직각삼각형 공식에서 내접원의 반지름. 정다각형의 내접원과 외접원의 반지름 공식

매우 자주 기하학적 문제를 해결할 때 보조 그림으로 작업을 수행해야 합니다. 예를 들어, 내접원 또는 외접원 등의 반지름을 찾습니다. 이 기사에서는 삼각형을 외접하는 원의 반지름을 찾는 방법을 보여줍니다. 즉, 삼각형이 내접하는 원의 반지름입니다.

삼각형에 외접하는 원의 반지름을 찾는 방법 - 일반 공식

일반 공식은 다음과 같습니다. R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), 여기서 R은 외접원의 반지름이고, p는 삼각형의 둘레를 2로 나눈 값입니다. (반주). a, b, c는 삼각형의 변입니다.

a = 3, b = 6, c = 7일 때 삼각형의 외접원의 반지름을 구하십시오.

따라서 위 공식에 따라 반주를 계산합니다.
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

수식의 값을 대체하고 다음을 얻습니다.
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

답: R = 126/16√5

정삼각형에 외접하는 원의 반지름을 찾는 방법

정삼각형에 외접하는 원의 반지름을 구하려면 간단한 공식: R = a/√3, 여기서 a는 변의 값입니다.

예: 정삼각형의 변은 5입니다. 외접원의 반지름을 찾으십시오.

정삼각형의 모든 변이 같기 때문에 문제를 해결하려면 공식에 그 값을 입력하기만 하면 됩니다. R = 5/√3을 얻습니다.

답변: R = 5/√3.

직각 삼각형에 외접하는 원의 반지름을 찾는 방법

공식은 다음과 같습니다. R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, 여기서 a와 b는 다리이고 c는 빗변입니다. 직각삼각형의 다리의 제곱을 더하면 빗변의 제곱이 됩니다. 공식에서 알 수 있듯이 이 표현식은 루트 아래에 있습니다. 빗변의 제곱근을 계산하여 길이 자체를 얻습니다. 결과 식에 1/2을 곱하면 결국 식 1/2 × c = c/2가 됩니다.

예: 삼각형의 변이 3과 4인 경우 외접원의 반지름을 계산합니다. 값을 공식에 ​​대입합니다. R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2.5.

이 식에서 5는 빗변의 길이입니다.

답변: R = 2.5.

이등변 삼각형에 외접하는 원의 반지름을 찾는 방법

공식은 다음과 같습니다. R = a² / √ (4a² - b²), 여기서 a는 삼각형의 허벅지 길이이고 b는 밑면의 길이입니다.

예: 엉덩이 = 7이고 밑면 = 8인 경우 원의 반지름을 계산합니다.

해결책: 이 값을 공식으로 대체하고 R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²)를 얻습니다.

R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. 답은 이렇게 직접 쓸 수 있습니다.

답: R = 49/√132

원의 반지름 계산을 위한 온라인 리소스

이 모든 수식에서 혼동하기는 매우 쉽습니다. 따라서 필요한 경우 다음을 사용할 수 있습니다. 온라인 계산기, 반지름을 찾는 문제를 해결하는 데 도움이 됩니다. 이러한 미니 프로그램의 작동 원리는 매우 간단합니다. 해당 필드에서 측면의 값을 대체하고 기성 답변을 얻으십시오. 답을 반올림하는 몇 가지 옵션을 선택할 수 있습니다: 소수점 이하, 100분의 1, 1000분의 1 등.

삼각형에 새겨진 원

삼각형에 내접하는 원의 존재

정의를 기억하십시오 각도 이등분선 .

정의 1 .각도 이등분선 각도를 두 개의 동일한 부분으로 나누는 광선이라고합니다.

정리 1 (각도 이등분선의 기본 속성) . 각도의 이등분선의 각 점은 각도의 측면에서 같은 거리에 있습니다(그림 1).

쌀. 1

증거 디 각도의 이등분선에 누워BAC , 그리고 드 그리고 D.F. 모서리 측면에 있습니다(그림 1).직각삼각형 ADF 그리고 ADE 동일한 같은 예각을 가지고 있기 때문에DAF 그리고 DAE , 빗변 기원 후 - 일반적인. 따라서,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

정리 2 (정리 1의 역 정리) . 어떤 경우 , 각도의 이등분선에 있습니다 (그림 2).

쌀. 2

증거 . 임의의 점을 고려디 구석에 누워BAC 모서리 측면에서 같은 거리에 있습니다. 포인트에서 드롭디 수직선 드 그리고 D.F. 모서리 측면에 있습니다(그림 2).직각삼각형 ADF 그리고 ADE 동일한 , 다리가 같기 때문에D.F. 그리고 드 , 빗변 기원 후 - 일반적인. 따라서,

Q.E.D.

정의 2 . 원이라고 합니다 각도로 새겨진 원 이 각도의 측면인 경우.

정리 3 . 원이 각도에 내접하는 경우 각도의 꼭지점에서 각도의 측면과 원의 접촉점까지의 거리는 동일합니다.

증거 . 요점을 보자 디 각에 내접하는 원의 중심이다.BAC , 그리고 포인트 이자형 그리고 에프 - 모서리 측면과 원의 접촉점(그림 3).

그림 3

ㅏ , 비 , 씨 - 삼각형의 변
 에스 -정사각형,

아르 자형 – 내접원의 반경,
 피 - 반주

.

수식 출력 보기

ㅏ – 이등변 삼각형의 측면 , 
 비 - 베이스, 아르 자형 – 내접원 반지름

ㅏ 아르 자형 – 내접원 반지름

수식 출력 보기

,

어디

,

그렇다면 이등변 삼각형의 경우,

우리는 얻는다

그것이 필요한 것입니다.

정리 7 . 평등을 위해

어디 ㅏ - 정삼각형의 변아르 자형 – 내접원의 반지름(그림 8).

쌀. 8

증거 .

,

그렇다면 정삼각형의 경우,

b=a,

우리는 얻는다

그것이 필요한 것입니다.

논평 . 정삼각형에 직접 내접하는 원의 반지름 공식을 연습으로 유도하는 것이 좋습니다. 임의의 삼각형 또는 이등변 삼각형에 새겨진 원의 반경에 대한 일반 공식을 사용하지 않고.

정리 8 . 직각 삼각형의 경우 평등

어디 ㅏ , 비 - 직각 삼각형의 다리, 씨 – 빗변 , 아르 자형 – 내접원의 반지름.

증거 . 그림 9를 고려하십시오.

쌀. 9

사변형부터CDOF ~이다 , 인접한 변이 있는~하다 그리고 의 같으면 이 직사각형은 . 따라서,

CB \u003d CF \u003d r,

정리 3에 의해 평등

따라서 를 고려하면

그것이 필요한 것입니다.

"삼각형에 새겨진 원"이라는 주제에 대한 작업 선택.

1.

이등변 삼각형에 새겨진 원은 변 중 하나의 접촉점에서 길이가 5와 3이고 밑면 반대쪽 꼭지점에서 세는 두 개의 세그먼트로 나뉩니다. 삼각형의 둘레를 찾으십시오.

2.

3

안에 삼각형 ABC AC=4, BC=3, 각도 C는 90º입니다. 내접원의 반지름을 구하세요.

4.

이등변 직각 삼각형의 다리는 2+입니다. 이 삼각형에 새겨진 원의 반지름을 찾으십시오.

5.

이등변에 새겨진 원의 반지름 정삼각형, 는 2와 같습니다. 이 삼각형의 빗변 c를 찾으십시오. 답에 c(-1)을 쓰십시오.

다음은 솔루션이 포함된 시험의 여러 작업입니다.

이등변삼각형에 내접하는 원의 반지름은 입니다. 이 삼각형의 빗변 c를 찾으십시오. 답변에 표시해 주십시오.

삼각형은 옳고 이등변입니다. 그래서 그의 다리는 동일합니다. 각 다리가 같게하십시오. 그러면 빗변은.

우리는 두 가지 방법으로 삼각형 ABC의 영역을 씁니다.

이 표현을 동일시하면 다음을 얻습니다.. 때문에, 우리는 그것을 얻는다. 그 다음에.

응답으로 쓰기.

답변:.

작업 2.

1. 임의의 두 변에서 10cm 및 6cm(AB 및 BC). 외접원과 내접원의 반지름 구하기
문제는 댓글로 독립적으로 해결됩니다.

해결책:

안에.

1) 찾기:
2) 증명:CK 찾기
3) 찾기: 외접원과 내접원의 반경

해결책:

작업 6.

아르 자형 정사각형에 내접하는 원의 반지름은. 이 정사각형에 외접하는 원의 반지름을 구하세요.주어진 :

찾다: OS=?
해결책: V 이 경우이 문제는 피타고라스의 정리나 R의 공식을 사용하여 풀 수 있습니다. 두 번째 경우는 R의 공식이 정리에서 파생되기 때문에 더 간단합니다.

작업 7.

이등변삼각형에 내접하는 원의 반지름은 2입니다. 빗변 찾기와 함께 이 삼각형. 귀하의 답변에 표시하십시오.

S는 삼각형의 면적입니다.

우리는 삼각형의 변이나 그 넓이를 모릅니다. 다리를 x로 표시하면 빗변은 다음과 같습니다.

삼각형의 면적은 0.5x가 됩니다. 2 .

수단

따라서 빗변은 다음과 같습니다.

답은 다음과 같이 작성해야 합니다.

답변: 4

작업 8.

삼각형 ABC에서 AC = 4, BC = 3, 각도 씨는 90 0 과 같습니다. 내접원의 반지름을 구하세요.

삼각형에 내접하는 원의 반지름 공식을 사용해 봅시다.

여기서 a, b, c는 삼각형의 변입니다.

S는 삼각형의 면적입니다.

양면이 알려져 있고 (이것들은 다리), 세 번째 (빗변)를 계산할 수 있으며 면적도 계산할 수 있습니다.

피타고라스의 정리에 따르면:

지역을 찾아봅시다:

따라서:

답변: 1

작업 9.

이등변 삼각형의 변은 5이고 밑변은 6입니다. 내접원의 반지름을 구하십시오.

삼각형에 내접하는 원의 반지름 공식을 사용해 봅시다.

여기서 a, b, c는 삼각형의 변입니다.

S는 삼각형의 면적입니다.

모든면이 알려져 있고 면적이 계산됩니다. Heron의 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

그 다음에

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마름모는 모든 변이 같은 평행사변형입니다. 따라서 평행사변형의 모든 속성을 상속합니다. 즉:

• 마름모의 대각선은 서로 수직입니다.
• 마름모의 대각선은 내각의 이등분선입니다.

대변의 합이 같은 경우에만 원이 사변형에 내접될 수 있습니다.
따라서 원은 어떤 마름모에도 새길 수 있습니다. 내접원의 중심은 마름모의 대각선 교점의 중심과 일치한다.
마름모에 내접원의 반지름은 여러 가지 방법으로 표현할 수 있습니다.

1 방법. 높이를 통한 마름모꼴의 내접원의 반지름

마름모의 높이는 내접원의 지름과 같습니다. 이것은 내접원의 지름과 마름모의 높이에 의해 형성되는 직사각형의 속성에 따른 것입니다. 직사각형의 반대편은 동일합니다.

따라서 높이를 통한 마름모꼴의 내접원 반지름 공식은 다음과 같습니다.

2가지 방법. 대각선을 통한 마름모의 내접원 반지름

마름모의 면적은 내접원의 반지름으로 나타낼 수 있습니다.
, 어디 아르 자형마름모의 둘레입니다. 둘레가 사변형의 모든 변의 합임을 알면, 피= 4×하.그 다음에
그러나 마름모의 면적도 대각선 곱의 절반입니다.
면적 공식의 올바른 부분을 동일시하면 다음과 같습니다.
그 결과 대각선을 통해 마름모꼴의 내접원의 반지름을 계산할 수 있는 공식을 얻습니다.

대각선을 알고 있는 경우 마름모에 내접하는 원의 반지름을 계산하는 예
대각선의 길이가 30cm, 40cm인 경우 마름모꼴에 내접하는 원의 반지름을 구하시오.
허락하다 ABCD- 마름모, 그럼 교류그리고 BD그것의 대각선. AC= 30cm , BD=40cm
요점을 보자 에 대한마름모에 새겨진 중심이다. ABCD그런 다음 대각선의 교차점이되어 반으로 나뉩니다.


마름모의 대각선이 직각으로 교차하므로 삼각형 AOB직사각형. 그러면 피타고라스의 정리에 의해
, 이전에 얻은 값을 공식으로 대체합니다.

AB= 25cm
앞에서 도출한 외접원의 반지름 공식을 마름모에 적용하면 다음을 얻습니다.

3가지 방법. 세그먼트 m과 n을 통과하는 마름모 내접원의 반지름

점 에프- 마름모 측면과 원의 접촉점으로 세그먼트로 나눕니다. AF그리고 bf. 허락하다 AF=m, BF=n.
점 영형- 마름모의 대각선과 그 안에 새겨진 원의 중심의 교차 중심.
삼각형 AOB- 마름모의 대각선이 직각으로 교차하기 때문에 직사각형입니다.
, 왜냐하면 는 원의 접선점에 그려진 반지름입니다. 따라서 의- 삼각형의 높이 AOB빗변에. 그 다음에 AF그리고 bf-빗변에 다리의 투영.
빗변에 떨어지는 직각 삼각형의 높이는 빗변의 다리 돌출 사이의 평균 비례입니다.

세그먼트를 통한 마름모의 내접원 반지름 공식은 마름모의 측면을 원의 접선점으로 나눈 세그먼트의 곱의 제곱근과 같습니다.

원의 반지름을 찾는 방법은 무엇입니까? 이 질문은 항상 면적 측정을 공부하는 학생과 관련이 있습니다. 아래에서 작업에 대처하는 방법에 대한 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

문제의 조건에 따라 이렇게 원의 반지름을 구할 수 있습니다.

공식 1 : R \u003d L / 2π, 여기서 L은 이고 π는 3.141과 같은 상수입니다 ...

공식 2: R = √(S / π), 여기서 S는 원의 면적입니다.

공식 1: R = B/2, 여기서 B는 빗변입니다.

공식 2: R \u003d M * B, 여기서 B는 빗변이고 M은 그에 대한 중앙값입니다.

정다각형 주위에 외접하는 원의 반지름을 찾는 방법

공식 : R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), 여기서 A는 그림의 한 변의 길이이고 n은이 기하학적 그림의 변의 수입니다.

내접원의 반경을 찾는 방법

내접원은 폴리곤의 모든 면에 닿을 때 호출됩니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

공식 1 : R \u003d S / (P / 2), 여기서 - S와 P는 각각 그림의 면적과 둘레입니다.

공식 2 : R \u003d (P / 2 - A) * tg (a / 2), 여기서 P는 둘레이고 A는 변 중 하나의 길이이며이 변의 반대쪽 각도입니다.

직각 삼각형에 새겨진 경우 원의 반지름을 찾는 방법

공식 1:

마름모에 내접하는 원의 반지름

원은 등변 및 부등변의 모든 마름모에 새길 수 있습니다.

공식 1: R \u003d 2 * H, 여기서 H는 기하학적 도형의 높이입니다.

공식 2: R \u003d S / (A * 2), 여기서 S는 A이고 변의 길이입니다.

공식 3 : R \u003d √ ((S * sin A) / 4), 여기서 S는 마름모의 면적이고 sin A는 사인입니다. 예각이 기하학적 도형.

공식 4: R \u003d V * G / (√ (V² + G²), 여기서 V와 G는 기하학적 도형의 대각선 길이입니다.

공식 5: R = B * sin(A / 2), 여기서 B는 마름모의 대각선이고 A는 대각선을 연결하는 정점에서의 각도입니다.

삼각형에 내접하는 원의 반지름

문제의 조건에서 그림의 모든 변의 길이가 주어진 경우 먼저 (P)를 계산한 다음 반주(p)를 계산합니다.

P \u003d A + B + C, 여기서 A, B, C는 기하학적 도형의 변의 길이입니다.

공식 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

그리고 동일한 세 변을 모두 알고 있으면 다음과 같이 원하는 반지름을 계산할 수 있습니다.

공식 2: R = S * 2(A + B + C)

공식 3 : R \u003d S / p \u003d S / (A + B + C) / 2), 여기서 -p는 기하학적 도형의 반 둘레입니다.

공식 4 : R \u003d (n - A) * tg (A / 2), 여기서 n은 삼각형의 반 둘레이고 A는 변 중 하나이며 tg (A / 2)는 반의 탄젠트입니다. 이 반대쪽 각도.

그리고 아래 공식은 에 새겨진 원의 반지름을 찾는 데 도움이 됩니다.

공식 5: R \u003d A * √3/6.

직각삼각형에 내접하는 원의 반지름

다리의 길이와 빗변이 문제에 주어지면 내접원의 반지름은 다음과 같이 구합니다.

공식 1 : R \u003d (A + B-C) ​​/ 2, 여기서 A, B는 다리이고 C는 빗변입니다.

다리가 두 개만 주어진 경우 빗변을 찾고 위 공식을 사용하기 위해 피타고라스 정리를 기억해야 할 때입니다.

C \u003d √ (A² + B²).

정사각형에 내접하는 원의 반지름

사각형에 새겨진 원은 접점에서 4면을 정확히 반으로 나눕니다.

공식 1: R \u003d A / 2, 여기서 A는 정사각형 변의 길이입니다.

공식 2: R \u003d S / (P / 2), 여기서 S와 P는 각각 정사각형의 면적과 둘레입니다.