피라미드의 기본 측면 리브 높이입니다. 피라미드

• 변명- 정상에서 그려진 일반 피라미드의 측면 높이 (또한 apothem은 정다각형의 중앙에서 측면의 1로 낮아지는 수직선의 길이입니다)
• 측면 (ASB, BSC, CSD, DSA) - 상단에 수렴하는 삼각형;
• 옆 갈비 ( 처럼 , 학사 , 씨에스 , DS ) - 측면의 공통 측면;
• 피라미드의 꼭대기 (동사) - 측면 모서리를 연결하고 베이스 평면에 있지 않은 점;
• 키 ( 그래서 ) - 피라미드의 상단을 통해 기본 평면까지 그려진 수직선의 세그먼트(이러한 세그먼트의 끝은 피라미드의 상단과 수직선의 베이스가 됨)
• 피라미드의 대각선 단면- 밑면의 상단과 대각선을 통과하는 피라미드 부분;
• 베이스 (ABCD) 피라미드의 꼭대기가 속하지 않는 다각형입니다.

피라미드 속성.

1. 모든 측면 가장자리의 크기가 같은 경우:

• 피라미드의 바닥 근처에서는 원을 묘사하기가 쉽고 피라미드의 상단은 이 원의 중심으로 투영됩니다.
• 측면 리브는 기본 평면과 동일한 각도를 형성합니다.
• 또한 그 반대도 참입니다. 측면 가장자리가 기본 평면과 동일한 각도를 형성하거나 피라미드의 기본 근처에서 원을 설명할 수 있고 피라미드의 상단이 이 원의 중심으로 투영될 때 피라미드의 모든 측면 가장자리는 다음을 갖습니다. 같은 크기.

2. 측면이 동일한 값의 베이스 평면에 대한 경사각을 가질 때:

• 피라미드의 바닥 근처에서는 원을 설명하기 쉽고 피라미드의 상단은 이 원의 중심에 투영됩니다.
• 옆면의 높이는 같은 길이;
• 측면의 면적은 바닥 둘레와 측면 높이의 곱의 ½입니다.

3. 피라미드의 밑면이 다각형이면 그 주위에 원을 기술할 수 있는 경우(필요충분조건) 구를 피라미드 근처에 기술할 수 있다. 구의 중심은 그들에 수직인 피라미드 가장자리의 중간점을 통과하는 평면의 교차점이 될 것입니다. 이 정리에서 우리는 삼각형에 대해, 올바른 피라미드영역을 설명할 수 있습니다.

4. 피라미드의 내부 이면각의 이등분면이 첫 번째 점에서 교차하면 구가 피라미드에 새겨질 수 있습니다(필요충분조건). 이 점이 구의 중심이 됩니다.

가장 단순한 피라미드.

피라미드 밑면의 모서리 수에 따라 삼각형, 사각형 등으로 나뉩니다.

피라미드는 삼각형, 사각형등등, 피라미드의 밑면이 삼각형, 사각형 등인 경우. 삼각형 피라미드는 사면체-사면체입니다. 사각형 - 오면체 등.

다음은 피라미드와 관련 공식 및 개념에 대한 기본 정보를 수집한 것입니다. 그들 모두는 시험 준비를 위해 수학 교사와 함께 공부합니다.

평면, 다각형을 고려하십시오. 그 안에 놓여 있는 점과 그 안에 놓여 있지 않은 점 S. S를 다각형의 모든 정점에 연결합니다. 결과 다면체를 피라미드라고합니다. 세그먼트를 측면 모서리라고 합니다. 다각형을 밑면이라고 하고 점 S를 피라미드의 꼭대기라고 합니다. 숫자 n에 따라 피라미드는 삼각형(n=3), 사각형(n=4), 오각형(n=5) 등으로 불립니다. 삼각형 피라미드의 다른 이름 - 사면체. 피라미드의 높이는 피라미드의 꼭지점에서 밑면까지의 수직선입니다.

피라미드는 올바른 경우라고합니다. 정다각형, 피라미드 높이의 밑면 (수직선의 밑면)이 중심입니다.

튜터 코멘트:
"정규 피라미드"와 "정사면체"의 개념을 혼동하지 마십시오. 정사면체에서는 옆변이 밑변과 반드시 ​​같지는 않지만 정사면체에서는 변의 6개 변이 모두 같다. 이것이 그의 정의입니다. 평등이 다각형의 중심 P가 높이 기반이 있으므로 정사면체는 정사각뿔입니다.

변절이란 무엇입니까?
피라미드의 정점은 옆면의 높이입니다. 피라미드가 규칙적이면 모든 apothems가 동일합니다. 그 반대는 사실이 아닙니다.

그의 용어에 대한 수학 교사: 피라미드 작업은 80%가 두 가지 유형의 삼각형을 통해 구축됩니다.
1) apothem SK 및 높이 SP 포함
2) 측면 에지 SA 및 그 돌출부 PA를 포함

이러한 삼각형에 대한 참조를 단순화하려면 수학 교사가 첫 번째 이름을 지정하는 것이 더 편리합니다. 무시무시한, 그리고 두 번째 늑골. 아쉽게도 이 용어는 어느 교과서에서도 찾아볼 수 없고, 선생님이 일방적으로 소개해야 합니다.

피라미드 체적 공식:
1) , 여기서 피라미드 밑면의 면적은 피라미드의 높이입니다.
2) , 여기서 는 내접구의 반지름이고 는 피라미드의 전체 표면적입니다.
3) , 여기서 MN은 임의의 두 교차 모서리의 거리이고 나머지 네 모서리의 중간점에 의해 형성된 평행사변형의 면적입니다.

피라미드 높이 기준 속성:

점 P(그림 참조)는 다음 조건 중 하나가 충족되는 경우 피라미드 밑면에 있는 내접원의 중심과 일치합니다.
1) 모든 아포헴은 평등하다
2) 모든 측면이 베이스를 향해 동일하게 기울어짐
3) 모든 apothems는 피라미드의 높이에 똑같이 기울어집니다.
4) 피라미드의 높이는 모든 측면에 대해 동일하게 기울어집니다.

수학선생님의 해설: 모든 점은 하나의 공통 속성으로 통합됩니다. 어떤 식으로든 측면은 모든 곳에 참여합니다(apothem은 해당 요소임). 따라서 튜터는 덜 정확하지만 더 편리한 암기 공식을 제공할 수 있습니다. 점 P는 측면에 대해 동일한 정보가 있는 경우 피라미드의 밑면인 내접원의 중심과 일치합니다. 이를 증명하기 위해서는 모든 비정형 삼각형이 같다는 것을 보여주면 충분합니다.

세 가지 조건 중 하나가 참이면 점 P는 피라미드 밑면 근처의 외접원 중심과 일치합니다.
1) 모든 측면 모서리가 동일합니다.
2) 모든 측면 리브가 베이스를 향해 동일하게 기울어져 있습니다.
3) 모든 측면 리브는 높이에 대해 동일하게 기울어집니다.

비디오 강의 2: 피라미드 챌린지. 피라미드 볼륨

비디오 강의 3: 피라미드 챌린지. 정확한 피라미드

강의: 피라미드, 그 밑면, 측면 가장자리, 높이, 측면; 삼각뿔; 오른쪽 피라미드

피라미드- 밑면에 다각형이 있고 모든 면이 삼각형으로 이루어진 입체적인 몸체입니다.

피라미드의 특별한 경우는 원뿔이며 그 밑면에는 원이 있습니다.

피라미드의 주요 요소를 고려하십시오.

아포뎀피라미드의 상단과 측면 하단 가장자리의 중간을 연결하는 세그먼트입니다. 즉, 이것은 피라미드 면의 높이입니다.

그림에서 삼각형 ADS, ABS, BCS, CDS를 볼 수 있습니다. 이름을 자세히 보면 각 삼각형의 이름에 하나의 공통 문자가 있음을 알 수 있습니다.

꼭지점과 밑면의 대각선의 교점(삼각형의 경우 높이의 교점)을 연결하는 선분 OS를 선분이라고 합니다. 피라미드 높이.

대각선 단면은 피라미드의 상단과 밑면의 대각선 중 하나를 통과하는 평면입니다.

피라미드의 옆면은 삼각형으로 이루어져 있기 때문에 옆면의 전체 넓이를 구하려면 각 면의 넓이를 구해서 더해야 합니다. 면의 수와 모양은 밑면에 있는 다각형 변의 모양과 크기에 따라 다릅니다.

정점이 없는 피라미드의 유일한 평면은 기초피라미드.

그림에서 밑면이 평행사변형임을 알 수 있지만 임의의 다각형이 있을 수 있습니다.

속성:

동일한 길이의 모서리가 있는 피라미드의 첫 번째 경우를 고려하십시오.

• 그러한 피라미드의 바닥 주위에 원이 설명될 수 있습니다. 이러한 피라미드의 상단을 투영하면 투영이 원의 중앙에 위치합니다.
• 피라미드 밑면의 각도는 각 면에서 동일합니다.
• 동시에, 피라미드의 밑면 주위에 원이 설명될 수 있고 모든 가장자리의 길이가 다르다는 사실에 대한 충분 조건은 밑면과 면의 각 가장자리 사이의 동일한 각도로 간주될 수 있습니다. .

측면과 밑면 사이의 각도가 동일한 피라미드를 발견하면 다음 속성이 참입니다.

• 피라미드의 밑면 주위에 있는 원을 설명할 수 있을 것입니다. 그 꼭대기는 정확히 중심에 투영됩니다.
• 밑면까지 높이의 각 측면을 그리면 길이가 같아집니다.
• 이러한 피라미드의 측면 표면적을 찾으려면 밑면의 둘레를 찾아 높이 길이의 절반을 곱하면 충분합니다.
• Sbp \u003d 0.5P oc H.
• 피라미드의 종류.
• 피라미드의 바닥에 있는 다각형에 따라 삼각형, 사각형 등이 될 수 있습니다. 정다각형(면이 같은)이 피라미드의 바닥에 있는 경우 이러한 피라미드를 일반이라고 합니다.

정삼각형 피라미드

피라미드 개념

정의 1

기하학적 도형, 다각형과이 다각형을 포함하는 평면에 있지 않은 점으로 구성되며 다각형의 모든 정점에 연결되어 피라미드라고합니다 (그림 1).

피라미드를 구성하는 다각형을 피라미드의 밑변이라 하고, 점으로 연결하여 얻은 삼각형을 피라미드의 옆면, 삼각형의 옆면을 피라미드의 옆면, 모두에게 공통되는 점 삼각형은 피라미드의 꼭대기입니다.

피라미드의 종류

피라미드 밑면의 모서리 수에 따라 삼각형, 사각형 등으로 불릴 수 있습니다(그림 2).

그림 2.

또 다른 유형의 피라미드는 일반 피라미드입니다.

일반 피라미드의 속성을 소개하고 증명해 봅시다.

정리 1

일반 피라미드의 모든 측면은 서로 같은 이등변 삼각형입니다.

증거.

높이가 $h=SO$인 정점 $S$가 있는 정규 $n-$각형 피라미드를 고려하십시오. 베이스 주변의 원을 설명하겠습니다(그림 4).

그림 4

삼각형 $SOA$를 고려하십시오. 피타고라스의 정리에 의해 우리는

분명히 모든 측면 가장자리는 이러한 방식으로 정의됩니다. 따라서 모든 측면 모서리는 서로 동일합니다. 즉, 모든 측면은 이등변 삼각형입니다. 서로 같다는 것을 증명해 보자. 밑면이 정다각형이기 때문에 모든 측면의 밑면은 서로 동일합니다. 결과적으로 모든 측면은 삼각형의 등호 III 기호에 따라 동일합니다.

정리가 입증되었습니다.

이제 일반 피라미드의 개념과 관련된 다음 정의를 소개합니다.

정의 3

일반 피라미드의 정점은 옆면의 높이입니다.

분명히, 정리 1에 의해 모든 apothems는 동일합니다.

정리 2

일반 피라미드의 측면 표면적은 밑면의 반 둘레와 apothem의 곱으로 정의됩니다.

증거.

$n-$석탄 피라미드 밑면의 측면을 $a$로, 변위를 $d$로 표시하겠습니다. 따라서 측면의 면적은

정리 1에 의해 모든 면이 같으므로

정리가 입증되었습니다.

피라미드의 또 다른 유형은 잘린 피라미드입니다.

정의 4

밑면에 평행한 평면이 일반 피라미드를 통해 그려지면 이 평면과 밑면의 평면 사이에 형성된 그림을 잘린 피라미드라고 합니다(그림 5).

그림 5. 잘린 피라미드

잘린 피라미드의 측면은 사다리꼴입니다.

정리 3

규칙적인 잘린 피라미드의 측면 면적은 밑면과 축의 반 둘레의 합의 곱으로 정의됩니다.

증거.

$n-$석탄 피라미드의 밑면의 측면을 각각 $a\ 및\ b$로 표시하고 apothem을 $d$로 표시하겠습니다. 따라서 측면의 면적은

모든면이 동일하므로

정리가 입증되었습니다.

작업 예

예 1

측면의 정중선을 통과하는 평면으로 절단하여 밑면이 4이고 변이 5 인 정 피라미드에서 얻은 경우 잘린 삼각형 피라미드의 측면 면적을 찾으십시오.

해결책.

중앙선 정리에 따르면 잘린 피라미드의 윗면은 $4\cdot \frac(1)(2)=2$이고 변위는 $5\cdot \frac(1)( 2)=2.5$.

그러면 정리 3에 의해