집 › 리뷰 › 마름모에 내접원의 반지름입니다. 정삼각형

마름모에 내접원의 반지름입니다. 정삼각형

원이 각도 내부에 있고 측면에 닿으면 이를 이 각도에 내접한다고 합니다. 그러한 내접원의 중심은 다음과 같습니다. 이 각의 이등분선.

볼록 다각형 내부에 있고 모든 측면과 접촉하는 경우 이를 볼록 다각형에 내접한다고 합니다.

삼각형에 새겨진 원

삼각형에 내접한 원은 이 그림의 각 변의 한 지점에서만 닿습니다. 하나의 삼각형에는 하나의 원만 내접할 수 있습니다.

이러한 원의 반경은 삼각형의 다음 매개변수에 따라 달라집니다.

삼각형의 변의 길이입니다.
그의 영역.
그 둘레.
삼각형의 각도.

삼각형의 내접원 반경을 계산하려면 위에 나열된 모든 매개변수가 삼각함수를 통해 상호 연결되어 있기 때문에 항상 알아야 할 필요는 없습니다.

반주위를 이용한 계산

기하학적 도형의 모든 변의 길이를 알고 있는 경우(문자 a, b 및 c로 표시) 반지름은 제곱근을 추출하여 계산해야 합니다.
계산을 시작하려면 초기 데이터에 반주위(p)라는 변수를 하나 더 추가해야 합니다. 모든 길이를 더하고 결과 양을 2로 나누어 계산할 수 있습니다. p = (a+b+c)/2. 따라서 반경을 구하는 공식이 상당히 단순화될 수 있습니다.
일반적으로 공식에는 분수가 위치하는 근호의 부호가 포함되어야 하며, 이 분수의 분모는 반주위 p의 값이 됩니다.
이 분수의 분자는 차이 (p-a)*(p-b)*(p-c)의 곱이 됩니다.
따라서 공식의 전체 형태는 다음과 같이 표시됩니다: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

삼각형의 면적을 고려한 계산

우리가 알고 있다면 삼각형의 면적그리고 모든 변의 길이를 통해 뿌리를 추출하지 않고도 관심 있는 원의 반경을 찾을 수 있습니다.

먼저 영역 크기를 두 배로 늘려야 합니다.
결과는 모든 변의 길이의 합으로 나뉩니다. 그러면 공식은 다음과 같습니다: r = 2*S/(a+b+c).
반 둘레 값을 사용하면 r \u003d S / p라는 매우 간단한 공식을 얻을 수 있습니다.

삼각함수를 이용한 계산

문제의 조건에 변 중 하나의 길이, 반대 각도의 값 및 둘레가 포함되어 있는 경우 삼각 함수인 접선을 사용할 수 있습니다. 이 경우 계산 공식은 다음과 같습니다.

r \u003d (P / 2- a) * tg (α / 2), 여기서 r은 원하는 반경, P는 둘레, a는 변 중 하나의 길이, α는 반대쪽의 값, 각도.

정삼각형에 내접해야 하는 원의 반지름은 r = a*√3/6 공식으로 구할 수 있습니다.

직각 삼각형에 새겨진 원

직각 삼각형에 새길 수 있습니다 단 하나의 원. 그러한 원의 중심은 동시에 모든 이등분선의 교차점 역할을 합니다. 이 기하학적 도형에는 내접원의 반경을 계산할 때 고려해야 할 몇 가지 독특한 특징이 있습니다.

먼저 주어진 매개변수를 사용하여 직각삼각형을 만들어야 합니다. 한 변의 크기와 두 각도의 값, 또는 두 변과 이들 변 사이의 각도로 이러한 그림을 만들 수 있습니다. 이러한 모든 매개변수는 작업 명령문에 지정되어야 합니다. 삼각형은 ABC로 표시되며 C는 직각의 꼭지점입니다. 다리는 변수로 표시됩니다. ㅏ그리고 비, 빗변은 변수입니다. 와 함께.
고전적인 공식을 구성하고 원의 반지름을 계산하려면 문제의 조건에 설명된 그림의 모든 변의 치수를 찾고 그로부터 반둘레를 계산해야 합니다. 조건이 두 다리의 크기를 제공하는 경우 피타고라스 정리를 기반으로 빗변의 값을 계산하는 데 사용할 수 있습니다.
조건에 한쪽 다리의 크기와 한 각도가 주어지면 이 각도가 인접한지 반대인지를 이해해야 합니다. 첫 번째 경우에는 사인 정리를 사용하여 빗변을 찾습니다. с=a/sinСАВ, 두 번째 경우에는 코사인 정리가 적용됩니다. с=a/cosCBA.
모든 계산이 완료되고 모든 변의 치수를 알면 위에서 설명한 공식을 사용하여 반 둘레를 구합니다.
반 둘레의 값을 알면 반지름을 찾을 수 있습니다. 공식은 분수입니다. 분자는 반둘레와 각 변의 차이의 곱이고, 분모는 반둘레의 값입니다.

이 공식의 분자는 면적을 나타내는 지표라는 점에 유의해야 합니다. 이 경우 반경을 찾는 공식은 훨씬 간단합니다. 영역을 둘레의 절반으로 나누는 것으로 충분합니다.

두 다리를 모두 알면 기하학적 도형의 면적을 결정하는 것도 가능합니다. 이 다리의 제곱의 합이 빗변이고, 반둘레가 계산됩니다. 다리의 값을 서로 곱하고 그 결과를 2로 나누어 면적을 계산할 수 있습니다.

조건에 다리와 빗변의 길이가 모두 제공되면 매우 간단한 공식을 사용하여 반경을 결정할 수 있습니다. 이를 위해 다리의 길이를 더하고 빗변의 길이를 결과 숫자에서 뺍니다. 결과는 반으로 나누어야 합니다.

동영상

이 비디오를 통해 삼각형에 내접하는 원의 반지름을 구하는 방법을 배우게 됩니다.

삼각형에 새겨진 원

삼각형에 내접된 원의 존재

정의를 기억해 보세요 각의 이등분선 .

정의 1 .각의 이등분선 각도를 두 개의 동일한 부분으로 나누는 광선이라고 합니다.

정리 1 (각의 이등분선의 기본 성질) . 각의 이등분선의 각 점은 각의 측면으로부터 동일한 거리에 있습니다(그림 1).

쌀. 1

증거 디 각도의 이등분선에 누워BAC , 그리고 드 그리고 D.F. 모서리 측면에 있습니다(그림 1).직각삼각형 ADF 그리고 에이드 동일한 같은 예각을 갖고 있기 때문에DAF 그리고 대 , 그리고 빗변 기원 후 - 일반적인. 따라서,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

정리 2(정리 1의 역정리) . 일부인 경우 각도의 이등분선에 위치합니다(그림 2).

쌀. 2

증거 . 임의의 점을 고려하십시오.디 구석에 누워BAC 모퉁이 측면에서 같은 거리에 위치합니다. 포인트에서 드롭디 수직 드 그리고 D.F. 모서리 측면에 있습니다(그림 2).직각삼각형 ADF 그리고 에이드 동일한 , 둘은 다리가 같으니까D.F. 그리고 드 , 그리고 빗변 기원 후 - 일반적인. 따라서,

Q.E.D.

정의 2 . 원이 불린다. 각도에 새겨진 원 이 각도의 변이라면.

정리 3 . 원이 각에 내접되면 각의 꼭지점에서 원과 각의 변이 만나는 점까지의 거리가 동일합니다.

증거 . 요점을 보자 디 각에 새겨진 원의 중심이다BAC , 그리고 포인트 이자형 그리고 에프 - 원과 모서리 측면의 접촉점(그림 3).

그림 3

ㅏ , 비 , 씨 - 삼각형의 변  에스 -정사각형,

아르 자형 – 내접원의 반경,  피 - 반 둘레

수식 출력 보기

ㅏ – 이등변삼각형의 옆면 ,   비 - 베이스, 아르 자형 – 내접원 반경

ㅏ 아르 자형 – 내접원 반경

수식 출력 보기

어디

그러면 이등변삼각형의 경우

우리는 얻는다

그것이 요구되었던 것입니다.

정리 7 . 평등을 위해

어디 ㅏ - 정삼각형의 변아르 자형 – 내접원의 반경(그림 8).

쌀. 8

증거 .

그러면 정삼각형의 경우

b=a,

우리는 얻는다

그것이 요구되었던 것입니다.

논평 . 나는 정삼각형에 직접 내접하는 원의 반지름에 대한 공식을 연습으로 도출하는 것을 권장합니다. 즉, 임의의 삼각형이나 이등변삼각형에 내접하는 원의 반지름에 대한 일반 공식을 사용하지 않고.

정리 8 . 직각 삼각형의 경우 평등

어디 ㅏ , 비 - 직각 삼각형의 다리, 씨 – 빗변 , 아르 자형 – 내접원의 반경.

증거 . 그림 9를 고려해보세요.

쌀. 9

사각형부터CDOF ~이다 , 인접한 측면이 있음~하다 그리고 의 같으면 이 직사각형은 . 따라서,

CB \u003d CF \u003d r,

정리 3에 의해, 평등은

그러므로 또한 고려하면, 우리는

그것이 요구되었던 것입니다.

"삼각형에 새겨진 원"이라는 주제에 대한 작업 선택.

이등변삼각형에 내접한 원은 접촉점에서 변 중 하나를 두 개의 세그먼트로 나누고, 길이는 밑면 반대쪽 꼭지점에서 계산하여 5와 3과 같습니다. 삼각형의 둘레를 구하세요.

삼각형 ABC AC=4, BC=3에서 각도 C는 90°입니다. 내접원의 반지름을 구하세요.

이등변 직각 삼각형의 다리는 2+입니다. 이 삼각형에 새겨진 원의 반지름을 구하세요.

직각 이등변삼각형에 내접하는 원의 반지름은 2입니다. 이 삼각형의 빗변 c를 구합니다. 답에 c(-1)을 쓰세요.

다음은 솔루션이 포함된 시험의 여러 작업입니다.

이등변 직각삼각형에 내접하는 원의 반지름은 입니다. 이 삼각형의 빗변 c를 구하세요. 귀하의 답변에 표시해 주십시오.

삼각형은 직각이고 이등변이다. 그래서 그의 다리는 똑같습니다. 각 다리를 동일하게 해주세요. 그러면 빗변은.

우리는 삼각형 ABC의 면적을 두 가지 방법으로 씁니다.

이 표현을 동일시하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.. 왜냐하면, 우리는 그것을 얻습니다. 그 다음에.

이에 대한 응답으로 다음을 작성하십시오..

답변:.

작업 2.

1. 양면 10cm 및 6cm(AB 및 BC). 외접원과 내접원의 반지름 찾기
문제는 댓글을 통해 독립적으로 해결됩니다.

해결책:

안에.

1) 찾기:
2) 증명:그리고 CK를 찾아보세요
3) 찾기: 외접원과 내접원의 반지름

해결책:

작업 6.

아르 자형 정사각형에 내접하는 원의 반지름은 다음과 같습니다.. 이 정사각형에 외접하는 원의 반지름을 구하세요.주어진 :

찾다: 운영체제=?
해결책: 이 경우 문제는 피타고라스의 정리나 R의 공식을 사용하여 풀 수 있습니다. 두 번째 경우는 R의 공식이 정리에서 파생되므로 더 간단합니다.

작업 7.

이등변 직각삼각형에 내접하는 원의 반지름은 2입니다. 빗변을 구하세요와 함께 이 삼각형. 답변에 표시해주세요.

S는 삼각형의 면적입니다.

우리는 삼각형의 변이나 넓이를 모릅니다. 다리를 x로 표시하면 빗변은 다음과 같습니다.

삼각형의 면적은 0.5x가 됩니다. 2 .

수단

따라서 빗변은 다음과 같습니다.

답변은 다음과 같이 작성해야 합니다.

답: 4

작업 8.

삼각형 ABC에서 AC = 4, BC = 3, 각도 씨 90 0 과 같습니다. 내접원의 반지름을 구하세요.

삼각형에 내접하는 원의 반지름 공식을 사용해 보겠습니다.

여기서 a, b, c는 삼각형의 변입니다.

S는 삼각형의 면적입니다.

양면이 알려져 있고(다리) 세 번째 변(빗변)을 계산할 수 있으며 면적도 계산할 수 있습니다.

피타고라스의 정리에 따르면:

해당 지역을 찾아봅시다:

따라서:

답: 1

작업 9.

이등변삼각형의 변은 5이고 밑변은 6입니다. 내접원의 반지름을 구합니다.

삼각형에 내접하는 원의 반지름 공식을 사용해 보겠습니다.

여기서 a, b, c는 삼각형의 변입니다.

S는 삼각형의 면적입니다.

모든 변을 알고 면적을 계산합니다. Heron의 공식을 사용하여 이를 찾을 수 있습니다.

그 다음에

마름모는 모든 변이 동일한 평행사변형입니다. 따라서 평행사변형의 모든 속성을 상속받습니다. 즉:

마름모의 대각선은 서로 수직입니다.
마름모의 대각선은 내부 각도의 이등분선입니다.

원은 대변의 합이 동일할 경우에만 사각형에 내접할 수 있습니다.
따라서 원은 어떤 마름모에도 새겨질 수 있습니다. 내접원의 중심은 마름모 대각선의 교차 중심과 일치합니다.
마름모에 내접원의 반지름은 여러 가지 방법으로 표현될 수 있습니다.

1 방향. 높이를 통과하는 마름모 내접원의 반경

마름모의 높이는 내접원의 지름과 같습니다. 이는 내접원의 직경과 마름모의 높이로 형성된 직사각형의 특성에서 비롯됩니다. 직사각형의 반대쪽은 동일합니다.

따라서 높이를 통과하는 마름모의 내접원 반경에 대한 공식은 다음과 같습니다.

2방향. 대각선을 통과하는 마름모 내접원의 반경

마름모의 면적은 내접원의 반경으로 표현될 수 있습니다.
, 어디 아르 자형마름모의 둘레입니다. 둘레는 사각형의 모든 변의 합이라는 것을 알면, 피= 4×하.그 다음에
그러나 마름모의 면적은 대각선의 곱의 절반이기도 합니다.
면적 공식의 올바른 부분을 동일시하면 다음과 같은 평등을 얻습니다.
결과적으로 우리는 대각선을 통해 마름모에 내접원의 반경을 계산할 수 있는 공식을 얻습니다.

대각선이 알려진 경우 마름모에 새겨진 원의 반지름을 계산하는 예
대각선의 길이가 30cm와 40cm인 경우 마름모에 새겨진 원의 반지름을 구합니다.
허락하다 ABCD- 마름모, 그럼 교류그리고 BD대각선. AC= 30cm , BD=40cm
요점을 보자 에 대한마름모에 새겨진 것의 중심이다 ABCD원이면 대각선의 교차점이 되어 대각선을 반으로 나누는 역할도 합니다.

마름모의 대각선이 직각으로 교차하므로 삼각형 AOB직사각형. 그러면 피타고라스의 정리에 의해
, 이전에 얻은 값을 공식에 대체합니다.

AB= 25cm
외접원의 반지름에 대해 이전에 도출된 공식을 마름모에 적용하면 다음을 얻습니다.

3방향. 세그먼트 m과 n을 통과하는 마름모에 내접원의 반경

점 에프- 원과 마름모의 측면이 접촉하는 지점으로 이를 세그먼트로 나눕니다. AF그리고 친구. 허락하다 AF=m, BF=n.
점 영형- 마름모 대각선의 교차 중심과 그 안에 새겨진 원의 중심.
삼각형 AOB- 마름모의 대각선이 직각으로 교차하기 때문에 직사각형입니다.
, 왜냐하면 는 원의 접선점에 그려진 반지름입니다. 따라서 의- 삼각형의 높이 AOB빗변에. 그 다음에 AF그리고 BF-다리가 빗변에 투영됩니다.
빗변에 떨어진 직각삼각형의 높이는 빗변에 있는 다리의 투영 사이의 평균 비례입니다.

세그먼트를 통해 마름모에 내접원의 반경에 대한 공식은 마름모의 측면이 원의 접선점으로 나뉘는 이러한 세그먼트의 곱의 제곱근과 같습니다.

삼각형에 새겨진 원을 생각해보십시오 (그림 302). 중심 O는 삼각형 내각의 이등분선의 교차점에 위치한다는 것을 기억하십시오. O를 삼각형 ABC의 꼭지점과 연결하는 세그먼트 OA, OB, OS는 삼각형을 세 개의 삼각형으로 나눕니다.

AOB, 보스, SOA. 각 삼각형의 높이는 반지름과 동일하므로 해당 영역은 다음과 같이 표현됩니다.

전체 삼각형 S의 면적은 다음 세 면적의 합과 같습니다.

삼각형의 반둘레는 어디에 있습니까? 여기에서

내접원의 반경은 삼각형의 면적과 절반 둘레의 비율과 같습니다.

삼각형의 외접원의 반지름 공식을 구하기 위해 우리는 다음 명제를 증명합니다.

정리 a: 모든 삼각형에서 변의 크기는 외접원의 지름에 반대각의 사인을 곱한 것과 같습니다.

증거. 임의의 삼각형 ABC와 그 주위에 외접하는 원을 생각해 보세요. 반지름은 R로 표시됩니다(그림 303). A를 삼각형의 예각이라고 하자. 원의 반지름 OB, OS를 그리고 중심 O에서 삼각형의 변 BC까지 수직 OK를 떨어뜨려 봅시다. 삼각형의 각도 a는 호 BC의 절반으로 측정되며 각도 BOC는 중심 각도입니다. 여기에서 . 따라서 직각삼각형 SOK에서 증명이 필요한 , 또는 를 찾습니다.