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Logaritmo naturale meno 1. Funzioni LN e LOG per il calcolo del logaritmo naturale In EXCEL

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Abbastanza buono, vero? Mentre i matematici sono alla ricerca di parole per darti una definizione lunga e contorta, diamo un'occhiata più da vicino a questa semplice e chiara.

Il numero e significa crescita

Il numero e significa crescita continua. Come abbiamo visto nell'esempio precedente, e x ci permette di legare interesse e tempo: 3 anni al 100% di crescita è uguale a 1 anno al 300%, soggetto a "interesse composto".

Puoi sostituire qualsiasi valore percentuale e temporale (50% in 4 anni), ma è meglio impostare la percentuale su 100% per comodità (risulta 100% in 2 anni). Passando al 100%, possiamo concentrarci esclusivamente sulla componente tempo:

e x = e percentuale * tempo = e 1.0 * tempo = e tempo

Ovviamente, e x significa:

quanto crescerà il mio contributo in x unità di tempo (assumendo una crescita continua del 100%).
ad esempio, dopo 3 intervalli di tempo otterrò e 3 = 20,08 volte più "cose".

e x è un fattore di scala che mostra a quale livello cresceremo in x periodi di tempo.

Logaritmo naturale significa tempo

Il logaritmo naturale è l'inverso di e, un termine così stravagante per l'opposto. A proposito di stranezze; in latino si chiama logarithmus naturali, da cui l'abbreviazione ln.

E cosa significa questa inversione o contrario?

e x ci permette di collegare il tempo e ottenere la crescita.
ln(x) ci permette di prendere la crescita o il reddito e scoprire il tempo necessario per ottenerlo.

Per esempio:

e 3 è uguale a 20.08. In tre periodi di tempo, avremo 20,08 volte in più rispetto a quello con cui abbiamo iniziato.
ln(20.08) sarà circa 3. Se sei interessato a un aumento di 20.08x, avrai bisogno di 3 volte (di nuovo, supponendo una crescita continua del 100%).

Stai ancora leggendo? Il logaritmo naturale mostra il tempo necessario per raggiungere il livello desiderato.

Questo conteggio logaritmico non standard

Hai superato i logaritmi - questo è strane creature. Come sono riusciti a trasformare la moltiplicazione in addizione? E la divisione in sottrazione? Diamo un'occhiata.

Quanto vale ln(1)? Intuitivamente, la domanda è: quanto tempo devo aspettare per ottenere 1 volte di più di quello che ho?

Zero. Zero. Affatto. Ce l'hai già una volta. Non ci vuole tempo per passare dal livello 1 al livello 1.

log(1) = 0

Ok, e il valore frazionario? Quanto tempo ci vorrà per avere la metà di quello che ci resta? Sappiamo che con una crescita continua del 100%, ln(2) indica il tempo necessario per raddoppiare. Se noi far tornare indietro il tempo(vale a dire attendere un periodo di tempo negativo), quindi otteniamo la metà di ciò che abbiamo.

ln(1/2) = -ln(2) = -0,693

Logico, vero? Se torniamo indietro (indietro nel tempo) di 0,693 secondi, troveremo la metà dell'importo disponibile. In generale, puoi invertire la frazione e assumere un valore negativo: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Ciò significa che se torniamo indietro nel tempo a 1,09 volte, troveremo solo un terzo del numero attuale.

Ok, e il logaritmo di un numero negativo? Quanto tempo ci vuole per "far crescere" una colonia di batteri da 1 a -3?

Questo è impossibile! Non puoi ottenere una conta batterica negativa, vero? Puoi ottenere un massimo (uh... minimo) pari a zero, ma non c'è modo di ottenere un numero negativo di queste piccole creature. Il numero negativo di batteri semplicemente non ha senso.

ln(numero negativo) = non definito

"Undefined" significa che non c'è tempo di attesa per ottenere un valore negativo.

La moltiplicazione logaritmica è semplicemente esilarante

Quanto tempo ci vorrà per quadruplicare la crescita? Certo, puoi semplicemente prendere ln(4). Ma è troppo facile, andremo dall'altra parte.

Puoi pensare alla quadruplicazione come al raddoppio (che richiede ln(2) unità di tempo) e quindi al raddoppio di nuovo (che richiede un'altra ln(2) unità di tempo):

Tempo per la crescita 4x = ln(4) = Tempo per raddoppiare e poi raddoppiare di nuovo = ln(2) + ln(2)

Interessante. Qualsiasi tasso di crescita, diciamo 20, può essere visto raddoppiare immediatamente dopo un aumento di 10 volte. O crescita 4 volte e poi 5 volte. O una triplicazione e poi un aumento di 6.666 volte. Vedi lo schema?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Il logaritmo di A per B è log(A) + log(B). Questa relazione ha subito un senso se si opera in termini di crescita.

Se sei interessato a una crescita di 30 volte, puoi aspettare ln(30) in una volta sola o aspettare che ln(3) triplichi e poi un altro ln(10) per moltiplicare per dieci. Il risultato finale è lo stesso, quindi ovviamente il tempo deve rimanere costante (e rimane).

E la divisione? In particolare, ln(5/3) significa: quanto tempo ci vuole per crescere 5 volte e poi ottenerne 1/3?

Fantastico, un fattore 5 è ln(5). La crescita di 1/3 volte richiederà -ln(3) unità di tempo. COSÌ,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Ciò significa: lascia che cresca 5 volte e poi "torna indietro nel tempo" fino al punto in cui rimane solo un terzo di quella quantità, quindi ottieni una crescita di 5/3. In generale, si scopre

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Spero che la strana aritmetica dei logaritmi inizi ad avere un senso per te: moltiplicare i tassi di crescita diventa aggiungere unità di tempo di crescita e dividere diventa sottrarre unità di tempo. Non memorizzare le regole, cerca di capirle.

Utilizzo del logaritmo naturale per la crescita arbitraria

Beh, certo, - dici, - va tutto bene se la crescita è del 100%, ma per quanto riguarda il 5% che ottengo?

Nessun problema. Il "tempo" che calcoliamo con ln() è in realtà una combinazione di tasso di interesse e tempo, la stessa X dell'equazione e x. Abbiamo appena scelto di impostare la percentuale al 100% per semplicità, ma siamo liberi di utilizzare qualsiasi numero.

Diciamo che vogliamo ottenere una crescita 30x: prendiamo ln(30) e otteniamo 3.4 Questo significa:

e x = altezza
e 3,4 = 30

Ovviamente, questa equazione significa "il rendimento del 100% in 3,4 anni dà origine a 30 volte". Possiamo scrivere questa equazione in questo modo:

e x = e tasso*tempo
e 100% * 3,4 anni = 30

Possiamo cambiare i valori di "rate" e "time", purché il rate * time rimanga 3.4. Ad esempio, se siamo interessati a una crescita di 30 volte, quanto tempo dovremo aspettare con un tasso di interesse del 5%?

log(30) = 3.4
tasso * tempo = 3.4
0,05 * tempo = 3,4
tempo = 3,4 / 0,05 = 68 anni

Ragiono così: "ln(30) = 3,4, quindi al 100% di crescita ci vorranno 3,4 anni. Se raddoppio il tasso di crescita, il tempo necessario si dimezza".

100% in 3,4 anni = 1,0 * 3,4 = 3,4
200% in 1,7 anni = 2,0 * 1,7 = 3,4
50% in 6,8 anni = 0,5 * 6,8 = 3,4
5% sopra i 68 anni = 0,05 * 68 = 3,4 .

È fantastico, vero? Il logaritmo naturale può essere utilizzato con qualsiasi tasso di interesse e tempo, purché il loro prodotto rimanga costante. Puoi spostare i valori delle variabili quanto vuoi.

Cattivo esempio: la regola del settantadue

La regola del settantadue è una tecnica matematica che ti consente di stimare quanto tempo impiegherà il tuo denaro a raddoppiare. Ora lo ricaveremo (sì!), e inoltre cercheremo di comprenderne l'essenza.

Quanto tempo ci vuole per raddoppiare i tuoi soldi a un tasso del 100% che aumenta ogni anno?

Op-pa. Abbiamo usato il logaritmo naturale per il caso di crescita continua, e ora stai parlando del rateo annuale? Questa formula non diventerebbe inadatta per un caso del genere? Sì, lo farà, ma per tassi di interesse reali come il 5%, il 6% o anche il 15%, la differenza tra la capitalizzazione annuale e la crescita costante sarà piccola. Quindi la stima approssimativa funziona, uh, approssimativamente, quindi faremo finta di avere un accumulo completamente continuo.

Ora la domanda è semplice: quanto velocemente puoi raddoppiare con una crescita del 100%? ln(2) = 0,693. Occorrono 0,693 unità di tempo (anni nel nostro caso) per raddoppiare il nostro importo con una crescita continua del 100%.

Quindi, cosa succede se il tasso di interesse non è del 100%, ma diciamo del 5% o del 10%?

Facilmente! Poiché tasso * tempo = 0,693, raddoppieremo l'importo:

tasso * tempo = 0,693
tempo = 0,693 / tasso

Quindi, se la crescita è del 10%, ci vorranno 0,693/0,10 = 6,93 anni per raddoppiare.

Per semplificare i calcoli, moltiplichiamo entrambe le parti per 100, quindi possiamo dire "10" e non "0,10":

tempo di raddoppio = 69,3 / puntata, dove la puntata è espressa in percentuale.

Ora è il momento di raddoppiare al 5%, 69,3/5 = 13,86 anni. Tuttavia, 69,3 non è il dividendo più conveniente. Scegliamo un numero vicino, 72, che è opportunamente divisibile per 2, 3, 4, 6, 8 e altri numeri.

tempo di raddoppio = 72 / puntata

che è la regola del settantadue. Tutto è coperto.

Se hai bisogno di trovare il tempo per triplicare, puoi usare ln(3) ~ 109.8 e ottenere

tempo di triplicazione = 110 / puntata

Cos'è un altro regola utile. "Regola 72" si applica alla crescita di tassi di interesse, crescita della popolazione, colture batteriche e tutto ciò che cresce in modo esponenziale.

Qual è il prossimo?

Spero che il logaritmo naturale ora abbia senso per te: mostra il tempo impiegato da qualsiasi numero per crescere in modo esponenziale. Penso che si chiami naturale perché e è una misura universale della crescita, quindi ln può essere considerato un modo universale per determinare quanto tempo ci vuole per crescere.

Ogni volta che vedi ln(x), ricorda "il tempo necessario per crescere x volte". In un prossimo articolo descriverò e e ln in congiunzione, in modo che il fresco profumo della matematica riempia l'aria.

Complemento: logaritmo naturale di e

Quiz veloce: quanto costerà ln(e)?

il robot matematico dirà: poiché sono definiti l'uno l'inverso dell'altro, è ovvio che ln(e) = 1.
persona comprensiva: ln(e) è il numero di volte in cui crescere "e" volte (circa 2,718). Tuttavia, il numero e stesso è una misura della crescita di un fattore 1, quindi ln(e) = 1.

Pensa chiaramente.

9 settembre 2013

Questo può essere, ad esempio, un calcolatore dal set base di programmi per sala operatoria. Sistemi Windows. Il collegamento per avviarlo è nascosto nel menu principale del sistema operativo: aprilo facendo clic sul pulsante "Start", quindi apri la sua sezione "Programmi", vai alla sottosezione "Accessori" e quindi a "Utilità" sezione e, infine, fare clic sulla voce "Calcolatrice". È possibile utilizzare la tastiera e la finestra di dialogo di avvio del programma anziché il mouse e navigare nel menu: premere la combinazione di tasti WIN + R, digitare calc (questo è il nome del file eseguibile della calcolatrice) e premere il tasto Invio.

Passa l'interfaccia della calcolatrice alla modalità avanzata, permettendoti di . Per impostazione predefinita, si apre nella forma "normale" e hai bisogno di "ingegneria" o "" (a seconda della versione del sistema operativo che stai utilizzando). Espandi la sezione "Visualizza" nel menu e seleziona la riga appropriata.

Immettere l'argomento di cui calcolare il valore naturale. Questo può essere fatto sia dalla tastiera che facendo clic sui pulsanti corrispondenti nell'interfaccia della calcolatrice sullo schermo.

Fare clic sul pulsante etichettato ln - il programma calcolerà il logaritmo in base e e visualizzerà il risultato.

Utilizzare uno dei -calcolatori come calcolo alternativo del valore logaritmo naturale. Ad esempio, quello situato a http://calc.org.ua. La sua interfaccia è estremamente semplice: c'è un unico campo di input in cui è necessario digitare il valore del numero, il cui logaritmo si desidera calcolare. Tra i pulsanti, trova e fai clic su quello che dice ln. Lo script di questo calcolatore non richiede l'invio di dati al server e una risposta, quindi riceverai il risultato del calcolo quasi istantaneamente. L'unica caratteristica che dovrebbe essere presa in considerazione è che il separatore tra le parti frazionarie e intere del numero inserito deve essere un punto qui, e non .

Il termine " logaritmo"derivato da due Parole greche, uno dei quali sta per "numero" e l'altro per "rapporto". Denotano l'operazione matematica di calcolo di una variabile (esponente), alla quale deve essere elevato un valore costante (base) per ottenere il numero indicato sotto il segno logaritmo UN. Se la base è uguale a una costante matematica, chiamata numero "e", allora logaritmo chiamato "naturale".

Avrai bisogno

Accesso a Internet, Microsoft Office Excel o calcolatrice.

Istruzione

Usa i numerosi calcolatori presentati su Internet: questo è, forse, un modo semplice per calcolare l'a naturale. Non dovrai cercare il servizio appropriato, poiché molti motori di ricerca stessi dispongono di calcolatori integrati che sono abbastanza adatti per lavorare con logaritmo ami. Ad esempio, vai a pagina iniziale il più grande motore di ricerca online - Google. Qui non sono richiesti pulsanti per l'inserimento di valori e la selezione di funzioni, basta digitare l'azione matematica desiderata nel campo di immissione della query. Diciamo per calcolare logaritmo e i numeri 457 in base "e" entrano ln 457 - questo sarà sufficiente per Google per visualizzare con una precisione di otto cifre decimali (6.12468339) anche senza premere il pulsante per inviare una richiesta al server.

Utilizzare la funzione incorporata appropriata se è necessario calcolare il valore di un naturale logaritmo ma si verifica quando si lavora con i dati nel popolare editor di fogli di calcolo Microsoft Office Excel. Questa funzione è chiamata qui usando la notazione convenzionale such logaritmo e in maiuscolo - LN. Seleziona la cella in cui deve essere visualizzato il risultato del calcolo e inserisci un segno di uguale: ecco come dovrebbero iniziare le voci nelle celle che contengono nella sottosezione "Standard" della sezione "Tutti i programmi" del menu principale in questa tabella editore. Passa la calcolatrice a una modalità più funzionale premendo la scorciatoia da tastiera Alt + 2. Quindi inserisci il valore, naturale logaritmo che si desidera calcolare e fare clic sul pulsante nell'interfaccia del programma, contrassegnato dai simboli ln. L'applicazione eseguirà il calcolo e visualizzerà il risultato.

Video collegati

Il logaritmo del numero b in base a è l'esponente a cui devi elevare il numero a per ottenere il numero b.

Se poi .

Il logaritmo è estremamente grande quantità matematica, poiché il calcolo logaritmico consente non solo di risolvere equazioni esponenziali, ma anche operare con indicatori, differenziare funzioni esponenziali e logaritmiche, integrarle e portare a una forma più accettabile da calcolare.

In contatto con

Tutte le proprietà dei logaritmi sono direttamente correlate alle proprietà funzioni esponenziali. Ad esempio, il fatto che significa che:

Va notato che quando si risolvono problemi specifici, le proprietà dei logaritmi possono essere più importanti e utili delle regole per lavorare con i poteri.

Ecco alcune identità:

Ecco le principali espressioni algebriche:

;

Attenzione! può esistere solo per x>0, x≠1, y>0.

Proviamo a capire la domanda su cosa siano i logaritmi naturali. Interesse separato per la matematica rappresentano due tipi- il primo ha alla base il numero "10", e si chiama " logaritmo decimale". Il secondo è chiamato naturale. La base del logaritmo naturale è il numero e. È di lui che parleremo in dettaglio in questo articolo.

Designazioni:

lg x - decimale;
ln x - naturale.

Usando l'identità, possiamo vedere che ln e = 1, così come che lg 10=1.

grafico logaritmico naturale

Costruiamo un grafico del logaritmo naturale nel modo classico standard per punti. Se lo desideri, puoi verificare se stiamo costruendo correttamente una funzione esaminando la funzione. Tuttavia, ha senso imparare a costruirlo "manualmente" per sapere come calcolare correttamente il logaritmo.

Funzione: y = log x. Scriviamo una tabella di punti attraverso i quali passerà il grafico:

Spieghiamo perché abbiamo scelto tali valori dell'argomento x. Si tratta di identità: Per un logaritmo naturale, questa identità sarà simile a questa:

Per comodità, possiamo prendere cinque punti di riferimento:

;

Pertanto, contare i logaritmi naturali è un compito abbastanza semplice, inoltre, semplifica il calcolo delle operazioni con potenze, trasformandole in moltiplicazione normale.

Avendo costruito un grafico per punti, otteniamo un grafico approssimativo:

Il dominio del logaritmo naturale (ovvero tutti i valori validi dell'argomento X) è costituito da tutti i numeri maggiori di zero.

Attenzione! Il dominio di definizione del logaritmo naturale include solo numeri positivi! L'ambito non include x=0. Ciò è impossibile in base alle condizioni per l'esistenza del logaritmo.

L'intervallo di valori (ovvero tutti i valori validi della funzione y = ln x) è costituito da tutti i numeri nell'intervallo .

limite logaritmico naturale

Studiando il grafico, sorge la domanda: come si comporta la funzione quando y<0.

Ovviamente il grafico della funzione tende ad incrociare l'asse delle ordinate, ma non potrà farlo, poiché il logaritmo naturale di x<0 не существует.

Limite naturale tronco d'albero si può scrivere così:

Formula per cambiare la base di un logaritmo

Trattare con un logaritmo naturale è molto più facile che trattare con un logaritmo che ha una base arbitraria. Ecco perché cercheremo di imparare come ridurre qualsiasi logaritmo a uno naturale o esprimerlo in una base arbitraria attraverso logaritmi naturali.

Iniziamo con l'identità logaritmica:

Quindi qualsiasi numero o variabile y può essere rappresentato come:

dove x è un numero qualsiasi (positivo secondo le proprietà del logaritmo).

Questa espressione può essere logaritmica su entrambi i lati. Facciamolo con una base arbitraria z:

Usiamo la proprietà (solo invece di "con" abbiamo un'espressione):

Da qui otteniamo la formula universale:

In particolare, se z=e, allora:

Siamo riusciti a rappresentare il logaritmo in una base arbitraria attraverso il rapporto di due logaritmi naturali.

Risolviamo problemi

Per navigare meglio nei logaritmi naturali, considera esempi di diversi problemi.

Compito 1. È necessario risolvere l'equazione ln x = 3.

Soluzione: Usando la definizione del logaritmo: se , allora , otteniamo:

Compito 2. Risolvi l'equazione (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Soluzione: Usando la definizione del logaritmo: se , allora , otteniamo:

Ancora una volta applichiamo la definizione di logaritmo:

Così:

Puoi calcolare approssimativamente la risposta o lasciarla in questo modulo.

Compito 3. Risolvi l'equazione.

Soluzione: Facciamo una sostituzione: t = ln x. Quindi l'equazione assumerà la seguente forma:

Abbiamo un'equazione quadratica. Troviamo il suo discriminante:

Prima radice dell'equazione:

Seconda radice dell'equazione:

Ricordando che abbiamo effettuato la sostituzione t = ln x, otteniamo:

In statistica e teoria della probabilità, le quantità logaritmiche sono molto comuni. Questo non è sorprendente, perché il numero e - spesso riflette il tasso di crescita dei valori esponenziali.

In informatica, programmazione e teoria dei computer, i logaritmi sono abbastanza comuni, ad esempio, per memorizzare N bit in memoria.

Nelle teorie dei frattali e delle dimensioni, i logaritmi vengono costantemente utilizzati, poiché le dimensioni dei frattali sono determinate solo con il loro aiuto.

In meccanica e fisica non c'è sezione in cui non sono stati usati i logaritmi. La distribuzione barometrica, tutti i principi della termodinamica statistica, l'equazione di Tsiolkovsky e così via sono processi che possono essere descritti matematicamente solo usando i logaritmi.

In chimica, il logaritmo è usato nelle equazioni di Nernst, descrizioni dei processi redox.

Sorprendentemente, anche nella musica, per scoprire il numero di parti di un'ottava, si usano i logaritmi.

Logaritmo naturale Funzione y=ln x sue proprietà

Dimostrazione della proprietà principale del logaritmo naturale

Cos'è un logaritmo?

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")

Cos'è un logaritmo? Come risolvere i logaritmi? Queste domande confondono molti laureati. Tradizionalmente, l'argomento dei logaritmi è considerato complesso, incomprensibile e spaventoso. Soprattutto - equazioni con logaritmi.

Questo non è assolutamente vero. Assolutamente! Non credi? Bene. Ora, per circa 10 - 20 minuti tu:

1. Capire cos'è un logaritmo.

2. Impara a risolvere un'intera classe di equazioni esponenziali. Anche se non ne hai sentito parlare.

3. Impara a calcolare semplici logaritmi.

Inoltre, per questo ti basterà conoscere la tavola pitagorica e come un numero viene elevato a potenza ...

Sento che dubiti ... Beh, tieni il tempo! Andare!

Innanzitutto, risolvi mentalmente la seguente equazione: