이차 방정식의 근은 공식으로 구합니다. 이차방정식 풀기: 근식, 예
이차 방정식. 종합 가이드 (2019)
"2차 방정식"이라는 용어에서 핵심 단어는 "2차"입니다. 이것은 방정식이 사각형에 반드시 변수(동일한 X)를 포함해야 하며 동시에 3차(또는 그 이상)에 X가 있어서는 안 된다는 것을 의미합니다.
많은 방정식의 해는 이차 방정식의 해로 축소됩니다.
다른 방정식이 아닌 이차 방정식이 있는지 확인하는 방법을 배우자.
예 1
분모를 제거하고 방정식의 각 항에 다음을 곱합니다.
모든 것을 왼쪽으로 옮기고 항을 x의 거듭제곱이 내림차순으로 정렬하자
이제 우리는 이 방정식이 2차 방정식이라고 자신 있게 말할 수 있습니다!
예 2
좌변과 우변을 다음과 같이 곱합니다.
이 방정식은 원래 그 안에 있었지만 정사각형이 아닙니다!
예 3
모든 것을 다음과 같이 곱해봅시다:
무서운? 4도와 2도 ... 그러나 대체하면 간단한 이차 방정식이 있음을 알 수 있습니다.
예 4
것 같지만 자세히 살펴 보겠습니다. 모든 것을 왼쪽으로 이동합시다.
알다시피, 그것은 축소되었습니다 - 그리고 지금은 단순한 선형 방정식입니다!
이제 다음 방정식 중 어느 것이 2차 방정식인지 아닌지 스스로 결정하십시오.
예:
답변:
- 정사각형;
- 정사각형;
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형;
- 정사각형이 아닙니다.
- 정사각형.
수학자들은 조건부로 모든 이차 방정식을 다음 유형으로 나눕니다.
- 완전한 이차방정식- 계수와 자유 항 c가 0이 아닌 방정식(예에서와 같이). 또한, 완전한 이차방정식 중에는 다음이 있습니다. 주어진계수(예제 1의 방정식은 완전할 뿐만 아니라 축소됩니다!)
- 불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유 항 c가 0인 방정식:
일부 요소가 빠져 있기 때문에 불완전합니다. 그러나 방정식은 항상 x 제곱을 포함해야 합니다!!! 그렇지 않으면 더 이상 이차 방정식이 아니라 다른 방정식이 됩니다.
왜 그들은 그런 분열을 생각해 냈습니까? X 제곱이 있는 것처럼 보일 것입니다. 이러한 구분은 해결 방법 때문입니다. 각각을 더 자세히 살펴 보겠습니다.
불완전한 이차방정식 풀기
먼저 불완전한 이차방정식을 푸는 데 초점을 맞추겠습니다. 훨씬 간단합니다!
불완전한 이차 방정식의 유형은 다음과 같습니다.
- , 이 방정식에서 계수는 같습니다.
- , 이 방정식에서 자유 항은 다음과 같습니다.
- , 이 방정식에서 계수와 자유 항은 같습니다.
1. 나. 추출하는 방법을 알고 있기 때문에 제곱근, 그런 다음이 방정식에서 표현하자
표현은 음수일 수도 있고 양수일 수도 있습니다. 제곱수는 음수가 될 수 없습니다. 두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱하면 결과가 항상 정수, 그래서: 그렇다면 방정식에 해가 없습니다.
그리고 만약 그렇다면 우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다. 이 공식은 외울 필요가 없습니다. 가장 중요한 것은 그것이 더 적을 수 없다는 것을 항상 알고 기억해야 한다는 것입니다.
몇 가지 예를 해결해 봅시다.
예 5:
방정식 풀기
이제 왼쪽과 오른쪽 부분에서 루트를 추출하는 것이 남아 있습니다. 결국, 뿌리를 추출하는 방법을 기억하십니까?
답변:
음수 부호가 있는 뿌리를 절대 잊지 마세요!!!
예 6:
방정식 풀기
답변:
예 7:
방정식 풀기
오! 숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다.
뿌리가 없다!
근이없는 방정식의 경우 수학자들은 (빈 세트)라는 특별한 아이콘을 내놓았습니다. 답은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
답변:
따라서 이 이차방정식은 두 개의 근을 가집니다. 루트를 추출하지 않았기 때문에 여기에는 제한이 없습니다.
예 8:
방정식 풀기
괄호에서 공약수를 빼봅시다:
따라서,
이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
답변:
불완전한 2차방정식의 가장 단순한 형태입니다(모두 단순하지만요?). 명백하게, 이 방정식은 항상 단 하나의 근을 가집니다:
여기서 우리는 예제 없이 할 것입니다.
완전한 이차방정식 풀기
완전한 이차방정식은 다음과 같은 형식 방정식의 방정식임을 알려드립니다.
전체 이차방정식을 푸는 것은 주어진 것보다 조금 더 복잡합니다.
기억하다, 판별식을 사용하여 모든 이차 방정식을 풀 수 있습니다! 심지어 불완전합니다.
나머지 방법은 더 빨리 수행하는 데 도움이 되지만 2차 방정식에 문제가 있는 경우 먼저 판별식을 사용하여 솔루션을 마스터하십시오.
1. 판별식을 사용하여 이차 방정식을 풉니다.
이런 식으로 이차 방정식을 푸는 것은 매우 간단합니다. 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다.
그렇다면 방정식에 근이 있으므로 단계에 특별한주의를 기울여야합니다. 판별식()은 방정식의 근수를 알려줍니다.
- 그렇다면 단계의 수식이 다음으로 축소됩니다. 따라서 방정식에는 근만 있습니다.
- 그렇다면 단계에서 판별식의 근을 추출할 수 없습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.
방정식으로 돌아가서 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예 9:
방정식 풀기
1 단계건너뛰다.
2 단계
판별식 찾기:
따라서 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
3단계
답변:
예 10:
방정식 풀기
방정식은 표준 형식이므로 1 단계건너뛰다.
2 단계
판별식 찾기:
따라서 방정식에는 하나의 근이 있습니다.
답변:
예 11:
방정식 풀기
방정식은 표준 형식이므로 1 단계건너뛰다.
2 단계
판별식 찾기:
이는 판별식에서 근을 추출할 수 없음을 의미합니다. 방정식의 근이 없습니다.
이제 우리는 그러한 답변을 올바르게 작성하는 방법을 알고 있습니다.
답변:뿌리가 없다
2. Vieta 정리를 사용한 이차방정식의 해법.
기억한다면 감소라고하는 유형의 방정식이 있습니다 (계수 a가 다음과 같을 때).
이러한 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 매우 쉽게 풀 수 있습니다.
뿌리의 합 주어진이차방정식이 같고, 근의 곱도 같습니다.
예 12:
방정식 풀기
이 방정식은 Vieta 정리를 사용하는 솔루션에 적합합니다. .
방정식의 근의 합은, 즉 첫 번째 방정식을 얻습니다.
그리고 제품은 다음과 같습니다.
시스템을 만들고 해결해 봅시다.
- 그리고. 합계는 다음과 같습니다.
- 그리고. 합계는 다음과 같습니다.
- 그리고. 금액은 동일합니다.
시스템의 솔루션입니다.
답변: ; .
예 13:
방정식 풀기
답변:
예 14:
방정식 풀기
방정식이 감소합니다. 즉, 다음을 의미합니다.
답변:
2차 방정식. 평균 수준
이차방정식이란?
즉, 이차 방정식은 다음과 같은 형식의 방정식입니다. 여기서 - 알 수 없음, - 일부 숫자 등이 있습니다.
숫자는 최고 또는 첫 번째 계수이차 방정식, - 두 번째 계수, ㅏ - 무료 회원.
왜? 왜냐하면 if, 방정식은 즉시 선형이 될 것이기 때문입니다. 사라질 것이다.
이 경우 및 0과 같을 수 있습니다. 이 대변에서 방정식을 불완전이라고 합니다. 모든 항이 제자리에 있으면 방정식이 완성됩니다.
다양한 유형의 이차 방정식에 대한 솔루션
불완전한 이차 방정식을 푸는 방법:
우선 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 분석할 것입니다. 더 간단합니다.
다음 유형의 방정식을 구분할 수 있습니다.
I. , 이 방정식에서 계수와 자유 항은 같습니다.
II. , 이 방정식에서 계수는 같습니다.
III. , 이 방정식에서 자유 항은 다음과 같습니다.
이제 이러한 각 하위 유형의 솔루션을 고려하십시오.
명백하게, 이 방정식은 항상 단 하나의 근을 가집니다:
두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱하면 결과는 항상 양수가 되기 때문에 제곱한 수는 음수가 될 수 없습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.
그렇다면 방정식에 해가 없습니다.
뿌리가 두 개인 경우
이 공식은 외울 필요가 없습니다. 기억해야 할 가장 중요한 것은 더 적을 수 없다는 것입니다.
예:
솔루션:
답변:
음수 부호가 있는 근을 절대 잊지 마세요!
숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다.
뿌리가 없습니다.
문제에 솔루션이 없다는 것을 간략하게 작성하기 위해 빈 세트 아이콘을 사용합니다.
답변:
따라서 이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
답변:
괄호에서 공약수를 빼봅시다:
요인 중 적어도 하나가 0이면 곱은 0입니다. 이는 다음과 같은 경우에 방정식에 해가 있음을 의미합니다.
따라서 이 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
예:
방정식을 푸십시오.
해결책:
방정식의 왼쪽을 분해하고 근을 찾습니다.
답변:
완전한 이차 방정식을 푸는 방법:
1. 판별식
이 방법으로 이차 방정식을 푸는 것은 쉽습니다. 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다. 모든 이차 방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있음을 기억하십시오! 심지어 불완전합니다.
루트 공식에서 판별식의 루트를 알아차렸습니까? 그러나 판별식은 음수가 될 수 있습니다. 무엇을 해야 합니까? 우리는 2단계에 특별한 주의를 기울일 필요가 있습니다. 판별식은 방정식의 근의 수를 알려줍니다.
- 그렇다면 방정식에는 근이 있습니다.
- 그렇다면 방정식의 근은 같지만 실제로는 근이 하나입니다.
이러한 뿌리를 이중근이라고 합니다.
- 그렇다면 판별식의 근은 추출되지 않습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.
뿌리의 수가 다른 이유는 무엇입니까? 이차방정식의 기하학적 의미를 살펴보자. 함수의 그래프는 포물선입니다.
이차방정식인 특정한 경우에 . 그리고 이것은 이차 방정식의 근이 x축(축)과의 교점이라는 것을 의미합니다. 포물선은 축을 전혀 교차하지 않거나 한 지점(포물선의 상단이 축에 있을 때) 또는 두 지점에서 교차할 수 있습니다.
또한 계수는 포물선 가지의 방향을 담당합니다. 그렇다면 포물선의 가지가 위쪽을 향하고 있으면 아래쪽을 향합니다.
예:
솔루션:
답변:
답변: .
답변:
이것은 해결책이 없다는 것을 의미합니다.
답변: .
2. 비에타의 정리
Vieta 정리를 사용하는 것은 매우 쉽습니다. 곱이 방정식의 자유 항과 같고 합계가 두 번째 계수와 같고 반대 기호를 사용하는 한 쌍의 숫자를 선택하기 만하면됩니다.
Vieta의 정리는 다음에만 적용될 수 있음을 기억하는 것이 중요합니다. 주어진 이차 방정식 ().
몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예 #1:
방정식을 푸십시오.
해결책:
이 방정식은 Vieta 정리를 사용하는 솔루션에 적합합니다. . 기타 계수: ; .
방정식 근의 합은 다음과 같습니다.
그리고 제품은 다음과 같습니다.
곱이 같은 숫자 쌍을 선택하고 합계가 같은지 확인하십시오.
- 그리고. 합계는 다음과 같습니다.
- 그리고. 합계는 다음과 같습니다.
- 그리고. 금액은 동일합니다.
시스템의 솔루션입니다.
따라서, 그리고는 우리 방정식의 근입니다.
답변: ; .
예 #2:
해결책:
곱을 제공하는 숫자 쌍을 선택한 다음 합계가 같은지 확인합니다.
및: 전체적으로 제공합니다.
및: 전체적으로 제공합니다. 그것을 얻으려면 의심되는 뿌리의 표시를 변경하기 만하면됩니다. 결국 작업입니다.
답변:
예 #3:
해결책:
방정식의 자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 이는 근 중 하나가 음수이고 다른 하나가 양수인 경우에만 가능합니다. 따라서 근의 합은 모듈의 차이점.
우리는 제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택하고 그 차이는 다음과 같습니다.
및: 그들의 차이점은 - 적합하지 않습니다.
및: - 적합하지 않음;
및: - 적합하지 않음;
그리고: - 적합하다. 뿌리 중 하나가 음수라는 것을 기억하는 것만 남아 있습니다. 합계가 같아야 하므로 절대값이 더 작은 근은 음수여야 합니다. 우리는 다음을 확인합니다.
답변:
예 #4:
방정식을 푸십시오.
해결책:
방정식이 감소합니다. 즉, 다음을 의미합니다.
자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 그리고 이것은 방정식의 한 근이 음수이고 다른 근이 양수일 때만 가능합니다.
곱이 같은 숫자 쌍을 선택한 다음 어떤 근이 음수 부호를 가져야 하는지 결정합니다.
분명히 루트만 첫 번째 조건에 적합합니다.
답변:
예 #5:
방정식을 푸십시오.
해결책:
방정식이 감소합니다. 즉, 다음을 의미합니다.
근의 합은 음수이며, 이는 근 중 적어도 하나가 음수임을 의미합니다. 그러나 그들의 곱이 양수이므로 두 근이 모두 음수임을 의미합니다.
우리는 다음과 같은 숫자 쌍을 선택합니다.
분명히 뿌리는 숫자와입니다.
답변:
이 불쾌한 판별자를 계산하는 대신 구두로 뿌리를 발명하는 것이 매우 편리합니다. 가능한 한 자주 Vieta의 정리를 사용하십시오.
그러나 근을 쉽게 찾고 속도를 높이려면 Vieta 정리가 필요합니다. 당신이 그것을 사용하는 것이 유익하게 만들려면 당신은 행동을 자동화해야 합니다. 그리고 이를 위해 5개의 예제를 더 풀어보세요. 그러나 속이지 마십시오. 판별식을 사용할 수 없습니다! Vieta의 정리만:
독립 작업을 위한 솔루션:
작업 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Vieta의 정리에 따르면:
평소와 같이 제품 선택을 시작합니다.
금액 때문에 적합하지 않습니다.
: 필요한 금액입니다.
답변: ; .
작업 2.
그리고 다시, 우리가 가장 좋아하는 비에타 정리: 합은 맞아야 하지만 곱은 같다.
그러나 그렇지 않아야 하기 때문에 우리는 뿌리의 기호를 변경합니다. 그리고 (합계).
답변: ; .
작업 3.
흠... 어디야?
모든 용어를 한 부분으로 옮길 필요가 있습니다.
근의 합은 곱과 같습니다.
그래, 그만! 방정식이 제공되지 않습니다. 그러나 Vieta의 정리는 주어진 방정식에서만 적용됩니다. 따라서 먼저 방정식을 가져와야 합니다. 그것을 가져올 수 없다면, 이 아이디어를 버리고 다른 방법으로 해결하십시오(예: 판별식을 통해). 이차 방정식을 가져오는 것은 선행 계수를 다음과 같게 만드는 것을 의미합니다.
엄청난. 그러면 근의 합이 같고 곱이 됩니다.
여기에서 선택하는 것이 더 쉽습니다. 결국-소수입니다 (동어 반복에 대해 죄송합니다).
답변: ; .
작업 4.
자유 기간은 음수입니다. 무엇이 그렇게 특별합니까? 그리고 뿌리가 다른 징후가 될 것이라는 사실. 이제 선택하는 동안 루트의 합이 아니라 모듈 간의 차이를 확인합니다. 이 차이는 동일하지만 제품입니다.
따라서 근은 동일하지만 그 중 하나에는 마이너스가 있습니다. Vieta의 정리는 근의 합이 부호가 반대인 두 번째 계수, 즉 즉, 두 번째 계수와 같다고 알려줍니다. 이것은 더 작은 근이 빼기: 및 이후를 갖는다는 것을 의미합니다.
답변: ; .
작업 5.
먼저 무엇을 해야 합니까? 맞습니다. 방정식을 지정하십시오.
다시: 우리는 숫자의 인수를 선택하고 그 차이는 다음과 같아야 합니다.
근은 같으나 그 중 하나는 마이너스입니다. 어느? 그들의 합은 같아야 합니다. 즉, 마이너스가 있으면 더 큰 근이 있습니다.
답변: ; .
요약하자면:
- Vieta의 정리는 주어진 이차 방정식에서만 사용됩니다.
- Vieta 정리를 사용하여 구두로 선택하여 근을 찾을 수 있습니다.
- 방정식이 제공되지 않거나 자유 항의 적합한 인수 쌍이 발견되지 않으면 정수 근이 없으므로 다른 방법(예: 판별식을 통해)으로 해결해야 합니다.
3. 풀 스퀘어 선택 방법
미지수를 포함하는 모든 항이 약식 곱셈의 공식(합 또는 차이의 제곱)의 항으로 표시되면 변수가 변경된 후 방정식은 유형의 불완전한 이차 방정식으로 표시될 수 있습니다.
예를 들어:
예 1:
방정식을 풀다: .
해결책:
답변:
예 2:
방정식을 풀다: .
해결책:
답변:
안에 일반적인 견해변환은 다음과 같습니다.
이는 다음을 의미합니다.
아무것도 생각 나지 않습니까? 판별기입니다! 이것이 바로 판별식을 구한 방법입니다.
2차 방정식. 메인에 대해 간단히
이차 방정식형식의 방정식입니다. 여기서 는 미지수, 는 2차 방정식의 계수, 는 자유항입니다.
완전한 이차 방정식- 계수가 0이 아닌 방정식.
축소 이차 방정식- 계수가 다음과 같은 방정식: .
불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유 항 c가 0인 방정식:
- 계수인 경우 방정식의 형식은 다음과 같습니다. ,
- 자유 항인 경우 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
- 이고 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
1. 불완전한 이차방정식 풀이 알고리즘
1.1. 형식의 불완전한 이차 방정식, 여기서,
1) 미지의 표현: ,
2) 식의 부호를 확인합니다.
- 만약, 방정식에 해가 없다면,
- 그렇다면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
1.2. 형식의 불완전한 이차 방정식, 여기서,
1) 괄호에서 공약수를 빼봅시다: ,
2) 요인 중 적어도 하나가 0이면 곱은 0입니다. 따라서 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
1.3. 다음과 같은 형식의 불완전한 이차 방정식:
이 방정식은 항상 근이 하나뿐입니다: .
2. 다음 형식의 완전한 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘
2.1. 판별식을 사용한 솔루션
1) 방정식을 표준 형식으로 가져옵니다. ,
2) 다음 공식을 사용하여 판별식을 계산합니다. , 방정식의 근 수를 나타냅니다.
3) 방정식의 근을 찾으십시오.
- 그렇다면 방정식에는 다음 공식으로 찾을 수 있는 루트가 있습니다.
- 그렇다면 방정식에는 다음 공식으로 찾을 수 있는 루트가 있습니다.
- 그렇다면 방정식에 근이 없습니다.
2.2. 비에타의 정리를 이용한 해
축소된 이차 방정식(형태의 방정식, 여기서)의 근의 합은 동일하고 근의 곱은 동일합니다. , ㅏ.
2.3. 풀 스퀘어 솔루션
수학의 일부 문제는 제곱근 값을 계산하는 능력이 필요합니다. 이러한 문제에는 2차 방정식을 푸는 것이 포함됩니다. 이 글에서 소개하는 효과적인 방법계산 제곱근이차방정식의 근의 공식으로 작업할 때 사용합니다.
제곱근이란 무엇입니까?
수학에서 이 개념은 기호 √에 해당합니다. 역사적 자료에 따르면 독일에서 16세기 전반경에 처음으로 사용되기 시작했다고 합니다(Christoph Rudolf가 대수학에 대한 독일 최초의 작업). 과학자들은 이 상징이 변형된 라틴 문자 r(기수는 라틴어로 "뿌리"를 의미함).
모든 숫자의 근은 그러한 값과 같으며 그 제곱은 근 표현에 해당합니다. 수학 언어에서 이 정의는 다음과 같습니다. √x = y if y 2 = x.
양수(x>0)의 근도 양수(y>0)이지만 음수(x)의 근을 취하면< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
다음은 두 가지 간단한 예입니다.
√9 = 3 왜냐하면 3 2 = 9; √(-9) = 3i, 왜냐하면 i 2 = -1이기 때문입니다.
제곱근 값을 찾기 위한 헤론의 반복 공식
위의 예는 매우 간단하며 근을 계산하는 것은 어렵지 않습니다. 예를 들어 √10, √11, √12, √13과 같이 자연수의 제곱으로 나타낼 수 없는 값에 대한 루트 값을 찾을 때 어려움이 이미 나타나기 시작합니다. 정수가 아닌 숫자의 근을 찾는 데 필요합니다: 예를 들어 √(12.15), √(8.5) 등.
위의 모든 경우에 제곱근을 계산하는 특별한 방법을 사용해야 합니다. 현재 몇 가지 이러한 방법이 알려져 있습니다. 예를 들어 Taylor 시리즈의 확장, 열로 나누기 등이 있습니다. 알려진 모든 방법 중에서 아마도 가장 간단하고 효과적인 방법은 제곱근을 결정하는 바빌로니아 방법으로도 알려진 헤론의 반복 공식을 사용하는 것입니다(고대 바빌로니아 사람들이 실제 계산에 사용했다는 증거가 있습니다).
√x의 값을 결정하는 것이 필요하다고 하자. 제곱근을 구하는 공식은 다음과 같습니다.
n+1 = 1/2(an +x/an), 여기서 lim n->∞(an) => x입니다.
이 수학적 표기법을 해독해 봅시다. √x를 계산하려면 어떤 숫자 a 0을 취해야 합니다(임의적일 수 있지만 결과를 빨리 얻으려면 (a 0) 2가 가능한 한 x에 가깝도록 선택해야 합니다. 그런 다음 제곱근을 계산하고 새로운 숫자를 얻기 위한 표시된 공식 1, 이미 원하는 값에 더 가까울 것입니다. 그 후에 1을 표현식으로 대체하고 2를 얻어야 합니다. 이 절차는 때까지 반복되어야 합니다. 필요한 정확도가 얻어집니다.
헤론의 반복 공식을 적용한 예
많은 사람들에게 주어진 숫자의 제곱근을 구하는 알고리즘은 다소 복잡하고 혼란스럽게 들릴 수 있지만 실제로는 이 공식이 매우 빠르게 수렴되기 때문에 모든 것이 훨씬 간단합니다(특히 좋은 숫자 0이 선택된 경우).
간단한 예를 들어 보겠습니다. √11을 계산해야 합니다. 3 2 \u003d 9이므로 4 2 \u003d 16보다 11에 더 가깝기 때문에 0 \u003d 3을 선택합니다. 공식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3.333333;
2 \u003d 1/2 (3.33333 + 11 / 3.33333) \u003d 3.316668;
3 \u003d 1/2 (3.316668 + 11 / 3.316668) \u003d 3.31662.
2와 3은 소수점 이하 5번째 자리에서만 달라지기 시작하므로 계산을 계속할 필요가 없습니다. 따라서 0.0001의 정확도로 √11을 계산하기 위해 공식을 2번만 적용하면 충분했습니다.
현재 계산기와 컴퓨터는 근을 계산하는 데 널리 사용되지만 정확한 값을 수동으로 계산할 수 있도록 표시된 공식을 기억하는 것이 유용합니다.
2차 방정식
제곱근이 무엇인지 이해하고 이를 계산하는 능력은 이차 방정식을 풀 때 사용됩니다. 이 방정식은 미지수가 하나인 등식이며, 일반적인 형식은 아래 그림과 같습니다.
여기서 c, b 및 a는 숫자이며 a는 0이 아니어야 하며 c 및 b의 값은 0과 같은 것을 포함하여 완전히 임의적일 수 있습니다.
그림에 표시된 평등을 만족하는 x 값을 근이라고합니다 (이 개념은 제곱근 √와 혼동해서는 안됩니다). 고려 중인 방정식에는 2차(x 2)가 있으므로 두 숫자보다 더 많은 근이 있을 수 없습니다. 이 뿌리를 찾는 방법은 기사의 뒷부분에서 고려할 것입니다.
이차방정식(공식)의 근 구하기
고려중인 평등 유형을 해결하는이 방법은 보편적 또는 판별을 통한 방법이라고도합니다. 모든 이차 방정식에 적용할 수 있습니다. 이차방정식의 판별식과 근의 공식은 다음과 같습니다.
그것으로부터 근이 방정식의 세 계수 각각의 값에 의존한다는 것을 알 수 있습니다. 또한 x 1의 계산은 x 2의 계산과 제곱근 앞의 부호만 다릅니다. b 2 - 4ac와 같은 급진적 표현은 고려된 평등의 판별식에 지나지 않습니다. 이차 방정식의 근에 대한 공식의 판별식은 솔루션의 수와 유형을 결정하기 때문에 중요한 역할을 합니다. 따라서 0이면 해가 하나만 있고 양수이면 방정식에 두 개의 실근이 있고 마지막으로 음의 판별식은 두 개의 복소수 근 x 1 및 x 2로 이어집니다.
Vieta의 정리 또는 2차 방정식 근의 일부 속성
16세기 말, 현대 대수학의 창시자 중 한 명인 프랑스인이 2차 방정식을 연구하면서 근의 속성을 얻을 수 있었습니다. 수학적으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
x 1 + x 2 = -b / a 및 x 1 * x 2 = c / a.
두 등식은 누구나 쉽게 구할 수 있는데, 이를 위해서는 판별식이 있는 공식을 통해 구한 근으로 적절한 수학적 연산을 수행하면 됩니다.
이 두 식의 조합은 판별식을 사용하지 않고 해를 추측할 수 있게 해주는 이차 방정식의 근의 두 번째 공식이라고 할 수 있습니다. 여기에서 두 식 모두 항상 유효하지만 인수 분해할 수 있는 경우에만 방정식을 푸는 데 사용하는 것이 편리하다는 점에 유의해야 합니다.
습득한 지식을 통합하는 작업
기사에서 논의한 모든 기술을 시연하는 수학적 문제를 해결할 것입니다. 문제의 조건은 다음과 같습니다. 제품이 -13이고 합계가 4인 두 개의 숫자를 찾아야 합니다.
이 조건은 제곱근과 그 곱의 합에 대한 공식을 사용하여 Vieta의 정리를 즉시 상기시킵니다.
x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;
x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.
a = 1이라고 가정하면 b = -4이고 c = -13입니다. 이러한 계수를 통해 2차 방정식을 작성할 수 있습니다.
x 2 - 4x - 13 = 0.
판별식과 함께 공식을 사용하면 다음과 같은 근을 얻습니다.
x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
즉, 작업은 숫자 √68을 찾는 것으로 축소되었습니다. 68 = 4 * 17이라는 점에 유의하십시오. 그런 다음 제곱근 속성을 사용하여 √68 = 2√17을 얻습니다.
이제 고려되는 제곱근 공식 인 a 0 \u003d 4를 사용합니다.
1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4.125;
2 \u003d 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) \u003d 4.1231.
찾은 값이 0.02만 다르기 때문에 3을 계산할 필요가 없습니다. 따라서 √68 = 8.246입니다. 이를 x 1,2에 대한 공식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
x 1 \u003d (4 + 8.246) / 2 \u003d 6.123 및 x 2 \u003d (4-8.246) / 2 \u003d -2.123.
보시다시피 찾은 숫자의 합은 실제로 4와 같지만 곱을 찾으면 정확도가 0.001인 문제의 조건을 만족하는 -12.999가 됩니다.
이 수학 프로그램을 사용하면 다음을 수행할 수 있습니다. 이차방정식을 풀다.
이 프로그램은 문제에 대한 답을 제공할 뿐만 아니라 두 가지 방법으로 해결 프로세스를 표시합니다.
- 판별식 사용
- Vieta 정리를 사용합니다(가능한 경우).
또한 답은 대략적이지 않고 정확하게 표시됩니다.
예를 들어 방정식 \(81x^2-16x-1=0\)의 경우 답은 다음 형식으로 표시됩니다.
이 프로그램은 고등학생에게 유용할 수 있습니다. 일반 교육 학교준비 중 제어 작업및 시험, 시험 전에 지식을 테스트할 때 부모는 수학 및 대수학의 많은 문제의 솔루션을 제어합니다. 아니면 튜터를 고용하거나 새 교과서를 구입하기에는 너무 비쌀까요? 아니면 가능한 한 빨리 끝내고 싶습니까? 숙제수학 또는 대수학? 이 경우 자세한 솔루션과 함께 프로그램을 사용할 수도 있습니다.
따라서, 당신은 당신의 자신의 훈련해결해야 할 과제 분야의 교육 수준이 높아지는 동안 남동생의 훈련 및 / 또는 훈련.
제곱 다항식을 입력하는 규칙에 익숙하지 않은 경우 해당 규칙을 숙지하는 것이 좋습니다.
제곱 다항식 입력 규칙
모든 라틴 문자는 변수 역할을 할 수 있습니다.
예: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) 등
숫자는 정수 또는 분수로 입력할 수 있습니다.
또한, 분수는 소수의 형태뿐만 아니라 일반 분수의 형태로도 입력할 수 있습니다.
소수점 이하 자릿수 입력 규칙.
소수 부분에서 정수의 소수 부분은 점이나 쉼표로 구분할 수 있습니다.
예를 들어 다음과 같이 소수를 입력할 수 있습니다. 2.5x - 3.5x^2
일반 분수 입력 규칙.
정수만 분수의 분자, 분모 및 정수 부분으로 작용할 수 있습니다.
분모는 음수가 될 수 없습니다.
분수를 입력할 때 분자는 나누기 기호로 분모와 구분됩니다. /
정수 부분은 앰퍼샌드로 분수와 구분됩니다. &
입력: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
결과: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
표현식을 입력할 때 괄호를 사용할 수 있습니다. 이 경우 이차방정식을 풀 때 도입한 식을 먼저 단순화한다.
예: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
결정하다
이 작업을 해결하는 데 필요한 일부 스크립트가 로드되지 않았으며 프로그램이 작동하지 않을 수 있습니다.
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약간의 이론.
이차방정식과 그 근. 불완전한 이차 방정식
각 방정식
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
형태를 갖는다
\(ax^2+bx+c=0, \)
여기서 x는 변수이고 a, b 및 c는 숫자입니다.
첫 번째 방정식에서 a = -1, b = 6 및 c = 1.4, 두 번째 방정식에서 a = 8, b = -7 및 c = 0, 세 번째 방정식에서 a = 1, b = 0 및 c = 4/9입니다. 이러한 방정식을 이차방정식.
정의.
이차 방정식 ax 2 +bx+c=0 형식의 방정식이 호출됩니다. 여기서 x는 변수이고 a, b 및 c는 일부 숫자이고 \(a \neq 0 \)입니다.
숫자 a, b 및 c는 이차 방정식의 계수입니다. 숫자 a는 첫 번째 계수, 숫자 b는 두 번째 계수, 숫자 c는 절편입니다.
형식 ax 2 +bx+c=0(여기서 \(a \neq 0 \))의 각 방정식에서 변수 x의 최대 거듭제곱은 제곱입니다. 따라서 이름: 이차 방정식.
이차방정식은 좌변이 2차 다항식이므로 2차방정식이라고도 합니다.
x 2에서의 계수가 1인 이차방정식을 감소된 이차 방정식. 예를 들어, 주어진 이차 방정식은 다음 방정식입니다.
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
이차 방정식에서 ax 2 +bx+c=0 계수 b 또는 c 중 적어도 하나가 0이면 이러한 방정식을 호출합니다. 불완전한 이차 방정식. 따라서 방정식 -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0은 불완전한 이차 방정식입니다. 첫 번째는 b=0, 두 번째는 c=0, 세 번째는 b=0, c=0입니다.
불완전한 이차 방정식은 세 가지 유형이 있습니다.
1) ax 2 +c=0, 여기서 \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, 여기서 \(b \neq 0 \);
3) x2=0.
이러한 각 유형의 방정식 솔루션을 고려하십시오.
\(c \neq 0 \)에 대해 ax 2 +c=0 형식의 불완전한 이차 방정식을 풀기 위해 자유항을 오른쪽으로 옮기고 방정식의 두 부분을 모두 a로 나눕니다.
\(x^2 = -\frac(c)(a) \오른쪽 화살표 x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
\(c \neq 0 \)이므로 \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
\(-\frac(c)(a)>0 \)이면 방정식에 두 개의 근이 있습니다.
\(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \)에 대해 형식 ax 2 +bx=0의 불완전한 이차 방정식을 풀려면 좌변을 인수분해하여 다음 방정식을 얻습니다.
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (배열)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)
따라서 \(b \neq 0 \)에 대해 ax 2 +bx=0 형식의 불완전한 이차 방정식은 항상 두 개의 근을 가집니다.
ax 2 \u003d 0 형식의 불완전한 이차 방정식은 방정식 x 2 \u003d 0과 동일하므로 단일 루트 0을 갖습니다.
이차 방정식의 근에 대한 공식
이제 미지수와 자유 항의 계수가 모두 0이 아닌 2차 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다.
우리는 일반적인 형태로 이차방정식을 풀고 그 결과 근의 공식을 얻습니다. 그런 다음 이 공식을 적용하여 모든 이차 방정식을 풀 수 있습니다.
이차방정식 풀기 ax 2 +bx+c=0
두 부분을 a로 나누면 등가 축소 이차 방정식을 얻습니다.
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
이항식의 제곱을 강조 표시하여 이 방정식을 변환합니다.
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \오른쪽 화살표 \)
루트 표현은 이차 방정식의 판별식 ax 2 +bx+c=0 (라틴어로 "판별" - 구분자). 문자 D로 표시됩니다.
\(D = b^2-4ac\)
이제 판별식 표기법을 사용하여 이차 방정식의 근에 대한 공식을 다시 작성합니다.
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), 여기서 \(D= b^2-4ac \)
그것은 명백하다:
1) D>0이면 이차 방정식은 두 개의 근을 가집니다.
2) D=0이면 이차방정식은 하나의 근 \(x=-\frac(b)(2a)\)을 가집니다.
3) D이면 판별식의 값에 따라 이차방정식은 두 개의 근(D > 0의 경우), 하나의 근(D = 0의 경우) 또는 근이 없을 수 있습니다(D의 경우 이 공식을 사용하여 이차 방정식을 풀 때 , 다음과 같은 방법을 수행하는 것이 좋습니다.
1) 판별식을 계산하고 0과 비교합니다.
2) 판별식이 양수이거나 0이면 근 공식을 사용하고 판별식이 음수이면 근이 없다고 기록하십시오.
비에타의 정리
주어진 이차 방정식 ax 2 -7x+10=0은 근 2와 5를 가집니다. 근의 합은 7이고 곱은 10입니다. 근의 합은 두 번째 계수와 같습니다. 부호가 반대이고 근의 곱은 자유 항과 같습니다. 근이 있는 축소된 이차 방정식은 이 속성을 가집니다.
주어진 이차 방정식의 근의 합은 반대 부호로 취한 두 번째 계수와 같고 근의 곱은 자유 항과 같습니다.
저것들. Vieta의 정리는 축소된 이차 방정식 x 2 +px+q=0의 근 x 1 및 x 2가 다음 속성을 갖는다고 말합니다.
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
이 주제는 많은 문제로 인해 처음에는 어려워 보일 수 있습니다. 간단한 공식. 이차방정식 자체에 긴 항목이 있을 뿐만 아니라 판별식을 통해 근도 찾을 수 있습니다. 총 3개의 새로운 공식이 있습니다. 기억하기 쉽지 않습니다. 이것은 그러한 방정식의 빈번한 해결 후에만 가능합니다. 그러면 모든 수식이 저절로 기억됩니다.
이차 방정식의 일반 보기
여기서 가장 큰 정도가 먼저 쓰여진 다음 내림차순으로 쓰여질 때 명시적인 표기법이 제안됩니다. 종종 용어가 분리되는 상황이 있습니다. 그런 다음 변수의 차수가 내림차순으로 방정식을 다시 작성하는 것이 좋습니다.
표기법을 소개합니다. 아래 표에 나와 있습니다.
이러한 표기법을 수락하면 모든 이차 방정식이 다음 표기법으로 축소됩니다.
또한 계수 a ≠ 0입니다. 이 공식을 1로 표시하십시오.
방정식이 주어지면 답에 몇 개의 근이 있는지 명확하지 않습니다. 세 가지 옵션 중 하나가 항상 가능하기 때문입니다.
- 솔루션에는 두 개의 루트가 있습니다.
- 대답은 하나의 숫자입니다.
- 방정식에는 근이 전혀 없습니다.
그리고 결정이 끝나지는 않았지만 특정 경우에 어떤 옵션이 떨어질지 이해하기 어렵습니다.
이차 방정식의 기록 유형
작업에는 다른 항목이 있을 수 있습니다. 항상 이차 방정식의 일반 공식처럼 보이지는 않습니다. 때로는 일부 용어가 부족합니다. 위에 쓰여진 것은 완전한 방정식입니다. 두 번째 또는 세 번째 항을 제거하면 다른 것을 얻습니다. 이러한 레코드는 2차 방정식이라고도 하며 불완전할 뿐입니다.
또한 계수 "b" 및 "c"가 사라질 수 있는 항만 있습니다. 숫자 "a"는 어떤 상황에서도 0과 같을 수 없습니다. 이 경우 수식이 선형 방정식으로 바뀌기 때문입니다. 방정식의 불완전한 형태에 대한 공식은 다음과 같습니다.
따라서 완전한 것 외에도 불완전한 이차 방정식도 있습니다. 첫 번째 수식을 숫자 2로 하고 두 번째 수식을 3으로 합니다.
판별식과 그 값에 대한 뿌리 수의 의존성
방정식의 근을 계산하려면 이 숫자를 알아야 합니다. 이차 방정식의 공식이 무엇이든 관계없이 항상 계산할 수 있습니다. 판별식을 계산하려면 아래에 쓰여진 등식을 사용해야 합니다. 그러면 숫자 4가 됩니다.
계수의 값을 이 공식에 대입하면 다음과 같이 숫자를 얻을 수 있습니다. 다른 징후. 답이 '예'이면 방정식의 답은 두 개의 서로 다른 근이 됩니다. 음수를 사용하면 이차 방정식의 근이 없습니다. 0과 같으면 답은 1이 됩니다.
완전한 이차방정식은 어떻게 풀까요?
사실, 이 문제에 대한 고려는 이미 시작되었습니다. 먼저 판별식을 찾아야 하기 때문입니다. 이차 방정식의 근이 있고 그 수를 알고 있으면 변수에 대한 공식을 사용해야 합니다. 근이 두 개인 경우 이러한 공식을 적용해야 합니다.
"±" 기호가 포함되어 있으므로 두 개의 값이 있습니다. 제곱근 기호 아래의 식은 판별식입니다. 따라서 수식을 다른 방식으로 다시 작성할 수 있습니다.
포뮬러 5. 동일한 레코드에서 판별식이 0이면 두 근이 동일한 값을 취하는 것을 볼 수 있습니다.
이차 방정식의 해가 아직 해결되지 않은 경우 판별 및 변수 공식을 적용하기 전에 모든 계수의 값을 기록하는 것이 좋습니다. 나중에 이 순간은 어려움을 일으키지 않을 것입니다. 그러나 처음에는 혼란이 있습니다.
불완전한 이차방정식은 어떻게 풀까?
여기서 모든 것이 훨씬 간단합니다. 추가 공식이 필요하지 않습니다. 판별식과 미지식에 대해 이미 작성된 항목은 필요하지 않습니다.
먼저 불완전한 방정식 2를 고려하십시오. 이 등식에서는 괄호에서 알 수 없는 값을 꺼내고 괄호 안에 남아 있는 선형 방정식을 풀어야 합니다. 대답에는 두 개의 뿌리가 있습니다. 변수 자체로 구성된 요인이 있기 때문에 첫 번째는 반드시 0과 같습니다. 두 번째는 선형 방정식을 풀어서 얻습니다.
세 번째의 불완전한 방정식은 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 숫자를 옮기면 해결됩니다. 그런 다음 미지수 앞의 계수로 나누어야 합니다. 제곱근을 추출하는 것만 남아 있으며 반대 기호로 두 번 적어 두는 것을 잊지 마십시오.
다음은 이차 방정식으로 바뀌는 모든 종류의 등식을 푸는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 작업입니다. 그들은 학생이 부주의로 인한 실수를 피하도록 도울 것입니다. 이러한 단점은 광범위한 주제인 "Quadric Equations (Grade 8)"을 공부할 때 낮은 성적을 받는 원인입니다. 결과적으로 이러한 작업을 지속적으로 수행할 필요가 없습니다. 안정적인 습관이 생기기 때문입니다.
- 먼저 방정식을 표준 형식으로 작성해야 합니다. 즉, 먼저 변수의 차수가 가장 큰 항, 차수가 없는 항, 마지막 항은 그냥 숫자입니다.
- 계수 "a" 앞에 마이너스가 나타나면 초보자가 이차 방정식을 공부하는 작업이 복잡해질 수 있습니다. 그것을 제거하는 것이 좋습니다. 이를 위해 모든 동등성에 "-1"을 곱해야 합니다. 이것은 모든 용어가 반대 부호로 변경됨을 의미합니다.
- 같은 방식으로 분수를 제거하는 것이 좋습니다. 분모가 상쇄되도록 방정식에 적절한 인수를 곱하기만 하면 됩니다.
예
다음 이차 방정식을 푸는 데 필요합니다.
x 2-7x \u003d 0;
15-2x-x 2 \u003d 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
첫 번째 방정식 : x 2 - 7x \u003d 0. 불완전하므로 공식 2 번에 설명 된대로 해결됩니다.
브라케팅 후 x (x-7) \u003d 0으로 밝혀졌습니다.
첫 번째 근은 x 1 = 0 값을 취합니다. 두 번째 근은 다음에서 찾을 수 있습니다. 일차 방정식: x - 7 = 0. x 2 = 7임을 쉽게 알 수 있습니다.
두 번째 등식: 5x2 + 30 = 0. 역시 불완전합니다. 세 번째 공식에 설명된 대로 해결됩니다.
방정식의 오른쪽으로 30을 옮긴 후: 5x 2 = 30. 이제 5로 나누어야 합니다. 결과는 x 2 = 6입니다. 대답은 x 1 = √6, x 2 = - √입니다. 6.
세 번째 방정식 : 15 - 2x - x 2 \u003d 0. 여기와 아래에서 이차 방정식의 해는 다음과 같이 다시 작성하여 시작됩니다. 표준 보기: - x 2 - 2x + 15 = 0. 이제 두 번째를 사용할 시간입니다. 유용한 조언모든 것에 마이너스 1을 곱합니다. x 2 + 2x-15 \u003d 0으로 밝혀졌습니다. 네 번째 공식에 따르면 판별식을 계산해야 합니다. 정수. 위에서 말한 것에서 방정식에는 두 개의 근이 있음이 밝혀졌습니다. 다섯 번째 공식에 따라 계산해야 합니다. 그것에 따르면 x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2로 밝혀졌습니다. 그러면 x 1 \u003d 3, x 2 \u003d -5입니다.
네 번째 방정식 x 2 + 8 + 3x \u003d 0은 다음과 같이 변환됩니다. x 2 + 3x + 8 \u003d 0. 판별식은 -23 값과 같습니다. 이 숫자는 음수이므로 이 작업에 대한 답은 "루트가 없습니다."입니다.
다섯 번째 방정식 12x + x 2 + 36 = 0은 다음과 같이 다시 작성해야 합니다. x 2 + 12x + 36 = 0. 판별 공식을 적용한 후 숫자 0을 얻습니다. 이것은 하나의 루트, 즉 x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6을 갖게됨을 의미합니다.
여섯 번째 방정식 (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)는 괄호를 열기 전에 유사한 용어를 가져와야 한다는 사실로 구성된 변환이 필요합니다. 첫 번째 대신 x 2 + 2x + 1과 같은 표현이 있습니다. 등식 후에는 x 2 + 3x + 2 항목이 나타납니다. 유사한 용어를 세면 방정식은 x 2 형식을 취합니다. -x \u003d 0. 불완전해졌습니다. 그것과 유사하게 이미 조금 더 높은 것으로 간주되었습니다. 이것의 근은 숫자 0과 1이 될 것입니다.
안에 현대 사회제곱 변수를 포함하는 방정식으로 작동하는 기능은 많은 활동 영역에서 유용할 수 있으며 실제로 과학 및 기술 개발에서 널리 사용됩니다. 이것은 해상 및 강 선박, 항공기 및 미사일의 설계로 입증될 수 있습니다. 이러한 계산을 통해 우주 물체를 포함한 다양한 신체의 이동 궤적이 결정됩니다. 이차방정식의 해법을 사용한 예는 경제 예측, 건물 설계 및 건설뿐만 아니라 가장 일상적인 일상 상황에서도 사용됩니다. 하이킹 여행에 필요할 수 있습니다. 스포츠, 상점에서 쇼핑할 때 및 기타 매우 일반적인 상황에서.
표현을 구성 요소로 나누자
방정식의 차수는 주어진 식이 포함하는 변수 차수의 최대값에 의해 결정됩니다. 2와 같으면 이러한 방정식을 2차 방정식이라고 합니다.
우리가 수식의 언어로 말하면, 이러한 표현은 어떻게 보이든 항상 표현의 왼쪽이 세 개의 용어로 구성될 때 형식으로 가져올 수 있습니다. 그중에는 ax 2(즉, 계수가 제곱된 변수), bx(계수가 있는 제곱이 없는 미지수) 및 c(자유 구성 요소, 즉 일반 숫자)가 있습니다. 이 모든 것은 우변에서 0과 같으며, 이러한 다항식에 ax 2를 제외하고 구성항이 하나도 없는 경우를 불완전 이차방정식이라고 합니다. 변수의 값을 찾기 어렵지 않은 이러한 문제를 해결한 예를 먼저 생각해야 한다.
식의 오른쪽에 두 개의 항, 더 정확하게는 ax 2와 bx가 있는 것처럼 보이면 변수를 괄호로 묶어 x를 찾는 것이 가장 쉽습니다. 이제 방정식은 다음과 같습니다: x(ax+b). 또한 x=0이거나 ax+b=0이라는 식에서 변수를 찾는 문제로 축소된다는 것이 명백해집니다. 이것은 곱셈의 속성 중 하나에 의해 결정됩니다. 규칙에 따르면 두 요인의 곱은 그중 하나가 0인 경우에만 0이 됩니다.
예
x=0 또는 8x - 3 = 0
결과적으로 방정식의 두 근인 0과 0.375를 얻습니다.
이러한 종류의 방정식은 특정 지점에서 시작하여 원점으로 이동하기 시작한 중력의 작용 하에서 물체의 움직임을 설명할 수 있습니다. 여기서 수학적 표기법은 다음 형식을 취합니다. y = v 0 t + gt 2 /2. 대체 필수 값, 우변을 0과 동일시하고 가능한 미지수를 찾으면 몸이 일어나는 순간부터 떨어지는 순간까지의 경과 시간과 다른 많은 양을 알 수 있습니다. 그러나 이것에 대해서는 나중에 이야기하겠습니다.
표현식 인수분해
위에서 설명한 규칙을 통해 이러한 문제를 해결할 수 있습니다. 어려운 경우. 이 유형의 이차 방정식 솔루션의 예를 고려하십시오.
X2 - 33x + 200 = 0
이 제곱 삼항식이 완성되었습니다. 먼저 식을 변환하고 인수로 분해합니다. (x-8)과 (x-25) = 0의 두 가지가 있습니다. 결과적으로 두 개의 루트 8과 25가 있습니다.
9등급의 이차방정식 해법을 사용한 예를 통해 이 방법은 2차뿐만 아니라 3차 및 4차 식에서도 변수를 찾을 수 있습니다.
예: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0 우변을 변수로 인수분해할 때 세 개가 있습니다. 즉, (x + 1), (x-3) 및 (x + 삼).
결과적으로 이 방정식에는 세 개의 근이 있음이 분명해집니다. -3; -1; 삼.
제곱근 추출
불완전한 2차 방정식의 또 다른 경우는 우변이 구성 요소 ax 2와 c로 구성되는 방식으로 문자 언어로 작성된 표현식입니다. 여기서 변수의 값을 구하기 위해서는 자유항을 우변으로 옮긴 후 등식의 양변에서 제곱근을 추출한다. 에서 이 경우일반적으로 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 유일한 예외는 변수가 0인 용어 c를 전혀 포함하지 않는 등식과 우변이 음수로 판명될 때 표현의 변형입니다. 후자의 경우 위의 작업을 루트로 수행할 수 없으므로 솔루션이 전혀 없습니다. 이러한 유형의 2차 방정식에 대한 솔루션의 예를 고려해야 합니다.
이 경우 방정식의 근은 숫자 -4와 4가 됩니다.
토지 면적 계산
이러한 종류의 계산의 필요성은 고대에 나타났습니다. 그 먼 시대의 수학 발전은 주로 토지 플롯의 면적과 둘레를 가장 정확하게 결정할 필요가 있었기 때문입니다.
우리는 또한 이러한 종류의 문제를 기반으로 컴파일된 이차방정식의 해법에 대한 예를 고려해야 합니다.
길이가 너비보다 16미터 더 긴 직사각형의 땅이 있다고 가정해 봅시다. 해당 면적이 612m 2 인 것으로 알려진 경우 사이트의 길이, 너비 및 둘레를 찾아야 합니다.
사업을 시작하면서 먼저 필요한 방정식을 만들 것입니다. 섹션의 너비를 x로 표시하면 길이는 (x + 16)이 됩니다. 면적은 문제의 조건에 따라 612 인 x (x + 16) 표현에 의해 결정됩니다. 이것은 x (x + 16) \u003d 612를 의미합니다.
완전한 이차방정식의 해, 그리고 이 표현은 같은 방식으로 수행될 수 없습니다. 왜? 그것의 좌변에는 여전히 두 개의 인수가 포함되어 있지만 이들의 곱은 전혀 0이 아니므로 여기서는 다른 방법을 사용합니다.
판별식
우선 필요한 변형을 한 다음 모습이 식은 다음과 같습니다. x 2 + 16x - 612 = 0. 이는 이전에 지정된 표준에 해당하는 형식의 식을 수신했음을 의미합니다. 여기서 a=1, b=16, c=-612입니다.
이것은 판별식을 통해 이차 방정식을 푸는 예가 될 수 있습니다. 여기서 필요한 계산은 계획에 따라 수행됩니다. D = b 2 - 4ac. 이 보조 값은 2차 방정식에서 원하는 값을 찾을 수 있게 할 뿐만 아니라 숫자를 결정합니다. 옵션. D>0인 경우에는 두 개가 있습니다. D=0의 경우 하나의 루트가 있습니다. 경우 D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
뿌리와 그 공식에 대하여
이 경우 판별식은 256 - 4(-612) = 2704입니다. 이는 문제에 답이 있음을 나타냅니다. to를 안다면 이차 방정식의 해는 아래 공식을 사용하여 계속되어야 합니다. 근을 계산할 수 있습니다.
이는 제시된 사례에서 x 1 =18, x 2 =-34를 의미합니다. 이 딜레마의 두 번째 옵션은 토지 플롯의 크기를 음수 값으로 측정할 수 없기 때문에 솔루션이 될 수 없습니다. 즉, x(즉, 플롯의 너비)는 18m입니다.여기에서 길이를 계산합니다 18+16=34, 둘레 2(34+ 18) = 104(m 2).
예제 및 작업
우리는 이차 방정식에 대한 연구를 계속합니다. 몇 가지 예와 자세한 솔루션이 아래에 제공됩니다.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
모든 것을 평등의 왼쪽으로 옮기고 변환을 수행합니다. 즉, 일반적으로 표준 방정식이라고하는 방정식의 형식을 얻고 0과 동일시합니다.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
비슷한 것을 추가하면 판별자를 결정합니다. D \u003d 49-48 \u003d 1. 따라서 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 위 공식에 따라 계산합니다. 즉, 첫 번째는 4/3이고 두 번째는 1입니다.
2) 이제 다른 종류의 수수께끼를 공개하겠습니다.
여기에 근 x 2 - 4x + 5 = 1이 있는지 알아봅시다. 철저한 답을 얻기 위해 다항식을 해당 친숙한 형식으로 가져와 판별식을 계산합니다. 이 예에서는 문제의 본질이 전혀 없기 때문에 이차 방정식을 풀 필요가 없습니다. 이 경우 D \u003d 16-20 \u003d -4는 실제로 뿌리가 없음을 의미합니다.
비에타의 정리
위 식과 판별식을 통해 이차방정식을 푸는 것은 후자의 값에서 제곱근을 추출할 때 편리하다. 그러나 이것이 항상 일어나는 것은 아닙니다. 그러나 이 경우 변수의 값을 얻는 방법은 여러 가지가 있습니다. 예: Vieta의 정리를 사용하여 이차방정식 풀기. 16세기 프랑스에 살면서 수학적 재능과 궁정 인맥 덕분에 화려한 경력을 쌓은 남자의 이름을 따서 명명되었습니다. 그의 초상화는 기사에서 볼 수 있습니다.
유명한 프랑스인이 알아차린 패턴은 다음과 같습니다. 그는 방정식의 근의 합이 -p=b/a와 같고 그 곱이 q=c/a에 해당함을 증명했습니다.
이제 특정 작업을 살펴보겠습니다.
3x2 + 21x - 54 = 0
간단히 하기 위해 식을 변환해 보겠습니다.
x 2 + 7x - 18 = 0
Vieta 정리를 사용하면 근의 합은 -7이고 곱은 -18입니다. 여기에서 방정식의 근은 숫자 -9와 2라는 것을 알 수 있습니다. 확인을 마친 후 변수의 이러한 값이 실제로 표현식에 맞는지 확인합니다.
포물선의 그래프와 방정식
이차 함수와 이차 방정식의 개념은 밀접하게 관련되어 있습니다. 이에 대한 예는 이전에 이미 제공되었습니다. 이제 몇 가지 수학적 퍼즐을 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 설명된 유형의 모든 방정식을 시각적으로 표현할 수 있습니다. 그래프 형태로 그려진 이러한 종속성을 포물선이라고 합니다. 다양한 유형이 아래 그림에 나와 있습니다.
모든 포물선에는 정점, 즉 가지가 나오는 지점이 있습니다. a>0이면 무한대까지 올라가고 a일 때<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
함수의 시각적 표현은 2차 방정식을 포함한 모든 방정식을 푸는 데 도움이 됩니다. 이 방법을 그래픽이라고 합니다. 그리고 x 변수의 값은 그래프 선이 0x와 교차하는 지점의 가로 좌표입니다. 꼭지점의 좌표는 방금 주어진 x 0 = -b / 2a 공식으로 찾을 수 있습니다. 그리고 결과 값을 함수의 원래 방정식에 대입하면 y 0, 즉 y축에 속하는 포물선 꼭지점의 두 번째 좌표를 알 수 있습니다.
횡축과 포물선 가지의 교차점
이차방정식의 해법에 대한 예가 많이 있지만 일반적인 패턴도 있습니다. 그들을 고려해 봅시다. a>0에 대한 0x 축과 그래프의 교차는 y 0이 음수 값을 취하는 경우에만 가능하다는 것이 분명합니다. 그리고<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. 그렇지 않으면 D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
포물선 그래프에서 근을 결정할 수도 있습니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 즉, 이차함수를 시각적으로 표현하기가 쉽지 않다면 식의 우변을 0으로 대입하여 방정식을 풀면 됩니다. 그리고 0x 축과의 교차점을 알면 플롯하기가 더 쉽습니다.
역사에서
제곱 변수를 포함하는 방정식의 도움으로 예전에는 수학적 계산을 수행하고 기하학적 모양의 영역을 결정했습니다. 고대인들은 물리학 및 천문학 분야의 장대 한 발견과 점성술 예측을 위해 그러한 계산이 필요했습니다.
현대 과학자들이 시사하듯이, 바빌론의 주민들은 이차방정식을 처음으로 풀었습니다. 그것은 우리 시대가 도래하기 4세기 전에 일어났습니다. 물론 그들의 계산은 현재 받아들여지는 것과 근본적으로 달랐고 훨씬 더 원시적인 것으로 밝혀졌다. 예를 들어, 메소포타미아 수학자들은 음수의 존재에 대해 전혀 몰랐습니다. 그들은 또한 우리 시대의 모든 학생에게 알려진 다른 미묘함에 익숙하지 않았습니다.
아마도 Baudhayama 인도의 현자 인 Babylon의 과학자들보다 더 일찍 이차 방정식의 해를 취했습니다. 이것은 그리스도 시대가 도래하기 약 8세기 전에 일어난 일입니다. 사실, 그가 제시한 해결 방법인 2차 방정식이 가장 간단했습니다. 그 외에도 옛날 중국 수학자들도 비슷한 문제에 관심을 보였다. 유럽에서는 2차 방정식이 13세기 초에야 풀리기 시작했지만 나중에는 Newton, Descartes 등과 같은 위대한 과학자들이 작업에 사용했습니다.
