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서비스 할당. 행렬 계산기는 선형 방정식 시스템을 행렬 방식으로 풀도록 설계되었습니다(유사한 문제 해결의 예 참조).

지침. 온라인 솔루션의 경우 방정식 유형을 선택하고 해당 행렬의 차원을 설정해야 합니다. 여기서 A, B, C에는 행렬이 주어지고 X는 원하는 행렬입니다. (1), (2), (3) 형태의 행렬 방정식은 역행렬 A -1 을 통해 풀립니다. A X - B = C라는 표현식이 주어지면 먼저 행렬 C + B를 더하고 A X = D 표현식(여기서 D = C + B)에 대한 해를 찾아야 합니다. A*X = B 2라는 표현이 주어지면 먼저 행렬 B를 제곱해야 합니다.

또한 행렬의 기본 작업에 익숙해지는 것이 좋습니다.

예시 #1. 운동. 행렬 방정식의 해 찾기
해결책. 표시하다:
그러면 행렬 방정식은 A·X·B = C 형식으로 작성됩니다.
행렬 A의 행렬식은 detA=-1입니다.
A는 비특이 행렬이므로 역행렬 A -1 이 있습니다. 왼쪽 방정식의 양변에 A -1을 곱합니다. 이 방정식의 왼쪽 변에 A -1을, 오른쪽 방정식의 양쪽 변에 B -1을 곱합니다. A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . A A -1 = B B -1 = E이고 E X = X E = X이므로 X = A -1 C B -1

역행렬 A -1:
역행렬 B -1 을 구합니다.
행렬 B T를 전치하십시오:
역행렬 B -1:
우리는 다음 공식으로 행렬 X를 찾고 있습니다: X = A -1 C B -1

답변:

예 #2. 운동.행렬 방정식 풀기
해결책. 표시하다:
그러면 행렬 방정식은 A X = B 형식으로 작성됩니다.
행렬 A의 행렬식은 detA=0입니다.
A는 축퇴 행렬(행렬식은 0)이므로 방정식에는 해가 없습니다.

예시 #3. 운동. 행렬 방정식의 해 찾기
해결책. 표시하다:
그러면 행렬 방정식은 X·A = B 형식으로 작성됩니다.
행렬 A의 행렬식은 detA=-60입니다.
A는 비특이 행렬이므로 역행렬 A -1 이 있습니다. 방정식의 우변에 A -1을 곱합니다: X A A -1 = B A -1, 여기서 X = B A -1을 얻습니다.
역행렬 A -1 을 구합니다.
전치된 행렬 A T:
역행렬 A -1:
우리는 다음 공식으로 행렬 X를 찾고 있습니다: X = B A -1


답: >

8학년에서는 이차 방정식을 공부하므로 여기에는 복잡한 것이 없습니다. 이를 해결하는 능력이 필수적입니다.

2차 방정식은 ax 2 + bx + c = 0 형식의 방정식입니다. 여기서 계수 a , b 및 c는 임의의 숫자이고 a ≠ 0입니다.

특정 해법을 연구하기 전에 모든 이차 방정식은 세 가지 클래스로 나눌 수 있다는 점에 유의하세요.

1. 뿌리가 없네;
2. 그들은 정확히 하나의 뿌리를 가지고 있습니다.
3. 그들은 두 가지 다른 뿌리를 가지고 있습니다.

이는 근이 항상 존재하고 고유한 2차 방정식과 1차 방정식의 중요한 차이점입니다. 방정식에 몇 개의 근이 있는지 확인하는 방법은 무엇입니까? 여기에는 놀라운 일이 있습니다. 판별력이 있는.

판별식

2차 방정식 ax 2 + bx + c = 0이 주어지면 판별식은 단순히 숫자 D = b 2 − 4ac입니다.

이 공식은 암기해야 합니다. 그것이 어디서 왔는지는 이제 중요하지 않습니다. 또 다른 중요한 점은 판별식의 부호를 통해 이차 방정식의 근 수를 결정할 수 있다는 것입니다. 즉:

1. 만약 D< 0, корней нет;
2. D = 0이면 정확히 하나의 근이 있습니다.
3. D > 0이면 두 개의 근이 있습니다.

참고 사항: 판별식은 어떤 이유로 많은 사람들이 생각하는 것처럼 뿌리의 수를 나타내는 것이 아니라 뿌리의 수를 나타냅니다. 예제를 살펴보면 모든 것을 스스로 이해할 수 있습니다.

일. 이차 방정식에는 몇 개의 근이 있습니까?

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

첫 번째 방정식의 계수를 작성하고 판별식을 찾습니다.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

따라서 판별식은 양수이므로 방정식에는 두 개의 서로 다른 근이 있습니다. 두 번째 방정식도 같은 방식으로 분석합니다.
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

판별식이 음수이고 뿌리가 없습니다. 마지막 방정식은 다음과 같습니다.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

판별자는 0과 같습니다. 근은 1이 됩니다.

각 방정식에 대해 계수가 기록되어 있습니다. 예, 길고 지루합니다. 하지만 확률을 혼동하거나 어리석은 실수를 저지르지는 않습니다. 속도나 품질 중에서 직접 선택하세요.

그런데 "손을 채우면" 잠시 후 더 이상 모든 계수를 작성할 필요가 없습니다. 당신은 당신의 머리 속에서 그러한 작업을 수행하게 될 것입니다. 대부분의 사람들은 50~70개의 방정식을 풀고 나서 이 작업을 시작합니다. 일반적으로 그렇게 많지는 않습니다.

이차 방정식의 근

이제 솔루션으로 넘어 갑시다. 판별식 D > 0이면 다음 공식을 사용하여 근을 찾을 수 있습니다.

이차 방정식의 근에 대한 기본 공식

D = 0이면 다음 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 동일한 숫자가 답이 됩니다. 마지막으로 만약 D라면< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

첫 번째 방정식:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 찾아보자:

두 번째 방정식:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ 방정식에는 다시 두 개의 근이 있습니다. 찾아보자

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(정렬)\]

마지막으로 세 번째 방정식은 다음과 같습니다.
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ 방정식의 근은 1개입니다. 어떤 수식이라도 사용할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째는 다음과 같습니다.

예제에서 볼 수 있듯이 모든 것이 매우 간단합니다. 공식을 알고 계산할 수 있다면 문제가 없습니다. 대부분의 경우 음수 계수가 공식에 대체되면 오류가 발생합니다. 여기서도 위에서 설명한 기술이 도움이 될 것입니다. 공식을 문자 그대로 보고, 각 단계를 칠하고, 실수를 곧 제거하십시오.

불완전한 이차 방정식

이차 방정식은 정의에 제공된 것과 다소 다릅니다. 예를 들어:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

이 방정식에 항 중 하나가 누락되어 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 이러한 이차 방정식은 표준 방정식보다 풀기 훨씬 쉽습니다. 판별식을 계산할 필요도 없습니다. 그럼 새로운 개념을 소개하겠습니다.

방정식 ax 2 + bx + c = 0은 b = 0 또는 c = 0인 경우 불완전 이차 방정식이라고 합니다. 즉, 변수 x의 계수 또는 자유 요소는 0과 같습니다.

물론, 이 두 계수가 모두 0이면 매우 어려운 경우가 가능합니다: b \u003d c \u003d 0. 이 경우 방정식은 ax 2 \u003d 0 형식을 취합니다. 분명히 이러한 방정식에는 단일 루트: x \u003d 0.

다른 경우를 고려해 봅시다. b \u003d 0이라고 하면 ax 2 + c \u003d 0 형식의 불완전한 2차 방정식을 얻습니다. 이를 약간 변형해 보겠습니다.

산술 제곱근은 음수가 아닌 숫자에서만 존재하므로 마지막 동일성은 (−c / a ) ≥ 0인 경우에만 의미가 있습니다. 결론:

1. ax 2 + c = 0 형식의 불완전한 2차 방정식이 부등식 (−c / a ) ≥ 0을 충족하면 두 개의 근이 있습니다. 공식은 위에 나와 있습니다.
2. 만약 (−c / a )< 0, корней нет.

보시다시피 판별식이 필요하지 않았습니다. 불완전한 이차 방정식에는 복잡한 계산이 전혀 없습니다. 사실 부등식 (−c / a ) ≥ 0을 기억할 필요조차 없습니다. x 2의 값을 표현하고 등호 반대편에 무엇이 있는지 알아보는 것만으로도 충분합니다. 양수가 있으면 두 개의 근이 있습니다. 음수이면 뿌리가 전혀 없습니다.

이제 자유 요소가 0인 ax 2 + bx = 0 형식의 방정식을 다루겠습니다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 항상 두 개의 뿌리가 있습니다. 다항식을 인수분해하는 것으로 충분합니다:

괄호에서 공통인수 빼기

요인 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같습니다. 여기에서 뿌리가 나옵니다. 결론적으로 우리는 다음 방정식 중 몇 가지를 분석할 것입니다.

일. 2차 방정식을 푼다:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. 뿌리가 없으니까 제곱은 음수와 같을 수 없습니다.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.