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벡터와 자기 자신의 외적. 좌표로 주어진 벡터의 벡터 곱

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정의. 벡터 a(승수)와 동일 선상에 있지 않은 벡터(승수)의 벡터 곱은 세 번째 벡터 c(곱)이며 다음과 같이 구성됩니다.

1) 모듈러스는 그림의 평행 사변형 영역과 수치 적으로 같습니다. 155), 벡터를 기반으로 합니다. 즉, 언급된 평행사변형의 평면에 수직인 방향과 같습니다.

3) 이 경우 벡터 c의 방향은 벡터 c가 오른 손잡이 시스템(§ 110)을 형성하도록 선택됩니다(가능한 두 가지 중에서).

명칭: 또는

정의에 대한 부록. 벡터가 동일 선상에 있으면 그림을 (조건부) 평행 사변형으로 간주하면 영역을 0으로 지정하는 것이 자연스럽습니다. 그래서 벡터 제품공선 벡터는 널 벡터와 같은 것으로 간주됩니다.

널 벡터는 모든 방향으로 할당될 수 있으므로 이 규칙은 정의의 항목 2 및 3과 모순되지 않습니다.

비고 1. "벡터 곱"이라는 용어에서 첫 번째 단어는 동작의 결과가 벡터임을 나타냅니다(스칼라 곱과 반대, § 104, 비고 1 참조).

예 1. 오른쪽 좌표계의 주 벡터가 있는 벡터 곱을 찾습니다(그림 156).

1. 주 벡터의 길이는 축척 단위와 같으므로 평행사변형(사각형)의 면적은 수치적으로 1이 됩니다. 따라서 벡터 곱의 계수는 1과 같습니다.

2. 평면에 수직인 것이 축이므로 원하는 벡터 곱은 벡터 k와 동일 선상에 있는 벡터입니다. 둘 다 모듈러스가 1이므로 필요한 외적은 k 또는 -k입니다.

3. 이 두 가지 가능한 벡터 중에서 벡터 k가 오른쪽 시스템을 형성하고 벡터가 왼쪽 시스템을 형성하기 때문에 첫 번째 벡터를 선택해야 합니다.

예 2. 외적 찾기

해결책. 예제 1에서와 같이 벡터가 k 또는 -k라는 결론을 내립니다. 그러나 이제 벡터가 오른쪽 시스템을 형성하고 벡터가 왼쪽을 형성하기 때문에 -k를 선택해야 합니다. 그래서,

예 3 벡터의 길이는 각각 80cm와 50cm이고 각도는 30°입니다. 미터를 길이 단위로 사용하여 벡터 곱 a의 길이를 구합니다.

해결책. 벡터에 구축된 평행사변형의 면적은 다음과 같습니다. 원하는 벡터 곱의 길이는 다음과 같습니다.

예 4. 센티미터를 길이 단위로 사용하여 동일한 벡터의 외적 길이를 찾습니다.

해결책. 벡터에 구축된 평행사변형의 면적은 벡터 곱의 길이와 같기 때문에 2000 cm, 즉

예 3과 4를 비교하면 벡터의 길이가 요소의 길이뿐만 아니라 길이 단위의 선택에도 의존한다는 것을 알 수 있습니다.

벡터 곱의 물리적 의미.벡터 곱으로 표현되는 많은 물리량 중에서 우리는 힘의 순간만을 고려할 것입니다.

A를 힘의 작용점이라 하자. 점 O에 대한 힘의 모멘트를 벡터곱이라 한다. 이 벡터곱의 모듈은 평행사변형의 면적과 수치적으로 같기 때문에(도 157), 모멘트의 모듈은 밑면의 곱과 높이, 즉 점 O에서 힘이 작용하는 직선까지의 거리를 곱한 힘과 같습니다.

역학에서는 강체의 평형을 위해 신체에 가해지는 힘을 나타내는 벡터의 합뿐만 아니라 힘의 모멘트의 합도 0이 되어야 한다는 것이 입증되었습니다. 모든 힘이 동일한 평면에 평행한 경우 모멘트를 나타내는 벡터의 추가는 계수의 추가 및 빼기로 대체될 수 있습니다. 그러나 임의의 힘의 방향에 대해서는 그러한 교체가 불가능합니다. 이에 따라 교차 곱은 숫자가 아닌 벡터로 정확하게 정의됩니다.

그만큼 온라인 계산기벡터의 외적을 계산합니다. 자세한 솔루션이 제공됩니다. 벡터의 외적을 계산하려면 셀에 벡터의 좌표를 입력하고 "계산"을 클릭하십시오.

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데이터 입력 지침.숫자는 정수(예: 487, 5, -7623 등), 소수(예: 67., 102.54 등) 또는 분수로 입력합니다. 분수는 a/b 형식으로 입력해야 합니다. 여기서 a와 b(b>0)는 정수 또는 십진수입니다. 예 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 등

벡터의 외적

벡터의 벡터 곱 정의를 진행하기 전에 다음 개념을 고려하십시오. 벡터의 순서 삼중, 벡터의 왼쪽 삼중, 벡터의 오른쪽 삼중.

정의 1. 세 개의 벡터가 호출됩니다. 트리플 주문(또는 삼중) 이들 벡터 중 어느 것이 첫 번째이고, 두 번째이고, 세 번째인지 표시되는 경우.

녹음 CBA- 의미 - 첫 번째는 벡터입니다. 씨, 두 번째는 벡터입니다 비세 번째는 벡터입니다. ㅏ.

정의 2. 비 동일 평면 벡터의 트리플 알파벳공통 시작으로 축소될 때 이러한 벡터가 각각 크고 구부러지지 않은 인덱스로 정렬되면 오른쪽(왼쪽)이라고 합니다. 가운데 손가락오른손(왼손).

정의 2는 다른 방식으로 공식화할 수 있습니다.

정의 2. 비 동일 평면 벡터의 트리플 알파벳공통 원점으로 축소될 때 벡터가 씨벡터에 의해 정의된 평면의 다른쪽에 위치 ㅏ그리고 비, 여기서 가장 짧은 회전 ㅏ에게 비시계 반대 방향(시계 방향)으로 수행됩니다.

벡터 트리오 알파벳그림에 나와 있습니다. 1이 맞고 트리플 알파벳그림에 나와 있습니다. 2가 남았습니다.

벡터의 두 트리플이 오른쪽 또는 왼쪽이면 방향이 같다고 합니다. 그렇지 않으면 방향이 반대라고 합니다.

정의 3. 세 개의 기본 벡터가 오른쪽(왼쪽) 트리플을 형성하는 경우 데카르트 또는 아핀 좌표계를 오른쪽(왼쪽)이라고 합니다.

명확성을 위해 다음에서는 오른손 좌표계만 고려할 것입니다.

정의 4. 벡터 아트벡터 ㅏ벡터당 비벡터라고 함 와 함께, 기호로 표시 c=[ab] (또는 c=[a,b], 또는 c=a×b) 다음 세 가지 요구 사항을 충족합니다.

벡터 길이 와 함께벡터 길이의 곱과 같습니다. ㅏ그리고 비각도의 사인 φ 그들 사이에:

|씨|=|[ab]|=|ㅏ||비|sinφ;

(1)

벡터 와 함께각 벡터에 직교 ㅏ그리고 비;
벡터 씨 3개가 되도록 지시한다. 알파벳맞아.

벡터의 외적은 다음 속성을 갖습니다.

[ab]=−[바] (반순열성요인);
[(λa)비]=λ [ab] (호환성수치적 요인에 비례);
[(a+b)씨]=[ㅏ씨]+[비씨] (분포벡터의 합에 상대적);
[아아]=0 모든 벡터 ㅏ.

벡터 외적의 기하학적 특성

정리 1. 두 벡터가 동일 선상에 있으려면 벡터 곱이 0과 같아야 합니다.

증거. 필요성. 벡터를 보자 ㅏ그리고 비동일선상의 그런 다음 그들 사이의 각도는 0 또는 180°이고 sinφ=sin180=죄 0=0. 따라서 식 (1)을 고려하여 벡터의 길이 씨 0과 같습니다. 그 다음에 씨널 벡터.

적절. 벡터의 외적 ㅏ그리고 비 0으로 이동: [ ab]=0. 벡터임을 증명합시다. ㅏ그리고 비동일선상의 벡터 중 하나 이상이 ㅏ그리고 비 0이면 이러한 벡터는 동일선상에 있습니다(0 벡터는 방향이 불분명하고 모든 벡터에 대해 동일선상에 있는 것으로 간주될 수 있기 때문입니다).

두 벡터 모두 ㅏ그리고 비 0이 아닌 경우 | ㅏ|>0, |비|>0. 그런 다음 [에서 ab]=0이고 (1)에서 sinφ=0. 따라서 벡터 ㅏ그리고 비동일선상의

정리가 입증되었습니다.

정리 2. 벡터 곱의 길이(계수) [ ab] 면적과 같음 에스공통 원점으로 축소된 벡터에 구축된 평행사변형 ㅏ그리고 비.

증거. 아시다시피, 평행사변형의 면적은 이 평행사변형의 인접한 변과 그 사이의 각도의 사인의 곱과 같습니다. 따라서:

그런 다음 이러한 벡터의 외적은 다음 형식을 갖습니다.

첫 번째 행의 요소에 대해 행렬식을 확장하면 벡터의 분해를 얻습니다. a×b기초 아이, 제이, 케이, 이는 공식 (3)과 동일합니다.

정리 증명 3. 기저 벡터의 가능한 모든 쌍을 구성하십시오. 아이, 제이, 케이벡터 곱을 계산합니다. 기본 벡터는 서로 직교하고 오른쪽 삼중을 형성하며 단위 길이를 갖는다는 점을 고려해야 합니다(즉, 다음과 같이 가정할 수 있습니다. 나={1, 0, 0}, 제이={0, 1, 0}, 케이=(0, 0, 1)). 그런 다음 우리는:

마지막 등식과 관계(4)에서 다음을 얻습니다.

첫 번째 행이 기저 벡터인 3×3 행렬을 구성합니다. 나는, j, k,나머지 행은 벡터 요소로 채워집니다. ㅏ그리고 비.

벡터 곱의 개념을 제시하기 전에 3차원 공간에서 정렬된 벡터 a → , b → , c →의 방향 문제로 돌아가 보겠습니다.

우선, 벡터 a → , b → , c → 한 지점에서 따로 설정합시다. 트리플 a → , b → , c → 의 방향은 벡터 c → 의 방향에 따라 오른쪽 또는 왼쪽입니다. 벡터 a → b → 벡터의 끝에서 c → 까지 최단 회전을 하는 방향에서 트리플 a → , b → , c → 의 형태가 결정됩니다.

가장 짧은 회전이 시계 반대 방향이면 세 벡터 a → , b → , c → 라고 합니다. 오른쪽시계 방향으로 - 왼쪽.

다음으로 두 개의 비동일선 벡터 a → 및 b →를 취합니다. 그런 다음 점 A에서 벡터 A B → = a → 및 A C → = b →를 연기합니다. A B → 및 A C → 모두에 동시에 수직인 벡터 A D → = c → 를 구성해 봅시다. 따라서 벡터 A D → = c →를 구성할 때 두 가지 작업을 수행할 수 있습니다. 즉, 한 방향 또는 반대 방향을 지정할 수 있습니다(그림 참조).

벡터 a → , b → , c →의 정렬된 트리오는 벡터의 방향에 따라 오른쪽 또는 왼쪽이 될 수 있습니다.

위에서 우리는 벡터 곱의 정의를 소개할 수 있습니다. 이 정의는 3차원 공간의 직각 좌표계에 정의된 두 벡터에 대해 제공됩니다.

정의 1

두 벡터 a → 및 b →의 벡터 곱 우리는 3차원 공간의 직사각형 좌표계에서 주어진 그러한 벡터를 다음과 같이 호출할 것입니다:

벡터 a → 및 b →가 동일 선상에 있으면 0이 됩니다.
벡터 a → 및 벡터 b → 모두에 수직입니다. ∠a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
길이는 공식에 의해 결정됩니다. c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
벡터 a → , b → , c →의 삼중항은 주어진 좌표계와 방향이 같습니다.

벡터 a → 및 b →의 외적은 다음 표기법을 갖습니다. a → × b → .

교차 제품 좌표

모든 벡터는 좌표계에서 특정 좌표를 가지므로 주어진 벡터 좌표에서 좌표를 찾을 수 있는 벡터 곱의 두 번째 정의를 도입할 수 있습니다.

정의 2

3차원 공간의 직교좌표계에서 두 벡터의 벡터 곱 a → = (a x ; a y ; a z) 및 b → = (b x ; b y ; b z) 벡터를 c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (az b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , 여기서 i → , j → , k →는 좌표 벡터입니다.

벡터 곱은 3차 정사각 행렬의 결정자로 나타낼 수 있습니다. 여기서 첫 번째 행은 orta 벡터 i → , j → , k → 이고 두 번째 행은 벡터 a → 의 좌표를 포함하며 세 번째 행은 주어진 직교 좌표계에서 벡터 b의 좌표입니다. 이 행렬 결정자는 다음과 같습니다. c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

첫 번째 행의 요소에 대해 이 행렬식을 확장하면 다음과 같은 평등을 얻습니다. ay bz - az b y) i → + (az b x - a x b z) j → + (a x b y - ay b x) k →

교차 제품 속성

좌표의 벡터 곱은 행렬 c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z 의 행렬식으로 표시되는 것으로 알려져 있습니다. 행렬 결정 속성다음과 같은 벡터 제품 속성:

반교환성 a → × b → = - b → × a → ;
분포도 a(1) → +a(2) → × b = a(1) → × b → + a(2) → × b → 또는 a → × b(1) → + b(2) → = a → ×b(1) → +a → ×b(2) → ;
결합성 λ a → × b → = λ a → × b → 또는 a → × (λ b →) = λ a → × b → , 여기서 λ는 임의의 실수입니다.

이러한 속성에는 복잡한 증명이 없습니다.

예를 들어 벡터 곱의 반가환성 속성을 증명할 수 있습니다.

반가환성 증명

정의에 따르면, a → × b → = i → j → k → a x a y az b x by y b z 및 b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y az 입니다. 그리고 행렬의 두 행이 서로 바뀌면 행렬식의 값은 반대로 바뀌어야 하므로 a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , 이는 벡터 곱의 반가환성을 증명합니다.

벡터 제품 - 예제 및 솔루션

대부분의 경우 세 가지 유형의 작업이 있습니다.

첫 번째 유형의 문제에서는 일반적으로 두 벡터의 길이와 그 사이의 각도가 제공되지만 외적의 길이를 찾아야 합니다. 이 경우 다음 공식을 사용합니다. c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

예 1

a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 를 알면 벡터 a → 와 b →의 외적 길이를 구합니다.

해결책

벡터 a → 및 b →의 벡터 곱 길이 정의를 사용하여 다음 문제를 해결합니다. a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

답변: 15 2 2 .

두 번째 유형의 작업은 벡터 좌표와 연결되어 있으며 벡터 곱, 길이 등을 포함합니다. 알려진 좌표를 통해 검색 주어진 벡터 a → = (x; ay; az) 그리고 b → = (b x ; b y ; b z) .

이러한 유형의 작업의 경우 작업에 대한 많은 옵션을 해결할 수 있습니다. 예를 들어 벡터 a → 및 b → 의 좌표가 아니라 다음 형식의 좌표 벡터에서의 확장입니다. b → = b x i → + b y j → + b z k → 및 c → = a → × b → = (a y bz - az b y) i → + (az b x - a x b z) j → + (a x b y - ay b x) k → , 또는 벡터 a → 및 b →는 그들의 좌표로 주어질 수 있습니다. 시작점과 끝점.

다음 예를 고려하십시오.

예 2

직교좌표계 a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) 에 두 개의 벡터가 설정됩니다. 그들의 벡터 제품을 찾으십시오.

해결책

두 번째 정의에 따르면 주어진 좌표에서 두 벡터의 벡터 곱을 찾습니다. (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2k → .

외적을 행렬 행렬식으로 표현하면 솔루션은 다음과 같습니다. 이 예 a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

답변: a → × b → = -2i → -2j → -2k → .

예 3

벡터 i → - j → 및 i → + j → + k → 의 외적 길이를 찾으십시오. 여기서 i → , j → , k → - 직사각형 데카르트 좌표계의 orts입니다.

해결책

먼저 주어진 직각좌표계에서 주어진 벡터곱 i → - j → × i → + j → + k →의 좌표를 찾아보자.

벡터 i → - j → 및 i → + j → + k →는 각각 (1;-1;0) 및 (1;1;1) 좌표를 갖는 것으로 알려져 있습니다. 행렬 행렬식을 사용하여 벡터 곱의 길이를 찾으면 i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2k → .

따라서 벡터 곱 i → - j → × i → + j → + k →는 주어진 좌표계에서 (-1; -1;2) 좌표를 갖는다.

공식으로 벡터 곱의 길이를 찾습니다(벡터 길이 찾기 섹션 참조): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

답변: i → -j → × i → +j → +k → = 6 . .

예 4

세 점 A(1 , 0 , 1) , B(0 , 2 , 3) , C(1 , 4 , 2)의 좌표는 직각 데카르트 좌표계로 주어진다. 동시에 A B → 및 A C →에 수직인 벡터를 찾습니다.

해결책

벡터 A B → 및 A C →는 각각 다음 좌표 (-1 ; 2 ; 2) 및 (0 ; 4 ; 1)을 갖습니다. 벡터 A B → 와 A C → 의 벡터 곱을 찾으면 A B → 와 A C → 모두에 대한 정의에 의해 수직 벡터라는 것이 분명합니다. 즉, 우리 문제에 대한 해결책입니다. 찾기 A B → × A C → = i → j → k → -122041 = -6i → +j → -4k → .

답변: - 6i → +j → -4k → . 수직 벡터 중 하나입니다.

세 번째 유형의 문제는 벡터의 벡터 곱 속성을 사용하는 데 중점을 둡니다. 이를 적용한 후 주어진 문제에 대한 해결책을 얻을 것입니다.

실시예 5

벡터 a → 및 b →는 수직이며 길이는 각각 3 및 4입니다. 외적의 길이 구하기 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3a → × - 2b → + - b → × a → + - b → × - 2b → .

해결책

벡터 곱의 분포 특성에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3a → × - 2b → + - b → × a → + - b → × - 2b →

결합성의 성질에 의해 마지막 표현에서 벡터 곱의 부호를 넘어선 수치 계수를 꺼냅니다. 3a → × a → + 3a → × - 2b → + - b → × a → + - b → × - 2b → = = 3a → ×a → +3 (-2)a → ×b → +(-1)b → ×a → +(-1)(-2)b → ×b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

벡터 곱 a → × a → 및 b → × b →는 a → × a → = a → a → sin 0 = 0 및 b → × b → = b → b → sin 0 = 0이므로 0과 같습니다. 그러면 3a → ×a → -6a → ×b → -b → ×a → +2b → ×b → = -6a → ×b → -b → ×a → . .

벡터 곱의 반가환성으로부터 - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

벡터 곱의 속성을 사용하여 등식 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

조건에 따라 벡터 a → 및 b →는 수직입니다. 즉, 이들 사이의 각도는 π 2 와 같습니다. 이제 찾은 값을 해당 공식으로 대체하는 것만 남아 있습니다. 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

답변: 3a → -b → ×a → -2b → = 60 .

정의에 의한 벡터의 외적의 길이는 a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → 입니다. 삼각형의 면적은 두 변의 길이에이 변 사이의 사인을 곱한 곱의 절반과 같다는 것이 (학교 과정에서) 이미 알려져 있기 때문입니다. 따라서 벡터 곱의 길이는 평행 사변형의 영역과 같습니다. 이중 삼각형, 즉 벡터 형태의 변의 곱 a → 및 b → , 사인에 의해 한 점에서 벗어납니다. 그들 사이의 각도 sin ∠ a → , b → .

이것이 벡터 곱의 기하학적 의미입니다.

벡터 곱의 물리적 의미

물리학의 한 분야인 역학에서는 벡터 곱 덕분에 공간의 한 지점에 상대적인 힘의 순간을 결정할 수 있습니다.

정의 3

힘 F → 가 점 B 에 가해지는 순간 점 A 에 대해 우리는 다음 벡터 곱 A B → × F → 를 이해할 것입니다.

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내적 속성

벡터, 정의, 속성의 내적

벡터에 대한 선형 연산.

벡터, 기본 개념, 정의, 그에 대한 선형 연산

평면 위의 벡터는 순서가 있는 점의 쌍이며, 첫 번째 점을 시작점, 두 번째 점을 벡터의 끝점이라고 합니다.

두 벡터가 동일하고 방향성이 같으면 동일하다고 합니다.

같은 선상에 있는 벡터는 이 선상에 있지 않은 동일한 벡터 중 일부와 동방향인 경우 동방향성이라고 합니다.

같은 선이나 평행선에 있는 벡터를 동일선상이라고 하고, 동일선상에 있지만 동방향이 아닌 것을 반대 방향이라고 합니다.

수직선에 있는 벡터를 직교라고 합니다.

정의 5.4. 합집합 a+b 벡터 ㅏ 그리고 비 벡터의 시작 부분에서 오는 벡터라고 합니다. ㅏ 벡터의 끝까지 비 , 벡터의 시작이 비 벡터의 끝과 일치 ㅏ .

정의 5.5. 차이점 a-b 벡터 ㅏ 그리고 비 그런 벡터를 호출 와 함께 , 벡터와 함께 비 벡터를 준다 ㅏ .

정의 5.6. 일하다케이 ㅏ 벡터 ㅏ 번호당 케이벡터라고 함 비 , 공선 벡터 ㅏ , 모듈이 | 케이||ㅏ | 및 방향과 동일한 방향 ㅏ ~에 케이>0과 반대 ㅏ ~에 케이<0.

벡터에 숫자를 곱하는 속성:

재산 1. 케이(a+b ) = k ㅏ+ 케이 비.

속성 2. (케이+엠)ㅏ = 케이 ㅏ+ 엠 ㅏ.

재산 3. k(m ㅏ) = (km)ㅏ .

결과. 0이 아닌 벡터인 경우 ㅏ 그리고 비 동일 선상에 있으면 숫자가 있습니다. 케이, 무엇 b= 케이 ㅏ.

두 개의 0이 아닌 벡터의 스칼라 곱 ㅏ그리고 비이 벡터의 길이와 그 사이의 각도 φ의 코사인의 곱과 같은 숫자 (스칼라)라고합니다. 스칼라 곱은 다음과 같이 다양한 방식으로 표현될 수 있습니다. ab, ㅏ · 비, (ㅏ , 비), (ㅏ · 비). 따라서 내적은 다음과 같습니다.

ㅏ · 비 = |ㅏ| · | 비| 코사인 φ

벡터 중 적어도 하나가 0이면 스칼라 곱은 0입니다.

순열 속성: ㅏ · 비 = 비 · ㅏ(스칼라 곱은 요인의 순열에서 변경되지 않음);

분포 속성: ㅏ · ( 비 · 씨) = (ㅏ · 비) · 씨(결과는 곱셈 순서에 의존하지 않음);

조합 특성(스칼라 인자와 관련하여): (λ ㅏ) · 비 = λ ( ㅏ · 비).

직교성(perpendicularity)의 속성: 벡터가 ㅏ그리고 비 0이 아닌 경우 이러한 벡터가 직교(서로 수직)일 때만 내적은 0입니다. ㅏ ┴ 비;

정사각형 속성: ㅏ · ㅏ = ㅏ 2 = |ㅏ| 2(자기 자신과 벡터의 스칼라 곱은 계수의 제곱과 같음);

벡터의 좌표인 경우 ㅏ=(x 1 , y 1 , z 1 ) 및 비=(x 2 , y 2 , z 2 )이면 스칼라 곱은 다음과 같습니다. ㅏ · 비= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

벡터 지주 벡터입니다. 정의: 두 벡터의 벡터 곱이며 다음과 같은 벡터로 이해됩니다.

모듈은 이러한 벡터에 구축된 평행 사변형의 영역과 같습니다. , 여기서 벡터 사이의 각도와

이 벡터는 곱한 벡터에 수직입니다.

벡터가 동일 선상에 있지 않으면 오른쪽 트리플 벡터를 형성합니다.