Proprietà dei logaritmi naturali della formula. Proprietà dei logaritmi ed esempi delle loro soluzioni

La funzione LN in Excel è progettata per calcolare logaritmo naturale numeri e restituisce il valore numerico corrispondente. Il logaritmo naturale è il logaritmo base e (un numero di Eulero di circa 2,718).

La funzione LOG in Excel viene utilizzata per calcolare il logaritmo di un numero, mentre la base del logaritmo può essere specificata esplicitamente come secondo argomento di questa funzione.

La funzione LOG10 in Excel è progettata per calcolare il logaritmo di un numero con base 10 (logaritmo decimale).

Esempi di utilizzo delle funzioni LN, LOG e LOG10 in Excel

Gli archeologi hanno trovato i resti di un antico animale. Per determinare la loro età, si è deciso di utilizzare il metodo dell'analisi al radiocarbonio. Come risultato delle misurazioni, si è scoperto che il contenuto dell'isotopo radioattivo C 14 era il 17% della quantità che si trova solitamente negli organismi viventi. Calcola l'età dei resti se l'emivita dell'isotopo del carbonio 14 è di 5760 anni.

Vista della tavola originale:

Usiamo la seguente formula per risolvere:

Questa formula è stata ottenuta sulla base della formula x=t*(lgB-lgq)/lgp, dove:

• q è la quantità di isotopo di carbonio al momento iniziale (al momento della morte dell'animale), espressa in unità (o 100%);
• B è la quantità dell'isotopo al momento dell'analisi dei resti;
• t è l'emivita dell'isotopo;
• p è un valore numerico che indica quante volte la quantità di una sostanza (isotopo di carbonio) cambia in un periodo di tempo t.

Come risultato dei calcoli, otteniamo:

I resti trovati hanno quasi 15mila anni.



Calcolatore di deposito con interesse composto in Excel

Un cliente bancario ha effettuato un deposito per un importo di 50.000 rubli con un tasso di interesse del 14,5% (interesse composto). Determinare quanto tempo ci vorrà per raddoppiare l'importo investito?

Fatto interessante! Per risolvere rapidamente questo problema, è possibile utilizzare il metodo empirico di approssimazione del periodo di tempo (in anni) per raddoppiare gli investimenti investiti a interesse composto. La cosiddetta regola 72 (o 70 o regola 69). Per fare ciò, devi usare una semplice formula: il numero 72 diviso per tasso d'interesse: 72/14,5 = 4,9655 anni. Svantaggio principale la regola del "magico" numero 72 sta nell'errore. Più alto è il tasso di interesse, maggiore è l'errore nella regola 72. Ad esempio, con un tasso di interesse del 100% annuo, l'errore in anni arriva fino a 0,72 (e in percentuale arriva fino al 28%!).

Per calcolare con precisione i tempi di raddoppio degli investimenti, utilizzeremo la funzione LOG. Per prima cosa, controlliamo l'errore della regola 72 a un tasso di interesse del 14,5% annuo.

Vista della tavola originale:

Per calcolare il valore futuro di un investimento a un tasso di interesse noto, è possibile utilizzare la seguente formula: S=A(100%+n%) t , dove:

• S è l'importo atteso alla fine del termine;
• A è l'importo del deposito;
• n - tasso di interesse;
• t è il termine per mantenere i fondi di deposito in banca.

Per questo esempio, questa formula può essere scritta come 100000=50000*(100%+14,5%) t o 2=(100%+14,5%) t . Quindi, per trovare t, puoi riscrivere l'equazione come t=log (114,5%) 2 o t=log 1.1452 .

Per trovare il valore di t, scriviamo la seguente formula per l'interesse composto su un deposito in Excel:

LOG(B4/B2;1+B3)

Descrizione degli argomenti:

• B4/B2 - il rapporto tra gli importi previsti e iniziali, che è un indicatore del logaritmo;
• 1+B3 - guadagno di interesse (base del logaritmo).

Come risultato dei calcoli, otteniamo:

Il deposito raddoppierà dopo poco più di 5 anni. Per definizione esatta anni e mesi, usiamo la formula:

La funzione SELEZIONA scarta tutto dopo la virgola in un numero frazionario, simile alla funzione INTEGER. La differenza tra le funzioni SELECT e WHOLE è solo nei calcoli con numeri frazionari negativi. Inoltre, OTBR ha un secondo argomento in cui è possibile specificare il numero di cifre decimali da lasciare. Poeta dentro questo casoè possibile utilizzare una qualsiasi di queste due funzioni a scelta dell'utente.

Risultò 5 anni e 1 mese e 12 giorni. Ora confrontiamo i risultati esatti con la regola del 72 e determiniamo l'entità dell'errore. Per questo esempio, la formula è:

Dobbiamo moltiplicare il valore della cella B3 per 100 poiché il suo valore corrente è 0,145, che viene visualizzato come percentuale. Di conseguenza:

Dopo aver copiato la formula dalla cella B6 alla cella B8 e nella cella B9:

Calcoliamo i termini di errore:

Quindi, nella cella B10, copia nuovamente la formula dalla cella B6. Di conseguenza, otteniamo la differenza:

Infine, calcoliamo la differenza percentuale per verificare come cambia l'entità della deviazione e in che misura l'aumento del tasso di interesse influisce sul livello di discrepanza tra la regola 72 e il fatto:

Ora, per visualizzare la dipendenza proporzionale dell'aumento dell'errore e dell'aumento del livello del tasso di interesse, aumenteremo il tasso di interesse al 100% annuo:

A prima vista, la differenza di errore non è significativa rispetto al 14,5% annuo - solo circa 2 mesi e al 100% annuo - entro 3 mesi. Ma la quota di errore nel periodo di rimborso è superiore a ¼, ovvero il 28%.

Facciamo un semplice grafico per l'analisi visiva di come la dipendenza della variazione del tasso di interesse e la percentuale dell'errore della regola 72 si correla con il fatto:

Maggiore è il tasso di interesse, peggiore è la regola 72. Di conseguenza, possiamo trarre la seguente conclusione: fino al 32,2% annuo, puoi tranquillamente utilizzare la regola 72. Quindi l'errore è inferiore al 10%. Funzionerà se non sono richiesti calcoli accurati, ma complessi sul periodo di recupero dell'investimento di 2 volte.

Calcolatore di interessi composti di investimento con capitalizzazione in Excel

Al cliente bancario è stato offerto di effettuare un deposito con un aumento continuo dell'importo totale (capitalizzazione con interesse composto). Il tasso di interesse è del 13% annuo. Determina quanto tempo ci vorrà per triplicare l'importo iniziale (250.000 rubli). Di quanto dovrebbe essere aumentato il tasso di interesse per dimezzare i tempi di attesa?

Nota: visto che ci siamo questo esempio triplichiamo l'importo degli investimenti, quindi la regola 72 non funziona qui.

Vista della tabella dati originale:

La crescita continua può essere descritta dalla formula ln(N)=p*t, dove:

• N è il rapporto tra l'importo finale del deposito e quello iniziale;
• p è il tasso di interesse;
• t è il numero di anni trascorsi da quando è stato effettuato il deposito.

Allora t=ln(N)/p. Sulla base di questa uguaglianza, scriviamo la formula in Excel:

Descrizione degli argomenti:

• B3/B2 - il rapporto tra l'importo finale e iniziale del deposito;
• B4 - tasso di interesse.

Ci vorranno quasi 8,5 anni per triplicare l'importo del deposito iniziale. Per calcolare la tariffa che ridurrà della metà il tempo di attesa, utilizziamo la formula:

LN(B3/B2)/(0.5*B5)

Risultato:

Cioè, è necessario raddoppiare il tasso di interesse iniziale.

Caratteristiche dell'utilizzo delle funzioni LN, LOG e LOG10 in Excel

La funzione LN ha la seguente sintassi:

LN(numero)

• number è l'unico argomento obbligatorio che accetta numeri reali da un intervallo di valori positivi.

Appunti:

1. La funzione LN è inversa Funzione EXP. Quest'ultimo restituisce il valore ottenuto elevando il numero e alla potenza specificata. La funzione LN specifica la potenza a cui deve essere elevato il numero e (base) per ottenere l'esponente del logaritmo (l'argomento del numero).
2. Se l'argomento numero è un numero compreso nell'intervallo di valori negativi o zero, il risultato della funzione LN è il codice di errore #NUM!.

La sintassi della funzione LOG è la seguente:

LOG(numero ;[base])

Descrizione degli argomenti:

• numero - un argomento obbligatorio che caratterizza il valore numerico dell'esponente del logaritmo, ovvero il numero ottenuto come risultato dell'innalzamento della base del logaritmo a una certa potenza, che verrà calcolata dalla funzione LOG;
• [base] è un argomento opzionale che caratterizza il valore numerico della base del logaritmo. Se l'argomento non è specificato in modo esplicito, si presume che il logaritmo sia decimale (ovvero, la base è 10).

Appunti:

1. Sebbene il risultato della funzione LOG possa essere un numero negativo (ad esempio, la funzione =LOG(2;0.25) restituirà -0.5), gli argomenti di questa funzione devono essere presi dall'intervallo di valori positivi. Se almeno uno degli argomenti è un numero negativo, Funzione LOG restituirà il codice di errore #NUM!.
2. Se 1 viene passato come argomento [base], la funzione LOG restituirà il codice di errore #DIV/0!, poiché il risultato dell'elevazione di 1 a qualsiasi potenza sarà sempre lo stesso e uguale a 1.

La funzione LOG10 ha la seguente notazione sintattica:

LOG10(numero)

• number è l'unico ed obbligatorio argomento, il cui significato è identico all'argomento omonimo delle funzioni LN e LOG.

Nota: se è stato passato un numero negativo o 0 come argomento del numero, la funzione LOG10 restituirà il codice di errore #NUM!.

Il logaritmo del numero b in base a è l'esponente a cui devi elevare il numero a per ottenere il numero b.

Se poi .

Il logaritmo è estremamente grande quantità matematica, poiché il calcolo logaritmico consente non solo di risolvere equazioni esponenziali, ma anche operare con indicatori, differenziare funzioni esponenziali e logaritmiche, integrarle e portare a una forma più accettabile da calcolare.

In contatto con

Tutte le proprietà dei logaritmi sono direttamente correlate alle proprietà funzioni esponenziali. Ad esempio, il fatto che significa che:

Va notato che quando si risolvono problemi specifici, le proprietà dei logaritmi possono essere più importanti e utili delle regole per lavorare con i poteri.

Ecco alcune identità:

Ecco le principali espressioni algebriche:

;

.

Attenzione! può esistere solo per x>0, x≠1, y>0.

Proviamo a capire la domanda su cosa siano i logaritmi naturali. Interesse separato per la matematica rappresentano due tipi- il primo ha alla base il numero "10", ed è detto "logaritmo decimale". Il secondo è chiamato naturale. La base del logaritmo naturale è il numero e. È di lui che parleremo in dettaglio in questo articolo.

Designazioni:

• lg x - decimale;
• ln x - naturale.

Usando l'identità, possiamo vedere che ln e = 1, così come che lg 10=1.

grafico logaritmico naturale

Costruiamo un grafico del logaritmo naturale nel modo classico standard per punti. Se lo desideri, puoi verificare se stiamo costruendo correttamente una funzione esaminando la funzione. Tuttavia, ha senso imparare a costruirlo "manualmente" per sapere come calcolare correttamente il logaritmo.

Funzione: y = log x. Scriviamo una tabella di punti attraverso i quali passerà il grafico:

Spieghiamo perché abbiamo scelto tali valori dell'argomento x. Si tratta di identità: Per un logaritmo naturale, questa identità sarà simile a questa:

Per comodità, possiamo prendere cinque punti di riferimento:

;

;

.

;

.

Pertanto, contare i logaritmi naturali è un compito abbastanza semplice, inoltre, semplifica il calcolo delle operazioni con potenze, trasformandole in moltiplicazione normale.

Avendo costruito un grafico per punti, otteniamo un grafico approssimativo:

Il dominio del logaritmo naturale (ovvero tutti i valori validi dell'argomento X) è costituito da tutti i numeri maggiori di zero.

Attenzione! Il dominio di definizione del logaritmo naturale include solo numeri positivi! L'ambito non include x=0. Ciò è impossibile in base alle condizioni per l'esistenza del logaritmo.

L'intervallo di valori (ovvero tutti i valori validi della funzione y = ln x) è costituito da tutti i numeri nell'intervallo .

limite logaritmico naturale

Studiando il grafico, sorge la domanda: come si comporta la funzione quando y<0.

Ovviamente il grafico della funzione tende ad incrociare l'asse delle ordinate, ma non potrà farlo, poiché il logaritmo naturale di x<0 не существует.

Limite naturale tronco d'albero si può scrivere così:

Formula per cambiare la base di un logaritmo

Trattare con un logaritmo naturale è molto più facile che trattare con un logaritmo che ha una base arbitraria. Ecco perché cercheremo di imparare come ridurre qualsiasi logaritmo a uno naturale o esprimerlo in una base arbitraria attraverso logaritmi naturali.

Iniziamo con l'identità logaritmica:

Quindi qualsiasi numero o variabile y può essere rappresentato come:

dove x è un numero qualsiasi (positivo secondo le proprietà del logaritmo).

Questa espressione può essere logaritmica su entrambi i lati. Facciamolo con una base arbitraria z:

Usiamo la proprietà (solo invece di "con" abbiamo un'espressione):

Da qui otteniamo la formula universale:

.

In particolare, se z=e, allora:

.

Siamo riusciti a rappresentare il logaritmo in una base arbitraria attraverso il rapporto di due logaritmi naturali.

Risolviamo problemi

Per navigare meglio nei logaritmi naturali, considera esempi di diversi problemi.

Compito 1. È necessario risolvere l'equazione ln x = 3.

Soluzione: Usando la definizione del logaritmo: se , allora , otteniamo:

Compito 2. Risolvi l'equazione (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Soluzione: Usando la definizione del logaritmo: se , allora , otteniamo:

.

Ancora una volta applichiamo la definizione di logaritmo:

.

Così:

.

Puoi calcolare approssimativamente la risposta o lasciarla in questo modulo.

Compito 3. Risolvi l'equazione.

Soluzione: Facciamo una sostituzione: t = ln x. Quindi l'equazione assumerà la seguente forma:

.

Abbiamo un'equazione quadratica. Troviamo il suo discriminante:

Prima radice dell'equazione:

.

Seconda radice dell'equazione:

.

Ricordando che abbiamo effettuato la sostituzione t = ln x, otteniamo:

In statistica e teoria della probabilità, le quantità logaritmiche sono molto comuni. Questo non è sorprendente, perché il numero e - spesso riflette il tasso di crescita dei valori esponenziali.

In informatica, programmazione e teoria dei computer, i logaritmi sono abbastanza comuni, ad esempio, per memorizzare N bit in memoria.

Nelle teorie dei frattali e delle dimensioni, i logaritmi vengono costantemente utilizzati, poiché le dimensioni dei frattali sono determinate solo con il loro aiuto.

In meccanica e fisica non c'è sezione in cui non sono stati usati i logaritmi. La distribuzione barometrica, tutti i principi della termodinamica statistica, l'equazione di Tsiolkovsky e così via sono processi che possono essere descritti matematicamente solo usando i logaritmi.

In chimica, il logaritmo è usato nelle equazioni di Nernst, descrizioni dei processi redox.

Sorprendentemente, anche nella musica, per scoprire il numero di parti di un'ottava, si usano i logaritmi.

Logaritmo naturale Funzione y=ln x sue proprietà

Dimostrazione della proprietà principale del logaritmo naturale

Lezione e presentazione sui temi: "Logaritmi naturali. Base di un logaritmo naturale. Logaritmo di un numero naturale"

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Cos'è il logaritmo naturale

Ragazzi, nell'ultima lezione abbiamo imparato un nuovo numero speciale - e.. Oggi continueremo a lavorare con questo numero.
Abbiamo studiato i logaritmi e sappiamo che la base del logaritmo può essere un insieme di numeri maggiori di 0. Oggi considereremo anche il logaritmo, che si basa sul numero e. Tale logaritmo è solitamente chiamato logaritmo naturale . Ha la sua notazione: $\ln(n)$ è il logaritmo naturale. Questa notazione equivale a: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Le funzioni esponenziale e logaritmica sono inverse, quindi il logaritmo naturale è l'inverso della funzione: $y=e^x$.
Le funzioni inverse sono simmetriche rispetto alla retta $y=x$.
Tracciamo il logaritmo naturale tracciando la funzione esponenziale rispetto alla retta $y=x$.

Vale la pena notare che la pendenza della tangente al grafico della funzione $y=e^x$ nel punto (0;1) è di 45°. Allora anche la pendenza della tangente al grafico del logaritmo naturale nel punto (1; 0) sarà pari a 45°. Entrambe queste tangenti saranno parallele alla retta $y=x$. Disegnamo le tangenti:

Proprietà della funzione $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Non è né pari né dispari.
3. Aumenta sull'intero dominio di definizione.
4. Non limitato dall'alto, non limitato dal basso.
5. Non esiste un valore massimo, non esiste un valore minimo.
6. Continuo.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Convesso verso l'alto.
9. Differenziabile ovunque.

Nel corso della matematica superiore è dimostrato che la derivata di una funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione data.
Non ha molto senso approfondire la dimostrazione, scriviamo solo la formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Esempio.
Calcola il valore della derivata della funzione: $y=\ln(2x-7)$ nel punto $x=4$.
Soluzione.
In generale la nostra funzione è rappresentata dalla funzione $y=f(kx+m)$, possiamo calcolare le derivate di tali funzioni.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Calcoliamo il valore della derivata nel punto richiesto: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Risposta: 2.

Esempio.
Disegna una tangente al grafico della funzione $y=ln(x)$ nel punto $x=e$.
Soluzione.
L'equazione della tangente al grafico della funzione, nel punto $x=a$, la ricordiamo bene.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Calcoliamo in sequenza i valori richiesti.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
L'equazione della tangente nel punto $x=e$ è la funzione $y=\frac(x)(e)$.
Tracciamo il logaritmo naturale e la tangente.

Esempio.
Studia la funzione per la monotonia e gli estremi: $y=x^6-6*ln(x)$.
Soluzione.
Dominio della funzione $D(y)=(0;+∞)$.
Trova la derivata della funzione data:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
La derivata esiste per ogni x dal dominio di definizione, quindi non ci sono punti critici. Troviamo i punti stazionari:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Il punto $х=-1$ non appartiene al dominio della definizione. Allora abbiamo un punto stazionario $х=1$. Trova gli intervalli di aumento e diminuzione:

Il punto $x=1$ è il punto minimo, quindi $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Risposta: La funzione diminuisce sul segmento (0;1], la funzione aumenta sul raggio $ (\displaystyle ). La semplicità di questa definizione, coerente con molte altre formule che utilizzano questo logaritmo, spiega l'origine del nome "naturale".

Se consideriamo il logaritmo naturale come una funzione reale di una variabile reale, allora è la funzione inversa della funzione esponenziale, che porta alle identità:

e log ⁡ un = un (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) log ⁡ e un = un (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Come tutti i logaritmi, il logaritmo naturale associa la moltiplicazione all'addizione:

ln ⁡ X y = ln ⁡ X + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Può essere, ad esempio, una calcolatrice dal set base di programmi del sistema operativo Windows. Il collegamento per avviarlo è nascosto nel menu principale del sistema operativo: aprilo facendo clic sul pulsante "Start", quindi apri la sua sezione "Programmi", vai alla sottosezione "Accessori" e quindi a "Utilità" sezione e, infine, fare clic sulla voce "Calcolatrice". È possibile utilizzare la tastiera e la finestra di dialogo di avvio del programma anziché il mouse e navigare nel menu: premere la combinazione di tasti WIN + R, digitare calc (questo è il nome del file eseguibile della calcolatrice) e premere il tasto Invio.

Passa l'interfaccia della calcolatrice alla modalità avanzata, permettendoti di . Per impostazione predefinita, si apre nella forma "normale" e hai bisogno di "ingegneria" o "" (a seconda della versione del sistema operativo che stai utilizzando). Espandi la sezione "Visualizza" nel menu e seleziona la riga appropriata.

Immettere l'argomento di cui calcolare il valore naturale. Questo può essere fatto sia dalla tastiera che facendo clic sui pulsanti corrispondenti nell'interfaccia della calcolatrice sullo schermo.

Fare clic sul pulsante etichettato ln - il programma calcolerà il logaritmo in base e e visualizzerà il risultato.

Utilizzare uno dei -calcolatori in alternativa per calcolare il valore del logaritmo naturale. Ad esempio, quello situato a http://calc.org.ua. La sua interfaccia è estremamente semplice: c'è un unico campo di input in cui è necessario digitare il valore del numero, il cui logaritmo si desidera calcolare. Tra i pulsanti, trova e fai clic su quello che dice ln. Lo script di questo calcolatore non richiede l'invio di dati al server e una risposta, quindi riceverai il risultato del calcolo quasi istantaneamente. L'unica caratteristica che dovrebbe essere presa in considerazione è che il separatore tra le parti frazionarie e intere del numero inserito deve essere un punto qui, e non .

Il termine " logaritmo" deriva da due parole greche, una delle quali significa "numero" e l'altra - "relazione". Denotano l'operazione matematica di calcolo di una variabile (esponente), alla quale deve essere elevato un valore costante (base) per ottenere il numero indicato sotto il segno logaritmo UN. Se la base è uguale a una costante matematica, chiamata numero "e", allora logaritmo chiamato "naturale".

Avrai bisogno

• Accesso a Internet, Microsoft Office Excel o calcolatrice.

Istruzione

Usa i numerosi calcolatori presentati su Internet: questo è, forse, un modo semplice per calcolare l'a naturale. Non dovrai cercare il servizio appropriato, poiché molti motori di ricerca stessi dispongono di calcolatori integrati che sono abbastanza adatti per lavorare con logaritmo ami. Ad esempio, vai alla home page del più grande motore di ricerca online: Google. Qui non sono richiesti pulsanti per l'inserimento di valori e la selezione di funzioni, basta digitare l'azione matematica desiderata nel campo di immissione della query. Diciamo per calcolare logaritmo e i numeri 457 in base "e" entrano ln 457 - questo sarà sufficiente per Google per visualizzare con una precisione di otto cifre decimali (6.12468339) anche senza premere il pulsante per inviare una richiesta al server.

Utilizzare la funzione incorporata appropriata se è necessario calcolare il valore di un naturale logaritmo ma si verifica quando si lavora con i dati nel popolare editor di fogli di calcolo Microsoft Office Excel. Questa funzione è chiamata qui usando la notazione convenzionale such logaritmo e in maiuscolo - LN. Seleziona la cella in cui deve essere visualizzato il risultato del calcolo e inserisci un segno di uguale: ecco come dovrebbero iniziare le voci nelle celle che contengono nella sottosezione "Standard" della sezione "Tutti i programmi" del menu principale in questa tabella editore. Passa la calcolatrice a una modalità più funzionale premendo la scorciatoia da tastiera Alt + 2. Quindi inserisci il valore, naturale logaritmo che si desidera calcolare e fare clic sul pulsante nell'interfaccia del programma, contrassegnato dai simboli ln. L'applicazione eseguirà il calcolo e visualizzerà il risultato.

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