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분수 정의의 비교. 일반 분수의 비교

이 단원에서는 분수를 서로 비교하는 방법을 배웁니다. 이것은 더 복잡한 문제의 전체 클래스를 해결하는 데 필요한 매우 유용한 기술입니다.

먼저 분수의 동등성에 대한 정의를 상기시켜 드리겠습니다.

분수 a/b와 c/d는 ad = bc인 경우 같음이라고 합니다.

5/8 = 15/24 왜냐하면 5 24 = 8 15 = 120;
3/2 = 27/18, 왜냐하면 3 18 = 2 27 = 54이기 때문입니다.

다른 모든 경우에는 분수가 같지 않으며 다음 진술 중 하나가 참입니다.

분수 a /b 는 분수 c /d 보다 큽니다.
분수 a /b 는 분수 c /d 보다 작습니다.

분수 a /b는 a /b − c /d > 0인 경우 분수 c /d보다 크다고 합니다.

분수 x /y는 x /y − s /t인 경우 분수 s /t보다 작다고 합니다.< 0.

지정:

따라서 분수의 비교는 빼기로 축소됩니다. 질문: "보다 큼"(>) 및 "보다 작음"(<)? Для ответа просто приглядитесь к тому, как выглядят эти знаки:

수표의 확장 부분은 항상 더 큰 숫자를 향합니다.
갈까마귀의 날카로운 코는 항상 낮은 숫자를 나타냅니다.

종종 숫자를 비교하려는 작업에서 숫자 사이에 "∨" 기호를 넣습니다. 이것은 코가 아래로 향한 갈까마귀로, 암시합니다. 더 큰 숫자는 아직 결정되지 않았습니다.

일. 숫자 비교:

정의에 따라 서로 분수를 뺍니다.

각각의 비교에서 우리는 분수를 공통 분모로 가져와야 했습니다. 특히 십자형 방법을 사용하여 최소 공배수를 찾습니다. 나는 의도적으로 이러한 점에 초점을 맞추지 않았지만 명확하지 않은 것이 있으면 수업을 살펴보십시오 " 분수의 덧셈과 뺄셈"-매우 쉽습니다.

소수점 비교

소수의 경우 모든 것이 훨씬 간단합니다. 여기서는 아무것도 뺄 필요가 없습니다. 숫자만 비교하면 됩니다. 숫자의 중요한 부분이 무엇인지 기억하는 것은 불필요한 일이 아닙니다. 잊어 버린 분들을 위해 " 소수 분수의 곱셈과 나눗셈"-또한 몇 분 밖에 걸리지 않습니다.

다음과 같은 소수 자릿수가 있는 경우 양의 소수점 X는 양의 소수점 Y보다 큽니다.

분수 X에서 이 숫자의 숫자는 분수 Y에서 해당 숫자보다 큽니다.

분수 X와 Y에 주어진 것보다 오래된 모든 숫자는 동일합니다.

12.25 > 12.16. 처음 두 자리는 같고(12 = 12), 세 번째는 더 큽니다(2 > 1).
0,00697 < 0,01. Первые два разряда опять совпадают (00 = 00), а третий - меньше (0 < 1).

즉, 소수점 이하 자릿수를 순차적으로 보고 차이를 찾는 것입니다. 여기서 더 높은 수치또한 큰 부분에 해당합니다.

그러나 이 정의에는 설명이 필요합니다. 예를 들어, 소수점까지 숫자를 쓰고 비교하는 방법은 무엇입니까? 기억하십시오: 십진법으로 쓰여진 모든 숫자는 왼쪽에 0이 할당될 수 있습니다. 다음은 몇 가지 예입니다.

0,12 < 951, т.к. 0,12 = 000,12 - приписали два нуля слева. Очевидно, 0 < 9 (우리 대화하는 중이 야시니어 레벨에 대해).
2300.5 > 0.0025, 왜냐하면 0.0025 = 0000.0025 - 왼쪽에 세 개의 0을 추가했습니다. 이제 차이가 첫 번째 비트(2 > 0)에서 시작되는 것을 볼 수 있습니다.

물론 0이 있는 주어진 예에서 명시적인 열거가 있었지만 의미는 정확히 다음과 같습니다. 왼쪽에서 누락된 숫자를 채운 다음 비교합니다.

일. 분수 비교:

0,029 ∨ 0,007;

14,045 ∨ 15,5;

0,00003 ∨ 0,0000099;

1700,1 ∨ 0,99501.

정의에 따라 다음이 있습니다.

0.029 > 0.007. 처음 두 자리는 동일하고(00 = 00) 차이가 시작됩니다(2 > 0).
14,045 < 15,5. Различие - во втором разряде: 4 < 5;
0.00003 > 0.0000099. 여기서 0을 신중하게 계산해야 합니다. 두 분수의 처음 5자리 숫자는 0이지만 첫 번째 분수는 3이고 두 번째 분수는 0입니다. 분명히 3 > 0입니다.
1700.1 > 0.99501. 왼쪽에 3개의 0을 추가하여 두 번째 분수를 0000.99501로 다시 작성해 보겠습니다. 이제 모든 것이 분명합니다. 1 > 0 - 차이점은 첫 번째 숫자에서 찾을 수 있습니다.

불행하게도, 소수를 비교하기 위한 위의 체계는 보편적이지 않습니다. 이 방법은 비교만 가능 양수. 일반적인 경우 작업 알고리즘은 다음과 같습니다.

양수 분수는 항상 음수 분수보다 큽니다.
위의 알고리즘에 따라 두 개의 양수 분수가 비교됩니다.
두 개의 음수 분수는 같은 방식으로 비교되지만 결국 부등호 부호가 반전됩니다.

글쎄, 약하지 않아? 이제 고려 구체적인 예-모든 것이 명확해질 것입니다.

일. 분수 비교:

0,0027 ∨ 0,0072;

−0,192 ∨ −0,39;

0,15 ∨ −11,3;

19,032 ∨ 0,0919295;

−750 ∨ −1,45.

0,0027 < 0,0072. Здесь все стандартно: две положительные дроби, различие начинается на 4 разряде (2 < 7);
-0.192 > -0.39. 분수는 음수이고 2자리는 다릅니다. 1< 3, но в силу отрицательности знак неравенства меняется на противоположный;
0,15 > −11,3. 정수항상 더 부정적입니다.
19.032 > 0.091. 두 번째 분수를 00.091 형식으로 다시 작성하면 차이가 이미 1자리에서 발생함을 알 수 있습니다.
−750 < −1,45. Если сравнить числа 750 и 1,45 (без минусов), легко видеть, что 750 >001.45. 차이점은 첫 번째 범주에 있습니다.

우리는 분수를 계속 연구합니다. 오늘 우리는 그들의 비교에 대해 이야기 할 것입니다. 주제가 흥미롭고 유용합니다. 그것은 초보자가 백의를 입은 과학자처럼 느낄 수 있게 해줄 것이다.

분수 비교의 본질은 두 분수 중 어느 것이 더 크거나 작은지 알아내는 것입니다.

두 분수 중 어느 것이 더 크거나 작은지에 대한 질문에 대답하려면 more(>) 또는 less(<).

수학자들은 이미 어떤 분수가 더 크고 어떤 분수가 더 작은지에 대한 질문에 즉시 답할 수 있는 기성 규칙을 처리했습니다. 이러한 규칙은 안전하게 적용될 수 있습니다.

우리는 이러한 모든 규칙을 살펴보고 왜 이런 일이 발생하는지 알아내려고 노력할 것입니다.

수업 내용

분모가 같은 분수 비교하기

비교할 분수는 서로 다릅니다. 가장 성공적인 경우는 분수가 분모는 같지만 분자가 다른 경우입니다. 이 경우 다음 규칙이 적용됩니다.

분모가 같은 두 분수 중에서 분자가 큰 분수가 큰 분수입니다. 따라서 분자가 더 작은 분수가 더 작아집니다.

예를 들어, 분수를 비교하고 이 분수 중 어느 것이 더 큰지 답해 봅시다. 여기서 분모는 같지만 분자는 다릅니다. 분수는 분수보다 분자가 큽니다. 따라서 분수는 . 그래서 우리는 대답합니다. 더보기 아이콘(>)을 사용하여 답장

이 예는 네 부분으로 나누어진 피자를 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 피자보다 더 많은 피자:

모두가 첫 번째 피자가 두 번째 피자보다 크다는 데 동의할 것입니다.

분자가 같은 분수 비교하기

우리가 들어갈 수 있는 다음 경우는 분수의 분자는 같지만 분모가 다른 경우입니다. 이러한 경우 다음 규칙이 제공됩니다.

분자가 같은 두 분수 중 분모가 작은 분수가 더 큽니다. 따라서 분모가 큰 분수는 더 작습니다.

예를 들어 분수와 . 이 분수는 분자가 같습니다. 분수는 분수보다 분모가 작습니다. 따라서 분수는 분수보다 큽니다. 그래서 우리는 이렇게 대답합니다.

이 예는 3등분과 4등분으로 나누어진 피자를 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 피자보다 더 많은 피자:

모두가 첫 번째 피자가 두 번째 피자보다 크다는 데 동의합니다.

분자와 분모가 다른 분수 비교

분자와 분모가 다른 분수를 비교해야 하는 경우가 종종 있습니다.

예를 들어 분수와 . 이 분수 중 어느 것이 더 크거나 작은지에 대한 질문에 답하려면 동일한 (공통) 분모로 가져와야 합니다. 그러면 어떤 분수가 더 크거나 작은지 쉽게 결정할 수 있습니다.

분수를 동일한 (공통) 분모로 가져와 봅시다. (LCM) 두 분수의 분모를 찾습니다. 분수 분모의 최소공배수는 6입니다.

이제 각 부분에 대한 추가 요소를 찾습니다. LCM을 첫 번째 분수의 분모로 나눕니다. 최소공배수는 숫자 6이고 첫 번째 분수의 분모는 숫자 2입니다. 6을 2로 나누면 3이라는 추가 인수를 얻습니다. 첫 번째 분수 위에 씁니다.

이제 두 번째 추가 요인을 찾아봅시다. LCM을 두 번째 분수의 분모로 나눕니다. 최소공배수는 숫자 6이고 두 번째 분수의 분모는 숫자 3입니다. 6을 3으로 나누면 2라는 추가 인수를 얻습니다. 두 번째 분수 위에 씁니다.

추가 인수로 분수를 곱하십시오.

우리는 분모가 다른 분수가 분모가 같은 분수로 바뀌었다는 결론에 도달했습니다. 그리고 우리는 이미 그러한 분수를 비교하는 방법을 알고 있습니다. 분모가 같은 두 분수 중 분자가 큰 분수가 큰 분수입니다.

룰은 룰인데 왜 . 이렇게 하려면 분수에서 정수 부분을 선택합니다. 이 분수는 이미 정확하기 때문에 분수에서 아무 것도 선택할 필요가 없습니다.

분수에서 정수 부분을 선택한 후 다음 식을 얻습니다.

이제 왜 . 이 분수를 피자 형태로 그려 봅시다.

피자보다 2 홀 피자와 피자.

대분수의 뺄셈. 어려운 경우.

대분수를 뺄 때 원하는 만큼 원활하게 진행되지 않는 경우가 있습니다. 예를 풀 때 정답이 아닌 경우가 종종 있습니다.

숫자를 뺄 때 피감수가 피감수보다 커야 합니다. 이 경우에만 정상적인 응답을 받을 수 있습니다.

예를 들어, 10−8=2

10 - 감소

8 - 빼기

2 - 차이

빼기 10은 빼기 8보다 크므로 정상적인 답은 2입니다.

이제 피감수가 피감수보다 작으면 어떻게 되는지 봅시다. 예 5-7=-2

5 - 감소

7 - 빼기

-2는 차이입니다.

이 경우 우리는 익숙한 숫자를 넘어 걷기에는 너무 이르고 위험하기까지 한 음수의 세계에 있습니다. 음수로 작업하려면 아직 받지 못한 적절한 수학적 배경이 필요합니다.

빼기에 대한 예제를 풀 때 피감수가 빼기보다 작다는 것을 알게 되면 지금은 그러한 예제를 건너뛸 수 있습니다. 음수를 연구한 후에만 음수로 작업하는 것이 허용됩니다.

상황은 분수와 동일합니다. 피감수는 피감수보다 커야 합니다. 이 경우에만 정상적인 답변을 얻을 수 있습니다. 그리고 줄인 부분이 뺀 부분보다 큰지 이해하려면 이 부분을 비교할 수 있어야 합니다.

예를 들어 예를 들어 봅시다.

뺄셈 예제입니다. 이를 해결하려면 줄인 부분이 뺀 부분보다 큰지 확인해야 합니다. 이상

안전하게 예제로 돌아가서 해결할 수 있습니다.

이제 이 예제를 풀자

줄인 부분이 뺀 부분보다 큰지 확인합니다. 우리는 그것이 적다는 것을 발견했습니다:

이 경우 중지하고 더 이상 계산을 계속하지 않는 것이 더 합리적입니다. 우리는 음수를 공부할 때 이 예로 돌아갈 것입니다.

빼기 전에 대분수를 확인하는 것도 바람직합니다. 예를 들어 표현식의 값을 찾아봅시다.

먼저 줄인 대분수가 뺀 대분수보다 큰지 확인합니다. 이를 위해 대분수를 가분수로 변환합니다.

분자와 분모가 다른 분수가 있습니다. 이러한 분수를 비교하려면 동일한(공통) 분모로 가져와야 합니다. 이를 수행하는 방법에 대해서는 자세히 설명하지 않습니다. 문제가 있으면 반드시 반복하십시오.

분수를 같은 분모로 줄인 후 다음 식을 얻습니다.

이제 분수와 . 분모가 같은 분수입니다. 분모가 같은 두 분수 중에서 분자가 큰 분수가 큰 분수입니다.

분수는 분수보다 분자가 큽니다. 따라서 분수는 분수보다 큽니다.

이것은 피감수가 피감수보다 크다는 것을 의미합니다.

따라서 우리는 예제로 돌아가서 대담하게 해결할 수 있습니다.

예 3표현식의 값 찾기

피감수가 피감수보다 큰지 확인합니다.

대분수를 가분수로 변환:

분자와 분모가 다른 분수가 있습니다. 우리는 이러한 분수를 동일한 (공통) 분모로 가져옵니다.

분모가 같은 두 분수 중 분자가 큰 분수가 크고 분자가 작은 분수가 작습니다.. 사실 분모는 결국 하나의 전체 값을 몇 부분으로 나누었는지를 나타내고 분자는 그러한 부분을 몇 개나 취했는지를 나타냅니다.

각 전체 원은 같은 숫자로 나뉩니다. 5 , 그러나 그들은 다른 수의 부품을 가져갔습니다. 그들은 더 많이 가져갔습니다-많은 부분이 밝혀졌습니다.

분자가 같은 두 분수 중 분모가 작은 분수가 크고 분모가 큰 분수가 작습니다.음, 사실 하나의 원을 나누면 8 부품 및 기타 5 각 원에서 한 부분을 가져옵니다. 어느 부분이 더 클까요?

물론, 로 나눈 원에서 5 부속! 이제 그들이 원이 아니라 케이크를 공유했다고 상상해 보세요. 어떤 부분을 선호합니까, 더 정확하게는 5번째 또는 8번째 공유를 원하십니까?

분자와 분모가 다른 분수를 비교하려면 분모가 가장 작은 분수로 줄인 다음 분모가 같은 분수를 비교해야 합니다.

예. 일반 분수 비교:

이 분수를 가장 작은 공통 분모로 가져와 봅시다. NOZ(4 ; 6)=12. 각 분수에 대한 추가 요소를 찾습니다. 첫 번째 분수의 경우 추가 승수 3 (12: 4=3 ). 두 번째 분수의 경우 추가 승수 2 (12: 6=2 ). 이제 우리는 분모가 같은 두 분수의 분자를 비교합니다. 첫 번째 분수의 분자가 두 번째 분수의 분자보다 작기 때문에 ( 9<10) , 첫 번째 분수 자체는 두 번째 분수보다 작습니다.

이 문서에서는 분수의 비교를 다룹니다. 여기서 우리는 어떤 분수가 더 크거나 작은지 알아내고, 규칙을 적용하고, 솔루션의 예를 분석할 것입니다. 분모가 같거나 다른 분수를 비교합니다. 일반 분수와 자연수를 비교해 봅시다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

분모가 같은 분수 비교하기

같은 분모를 가진 분수를 비교할 때 우리는 분자로만 작업합니다. 즉, 숫자의 분수를 비교한다는 의미입니다. 분수 3 7 이 있으면 1 7 3 부분이 있고 분수 8 7 에는 8 부분이 있습니다. 즉, 분모가 같으면 이들 분수의 분자를 비교합니다. 즉, 3 7과 8 7 숫자 3과 8을 비교합니다.

이것은 동일한 분모를 가진 분수를 비교하는 규칙을 의미합니다. 동일한 지표를 가진 사용 가능한 분수 중 더 큰 것은 분자가 더 큰 것으로 간주되고 그 반대도 마찬가지입니다.

이것은 분자에 주의를 기울여야 함을 시사합니다. 이렇게하려면 예를 고려하십시오.

예 1

주어진 분수 65 126 과 87 126 을 비교하십시오.

해결책

분수의 분모가 같으므로 분자로 넘어 갑시다. 숫자 87과 65에서 65가 적다는 것이 분명합니다. 분모가 같은 분수를 비교하는 규칙에 따라 87126이 65126보다 큽니다.

답변: 87 126 > 65 126 .

분모가 다른 분수 비교

이러한 분수의 비교는 지수가 같은 분수의 비교와 비교할 수 있지만 차이가 있습니다. 이제 분수를 공통 분모로 줄여야 합니다.

분모가 다른 분수가 있는 경우 이를 비교하려면 다음이 필요합니다.

공통 분모를 찾으십시오.
분수를 비교하십시오.

예를 들어 이러한 단계를 살펴보겠습니다.

예 2

분수 5 12 와 9 16 을 비교합니다.

해결책

첫 번째 단계는 분수를 공통 분모로 가져오는 것입니다. 이것은 다음과 같은 방식으로 수행됩니다. LCM이 발견됩니다. 즉, 가장 작은 공약수, 12 및 16 . 이 숫자는 48입니다. 첫 번째 부분 5 12에 추가 요소를 기입해야 합니다. 이 숫자는 몫 48: 12 = 4, 두 번째 부분 9 16 - 48: 16 = 3에서 찾을 수 있습니다. 5 12 = 5 4 12 4 = 20 48 및 9 16 = 9 3 16 3 = 27 48과 같이 적어 봅시다.

분수를 비교하면 20 48< 27 48 . Значит, 5 12 меньше 9 16 .

답변: 5 12 < 9 16 .

분모가 다른 분수를 비교하는 또 다른 방법이 있습니다. 공통 분모로 환원하지 않고 수행됩니다. 예를 들어 보겠습니다. 분수 a b와 c d를 비교하기 위해 공통 분모로 줄인 다음 b · d, 즉 이러한 분모의 곱으로 줄입니다. 그런 다음 분수에 대한 추가 인수는 인접한 분수의 분모가 됩니다. 이것은 a·d·b·d와 c·bd·b로 쓴다. 분모가 같은 규칙을 사용하면 분수의 비교가 제품 a · d 및 c · b의 비교로 축소되었음을 알 수 있습니다. 여기에서 분모가 다른 분수를 비교하는 규칙을 얻습니다. a d > b c이면 a b > c d이지만 a d이면< b · c , тогда a b < c d . Рассмотрим сравнение с разными знаменателями.

예 3

분수 5 18과 23 86을 비교합니다.

해결책

이 예에는 a = 5 , b = 18 , c = 23 및 d = 86 이 있습니다. 그런 다음 a·d와 b·c를 계산해야 합니다. a d = 5 86 = 430 이고 b c = 18 23 = 414 입니다. 그러나 430 > 414 이면 주어진 분수 5 18 은 23 86 보다 큽니다.

답변: 5 18 > 23 86 .

분자가 같은 분수 비교하기

분수의 분자가 같고 분모가 다른 경우 이전 단락에 따라 비교를 수행할 수 있습니다. 분모를 비교할 때 비교 결과가 가능합니다.

같은 분자를 가진 분수를 비교하는 규칙이 있습니다 : 분자가 같은 두 분수 중 분모가 작은 분수가 큰 분수이고 그 반대도 마찬가지입니다.

예를 들어 보겠습니다.

예 4

분수 54 19와 54 31을 비교합니다.

해결책

분자가 같다는 것은 분모가 19인 분수가 분모가 31인 분수보다 크다는 것을 의미합니다. 이것은 규칙에서 분명합니다.

답변: 54 19 > 54 31 .

그렇지 않으면 예를 고려할 수 있습니다. 1 2 파이, 또 다른 1 16이 있는 두 개의 접시가 있습니다. 1 2 파이를 먹으면 1 16 파이보다 더 빨리 배부르게 됩니다. 따라서 같은 분자를 가진 가장 큰 분모가 분수를 비교할 때 가장 작다는 결론입니다.

분수와 자연수 비교

일반 분수와 자연수를 비교하는 것은 두 분수를 분모를 1의 형식으로 비교하는 것과 같습니다. 자세한 내용은 아래 예를 살펴보겠습니다.

예 4

63 8 및 9 비교를 수행해야 합니다.

해결책

숫자 9를 분수 9 1 로 나타낼 필요가 있습니다. 그런 다음 분수 63 8 과 9 1 을 비교할 필요가 있습니다. 그런 다음 추가 요소를 찾아 공통 분모로 축소합니다. 그 후 분모가 같은 분수 63 8 과 72 8 을 비교해야 한다는 것을 알 수 있습니다. 비교 규칙에 따라 63< 72 , тогда получаем 63 8 < 72 8 . Значит, заданная дробь меньше целого числа 9 , то есть имеем 63 8 < 9 .

답변: 63 8 < 9 .

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안에 일상 생활우리는 종종 분수 값을 비교해야 합니다. 대부분의 경우 이것은 문제를 일으키지 않습니다. 실제로 사과 반 개가 1/4보다 크다는 것을 모두가 이해합니다. 하지만 그것을 수학적 표현으로 적어야 하는 경우에는 어려울 수 있습니다. 다음 수학적 규칙을 적용하면 이 문제를 쉽게 해결할 수 있습니다.