브라켓 곱셈. 브래킷 오프닝: 규칙 및 예(7등급)
괄호는 작업이 수행되는 순서를 숫자로 표시하는 데 사용됩니다. 리터럴 표현, 뿐만 아니라 변수가 있는 표현식에서도 마찬가지입니다. 대괄호가 있는 식에서 대괄호가 없는 동일한 식으로 전달하는 것이 편리합니다. 이 기술을 괄호 열기라고 합니다.
대괄호를 확장한다는 것은 이러한 대괄호의 표현식을 제거한다는 의미입니다.
또 다른 점은 대괄호를 열 때 쓰기 솔루션의 특성과 관련된 특별한 주의가 필요합니다. 대괄호를 사용하여 초기 표현식과 대괄호를 연 후 얻은 결과를 동등하게 작성할 수 있습니다. 예를 들어 괄호를 연 후 표현식 대신
3−(5−7) 우리는 표현 3−5+7을 얻습니다. 우리는 이 두 식을 등식 3−(5−7)=3−5+7로 쓸 수 있습니다.
그리고 하나 더 중요한 점. 수학에서는 항목을 줄이기 위해 더하기 기호가 첫 번째 수식이나 괄호 안에 있으면 쓰지 않는 것이 일반적입니다. 예를 들어, 7과 3과 같은 두 개의 양수를 더하면 7도 있다는 사실에도 불구하고 +7 + 3이 아니라 단순히 7 + 3이라고 씁니다. 정수. 마찬가지로, 예를 들어 (5 + x)라는 표현을 본다면 - 괄호 앞에 쓰여 있지 않은 더하기가 있고, 앞에 더하기 +(+5 + x)가 있다는 것을 알고 다섯.
추가를 위한 브래킷 확장 규칙
괄호를 열 때 괄호 앞에 더하기가 있으면 이 더하기는 괄호와 함께 생략됩니다.
예. 표현식에서 괄호 열기 2 + (7 + 3) 괄호 앞에 더하기 괄호 안의 숫자 앞의 문자는 변경되지 않습니다.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
뺄셈시 대괄호 확장 규칙
괄호 앞에 마이너스가 있는 경우 이 마이너스는 괄호와 함께 생략되지만 괄호 안에 있던 용어는 부호를 반대로 변경합니다. 괄호 안의 첫 용어 앞에 기호가 없으면 + 기호를 의미합니다.
예. 식 2 − (7 + 3)에서 여는 대괄호
괄호 앞에 빼기가 있으므로 괄호 안의 숫자 앞의 기호를 변경해야 합니다. 숫자 7 앞에는 괄호 안의 기호가 없으므로 7이 양수라는 의미이므로 앞에 + 기호가 있는 것으로 간주됩니다.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
괄호를 열 때 괄호 앞에 있던 예에서 빼기와 괄호 자체 2 − (+ 7 + 3)를 제거하고 괄호 안에 있던 기호를 반대 기호로 변경합니다.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
곱할 때 확장 괄호
괄호 앞에 곱셈 기호가 있으면 괄호 안의 각 숫자에 괄호 앞의 인수를 곱합니다. 동시에 마이너스에 마이너스를 곱하면 플러스가 되고, 플러스에 마이너스를 곱하는 것처럼 마이너스에 플러스를 곱하면 마이너스가 된다.
따라서 곱셈의 분배 속성에 따라 곱의 괄호가 확장됩니다.
예. 2(9-7) = 29-27
괄호에 괄호를 곱할 때 첫 번째 괄호의 각 항에 두 번째 괄호의 모든 항을 곱합니다.
(2 + 3) (4 + 5) = 24 + 25 + 34 + 35
사실, 모든 규칙을 기억할 필요는 없습니다. c(a-b)=ca-cb 하나만 기억하면 됩니다. 왜? c 대신에 하나를 대입하면 (a-b)=a-b 규칙을 얻습니다. 그리고 마이너스 1을 대입하면 규칙 −(a−b)=−a+b가 됩니다. 음, c 대신 다른 괄호로 대체하면 마지막 규칙을 얻을 수 있습니다.
나눌 때 괄호를 확장
괄호 뒤에 나누기 기호가 있는 경우 괄호 안의 각 숫자는 괄호 뒤의 제수로 나눌 수 있으며 그 반대도 마찬가지입니다.
예. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
중첩된 괄호를 확장하는 방법
식에 중첩된 대괄호가 포함되어 있으면 외부 또는 내부부터 시작하여 순서대로 확장됩니다.
동시에 괄호 중 하나를 열 때 다른 괄호를 건드리지 않고 그대로 다시 쓰는 것이 중요합니다.
예. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
대수학에서 고려되는 다양한 표현 중에서 단항식의 합은 중요한 위치를 차지합니다. 다음은 그러한 표현의 예입니다.
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
단항식의 합을 다항식이라고 합니다. 다항식의 항을 다항식의 멤버라고 합니다. 단항식은 다항식이라고도 하며, 단항식을 하나의 구성원으로 구성된 다항식으로 간주합니다.
예를 들어, 다항식
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
간소화할 수 있습니다.
우리는 단항식의 형태로 모든 용어를 나타냅니다 표준 보기:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
결과 다항식에서 유사한 용어를 제공합니다.
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
결과는 다항식이며, 그 모든 구성원은 표준 형식의 단항식이며, 그 중 유사한 것은 없습니다. 이러한 다항식을 호출합니다. 표준 형식의 다항식.
뒤에 다항식 차수표준 형식은 구성원의 권한 중 가장 큰 권한을 갖습니다. 따라서 이항식 \(12a^2b - 7b \)는 3차이고 삼항식 \(2b^2 -7b + 6 \)은 2차입니다.
일반적으로 하나의 변수를 포함하는 표준형 다항식 항은 지수의 내림차순으로 정렬됩니다. 예를 들어:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
여러 다항식의 합은 표준형 다항식으로 변환(단순화)될 수 있습니다.
때로는 다항식의 구성원을 그룹으로 나누고 각 그룹을 괄호로 묶어야 합니다. 괄호는 괄호의 반대이므로 공식화하기 쉽습니다. 괄호 여는 규칙:
괄호 앞에 + 기호가 있는 경우 괄호로 묶인 용어는 동일한 기호로 작성됩니다.
괄호 앞에 "-" 기호가 있으면 괄호로 묶인 용어가 반대 기호로 쓰여집니다.
단항식과 다항식 곱의 변환(단순화)
곱셈의 분배 속성을 사용하여 단항식과 다항식의 곱을 다항식으로 변환(단순화)할 수 있습니다. 예를 들어:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
단항식과 다항식의 곱은 이 단항식과 다항식의 각 항의 곱의 합과 동일합니다.
이 결과는 일반적으로 규칙으로 공식화됩니다.
단항식에 다항식을 곱하려면 이 단항식에 다항식의 각 항을 곱해야 합니다.
합계를 곱하기 위해 이 규칙을 반복해서 사용했습니다.
다항식의 곱. 두 다항식 곱의 변환(단순화)
일반적으로 두 다항식의 곱은 한 다항식의 각 항과 다른 다항식의 각 항의 곱의 합과 동일합니다.
일반적으로 다음 규칙을 사용합니다.
다항식에 다항식을 곱하려면 한 다항식의 각 항을 다른 다항식의 각 항과 곱하고 결과 곱을 더해야 합니다.
약식 곱셈 공식. 합, 차이 및 차이 제곱
대수 변환의 일부 표현은 다른 표현보다 더 자주 다루어야 합니다. 아마도 가장 일반적인 표현은 \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) 및 \(a^2 - b^2 \)입니다. 차이의 제곱 및 차이의 제곱. 이러한 식의 이름이 불완전한 것처럼 보이므로 예를 들어 \((a + b)^2 \)는 단순히 합계의 제곱이 아니라 다음 합계의 제곱입니다. a와 b. 그러나 a와 b의 합의 제곱은 일반적이지 않으며 일반적으로 문자 a와 b 대신 다양하고 때로는 매우 복잡한 표현을 포함합니다.
\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) 식은 표준 형식의 다항식으로 쉽게 변환(단순화)할 수 있습니다. :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
결과 ID는 중간 계산 없이 기억하고 적용하는 데 유용합니다. 짧은 구두 공식이 이것을 돕습니다.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - 합의 제곱은 제곱과 이중 곱의 합과 같습니다.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - 차이의 제곱은 곱을 두 배로 하지 않은 제곱의 합입니다.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - 제곱의 차이는 차이와 합계의 곱과 같습니다.
이 세 가지 ID는 왼쪽 부분을 오른쪽 부분으로 또는 그 반대로 오른쪽 부분을 왼쪽 부분으로 바꾸는 변형을 허용합니다. 이 경우 가장 어려운 것은 해당 표현을 보고 변수 a와 b가 대체되는 것을 이해하는 것입니다. 약식 곱셈 공식을 사용하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
방정식의 해당 부분은 괄호 안의 표현식입니다. 괄호를 열려면 괄호 앞의 기호를 보십시오. 더하기 기호가 있는 경우 식 레코드에서 대괄호를 확장할 때 아무 것도 변경되지 않습니다. 대괄호만 제거하면 됩니다. 빼기 기호가 있으면 괄호를 열 때 처음에 괄호 안에 있던 모든 기호를 반대 기호로 변경해야 합니다. 예를 들어 -(2x-3)=-2x+3입니다.
두 개의 괄호를 곱합니다.
방정식에 두 괄호의 곱이 포함된 경우 표준 규칙에 따라 괄호를 확장합니다. 첫 번째 괄호의 각 항에 두 번째 괄호의 각 항을 곱합니다. 결과 숫자가 합산됩니다. 이 경우 두 개의 "플러스" 또는 두 개의 "마이너스"의 곱은 용어에 "플러스" 기호를 제공하고 요인이 있는 경우 다른 징후, 그러면 빼기 기호가 표시됩니다.
고려하다 .
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
괄호를 확장하여 때때로 표현식을 . 제곱과 세제곱의 공식은 마음으로 알고 기억해야 합니다.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
3보다 큰 식을 올리는 공식은 파스칼의 삼각형을 사용하여 수행할 수 있습니다.
출처:
- 괄호 여는 공식
괄호로 묶인 수학 연산에는 다양한 복잡성 수준의 변수와 표현식이 포함될 수 있습니다. 이러한 표현을 곱하려면 다음에서 솔루션을 찾아야 합니다. 일반적인 견해, 괄호를 확장하고 결과를 단순화합니다. 괄호에 변수가 없고 숫자 값만 있는 작업이 포함된 경우 괄호를 열 필요가 없습니다. 사용자가 컴퓨터를 사용할 수 있는 경우 매우 중요한 컴퓨팅 리소스를 사용할 수 있기 때문입니다. 단순화하는 것보다 사용하는 것이 더 쉽습니다. 표현.
지침
일반적인 결과를 얻으려면 하나의 괄호에 포함된 각각(또는 줄임)에 다른 모든 괄호의 내용을 연속적으로 곱하십시오. 예를 들어 원래 표현식을 (5+x)*(6-x)*(x+2)와 같이 작성합니다. 그런 다음 연속적인 곱셈(즉, 괄호 확장)은 다음 결과를 제공합니다. (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5*2) + (6*x-x*x)*(x*x+2*x) = (5*6*5*x+5*6*5*2) - (5*x*5*x+ 5* x*5*2) + (6*x*x*x+6*x*2*x) - (x*x*x*x+x*x*2*x) = 5*6*5 *x + 5*6*5*2 - 5*x*5*x - 5*x*5*2 + 6*x*x*x + 6*x*2*x - x*x*x*x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
표현식을 줄여서 결과를 단순화하십시오. 예를 들어, 이전 단계에서 얻은 식은 다음과 같이 단순화할 수 있습니다. 300 - 13* x² - 8*x³ - x*x³.
x에 4.75를 곱해야 하는 경우, 즉 (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2)를 곱해야 하는 경우 계산기를 사용하십시오. 이 값을 계산하려면 Google 또는 Nigma 검색 엔진 웹사이트로 이동하여 원래 형식(5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2)으로 쿼리 필드에 식을 입력합니다. Google은 버튼을 누르지 않고 즉시 82.265625를 표시하는 반면 Nigma는 버튼을 눌러 데이터를 서버로 보내야 합니다.
이 단원에서는 괄호가 포함된 식을 괄호가 포함되지 않은 식으로 변환하는 방법을 배웁니다. 더하기 기호와 빼기 기호가 앞에 오는 괄호를 여는 방법을 배웁니다. 곱셈의 분배 법칙을 사용하여 괄호를 여는 방법을 기억할 것입니다. 고려된 예를 통해 새로운 자료와 이전에 연구된 자료를 하나의 전체로 연결할 수 있습니다.
주제: 방정식 풀이
Lesson: 괄호 확장
"+" 기호가 앞에 오는 대괄호를 여는 방법. 덧셈의 결합 법칙 사용.
두 숫자의 합을 숫자에 더해야 하는 경우 이 숫자에 첫 번째 항을 더한 다음 두 번째 항을 더할 수 있습니다.
등호의 왼쪽은 괄호가 있는 식, 오른쪽은 괄호가 없는 식입니다. 이것은 평등의 왼쪽에서 오른쪽으로 지나갈 때 괄호가 열렸다는 것을 의미합니다.
예를 고려하십시오.
예 1 
괄호를 확장하여 작업 순서를 변경했습니다. 계산이 더욱 편리해졌습니다.
예 2 
예 3
세 가지 예 모두에서 우리는 단순히 괄호를 제거했습니다. 규칙을 공식화합시다.
논평.
괄호 안의 첫 번째 용어가 부호가 없으면 더하기 기호로 작성해야 합니다.
단계별 예제를 따를 수 있습니다. 먼저 889에 445를 더합니다. 이 정신 작용은 수행할 수 있지만 그리 쉽지는 않습니다. 괄호를 열고 변경된 작업 순서가 계산을 크게 단순화하는지 확인하십시오.
표시된 작업 순서를 따르는 경우 먼저 512에서 345를 뺀 다음 결과에 1345를 더해야 괄호를 확장하여 작업 순서를 변경하고 계산을 크게 단순화합니다.
예시 및 규칙.
예를 고려하십시오: . 2와 5를 더한 다음 결과 숫자를 반대 부호로 취하여 식의 값을 찾을 수 있습니다. 우리는 -7을 얻습니다.
반면에 반대 숫자를 더해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
규칙을 공식화합시다.
예 1 
예 2
괄호 안의 용어가 두 개가 아니라 세 개 이상인 경우 규칙은 변경되지 않습니다.
예 3 
논평. 부호는 용어 앞에서만 반전됩니다.
괄호를 열려면 이 경우분배 속성을 기억하십시오.
먼저 첫 번째 대괄호에 2를 곱하고 두 번째 대괄호에 3을 곱합니다.
첫 번째 대괄호 앞에는 "+" 기호가 옵니다. 이는 기호를 변경하지 않고 그대로 두어야 함을 의미합니다. 두 번째는 "-" 기호가 앞에 나오므로 모든 기호를 뒤집어야 합니다.
서지
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 수학 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. 수학 6학년. - 체육관, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. 수학 교과서의 페이지 뒤에. - 계몽, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. 5-6 학년 수학 과정 과제 - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. 수학 5-6. MEPhI 통신 학교 6학년 학생들을 위한 매뉴얼. - ZSH MEPHI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. 수학: 5-6학년을 위한 대담 교과서 고등학교. 수학 교사의 도서관. - 계몽, 1989.
- 온라인 수학 시험().
- 1.2절에 명시된 것을 다운로드할 수 있습니다. 서적().
숙제
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 수학 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (링크 1.2 참조)
- 숙제: 1254호, 1255호, 1256호 (b, d)
- 기타 양도: No. 1258(c), No. 1248
이 기사에서는 여는 괄호와 같은 수학 과정에서 중요한 주제에 대한 기본 규칙을 자세히 고려할 것입니다. 괄호가 사용된 방정식을 올바르게 풀기 위해서는 괄호를 여는 규칙을 알아야 합니다.
추가할 때 괄호를 제대로 여는 방법
"+" 기호 앞에 있는 대괄호를 확장합니다.
괄호 앞에 덧셈 기호가 있으면 괄호를 열 때 그 안의 기호가 변경되지 않기 때문에 가장 간단한 경우입니다. 예:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
"-" 기호 앞에 괄호를 여는 방법
이 경우 대괄호없이 모든 용어를 다시 작성해야하지만 동시에 그 안의 모든 기호를 반대 기호로 변경하십시오. 기호는 앞에 "-" 기호가 있는 괄호의 용어에 대해서만 변경됩니다. 예:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
곱할 때 괄호를 여는 방법
괄호 앞에는 승수가 있습니다.
이 경우 각 항에 인수를 곱하고 부호를 변경하지 않고 괄호를 열어야 합니다. 승수에 "-" 기호가 있으면 곱할 때 항의 부호가 반전됩니다. 예:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
사이에 곱셈 기호가 있는 두 개의 괄호를 여는 방법
이 경우 첫 번째 괄호의 각 항을 두 번째 괄호의 각 항과 곱한 다음 결과를 더해야 합니다. 예:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
사각형에서 괄호를 여는 방법
두 항의 합 또는 차가 제곱인 경우 다음 공식에 따라 괄호를 확장해야 합니다.
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.
괄호 안에 마이너스가 있는 경우 공식은 변경되지 않습니다. 예:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
다른 정도로 괄호를 여는 방법
예를 들어 용어의 합 또는 차이가 3 또는 4승으로 올라가면 괄호의 차수를 "제곱"으로 나누면 됩니다. 같은 인수의 거듭제곱을 더하고, 나눌 때는 피제수의 정도에서 제수의 정도를 뺍니다. 예:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
3개의 브래킷을 여는 방법
한 번에 괄호 3개를 곱하는 방정식이 있습니다. 이 경우 먼저 처음 두 괄호의 항을 서로 곱한 다음 이 곱셈의 합에 세 번째 괄호의 항을 곱해야 합니다. 예:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
이러한 괄호 열기 규칙은 선형 및 삼각 방정식 모두에 동일하게 적용됩니다.
