Įbrėžtųjų ir centrinių kampų laipsnio matas. Apskritimas ir įbrėžtas kampas

Kampas ABC yra įbrėžtasis kampas. Jis remiasi į lanką AC, uždarą tarp jo šonų (330 pav.).

Teorema. Įbrėžtas kampas matuojamas puse lanko, kurį jis sukerta.

Tai turėtų būti suprantama taip: įrašytame kampe yra tiek kampo laipsnių, minučių ir sekundžių, kiek lanko laipsnių, minutės ir sekundės yra toje lanko pusėje, ant kurios jis remiasi.

Įrodydami šią teoremą, turime apsvarstyti tris atvejus.

Pirmas atvejis. Apskritimo centras yra įbrėžto kampo pusėje (331 pav.).

Tegu ∠ABC yra įbrėžtasis kampas, o apskritimo O centras yra kraštinėje BC. Reikia įrodyti, kad jis matuojamas puse lanko AC.

Sujunkite tašką A su apskritimo centru. Lygiašonius \(\Delta\)AOB, kuriuose AO = OB, gauname kaip to paties apskritimo spindulius. Todėl ∠A = ∠B.

∠AOC yra trikampio AOB išorėje, todėl ∠AOC = ∠A + ∠B, o kadangi kampai A ir B yra lygūs, ∠B yra 1/2 ∠AOC.

Bet ∠AOC matuojamas AC lanku, todėl ∠B matuojamas puse lanko AC.

Pavyzdžiui, jei \(\breve(AC)\) yra 60°18', tada ∠B yra 30°9'.

Antras atvejis. Apskritimo centras yra tarp įbrėžto kampo kraštinių (332 pav.).

Tegu ∠ABD yra įbrėžtasis kampas. Apskritimo O centras yra tarp jo kraštinių. Reikia įrodyti, kad ∠ABD matuojamas puse lanko AD.

Norėdami tai įrodyti, nubrėžkime skersmenį BC. Kampas ABD padalintas į du kampus: ∠1 ir ∠2.

∠1 matuojamas puse lanko AC, o ∠2 – puse lanko CD, todėl visas ∠ABD matuojamas 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), ty pusė lanko AD.

Pavyzdžiui, jei \(\breve(AD)\) yra 124°, tada ∠B yra 62°.

Trečias atvejis. Apskritimo centras yra už įbrėžto kampo ribų (333 pav.).

Tegu ∠MAD yra įbrėžtasis kampas. Apskritimo O centras yra už kampo. Reikia įrodyti, kad ∠MAD matuojamas puse lanko MD.

Norėdami tai įrodyti, nubrėžkime skersmenį AB. ∠MAD = ∠MAB – ∠DAB. Tačiau ∠MAB matuoja 1/2 \(\breve(MB)\), o ∠DAB matuoja 1/2 \(\breve(DB)\).

Todėl ∠MAD matuoja 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), t. y. 1/2 \(\breve(MD)\).

Pavyzdžiui, jei \(\breve(MD)\) yra 48° 38", tada ∠MAD yra 24° 19' 8".

Pasekmės
1. Visi įrašyti kampai, pagrįsti tuo pačiu lanku, yra lygūs vienas kitam, nes jie matuojami puse to paties lanko (334 pav., a).

2. Įbrėžtas kampas, pagrįstas skersmeniu, yra stačiu kampu, nes jis pagrįstas puse apskritimo. Pusėje apskritimo yra 180 lanko laipsnių, o tai reiškia, kad kampas pagal skersmenį yra 90 kampinių laipsnių (334 pav., b).

Įbrėžto ir centrinio kampo samprata

Pirmiausia pristatykime centrinio kampo sąvoką.

1 pastaba

Prisimink tai centrinio kampo laipsnio matas yra lygus lanko, kurį jis perima, laipsnio mastui.

Dabar pristatome įbrėžto kampo sąvoką.

2 apibrėžimas

Kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta tą patį apskritimą, vadinamas įbrėžtuoju kampu (2 pav.).

2 pav. Įbrėžtas kampas

Įrašyto kampo teorema

1 teorema

Įbrėžto kampo matas yra pusė lanko, kurį jis perima, matas.

Įrodymas.

Pateikiame apskritimą, kurio centras yra taške $O$. Pažymėkite įbrėžtinį kampą $ACB$ (2 pav.). Galimi šie trys atvejai:

• Spindulys $CO$ sutampa su kuria nors kampo puse. Tegul tai yra $CB$ pusė (3 pav.).

3 pav

Šiuo atveju lankas $AB$ yra mažesnis nei $(180)^(()^\circ )$, taigi centrinis kampas $AOB$ yra lygus lankui $AB$. Kadangi $AO=OC=r$, trikampis $AOC$ yra lygiašonis. Vadinasi, baziniai kampai $CAO$ ir $ACO$ yra lygūs. Pagal teoremą apie trikampio išorinį kampą turime:

• Spindulys $CO$ padalija vidinį kampą į du kampus. Tegul jis kerta apskritimą taške $D$ (4 pav.).

4 pav

Mes gauname

• Spindulys $CO$ neskirsto vidinio kampo į du kampus ir nesutampa su nė viena jo kraštine (5 pav.).

5 pav

Atskirai apsvarstykite kampus $ACD$ ir $DCB$. Pagal tai, kas buvo įrodyta 1 punkte, gauname

Mes gauname

Teorema įrodyta.

Atnešam pasekmes iš šios teoremos.

1 išvada:Įbrėžti kampai, kertantys tą patį lanką, yra lygūs.

2 pasekmė:Įbrėžtas kampas, kertantis skersmenį, yra stačiu kampu.

Įbrėžto ir centrinio kampo samprata

Pirmiausia pristatykime centrinio kampo sąvoką.

1 pastaba

Prisimink tai centrinio kampo laipsnio matas yra lygus lanko, kurį jis perima, laipsnio mastui.

Dabar pristatome įbrėžto kampo sąvoką.

2 apibrėžimas

Kampas, kurio viršūnė yra apskritime ir kurio kraštinės kerta tą patį apskritimą, vadinamas įbrėžtuoju kampu (2 pav.).

2 pav. Įbrėžtas kampas

Įrašyto kampo teorema

1 teorema

Įbrėžto kampo matas yra pusė lanko, kurį jis perima, matas.

Įrodymas.

Pateikiame apskritimą, kurio centras yra taške $O$. Pažymėkite įbrėžtinį kampą $ACB$ (2 pav.). Galimi šie trys atvejai:

• Spindulys $CO$ sutampa su kuria nors kampo puse. Tegul tai yra $CB$ pusė (3 pav.).

3 pav

Šiuo atveju lankas $AB$ yra mažesnis nei $(180)^(()^\circ )$, taigi centrinis kampas $AOB$ yra lygus lankui $AB$. Kadangi $AO=OC=r$, trikampis $AOC$ yra lygiašonis. Vadinasi, baziniai kampai $CAO$ ir $ACO$ yra lygūs. Pagal teoremą apie trikampio išorinį kampą turime:

• Spindulys $CO$ padalija vidinį kampą į du kampus. Tegul jis kerta apskritimą taške $D$ (4 pav.).

4 pav

Mes gauname

• Spindulys $CO$ neskirsto vidinio kampo į du kampus ir nesutampa su nė viena jo kraštine (5 pav.).

5 pav

Atskirai apsvarstykite kampus $ACD$ ir $DCB$. Pagal tai, kas buvo įrodyta 1 punkte, gauname

Mes gauname

Teorema įrodyta.

Atnešam pasekmes iš šios teoremos.

1 išvada:Įbrėžti kampai, kertantys tą patį lanką, yra lygūs.

2 pasekmė:Įbrėžtas kampas, kertantis skersmenį, yra stačiu kampu.

Įbrėžtas kampas, problemos teorija. Draugai! Šiame straipsnyje kalbėsime apie užduotis, kurių sprendimui būtina žinoti įbrėžto kampo savybes. Tai yra visa užduočių grupė, jos įtraukiamos į egzaminą. Dauguma jų išsprendžiami labai paprastai, vienu žingsniu.

Yra ir sunkesnių užduočių, bet jos jums nesukels didelių sunkumų, reikia žinoti įbrėžto kampo savybes. Pamažu analizuosime visus užduočių prototipus, kviečiu į tinklaraštį!

Dabar būtina teorija. Prisiminkite, koks centrinis ir įrašytas kampas, styga, lankas, nuo kurio priklauso šie kampai:

Centrinis apskritimo kampas vadinamas plokščiu kampu suviršūnė jos centre.

Apskritimo dalis, esanti plokščiame kampevadinamas apskritimo lanku.

Apskritimo lanko laipsnio matas yra laipsnio matasatitinkamas centrinis kampas.

Kampas vadinamas įbrėžtu į apskritimą, jei kampo viršūnė yraant apskritimo, o kampo kraštinės kerta šį apskritimą.

Linijos atkarpa, jungianti du apskritimo taškus, vadinamaakordas. Ilgiausia styga eina per apskritimo centrą ir vadinamaskersmuo.

Norėdami išspręsti kampų, įrašytų į apskritimą, uždavinius,turite žinoti šias savybes:

1. Įbrėžtasis kampas yra lygus pusei centrinio kampo, pagrįsto tuo pačiu lanku.

2. Visi įbrėžti kampai, pagrįsti tuo pačiu lanku, yra lygūs.

3. Visi įbrėžti kampai, pagrįsti ta pačia styga, kurių viršūnės yra toje pačioje šios stygos pusėje, yra lygūs.

4. Bet kuri kampų pora, pagrįsta ta pačia styga, kurios viršūnės yra priešingose ​​stygos pusėse, sudaro 180°.

Išvada: į apskritimą įbrėžto keturkampio priešingi kampai sudaro 180 laipsnių.

5. Visi įrašyti kampai pagal skersmenį yra tiesūs.

Apskritai ši savybė yra nuosavybės (1) pasekmė, tai yra jos ypatinga byla. Pažiūrėkite – centrinis kampas lygus 180 laipsnių (o šis išvystytas kampas yra ne kas kita, kaip skersmuo), o tai reiškia, kad pagal pirmąją savybę įbrėžtasis kampas C yra lygus jo pusei, tai yra 90 laipsnių.

Šios savybės išmanymas padeda išspręsti daugelį problemų ir dažnai leidžia išvengti nereikalingų skaičiavimų. Gerai įvaldę daugiau nei pusę tokio pobūdžio problemų galėsite išspręsti žodžiu. Galimos dvi pasekmės:

1 išvada: jei į apskritimą įbrėžtas trikampis ir viena jo kraštinė sutampa su šio apskritimo skersmeniu, tai trikampis yra stačiakampis (stačiojo kampo viršūnė yra ant apskritimo).

2 išvada: aprašyto apie centrą taisyklingas trikampis apskritimas sutampa su jo hipotenuzės vidurio tašku.

Daugelis stereometrinių problemų prototipų taip pat išsprendžiami naudojant šią savybę ir šias pasekmes. Prisiminkite patį faktą: jei apskritimo skersmuo yra įbrėžto trikampio kraštinė, tai šis trikampis yra stačiakampis (kampas priešais skersmenį yra 90 laipsnių). Visas kitas išvadas ir pasekmes galite pasidaryti patys, jų dėstyti nereikia.

Paprastai pusė įbrėžto kampo uždavinių pateikiami su eskizu, bet be žymėjimo. Norint suprasti samprotavimo procesą sprendžiant problemas (toliau straipsnyje), pristatomi viršūnių (kampų) žymėjimai. Per egzaminą to negalite padaryti.Apsvarstykite užduotis:

Kas yra smailusis įbrėžtas kampas, kertantis stygą, lygią apskritimo spinduliui? Atsakymą pateikite laipsniais.

Sukurkime centrinį kampą tam tikram įrašytam kampui, pažymime viršūnes:

Pagal apskritime įbrėžto kampo savybę:

Kampas AOB lygus 60 0, nes trikampis AOB yra lygiakraštis, o lygiakraščio trikampio visi kampai lygūs 60 0 . Trikampio kraštinės yra lygios, nes sąlyga sako, kad styga yra lygi spinduliui.

Taigi įbrėžiamasis kampas DIA yra 30 0 .

Atsakymas: 30

Raskite stygą, į kurią remiasi kampas 30 0, įbrėžtas į 3 spindulio apskritimą.

Tai iš esmės yra atvirkštinė (ankstesnės problemos). Pastatykime centrinį kampą.

Jis yra dvigubai didesnis už įrašytąjį, tai yra, kampas AOB yra 60 0 . Iš to galime daryti išvadą, kad trikampis AOB yra lygiakraštis. Taigi, styga yra lygi spinduliui, tai yra, trims.

Atsakymas: 3

Apskritimo spindulys lygus 1. Raskite bukojo įbrėžto kampo reikšmę pagal stygą, lygią dviejų šaknei. Atsakymą pateikite laipsniais.

Sukurkime centrinį kampą:

Žinodami spindulį ir stygą, galime rasti centrinį kampą DIA. Tai galima padaryti naudojant kosinusų dėsnį. Žinodami centrinį kampą, galime nesunkiai rasti įrašytąjį kampą ACB.

Kosinuso teorema: bet kurios trikampio kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, nepadvigubinant tų kraštinių sandaugos iš kampo tarp jų kosinuso.

Todėl antrasis centrinis kampas yra 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Pagal įbrėžto kampo savybę kampas DIA yra lygus jo pusei, tai yra 135 laipsniai.

Atsakymas: 135

Raskite stygą, ant kurios spindulio apskritime įrašytas 120 laipsnių kampas, trijų šaknis.

Sujunkite taškus A ir B su apskritimo centru. Pavadinkime tai O:

Mes žinome spindulį ir įbrėžtą kampą DIA. Mes galime rasti centrinį kampą AOB (didesnį nei 180 laipsnių), tada rasti kampą AOB trikampyje AOB. Ir tada, naudodamiesi kosinuso teorema, apskaičiuokite AB.

Pagal įbrėžto kampo savybę centrinis kampas AOB (kuris yra didesnis nei 180 laipsnių) bus lygus dvigubam įbrėžtam kampui, ty 240 laipsnių. Tai reiškia, kad kampas AOB trikampyje AOB yra 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Pagal kosinusų dėsnį:

Atsakymas: 3

Raskite įbrėžtą kampą pagal lanką, kuris yra 20% apskritimo. Atsakymą pateikite laipsniais.

Pagal įbrėžto kampo savybę jis yra perpus mažesnis už centrinį kampą, pagrįstą tuo pačiu lanku, coliais Ši byla Mes kalbame apie lanką AB.

Sakoma, kad lankas AB yra 20 procentų apskritimo. Tai reiškia, kad centrinis kampas AOB taip pat yra 20 procentų 360 0 .* Apskritimas yra 360 laipsnių kampas. Reiškia,

Taigi įbrėžtasis kampas ACB yra 36 laipsniai.

Atsakymas: 36

apskritimo lankas AC, kuriame nėra taškų B, yra 200 laipsnių. Ir apskritimo BC lankas, kuriame nėra taškų A, yra 80 laipsnių. Raskite įbrėžtinį kampą ACB. Atsakymą pateikite laipsniais.

Aiškumo dėlei pažymime lankus, kurių kampiniai matai yra pateikti. Lankas, atitinkantis 200 laipsnių - Mėlyna spalva, lankas, atitinkantis 80 laipsnių, yra raudonas, likusi apskritimo dalis yra geltona.

Taigi, lanko AB laipsnio matas (geltonas), taigi ir centrinis kampas AOB yra: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Įbrėžtasis kampas DAB yra pusė centrinio kampo AOB, tai yra, lygus 40 laipsnių.

Atsakymas: 40

Koks yra įbrėžiamasis kampas, pagrįstas apskritimo skersmeniu? Atsakymą pateikite laipsniais.

Tai kampas, sudarytas iš dviejų akordai kilusių viename apskritimo taške. Sakoma, kad įbrėžtas kampas remiasi ant lanko, uždaryto tarp jo šonų.

Įrašytas kampas lygus pusei lanko, ant kurio jis remiasi.

Kitaip tariant, įrašytas kampas apima tiek laipsnių, minučių ir sekundžių, kiek lanko laipsnių, minutės ir sekundės yra įtrauktos į pusę lanko, kuriuo jis remiasi. Norėdami pateisinti, analizuojame tris atvejus:

Pirmas atvejis:

Centras O yra šone įrašytas kampas ABS. Nubrėžę spindulį AO, gauname ΔABO, kuriame OA = OB (kaip spinduliai) ir atitinkamai ∠ABO = ∠BAO. Kalbant apie tai trikampis, kampas AOC yra išorinis. Taigi, jis yra lygus kampų ABO ir BAO sumai arba lygus dvigubam kampui ABO. Taigi ∠ABO yra pusė centrinis kampas AOC. Bet šis kampas matuojamas lanku AC. Tai yra, įbrėžtasis kampas ABC matuojamas puse lanko AC.

Antras atvejis:

Centras O yra tarp šonų įrašytas kampas ABC.Nubraižę skersmenį BD, kampą ABC padalinsime į du kampus, iš kurių pagal pirmuoju atveju nustatytą vienas matuojamas per pusę lankai AD, o kita lankinio kompaktinio disko pusė. Ir atitinkamai kampas ABC matuojamas (AD + DC) / 2, t.y. 1/2 kintamosios srovės.

Trečias atvejis:

Centras O yra lauke įrašytas kampas ABS. Nubrėžę skersmenį BD, gausime: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Tačiau kampai ABD ir CBD yra matuojami remiantis anksčiau pagrįstomis pusėmis lankai AD ir CD. Ir kadangi ∠ABС matuojamas (AD-CD)/2, tai yra pusė kintamosios srovės lanko.

1 pasekmė. Bet kurie , remiantis tuo pačiu lanku, yra vienodi, tai yra, jie yra lygūs vienas kitam. Kadangi kiekvienas iš jų matuojamas puse to paties lankai .

2 pasekmė. Įrašytas kampas, pagal skersmenį - stačiu kampu. Kadangi kiekvienas toks kampas matuojamas puse puslankiu ir atitinkamai yra 90 °.