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좌표로 도시 간 거리 계산. GPS 좌표 사이의 거리를 계산하는 방법

좌표는 지구본에서 개체의 위치를 결정합니다. 좌표는 위도와 경도로 표시됩니다. 위도는 양쪽의 적도선에서 측정됩니다. 북반구에서 위도는 양수입니다. 남반구- 부정적인. 경도는 초기 자오선에서 각각 동쪽 또는 서쪽으로 측정되며 동쪽 또는 서쪽 경도를 얻습니다.

일반적으로 받아 들여지는 위치에 따르면 자오선은 그리니치의 오래된 그리니치 천문대를 통과하는 초기 자오선으로 간주됩니다. 위치의 지리적 좌표는 GPS 네비게이터를 사용하여 얻을 수 있습니다. 이 장치는 전 세계에서 동일한 WGS-84 좌표계의 위성 위치 확인 시스템에서 신호를 수신합니다.

네비게이터 모델은 제조업체, 기능 및 인터페이스가 다릅니다. 현재 내장형 GPS 네비게이터는 일부 휴대폰 모델에서 사용할 수 있습니다. 그러나 모든 모델은 점 좌표를 기록하고 저장할 수 있습니다.

GPS 좌표 사이의 거리

일부 산업에서 실제적이고 이론적인 문제를 해결하려면 좌표로 점 사이의 거리를 결정할 수 있어야 합니다. 이를 위해 여러 가지 방법을 사용할 수 있습니다. 지리적 좌표의 정식 표현: 도, 분, 초.

예를 들어, 다음 좌표 사이의 거리를 결정할 수 있습니다. 포인트 번호 1 - 위도 55°45′07″ N, 경도 37°36′56″ E; 2번 지점 - 위도 58°00′02″ N, 경도 102°39′42″ E

가장 쉬운 방법은 계산기를 사용하여 두 지점 사이의 거리를 계산하는 것입니다. 브라우저 검색 엔진에서 다음 검색 매개변수를 설정해야 합니다. 온라인 - 두 좌표 사이의 거리를 계산합니다. 온라인 계산기에서 위도 및 경도 값은 첫 번째 및 두 번째 좌표에 대한 쿼리 필드에 입력됩니다. 계산할 때 온라인 계산기의 결과는 3,800,619m입니다.

다음 방법은 시간이 더 많이 걸리지만 더 시각적입니다. 사용 가능한 매핑 또는 내비게이션 프로그램을 사용해야 합니다. 좌표로 점을 생성하고 점 사이의 거리를 측정할 수 있는 프로그램에는 다음 응용 프로그램이 포함됩니다. BaseCamp( 현대 아날로그 MapSource 프로그램), Google 어스, SAS.Planet.

위의 모든 프로그램은 모든 네트워크 사용자가 사용할 수 있습니다. 예를 들어 Google 어스에서 두 좌표 사이의 거리를 계산하려면 첫 번째 지점과 두 번째 지점의 좌표를 나타내는 두 개의 레이블을 만들어야 합니다. 그런 다음 눈금자 도구를 사용하여 첫 번째와 두 번째 표시를 선으로 연결하면 프로그램이 자동으로 측정 결과를 제공하고 지구의 위성 이미지에 경로를 표시합니다.

위의 예의 경우 Google 어스 프로그램이 결과를 반환했습니다. 지점 #1과 지점 #2 사이의 거리 길이는 3,817,353m입니다.

거리 결정에 오류가 있는 이유

좌표 사이의 모든 거리 계산은 호 길이 계산을 기반으로 합니다. 지구의 반지름은 호의 길이 계산에 관여합니다. 그러나 지구의 모양은 편타원체에 가깝기 때문에 특정 지점에서 지구의 반지름이 다릅니다. 좌표 사이의 거리를 계산하기 위해 지구 반지름의 평균값을 취하여 측정에 오류가 발생합니다. 측정 거리가 클수록 오류가 커집니다.

지점 간 거리주어진 축척에서 이러한 점을 연결하는 세그먼트의 길이입니다. 따라서 언제 우리 대화하는 중이 야거리를 측정하려면 측정할 축척(길이 단위)을 알아야 합니다. 따라서 한 점에서 한 점까지의 거리를 구하는 문제는 일반적으로 평면이나 3차원 공간에서 좌표선이나 직각 데카르트 좌표계에서 고려됩니다. 즉, 대부분의 경우 좌표로 점 사이의 거리를 계산해야 합니다.

이 기사에서는 먼저 좌표선의 한 점에서 한 점까지의 거리를 결정하는 방법을 기억합니다. 다음으로 평면 또는 공간의 두 점 사이의 거리를 계산하는 공식을 얻습니다. 주어진 좌표. 결론적으로 전형적인 예와 문제의 솔루션을 자세히 고려합니다.

페이지 탐색.

좌표선에서 두 점 사이의 거리.

먼저 표기법을 정의해 보겠습니다. 점 A에서 점 B까지의 거리는 로 표시됩니다.

이것으로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 좌표가 있는 점 A에서 좌표가 있는 점 B까지의 거리는 좌표 차의 계수와 같습니다., 그건, 좌표선상의 점 배열에 대해.

한 점에서 평면의 한 점까지의 거리, 공식.

점들 사이의 거리를 계산하는 공식을 구하고 평면에서 직각 데카르트 좌표계로 주어진다.

점 A와 B의 위치에 따라 다음과 같은 옵션이 가능합니다.

점 A와 B가 일치하면 두 점 사이의 거리는 0입니다.

점 A와 B가 x축에 수직인 직선 위에 있으면 점과 일치하고 거리는 거리와 같습니다. 이전 단락에서 좌표선의 두 점 사이의 거리가 좌표 차이의 계수와 같다는 것을 알았습니다. . 따라서, .

마찬가지로 점 A와 B가 y축에 수직인 직선 위에 있으면 점 A에서 점 B까지의 거리는 로 구합니다.

이 경우 삼각형 ABC는 구성상 직사각형이며 그리고 . 에 의해 피타고라스 정리우리는 평등을 쓸 수 있습니다.

모든 결과를 요약해 보겠습니다. 한 점에서 평면의 한 점까지의 거리는 공식에 의해 점의 좌표를 통해 구합니다. .

점 A와 B가 일치하거나 좌표축 중 하나에 수직인 직선에 있을 때 점 사이의 거리를 찾는 결과 공식을 사용할 수 있습니다. 실제로 A와 B가 같다면 . 점 A와 B가 Ox 축에 수직인 직선 위에 있으면 . A와 B가 Oy 축에 수직인 직선 위에 있으면 .

공간에서 점 사이의 거리, 공식.

공간에서 직교 좌표계 Оxyz를 소개하겠습니다. 점으로부터의 거리를 구하는 공식 구하기 요점에 .

일반적으로 점 A와 B는 좌표 평면 중 하나에 평행한 평면에 있지 않습니다. 좌표축 Ox, Oy 및 Oz에 수직인 평면에서 점 A와 B를 통해 그려 봅시다. 이러한 평면과 좌표축의 교차점은 이러한 축에서 점 A와 B의 투영을 제공합니다. 투영을 나타냅니다 .

점 A와 B 사이의 원하는 거리는 그림에 표시된 직육면체의 대각선입니다. 구조상 이 평행 육면체의 치수는 다음과 같습니다. 그리고 . 기하학 과정에서 고등학교직육면체의 대각선의 제곱은 세 차원의 제곱의 합과 같다는 것이 증명되었습니다. 이 기사의 첫 번째 섹션의 정보를 기반으로 다음과 같은 등식을 작성할 수 있습니다.

우리가 얻는 곳 공간에서 점 사이의 거리를 구하는 공식 .

이 공식은 점 A와 B의 경우에도 유효합니다.

매치업;
좌표축 중 하나에 속하거나 좌표축 중 하나에 평행한 직선;
좌표 평면 중 하나 또는 좌표 평면 중 하나에 평행한 평면에 속합니다.

지점 간 거리, 예 및 솔루션 찾기.

그래서 우리는 좌표선, 평면 및 3차원 공간의 두 점 사이의 거리를 찾는 공식을 얻었습니다. 전형적인 예의 솔루션을 고려할 때입니다.

마지막 단계가 좌표에 따라 두 점 사이의 거리를 찾는 작업의 수는 정말 엄청납니다. 이러한 예제에 대한 완전한 검토는 이 문서의 범위를 벗어납니다. 여기서 우리는 두 점의 좌표가 알려져 있고 두 점 사이의 거리를 계산해야 하는 예로 제한합니다.

이론적 질문

평면의 분석 기하학

1. 좌표 방식: 숫자 라인, 라인 상의 좌표; 평면의 직사각형(데카르트) 좌표계; 극좌표.

직선을 살펴보자. 방향을 선택하고(그러면 축이 됩니다) 어떤 점 0(원점)을 선택합니다. 방향과 원점을 선택한 직선을 직선이라고 합니다. 좌표선(이 경우 스케일 단위가 선택된 것으로 가정합니다).

허락하다 중좌표선상의 임의의 점입니다. 포인트에 맞게 넣어보자 중실수 엑스, 값과 같음 옴세그먼트: x=옴.숫자 엑스점의 좌표라고 함 중.

따라서 좌표선의 각 점은 특정 실수, 즉 좌표에 해당합니다. 그 반대도 참입니다. 각 실수 x는 좌표선의 어떤 점, 즉 그러한 점에 해당합니다. 중, 그의 좌표는 x입니다. 이 서신은 서로 모호하지 않습니다.

따라서 실수는 좌표선의 점으로 나타낼 수 있습니다. 좌표선은 모든 실수 집합의 이미지 역할을 합니다. 따라서 모든 실수의 집합을 호출합니다. 수직선, 숫자는 이 선의 한 지점입니다. 수직선의 한 지점 근처에는 종종 좌표가 표시됩니다.

평면의 직사각형(또는 데카르트) 좌표계.

서로 수직인 두 축 약 x그리고 약 y공통의 시작을 가지고 에 대한동일한 스케일 단위, 형식 평면의 직사각형(또는 데카르트) 좌표계.

중심선 오 x축이라고 부르는 축 오이- y축. 점 에 대한축의 교차점을 원점이라고 합니다. 축이 위치한 평면 오그리고 오이, 좌표 평면이라고하며 오 XY.

따라서 평면의 직각 좌표계는 평면의 모든 점 집합과 숫자 쌍 집합 사이에 일대일 대응을 설정하므로 기하학적 문제를 해결할 때 대수적 방법을 적용할 수 있습니다. 좌표축은 평면을 4 부분으로 나누고 호출합니다. 병사, 정사각형또는 좌표 각도.

극좌표.

극좌표계는 몇 개의 점으로 구성됩니다. 에 대한~라고 불리는 폴, 그리고 그것에서 나오는 빔 OE~라고 불리는 극축.또한 세그먼트의 길이를 측정하기 위한 스케일 단위가 설정됩니다. 극좌표계를 주고 중평면의 임의의 지점입니다. 로 표시 아르 자형– 포인트 거리 중지점에서 에 대한, 그리고 통해 φ - 빔이 빔과 일치하도록 극축을 시계 반대 방향으로 회전시키는 각도 옴.

극좌표포인트들 중전화 걸기 아르 자형그리고 φ . 숫자 아르 자형첫 번째 좌표로 간주하고 호출 극반지름, 숫자 φ - 두 번째 좌표가 호출됩니다. 극각.

점 중극좌표로 아르 자형그리고 φ 다음과 같이 지정됩니다. М( ;φ).점의 극좌표와 직교 좌표 사이의 연결을 설정해 봅시다.
이 경우 직교 좌표계의 원점이 극점에 있고 가로 좌표의 양의 반축이 극축과 일치한다고 가정합니다.

점 M이 직각좌표를 갖도록 하자 엑스그리고 와이및 극좌표 아르 자형그리고 φ .

(1)

증거.

점에서 드롭 남 1그리고 남2수직선 남 1V그리고 남 1A,. 왜냐하면 (x2;y2). 이론상 만약 M1(×1)그리고 M2(×2)는 임의의 두 점이고 α는 두 점 사이의 거리입니다. α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

평면의 좌표에 따라 점 사이의 거리를 계산하는 것은 기본적이고 지구 표면에서는 조금 더 복잡합니다. 투영 변환없이 점 사이의 거리와 초기 방위각을 측정하는 것을 고려할 것입니다. 먼저 용어를 이해합시다.

소개

대원 호 길이- 구 표면에 위치한 두 점 사이의 최단 거리로, 이 두 점을 연결하는 선(이러한 선을 직교선이라고 함)을 따라 측정하고 구 표면 또는 다른 회전 표면을 따라 통과합니다. 구형 기하학은 일반적인 유클리드 기하학과 다르며 거리 방정식도 다른 형식을 취합니다. 유클리드 기하학에서 두 점 사이의 최단 거리는 직선입니다. 구에는 직선이 없습니다. 구에 있는 이 선들은 큰 원의 일부입니다. 그 중심이 구의 중심과 일치하는 원입니다. 초기 방위각- A지점에서 시작하여 대원을 따라 B지점까지의 최단거리를 따라가면 종점이 B지점이 되는 방위각 A지점에서 B지점으로 대권선을 따라 이동할 때 현재 위치에서 종점 B는 일정하게 변합니다. 초기 방위각은 상수 방위각과 다르므로 현재 지점에서 최종 지점까지의 방위각은 변하지 않지만 경로는 두 지점 사이의 최단 거리가 아닙니다.

구 표면의 임의의 두 점을 통해 서로 정반대가 아닌 경우(즉, 대척이 아닌 경우) 고유한 큰 원을 그릴 수 있습니다. 두 점이 대권을 두 개의 호로 나눕니다. 짧은 호의 길이는 두 점 사이의 최단 거리입니다. 두 대척점 사이에 무한한 수의 큰 원을 그릴 수 있지만 그 사이의 거리는 모든 원에서 동일하고 원 둘레의 절반 또는 π*R(여기서 R은 구의 반지름임)과 같습니다.

평면(직교 좌표계에서)에서 대원과 그 파편은 위에서 언급한 바와 같이 모든 투영에서 호입니다. 실제로 이것은 비행기 및 기타 항공 운송이 연료를 절약하기 위해 항상 지점 사이의 최소 거리 경로를 사용한다는 것을 의미합니다. 즉, 비행은 대권의 거리를 따라 수행되며 비행기에서는 호처럼 보입니다.

지구의 모양은 구로 설명할 수 있으므로 거리를 계산하는 방정식은 큰 원지구 표면의 지점 사이의 최단 거리를 계산하는 데 중요하며 탐색에 자주 사용됩니다. 이 방법으로 거리를 계산하는 것은 투영 좌표(직교 좌표계)에 대해 거리를 계산하는 것보다 더 효율적이고 많은 경우에 더 정확합니다. 지리적 좌표직각 좌표계로 변환(투영 변환 수행)하고 두 번째로 잘못 선택한 경우 많은 투영이 투영 왜곡의 특징으로 인해 상당한 길이 왜곡을 초래할 수 있습니다. 구가 아니라 타원체가 지구의 모양을 더 정확하게 설명하는 것으로 알려져 있지만, 이 기사에서는 반지름이 6372795m인 구가 사용되는 계산을 위해 구의 거리 계산에 대해 설명합니다. 0.5% 정도의 거리 계산 오류.

방식

대원의 구면 거리를 계산하는 방법에는 세 가지가 있습니다. 1. 구형 코사인 정리작은 거리와 작은 계산 비트 심도(소수점 자릿수)의 경우 공식을 사용하면 상당한 반올림 오류가 발생할 수 있습니다. φ1, λ1; φ2, λ2 - 두 지점의 라디안 위도 및 경도 Δλ - 경도 좌표 차이 Δδ - 각도 차이 Δδ = arccos(sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) 각도 거리를 미터법으로 변환하려면 곱해야 합니다. 반지름 지구 (6372795 미터)의 각도 차이, 최종 거리의 단위는 반지름이 표현되는 단위와 같습니다 (in 이 경우- 미터). 2. 하버사인 공식짧은 거리의 문제를 방지하는 데 사용됩니다. 3. 대척지의 수정앞의 공식도 대척지의 문제에 속하는데, 이를 해결하기 위해 다음과 같이 수정한다.

PHP로 구현

// 지구 반경 define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * 두 지점 사이의 거리 * $φA, $λA - 첫 번째 지점의 위도, 경도, * $φB, $λB - 두 번째 지점의 위도, 경도 * 기준: http://gis-lab.info/ qa /great-circles.html * Mikhail Kobzarev * */ 함수 calculateTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // 좌표를 라디안으로 변환 $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // 위도와 경도 차이의 코사인과 사인 $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2 ); $sl1 = sin($lat1); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // 계산 대권 길이 $y = sqrt(pow($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $ cl1 * $cl2 * $cdelta; // $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) 함수 호출 예: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139.398; $lat2 = -77.1804; $long2 = -139.55; 에코calculateTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "미터"; // "17166029 미터"를 반환합니다.

평면의 각 점 A는 좌표(x, y)로 특징지어집니다. 그것들은 벡터의 좌표와 일치합니다 0А 점에서 나오는 0 - 원점.

A와 B를 각각 좌표가 (x 1 y 1)과 (x 2, y 2)인 평면의 임의의 점이라고 합니다.

그런 다음 벡터 AB는 분명히 좌표(x 2 - x 1, y 2 - y 1)를 갖습니다. 벡터 길이의 제곱은 좌표의 제곱의 합과 같다는 것이 알려져 있습니다. 따라서 점 A와 점 B 사이의 거리 d 또는 벡터 AB의 길이는 다음 조건에서 결정됩니다.

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

결과 공식을 사용하면 이러한 점의 좌표만 알려진 경우 평면의 두 점 사이의 거리를 찾을 수 있습니다.

평면의 한 지점 또는 다른 지점의 좌표에 대해 말할 때마다 잘 정의된 좌표계 x0y를 염두에 둡니다. 일반적으로 평면의 좌표계는 여러 가지 방법으로 선택할 수 있습니다. 따라서 x0y 좌표계 대신에 시작점 0을 중심으로 이전 좌표축을 회전시켜 얻은 xִy 좌표계를 고려할 수 있습니다. 시계 반대 방향모서리에 화살표 α .

x0y 좌표계에서 평면의 일부 지점에 좌표(x, y)가 있는 경우 새로운 시스템좌표 хִу 이미 다른 좌표(х, y)가 있을 것입니다.

예를 들어, 0x 축에 있고 0과 같은 거리에 1과 같은 거리에 있는 점 M을 고려하십시오.

분명히 x0y 좌표계에서 이 점은 좌표(cos α , 죄 α ), 좌표계 хִу에서 좌표는 (1,0)입니다.

평면 A와 B의 두 점의 좌표는 이 평면에서 좌표계가 어떻게 설정되어 있는지에 따라 달라집니다. 그리고 여기 이 점들 사이의 거리는 좌표계가 지정된 방식에 의존하지 않습니다. .

기타 재료