altro esempio:
Soluzione:
Come al solito, fattorizziamo i denominatori. Nel primo denominatore, lo mettiamo semplicemente fuori parentesi; nel secondo - la differenza dei quadrati:
Sembrerebbe che non ci siano fattori comuni. Ma se guardi da vicino, sono già così simili ... E la verità è:
Quindi scriviamo:
Cioè, è andata così: all'interno della parentesi abbiamo scambiato i termini e, allo stesso tempo, il segno davanti alla frazione è cambiato nell'opposto. Prendi nota, dovrai farlo spesso.
Ora portiamo a un comune denominatore:
Fatto? Ora controlliamo.
Compiti per soluzione indipendente:
Risposte:
Qui dobbiamo ricordare un'altra cosa: la differenza dei cubi:
Si noti che il denominatore della seconda frazione non contiene la formula "quadrato della somma"! Il quadrato della somma sarebbe simile a questo:
A è il cosiddetto quadrato incompleto della somma: il secondo termine in esso è il prodotto del primo e dell'ultimo, e non il loro prodotto raddoppiato. Il quadrato incompleto della somma è uno dei fattori nell'espansione della differenza di cubi:
E se ci sono già tre frazioni?
Sì, lo stesso! Prima di tutto, faremo in modo che il numero massimo di fattori nei denominatori sia lo stesso:
Attenzione: se si cambiano i segni all'interno di una parentesi, il segno davanti alla frazione cambia nell'opposto. Quando cambiamo i segni nella seconda parentesi, il segno davanti alla frazione viene nuovamente invertito. Di conseguenza, lui (il segno davanti alla frazione) non è cambiato.
Scriviamo il primo denominatore per intero nel denominatore comune, quindi aggiungiamo ad esso tutti i fattori che non sono ancora stati scritti, dal secondo e poi dal terzo (e così via, se ci sono più frazioni). Cioè, va così:
Hmm ... Con le frazioni, è chiaro cosa fare. Ma che dire dei due?
È semplice: sai come sommare le frazioni, giusto? Quindi, devi assicurarti che il due diventi una frazione! Ricorda: una frazione è un'operazione di divisione (il numeratore è diviso per il denominatore, nel caso te ne fossi improvvisamente dimenticato). E non c'è niente di più facile che dividere un numero per. In questo caso, il numero stesso non cambierà, ma si trasformerà in una frazione:
Esattamente quello che serve!
5. Moltiplicazione e divisione di frazioni.
Bene, la parte più difficile ora è finita. E davanti a noi c'è il più semplice, ma allo stesso tempo il più importante:
Procedura
Qual è la procedura per calcolare un'espressione numerica? Ricorda, considerando il valore di una tale espressione:
Hai contato?
Dovrebbe funzionare.
Quindi, ti ricordo.
Il primo passo è calcolare il grado.
Il secondo è la moltiplicazione e la divisione. Se ci sono più moltiplicazioni e divisioni contemporaneamente, puoi farle in qualsiasi ordine.
E infine, eseguiamo addizione e sottrazione. Di nuovo, in qualsiasi ordine.
Ma: l'espressione tra parentesi viene valutata fuori servizio!
Se più parentesi vengono moltiplicate o divise tra loro, valutiamo prima l'espressione in ciascuna delle parentesi, quindi le moltiplichiamo o le dividiamo.
Cosa succede se ci sono altre parentesi all'interno delle parentesi? Bene, pensiamo: qualche espressione è scritta tra parentesi. Qual è la prima cosa da fare quando si valuta un'espressione? Esatto, calcola le parentesi. Bene, l'abbiamo capito: prima calcoliamo le parentesi interne, poi tutto il resto.
Quindi, l'ordine delle azioni per l'espressione sopra è il seguente (l'azione corrente è evidenziata in rosso, cioè l'azione che sto eseguendo in questo momento):
Ok, è tutto semplice.
Ma non è la stessa cosa di un'espressione con lettere, vero?
No, è lo stesso! Solo al posto delle operazioni aritmetiche è necessario eseguire operazioni algebriche, ovvero le operazioni descritte nella sezione precedente: portando simili, addizione di frazioni, riduzione di frazioni e così via. L'unica differenza sarà l'azione di fattorizzazione dei polinomi (la usiamo spesso quando lavoriamo con le frazioni). Molto spesso, per la fattorizzazione, devi usare i o semplicemente togliere il fattore comune tra parentesi.
Di solito il nostro obiettivo è rappresentare un'espressione come prodotto o quoziente.
Per esempio:
Semplifichiamo l'espressione.
1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione tra parentesi. Lì abbiamo la differenza delle frazioni e il nostro obiettivo è rappresentarla come prodotto o quoziente. Quindi, portiamo le frazioni a un denominatore comune e aggiungiamo:
È impossibile semplificare ulteriormente questa espressione, tutti i fattori qui sono elementari (ricordi ancora cosa significa?).
2) Otteniamo:
Moltiplicazione di frazioni: cosa potrebbe essere più facile.
3) Ora puoi accorciare:
OK è tutto finito ora. Niente di complicato, vero?
Un altro esempio:
Semplifica l'espressione.
Per prima cosa, prova a risolverlo da solo e solo allora guarda la soluzione.
Prima di tutto, definiamo la procedura. Per prima cosa, aggiungiamo le frazioni tra parentesi, invece di due frazioni, ne verrà fuori una. Poi faremo la divisione delle frazioni. Bene, aggiungiamo il risultato con l'ultima frazione. Numererò schematicamente i passaggi:
Ora mostrerò l'intero processo, colorando l'azione corrente di rosso:
Infine, ti darò due consigli utili:
1. Se ce ne sono di simili, devono essere portati immediatamente. In qualunque momento ne abbiamo di simili, è consigliabile portarli subito.
2. Lo stesso vale per la riduzione delle frazioni: non appena si presenta l'opportunità di ridurre, deve essere utilizzata. L'eccezione sono le frazioni che aggiungi o sottrai: se ora hanno gli stessi denominatori, la riduzione dovrebbe essere lasciata per dopo.
Ecco alcuni compiti che puoi risolvere da solo:
E promesso all'inizio:
Soluzioni (breve):
Se hai affrontato almeno i primi tre esempi, allora, considera, hai padroneggiato l'argomento.
Ora sull'apprendimento!
CONVERSIONE DI ESPRESSIONE. RIASSUNTO E FORMULA DI BASE
Operazioni di semplificazione di base:
- Portare simili: per aggiungere (ridurre) termini simili, è necessario sommare i loro coefficienti e assegnare la parte letterale.
- Fattorizzazione: togliendo il fattore comune tra parentesi, applicando, ecc.
- Riduzione della frazione: il numeratore e il denominatore di una frazione possono essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, da cui il valore della frazione non cambia.
1) numeratore e denominatore fattorizzare
2) se ci sono fattori comuni al numeratore e al denominatore, possono essere cancellati.IMPORTANTE: solo i moltiplicatori possono essere ridotti!
- Addizione e sottrazione di frazioni:
; - Moltiplicazione e divisione di frazioni:
;
