숫자의 제곱근입니다. 제곱근

사실 1.
\(\bullet\) 음수가 아닌 숫자 \(a\)를 취하십시오(예: \(a\geqslant 0\) ). 그런 다음 (산술) 제곱근수 \(a\)에서 이러한 음수가 아닌 수 \(b\)가 호출되고 제곱할 때 수 \(a\)를 얻습니다. \[\sqrt a=b\quad \text(와 동일)\quad a=b^2\]정의에서 다음과 같습니다. \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). 이러한 제한은 존재의 중요한 조건입니다. 제곱근그리고 그들은 기억해야합니다!
숫자를 제곱하면 음수가 아닌 결과가 나온다는 점을 기억하십시오. 즉, \(100^2=10000\geqslant 0\) 및 \((-100)^2=10000\geqslant 0\) 입니다.
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) 란 무엇입니까? \(5^2=25\) 및 \((-5)^2=25\) 임을 알고 있습니다. 정의에 따라 음수가 아닌 숫자를 찾아야 하므로 \(-5\) 는 적합하지 않으므로 \(\sqrt(25)=5\) ( \(25=5^2\) 이므로)입니다.
\(\sqrt a\) 값을 찾는 것을 숫자 \(a\) 의 제곱근을 취한다고 하고 숫자 \(a\) 를 루트 표현식이라고 합니다.
\(\bullet\) 정의에 따라 \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) 등의 표현 이해가 안 돼요.

사실 2.
빠른 계산을 위해 \(1\)에서 \(20\)까지 자연수의 제곱표를 배우는 것이 유용할 것입니다. \[\begin(배열)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(배열)\]

사실 3.
제곱근으로 무엇을 할 수 있습니까?
\(\총알\) 합계 또는 차이 제곱근합계 또는 차이의 제곱근과 같지 않음, 즉 \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]따라서 예를 들어 \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) 를 계산해야 하는 경우 처음에는 \(\sqrt(25)\) 및 \(\sqrt 값을 찾아야 합니다. (49)\ ) 그런 다음 더합니다. 따라서, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] \(\sqrt a+\sqrt b\)를 추가할 때 \(\sqrt a\) 또는 \(\sqrt b\) 값을 찾을 수 없으면 이러한 식은 더 이상 변환되지 않고 그대로 유지됩니다. 예를 들어 합계 \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\)에서 \(\sqrt(49)\)를 찾을 수 있습니다. 이것은 \(7\)이지만 \(\sqrt 2\)는 어떤 식 으로든 변환, 그래서 \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). 또한 불행히도이 표현은 어떤 식 으로든 단순화 할 수 없습니다.\(\bullet\) 제곱근의 곱/몫은 곱/몫의 제곱근과 같습니다. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (평등의 두 부분이 의미가 있다면)
예: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) 이러한 속성을 사용하면 큰 수를 인수분해하여 제곱근을 찾는 것이 편리합니다.
예를 들어 보겠습니다. \(\sqrt(44100)\) 찾기. \(44100:100=441\) 이므로 \(44100=100\cdot 441\) 입니다. 가분성의 기준에 따르면, 수 \(441\)은 \(9\)로 나누어 떨어지므로(숫자의 합은 9이고 9로 나누어 떨어지므로) \(441:9=49\)가 됩니다. 즉 \(441=9\ cdot 49\) 입니다.
따라서 우리는 다음을 얻었습니다. \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]다른 예를 살펴보겠습니다. \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) 식 \(5\sqrt2\)(식 \(5\cdot \sqrt2\) 의 줄임말)의 예를 사용하여 제곱근 기호 아래에 숫자를 입력하는 방법을 보여드리겠습니다. \(5=\sqrt(25)\) 이므로 \ 예를 들어,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

왜 그런 겁니까? 1)의 예를 들어 설명해 보자. 이미 이해하셨듯이 숫자 \(\sqrt2\) 를 어떻게든 변환할 수 없습니다. \(\sqrt2\) 가 어떤 숫자 \(a\) 라고 상상해보세요. 따라서 식 \(\sqrt2+3\sqrt2\)는 \(a+3a\)(하나의 숫자 \(a\) 더하기 세 개의 동일한 숫자 \(a\) )에 불과합니다. 그리고 우리는 이것이 4개의 그러한 숫자 \(a\) , 즉 \(4\sqrt2\) 와 같다는 것을 압니다.

사실 4.
\(\bullet\) 어떤 숫자의 값을 찾을 때 근(부수)의 기호 \(\sqrt () \ \)를 제거할 수 없을 때 "근을 추출할 수 없다"라고 종종 말합니다. 예를 들어 \(16=4^2\) 때문에 \(16\)라는 숫자를 루팅할 수 있으므로 \(\sqrt(16)=4\) 입니다. 그러나 숫자 \(3\) 에서 근을 추출하는 것, 즉 \(\sqrt3\) 를 찾는 것은 불가능합니다.
그러한 숫자(또는 그러한 숫자를 사용한 표현)는 무리수입니다. 예를 들어, 숫자 \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)등등. 비합리적이다.
또한 무리수는 숫자 \(\pi\)(숫자 "pi", 대략 \(3,14\)와 같음), \(e\)(이 숫자를 오일러 수라고 하며 대략 \(2 ,7\) ) 등
\(\bullet\) 모든 숫자는 유리수이거나 무리수입니다. 그리고 모든 유리수와 모든 무리수가 함께 집합을 형성합니다. 실수(실수) 숫자 집합입니다.이 집합은 \(\mathbb(R)\) 문자로 표시됩니다.
이것은 모든 숫자가 이 순간우리는 실수라고 부르는 것을 압니다.

사실 5.
\(\bullet\) 실수 \(a\)의 모듈러스는 음수가 아닌 수 \(|a|\)이며 실수에서 \(a\)에서 \(0\)까지의 거리와 같습니다. 선. 예를 들어 \(|3|\) 및 \(|-3|\)는 3과 같습니다. 점 \(3\) 및 \(-3\)에서 \(0\)까지의 거리가 \(3 \) 과 동일합니다.
\(\bullet\) \(a\) 가 음수가 아니면 \(|a|=a\) 입니다.
예: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) \(a\) 가 음수이면 \(|a|=-a\) 입니다.
예: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
그들은 음수의 경우 모듈이 빼기와 양수를 "먹고"숫자 \(0\) 모듈이 변경되지 않은 상태로 유지된다고 말합니다.
하지만이 규칙은 숫자에만 적용됩니다. 예를 들어 \(|x|\) 와 같이 모듈 기호 아래에 알 수 없는 \(x\) (또는 다른 알 수 없는)가 있으면 그것이 양수인지, 0인지 또는 음수인지 알 수 없습니다. 모듈을 제거할 수 없습니다. 이 경우 이 식은 그대로 유지됩니다. \(|x|\) . \(\bullet\) 다음 공식이 성립합니다. \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( 제공됨) a\geqslant 0\]다음과 같은 실수가 자주 발생합니다. 그들은 \(\sqrt(a^2)\)와 \((\sqrt a)^2\)가 같은 것이라고 말합니다. 이것은 \(a\) - 정수또는 0. 그러나 \(a\)가 음수이면 이는 사실이 아닙니다. 그러한 예를 고려하는 것으로 충분합니다. \(a\) 대신 \(-1\)이라는 숫자를 사용합시다. 그런 다음 \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) 이지만 식 \((\sqrt (-1))^2\) 은 전혀 존재하지 않습니다. 루트 기호 아래에는 음수를 넣을 수 없습니다!).
따라서 우리는 \(\sqrt(a^2)\) 가 \((\sqrt a)^2\) 와 같지 않다는 사실에 주의를 기울입니다!예: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), 왜냐하면 \(-\sqrt2<0\) ;

\(\팬텀(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) \(\sqrt(a^2)=|a|\) 이므로 \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (식 \(2n\)은 짝수를 나타냅니다.)
즉, 어느 정도 있는 숫자에서 근을 추출하면 이 정도가 반으로 줄어듭니다.
예:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (모듈이 설정되지 않은 경우 숫자의 근은 \(-25 \) ; 그러나 루트의 정의에 따라 이것은 루트를 추출할 때 항상 양수 또는 0을 얻어야 한다는 것을 기억합니다.)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (짝수의 거듭제곱은 음수가 아니므로)

사실 6.
두 제곱근을 비교하는 방법은 무엇입니까?
\(\bullet\) 제곱근에 대해 참: if \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a예:
1) \(\sqrt(50)\) 와 \(6\sqrt2\) 를 비교합니다. 먼저 두 번째 식을 다음으로 변환합니다. \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). 따라서 \(50 이후<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) \(\sqrt(50)\) 사이의 정수는?
\(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) 및 \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) \(\sqrt 2-1\) 과 \(0,5\) 를 비교합니다. \(\sqrt2-1>0.5\)라고 가정합니다. \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((양쪽에 1 추가))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((두 부분을 제곱))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(정렬)\]잘못된 부등식을 얻었음을 알 수 있습니다. 따라서 우리의 가정은 틀렸고 \(\sqrt 2-1<0,5\) .
부등식의 양쪽에 특정 숫자를 추가해도 부호에는 영향을 미치지 않습니다. 부등식의 두 부분을 양수로 곱/나누는 것도 부호에 영향을 미치지 않지만 음수로 곱/나누면 부등식의 부호가 반전됩니다!
방정식/부등식의 양변은 양변이 음수가 아닌 경우에만 제곱할 수 있습니다. 예를 들어 이전 예의 부등식에서 부등식 \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) 참고 \[\시작(정렬) &\sqrt 2\약 1,4\\ &\sqrt 3\약 1,7 \끝(정렬)\]이 숫자의 대략적인 의미를 알면 숫자를 비교할 때 도움이 됩니다! \(\bullet\) 제곱표에 없는 큰 숫자에서 근(추출된 경우)을 추출하려면 먼저 "백" 사이에 있는지 확인한 다음 "10" 사이에 있는지 확인해야 합니다. 그런 다음 이 숫자의 마지막 숫자를 결정합니다. 예를 들어 어떻게 작동하는지 보여드리겠습니다.
\(\sqrt(28224)\) 를 가져옵니다. 우리는 \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) 등을 알고 있습니다. \(28224\)는 \(10\,000\)과 \(40\,000\) 사이에 있습니다. 따라서 \(\sqrt(28224)\) 는 \(100\) 과 \(200\) 사이에 있습니다.
이제 숫자가 "10" 사이에 있는지 결정해 보겠습니다(예: \(120\) 와 \(130\) 사이). 우리는 또한 제곱표에서 \(11^2=121\) , \(12^2=144\) 등, \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . 따라서 우리는 \(28224\)가 \(160^2\)와 \(170^2\) 사이에 있음을 알 수 있습니다. 따라서 숫자 \(\sqrt(28224)\) 는 \(160\) 과 \(170\) 사이에 있습니다.
마지막 숫자를 결정해 봅시다. \ (4 \) ? 이들은 \(2^2\) 및 \(8^2\) 입니다. 따라서 \(\sqrt(28224)\)는 2 또는 8로 끝납니다. 이를 확인하겠습니다. \(162^2\) 및 \(168^2\) 찾기:
\(162^2=162\c도트 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
따라서 \(\sqrt(28224)=168\) . 짜잔!

수학 시험을 적절하게 풀기 위해서는 먼저 수많은 정리, 공식, 알고리즘 등을 소개하는 이론적 자료를 공부해야합니다. 언뜻보기에 이것은 매우 간단 해 보일 수 있습니다. 그러나 모든 수준의 훈련을받은 학생들에게 수학 통합 국가 시험 이론이 쉽고 이해하기 쉽게 제시되는 출처를 찾는 것은 사실 다소 어려운 작업입니다. 학교 교과서를 항상 가까이에 둘 수는 없습니다. 그리고 수학 시험의 기본 공식을 찾는 것은 인터넷에서도 어려울 수 있습니다.

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2. 지능을 발달시키기 때문에. 수학 시험 참고 자료를 공부하고 다양한 문제를 해결하면서 사람은 논리적으로 생각하고 추론하고 생각을 정확하고 명확하게 공식화하는 법을 배웁니다. 그는 분석, 일반화, 결론 도출 능력을 개발합니다.

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계산기가 등장하기 전에 학생과 교사는 손으로 제곱근을 계산했습니다. 숫자의 제곱근을 수동으로 계산하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 그들 중 일부는 대략적인 솔루션만 제공하고 다른 일부는 정확한 답변을 제공합니다.

단계

소인수 분해

근수를 제곱수인 인수로 분해합니다.근수에 따라 대략적이거나 정확한 답을 얻을 수 있습니다. 제곱수는 전체 제곱근을 취할 수 있는 숫자입니다. 인수는 곱했을 때 원래 숫자가 되는 숫자입니다. 예를 들어, 숫자 8의 약수는 2와 4이고, 2 x 4 = 8이므로 숫자 25, 36, 49는 √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7이므로 제곱수입니다. 제곱 인수 요인은 제곱수입니다. 먼저 근수를 제곱 인수로 분해하십시오.

• 예를 들어 400의 제곱근을 계산합니다(수동). 먼저 400을 제곱 인수로 분해해 보십시오. 400은 100의 배수, 즉 25로 나눌 수 있는 제곱수입니다. 400을 25로 나누면 16이 됩니다. 숫자 16도 제곱수입니다. 따라서 400은 25와 16의 제곱 인수로 분해할 수 있습니다. 즉, 25 x 16 = 400입니다.
• 이것은 다음과 같이 쓸 수 있습니다: √400 = √(25 x 16).

1. 일부 항의 곱의 제곱근은 각 항의 제곱근 곱과 같습니다. 즉, √(a x b) = √a x √b입니다. 이 규칙을 사용하고 각 제곱 인수의 제곱근을 취하고 결과를 곱하여 답을 찾으십시오.

   • 이 예에서는 25와 16의 제곱근을 취합니다.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. 근수가 두 개의 제곱 인수에 포함되지 않는 경우(대부분의 경우 포함) 정확한 답을 정수로 찾을 수 없습니다. 그러나 근수를 제곱 인수와 일반 인수(전체 제곱근을 구할 수 없는 수)로 분해하여 문제를 단순화할 수 있습니다. 그런 다음 제곱 인수의 제곱근을 취하고 일반 인수의 근을 취합니다.

   • 예를 들어 숫자 147의 제곱근을 계산합니다. 숫자 147은 두 개의 제곱 인수로 분해할 수 없지만 49와 3의 인수로 분해할 수 있습니다. 다음과 같이 문제를 해결하십시오.
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. 필요한 경우 루트 값을 평가합니다.이제 근수에 가장 가까운(수직선의 양쪽에서) 제곱근의 값과 비교하여 근의 값(근사값 찾기)을 평가할 수 있습니다. 근의 값은 근 기호 뒤의 숫자를 곱해야 하는 소수로 표시됩니다.

   • 우리의 예로 돌아가 봅시다. 근수는 3입니다. 가장 가까운 제곱수는 숫자 1(√1 = 1)과 4(√4 = 2)입니다. 따라서 √3의 값은 1과 2 사이에 있습니다. √3의 값은 아마도 1보다 2에 더 가깝기 때문에 추정치는 √3 = 1.7입니다. 이 값에 루트 기호의 숫자를 곱합니다: 7 x 1.7 \u003d 11.9. 계산기로 계산하면 12.13이 나오며 이는 우리의 답에 매우 가깝습니다.
     • 이 방법은 큰 숫자에도 적용됩니다. 예를 들어 √35를 고려하십시오. 근수는 35입니다. 가장 가까운 제곱수는 25(√25 = 5)와 36(√36 = 6)입니다. 따라서 √35의 값은 5와 6 사이에 있습니다. √35의 값은 5보다 6에 훨씬 더 가깝기 때문에(35는 36보다 1이 작을 뿐이므로) √35는 다음보다 약간 작다고 말할 수 있습니다. 6. 계산기로 확인하면 답은 5.92입니다. 우리가 옳았습니다.

4. 또 다른 방법은 근수를 소인수로 분해하는 것입니다.소인수는 1과 자기 자신으로만 나누어지는 수입니다. 한 줄에 소인수를 쓰고 동일한 약수 쌍을 찾으십시오. 이러한 요소는 루트의 기호에서 제거할 수 있습니다.

   • 예를 들어, 제곱근 45를 계산합니다. 근수를 45 \u003d 9 x 5 및 9 \u003d 3 x 3의 소인수로 분해합니다. 따라서 √45 \u003d √ (3 x 3 x 5)입니다. 루트 부호에서 3을 빼낼 수 있습니다: √45 = 3√5. 이제 √5를 추정할 수 있습니다.
   • 다른 예를 고려하십시오: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √(2 x 4 x 11)
     • = √(2 x 2 x 2 x 11). 3개의 곱셈기 2가 있습니다. 몇 개를 가져다가 뿌리의 표시에서 빼십시오.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. 이제 √2와 √11을 평가하고 대략적인 답을 찾을 수 있습니다.

   수동으로 제곱근 계산

   열 나누기 사용

   1. 이 방법은 긴 나눗셈과 유사한 프로세스를 포함하며 정확한 답을 제공합니다.먼저 시트를 두 부분으로 나누는 수직선을 그린 다음 수직선까지 시트의 상단 가장자리 약간 아래 오른쪽에 수평선을 그립니다. 이제 근수를 소수점 뒤의 소수 부분부터 시작하여 숫자 쌍으로 나눕니다. 따라서 숫자 79520789182.47897은 "7 95 20 78 91 82, 47 89 70"으로 쓰여집니다.

      • 예를 들어 숫자 780.14의 제곱근을 계산해 봅시다. 그림과 같이 두 개의 선을 그리고 왼쪽 상단에 "7 80, 14"로 숫자를 씁니다. 왼쪽에서 첫 번째 숫자가 짝이 없는 숫자인 것이 정상입니다. 답(주어진 숫자의 근)은 오른쪽 상단에 기록됩니다.

   2. 왼쪽에서 첫 번째 숫자 쌍(또는 하나의 숫자)이 주어지면 제곱이 해당 숫자 쌍(또는 하나의 숫자)보다 작거나 같은 가장 큰 정수 n을 찾습니다. 즉, 왼쪽에서 첫 번째 숫자 쌍(또는 단일 숫자)에 가장 가깝지만 작은 제곱수를 찾고 해당 제곱수의 제곱근을 취합니다. 당신은 숫자 n을 얻을 것입니다. 찾은 n을 오른쪽 상단에 적고 정사각형 n을 오른쪽 하단에 적습니다.

      • 이 경우 왼쪽의 첫 번째 숫자는 숫자 7입니다. 다음, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. 왼쪽에서 첫 번째 숫자 쌍(또는 하나의 숫자)에서 방금 찾은 숫자 n의 제곱을 뺍니다.계산 결과를 subtrahend(숫자 n의 제곱) 아래에 씁니다.

      • 이 예에서는 7에서 4를 빼면 3이 됩니다.

   4. 두 번째 숫자 쌍을 빼서 이전 단계에서 얻은 값 옆에 적어 둡니다.그런 다음 오른쪽 상단의 숫자를 두 배로 늘리고 오른쪽 하단에 "_×_="를 추가하여 결과를 씁니다.

      • 이 예에서 두 번째 숫자 쌍은 "80"입니다. 3 다음에 "80"이라고 쓰세요. 그런 다음 오른쪽 위에서 숫자를 두 배로 하면 4가 됩니다. 오른쪽 아래에서 "4_×_="라고 쓰세요.

   5. 오른쪽의 빈칸을 채우십시오.

      • 우리의 경우 대시 대신 숫자 8을 입력하면 48 x 8 \u003d 384로 380보다 큽니다. 따라서 8은 너무 큰 숫자이지만 7은 괜찮습니다. 대시 대신 7을 쓰고 47 x 7 \u003d 329를 얻습니다. 오른쪽 상단에서 7을 쓰십시오-이것은 숫자 780.14의 원하는 제곱근에서 두 번째 숫자입니다.

   6. 왼쪽의 현재 숫자에서 결과 숫자를 뺍니다.왼쪽의 현재 숫자 아래에 이전 단계의 결과를 쓰고 차이를 찾아 뺀 값 아래에 씁니다.

      • 이 예에서는 380에서 329를 빼면 51이 됩니다.

   7. 4단계를 반복합니다.철거한 쌍의 숫자가 원래 숫자의 소수 부분인 경우 오른쪽 상단부터 원하는 제곱근에 정수와 소수 부분의 구분 기호(쉼표)를 넣습니다. 왼쪽에서 다음 숫자 쌍을 아래로 내립니다. 오른쪽 상단의 숫자를 두 배로 늘리고 "_×_="를 추가하여 오른쪽 하단에 결과를 씁니다.

      • 이 예에서 철거할 다음 숫자 쌍은 숫자 780.14의 분수 부분이 되므로 정수와 분수 부분의 구분 기호를 오른쪽 상단에서 원하는 제곱근에 넣으십시오. 14를 철거하고 왼쪽 하단에 적습니다. 우측 상단(27)의 두 배는 54이므로 우측 하단에 "54_×_="라고 적는다.

   8. 5단계와 6단계를 반복합니다.곱셈 결과가 왼쪽의 현재 숫자보다 작거나 같도록 오른쪽의 대시 대신 가장 큰 숫자를 찾습니다(대시 대신 동일한 숫자로 대체해야 함).

      • 이 예에서 549 x 9 = 4941은 왼쪽의 현재 숫자(5114)보다 작습니다. 오른쪽 상단에 9를 쓰고 왼쪽의 현재 숫자에서 곱셈 결과를 뺍니다: 5114 - 4941 = 173.

   9. 제곱근에 대한 소수 자릿수를 더 찾아야 하는 경우 왼쪽의 현재 숫자 옆에 0 쌍을 쓰고 4, 5, 6단계를 반복합니다. 필요한 답의 정확도를 얻을 때까지 단계를 반복합니다(개 소수점 자리).

   프로세스 이해

   이 방법을 익히려면 제곱근 S의 면적을 찾아야 하는 숫자를 상상해 보십시오. 이 경우 이러한 정사각형의 변 L의 길이를 찾습니다. L² = S인 L 값을 계산합니다.

   답변의 각 숫자에 대한 문자를 입력하십시오. L 값의 첫 번째 숫자를 A로 표시합니다(원하는 제곱근). B는 두 번째 숫자, C는 세 번째 숫자 등이 됩니다.

   각 선행 숫자 쌍에 대한 문자를 지정하십시오. S a는 값 S의 첫 번째 숫자 쌍을 나타내고 S b는 두 번째 숫자 쌍을 나타내는 식입니다.

   이 방법과 긴 나눗셈의 연결을 설명하십시오.나눌 수 있는 숫자의 다음 한 자릿수에만 관심이 있는 나눗셈에서와 같이 제곱근을 계산할 때 한 쌍의 숫자를 순서대로 사용합니다(제곱근 값에서 다음 한 자릿수를 얻기 위해). .

   1. 숫자 S의 첫 번째 숫자 Sa(이 예에서는 Sa = 7)를 고려하고 그 제곱근을 찾으십시오.이 경우 제곱근 값의 첫 번째 숫자 A는 제곱이 S보다 작거나 같은 숫자입니다 (즉, 우리는 부등식 A²를 충족하는 A를 찾고 있습니다 ≤ 사< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • 88962를 7로 나누어야 한다고 합시다. 여기서 첫 번째 단계는 비슷할 것입니다. 나눌 수 있는 숫자 88962(8)의 첫 번째 숫자를 고려하고 7을 곱했을 때 8보다 작거나 같은 값을 제공하는 가장 큰 숫자를 선택합니다. 즉, 우리는 찾고 있습니다. 부등식이 참인 숫자 d: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. 면적을 계산해야 하는 사각형을 정신적으로 상상해 보십시오.당신은 L, 즉 면적이 S 인 정사각형의 변의 길이를 찾고 있습니다. A, B, C는 숫자 L의 숫자입니다. 다르게 쓸 수 있습니다 : 10A + B \u003d L (2의 경우 -숫자) 또는 100A + 10B + C \u003d L(세 자리 숫자의 경우) 등.

      • 허락하다 (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². 10A+B는 B가 1을 나타내고 A가 10을 나타내는 숫자임을 기억하십시오. 예를 들어 A=1이고 B=2이면 10A+B는 숫자 12와 같습니다. (10A+B)²전체 광장의 면적이며, 100A²큰 내부 사각형의 면적이며, B²작은 내부 사각형의 면적이며, 10A×B두 직사각형 각각의 면적입니다. 설명된 그림의 영역을 추가하면 원래 사각형의 영역을 찾을 수 있습니다.

제곱근의 계산(또는 추출)은 여러 가지 방법으로 수행할 수 있지만 모두 간단하지는 않습니다. 물론 계산기를 사용하는 것이 더 쉽습니다. 그러나 이것이 불가능하거나 제곱근의 본질을 이해하고 싶다면 다음과 같은 방법으로 가라고 조언할 수 있습니다. 그 알고리즘은 다음과 같습니다.

그렇게 긴 계산에 대한 힘, 욕구 또는 인내심이 없다면 대략적인 선택에 의지할 수 있으며, 그 장점은 그것이 매우 빠르고 독창성이 뛰어나고 정확하다는 것입니다. 예:

내가 학교에 다닐 때(60년대 초), 우리는 모든 숫자의 제곱근을 취하도록 배웠습니다. 이 기술은 간단하고 열로 나누는 것과 겉보기에는 비슷하지만 여기서 설명하려면 30 분의 시간과 4-5,000 자의 텍스트가 필요합니다. 하지만 왜 필요한가요? 전화나 다른 장치가 있습니까? nm 단위의 계산기가 있습니다. 모든 컴퓨터에는 계산기가 있습니다. 개인적으로 저는 Excel에서 이런 종류의 계산을 수행하는 것을 선호합니다.

종종 학교에서는 다른 숫자의 제곱근을 찾아야 합니다. 그러나 우리가 이것을 위해 항상 계산기를 사용하는 데 익숙하다면 시험에서 그러한 기회가 없을 것이므로 계산기의 도움없이 루트를 찾는 방법을 배워야합니다. 그리고 원칙적으로 그렇게 하는 것이 가능합니다.

알고리즘은 다음과 같습니다.

번호의 마지막 숫자를 먼저 보십시오.

예를 들어,

이제 가장 왼쪽 그룹에서 근의 대략적인 값을 결정해야 합니다.

숫자에 두 개 이상의 그룹이 있는 경우 다음과 같이 루트를 찾아야 합니다.

그러나 다음 숫자는 정확히 가장 큰 숫자여야 합니다. 다음과 같이 선택해야 합니다.

이제 위에서 얻은 나머지에 다음 그룹을 추가하여 새로운 숫자 A를 형성해야 합니다.

우리의 예에서:

najna 열, 그리고 15자 이상이 필요한 경우 계산기가 있는 컴퓨터와 전화기가 가장 자주 사용됩니다. 방법론에 대한 설명이 4-5,000자를 차지할지 여부를 확인해야 합니다.

쉼표에서 오른쪽과 왼쪽으로 숫자 쌍을 계산합니다.

예: 1234567890.098765432100

한 쌍의 숫자는 두 자리 숫자와 같습니다. 두 자리 수의 근은 일대일입니다. 우리는 제곱이 첫 번째 숫자 쌍보다 작은 단일 값을 선택합니다. 우리의 경우 3입니다.

열로 나눌 때와 마찬가지로 첫 번째 쌍 아래에서 이 사각형을 작성하고 첫 번째 쌍에서 뺍니다. 결과에 밑줄이 그어져 있습니다. 12 - 9 = 3. 이 차이에 두 번째 숫자 쌍을 더합니다(334가 됩니다). 덤불 개수 왼쪽에는 이미 찾은 결과 부분의 2배 값에 숫자(2 * 6 = 6이 있음)가 추가되어 수신되지 않은 숫자를 곱하면 두 번째 숫자 쌍의 숫자를 초과하지 마십시오. 발견된 숫자가 5라는 것을 알 수 있습니다. 다시 우리는 차이 (9)를 찾고 다음 숫자 쌍을 철거하여 956을 얻고 결과의 두 배 부분 (70)을 다시 작성하고 필요한 숫자를 다시 추가하는 등 멈출 때까지 계속합니다. 또는 필요한 계산 정확도.

먼저 제곱근을 계산하기 위해서는 구구단을 잘 알아야 합니다. 가장 간단한 예는 25(5 x 5 = 25) 등입니다. 숫자를 더 복잡하게 생각하면 수평으로 단위가 있고 수직으로 10이 있는 이 표를 사용할 수 있습니다.



계산기의 도움 없이 숫자의 근을 찾는 좋은 방법이 있습니다. 이렇게하려면 눈금자와 나침반이 필요합니다. 결론은 루트 아래에 있는 값을 눈금자에서 찾을 수 있다는 것입니다. 예를 들어, 9 근처에 표시를 하십시오. 귀하의 임무는 이 숫자를 동일한 수의 세그먼트, 즉 각각 4.5cm의 두 줄과 짝수 세그먼트로 나누는 것입니다. 결국 3 센티미터의 3 세그먼트를 얻을 것이라고 추측하기 쉽습니다.

이 방법은 쉽지 않고 큰 숫자에는 작동하지 않지만 계산기 없이는 고려됩니다.

계산기의 도움 없이 제곱근을 추출하는 방법은 소비에트 시대에 8학년 때 학교에서 가르쳤습니다.

이렇게 하려면 여러 자리 숫자를 오른쪽에서 왼쪽으로 두 자리 숫자로 나누어야 합니다. :

루트의 첫 번째 숫자는 왼쪽의 전체 루트, 이 경우 5입니다.

31, 31-25=6에서 5의 제곱을 빼고 6에 다음 면을 더하면 678이 됩니다.

다음 숫자 x는 5를 두 배로 선택하여

10x*x가 최대값이었지만 678 미만이었습니다.

106*6=636이므로 x=6,

이제 678 - 636 = 42를 계산하고 다음 면 92를 추가하면 4292가 됩니다.

다시 우리는 112x*x lt와 같은 최대 x를 찾고 있습니다. 4292.

답: 루트는 563입니다.

따라서 원하는 만큼 계속할 수 있습니다.

경우에 따라 근수를 두 개 이상의 제곱 인수로 확장할 수 있습니다.

10에서 99까지의 자연수의 제곱인 표(또는 적어도 그 일부)를 기억하는 것도 유용합니다.



나는 내가 발명한 열에 제곱근을 추출하는 변형을 제안합니다. 숫자 선택을 제외하고 잘 알려진 것과 다릅니다. 하지만 나중에 알게 되었지만 이 방법은 제가 태어나기 훨씬 전부터 이미 존재했습니다. 위대한 아이작 뉴턴은 그의 책 일반 산술 또는 산술 종합 및 분석에 관한 책에서 그것을 설명했습니다. 그래서 여기서 나는 뉴턴 방법의 알고리즘에 대한 나의 비전과 근거를 제시합니다. 알고리즘을 외울 필요가 없습니다. 필요한 경우 그림의 다이어그램을 시각적 보조 수단으로 간단히 사용할 수 있습니다.







테이블의 도움으로 계산할 수는 없지만 테이블에 있는 숫자에서만 제곱근을 찾을 수 있습니다. 근을 계산하는 가장 쉬운 방법은 연속 근사법을 사용하여 제곱근뿐만 아니라 다른 각도도 계산하는 것입니다. 예를 들어 10739의 제곱근을 계산하고 마지막 세 자리를 0으로 바꾸고 10000의 제곱근을 추출하면 100이 불리해지기 때문에 숫자 102를 취하여 제곱하면 10404가 됩니다. 지정된 것보다 103 * 103 = 10609를 다시 단점으로 취하고 103.5 * 103.5 \u003d 10712.25를 취하고 더 많은 103.6 * 103.6 \u003d 10732를 취하고 103.7 * 103.7 \u003d 10753.69를 취합니다. 과잉. 10739의 제곱근은 대략 103.6과 같습니다. 더 정확하게는 10739=103.629... . . 마찬가지로 세제곱근을 계산합니다. 먼저 10000에서 약 25 * 25 * 25 = 15625를 얻습니다. 초과하면 22 * ​​22 * ​​22 = 10.648, 22.06 * 22.06보다 조금 더 걸립니다. * 22.06 = 10735로 주어진 값에 매우 가깝습니다.

뿌리 N자연수의 제곱 ㅏ전화번호 N그의 th 거듭제곱은 다음과 같다 ㅏ. 루트는 다음과 같이 표시됩니다. . 기호 √는 루트 기호또는 급진적 인 기호, 숫자 ㅏ - 루트 번호, N - 루트 지수.

주어진 정도의 근을 찾는 작업을 호출합니다. 뿌리 추출.

이후 루트 개념의 정의에 따라 N학위

저것 뿌리 추출- 주어진 차수와 주어진 지수에 따라 차수의 밑을 찾는 지수화의 반대 동작.

제곱근

숫자의 제곱근 ㅏ제곱이 있는 숫자입니다. ㅏ.

제곱근을 계산하는 연산을 제곱근이라고 합니다.

제곱근 추출- 제곱의 반대 동작(또는 숫자를 두 번째 거듭제곱으로 올리기). 숫자를 제곱할 때 제곱을 찾아야 합니다. 제곱근을 추출할 때 숫자의 제곱을 알고 있으므로 숫자 자체를 찾아야 합니다.

따라서 취한 조치의 정확성을 확인하기 위해 찾은 루트를 2도까지 올릴 수 있으며 정도가 루트 번호와 같으면 루트가 올바르게 찾은 것입니다.

예를 들어 제곱근과 그 검증을 추출하는 것을 고려하십시오. 우리는 계산하거나 (2가 가장 작은 지수이기 때문에 값이 2 인 루트 지수는 일반적으로 작성되지 않으며 루트 기호 위에 지수가 없으면 지수 2가 암시됨을 기억해야 함) 이를 위해 필요합니다. 숫자를 찾으려면 두 번째로 올리면 차수는 49가 됩니다. 분명히 이 숫자는 7입니다.

7 7 = 7 2 = 49.

제곱근 계산

주어진 숫자가 100 이하이면 구구단을 사용하여 제곱근을 계산할 수 있습니다. 예를 들어 25의 제곱근은 5 x 5 = 25이므로 5입니다.

이제 계산기를 사용하지 않고 숫자의 제곱근을 찾는 방법을 고려하십시오. 예를 들어 숫자 4489를 사용하여 단계별 계산을 시작하겠습니다.

1. 원하는 루트가 구성되어야 하는 숫자를 결정합시다. 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100 및 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000이므로 원하는 근은 10보다 크고 100보다 작아야 한다는 것이 분명해집니다. 십과 일로 구성되어 있습니다.
2. 루트의 십의 수를 찾으십시오. 10을 곱하면 100이 되고 우리의 수는 44이므로 근에는 10의 제곱이 약 4400이 되도록 많은 10이 포함되어야 합니다. 따라서 60 2 \u003d 3600 및 70 2 \u003d 4900(이것은 너무 많음)이기 때문에 루트에 6 십이 있어야 합니다. 따라서 우리는 루트가 60에서 70 사이의 범위에 있기 때문에 6개의 10과 여러 개의 1을 포함한다는 것을 알았습니다.
3. 곱셈표는 루트의 단위 수를 결정하는 데 도움이 됩니다. 숫자 4489를 보면 마지막 숫자가 9라는 것을 알 수 있습니다. 이제 구구단을 보면 숫자 3과 7을 제곱해야만 9 단위를 얻을 수 있습니다. 따라서 숫자의 근은 63이 됩니다. 또는 67.
4. 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489와 같이 제곱하여 63과 67을 얻은 숫자를 확인합니다.

원에서 그녀는 열에서 제곱근을 추출하는 방법을 보여주었습니다. 임의의 정밀도로 근을 계산할 수 있고, 비합리적인 것으로 판명되더라도 소수점 표기법에서 원하는 만큼의 자릿수를 찾을 수 있습니다. 알고리즘은 기억되었지만 질문은 남아있었습니다. 방법이 어디에서 왔는지, 왜 올바른 결과를 제공하는지 명확하지 않았습니다. 이것은 책에 없었거나 내가 잘못된 책을 찾고 있었을 수도 있습니다. 그 결과 오늘날 내가 알고 있고 할 수 있는 많은 일처럼 내가 직접 해냈다. 여기에서 내 지식을 공유합니다. 그건 그렇고, 나는 여전히 알고리즘에 대한 이론적 근거가 어디에 있는지 모릅니다))))

따라서 먼저 예를 들어 "시스템 작동 방식"을 설명한 다음 실제로 작동하는 이유를 설명합니다.

숫자를 생각해 봅시다(숫자는 "천장에서" 가져온 것입니다. 방금 떠오른 것입니다).

1. 우리는 숫자를 쌍으로 나눕니다. 소수점 왼쪽에있는 숫자는 오른쪽에서 왼쪽으로 두 개, 오른쪽에있는 숫자는 왼쪽에서 오른쪽으로 두 개입니다. 우리는 .

2. 왼쪽의 첫 번째 숫자 그룹에서 제곱근을 추출합니다. 우리의 경우입니다(정확한 근을 추출할 수 없다는 것이 분명합니다. 숫자의 첫 번째 그룹이지만 초과하지 않음). 우리의 경우 이것은 숫자가 될 것입니다. 응답으로 작성합니다. 이것은 루트의 가장 높은 숫자입니다.

3. 우리는 답에 이미 있는 숫자를 올립니다. 이것은 제곱이고 숫자에서 왼쪽의 첫 번째 숫자 그룹에서 뺍니다. 우리의 경우 남아 있습니다.

4. 다음 두 숫자 그룹이 오른쪽에 있다고 생각합니다. . 답에 이미 있는 숫자에 를 곱하면 을 얻습니다.

5. 이제 자세히 살펴보십시오. 오른쪽에 있는 숫자에 한 자리를 더하고 그 숫자에 , 즉 할당된 동일한 숫자를 곱해야 합니다. 결과는 가능한 한 에 가까워야 하지만 다시 이 숫자를 넘지 않아야 합니다. 우리의 경우 이것은 숫자가 될 것이며 오른쪽 옆에 응답으로 씁니다. 이것은 제곱근에 대한 십진수 표기법의 다음 숫자입니다.

6. 에서 제품을 빼면 을 얻습니다.

7. 다음으로 익숙한 작업을 반복합니다. 결과 숫자에 다음 숫자 그룹을 오른쪽에 할당하고 곱하기> 오른쪽에 한 숫자를 할당하여 곱하면 더 작지만 가장 가까운 숫자를 얻습니다. 그것 - 이것은 숫자입니다 - 루트의 십진수 표기법의 다음 숫자입니다.

계산은 다음과 같이 작성됩니다.

이제 약속된 설명입니다. 알고리즘은 다음 공식을 기반으로 합니다.

댓글: 50

1. 2 안톤:

   너무 지저분하고 혼란 스럽습니다. 모든 것을 분해하고 번호를 매기십시오. 추가: 각 작업에서 필요한 값을 대체하는 위치를 설명합니다. 전에는 열에서 루트를 계산한 적이 없습니다. 어렵게 알아 냈습니다.

2. 5 줄리아:

3. 6 :

   Julia, 23은 현재 오른쪽에 쓰여져 있습니다. 이들은 답에 있는 이미 받은 근의 처음 두 자리(왼쪽)입니다. 알고리즘에 따라 2를 곱합니다. 단락 4에서 설명한 단계를 반복합니다.

4. 7zzz:

   “6. 167에서 곱 43 * 3 = 123(129 나다)을 빼면 38이 됩니다.”
   쉼표 뒤에 어떻게 08이 나왔는지 명확하지 않습니다 ...

5. 9 페도토프 알렉산더:

   그리고 사전 계산기 시대에도 우리는 학교에서 제곱뿐만 아니라 열의 세제곱근을 추출하도록 배웠지 만 이것은 더 지루하고 힘든 작업입니다. 우리가 고등학교에서 이미 배웠던 브라디스 표나 계산자를 사용하는 것이 더 쉬웠습니다.

6. 10 :

   알렉산더, 당신 말이 맞아요, 당신은 큰 정도의 열과 뿌리로 추출할 수 있습니다. 나는 세제곱근을 찾는 방법에 대해서만 쓸 것입니다.

7. 12 세르게이 발렌티노비치:

   친애하는 엘리자베스 알렉산드로브나! 70년대 후반에 저는 자동(즉, 선택이 아닌) 제곱 계산 방식을 개발했습니다. Felix 가산기의 루트. 관심이 있으시면 설명을 보내드릴 수 있습니다.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((제곱근을 열로 추출)))
   컴퓨터 과학에서 공부하는 2차 숫자 체계를 사용하면 알고리즘이 단순화되지만 수학에서도 유용합니다. A.N. Kolmogorov는 학생을 위한 인기 있는 강의에서 이 알고리즘을 인용했습니다. 그의 기사는 "Chebyshev Collection"(수학 저널, 인터넷에서 링크를 찾으십시오)에서 찾을 수 있습니다.
   행사를 위해 다음과 같이 말합니다.
   G. Leibniz는 초보자(초등학생)를 위한 단순성과 접근성 때문에 10번째 숫자 체계에서 이진법으로 전환한다는 아이디어에 대해 서두른 적이 있습니다. 그러나 기존의 전통을 깨는 것은 성문을 이마로 부수는 것과 같습니다. 가능하지만 쓸모가 없습니다. 그래서 옛날에 가장 많이 인용된 수염 난 철학자에 따르면, 모든 죽은 세대의 전통이 산 자의 의식을 억압한다는 것이 밝혀졌습니다.

   다음에 보자.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Sergey Valentinovich, 예, 관심이 있습니다 ... ((

   나는 이것이 연속적인 근사에 의해 네모난 말을 추출하는 바빌로니아 방법의 Felix 변형이라고 장담합니다. 이 알고리즘은 Newton의 방법(접선 방법)에 의해 재정의되었습니다.

   내가 예측에 실수를 했는지 궁금합니다.

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    예, 바이너리의 알고리즘은 더 간단해야 합니다.

    뉴턴의 방법에 대해. 그럴 수도 있지만 여전히 흥미 롭습니다.

11. 20 시릴:

    정말 감사합니다. 그러나 알고리즘은 여전히 ​​존재하지 않으며 어디에서 왔는지 알 수 없지만 결과는 정확합니다. 정말 감사합니다! 오랫동안 이것을 찾고 있었어.

12. 21 알렉산더:

    그리고 왼쪽에서 오른쪽으로 두 번째 그룹이 매우 작은 숫자에서 루트를 추출하는 방법은 무엇입니까? 예를 들어 모두가 좋아하는 번호는 4 398 046 511 104입니다. 첫 번째 빼기 후에는 알고리즘에 따라 모든 것을 계속할 수 없습니다. 설명해 주시겠습니까?

13. 22 알렉세이:

    예, 이 방법을 알고 있습니다. 예전 판의 "대수학"이라는 책에서 읽은 것을 기억합니다. 그런 다음 유추하여 같은 열에서 세제곱근을 추출하는 방법을 스스로 추론했습니다. 그러나 그것은 이미 더 복잡합니다. 각 숫자는 더 이상 하나 (정사각형의 경우)로 결정되지 않고 두 개의 빼기로 결정되며 긴 숫자를 곱해야 할 때마다 거기에서도 결정됩니다.

14. 23 아르템:

    56789.321의 제곱근을 취하는 예에 오타가 있습니다. 숫자 32 그룹은 숫자 145와 243에 두 번 할당되며 숫자 2388025에서 두 번째 8은 3으로 대체되어야 합니다. 그런 다음 마지막 빼기는 2431000 - 2383025 = 47975와 같이 작성되어야 합니다.
    또한 나머지를 답의 두 배 값(쉼표 제외)으로 나누면 추가 유효 숫자(47975/(2*238305) = 0.100658819…)를 얻게 되며, 이는 답(√56789.321)에 더해져야 합니다. = 238.305… = 238.305100659).

15. 24 세르게이:

    분명히 알고리즘은 Isaac Newton의 책 "일반 산술 또는 산술 합성 및 분석에 관한 책"에서 나왔습니다. 다음은 그것에서 발췌한 것입니다:

    뿌리에 대하여

    숫자에서 제곱근을 추출하려면 먼저 단위부터 1까지 숫자 위에 점을 찍어야 합니다. 그런 다음 제곱이 첫 번째 점 앞의 숫자 또는 그림과 같거나 결함이 가장 가까운 숫자를 몫 또는 근에 써야 합니다. 이 제곱을 뺀 후 나머지를 이미 추출한 근 부분 값의 두 배로 나누고 매번 나머지 제곱에서 마지막으로 찾은 숫자와 10 배 곱을 빼서 근의 나머지 자릿수를 연속적으로 찾습니다. 명명된 제수.

16. 25 세르게이:

    책 제목 "일반 산술 또는 산술 종합 및 분석에 관한 책" 수정

17. 26 알렉산더:

    흥미로운 내용 감사합니다. 그러나이 방법은 예를 들어 모범생에게 필요한 것보다 다소 복잡해 보입니다. 나는 처음 두 미분을 사용하여 이차 함수의 확장에 기반한 더 간단한 방법을 사용합니다. 공식은 다음과 같습니다.
    sqrt(x)=A1+A2-A3 여기서
    A1은 제곱이 x에 가장 가까운 정수입니다.
    A2는 분자 x-A1의 분모 2*A1의 분수입니다.
    학교 과정에서 만나는 대부분의 숫자의 경우 이것은 100분의 1까지 정확한 결과를 얻기에 충분합니다.
    보다 정확한 결과가 필요하시면
    A3은 분모 2 * A1 + 1의 분자 A2 제곱의 분수입니다.
    물론 지원하려면 정수의 제곱표가 필요하지만 학교에서는 문제가 되지 않습니다. 이 공식을 기억하는 것은 매우 간단합니다.
    그러나 스프레드시트로 실험한 결과 경험적으로 A3를 얻었고 이 용어가 왜 그런 형식인지 이해하지 못하는 것이 혼란스럽습니다. 어쩌면 당신은 조언 할 수 있습니까?

18. 27 알렉산더:

    예, 이러한 고려 사항도 고려했지만 악마는 세부 사항에 있습니다. 당신은 쓰기:
    "a2와 b는 이미 상당히 다르기 때문입니다." 문제는 정확히 얼마나 적은가입니다.
    이 공식은 두 번째 10의 숫자에 잘 적용되며 처음 10의 숫자에는 훨씬 더 나쁩니다(100분의 1까지는 아니지만 10분의 1까지만). 왜 이런 일이 발생하는지 파생 상품을 포함하지 않고는 이미 이해하기 어렵습니다.

19. 28 알렉산더:

    내가 제안한 공식의 이점을 어디에서 볼 수 있는지 명확히 할 것입니다. 경험에서 알 수 있듯이 종종 오류와 함께 수행되는 숫자 쌍으로 숫자를 자연스럽지 않게 분할할 필요가 없습니다. 그 의미는 명백하지만 분석에 익숙한 사람에게는 사소한 것입니다. 학교에서 가장 흔한 100에서 1000까지의 숫자에 잘 작동합니다.

20. 29 알렉산더:

    그건 그렇고, 나는 약간의 파기를했고 내 공식에서 A3에 대한 정확한 표현을 찾았습니다.
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 바실 스트리자크:

    우리 시대에는 컴퓨터 기술의 광범위한 사용, 실용적인 관점에서 숫자에서 네모 말을 추출하는 문제는 그만한 가치가 없습니다. 그러나 물론 수학 애호가에게는이 문제를 해결하기위한 다양한 옵션이 중요합니다. 학교 커리큘럼에서 추가 자금을 유치하지 않고이 계산 방법은 열의 곱셈 및 나눗셈과 동등하게 이루어져야합니다. 계산 알고리즘은 암기할 뿐만 아니라 이해할 수 있어야 합니다. 본질의 공개와 논의를 위해 이 자료에서 제공되는 고전적인 방법은 위의 기준을 완전히 준수합니다.
    Alexander가 제안한 방법의 중요한 단점은 정수 제곱표를 사용한다는 것입니다. 학교 과정에서 만나는 숫자의 대부분이 제한되어 있기 때문에 저자는 침묵합니다. 공식에 관해서는 전체적으로 계산의 정확도가 상대적으로 높다는 점에서 인상적입니다.

22. 31 알렉산더:

    바실 스트리자크 30개
    나는 아무것도 놓치지 않았다. 제곱의 표는 최대 1000이라고 가정합니다. 제가 학교 다닐 때 학교에서 단순히 외웠고 모든 수학 교과서에있었습니다. 이 간격의 이름을 명시적으로 지정했습니다.
    컴퓨터 기술은 계산기를 사용한다는 특별한 주제가 있지 않는 한 주로 수학 수업에서 사용되지 않는다. 계산기는 이제 시험에서 사용이 금지된 장치에 내장되어 있습니다.

23. 32 바실 스트리자크:

    알렉산더, 설명 감사합니다! 제안된 방법의 경우 이론적으로 모든 두 자리 숫자의 제곱표를 기억하거나 사용해야 한다고 생각했습니다. 그런 다음 100에서 10000 사이의 간격에 포함되지 않은 근수에 대해 다음을 사용할 수 있습니다. 쉼표를 이동하여 필요한 차수만큼 증가 또는 감소시키는 방법.

24. 33 바실 스트리자크:

25. 39 알렉산더:

    소련 기계 "ISKRA 555"의 언어 "YAMB"의 첫 번째 프로그램은 열 알고리즘 추출에 따라 숫자에서 제곱근을 추출하도록 작성되었습니다! 이제 수동으로 추출하는 방법을 잊었습니다!