Vektorių sandauga i j k. Koordinatėmis nurodytų vektorių sandauga

Prieš pateikiant vektorinės sandaugos sąvoką, pereikime prie vektorių a → , b → , c → sutvarkytojo trigubo orientacijos trimatėje erdvėje klausimo.

Pirmiausia atidėkime vektorius a → , b → , c → iš vieno taško. Trigubo a → , b → , c → orientacija yra dešinė arba kairė, priklausomai nuo vektoriaus c → krypties. Iš krypties, kuria trumpiausias posūkis iš vektoriaus a → į b → nuo vektoriaus c → galo, bus nustatyta trigubo a → , b → , c → forma.

Jei trumpiausias sukimas yra prieš laikrodžio rodyklę, tai vektorių trigubas a → , b → , c → vadinamas teisingai jei pagal laikrodžio rodyklę - paliko.

Tada paimkite du nekolinearinius vektorius a → ir b → . Tada vektorius A B → = a → ir A C → = b → atidėkime nuo taško A. Sukonstruokime vektorių A D → = c → , kuris vienu metu yra statmenas ir A B → ir A C → . Taigi, konstruodami vektorių A D → = c →, galime padaryti du dalykus, suteikdami jam vieną kryptį arba priešingą (žr. iliustraciją).

Sutvarkytas vektorių trijulė a → , b → , c →, kaip išsiaiškinome, gali būti dešinioji arba kairė, priklausomai nuo vektoriaus krypties.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, galime pateikti vektorinės sandaugos apibrėžimą. Šis apibrėžimas pateiktas dviem vektoriams, apibrėžtiems trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje.

1 apibrėžimas

Dviejų vektorių a → ir b → vektorinė sandauga tokį vektorių, pateiktą trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje, vadinsime taip, kad:

• jei vektoriai a → ir b → yra kolinearūs, tai bus lygus nuliui;
• jis bus statmenas ir vektoriui a →​, ir vektoriui b → t.y. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• jo ilgis nustatomas pagal formulę: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• vektorių tripletas a → , b → , c → turi tokią pačią orientaciją kaip ir duotoji koordinačių sistema.

Vektorių a → ir b → kryžminė sandauga turi tokį žymėjimą: a → × b → .

Kryžminės produkto koordinatės

Kadangi bet kuris vektorius koordinačių sistemoje turi tam tikras koordinates, galima įvesti antrą vektorinės sandaugos apibrėžimą, kuris leis iš pateiktų vektorių koordinačių rasti jo koordinates.

2 apibrėžimas

Trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje dviejų vektorių a → = (a x ; a y ; a z) ir b → = (b x ; b y ; b z) vektorinė sandauga vektorių vadinti c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kur i → , j → , k → yra koordinačių vektoriai.

Vektorinė sandauga gali būti pavaizduota kaip trečios eilės kvadratinės matricos determinantas, kur pirmoji eilutė yra orta vektoriai i → , j → , k → , antroje eilutėje yra vektoriaus a → koordinatės, o trečioje yra vektoriaus b → koordinatės duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje, šis matricos determinantas atrodo taip: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Išplėtę šį determinantą per pirmosios eilutės elementus, gauname lygybę: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a k → b = = × b y a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Kryžminio produkto savybės

Yra žinoma, kad vektorinė sandauga koordinatėse vaizduojama kaip matricos c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z determinantas, tada ant pagrindo matricos determinantų savybės Sekantis vektoriaus produkto savybės:

1. antikomutatyvumas a → × b → = - b → × a → ;
2. pasiskirstymas a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → arba a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociatyvumas λ a → × b → = λ a → × b → arba a → × (λ b →) = λ a → × b → , kur λ yra savavališkas realusis skaičius.

Šios savybės neturi sudėtingų įrodymų.

Pavyzdžiui, galime įrodyti vektorinės sandaugos antikomutatyvumo savybę.

Antikomutatyvumo įrodymas

Pagal apibrėžimą a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ir b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Ir jei dvi matricos eilutės yra sukeistos, tai matricos determinanto reikšmė turėtų pasikeisti į priešingą, todėl a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , kuris ir įrodo vektorinės sandaugos antikomutatyvumą.

Vektorinis produktas – pavyzdžiai ir sprendimai

Daugeliu atvejų yra trijų tipų užduotys.

Pirmojo tipo uždaviniuose dažniausiai nurodomi dviejų vektorių ilgiai ir kampas tarp jų, tačiau reikia rasti kryžminės sandaugos ilgį. Šiuo atveju naudokite šią formulę c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

1 pavyzdys

Raskite vektorių a → ir b → kryžminės sandaugos ilgį, jei žinomas a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

Sprendimas

Naudodami vektorių a → ir b → vektorinės sandaugos ilgio apibrėžimą, išsprendžiame šį uždavinį: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Atsakymas: 15 2 2 .

Antrojo tipo užduotys turi ryšį su vektorių koordinatėmis, jose yra vektorinė sandauga, jo ilgis ir kt. ieškoma pagal žinomas nurodytų vektorių koordinates a → = (a x ; a y ; a z) Ir b → = (b x ; b y ; b z) .

Šio tipo užduotims galite išspręsti daugybę užduočių variantų. Pavyzdžiui, ne vektorių a → ir b → koordinatės, o jų išplėtimai formos koordinačių vektoriuose b → = b x i → + b y j → + b z k → ir c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , arba vektoriai a → ir b → gali būti pateikti pagal jų koordinates. pradžios ir pabaigos taškai.

Apsvarstykite šiuos pavyzdžius.

2 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje nustatyti du vektoriai a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Raskite jų vektorinį produktą.

Sprendimas

Pagal antrąjį apibrėžimą randame dviejų vektorių vektorinę sandaugą duotose koordinatėse: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jei vektorinį sandaugą rašome per matricos determinantą, tai šio pavyzdžio sprendimas yra toks: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Atsakymas: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

3 pavyzdys

Raskite vektorių i → - j → ir i → + j → + k →, kur i → , j → , k → - stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos skersinės sandaugos ilgį.

Sprendimas

Pirmiausia suraskime duotosios vektorinės sandaugos i → - j → × i → + j → + k → koordinates duotoje stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Yra žinoma, kad vektoriai i → - j → ir i → + j → + k → turi atitinkamai koordinates (1 ; - 1 ; 0) ir (1 ; 1 ; 1). Raskite vektorinės sandaugos ilgį naudodami matricos determinantą, tada turime i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Todėl vektorinė sandauga i → - j → × i → + j → + k → turi koordinates (- 1 ; - 1 ; 2) duotoje koordinačių sistemoje.

Vektorinės sandaugos ilgį randame pagal formulę (žr. skyrių apie vektoriaus ilgio radimą): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Atsakymas: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

4 pavyzdys

Trijų taškų A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​, C (1 , 4 , 2) koordinatės pateiktos stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Raskite kokį nors vektorių, statmeną A B → ir A C → vienu metu.

Sprendimas

Vektoriai A B → ir A C → turi šias koordinates (- 1 ; 2 ; 2) ir (0 ; 4 ; 1). Radus vektorių A B → ir A C → vektorinę sandaugą, akivaizdu, kad tai pagal apibrėžimą statmenas vektorius ir A B →, ir A C → , tai yra mūsų problemos sprendimas. Raskite A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Atsakymas: - 6 i → + j → - 4 k → . yra vienas iš statmenų vektorių.

Trečiojo tipo problemos yra orientuotos į vektorių vektorinės sandaugos savybių panaudojimą. Taikę tai, gausime pateiktos problemos sprendimą.

5 pavyzdys

Vektoriai a → ir b → yra statmeni, o jų ilgiai yra atitinkamai 3 ir 4. Raskite kryžminės sandaugos ilgį 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Sprendimas

Pagal vektorinės sandaugos pasiskirstymo savybę galime parašyti 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Pagal asociatyvumo savybę išimame skaitinius koeficientus, esančius už vektorinių sandaugų ženklo paskutinėje išraiškoje: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorinės sandaugos a → × a → ir b → × b → lygios 0, nes a → × a → = a → a → sin 0 = 0 ir b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , tada 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Iš vektorinės sandaugos antikomutatyvumo išplaukia - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Naudodamiesi vektorinės sandaugos savybėmis, gauname lygybę 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Pagal sąlygą vektoriai a → ir b → yra statmeni, tai yra kampas tarp jų lygus π 2 . Dabar lieka tik rastas reikšmes pakeisti atitinkamomis formulėmis: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Atsakymas: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Vektorių kryžminės sandaugos ilgis pagal apibrėžimą yra a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Kadangi jau žinoma (iš mokyklos kurso), kad trikampio plotas yra lygus pusei jo dviejų kraštinių ilgių sandaugos, padaugintos iš kampo tarp šių kraštinių sinuso. Todėl vektoriaus sandaugos ilgis yra lygus lygiagretainio plotui - padvigubinto trikampio, ty vektorių a → ir b → pavidalo kraštinių sandauga, atidėta iš vieno taško sinusu. kampo tarp jų sin ∠ a → , b → .

Tai geometrinė vektorinės sandaugos reikšmė.

Fizinė vektorinės sandaugos reikšmė

Mechanikoje, vienoje iš fizikos šakų, vektorinio produkto dėka galite nustatyti jėgos momentą erdvės taško atžvilgiu.

3 apibrėžimas

Pagal jėgos momentą F → , taikomą taškui B , taško A atžvilgiu suprasime tokią vektorinę sandaugą A B → × F → .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Šis internetinis skaičiuotuvas apskaičiuoja vektorių kryžminę sandaugą. Pateikiamas išsamus sprendimas. Norėdami apskaičiuoti vektorių kryžminę sandaugą, langeliuose įveskite vektorių koordinates ir spustelėkite „Apskaičiuoti“.

×

Įspėjimas

Išvalyti visas ląsteles?

Uždaryti Išvalyti

Duomenų įvedimo instrukcija. Skaičiai įvedami kaip sveikieji skaičiai (pavyzdžiai: 487, 5, -7623 ir kt.), dešimtainiai skaičiai (pvz., 67., 102,54 ir kt.) arba trupmenos. Trupmena turi būti įvesta forma a/b, kur a ir b (b>0) yra sveikieji arba dešimtainiai skaičiai. Pavyzdžiai 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ir kt.

Kryžminė vektorių sandauga

Prieš pradėdami apibrėžti vektorių sandaugą, apsvarstykite sąvokas sutvarkytas vektorių trigubas, kairysis vektorių trigubas, dešinysis vektorių trigubas.

Apibrėžimas 1. Vadinami trys vektoriai užsakė trigubą(arba trigubai), jei nurodyta, kuris iš šių vektorių yra pirmasis, kuris antras, o kuris trečias.

Įrašymas cba- reiškia - pirmasis yra vektorius c, antrasis yra vektorius b o trečiasis yra vektorius a.

Apibrėžimas 2. Nevienaplanių vektorių trigubas abc vadinami dešiniuoju (kairiuoju), jei redukuojant į bendrą pradžią šie vektoriai yra išdėstyti taip, kad atitinkamai yra dideli, nesulenkti dešinės (kairės) rankos rodomieji ir viduriniai pirštai.

2 apibrėžimą galima suformuluoti ir kitaip.

Apibrėžimas 2. Nevienaplanių vektorių trigubas abc vadinamas dešiniuoju (kairiuoju), jei, sumažinus iki bendros kilmės, vektorius c esančios kitoje vektorių apibrėžtos plokštumos pusėje a Ir b, iš kur trumpiausias posūkis aĮ b atliekamas prieš laikrodžio rodyklę (pagal laikrodžio rodyklę).

Vektorinė trijulė abc parodyta pav. 1 yra teisingas ir trigubas abc parodyta pav. 2 liko.

Jei du vektorių trigubai yra dešinėje arba kairėje, tada sakoma, kad jie turi tą pačią orientaciją. Priešingu atveju sakoma, kad jie yra priešingos orientacijos.

Apibrėžimas 3. Dekartinė arba gimininga koordinačių sistema vadinama dešiniąja (kairiąja), jei trys baziniai vektoriai sudaro dešinįjį (kairįjį) trigubą.

Tikslumui toliau nagrinėsime tik dešiniarankes koordinačių sistemas.

4 apibrėžimas. vektorinis menas vektorius a vienam vektoriui b vadinamas vektoriumi Su, žymimas simboliu c=[ab] (arba c=[a, b] arba c=a×b) ir atitinkantys šiuos tris reikalavimus:

• vektoriaus ilgis Su yra lygus vektorių ilgių sandaugai a Ir bį kampo sinusą φ tarp jų:

|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;

(1)

• vektorius Su statmena kiekvienam vektoriui a Ir b;
• vektorius c nukreiptas taip, kad trys abc teisingai.

Kryžminė vektorių sandauga turi šias savybes:

• [ab]=−[ba] (antipermutacija faktoriai);
• [(λa)b]=λ [ab] (suderinamumas skaitinio koeficiento atžvilgiu);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (paskirstymas vektorių sumos atžvilgiu);
• [aa]=0 bet kuriam vektoriui a.

Vektorių kryžminės sandaugos geometrinės savybės

1 teorema. Kad du vektoriai būtų kolinearūs, būtina ir pakanka, kad jų vektorinė sandauga būtų lygi nuliui.

Įrodymas. Būtinybė. Tegul vektoriai a Ir b kolinearinis. Tada kampas tarp jų yra 0 arba 180° ir sinφ=nuodėmė180=nuodėmė 0=0. Todėl, atsižvelgiant į išraišką (1), vektoriaus ilgį c lygus nuliui. Tada c nulinis vektorius.

Tinkamumas. Tegul vektorių kryžminė sandauga a Ir b pereiti prie nulio: [ ab]=0. Įrodykime, kad vektoriai a Ir b kolinearinis. Jei bent vienas iš vektorių a Ir b nulis, tada šie vektoriai yra kolineariniai (nes nulinis vektorius turi neapibrėžtą kryptį ir gali būti laikomas kolineariniu bet kuriam vektoriui).

Jei abu vektoriai a Ir b ne nulis, tada | a|>0, |b|>0. Tada iš [ ab]=0 ir iš (1) išplaukia, kad sinφ=0. Taigi vektoriai a Ir b kolinearinis.

Teorema įrodyta.

2 teorema. Vektorinės sandaugos ilgis (modulis) [ ab] lygus plotui S lygiagretainis, pastatytas ant vektorių, sumažintų iki bendros pradžios a Ir b.

Įrodymas. Kaip žinote, lygiagretainio plotas yra lygus gretimų šio lygiagretainio kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugai. Taigi:

Tada šių vektorių kryžminė sandauga turi tokią formą:

Išplėsdami determinantą virš pirmosios eilutės elementų, gauname vektoriaus skaidymą a × b pagrindu i, j, k, kuri atitinka (3) formulę.

3 teoremos įrodymas. Sudarykite visas galimas bazinių vektorių poras i, j, k ir apskaičiuokite jų vektorinę sandaugą. Reikėtų atsižvelgti į tai, kad baziniai vektoriai yra vienas kitą stačiakampiai, sudaro dešinįjį trigubą ir turi vienetinį ilgį (kitaip tariant, galime daryti prielaidą, kad i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Tada mes turime:

Iš paskutinės lygybės ir santykių (4) gauname:

Sudarykite 3×3 matricą, kurios pirmoji eilutė yra baziniai vektoriai aš, j, k, o likusios eilutės užpildomos vektorių elementais a Ir b:

Taigi vektorių kryžminės sandaugos rezultatas a Ir b bus vektorius:

.

2 pavyzdys. Raskite vektorių kryžminę sandaugą [ ab], kur vektorius a pavaizduotas dviem taškais. Vektoriaus a pradžios taškas: , vektoriaus pabaigos taškas a: , vektorius b turi formą .

Sprendimas. Perkelkite pirmąjį vektorių į pradinę vietą. Norėdami tai padaryti, iš atitinkamų pabaigos taško koordinačių atimkite pradžios taško koordinates:

Šios matricos determinantą apskaičiuojame išplėsdami pirmoje eilutėje. Šių skaičiavimų rezultate gauname vektorių sandaugą a Ir b.

vektorinis produktas yra pseudovektorius, statmenas plokštumai, sudarytas iš dviejų veiksnių, kuris yra dvinarės operacijos „vektoriaus dauginimas“ trimatėje euklidinėje erdvėje vektoriuose rezultatas. Vektoriaus sandauga neturi komutatyvumo ir asociatyvumo savybių (ji yra antikomutacinė) ir, skirtingai nei vektorių skaliarinė sandauga, yra vektorius. Plačiai naudojamas daugelyje techninių ir fizinių programų. Pavyzdžiui, kampinis momentas ir Lorenco jėga yra matematiškai parašyti kaip kryžminė sandauga. Kryžminė sandauga naudinga vektorių statmenumui „matuoti“ – dviejų vektorių kryžminės sandaugos modulis lygus jų modulių sandaugai, jei jie statmeni, ir sumažėja iki nulio, jei vektoriai lygiagretūs arba antilygiagretūs.

Vektorinį sandaugą galite apibrėžti įvairiais būdais, o teoriškai bet kokio dydžio n erdvėje galite apskaičiuoti n-1 vektorių sandaugą, gaudami vieną vektorių, statmeną jiems visiems. Bet jei sandauga apsiriboja netrivialiais dvejetainiais sandaugais su vektoriniais rezultatais, tai tradicinė vektorinė sandauga apibrėžiama tik trimatėse ir septynių dimensijų erdvėse. Vektorinės sandaugos, kaip ir skaliarinės sandaugos, rezultatas priklauso nuo Euklido erdvės metrikos.

Skirtingai nuo skaliarinės sandaugos apskaičiavimo iš vektorių koordinačių trimatėje stačiakampėje koordinačių sistemoje formulės, vektorinės sandaugos formulė priklauso nuo stačiakampės koordinačių sistemos orientacijos arba, kitaip tariant, nuo jos „chiralumo“.

Apibrėžimas:
Vektoriaus a ir vektoriaus b sandauga erdvėje R 3 vadinama vektoriumi c, kuris tenkina šiuos reikalavimus:
vektoriaus c ilgis lygus vektorių a ir b ilgių sandaugai tarp jų esančio kampo φ sinuso:
|c|=|a||b|sin φ;
vektorius c yra statmenas kiekvienam vektoriui a ir b;
vektorius c nukreiptas taip, kad vektorių abc trigubas būtų teisingas;
erdvės R7 atveju reikalingas vektorių trigubo a,b,c asociatyvumas.
Pavadinimas:
c===a×b

Ryžiai. 1. Lygiagretainio plotas lygus skersinės sandaugos moduliui

Kryžminio gaminio geometrinės savybės:
Būtina ir pakankama dviejų nulinių vektorių kolineariškumo sąlyga yra jų vektorinės sandaugos lygybė nuliui.

Kryžminis gaminio modulis lygus plotui S lygiagretainis, pastatytas ant vektorių, sumažintų iki bendros pradžios a Ir b(žr. 1 pav.).

Jeigu e- vieneto vektorius, statmenas vektoriams a Ir b ir pasirinkta taip, kad trigubas a,b,e- Teisingai ir S- ant jų pastatyto lygiagretainio plotas (sumažintas iki bendros pradžios), tada vektorinei sandaugai tinka ši formulė:
=S e

2 pav. Gretasienio tūris, kai naudojamas vektorius ir vektorių skaliarinė sandauga; punktyrinės linijos rodo vektoriaus c projekcijas ant a × b ir vektoriaus a projekcijas ant b × c, pirmiausia reikia rasti vidinius sandaugius

Jeigu c- bet koks vektorius π - bet kuri plokštuma, kurioje yra šis vektorius, e- vieneto vektorius guli plokštumoje π ir statmenai į c,g- vieneto vektorius, statmenas plokštumai π ir nukreiptas taip, kad vektorių trigubas ekg yra teisus, tada už bet kokį gulėjimą lėktuve π vektorius a teisinga formulė yra:
=Pr e a |c|g
čia Pr e a yra vektoriaus e projekcija į a
|c|-vektoriaus c modulis

Naudodami vektorinius ir skaliarinius sandaugus, galite apskaičiuoti gretasienio tūrį, pastatytą ant vektorių, sumažintų iki bendros pradžios a, b Ir c. Tokia trijų vektorių sandauga vadinama mišriuoju.
V=|a (b×c)|
Paveikslėlyje parodyta, kad šį tūrį galima rasti dviem būdais: geometrinis rezultatas išsaugomas net tada, kai sukeičiami „skaliariniai“ ir „vektoriniai“ sandaugai:
V=a×b c=a b×c

Kryžminės sandaugos vertė priklauso nuo kampo tarp pradinių vektorių sinuso, todėl kryžminė sandauga gali būti laikoma vektorių „statmenumo“ laipsniu, lygiai kaip taškinė sandauga gali būti laikoma vektorių laipsniu. "paralelizmas". Dviejų vienetinių vektorių sandauga yra lygi 1 (vienetinis vektorius), jei pradiniai vektoriai yra statmeni, ir lygi 0 (nulis vektorius), jei vektoriai yra lygiagretūs arba antilygiagretūs.

Kryžminio produkto išraiška Dekarto koordinatėmis
Jei du vektoriai a Ir b yra apibrėžtos jų stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis, tiksliau, jos pavaizduotos ortonormaliu pagrindu
a=(ax,ay,az)
b=(b x ,b y ,b z)
ir koordinačių sistema yra teisinga, tada jų vektorinė sandauga turi formą
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Norėdami prisiminti šią formulę:
i =∑ε ijk a j b k
Kur ε ijk- Levi-Civita simbolis.

Šioje pamokoje apžvelgsime dar dvi operacijas su vektoriais: vektorių kryžminė sandauga Ir mišrus vektorių sandauga (Tiesioginė nuoroda tiems, kam to reikia). Viskas gerai, kartais nutinka taip, kad dėl visiškos laimės, be to vektorių taškinė sandauga, reikia vis daugiau. Tokia yra vektorinė priklausomybė. Gali susidaryti įspūdis, kad patenkame į analitinės geometrijos džiungles. Tai yra blogai. Šioje aukštosios matematikos dalyje malkų paprastai yra mažai, išskyrus galbūt pakankamai Pinokiui. Tiesą sakant, medžiaga yra labai paplitusi ir paprasta – vargu ar sunkesnė nei ta pati skaliarinis produktas, net bus mažiau tipinių užduočių. Pagrindinis dalykas analitinėje geometrijoje, kaip daugelis matys ar jau matė, yra NEKLAISTI SKAIČIAVIMUI. Kartokite kaip burtažodį ir būsite laimingi =)

Jei vektoriai kibirkščiuoja kažkur toli, kaip žaibas horizonte, tai nesvarbu, pradėkite nuo pamokos Manekenų vektoriai atkurti arba iš naujo įgyti pagrindines žinias apie vektorius. Labiau pasiruošę skaitytojai gali susipažinti su informacija pasirinktinai, stengiausi surinkti kuo išsamesnį pavyzdžių rinkinį, kuris dažnai sutinkamas praktiniame darbe

Kas jus pradžiugins? Kai buvau mažas, galėjau žongliruoti dviem ir net trimis kamuoliais. Tai pavyko gerai. Dabar visai nereikia žongliruoti, nes mes svarstysime tik erdvės vektoriai, o plokštieji vektoriai su dviem koordinatėmis bus palikti. Kodėl? Taip gimė šie veiksmai – vektorius ir mišrus vektorių sandauga yra apibrėžti ir veikia trimatėje erdvėje. Jau lengviau!

Atliekant šią operaciją, kaip ir skaliariniame sandaugoje, du vektoriai. Tebūnie tai neišnykstančios raidės.

Pats veiksmas žymimas tokiu būdu: . Yra ir kitų variantų, bet aš įpratęs vektorių kryžminę sandaugą žymėti tokiu būdu, laužtiniuose skliaustuose su kryžiumi.

Ir iš karto klausimas: jei yra vektorių taškinė sandauga dalyvauja du vektoriai, o čia taip pat padauginami du vektoriai, tada koks skirtumas? Aiškus skirtumas, visų pirma, REZULTATAS:

Vektorių skaliarinės sandaugos rezultatas yra SKAIČIUS:

Kryžminės vektorių sandaugos rezultatas yra VEKTORIUS: , tai yra, vektorius padauginame ir vėl gauname vektorių. Uždaras klubas. Tiesą sakant, iš čia ir kilo operacijos pavadinimas. Įvairioje mokomojoje literatūroje pavadinimai taip pat gali skirtis, naudosiu raidę .

Kryžminio produkto apibrėžimas

Pirmiausia bus apibrėžimas su nuotrauka, tada komentarai.

Apibrėžimas: kryžminis produktas nekolinearinis vektoriai, paimta tokia tvarka, vadinamas VECTOR, ilgio kuris yra skaitinis lygus lygiagretainio plotui, sukurta remiantis šiais vektoriais; vektorius statmenas vektoriams, ir yra nukreiptas taip, kad pagrindas būtų teisingas:

Mes analizuojame apibrėžimą pagal kaulus, yra daug įdomių dalykų!

Taigi galime pabrėžti šiuos svarbius dalykus:

1) Šaltinio vektoriai , pažymėti raudonomis rodyklėmis, pagal apibrėžimą ne kolinearinis. Kolinearinių vektorių atvejį tikslinga apsvarstyti šiek tiek vėliau.

2) Paimti vektoriai griežta tvarka: – "a" padauginamas iš "būti", o ne „būti“ į „a“. Vektoriaus daugybos rezultatas yra VECTOR , kuris pažymėtas mėlyna spalva. Jei vektoriai padauginami atvirkštine tvarka, tada gauname vienodo ilgio ir priešingos krypties vektorių (raudonos spalvos). Tai yra lygybė .

3) Dabar susipažinkime su vektorinės sandaugos geometrine reikšme. Tai labai svarbus punktas! Mėlynojo vektoriaus ILGIS (taigi ir tamsiai raudonos spalvos vektoriaus ) yra skaitine prasme lygus lygiagretainio, sukurto ant vektorių, PLOTUI. Paveiksle šis lygiagretainis nuspalvintas juodai.

Pastaba : brėžinys yra schematiškas, ir, žinoma, vardinis skersinio sandaugos ilgis nėra lygus lygiagretainio plotui.

Primename vieną iš geometrinių formulių: lygiagretainio plotas lygus gretimų kraštinių sandaugai ir kampo tarp jų sinusui. Todėl, remiantis tuo, kas išdėstyta, galioja vektoriaus sandaugos ILGIO apskaičiavimo formulė:

Pabrėžiu, kad formulėje kalbame apie vektoriaus ILGĮ, o ne apie patį vektorių. Kokia praktinė prasmė? O prasmė yra tokia, kad analitinės geometrijos problemose lygiagretainio plotas dažnai randamas naudojant vektorinio sandaugos sąvoką:

Gauname antrąją svarbią formulę. Lygiagretainio įstrižainė (raudona punktyrinė linija) padalija jį į du vienodus trikampius. Todėl trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą (raudonas atspalvis) galima rasti pagal formulę:

4) Ne mažiau svarbus faktas yra tai, kad vektorius yra statmenas vektoriams , tai yra . Žinoma, priešingos krypties vektorius (raudonoji rodyklė) taip pat yra statmena pirminiams vektoriams .

5) Vektorius nukreiptas taip pagrindu Tai turi teisingai orientacija. Pamokoje apie pereiti prie naujo pagrindo Aš kalbėjau išsamiai apie plokštumos orientacija, o dabar išsiaiškinsime, kokia yra erdvės orientacija. Paaiškinsiu ant pirštų dešinė ranka. Psichiškai derinkite smiliumi su vektoriumi ir vidurinis pirštas su vektoriumi. Bevardis pirštas ir mažasis pirštas paspauskite į delną. Kaip rezultatas nykštys- vektorinė sandauga atrodys aukštyn. Tai yra į dešinę orientuotas pagrindas (jis yra paveikslėlyje). Dabar pakeiskite vektorius ( rodomieji ir viduriniai pirštai) kai kuriose vietose dėl to nykštis apsisuks, o vektorinė sandauga jau žiūrės žemyn. Tai taip pat yra į dešinę orientuotas pagrindas. Galbūt jums kyla klausimas: koks pagrindas turi kairiąją orientaciją? „Priskirti“ tuos pačius pirštus kairiarankis vektorius ir gaukite kairiosios bazės bei kairiosios erdvės orientaciją (šiuo atveju nykštis bus apatinio vektoriaus kryptimi). Vaizdžiai tariant, šios bazės „suka“ arba orientuoja erdvę įvairiomis kryptimis. Ir ši sąvoka neturėtų būti laikoma kažkuo nutolusia ar abstrakčia - pavyzdžiui, įprasčiausias veidrodis keičia erdvės orientaciją, o jei „ištrauksite atspindėtą objektą iš veidrodžio“, apskritai nebus įmanoma derinkite jį su „originalu“. Beje, atvesk tris pirštus prie veidrodžio ir analizuok atspindį ;-)

... kaip gerai, kad dabar apie tai žinai orientuoti į dešinę ir į kairę pagrindus, nes kai kurių dėstytojų pasisakymai apie orientacijos pasikeitimą yra baisūs =)

Kolinearinių vektorių vektorinė sandauga

Apibrėžimas buvo detaliai parengtas, belieka išsiaiškinti, kas atsitinka, kai vektoriai yra kolineariniai. Jei vektoriai yra kolinearūs, tada jie gali būti išdėstyti vienoje tiesėje, o mūsų lygiagretainis taip pat „susilenkia“ į vieną tiesią liniją. Tokių sričių, kaip sako matematikai, išsigimęs lygiagretainis lygus nuliui. Tas pats išplaukia iš formulės – nulio arba 180 laipsnių sinusas lygus nuliui, vadinasi, plotas lygus nuliui

Taigi, jei , tada Ir . Atkreipkite dėmesį, kad pati kryžminė sandauga yra lygi nulio vektoriui, tačiau praktikoje tai dažnai nepaisoma ir rašoma, kad jis taip pat lygus nuliui.

Ypatingas atvejis yra vektoriaus ir paties vektoriaus sandauga:

Naudodami kryžminį sandaugą galite patikrinti trimačių vektorių kolineariškumą, be kita ko, mes taip pat išanalizuosime šią problemą.

Norint išspręsti praktinius pavyzdžius, gali prireikti trigonometrinė lentelė iš jo rasti sinusų reikšmes.

Na, užkurkime ugnį:

1 pavyzdys

a) Raskite vektorių sandaugos ilgį, jei

b) Raskite lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei

Sprendimas: Ne, tai nėra rašybos klaida, aš sąmoningai sudariau tokius pačius pradinius duomenis sąlygos elementuose. Nes sprendimų dizainas bus kitoks!

a) Pagal sąlygą reikia rasti ilgio vektorius (vektoriaus sandauga). Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Kadangi buvo klausiama apie ilgį, tai atsakyme nurodome matmenį – vienetus.

b) Pagal sąlygą reikia rasti kvadratas vektoriais pastatytas lygiagretainis . Šio lygiagretainio plotas yra skaitiniu būdu lygus skersinės sandaugos ilgiui:

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad atsakyme apie vektorinį produktą visai nekalbama, mūsų buvo paklausta figūros sritis, atitinkamai matmuo yra kvadratiniai vienetai.

Visada žiūrime, KO reikia, kad būtų nustatyta sąlyga, ir pagal tai formuluojame aišku atsakyti. Gali atrodyti, kad tai yra pažodiškumas, bet tarp mokytojų yra pakankamai literatų, ir užduotis su didelėmis galimybėmis bus grąžinta peržiūrėti. Nors tai nėra itin įtemptas niekšas – jei atsakymas neteisingas, susidaro įspūdis, kad žmogus nesupranta paprastų dalykų ir/arba nesuprato užduoties esmės. Šį momentą visada reikia kontroliuoti, sprendžiant bet kokias aukštosios matematikos ir kitų dalykų problemas.

Kur dingo didžioji raidė „en“? Iš principo būtų galima papildomai prikibti prie sprendimo, bet, norėdamas sutrumpinti įrašą, to nepadariau. Tikiuosi, kad visi tai supranta ir reiškia tą patį dalyką.

Populiarus „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:

2 pavyzdys

Raskite trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei

Formulė, kaip rasti trikampio plotą per vektorinį sandaugą, pateikta apibrėžimo komentaruose. Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Praktiškai užduotis tikrai labai dažna, trikampius apskritai galima kankinti.

Norėdami išspręsti kitas problemas, mums reikia:

Vektorių kryžminės sandaugos savybės

Mes jau apsvarstėme kai kurias vektorinio produkto savybes, tačiau įtrauksiu jas į šį sąrašą.

Savavališkiems vektoriams ir savavališkam skaičiui galioja šios savybės:

1) Kituose informacijos šaltiniuose šis elementas paprastai nėra išskiriamas savybėse, tačiau jis yra labai svarbus praktiniu požiūriu. Taigi tegul būna.

2) - turtas taip pat aptartas aukščiau, kartais jis vadinamas antikomutatyvumas. Kitaip tariant, vektorių tvarka yra svarbi.

3) - derinys arba asociatyvus vektorinių sandaugų dėsniai. Konstantos lengvai pašalinamos iš vektorinės sandaugos ribų. Tikrai, ką jie ten veikia?

4) - paskirstymas arba paskirstymas vektorinių sandaugų dėsniai. Taip pat nėra problemų atidarant skliaustus.

Kaip demonstraciją apsvarstykite trumpą pavyzdį:

3 pavyzdys

Rasti, jei

Sprendimas: Pagal sąlygą vėl reikia rasti vektorinės sandaugos ilgį. Nupieškime savo miniatiūrą:

(1) Pagal asociatyvinius dėsnius išimame konstantas už vektorinės sandaugos ribų.

(2) Mes išimame konstantą iš modulio, o modulis „suvalgo“ minuso ženklą. Ilgis negali būti neigiamas.

(3) Toliau aišku.

Atsakymas:

Atėjo laikas mesti malkas į ugnį:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite vektoriais pastatyto trikampio plotą, jei

Sprendimas: Raskite trikampio plotą naudodami formulę . Bėda ta, kad vektoriai „ce“ ir „te“ patys pateikiami kaip vektorių sumos. Algoritmas čia yra standartinis ir šiek tiek primena pamokos 3 ir 4 pavyzdžius. Taškinė vektorių sandauga. Kad būtų aiškumo, suskirstykime jį į tris etapus:

1) Pirmajame etape vektorinį sandaugą išreiškiame per vektorinį sandaugą, iš tikrųjų, išreikškite vektorių vektoriumi. Apie ilgį dar nė žodžio!

(1) Mes pakeičiame vektorių išraiškas.

(2) Naudodamiesi paskirstymo dėsniais, skliaustus atveriame pagal daugianario daugybos taisyklę.

(3) Naudodamiesi asociatyviniais dėsniais, išimame visas konstantas už vektorinių sandaugų. Turint mažai patirties, 2 ir 3 veiksmus galima atlikti vienu metu.

(4) Pirmasis ir paskutinis nariai yra lygūs nuliui (nulis vektorius) dėl malonios savybės . Antrajame termine mes naudojame vektorinio produkto antikomutatyvumo savybę:

(5) Pateikiame panašias sąlygas.

Dėl to vektorius buvo išreikštas vektoriumi, o tai buvo tai, ko reikėjo pasiekti:

2) Antrame žingsnyje randame mums reikalingos vektorinės sandaugos ilgį. Šis veiksmas panašus į 3 pavyzdį:

3) Raskite norimo trikampio plotą:

2-3 tirpalo žingsniai gali būti išdėstyti vienoje eilutėje.

Atsakymas:

Nagrinėjama problema yra gana dažna bandymuose, čia yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

5 pavyzdys

Rasti, jei

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Pažiūrėkime, koks buvote dėmesingas tyrinėdamas ankstesnius pavyzdžius ;-)

Kryžminė vektorių sandauga koordinatėse

, pateikta ortonormaliu pagrindu , išreiškiamas formule:

Formulė tikrai paprasta: determinanto viršutinėje eilutėje įrašome koordinačių vektorius, antroje ir trečioje eilutėje „supakuojame“ vektorių koordinates ir dedame griežta tvarka- pirmiausia vektoriaus "ve" koordinatės, tada vektoriaus "double-ve" koordinatės. Jei vektorius reikia padauginti kita tvarka, tada eilutės taip pat turėtų būti pakeistos:

10 pavyzdys

Patikrinkite, ar šie erdvės vektoriai yra kolinearūs:
A)
b)

Sprendimas: Testas pagrįstas vienu iš šios pamokos teiginių: jei vektoriai yra kolinearūs, tada jų kryžminė sandauga yra nulis (nulis vektorius): .

a) Raskite vektorinę sandaugą:

Taigi vektoriai nėra kolineariniai.

b) Raskite vektorinę sandaugą:

Atsakymas a) ne kolinearinis, b)

Čia, ko gero, yra visa pagrindinė informacija apie vektorių sandaugą.

Ši sekcija nebus labai didelė, nes yra keletas problemų, kai naudojamas vektorių mišrus sandauga. Tiesą sakant, viskas priklausys nuo apibrėžimo, geometrinės reikšmės ir kelių darbo formulių.

Mišrus vektorių sandauga yra trijų vektorių sandauga:

Taip jie išsirikiavo kaip traukinys ir laukia, negali laukti, kol bus paskaičiuoti.

Pirmiausia vėl apibrėžimas ir paveikslėlis:

Apibrėžimas: Mišrus produktas ne lygiagrečiai vektoriai, paimta tokia tvarka, vadinamas gretasienio tūris, pastatytas ant šių vektorių, turintis "+" ženklą, jei pagrindas yra teisingas, ir "-" ženklą, jei pagrindas yra kairysis.

Padarykime piešinį. Mums nematomos linijos brėžiamos punktyrine linija:

Pasinerkime į apibrėžimą:

2) Paimti vektoriai tam tikra tvarka, tai yra, vektorių permutacija sandaugoje, kaip galima spėti, neapsieina be pasekmių.

3) Prieš komentuodamas geometrinę reikšmę, atkreipsiu dėmesį į akivaizdų faktą: vektorių mišrus sandauga yra SKAIČIUS: . Mokomojoje literatūroje dizainas gali būti kiek kitoks, aš mišrų gaminį žymėjau per, o skaičiavimų rezultatą – raide „pe“.

A-prioras mišrusis produktas – gretasienio tūris, pastatytas ant vektorių (figūra nupiešta raudonais vektoriais ir juodomis linijomis). Tai yra, skaičius yra lygus nurodyto gretasienio tūriui.

Pastaba : Brėžinys yra schematiškas.

4) Vėl nesivarginkime pagrindo ir erdvės orientacijos samprata. Paskutinės dalies prasmė ta, kad prie tomo galima pridėti minuso ženklą. Paprastais žodžiais tariant, mišrus produktas gali būti neigiamas: .

Iš vektorių pastatyto gretasienio tūrio apskaičiavimo formulė tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo.

Kampas tarp vektorių

Kad galėtume pristatyti dviejų vektorių kryžminės sandaugos sąvoką, pirmiausia turime nagrinėti tokią sąvoką kaip kampas tarp šių vektorių.

Duokime du vektorius $\overline(α)$ ir $\overline(β)$. Paimkime kokį nors tašką $O$ erdvėje ir atidėkime vektorius $\overline(α)=\overline(OA)$ ir $\overline(β)=\overline(OB)$, tada kampą $AOB. $ bus vadinamas kampu tarp šių vektorių (1 pav.).

Žymėjimas: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Vektorių kryžminės sandaugos samprata ir radimo formulė

1 apibrėžimas

Dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, statmenas abiem duotiesiems vektoriams, o jo ilgis bus lygus šių vektorių ilgių sandaugai su kampo tarp šių vektorių sinusu, o šis vektorius su dviem pradiniais turi tą patį orientacija kaip Dekarto koordinačių sistema.

Žymėjimas: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematiškai tai atrodo taip:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ ir $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ yra ta pati orientuota (2 pav.)

Akivaizdu, kad išorinė vektorių sandauga bus lygi nuliniam vektoriui dviem atvejais:

1. Jei vieno ar abiejų vektorių ilgis lygus nuliui.
2. Jei kampas tarp šių vektorių lygus $180^\circ$ arba $0^\circ$ (nes šiuo atveju sinusas lygus nuliui).

Norėdami aiškiai matyti, kaip randama vektorių kryžminė sandauga, apsvarstykite šiuos sprendimų pavyzdžius.

1 pavyzdys

Raskite vektoriaus $\overline(δ)$, kuris bus vektorių sandaugos rezultatas, su koordinatėmis $\overline(α)=(0,4,0)$ ir $\overline(β) ilgį. =(3,0,0 )$.

Sprendimas.

Pavaizduokime šiuos vektorius Dekarto koordinačių erdvėje (3 pav.):

3 pav. Vektoriai Dekarto koordinačių erdvėje. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais

Matome, kad šie vektoriai yra atitinkamai $Ox$ ir $Oy$ ašyse. Todėl kampas tarp jų bus lygus $90^\circ$. Raskime šių vektorių ilgius:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Tada pagal 1 apibrėžimą gauname modulį $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Atsakymas: 12 USD.

Kryžminės sandaugos apskaičiavimas pagal vektorių koordinates

1 apibrėžimas iš karto reiškia būdą, kaip rasti dviejų vektorių kryžminę sandaugą. Kadangi vektorius, be reikšmės, turi ir kryptį, jos neįmanoma rasti naudojant tik skaliarinę reikšmę. Tačiau be jo yra dar vienas būdas rasti mums pateiktus vektorius naudojant koordinates.

Pateikiame vektorius $\overline(α)$ ir $\overline(β)$, kurie turės atitinkamai $(α_1,α_2,α_3)$ ir $(β_1,β_2,β_3)$ koordinates. Tada kryžminės sandaugos vektorių (būtent jo koordinates) galima rasti pagal šią formulę:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Priešingu atveju, išplėtę determinantą, gauname tokias koordinates

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

2 pavyzdys

Raskite kolinearinių vektorių $\overline(α)$ ir $\overline(β)$ su koordinatėmis $(0,3,3)$ ir $(-1,2,6)$ kryžminės sandaugos vektorių.

Sprendimas.

Naudokime aukščiau pateiktą formulę. Gauk

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18) -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Atsakymas: $(12,-3,3)$.

Vektorių kryžminės sandaugos savybės

Savavališkai sumaišytiems trims vektoriams $\overline(α)$, $\overline(β)$ ir $\overline(γ)$, taip pat $r∈R$ galioja šios savybės:

3 pavyzdys

Raskite lygiagretainio plotą, kurio viršūnių koordinatės $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ ir $(3,8,0) $.

Sprendimas.

Pirmiausia koordinačių erdvėje nubrėžkite šį lygiagretainį (5 pav.):

5 pav. Lygiagretainė koordinačių erdvėje. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais

Matome, kad dvi šio lygiagretainio kraštinės yra sudarytos naudojant kolinearinius vektorius, kurių koordinatės $\overline(α)=(3,0,0)$ ir $\overline(β)=(0,8,0)$. Naudodami ketvirtąją savybę gauname:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Raskite vektorių $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Vadinasi

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$