이차 방정식의 근은 공식으로 계산됩니다. 이차방정식 풀기: 근식, 예

이차 방정식은 a*x^2 +b*x+c=0 형식의 방정식입니다. 여기서 a,b,c는 임의의 실수(실수)이고 x는 변수입니다. 그리고 숫자 a=0.

숫자 a,b,c를 계수라고 합니다. 숫자 a -를 선행 계수라고 하고, 숫자 b는 x에 있는 계수이고 숫자 c를 자유 멤버라고 합니다.

이차방정식 풀기

이차 방정식을 푸는 것은 모든 근을 찾거나 이차 방정식에 근이 없다는 사실을 확립하는 것을 의미합니다. 이차 방정식 a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0의 근은 제곱 삼항식 a * x ^ 2 + b * x + c가 사라지는 변수 x의 값입니다. 때때로 이러한 x 값을 제곱 삼항식의 근이라고 합니다.

이차 방정식을 푸는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 가장 다재다능한 것 중 하나를 고려하십시오. 모든 이차 방정식을 푸는 데 사용할 수 있습니다.

이차방정식 풀이 공식

이차 방정식의 근에 대한 공식은 a*x^2 +b*x+c=0입니다.

x=(-b±√D)/(2*a), 여기서 D =b^2-4*a*c.

이 공식은 a*x^2 +b*x+c=0 방정식을 풀면 얻을 수 있습니다. 일반적인 견해, 이항의 제곱을 선택하여.

이차방정식의 근의 공식에서 D(b^2-4*a*c)라는 표현을 이차방정식 a*x^2 +b*x+c=0의 판별식이라고 합니다. 이 이름은 "distinguisher"로 번역된 라틴어에서 유래되었습니다. 판별식의 값에 따라 이차방정식은 근이 2개 또는 1개이거나 근이 전혀 없습니다.

판별식이 0보다 크면그러면 이차 방정식은 두 개의 근을 갖습니다. (x=(-b±√D)/(2*a))

판별식이 0이면,그러면 이차 방정식은 하나의 근을 갖습니다. (x=(-b/(2*a))

판별식이 음수이면그러면 이차 방정식에는 근이 없습니다.

이차 방정식을 풀기 위한 일반 알고리즘

위의 내용을 기반으로 다음 공식을 사용하여 2차 방정식 a*x^2 +b*x+c=0을 풀기 위한 일반 알고리즘을 공식화합니다.

1. 공식 D =b^2-4*a*c를 사용하여 판별식의 값을 찾습니다.

2. 판별식 값에 따라 다음 공식을 사용하여 근을 계산합니다.

디<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

이 알고리즘은 보편적이며 모든 2차 방정식을 푸는 데 적합합니다. 완전한 것과 불완전한 것, 인용된 것과 인용되지 않은 것.

이 주제는 많은 문제로 인해 처음에는 어려워 보일 수 있습니다. 간단한 공식. 이차방정식 자체에 긴 항목이 있을 뿐만 아니라 판별식을 통해 근도 찾을 수 있습니다. 총 3개의 새로운 공식이 있습니다. 기억하기 쉽지 않습니다. 이것은 그러한 방정식의 빈번한 해결 후에만 가능합니다. 그러면 모든 수식이 저절로 기억됩니다.

이차 방정식의 일반 보기

여기서 가장 큰 정도가 먼저 쓰여진 다음 내림차순으로 쓰여질 때 명시적인 표기법이 제안됩니다. 종종 용어가 분리되는 상황이 있습니다. 그런 다음 변수의 차수가 내림차순으로 방정식을 다시 작성하는 것이 좋습니다.

표기법을 소개합니다. 아래 표에 나와 있습니다.

이러한 표기법을 수락하면 모든 이차 방정식이 다음 표기법으로 축소됩니다.

또한 계수 a ≠ 0입니다. 이 공식을 1로 표시하십시오.

방정식이 주어지면 답에 몇 개의 근이 있는지 명확하지 않습니다. 세 가지 옵션 중 하나가 항상 가능하기 때문입니다.

• 솔루션에는 두 개의 루트가 있습니다.
• 대답은 하나의 숫자입니다.
• 방정식에는 근이 전혀 없습니다.

그리고 결정이 끝나지는 않았지만 특정 경우에 어떤 옵션이 떨어질지 이해하기 어렵습니다.

이차 방정식의 기록 유형

작업에는 다른 항목이 있을 수 있습니다. 항상 이차 방정식의 일반 공식처럼 보이지는 않습니다. 때로는 일부 용어가 부족합니다. 위에 쓰여진 것은 완전한 방정식입니다. 두 번째 또는 세 번째 항을 제거하면 다른 것을 얻습니다. 이러한 레코드는 2차 방정식이라고도 하며 불완전할 뿐입니다.

또한 계수 "b" 및 "c"가 사라질 수 있는 항만 있습니다. 숫자 "a"는 어떤 상황에서도 0과 같을 수 없습니다. 이 경우 공식이 되기 때문에 일차 방정식. 방정식의 불완전한 형태에 대한 공식은 다음과 같습니다.

따라서 완전한 것 외에도 불완전한 이차 방정식도 있습니다. 첫 번째 수식을 숫자 2로 하고 두 번째 수식을 3으로 합니다.

판별식과 그 값에 대한 뿌리 수의 의존성

방정식의 근을 계산하려면 이 숫자를 알아야 합니다. 이차 방정식의 공식이 무엇이든 관계없이 항상 계산할 수 있습니다. 판별식을 계산하려면 아래에 쓰여진 등식을 사용해야 합니다. 그러면 숫자 4가 됩니다.

계수의 값을 이 공식에 대입하면 다음과 같이 숫자를 얻을 수 있습니다. 다른 징후. 답이 '예'이면 방정식의 답은 두 개의 서로 다른 근이 됩니다. 음수를 사용하면 이차 방정식의 근이 없습니다. 0과 같으면 답은 1이 됩니다.

완전한 이차방정식은 어떻게 풀까요?

사실, 이 문제에 대한 고려는 이미 시작되었습니다. 먼저 판별식을 찾아야 하기 때문입니다. 이차 방정식의 근이 있고 그 수를 알고 있으면 변수에 대한 공식을 사용해야 합니다. 근이 두 개인 경우 이러한 공식을 적용해야 합니다.

"±" 기호가 포함되어 있으므로 두 개의 값이 있습니다. 제곱근 기호 아래의 식은 판별식입니다. 따라서 수식을 다른 방식으로 다시 작성할 수 있습니다.

포뮬러 5. 동일한 레코드에서 판별식이 0이면 두 근이 동일한 값을 취하는 것을 볼 수 있습니다.

이차 방정식의 해가 아직 해결되지 않은 경우 판별 및 변수 공식을 적용하기 전에 모든 계수의 값을 기록하는 것이 좋습니다. 나중에 이 순간은 어려움을 일으키지 않을 것입니다. 그러나 처음에는 혼란이 있습니다.

불완전한 이차방정식은 어떻게 풀까?

여기서 모든 것이 훨씬 간단합니다. 추가 공식이 필요하지 않습니다. 판별식과 미지식에 대해 이미 작성된 항목은 필요하지 않습니다.

먼저 불완전한 방정식 2를 고려하십시오. 이 등식에서는 괄호에서 알 수 없는 값을 꺼내고 괄호 안에 남아 있는 선형 방정식을 풀어야 합니다. 대답에는 두 개의 뿌리가 있습니다. 변수 자체로 구성된 요인이 있기 때문에 첫 번째는 반드시 0과 같습니다. 두 번째는 선형 방정식을 풀어서 얻습니다.

세 번째의 불완전한 방정식은 방정식의 왼쪽에서 오른쪽으로 숫자를 옮기면 해결됩니다. 그런 다음 미지수 앞의 계수로 나누어야 합니다. 제곱근을 추출하는 것만 남아 있으며 반대 기호로 두 번 적어 두는 것을 잊지 마십시오.

다음은 이차 방정식으로 바뀌는 모든 종류의 등식을 푸는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 작업입니다. 그들은 학생이 부주의로 인한 실수를 피하도록 도울 것입니다. 이러한 단점은 광범위한 주제인 "Quadric Equations (Grade 8)"을 공부할 때 낮은 성적을 받는 원인입니다. 결과적으로 이러한 작업을 지속적으로 수행할 필요가 없습니다. 안정적인 습관이 생기기 때문입니다.

• 먼저 방정식을 표준 형식으로 작성해야 합니다. 즉, 먼저 변수의 차수가 가장 큰 항, 차수가 없는 항, 마지막 항은 그냥 숫자입니다.

• 계수 "a" 앞에 마이너스가 나타나면 초보자가 이차 방정식을 공부하는 작업이 복잡해질 수 있습니다. 그것을 제거하는 것이 좋습니다. 이를 위해 모든 동등성에 "-1"을 곱해야 합니다. 이것은 모든 용어가 반대 부호로 변경됨을 의미합니다.

• 같은 방식으로 분수를 제거하는 것이 좋습니다. 분모가 상쇄되도록 방정식에 적절한 인수를 곱하기만 하면 됩니다.

예

다음 이차 방정식을 푸는 데 필요합니다.

x 2-7x \u003d 0;

15-2x-x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

첫 번째 방정식 : x 2 - 7x \u003d 0. 불완전하므로 공식 2 번에 설명 된대로 해결됩니다.

브라케팅 후 x (x-7) \u003d 0으로 밝혀졌습니다.

첫 번째 근은 x 1 \u003d 0 값을 취합니다. 두 번째 근은 선형 방정식 x-7 \u003d 0에서 찾을 수 있습니다. x 2 \u003d 7임을 쉽게 알 수 있습니다.

두 번째 등식: 5x2 + 30 = 0. 역시 불완전합니다. 세 번째 공식에 설명된 대로 해결됩니다.

방정식의 오른쪽으로 30을 옮긴 후: 5x 2 = 30. 이제 5로 나누어야 합니다. 결과는 x 2 = 6입니다. 대답은 x 1 = √6, x 2 = - √입니다. 6.

세 번째 방정식 : 15 - 2x - x 2 \u003d 0. 여기와 아래에서 이차 방정식의 솔루션은 표준 형식으로 다시 작성하여 시작됩니다. - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. 이제 두 번째 방정식을 사용할 때입니다. 유용한 조언모든 것에 마이너스 1을 곱합니다. x 2 + 2x-15 \u003d 0으로 밝혀졌습니다. 네 번째 공식에 따르면 판별식을 계산해야 합니다. 정수. 위에서 말한 것에서 방정식에는 두 개의 근이 있음이 밝혀졌습니다. 다섯 번째 공식에 따라 계산해야 합니다. 그것에 따르면 x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2로 밝혀졌습니다. 그러면 x 1 \u003d 3, x 2 \u003d -5입니다.

네 번째 방정식 x 2 + 8 + 3x \u003d 0은 다음과 같이 변환됩니다. x 2 + 3x + 8 \u003d 0. 판별식은 -23 값과 같습니다. 이 숫자는 음수이므로 이 작업에 대한 답은 "루트가 없습니다."입니다.

다섯 번째 방정식 12x + x 2 + 36 = 0은 다음과 같이 다시 작성해야 합니다. x 2 + 12x + 36 = 0. 판별 공식을 적용한 후 숫자 0을 얻습니다. 이것은 하나의 루트, 즉 x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6을 갖게 됨을 의미합니다.

여섯 번째 방정식 (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)는 괄호를 열기 전에 유사한 용어를 가져와야 한다는 사실로 구성된 변환이 필요합니다. 첫 번째 대신 x 2 + 2x + 1과 같은 표현이 있습니다. 등식 후에는 x 2 + 3x + 2 항목이 나타납니다. 유사한 용어를 세면 방정식은 x 2 형식을 취합니다. -x \u003d 0. 불완전해졌습니다. 그것과 유사하게 이미 조금 더 높은 것으로 간주되었습니다. 이것의 근은 숫자 0과 1이 될 것입니다.

이차 방정식. 판별기. 솔루션, 예.

주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강력하게 "별로..."가 아닌 분들을 위해
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)

이차방정식의 종류

이차방정식이란? 어떻게 생겼나요? 용어 이차 방정식키워드는 "정사각형".그것은 방정식에서 반드시 x 제곱이 있어야합니다. 그 외에도 방정식에는 x(1도까지)와 숫자만 있을 수 있습니다(또는 없을 수도 있습니다!). (무료 회원).그리고 2보다 큰 정도의 x가 있어서는 안됩니다.

수학 용어에서 이차 방정식은 다음 형식의 방정식입니다.

여기 a, b 및 c- 일부 숫자. b와 c-절대적으로, 그러나 ㅏ- 0이 아닌 모든 것. 예를 들어:

여기 ㅏ =1; 비 = 3; 씨 = -4

여기 ㅏ =2; 비 = -0,5; 씨 = 2,2

여기 ㅏ =-3; 비 = 6; 씨 = -18

글쎄, 당신은 아이디어를 얻을 ...

이 이차방정식의 왼쪽에는 풀세트회원. 계수가 있는 x 제곱 ㅏ,계수가 있는 x의 1승 비그리고 무료 회원

이러한 이차방정식을 완벽한.

그리고 만일 비= 0, 우리는 무엇을 얻을 것인가? 우리는 X는 1도에서 사라집니다.이것은 0을 곱하면 발생합니다.) 예를 들면 다음과 같습니다.

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

등등. 그리고 두 계수 모두 비그리고 씨 0과 같으면 더 간단합니다.

2x2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

무언가 빠진 이러한 방정식을 호출합니다. 불완전한 이차 방정식.상당히 논리적입니다.) x 제곱이 모든 방정식에 존재한다는 점에 유의하십시오.

그런데 왜 ㅏ 0이 될 수 없나요? 그리고 당신은 대신 대체 ㅏ 0입니다.) 사각형의 X가 사라집니다! 방정식은 선형이 됩니다. 그리고 그것은 다르게 수행됩니다 ...

이것이 이차 방정식의 모든 주요 유형입니다. 완전하고 불완전합니다.

이차방정식의 해.

완전한 이차방정식의 해.

이차 방정식은 풀기 쉽습니다. 공식과 명확한 간단한 규칙에 따라. 첫 번째 단계는 주어진 방정식을 표준 양식, 즉. 보기에:

방정식이 이미 이 형식으로 제공된 경우 첫 번째 단계를 수행할 필요가 없습니다.) 가장 중요한 것은 모든 계수를 올바르게 결정하는 것입니다. ㅏ, 비그리고 씨.

이차 방정식의 근을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

루트 기호 아래의 표현을 호출합니다. 판별식. 그러나 아래에서 그에 대해 자세히 알아보십시오. 보시다시피 x를 찾기 위해 다음을 사용합니다. a, b, c 만. 저것들. 이차 방정식의 계수. 신중하게 값을 대체하십시오. a, b 및 c이 공식에 넣고 세어보세요. 대리자 당신의 표시로! 예를 들어 방정식에서:

ㅏ =1; 비 = 3; 씨= -4. 여기에 다음과 같이 작성합니다.

거의 해결된 예:

이것이 답입니다.

모든 것이 매우 간단합니다. 그리고 당신은 어떻게 생각합니까, 당신은 잘못 될 수 없습니까? 그래, 어떻게...

가장 흔한 실수는 값의 표시와 혼동하는 것입니다. a, b 및 c. 또는 오히려 그들의 부호가 아니라 (어디에서 혼동해야합니까?) 근 계산 공식에 음수 값을 대체합니다. 여기에 특정 숫자가 포함된 수식의 자세한 기록이 저장됩니다. 계산에 문제가 있는 경우, 그렇게 해!

다음 예제를 해결해야 한다고 가정합니다.

여기 ㅏ = -6; 비 = -5; 씨 = -1

처음에는 거의 답을 얻지 못한다는 것을 알고 있다고 가정 해 봅시다.

게으르지 마세요. 추가 라인을 작성하는 데 30초가 소요됩니다. 그리고 오류 수 급격히 떨어질 것이다. 따라서 모든 괄호와 기호를 사용하여 자세히 작성합니다.

이렇게 세심하게 칠하는 것은 엄청나게 어려운 것 같습니다. 그러나 그것은 단지 보인다. 시도 해봐. 글쎄, 아니면 선택하십시오. 어느 것이 더 낫고 빠르거나 옳습니까? 게다가 내가 널 행복하게 해줄게. 잠시 후 모든 것을 그렇게 조심스럽게 칠할 필요가 없습니다. 제대로 될 것입니다. 특히 아래에 설명된 실제 기술을 적용하는 경우. 많은 마이너스가 있는 이 사악한 예는 오류 없이 쉽게 해결될 것입니다!

그러나 종종 이차 방정식은 약간 다르게 보입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

알고 계셨나요?) 네! 이것 불완전한 이차 방정식.

불완전한 이차방정식의 해.

일반 공식으로도 풀 수 있습니다. 여기서 동등한 것이 무엇인지 정확하게 파악하기만 하면 됩니다. a, b 및 c.

깨달았어? 첫 번째 예에서 a = 1; b = -4;ㅏ 씨? 전혀 존재하지 않습니다! 네, 맞습니다. 수학에서 이것은 다음을 의미합니다. 씨 = 0 ! 그게 다야. 대신 수식에 0을 대입하십시오. 씨,모든 것이 잘 될 것입니다. 두 번째 예와 유사합니다. 우리가 여기에 없는 유일한 0 와 함께, ㅏ 비 !

그러나 불완전한 이차 방정식은 훨씬 쉽게 풀 수 있습니다. 공식이 없습니다. 첫 번째 불완전한 방정식을 고려하십시오. 왼쪽에서 무엇을 할 수 있습니까? 괄호에서 X를 빼면 됩니다! 꺼내자.

그리고 이것은 무엇입니까? 그리고 요인 중 하나라도 0과 같은 경우에만 제품이 0과 같다는 사실! 믿을 수 없습니까? 음, 곱했을 때 0이 되는 두 개의 0이 아닌 숫자를 생각해보세요!
작동하지 않습니까? 무엇...
따라서 우리는 자신 있게 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 엑스 1 = 0, × 2 = 4.

모두. 이것이 우리 방정식의 근원이 될 것입니다. 둘 다 맞습니다. 그것들 중 하나를 원래 방정식에 대입하면 올바른 항등식 0 = 0을 얻습니다. 보시다시피 솔루션은 일반 공식보다 훨씬 간단합니다. 그건 그렇고, 어떤 X가 첫 번째이고 두 번째는 절대적으로 무관심합니다. 순서대로 쓰기 편함 × 1- 적은 것 × 2- 더 많은 것.

두 번째 방정식도 쉽게 풀 수 있습니다. 9를 오른쪽으로 이동합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

9에서 루트를 추출하는 것이 남아 있습니다. 얻다:

또한 두 개의 뿌리 . 엑스 1 = -3, × 2 = 3.

이것이 모든 불완전한 이차방정식을 푸는 방법입니다. 대괄호에서 X를 빼거나 단순히 숫자를 오른쪽으로 옮기고 근을 추출합니다.
이러한 방법을 혼동하는 것은 매우 어렵습니다. 첫 번째 경우에는 어떻게 든 이해할 수없는 X에서 루트를 추출해야하고 두 번째 경우에는 괄호에서 꺼낼 것이 없기 때문입니다 ...

판별기. 판별식.

마법의 단어 판별식 ! 희귀 한 고등학생이이 단어를 들어 본 적이 없습니다! "판별자를 통해 결정"이라는 문구는 안심하고 안심시킵니다. 판별기의 트릭을 기다릴 필요가 없기 때문입니다! 사용하기 간단하고 문제가 없습니다.) 해결을 위한 가장 일반적인 공식을 상기시켜 드립니다. 어느이차 방정식:

루트 기호 아래의 식을 판별식이라고 합니다. 판별식은 일반적으로 다음 문자로 표시됩니다. 디. 판별식:

D = b 2 - 4ac

이 표현의 특별한 점은 무엇입니까? 왜 특별한 이름을 가질 자격이 있습니까? 무엇 판별식의 의미?결국 -비,또는 2a이 공식에서 그들은 구체적으로 이름을 지정하지 않습니다 ... 문자 및 문자.

요점은 이것입니다. 이 공식을 사용하여 이차방정식을 풀 때, 딱 세 가지 경우.

1. 판별식이 양수입니다.이것은 당신이 그것에서 루트를 추출할 수 있음을 의미합니다. 뿌리를 잘 뽑느냐 못 뽑느냐는 또 다른 문제다. 원칙적으로 추출되는 것이 중요합니다. 그러면 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 두 가지 다른 솔루션.

2. 판별식이 0입니다.그러면 해결책이 하나 있습니다. 분자에서 0을 더하거나 빼도 아무 것도 변하지 않기 때문입니다. 엄밀히 말하면 단일 루트는 아니지만 두 개의 동일한. 그러나 단순화 된 버전에서는 다음과 같이 이야기하는 것이 일반적입니다. 하나의 솔루션.

3. 판별식이 음수입니다.음수는 제곱근을 취하지 않습니다. 글쎄요. 이것은 해결책이 없다는 것을 의미합니다.

솔직히 말해서, 이차방정식의 간단한 해를 사용하면 판별식의 개념이 실제로 필요하지 않습니다. 공식에서 계수 값을 대체하고 고려합니다. 거기에서 모든 것이 저절로 밝혀지고 두 개의 뿌리와 하나가 아니라 하나가 아닙니다. 그러나 더 많은 것을 풀 때 어려운 작업, 지식없이 의미와 판별식부족한. 특히 - 매개변수가 있는 방정식에서. 이러한 방정식은 GIA 및 통합 국가 시험을 위한 곡예 비행입니다!)

그래서, 이차 방정식을 푸는 방법당신이 기억하는 판별식을 통해. 또는 배운 것도 나쁘지 않습니다.) 올바르게 식별하는 방법을 알고 있습니다. a, b 및 c. 방법을 아십니까 주의 깊게그것들을 루트 공식으로 대체하고 주의 깊게결과를 계산하십시오. 당신은 그것을 이해 했습니까? 예어여기 - 세심하게?

이제 오류 수를 극적으로 줄이는 실용적인 기술에 주목하십시오. 부주의로 인한 바로 그 것 ... 그러면 고통스럽고 모욕적입니다 ...

첫 리셉션 . 이차방정식을 풀기 전에 게으르지 말고 표준형으로 만드세요. 이것은 무엇을 의미 하는가?
변환 후 다음 방정식을 얻는다고 가정합니다.

뿌리의 공식을 쓰기 위해 서두르지 마십시오! 당신은 확률을 거의 확실히 섞을 것입니다 가, 나, 다.예제를 올바르게 빌드하십시오. 먼저, x 제곱, 그 다음 정사각형 없음, 자유 멤버. 이와 같이:

그리고 다시 서두르지 마십시오! x 제곱 앞의 마이너스는 당신을 많이 화나게 할 수 있습니다. 잊어버리기 쉽습니다... 마이너스를 제거하세요. 어떻게? 예, 이전 주제에서 배운 대로! 전체 방정식에 -1을 곱해야 합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

이제 근에 대한 공식을 안전하게 기록하고 판별식을 계산하고 예제를 완성할 수 있습니다. 스스로 결정하십시오. 근 2와 -1로 끝나야 합니다.

두 번째 리셉션. 당신의 뿌리를 확인하세요! Vieta의 정리에 따르면. 걱정마세요 제가 다 설명해드리겠습니다! 확인 중 마지막 것방정식. 저것들. 우리가 근의 공식을 적어 놓은 것. (이 예에서와 같이) 계수 a = 1, 쉽게 뿌리를 확인합니다. 그것들을 곱하면 충분합니다. 무료 기간, 즉 우리의 경우 -2. 2가 아니라 -2에 주목하세요! 무료 회원 너의 사인으로 . 잘되지 않았다면 이미 어딘가에서 엉망이 된 것입니다. 오류를 찾으십시오.

잘되면 뿌리를 접을 필요가 있습니다. 마지막이자 최종 확인. 비율이어야 합니다. 비와 함께 반대 징후. 우리의 경우 -1+2 = +1입니다. 계수 비 x 앞에 있는 는 -1과 같습니다. 그래서 모든 것이 옳습니다!
계수가 있는 x제곱이 순수한 예제에 대해서만 너무 간단하다는 것이 유감입니다. a = 1.그러나 적어도 그러한 방정식을 확인하십시오! 실수가 줄어들 것입니다.

리셉션 셋째 . 방정식에 분수 계수가 있으면 분수를 제거하십시오! "방정식을 푸는 방법? 항등 변환" 단원에 설명된 대로 방정식에 공통 분모를 곱합니다. 분수, 오류로 작업할 때, 어떤 이유로, 오르다 ...

그건 그렇고, 단순화하기 위해 많은 마이너스가있는 사악한 예를 약속했습니다. 제발! 여기 있습니다.

빼기에서 혼동하지 않기 위해 방정식에 -1을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다.

그게 다야! 결정하는 재미!

주제를 요약해 보겠습니다.

실용적인 팁:

1. 해결하기 전에 이차방정식을 표준형식으로 가져와 빌드합니다. 오른쪽.

2. 사각형의 x 앞에 음의 계수가 있으면 전체 방정식에 -1을 곱하여 제거합니다.

3. 계수가 분수이면 전체 방정식에 해당 인수를 곱하여 분수를 제거합니다.

4. x 제곱이 순수하고 그에 대한 계수가 1이면 솔루션은 Vieta의 정리로 쉽게 확인할 수 있습니다. 해!

이제 결정할 수 있습니다.)

방정식 풀기:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

답변(혼란):

엑스 1 = 0
× 2 = 5

× 1.2 =2

× 1 = 2
× 2 \u003d -0.5

x - 임의의 숫자

엑스 1 = -3
× 2 = 3

솔루션 없음

× 1 = 0.25
× 2 \u003d 0.5

모든 것이 적합합니까? 엄청난! 이차방정식은 골칫거리가 아닙니다. 처음 세 개는 나왔지만 나머지는 그렇지 않습니까? 그러면 문제는 이차방정식에 있지 않습니다. 문제는 방정식의 동일한 변환에 있습니다. 링크를 보시면 도움이 됩니다.

제대로 작동하지 않습니까? 아니면 전혀 작동하지 않습니까? 그러면 Section 555가 도움이 될 것입니다. 전시 기본솔루션의 오류. 물론 다양한 방정식을 풀 때 동일한 변환을 적용하는 방법도 설명합니다. 많은 도움이 됩니다!

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"방정식 풀기" 주제의 연속으로 이 문서의 자료는 2차 방정식을 소개합니다.

이차 방정식의 본질과 표기법, 관련 용어 설정, 불완전하고 완전한 방정식을 풀기 위한 체계 분석, 근과 판별식에 대해 알아보기, 근과 계수 간의 연결 설정 등 모든 것을 자세히 살펴보겠습니다. 실용적인 예의 시각적 솔루션을 제공합니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

이차 방정식, 유형

정의 1

이차 방정식는 다음과 같이 쓰여진 방정식입니다. x 2 + b x + c = 0, 어디 엑스– 변수, a , b 및 씨몇 가지 숫자가 있는 반면 ㅏ 0이 아닙니다.

종종 2차 방정식은 2차 방정식이라고도 합니다. 사실 2차 방정식은 2차 대수 방정식이기 때문입니다.

주어진 정의를 설명하기 위해 예를 들어 보겠습니다. 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 등 이차 방정식입니다.

정의 2

숫자 a , b 및 씨이차 방정식의 계수입니다. x 2 + b x + c = 0, 계수 동안 ㅏ x 2에서 첫 번째 또는 선배 또는 계수, b - 두 번째 계수 또는 계수 엑스, ㅏ 씨무료회원이라고 합니다.

예를 들어, 이차 방정식에서 6 x 2 - 2 x - 11 = 0가장 높은 계수는 6이고 두 번째 계수는 − 2 , 무료 기간은 다음과 같습니다. − 11 . 계수가 비및/또는 c가 음수인 경우 짧은 형식형식의 기록 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, 하지만 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

또한 이 측면을 명확히 합시다. 계수가 ㅏ및/또는 비동일한 1 또는 − 1 , 그들은 표시된 수치 계수를 쓰는 특성으로 설명되는 이차 방정식을 쓰는 데 명시적인 부분을 차지하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 이차 방정식에서 y 2 − y + 7 = 0상위 계수는 1이고 두 번째 계수는 − 1 .

축소 및 축소되지 않은 이차 방정식

첫 번째 계수의 값에 따라 이차방정식은 환산식과 비환원식으로 나뉩니다.

정의 3

축소 이차 방정식는 선행 계수가 1인 이차 방정식입니다. 선행 계수의 다른 값의 경우 이차 방정식이 감소하지 않습니다.

다음은 몇 가지 예입니다. 2차 방정식 x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0은 각 방정식에서 선행 계수가 1입니다.

9 x 2 - x - 2 = 0- 환원되지 않은 이차 방정식, 여기서 첫 번째 계수는 다음과 다릅니다. 1 .

축소되지 않은 이차 방정식은 두 부분을 첫 번째 계수로 나누어 축소된 방정식으로 변환할 수 있습니다(등가 변환). 변환된 방정식은 주어진 축소되지 않은 방정식과 동일한 근을 가지거나 근이 전혀 없을 것입니다.

고려 사항 사례 연구축소되지 않은 2차 방정식에서 축소된 2차 방정식으로의 전환을 시각적으로 보여줄 수 있습니다.

예 1

주어진 방정식 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . 원래 방정식을 축소된 형식으로 변환해야 합니다.

해결책

위의 체계에 따라 원래 방정식의 두 부분을 선행 계수 6으로 나눕니다. 그런 다음 다음을 얻습니다. (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, 이는 다음과 동일합니다. (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0그리고 더: (6:6)×2+(18:6)×−7:6=0 .여기에서: x 2 + 3 x - 11 6 = 0 . 따라서 주어진 것과 동등한 방정식이 얻어진다.

답변: x 2 + 3 x - 11 6 = 0 .

완전하고 불완전한 이차방정식

이차 방정식의 정의를 살펴보겠습니다. 그 안에 우리는 ≠ 0. 방정식에도 비슷한 조건이 필요합니다. x 2 + b x + c = 0정확히 정사각형이었기 때문에 a = 0본질적으로 선형 방정식으로 변환됩니다. bx + c = 0.

계수가 비그리고 씨 0과 같으면(개별적으로나 공동으로 가능함) 이차 방정식을 불완전하다고 합니다.

정의 4

불완전한 이차 방정식이차방정식 x 2 + b x + c \u003d 0,계수 중 적어도 하나는 비그리고 씨(또는 둘 다)는 0입니다.

완전한 이차 방정식모든 수치 계수가 0이 아닌 이차 방정식입니다.

2차방정식의 유형에 정확히 그러한 이름이 부여된 이유에 대해 논의해 봅시다.

b = 0인 경우 이차 방정식은 다음 형식을 취합니다. x 2 + 0 x + c = 0, 이는 다음과 동일합니다. x 2 + c = 0. ~에 씨 = 0이차 방정식은 다음과 같이 작성됩니다. x 2 + b x + 0 = 0, 이는 동등합니다 x 2 + b x = 0. ~에 b = 0그리고 씨 = 0방정식은 형식을 취할 것입니다 × 2 = 0. 우리가 얻은 방정식은 왼편에 변수 x가 있는 항이나 자유 항 또는 둘 다를 동시에 포함하지 않는다는 점에서 완전 이차 방정식과 다릅니다. 실제로, 이 사실은 이러한 유형의 방정식에 이름을 부여했습니다. 불완전합니다.

예를 들어, x 2 + 3 x + 4 = 0 및 − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0은 완전 이차 방정식입니다. x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 은 불완전한 이차방정식입니다.

불완전한 이차방정식 풀기

위에 주어진 정의는 다음 유형의 불완전한 이차 방정식을 구별할 수 있게 합니다.

• × 2 = 0, 계수는 이러한 방정식에 해당합니다. b = 0및 c = 0;
• b \u003d 0의 경우 a x 2 + c \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 for c = 0 .

불완전한 이차방정식의 각 유형의 해를 순차적으로 고려하십시오.

방정식 a x 2 \u003d 0의 해

위에서 이미 언급했듯이 이러한 방정식은 계수에 해당합니다. 비그리고 씨, 0과 같습니다. 방정식 × 2 = 0등가 방정식으로 변환할 수 있습니다. x2 = 0, 원래 방정식의 양변을 숫자로 나누어 얻습니다. ㅏ, 0이 아닙니다. 명백한 사실은 방정식의 근 x2 = 0 0이기 때문에 0 2 = 0 . 이 방정식에는 정도의 속성으로 설명되는 다른 근이 없습니다. 피, 0이 아닌 경우 부등식은 참입니다. p2 > 0, 그 때부터 p ≠ 0평등 p2 = 0결코 도달하지 못할 것입니다.

정의 5

따라서 불완전한 이차 방정식 a x 2 = 0에 대해 고유한 근이 있습니다. x=0.

예 2

예를 들어 불완전한 이차방정식을 풀자. - 3×2 = 0. 방정식과 동일합니다. x2 = 0, 유일한 루트는 x=0, 원래 방정식은 단일 근 - 0을 갖습니다.

솔루션은 다음과 같이 요약됩니다.

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

방정식 a x 2 + c \u003d 0의 해

다음 줄은 불완전한 이차 방정식의 솔루션입니다. 여기서 b \u003d 0, c ≠ 0, 즉 다음 형식의 방정식입니다. x 2 + c = 0. 방정식의 한 쪽에서 다른 쪽으로 용어를 옮기고 부호를 반대쪽으로 변경하고 방정식의 양쪽을 0이 아닌 숫자로 나누어 이 방정식을 변환해 보겠습니다.

• 견디다 씨방정식을 제공하는 오른쪽으로 x 2 = − c;
• 방정식의 양변을 다음과 같이 나눕니다. ㅏ, 결과는 x = - c a 입니다.

우리의 변환은 각각 동일하며 결과 방정식도 원래 방정식과 동일하며 이 사실을 통해 방정식의 근에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. 가치는 무엇입니까 ㅏ그리고 씨식의 값에 따라 달라집니다. - c a: 빼기 기호를 가질 수 있습니다(예: a = 1그리고 씨 = 2, - c a = - 2 1 = - 2) 또는 더하기 기호(예: if a = -2그리고 c=6, 그러면 - ca = - 6 - 2 = 3); 0이 아니기 때문에 c ≠ 0. - c a 상황에 대해 더 자세히 살펴 보겠습니다.< 0 и - c a > 0 .

- c a의 경우< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа 피등식 p 2 = - c a는 참일 수 없습니다.

- c a > 0 일 때 모든 것이 다릅니다. 제곱근을 기억하면 - c a 2 \u003d - c a이기 때문에 방정식 x 2 \u003d - c a의 근은 숫자 - c a가 될 것입니다. 숫자 - - c a -가 방정식 x 2 = - c a의 근이기도 함을 이해하기 쉽습니다. 실제로 - - c a 2 = - c a .

방정식에는 다른 근이 없습니다. 반대 방법을 사용하여 이를 증명할 수 있습니다. 먼저 위에서 찾은 근의 표기법을 다음과 같이 설정하겠습니다. × 1그리고 − × 1. 방정식 x 2 = - c a에도 근이 있다고 가정해 봅시다. x2, 뿌리와는 다른 × 1그리고 − × 1. 대신 방정식에 대입하면 엑스그것의 뿌리, 우리는 방정식을 공정한 수치 평등으로 변환합니다.

을 위한 × 1그리고 − × 1쓰다: x 1 2 = - c a , 그리고 x2-x 2 2 \u003d-c a. 수치 평등의 속성에 따라 용어별로 다른 용어에서 하나의 진정한 평등을 빼서 다음을 제공합니다. x 1 2 − x 2 2 = 0. 숫자 연산의 속성을 사용하여 마지막 등식을 다음과 같이 다시 작성합니다. (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. 두 숫자의 곱은 숫자 중 적어도 하나가 0인 경우에만 0인 것으로 알려져 있습니다. 말한 것에서 다음과 같습니다. x1 - x2 = 0및/또는 x1 + x2 = 0, 같은 x2 = x1및/또는 엑스 2 = - 엑스 1. 명백한 모순이 발생했는데, 처음에는 방정식의 근이 다음과 같다는 데 동의했기 때문입니다. x2~와 다르다 × 1그리고 − × 1. 따라서 우리는 방정식에 x = - c a 및 x = - - c a 외에 다른 근이 없음을 증명했습니다.

위의 모든 주장을 요약합니다.

정의 6

불완전한 이차 방정식 x 2 + c = 0방정식 x 2 = - c a 와 동등합니다.

• - c a에 뿌리가 없습니다.< 0 ;
• -ca > 0일 때 두 근 x = - c a 및 x = - - c a를 갖습니다.

방정식을 푸는 예를 들어 보겠습니다. x 2 + c = 0.

예 3

주어진 이차 방정식 9 x 2 + 7 = 0 .해결책을 찾는 것이 필요합니다.

해결책

자유 항을 방정식의 오른쪽으로 옮기면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 9 x 2 \u003d-7.
결과 방정식의 양쪽을 다음과 같이 나눕니다. 9 , 우리는 x 2 = - 7 9 에 도달합니다. 오른쪽에는 빼기 기호가 있는 숫자가 표시됩니다. 이는 주어진 방정식에 근이 없음을 의미합니다. 그런 다음 원래 불완전한 이차 방정식 9 x 2 + 7 = 0뿌리가 없을 것입니다.

답변:방정식 9 x 2 + 7 = 0뿌리가 없습니다.

예 4

방정식을 푸는 데 필요합니다. − x2 + 36 = 0.

해결책

36을 오른쪽으로 옮깁니다. − x 2 = − 36.
두 부분을 나누어 보자 − 1 , 우리는 얻는다 x2 = 36. 오른쪽에는 양수이며, 이로부터 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. x = 36 또는 x = - 36 .
우리는 근을 추출하고 최종 결과를 작성합니다: 불완전한 이차 방정식 − x2 + 36 = 0뿌리가 두 개 x=6또는 x = -6.

답변: x=6또는 x = -6.

방정식의 해 a x 2 +b x=0

세 번째 종류의 불완전한 이차 방정식을 분석해 보겠습니다. 씨 = 0. 불완전한 이차방정식의 해를 구하려면 x 2 + b x = 0, 우리는 인수 분해 방법을 사용합니다. 방정식의 왼쪽에 있는 다항식을 괄호 안의 공약수를 취하여 인수분해합시다. 엑스. 이 단계를 통해 원래의 불완전한 이차 방정식을 등가 방정식으로 변환할 수 있습니다. x(a x + b) = 0. 그리고 이 방정식은 다음 방정식 세트와 동일합니다. x=0그리고 x + b = 0. 방정식 x + b = 0선형 및 루트: x = − b a.

정의 7

따라서 불완전한 이차방정식은 x 2 + b x = 0두 개의 뿌리를 가질 것입니다 x=0그리고 x = − b a.

예를 들어 자료를 통합합시다.

실시예 5

방정식 2 3 · x 2-2 2 7 · x = 0 의 해를 구해야 합니다.

해결책

테이크 아웃하자 엑스괄호 밖에 있고 x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 방정식을 얻습니다. 이 방정식은 방정식과 동일합니다. x=0그리고 2 3 x - 2 2 7 = 0 입니다. 이제 결과 선형 방정식을 풀어야 합니다: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

간단히 말해서 방정식의 해를 다음과 같이 작성합니다.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 또는 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 또는 x = 3 3 7

답변: x = 0 , x = 3 3 7 .

판별식, 이차방정식 근의 공식

이차방정식의 해를 찾기 위해 근 공식이 있습니다.

정의 8

x = - b ± D 2 a, 여기서 D = b2-4ac소위 2차 방정식의 판별식입니다.

x \u003d - b ± D 2 a라고 쓰면 본질적으로 x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a를 의미합니다.

표시된 공식이 어떻게 도출되었고 어떻게 적용되는지 이해하는 것이 유용할 것입니다.

이차방정식의 근의 공식 유도

우리가 이차방정식을 푸는 과제에 직면했다고 가정해 봅시다. x 2 + b x + c = 0. 여러 가지 동등한 변환을 수행해 보겠습니다.

• 방정식의 양변을 숫자로 나눕니다. ㅏ, 0이 아닌 경우 감소 된 이차 방정식을 얻습니다. x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• 발탁하다 풀 스퀘어결과 방정식의 왼쪽에:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  그 후 방정식은 x + b 2 a 2-b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• 이제 마지막 두 항을 오른쪽으로 옮기고 부호를 반대 방향으로 바꿀 수 있습니다. x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• 마지막으로 마지막 평등의 오른쪽에 쓰여진 표현식을 변환합니다.
  b 2 a 2-ca \u003d b 2 4 a 2-ca \u003d b 2 4 a 2-4 a c 4 a 2 \u003d b 2-4 a c 4 a 2.

따라서 방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 에 도달했습니다. 이는 원래 방정식과 동일합니다. x 2 + b x + c = 0.

이전 단락에서 그러한 방정식의 해(불완전한 이차 방정식의 해)에 대해 논의했습니다. 이미 얻은 경험을 통해 방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2의 근에 관한 결론을 도출할 수 있습니다.

• b 2 - 4 a c 4 a 2의 경우< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0의 경우 방정식의 형식은 x + b 2 · a 2 = 0이고 x + b 2 · a = 0입니다.

여기에서 유일한 루트 x = - b 2 · a는 명백합니다.

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0의 경우 올바른 것은 x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 또는 x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 입니다. x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 또는 x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 와 같습니다. 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2(따라서 원래 방정식)의 근의 존재 또는 부재는 표현 b 2 - 4 a c의 부호에 따라 달라진다는 결론을 내릴 수 있습니다. 4 · 오른쪽에 적힌 a 2. 그리고 이 표현의 부호는 분자의 부호(분모 4시 2분항상 긍정적일 것입니다), 즉 표현의 부호 ㄴ 2 - 4 ㄷ. 이 표현 ㄴ 2 - 4 ㄷ이름이 주어집니다 - 이차 방정식의 판별식과 문자 D가 지정으로 정의됩니다. 여기에서 판별의 본질을 쓸 수 있습니다. 값과 부호로 이차 방정식에 실제 근이 있는지, 그렇다면 근이 몇 개인지 (1 또는 2) 결론을 내립니다.

방정식 x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 로 돌아가 봅시다. 판별 표기법을 사용하여 다시 작성해 보겠습니다. x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

결론을 요약하자면 다음과 같습니다.

정의 9

• ~에 디< 0 방정식에는 실근이 없습니다.
• ~에 D=0방정식은 단일 루트를 가집니다. x = - b 2 · a ;
• ~에 D > 0방정식에는 x \u003d-b 2 a + D 4 a 2 또는 x \u003d-b 2 a-D 4 a 2의 두 가지 근이 있습니다. 라디칼의 속성에 따라 이러한 근은 x \u003d - b 2 a + D 2 a 또는 - b 2 a - D 2 a로 쓸 수 있습니다. 그리고 모듈을 열고 분수를 공통 분모로 줄이면 x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a를 얻습니다.

따라서 추론의 결과는 이차 방정식의 근에 대한 공식의 유도였습니다.

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , 판별식 디공식으로 계산 D = b2-4ac.

이러한 공식은 판별식이 0보다 클 때 두 실근을 결정하는 것을 가능하게 합니다. 판별식이 0일 때 두 수식을 모두 적용하면 다음과 같은 근이 됩니다. 유일한 결정이차 방정식. 판별식이 음수인 경우 이차 근 공식을 사용하려고 하면 다음을 추출해야 합니다. 제곱근음수에서 실수를 넘어 우리를 데려 갈 것입니다. 음의 판별식을 사용하면 이차 방정식에 실수 근이 없지만 우리가 얻은 동일한 근 공식에 의해 결정되는 복소수 켤레 근 쌍이 가능합니다.

근 공식을 사용하여 이차방정식을 푸는 알고리즘

근식을 이용하여 바로 이차방정식을 푸는 것도 가능하지만 기본적으로 복소근을 구해야 하는 경우에 한다.

대부분의 경우 검색은 일반적으로 복소수에 대한 것이 아니라 이차 방정식의 실근에 대한 것입니다. 그런 다음 이차 방정식의 근에 대한 공식을 사용하기 전에 먼저 판별식을 결정하고 음수가 아닌지 확인하는 것이 최적입니다(그렇지 않으면 방정식에 실근이 없다고 결론을 내릴 것입니다). 뿌리의 가치

위의 추론을 통해 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘을 공식화할 수 있습니다.

정의 10

이차 방정식을 풀려면 x 2 + b x + c = 0, 필요한:

• 공식에 따르면 D = b2-4ac판별식의 값을 찾으십시오.
• D에서< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0의 경우 공식 x = - b 2 · a로 방정식의 유일한 근을 찾으십시오.
• D > 0인 경우 공식 x = - b ± D 2 · a로 이차 방정식의 두 실근을 결정합니다.

판별식이 0일 때 공식 x = - b ± D 2 · a를 사용할 수 있으며 공식 x = - b 2 · a와 동일한 결과를 제공합니다.

예를 고려하십시오.

이차 방정식 풀이의 예

에 대한 예시 솔루션을 제공합니다. 다른 값판별.

실시예 6

방정식의 근을 찾는 것이 필요합니다 x 2 + 2 x - 6 = 0.

해결책

우리는 이차 방정식의 수치 계수를 씁니다 : a \u003d 1, b \u003d 2 및 c = - 6. 다음으로 알고리즘에 따라 행동합니다. 계수를 대체하는 판별식 계산을 시작하겠습니다 a , b 그리고 씨판별 공식으로: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

따라서 우리는 D > 0을 얻었습니다. 즉, 원래 방정식은 두 개의 실근을 갖게 됩니다.
이를 찾기 위해 루트 공식 x \u003d - b ± D 2 · a를 사용하고 적절한 값을 대체하면 x \u003d - 2 ± 28 2 · 1을 얻습니다. 우리는 근의 부호에서 인수를 취한 다음 분수를 줄임으로써 결과 표현식을 단순화합니다.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 또는 x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 또는 x = - 1 - 7

답변: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

실시예 7

이차방정식을 푸는데 필요하다 − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

해결책

판별식을 정의해 봅시다: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. 이 판별식 값을 사용하면 원래 방정식은 공식 x = - b 2 · a에 의해 결정되는 단 하나의 근만 갖게 됩니다.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

답변: 엑스 = 3, 5.

실시예 8

방정식을 푸는 데 필요합니다. 5y 2 + 6y + 2 = 0

해결책

이 방정식의 수치 계수는 a = 5 , b = 6 및 c = 2 입니다. 이 값을 사용하여 판별식을 찾습니다. D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . 계산된 판별식이 음수이므로 원래 이차 방정식에는 실근이 없습니다.

작업이 복소수 근을 표시하는 경우 복소수로 연산을 수행하여 근 공식을 적용합니다.

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 나는 10 또는 x \u003d - 6 - 2 나는 10,

x = - 3 5 + 1 5 i 또는 x = - 3 5 - 1 5 i .

답변:실제 뿌리가 없습니다. 복소수 근은 - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i 입니다.

안에 학교 커리큘럼기본적으로 복소근을 찾을 필요가 없으므로 해를 구하는 동안 판별식이 음수로 결정되면 실제 근이 없다는 대답이 즉시 기록됩니다.

두 번째 계수의 근 공식

루트 공식 x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c)를 사용하면 더 간단한 다른 공식을 얻을 수 있으므로 x에서 짝수 계수가 있는(또는 계수가 있는) 이차 방정식의 해를 찾을 수 있습니다. 형식 2 an, 예를 들어 2 3 또는 14 ln 5 = 2 7 ln 5). 이 공식이 어떻게 유도되는지 보여드리겠습니다.

우리가 이차방정식 a · x 2 + 2 · n · x + c = 0에 대한 해를 찾는 과제에 직면했다고 가정합니다. 우리는 알고리즘에 따라 행동합니다. 판별자를 결정합니다. D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , 다음 루트 공식을 사용합니다.

x \u003d-2n ± D 2a, x \u003d-2n ± 4n 2-ac 2a, x \u003d-2n ± 2n 2-ac 2a, x = -n ± n 2-a · 가.

표현 n 2 − a c를 D 1로 표시합니다(때로는 D "로 표시됨). 그런 다음 두 번째 계수 2 n을 사용하여 고려되는 이차 방정식의 근에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

x \u003d-n ± D 1a, 여기서 D1 \u003d n 2-a c.

D = 4 · D 1 또는 D 1 = D 4 임을 쉽게 알 수 있습니다. 즉, D 1은 판별식의 1/4입니다. 분명히, D 1의 부호는 D의 부호와 동일하며, 이는 D 1의 부호가 이차 방정식의 근의 존재 또는 부재를 나타내는 지표로도 작용할 수 있음을 의미합니다.

정의 11

따라서 두 번째 계수가 2n인 이차 방정식의 해를 찾으려면 다음이 필요합니다.

• 찾기 D 1 = n 2 − ac ;
• D 1에서< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0의 경우 공식 x = - n a 로 방정식의 유일한 근을 결정합니다.
• D 1 > 0의 경우 공식 x = - n ± D 1 a를 사용하여 두 개의 실근을 결정합니다.

실시예 9

이차방정식 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0을 풀어야 합니다.

해결책

주어진 방정식의 두 번째 계수는 2 · (− 3) 으로 나타낼 수 있습니다. 그런 다음 주어진 이차 방정식을 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 으로 다시 씁니다. 여기서 a = 5 , n = − 3 및 c = − 32 입니다.

판별식의 네 번째 부분을 계산해 봅시다: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . 결과 값은 양수이며 방정식에 두 개의 실근이 있음을 의미합니다. 우리는 근의 해당 공식으로 정의합니다.

x = - n ± D 1a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 또는 x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 또는 x = - 2

이차 방정식의 근에 대한 일반적인 공식을 사용하여 계산을 수행하는 것이 가능하지만 이 경우 솔루션이 더 번거로울 것입니다.

답변: x = 31 5 또는 x = - 2 .

이차방정식 형태의 단순화

때로는 원래 방정식의 형태를 최적화하여 근을 계산하는 과정을 단순화하는 것이 가능합니다.

예를 들어, 이차 방정식 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0은 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0보다 풀기에 분명히 더 편리합니다.

더 자주, 이차 방정식 형태의 단순화는 두 부분을 특정 숫자로 곱하거나 나누어서 수행됩니다. 예를 들어 위에서 두 부분을 모두 100으로 나누어 얻은 방정식 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0의 단순화된 표현을 보여주었습니다.

이러한 변환은 이차방정식의 계수가 상대적으로 소수가 아닐 때 가능하다. 그런 다음 방정식의 양쪽을 가장 큰 값으로 나누는 것이 일반적입니다. 공약수계수의 절대 값.

예를 들어, 2차 방정식 12 x 2 − 42 x + 48 = 0을 사용합니다. 계수의 절대 값의 gcd를 정의합시다 : gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . 원래 이차 방정식의 두 부분을 모두 6으로 나누고 등가 이차 방정식 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0을 구해 봅시다.

이차방정식의 양변을 곱하면 일반적으로 분수 계수가 제거됩니다. 이 경우 계수 분모의 최소 공배수를 곱하십시오. 예를 들어, 이차 방정식 1 6 x 2 + 2 3 x-3 \u003d 0의 각 부분에 LCM (6, 3, 1) \u003d 6을 곱하면 더 많이 쓰여집니다. 간단한 양식엑스 2 + 4 엑스 - 18 = 0 .

마지막으로, 거의 항상 이차 방정식의 첫 번째 계수에서 마이너스를 제거하여 두 부분을 -1로 곱(또는 나누기)하여 방정식의 각 항의 부호를 변경합니다. 예를 들어 이차 방정식-2 x 2-3 x + 7 \u003d 0에서 단순화 된 버전 2 x 2 + 3 x-7 \u003d 0으로 이동할 수 있습니다.

근과 계수의 관계

이차 방정식의 근에 대해 이미 알려진 공식 x = - b ± D 2 · a는 수치 계수로 방정식의 근을 표현합니다. 이 공식을 기반으로 근과 계수 사이에 다른 종속성을 설정할 수 있습니다.

가장 유명하고 적용 가능한 것은 Vieta 정리의 공식입니다.

x 1 + x 2 \u003d-b a 및 x 2 \u003d c a.

특히 주어진 이차방정식에서 근의 합은 부호가 반대인 두 번째 계수이고 근의 곱은 자유항과 같다. 예를 들어, 이차 방정식 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0의 형태로 근의 합이 7 3이고 근의 곱이 22 3임을 즉시 결정할 수 있습니다.

또한 이차 방정식의 근과 계수 사이에 다른 많은 관계를 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 이차 방정식의 근의 제곱의 합은 계수로 표현될 수 있습니다.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

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