문자 그대로의 표현. 표현식 변환

모든 언어는 동일한 정보를 표현할 수 있습니다. 다른 단어그리고 회전율. 수학적 언어도 예외는 아닙니다. 그러나 같은 표현이 다른 방식으로 동등하게 쓰여질 수 있습니다. 그리고 어떤 상황에서는 항목 중 하나가 더 간단합니다. 이 단원에서는 표현식을 단순화하는 방법에 대해 이야기하겠습니다.

사람들은 통신 다른 언어들. 우리에게 중요한 비교는 "러시아어 - 수학 언어" 쌍입니다. 동일한 정보를 다른 언어로 보고할 수 있습니다. 그러나 이 외에도 한 언어에서 다르게 발음될 수 있습니다.

예: "Peter는 Vasya와 친구입니다.", "Vasya는 Petya와 친구입니다.", "Peter와 Vasya는 친구입니다." 다르게 말했지만 하나는 같습니다. 이 문구를 통해 우리는 무엇이 위태로 운지 이해할 것입니다.

"소년 Petya와 소년 Vasya는 친구입니다."라는 문구를 살펴 보겠습니다. 우리는 무엇을 이해 문제의. 그러나 우리는 이 문구가 어떻게 들리는지 마음에 들지 않습니다. 간단하게 말할 수는 없나요? "소년과 소년"- "소년 Petya와 Vasya는 친구입니다. "라고 한 번 말할 수 있습니다.

"소년"... 이름에서 그들이 소녀가 아니라는 것이 분명하지 않습니까? "소년"을 제거합니다. "Petya와 Vasya는 친구입니다." 그리고 "친구"라는 단어는 "친구"로 대체 될 수 있습니다. "Petya와 Vasya는 친구입니다." 그 결과 첫 번째 길고 추한 문구는 말하기 쉽고 이해하기 쉬운 동등한 진술로 대체되었습니다. 이 문구를 단순화했습니다. 단순화한다는 것은 더 쉽게 말하지만 잃지 않고 의미를 왜곡하지 않는 것을 의미합니다.

같은 일이 수학적 언어에서도 일어난다. 같은 것을 다르게 말할 수 있습니다. 표현을 단순화한다는 것은 무엇을 의미합니까? 이것은 원래 표현에 대해 많은 동등한 표현, 즉 동일한 것을 의미하는 표현이 있음을 의미합니다. 그리고 이 모든 무리 중에서 우리는 우리의 의견으로는 가장 단순하거나 우리의 향후 목적에 가장 적합한 것을 선택해야 합니다.

예를 들어, 숫자 표현식을 고려하십시오. 와 동일합니다.

또한 처음 두 개와 동일합니다. .

우리는 표현을 단순화했고 가장 짧은 등가 표현을 찾았습니다.

숫자 표현식의 경우 항상 모든 작업을 수행하고 동등한 표현식을 단일 숫자로 가져와야 합니다.

리터럴 표현의 예를 고려하십시오. . 분명히 더 간단할 것입니다.

리터럴 식을 단순화할 때 가능한 모든 작업을 수행해야 합니다.

항상 표현을 단순화해야 합니까? 아니오, 때때로 동등하지만 더 긴 표기법이 우리에게 더 편리할 것입니다.

예: 숫자에서 숫자를 뺍니다.

계산이 가능하지만 첫 번째 숫자가 동등한 표기법으로 표시되는 경우 계산은 즉시 이루어집니다.

즉, 단순화된 표현이 추가 계산에 항상 유익한 것은 아닙니다.

그럼에도 불구하고 우리는 종종 "표현을 단순화"하는 것처럼 들리는 작업에 직면합니다.

표현을 단순화하십시오: .

해결책

1) 첫 번째 및 두 번째 괄호에서 작업을 수행합니다: .

2) 제품을 계산합니다. .

분명히 마지막 표현은 초기 표현보다 간단한 형식을 갖습니다. 우리는 그것을 단순화했습니다.

표현을 단순화하기 위해서는 등가(equal)로 바꿔야 한다.

동등한 식을 결정하려면 다음을 수행해야 합니다.

1) 가능한 모든 조치를 취한다.

2) 더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기의 속성을 사용하여 계산을 단순화합니다.

덧셈과 뺄셈의 속성:

1. 덧셈의 가환성: 항을 재배치해도 합은 변하지 않는다.

2. 덧셈의 결합성: 두 숫자의 합에 세 번째 숫자를 더하기 위해 첫 번째 숫자에 두 번째와 세 번째 숫자의 합을 더할 수 있습니다.

3. 숫자에서 합계를 빼는 속성: 숫자에서 합계를 빼려면 각 항을 개별적으로 빼면 됩니다.

곱셈과 나눗셈의 성질

1. 곱셈의 가환성: 곱은 인수의 순열에서 변하지 않습니다.

2. 결합 속성: 숫자에 두 숫자의 곱을 곱하려면 먼저 첫 번째 요소를 곱한 다음 결과 곱에 두 번째 요소를 곱할 수 있습니다.

3. 곱셈의 분배 속성: 어떤 수에 합을 곱하려면 각 항을 개별적으로 곱해야 합니다.

암산을 실제로 어떻게 하는지 봅시다.

계산하다:

해결책

1) 어떻게 상상

2) 첫 번째 곱셈기를 비트 항의 합으로 표현하고 곱셈을 수행해 봅시다.

3) 곱셈 방법을 상상하고 수행할 수 있습니다.

4) 첫 번째 요소를 동등한 합계로 바꿉니다.

분배 법칙은 다음에서도 사용할 수 있습니다. 반대쪽: .

다음과 같이하세요:

1) 2)

해결책

1) 편의를 위해 분포 법칙을 사용할 수 있습니다. 반대 방향으로 사용하십시오. 괄호 안의 공약수를 빼십시오.

2) 괄호 안의 공약수를 빼자

부엌과 복도에서 리놀륨을 구입해야 합니다. 주방 공간 - 복도 -. 리놀륨에는 for와 rub의 세 가지 유형이 있습니다. 각각 얼마나 될까요? 세 가지 유형리놀륨? (그림 1)

쌀. 1. 문제의 상태에 대한 삽화

해결책

방법 1. 주방에서 리놀륨을 구입하는 데 드는 비용을 별도로 찾은 다음 복도에 추가하고 결과 작업을 합산할 수 있습니다.

수업 시작 부분에서 제곱근의 기본 속성을 검토한 다음 몇 가지를 살펴보겠습니다. 어려운 예제곱근을 포함하는 식을 단순화합니다.

주제:기능. 속성 제곱근

수업:근을 사용하여 보다 복잡한 표현식 변환 및 단순화

1. 제곱근의 성질 반복

이론을 간단히 반복하고 제곱근의 주요 속성을 기억해 봅시다.

제곱근의 속성:

1. 그러므로, ;

3. ;

4. .

2. 근을 사용하여 식을 단순화하는 예

이러한 속성을 사용하는 예를 살펴보겠습니다.

예제 1: 표현식 단순화 .

해결책. 단순화하기 위해 숫자 120은 소인수로 분해되어야 합니다.

해당 공식에 따라 합계의 제곱을 엽니다.

예 2: 표현식 단순화 .

해결책. 이 표현에는 제곱근과 분수가 포함되어 허용 가능한 값 범위가 "좁아지기"때문에이 표현이 변수의 모든 가능한 값에 대해 의미가 없다는 점을 고려합니다. 오즈: ().

괄호 안의 표현을 공통 분모로 가져오고 마지막 분수의 분자를 제곱의 차이로 씁니다.

답변. 에.

예 3: 표현식 단순화 .

해결책. 분자의 두 번째 괄호가 어색한 형태를 가지고 있고 단순화할 필요가 있음을 알 수 있습니다. 그룹화 방법을 사용하여 인수분해해 봅시다.

공약수를 빼기 위해 근을 인수분해하여 단순화했습니다. 결과 식을 원래 분수로 대체합니다.

분수를 줄인 후 제곱의 차이 공식을 적용합니다.

3. 부조리를 없애는 예

예 4. 분모에서 비합리성(근) 제거: a) ; b) .

해결책. a) 분모의 부조리를 없애기 위해 분수의 분자와 분모에 공액 인수를 분모에 곱하는 표준 방법을 사용합니다(동일한 표현이지만 부호는 반대임). 이것은 분수의 분모를 제곱의 차이로 보완하기 위해 수행되어 분모에서 근을 제거할 수 있습니다. 우리의 경우 이렇게 해봅시다:

b) 유사한 작업을 수행합니다.

4. 복소수근에서 완전제곱수의 증명과 선택을 위한 예

예 5. 평등 증명 .

증거. 제곱근의 정의를 사용해 봅시다. 이 정의에서 오른쪽 표현식의 제곱은 루트 표현식과 같아야 합니다.

. 합계의 제곱 공식에 따라 괄호를 열어 보겠습니다.

, 우리는 올바른 방정식을 얻습니다.

입증되었습니다.

예 6. 식을 단순화합니다.

해결책. 이 표현은 일반적으로 복소 근(root under the root)이라고 합니다. 안에 이 예급진적 표현에서 전체 제곱을 추출하려면 추측이 필요합니다. 이를 위해 우리는 두 항 중 차이의 제곱 공식에서 이중 곱의 역할에 대한 경쟁자라는 점에 주목합니다(차이, 마이너스가 있기 때문에). 우리는 다음과 같은 제품의 형태로 작성합니다. 그런 다음 용어 중 하나의 역할에 대해 풀 스퀘어주장, 그리고 두 번째 - 1의 역할.

루트 아래에 이 표현을 대입해 봅시다.

섹션 5 표현 및 방정식

섹션에서 다음을 배우게 됩니다.

ü o 표현 및 단순화;

ü 평등의 속성은 무엇입니까?

ü 평등의 속성을 기반으로 방정식을 푸는 방법;

ü 방정식의 도움으로 어떤 유형의 문제가 해결되는지; 수직선이란 무엇이며 어떻게 작성합니까?

ü 평행이라고 불리는 선과 ​​그 선을 만드는 방법;

ü 좌표평면이란?

ü 평면에서 점의 좌표를 결정하는 방법;

ü 수량과 구축 방법 간의 종속성 그래프는 무엇입니까?

ü 배운 자료를 실제로 적용하는 방법

§ 30. 표현 및 단순화

리터럴 표현이 무엇인지 이미 알고 있으며 덧셈과 곱셈의 법칙을 사용하여 표현을 단순화하는 방법을 알고 있습니다. 예: 2a ∙ (-4 b) = -8ab . 결과 식에서 숫자 -8을 식의 계수라고 합니다.

표현을합니까 CD 계수? 그래서. 1과 같기 때문에 cd - 1 ∙ cd .

괄호가 있는 식을 괄호가 없는 식으로 변환하는 것을 괄호 확장이라고 합니다. 예: 5(2x + 4) = 10x + 20.

이 예에서 반대 작업은 괄호 안에 공통 인수를 넣는 것입니다.

동일한 리터럴 인수를 포함하는 용어를 유사한 용어라고 합니다. 괄호에서 공약수를 빼면 비슷한 용어가 만들어집니다.

5x + y + 4 - 2x + 6y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

B x + 7y - 5.

브래킷 확장 규칙

1. 괄호 앞에 "+" 기호가 있으면 괄호를 열 때 괄호 안의 용어 기호가 유지됩니다.

2. 괄호 앞에 "-" 기호가 있는 경우 괄호를 열면 괄호 안의 용어 기호가 반전됩니다.

작업 1 . 표현을 단순화하십시오:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15y -(-8 + 7y ).

솔루션. 1. 괄호 앞에 "+" 기호가 있으므로 괄호를 열 때 모든 용어의 기호가 보존됩니다.

4x + (-7x + 5) \u003d 4x-7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. 괄호 앞에 "-" 기호가 있으므로 괄호를 여는 동안 모든 용어의 기호가 반전됩니다.

15-(-8 + 7y) \u003d 15y + 8-7y \u003d 8y +8.

괄호를 열려면 곱셈의 분배 속성을 사용하십시오. b + c) = ab + AC. a > 0이면 항의 부호비 변경하지 마십시오. 만약< 0, то знаки слагаемых 비 및 from 은 반전됩니다.

작업 2. 식 단순화:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5(2-5배) + 12.

솔루션. 1. 괄호 e 앞의 인수 2는 양수이므로 괄호를 열 때 모든 용어의 부호를 유지합니다. 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. 괄호 e 앞의 요소 -5는 음수이므로 괄호를 열 때 모든 용어의 부호를 반대 기호로 변경합니다.

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

더 찾아 봐

1. "sum"이라는 단어는 라틴어에서 유래되었습니다.숨마 , "전체", "전체"를 의미합니다.

2. "플러스"라는 단어는 라틴어플러스, "더"를 의미하고 "마이너스"라는 단어는 라틴어에서마이너스 , 이는 "덜"을 의미합니다. "+" 및 "-" 기호는 더하기 및 빼기 연산을 나타내는 데 사용됩니다. 이 표시는 1489년 체코 과학자 J. Vidman이 "모든 상인을 위한 빠르고 즐거운 계정"이라는 책에서 소개했습니다.(그림 138).

쌀. 138

주요 사항을 기억하십시오

1. 유사한 용어는 무엇입니까? 유사한 용어는 어떻게 구성됩니까?

2. "+" 기호 앞에 오는 괄호는 어떻게 여나요?

3. "-" 기호 앞에 오는 괄호를 어떻게 여나요?

4. 앞에 양수 요인이 있는 대괄호를 어떻게 여나요?

5. 앞에 음수 요소가 있는 대괄호를 어떻게 여나요?

1374". 식의 계수 이름을 지정합니다.

1) 12a; 3) -5.6xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". 계수만 다른 용어의 이름을 지정하십시오.

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) 기원전 -4d - 기원전 + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

이 용어는 무엇입니까?

1376". 표현에 유사한 용어가 있습니까?

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". 식에서 괄호를 열어 괄호 안의 용어 기호를 변경해야 합니까?

1)4 + (a + 3b); 2)-c+(5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. 식을 단순화하고 계수에 밑줄을 긋습니다.

1379°. 식을 단순화하고 계수에 밑줄을 긋습니다.

1380°. 유사한 용어 줄이기:

1) 4a - 포 + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d-12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14n - 12m -4n -3m.

1381°. 유사한 용어 줄이기:

1) 6a - 5a + 8a - 7a; 3) 5초 + 4-2초-3초;

2) 9b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. 대괄호에서 공약수를 빼십시오.

1) 1.2a +1.2b; 3) -3n - 1.8m; 5) -5p + 2.5k -0.5t;

2) 0.5초 + 5d; 4) 1.2n - 1.8m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. 대괄호에서 공약수를 빼십시오.

1) 6a-12b; 3) -1.8n -3.6m;

2) -0.2s + 14d; A) 3p - 0.9k + 2.7t.

1384°. 괄호를 열고 유사한 용어를 줄입니다.

1) 5+(4a-4); 4) -(5c - d) + (4d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2m - 3n);

3) (76-4)-(46+2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. 괄호를 열고 유사한 용어를 줄입니다.

1) 10a + (4 - 4a); 3) (초 - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5n + m) + (-4n + 8m) - (2m -5n).

1386°. 괄호를 확장하고 표현의 의미를 찾으십시오.

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. 괄호를 확장하고 표현의 의미를 찾으십시오.

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. 여는 괄호:

1) 0.5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2.4p);

2)-s ∙ (2.7-1.2d ); 5) 3 ∙ (-1.5 p + 케이 - 0.2티);

3) 1.6 ∙ (2n + m); 6) (4.2p - 3.5k -6t) ∙ (-2a).

1389°. 여는 괄호:

1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4c - d )∙(-0.5y );

2) -2 ∙ (1.2n-m); 4) 6-(-p + 0.3k - 1.2t).

1390. 식을 단순화하십시오.

1391. 식을 단순화하십시오.

1392. 유사한 용어를 축소:

1393. 유사한 용어 줄이기:

1394. 식을 단순화하십시오.

1) 2.8 - (0.5a + 4) - 2.5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by) + 4.5 ∙ (-6 y - 3.2);

4) (-12.8m + 24.8n) ∙ (-0.5)-(3.5m -4.05m) ∙ 2.

1395. 식을 단순화하십시오.

1396. 표현의 의미를 찾으십시오.

1) 4-(0.2a-3)-(5.8a-16), a \u003d -5인 경우;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), if = -0.8;

m = 0.25, n = 5.7.

1397. 다음 식의 값을 찾으십시오.

1) x = -0.25인 경우 -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1);

1398*. 솔루션에서 오류를 찾습니다.

1) 5-(a-2.4) -7 ∙ (-a + 1.2) \u003d 5a-12-7a + 8.4 \u003d -2a-3.6;

2) -4 ∙ (2.3a - 6) + 4.2 ∙ (-6-3.5a) \u003d -9.2a + 46 + 4.26-14.7a \u003d -5.5a + 8.26.

1399*. 대괄호를 확장하고 식을 단순화합니다.

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. 올바른 평등을 얻기 위해 괄호를 정렬하십시오.

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a-2b-2a + b \u003d 3a-3b.

1401*. 모든 숫자 a와 a > b인 경우 b 이면 다음과 같습니다.

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b)-(a-b) \u003d 2b.

다음과 같은 경우 이 평등이 맞습니까? a) a< 비; b) a = 6?

1402*. 임의의 자연수 a에 대해 앞뒤 숫자의 산술 평균이 a와 같다는 것을 증명하십시오.

실제로 적용

1403. 세 사람을 위한 과일 디저트를 준비하려면 사과 2개, 오렌지 1개, 바나나 2개, 키위 1개가 필요합니다. 손님을 위해 디저트를 준비하는 데 필요한 과일의 양을 결정하기 위해 문자 그대로 표현하는 방법은 무엇입니까? 마린이 방문할 경우 몇 개의 과일을 사야 하는지 계산하도록 도와주세요: 1) 친구 5명; 2) 8명의 친구.

1404. 다음과 같은 경우 수학 숙제를 완료하는 데 필요한 시간을 결정하기 위해 문자 그대로 표현하십시오.

1) 문제 해결에 1분이 소요되었습니다. 2) 표현의 단순화는 문제 풀이보다 2배 이상입니다. 얼마나 걸렸어 숙제 Vasilko, 문제를 해결하는 데 15분을 보냈다면?

1405. 학교 매점의 점심은 샐러드, 보르시, 양배추 롤, 설탕에 절인 과일로 구성됩니다. 샐러드 비용은 전체 식사 총 비용의 20 %, 보르시 - 30 %, 양배추 롤 - 45 %, 설탕에 절인 과일 - 5 %입니다. 학교 식당의 점심값을 구하는 식을 쓰시오. 샐러드 가격이 2 UAH인 경우 점심 비용은 얼마입니까?

반복 작업

1406. 다음 방정식을 풉니다.

1407. 타냐는 아이스크림에 소비사용 가능한 모든 돈과 과자 -나머지. Tanya는 얼마나 많은 돈을 가지고 있습니까?

과자 가격이 12 UAH라면?

§ 1 리터럴 표현을 단순화하는 개념

이 단원에서는 "유사 용어"의 개념에 대해 알아보고 예제를 사용하여 유사 용어를 축소하여 리터럴 표현을 단순화하는 방법을 배웁니다.

"단순화" 개념의 의미를 알아봅시다. "단순화"라는 단어는 "단순화"라는 단어에서 파생됩니다. 단순화한다는 것은 단순하게 만드는 것을 의미합니다. 따라서 리터럴 표현식을 단순화하는 것은 최소한의 작업으로 더 짧게 만드는 것입니다.

9x + 4x라는 표현을 고려하십시오. 합계를 나타내는 문자 그대로의 표현입니다. 여기서 용어는 숫자와 문자의 곱으로 표시됩니다. 이러한 항의 수치적 요인을 계수라고 합니다. 이 식에서 계수는 숫자 9와 4가 됩니다. 문자로 표시되는 승수는 이 합계의 두 항에서 동일합니다.

곱셈의 분배 법칙을 상기하십시오.

합계에 숫자를 곱하려면 각 항에 이 숫자를 곱하고 결과 곱을 더하면 됩니다.

안에 일반적인 견해(a + b) ∙ c \u003d ac + bc로 작성됩니다.

이 법칙은 양방향으로 유효합니다. ac + bc = (a + b) ∙ c

이것을 문자 그대로의 표현에 적용해 보겠습니다. 9x와 4x의 곱의 합은 곱과 같습니다. 첫 번째 요소는 9와 4의 합이고 두 번째 요소는 x입니다.

9 + 4 = 13은 13x가 됩니다.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

표현식의 세 가지 동작 대신 곱셈이라는 한 가지 동작이 남았습니다. 이것은 우리가 문자 그대로의 표현을 더 간단하게 만들었다는 것을 의미합니다. 단순화했다.

§ 2 유사 용어 축소

9x와 4x라는 용어는 계수만 다릅니다. 이러한 용어를 유사하다고 합니다. 유사용어의 글자부분은 같다. 유사 용어에는 숫자와 등가 용어도 포함됩니다.

예를 들어 9a + 12 - 15라는 표현에서 숫자 12와 -15는 비슷한 용어가 될 것이고, 12와 6a의 곱의 합에서 숫자 14와 12와 6a의 곱(12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), 동등한 용어는 유사하며 12와 6a의 곱으로 표시됩니다.

예를 들어 5x와 5y의 곱의 합은 숫자 5와 x와 y의 합의 곱

5x + 5y = 5(x + y).

식을 -9a + 15a - 4 + 10으로 단순화해 봅시다.

비슷한 용어 이 경우-9a와 15a는 계수만 다르기 때문에 항입니다. 그들은 동일한 문자 승수를 가지며 용어 -4와 10도 숫자이기 때문에 비슷합니다. 다음과 같은 용어를 추가합니다.

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

우리는 6a + 6을 얻습니다.

표현을 단순화하면 유사한 용어의 합을 찾았습니다. 수학에서는 이를 유사 용어의 축소라고 합니다.

이러한 용어를 가져오는 것이 어려운 경우 해당 용어를 생각해 내고 개체를 추가할 수 있습니다.

예를 들어 다음 표현식을 고려하십시오.

각 문자에 대해 우리는 b-apple, c-pear라는 객체를 가져옵니다. 그러면 사과 2개 빼기 배 5개 더하기 배 8개가 나옵니다.

사과에서 배를 뺄 수 있습니까? 당연히 아니지. 그러나 마이너스 5배에 8배를 더할 수 있습니다.

-5개의 배 + 8개의 배와 같은 용어를 제공합니다. 유사 용어는 동일한 리터럴 부분을 가지므로 유사 용어를 축소할 때 계수를 추가하고 리터럴 부분을 결과에 추가하는 것으로 충분합니다.

(-5 + 8) 배 - 배 3개를 얻습니다.

리터럴 표현으로 돌아가서 -5s + 8s = 3s입니다. 따라서 유사한 용어를 줄이면 2b + 3c라는 표현을 얻습니다.

그래서 이번 수업에서는 "유사 용어"의 개념을 익히고 유사 용어를 가져와 문자 표현을 단순화하는 방법을 배웠습니다.

사용된 문헌 목록:

1. 수학. 6 학년: I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // 작성자-컴파일러 L.A. 토필린. 므네모시네 2009.
2. 수학. 6학년: 교육 기관 학생들을 위한 교과서. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
3. 수학. 6학년: 교육 기관용 교과서 / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov 및 기타 / G.V. Dorofeeva, I.F. 샤리긴; 러시아 과학 아카데미, 러시아 교육 아카데미. M.: "깨달음", 2010.
4. 수학. 6학년: 일반 교육 기관용 교과서 / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
5. 수학. 6학년: 교과서 / G.K. 무라빈, O.V. 개미. – M.: Bustard, 2014.

사용된 이미지:

첫 번째 수준

표현 변환. 상세 이론 (2019)

표현식 변환

종종 우리는 "표현을 단순화하십시오"라는 불쾌한 문구를 듣습니다. 일반적으로 이 경우 다음과 같은 종류의 몬스터가 있습니다.

"예, 훨씬 쉽습니다. "라고 말하지만 일반적으로 그러한 대답은 작동하지 않습니다.

이제 나는 그러한 일을 두려워하지 말라고 가르칠 것입니다. 또한 수업이 끝나면이 예를 (그냥!) 일반 숫자로 단순화합니다 (예,이 문자로 지옥에).

하지만 이 단원을 시작하기 전에 분수와 인수 다항식을 다룰 수 있어야 합니다. 따라서 먼저 이전에 해본 적이 없다면 ""및 ""주제를 마스터하십시오.

읽다? 그렇다면 준비가 된 것입니다.

기본 단순화 작업

이제 표현식을 단순화하는 데 사용되는 주요 기술을 분석합니다.

그 중 가장 간단한 것은

1. 유사품 가져오기

유사한 것은 무엇입니까? 숫자 대신 문자가 수학에 처음 등장한 7학년 때 이 과정을 거쳤습니다. 문자 부분이 같은 용어(단항어)도 비슷합니다. 예를 들어 합계에서 같은 용어는 and입니다.

기억나?

유사한 용어를 가져오는 것은 유사한 여러 용어를 서로 추가하여 하나의 용어를 얻는 것을 의미합니다.

하지만 글자를 어떻게 조합할 수 있을까요? - 물어.

문자가 일종의 객체라고 상상하면 매우 이해하기 쉽습니다. 예를 들어 편지는 의자입니다. 그렇다면 표현은? 의자 2개에 의자 3개, 얼마일까요? 맞습니다, 의자: .

이제 다음 표현을 사용해 보세요.

혼동하지 않으려면 다른 문자가 다른 개체를 나타내도록 하십시오. 예를 들어 - 이것은 (평소처럼) 의자이고 - 이것은 테이블입니다. 그 다음에:

의자 테이블 의자 테이블 의자 의자 테이블

이러한 용어의 문자를 곱한 숫자를 호출합니다. 계수. 예를 들어, 단항식에서 계수는 같습니다. 그리고 그는 평등합니다.

따라서 비슷한 것을 가져오는 규칙은 다음과 같습니다.

예:

유사품 가져오기:

답변:

2. (따라서 이러한 용어는 문자 부분이 동일하므로 유사합니다).

2. 인수분해

이것은 일반적으로 가장 중요한 부분표현을 단순화할 때 유사한 표현을 제공한 후에는 대부분 결과 표현을 인수화해야 합니다. 즉, 제품으로 표시해야 합니다. 이것은 분수에서 특히 중요합니다. 결국 분수를 줄이기 위해서는 분자와 분모를 곱으로 나타내야 합니다.

주제 ""에서 표현식 인수분해의 자세한 방법을 살펴보았으므로 여기서 배운 내용만 기억하면 됩니다. 이렇게하려면 몇 가지를 해결하십시오. 예(빼기 위해):

솔루션:

3. 분수 감소.

음, 분자와 분모의 일부를 지우고 당신의 삶에서 그것들을 버리는 것보다 더 좋은 것이 있을까요?

이것이 약어의 아름다움입니다.

간단 해:

분자와 분모가 같은 인수를 포함하는 경우 축소, 즉 분수에서 제거할 수 있습니다.

이 규칙은 분수의 기본 속성에서 따릅니다.

즉, 리덕션 연산의 본질은 분수의 분자와 분모를 같은 수(또는 같은 식)로 나눕니다.

분수를 줄이려면 다음이 필요합니다.

1) 분자와 분모 인수분해

2) 분자와 분모가 다음을 포함하는 경우 공통 요인, 삭제할 수 있습니다.

원칙은 분명하다고 생각합니다.

약어의 전형적인 실수 하나에 주목하고 싶습니다. 이 주제는 간단하지만 많은 사람들이 모든 것을 잘못하고 깨닫지 못합니다. 자르다- 이것은 의미 나누다같은 수로 분자와 분모.

분자 또는 분모가 합계인 경우 약어가 없습니다.

예를 들어 단순화해야 합니다.

일부는 이렇게 합니다. 이것은 완전히 잘못된 것입니다.

또 다른 예: 축소.

"가장 똑똑한" 사람은 이렇게 할 것입니다.

여기서 뭐가 잘못됐는지 말해줘? 그것은 보일 것입니다 : - 이것은 승수이므로 줄일 수 있습니다.

그러나 아니오 : - 이것은 분자에서 한 용어의 인수이지만 분자 자체는 전체적으로 인수로 분해되지 않습니다.

여기 또 다른 예가 있습니다: .

이 식은 인수로 분해됩니다. 즉, 분자와 분모를 다음으로 나눌 수 있습니다.

다음과 같이 즉시 나눌 수 있습니다.

이러한 실수를 방지하려면 다음을 기억하십시오. 쉬운 방법표현식이 팩토링되었는지 확인하는 방법:

식의 값을 계산할 때 마지막으로 수행되는 산술 연산은 "main"입니다. 즉, 문자 대신 일부 (임의) 숫자를 대체하고 식의 값을 계산하려고 하면 마지막 동작이 곱셈이면 곱이 됩니다(식이 인수로 분해됨). 마지막 작업이 더하기 또는 빼기인 경우 이는 식이 인수분해되지 않았음을 의미합니다(따라서 줄일 수 없음).

그것을 고치려면 몇 가지를 직접 해결하십시오. 예:

답변:

1. 즉시 자르려고 서두르지 않았기를 바랍니다. 다음과 같이 단위를 "축소"하는 것만으로는 여전히 충분하지 않았습니다.

첫 번째 단계는 다음을 인수분해하는 것입니다.

4. 분수의 덧셈과 뺄셈. 분수를 공통 분모로 가져옵니다.

일반 분수를 더하고 빼는 것은 잘 알려진 작업입니다. 공통 분모를 찾고 각 분수에 누락된 인수를 곱하고 분자를 더하거나 뺍니다. 기억합시다:

답변:

1. 분모와 는 서로소(coprime)입니다. 즉, 공통 인수가 없습니다. 따라서 이러한 숫자의 최소공배수는 곱과 같습니다. 이것은 공통 분모가 될 것입니다.

2. 여기서 공통 분모는 다음과 같습니다.

3. 여기서 제일 먼저 혼합 분수그것들을 잘못된 것으로 바꾼 다음 일반적인 계획에 따라 :

예를 들어 분수에 문자가 포함되어 있으면 또 다른 문제입니다.

간단하게 시작해 보겠습니다.

a) 분모에 문자가 포함되지 않음

여기서 모든 것은 일반 숫자 분수와 동일합니다. 공통 분모를 찾고 각 분수에 누락 된 요소를 곱하고 분자를 더하거나 뺍니다.

이제 분자에서 유사한 것을 가져올 수 있습니다.

직접 해보십시오.

b) 분모에는 문자가 포함됩니다.

문자없이 공통 분모를 찾는 원리를 기억합시다.

우선 공통 인수를 결정합니다.

그런 다음 모든 공약수를 한 번 작성합니다.

일반적인 요소가 아닌 다른 모든 요소를 ​​곱합니다.

분모의 공통 인수를 결정하기 위해 먼저 분모를 간단한 인수로 분해합니다.

공통 요소를 강조합니다.

이제 우리는 공통 인수를 한 번 작성하고 모든 비공통(밑줄 표시되지 않은) 인수를 추가합니다.

이것이 공통 분모입니다.

편지로 돌아가자. 분모는 정확히 같은 방식으로 제공됩니다.

분모를 요인으로 분해합니다.

공통(동일한) 승수를 결정합니다.

모든 공통 요소를 한 번 작성하십시오.

일반적인 요소가 아닌 다른 모든 요소를 ​​곱합니다.

따라서 순서대로:

1) 분모를 인수로 분해합니다.

2) 공통(동일한) 요인을 결정합니다.

3) 모든 공약수를 한 번 쓰고 나머지(밑줄이 그어진 것이 아닌) 인수를 모두 곱합니다.

그래서 공통 분모가 여기에 있습니다. 첫 번째 분수는 곱해야 하고 두 번째 분수는 다음과 같이 곱해야 합니다.

그건 그렇고, 한 가지 트릭이 있습니다.

예를 들어: .

우리는 분모에서 동일한 요소를 볼 수 있지만 모두 지표가 다릅니다. 공통 분모는 다음과 같습니다.

정도까지

정도까지

정도까지

정도.

작업을 복잡하게 해봅시다.

분수의 분모가 같게 만드는 방법은?

분수의 기본 속성을 기억해 봅시다.

분수의 분자와 분모에서 같은 숫자를 빼거나 더할 수 있다는 말은 어디에도 없습니다. 사실이 아니기 때문에!

직접 확인하세요. 예를 들어 분수를 취하고 분자와 분모에 숫자를 추가합니다(예: . 무엇을 배웠습니까?

따라서 흔들리지 않는 또 다른 규칙은 다음과 같습니다.

분수를 공통 분모로 만들 때는 곱셈 연산만 사용하십시오!

그러나 무엇을 얻기 위해 곱해야합니까?

여기에서 곱하십시오. 그리고 다음을 곱하십시오.

인수 분해할 수 없는 표현식을 "기본 인수"라고 합니다. 예를 들어, 기본 요소입니다. - 같은. 그러나 - 아니오: 요인으로 분해됩니다.

표현은 어떻습니까? 초등인가요?

아니요, 인수분해할 수 있기 때문입니다.

(이미 주제 ""에서 인수 분해에 대해 읽었습니다).

따라서 문자로 표현을 분해하는 기본 요소는 숫자를 분해하는 단순 요소와 유사합니다. 그리고 우리는 그들과 똑같이 할 것입니다.

두 분모에 요인이 있음을 알 수 있습니다. 그것은 권력의 공통 분모로 갈 것입니다 (이유를 기억하십니까?).

승수는 기본적이며 공통점이 없습니다. 즉, 첫 번째 분수에 승수를 곱해야 합니다.

다른 예시:

해결책:

공황 상태에서 이러한 분모를 곱하기 전에 인수분해하는 방법에 대해 생각해야 합니까? 둘 다 다음을 나타냅니다.

엄청난! 그 다음에:

다른 예시:

해결책:

평소처럼 분모를 인수분해합니다. 첫 번째 분모에서 간단히 괄호 안에 넣습니다. 두 번째 - 제곱의 차이:

공통 요인이 없는 것 같습니다. 하지만 자세히 보면 이미 너무 비슷합니다 ... 그리고 진실은 다음과 같습니다.

이제 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

즉, 다음과 같이 밝혀졌습니다. 괄호 안에서 우리는 용어를 바꾸었고 동시에 분수 앞의 부호가 반대로 변경되었습니다. 이 작업을 자주 수행해야 합니다.

이제 우리는 공통 분모를 가져옵니다.

알았어요? 이제 확인해 봅시다.

독립 솔루션을 위한 작업:

답변:

여기서 우리는 큐브의 차이점을 한 가지 더 기억해야 합니다.

두 번째 분수의 분모에는 "합의 제곱" 공식이 포함되어 있지 않습니다! 합계의 제곱은 다음과 같습니다.

A는 소위 불완전한 제곱합입니다. 두 번째 용어는 첫 번째와 마지막의 곱이며 두 배의 곱이 아닙니다. 합계의 불완전한 제곱은 큐브 차이의 확장 요인 중 하나입니다.

이미 세 개의 분수가 있는 경우 어떻게 합니까?

예, 동일합니다! 우선, 분모의 최대 요소 수가 동일한지 확인합니다.

주의: 한 괄호 안의 기호를 변경하면 분수 앞의 기호가 반대로 바뀝니다. 두 번째 괄호의 부호를 바꾸면 분수 앞의 부호가 다시 반전됩니다. 결과적으로 he(분수 앞의 기호)는 변경되지 않았습니다.

우리는 첫 번째 분모를 공통 분모에 완전히 쓴 다음 아직 작성되지 않은 모든 요소를 ​​두 번째부터 세 번째까지 (분수가 더 많은 경우 등등) 더합니다. 즉, 다음과 같이 됩니다.

흠 ... 분수를 사용하면 무엇을 해야할지 명확합니다. 하지만 두 사람은 어떻습니까?

간단합니다. 분수를 더하는 방법을 알고 계시죠? 따라서 듀스가 분수가 되도록 해야 합니다! 기억하세요: 분수는 나눗셈 연산입니다(갑자기 잊었을 경우를 대비해 분자를 분모로 나눕니다). 그리고 숫자를 로 나누는 것보다 쉬운 일은 없습니다. 이 경우 숫자 자체는 변경되지 않지만 분수로 바뀝니다.

정확히 필요한 것!

5. 분수의 곱셈과 나눗셈.

이제 가장 어려운 부분은 끝났습니다. 그리고 우리 앞에는 가장 단순하지만 동시에 가장 중요한 것이 있습니다.

절차

숫자 식을 계산하는 절차는 무엇입니까? 그러한 표현의 가치를 고려하여 다음을 기억하십시오.

당신은 계산 했습니까?

작동해야 합니다.

그래서 상기시켜드립니다.

첫 번째 단계는 학위를 계산하는 것입니다.

두 번째는 곱셈과 나눗셈입니다. 곱셈과 나눗셈이 동시에 여러 개 있는 경우 순서에 관계없이 할 수 있습니다.

마지막으로 덧셈과 뺄셈을 수행합니다. 다시 말하지만, 어떤 순서로든.

그러나: 괄호로 묶인 표현식은 순서가 맞지 않게 평가됩니다!

여러 개의 괄호를 서로 곱하거나 나눈 경우 먼저 각 괄호의 식을 평가한 다음 곱하거나 나눕니다.

괄호 안에 다른 괄호가 있다면? 글쎄요, 생각해 봅시다. 괄호 안에 어떤 표현이 쓰여 있습니다. 식을 평가할 때 가장 먼저 해야 할 일은 무엇입니까? 맞습니다. 괄호를 계산하십시오. 글쎄, 우리는 그것을 알아 냈습니다. 먼저 내부 괄호를 계산한 다음 다른 모든 것을 계산합니다.

따라서 위 식의 동작 순서는 다음과 같습니다(현재 동작이 빨간색으로 강조 표시됨, 즉 지금 수행 중인 동작).

좋아요, 모두 간단합니다.

하지만 그건 문자로 표현하는 것과 같지 않죠?

아니, 똑같아! 산술 연산 대신에 대수 연산, 즉 이전 섹션에서 설명한 연산을 수행해야 합니다. 비슷한 것을 가져오다, 분수 더하기, 분수 줄이기 등. 유일한 차이점은 다항식을 인수분해하는 동작입니다(분수로 작업할 때 자주 사용함). 대부분의 경우 인수분해를 위해 i를 사용하거나 단순히 대괄호에서 공통 인수를 가져와야 합니다.

일반적으로 우리의 목표는 표현식을 곱 또는 몫으로 표현하는 것입니다.

예를 들어:

표현을 간단하게 해보자.

1) 먼저 괄호 안의 표현을 단순화합니다. 거기에 분수의 차이가 있고 우리의 목표는 그것을 곱 또는 몫으로 표현하는 것입니다. 따라서 분수를 공통 분모로 가져오고 다음을 추가합니다.

이 표현을 더 단순화하는 것은 불가능합니다. 여기서 모든 요소는 기본입니다(이것이 무엇을 의미하는지 아직도 기억하십니까?).

2) 우리는 다음을 얻습니다.

분수의 곱셈: 무엇이 더 쉬울 수 있습니까?

3) 이제 단축할 수 있습니다.

알았어 다 끝났어 이제. 복잡하지 않죠?

다른 예시:

표현을 단순화하십시오.

먼저 스스로 해결하려고 노력한 다음 해결 방법을 살펴보십시오.

우선 절차를 정의합시다. 먼저 분수 두 개 대신 괄호 안에 분수를 더하면 하나가 됩니다. 그런 다음 분수의 나눗셈을 할 것입니다. 글쎄, 우리는 마지막 분수와 함께 결과를 추가합니다. 단계에 개략적으로 번호를 매기겠습니다.

이제 현재 작업을 빨간색으로 착색하여 전체 프로세스를 보여 드리겠습니다.

마지막으로 두 가지 유용한 팁을 알려드리겠습니다.

1. 유사한 것이 있으면 즉시 지참하여야 한다. 비슷한 것이 있으면 즉시 가져 오는 것이 좋습니다.

2. 분수를 줄이는 경우에도 마찬가지입니다. 줄일 기회가 생기는 즉시 사용해야 합니다. 더하거나 빼는 분수는 예외입니다. 분모가 같으면 나중을 위해 줄여야 합니다.

다음은 스스로 해결해야 하는 몇 가지 작업입니다.

그리고 맨 처음에 다음과 같이 약속했습니다.

솔루션(요약):

적어도 처음 세 가지 예에 대처했다면 주제를 마스터했다고 생각하십시오.

이제 학습을 시작합니다!

표현 변환. 요약 및 기본 공식

기본 단순화 작업:

• 유사한 가져오기: 용어와 같이 추가(축소)하려면 해당 계수를 추가하고 문자 부분을 지정해야 합니다.
• 채권 차압 통고:대괄호에서 공약수 빼기, 적용하기 등
• 분수 감소: 분수의 분자와 분모는 0이 아닌 동일한 숫자로 곱하거나 나눌 수 있으며 분수의 값은 변하지 않습니다.
  1) 분자와 분모 인수분해
  2) 분자와 분모에 공통인수가 있으면 생략할 수 있습니다.

  중요: 승수만 줄일 수 있습니다!

• 분수의 덧셈과 뺄셈:
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• 분수의 곱셈과 나눗셈:
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