Pagrindiniai trikampio abc elementai. Kas yra trikampio pusiausvyra: savybės, susijusios su kraštinių santykiu

Tarp daugybės vidurinės mokyklos dalykų yra tokių kaip „geometrija“. Tradiciškai manoma, kad šio sisteminio mokslo pradininkai yra graikai. Šiandien graikų geometrija vadinama elementaria, nes būtent ji pradėjo tyrinėti paprasčiausias formas: plokštumų, linijų ir trikampių. Mes sutelksime dėmesį į pastarąjį, tiksliau, į šios figūros pusiausvyrą. Tiems, kurie jau pamiršo, trikampio pusiausvyra yra vieno iš trikampio kampų pusiausvyros atkarpa, kuri padalija jį pusiau ir jungia viršūnę su tašku, esančiu priešingoje pusėje.

Trikampio pusiausvyra turi keletą savybių, kurias reikia žinoti sprendžiant tam tikras problemas:

• Kampo pusiausvyra yra taškų, kurie yra vienodu atstumu nuo kampui gretimų kraštinių, vieta.
• Trikampio pusiausvyra padalija priešingą kampo pusę į segmentus, kurie yra proporcingi gretimoms kraštinėms. Pavyzdžiui, duotas trikampis MKB, kur iš kampo K išnyra bisektorius, jungiantis šio kampo viršūnę su tašku A, esančiu priešingoje MB pusėje. Išanalizavę šią savybę ir mūsų trikampį, turime MA/AB=MK/KB.
• Taškas, kuriame susikerta visų trijų trikampio kampų pusės, yra apskritimo, įrašyto į tą patį trikampį, centras.
• Vieno išorinio ir dviejų vidinių kampų pusiausvyros pagrindas yra toje pačioje tiesėje, jei išorinio kampo pusiausvyra nėra lygiagreti priešingai trikampio kraštinei.
• Jei du vieno dalikliai, tada tai

Pažymėtina, kad jei pateikiami trys bisektoriniai, trikampio sukūrimas naudojant juos, net ir kompaso pagalba, yra neįmanomas.

Labai dažnai sprendžiant uždavinius trikampio pusiausvyra nežinoma, tačiau būtina nustatyti jo ilgį. Norint išspręsti tokią problemą, reikia žinoti kampą, kuris yra padalintas iš bisektoriaus per pusę, ir kraštines, esančias šalia šio kampo. Šiuo atveju norimas ilgis apibrėžiamas kaip dvigubos prie kampo esančių kraštinių sandaugos ir kampo kosinuso, padalyto per pusę, santykis su kraštinių, besiribojančių su kampu, suma. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į tą patį trikampį MKB. Bisektorius palieka kampą K ir kerta priešingą MB kraštą taške A. Kampas, iš kurio išeina pusiaukampis, žymimas y. Dabar viską, kas pasakyta žodžiais, surašykime formulės forma: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Jei kampo, iš kurio išeina trikampio pusiausvyra, reikšmė nežinoma, bet žinomos visos jo kraštinės, tada pusiaukampio ilgiui apskaičiuoti naudosime papildomą kintamąjį, kurį pavadinsime pusperimetru ir pažymime raide P: P=1/2*(MK+KB+MB). Po to atliksime kai kuriuos ankstesnės formulės, pagal kurią buvo nustatytas bisektoriaus ilgis, pakeitimų, būtent į trupmenos skaitiklį įdedame dvigubą kraštinių, besiribojančių su kampu, ilgių sandaugą pusperimetru. ir koeficientas, kur iš pusperimetro atimamas trečiosios kraštinės ilgis. Vardiklį paliekame nepakeistą. Formulės pavidalu ji atrodys taip: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Lygiašonio trikampio bisektorius kartu su bendromis savybėmis turi keletą savų. Prisiminkime, kas yra trikampis. Tokiame trikampyje dvi kraštinės yra lygios, o kampai, esantys greta pagrindo, yra lygūs. Iš to išplaukia, kad į lygiašonio trikampio kraštines nusileidžiančios pusės yra lygios viena kitai. Be to, iki pagrindo nuleistas bisektorius yra ir aukštis, ir mediana tuo pačiu metu.

Vidiniai trikampio kampai vadinami trikampio pusiausvyra.
Trikampio kampo pusiausvyra taip pat suprantama kaip atkarpa tarp jo viršūnės ir trikampio susikirtimo su priešinga trikampio kraštine taško.
8 teorema. Trys trikampio pusiausvyros susikerta viename taške.
Iš tiesų, pirmiausia apsvarstykite dviejų pusių, pavyzdžiui, AK 1 ir VC 2, sankirtos tašką Р. Šis taškas yra vienodai nutolęs nuo kraštinių AB ir AC, nes yra ant kampo A bisektoriaus ir yra vienodai nutolęs nuo kraštinių AB ir BC, nes priklauso kampo B pusiausvyrai. Todėl jis yra vienodai nutolęs nuo kraštinės AC ir BC, taigi priklauso trečiajam pusrutuliui SK 3 , tai yra, taške P susikerta visi trys pusrutuliai.
Trikampio vidinių ir išorinių kampų pusiausvyros savybės
9 teorema. Trikampio vidinio kampo bisektorius dalija priešingą kraštinę į dalis, proporcingas gretimoms kraštinėms.
Įrodymas. Nagrinėkime trikampį ABC ir jo kampo B pusiausvyrą. Per viršūnę C nubrėžkime tiesę CM, lygiagrečią pusiausvyrai BK, kol ji susikirs taške M kaip kraštinės AB tęsinys. Kadangi VC yra kampo ABC pusiausvyra, tai ∠ ABK=∠ KBC. Be to, ∠ ABK = ∠ VMS, kaip atitinkami kampai lygiagrečiose tiesėse, ir ∠ KBC = ∠ VCM, kaip kryžminiai kampai lygiagrečiose tiesėse. Vadinasi ∠ VCM=∠ VMS, todėl VMS trikampis yra lygiašonis, vadinasi, BC=VM. Pagal teoremą apie lygiagrečias tieses, kertančias kampo kraštines, turime AK:K C=AB:VM=AB:BC, kurią reikėjo įrodyti.
10 teorema Trikampio ABC išorinio kampo B pusiaukraštis turi panašią savybę: atkarpos AL ir CL nuo viršūnių A ir C iki pusės taško L susikirtimo su kraštinės AC išplėtimu yra proporcingos kraštinėms. trikampis: AL: CL=AB :BC .
Ši savybė įrodoma taip pat, kaip ir ankstesnė: paveiksle nubrėžta pagalbinė tiesė CM, lygiagreti pusiausvyrai BL . Kampai BMC ir BCM yra lygūs, vadinasi, trikampio BMC kraštinės BM ir BC yra lygios. Iš to darome išvadą AL:CL=AB:BC.

d4 teorema. (pirmoji pusiausvyros formulė): Jei trikampyje ABC atkarpa AL yra kampo A pusiausvyra, tai AL? = AB AC – LB LC.

Įrodymas: Tegul M yra tiesės AL susikirtimo taškas su apskritimu, apibrėžtu apie trikampį ABC (41 pav.). BAM kampas yra lygus MAC kampui pagal susitarimą. Kampai BMA ir BCA yra lygūs įrašytiems kampams, pagrįstiems ta pačia styga. Taigi trikampiai BAM ir LAC yra panašūs dviem kampais. Todėl AL: AC = AB: AM. Taigi AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Ką ir reikėjo įrodyti. Pastaba: teoremą apie susikertančių stygų atkarpas apskritime ir įbrėžtus kampus žr. temoje apskritimas ir apskritimas.

d5 teorema. (antra pusiausvyros formulė): Trikampyje ABC, kurio kraštinės AB=a, AC=b ir kampas A lygus 2? ir pusiausvyrą l, lygybė vyksta:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

Įrodymas: Tegu ABC yra duotasis trikampis, AL jo bisektorius (42 pav.), a=AB, b=AC, l=AL. Tada S ABC = S ALB + S ALC . Taigi absin2? = alsin? +blsin?<=>2absin? nes? = (a + b)lsin?<=>l = 2 (ab / (a+b)) cos?. Teorema įrodyta.

Kas yra trikampio kampo pusiausvyra? Į šį klausimą kai kurie žmonės garsiąją žiurkę laksto po kampus ir dalija kampą per pusę. „Jei atsakymas turi būti „su humoru“, tai galbūt jis teisingas. Tačiau moksliniu požiūriu atsakymas šis klausimas turėjo skambėti maždaug taip: pradedant nuo kampo viršaus ir padalijant pastarąjį į dvi lygias dalis. Geometrijoje ši figūra taip pat suvokiama kaip bisektoriaus atkarpa, kol susikerta su priešinga trikampio kraštine. Tai nėra klaidinga nuomonė. O kas dar žinoma apie kampo pusiausvyrą, be jo apibrėžimo?

Kaip ir bet kuri taškų vieta, ji turi savo ypatybes. Pirmasis iš jų yra veikiau net ne ženklas, o teorema, kurią galima trumpai išreikšti taip: „Jei priešinga pusė yra padalinta į dvi dalis pusiau, tada jų santykis atitiks didelio kraštinių santykį. trikampis“.

Antroji jo savybė: visų kampų bisektorių susikirtimo taškas vadinamas centru.

Trečiasis ženklas: trikampio vieno vidinio ir dviejų išorinių kampų pusiausvyros susikerta vieno iš trijų jame įrašytų apskritimų centre.

Ketvirtoji trikampio kampo bisektoriaus savybė yra ta, kad jei kiekvienas iš jų yra lygus, tai paskutinis yra lygiašonis.

Penktasis ženklas taip pat susijęs su lygiašoniu trikampiu ir yra pagrindinė jo atpažinimo brėžinyje pagal pusiausvyrą gairė, būtent: lygiašoniame trikampyje jis vienu metu veikia kaip vidurkis ir aukštis.

Kampo bisektorius galima sukurti naudojant kompasą ir tiesiąją briauną:

Šeštoji taisyklė sako, kad naudojant pastarąjį trikampį neįmanoma sukonstruoti tik su turimomis pusiausvyromis, kaip ir neįmanoma tokiu būdu sukurti kubo padvigubinimo, apskritimo kvadrato ir kampo trišakio. Griežtai tariant, tai yra visos trikampio kampo pusiausvyros savybės.

Jei atidžiai perskaitėte ankstesnę pastraipą, galbūt jus sudomino viena frazė. "Kas yra kampo trisekcija?" – būtinai paklausite. Trisektrisas yra šiek tiek panašus į pusiausvyrą, tačiau jei nubrėžiate pastarąjį, kampas bus padalintas į dvi lygias dalis, o statant trisekciją - į tris. Natūralu, kad kampo pusiausvyrą lengviau įsiminti, nes mokykloje trisekcija nemokoma. Tačiau išsamumo dėlei aš jums apie tai papasakosiu.

Trisektoriaus, kaip sakiau, negalima statyti tik kompasu ir liniuote, bet jį galima sukurti naudojant Fujita taisykles ir kai kurias kreives: Paskalio sraiges, kvadratinius, Nikomedo konchoidus, kūginius pjūvius,

Kampo trisekcijos uždaviniai yra gana paprastai išsprendžiami naudojant nevsis.

Geometrijoje yra kampo trisektorių teorema. Ji vadinama Morley (Morley) teorema. Ji teigia, kad trisektorių susikirtimo taškai kiekvieno kampo viduryje bus viršūnės

Mažas juodas trikampis didelio viduje visada bus lygiakraštis. Šią teoremą 1904 metais atrado britų mokslininkas Frankas Morley.

Štai kiek galite sužinoti apie kampo padalijimą: kampo trisektorius ir pusiausvyrą visada reikia išsamiai paaiškinti. Bet čia buvo pateikta daug apibrėžimų, kurių aš dar neatskleidžiu: Paskalio sraigė, Nikomedo sraigė ir kt. Be jokios abejonės, apie juos galima parašyti daugiau.

BISKEKTORIAUS SAVYBĖS

Bisektoriaus savybė: trikampyje bisektorius dalija priešingą kraštinę į atkarpas, proporcingas gretimoms kraštinėms.

Išorinio kampo bisektorius Trikampio išorinio kampo bisektorius kerta jo kraštinės tęsinį taške, nuo kurio atstumai iki šios kraštinės galų yra atitinkamai proporcingi gretimoms trikampio kraštinėms. C B A D

Bisektoriaus ilgio formulės:

Atkarpų, į kurias bisektorius dalija priešingą trikampio kraštinę, ilgių nustatymo formulė

Formulė, kaip rasti atkarpų, į kurias pusiausvyra yra padalinta iš bisektorių susikirtimo taško, ilgių santykio

Uždavinys 1. Vienas iš trikampio pusiasalių, skaičiuojant nuo viršūnės, yra padalintas iš pusiaukampių susikirtimo taško santykiu 3:2. Raskite trikampio perimetrą, jei trikampio kraštinės, į kurią nubrėžta ši pusiausvyra, ilgis yra 12 cm.

Sprendimas Naudojame formulę, kad rastume atkarpų, į kurias bisektorius dalijamas iš trikampio bisektorių susikirtimo taško, ilgių santykį: 30. Atsakymas: P = 30cm.

2 užduotis . Bisektoriniai BD ir CE ∆ ABC susikerta taške O. AB=14, BC=6, AC=10. Raskite O D.

Sprendimas. Bisektoriaus ilgio radimui naudokime formulę: Turime: BD = BD = = Pagal atkarpų, į kurias dalijama pusiausvyra, santykio formulę iš pusiausvyros susikirtimo taško: l = . 2 + 1 = 3 dalys visko.

tai yra 1 dalis  OD = Atsakymas: OD =

Uždaviniai ∆ ABC nubrėžiamos pusiausvyros AL ir BK. Raskite atkarpos ilgį KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7,5, BL \u003d 5. ∆ ABC nubrėžta pusiaukampė AD, o per tašką D yra tiesė, lygiagreti AC ir kertanti AB taške E. Raskite plotų ∆ ABC ir ∆ BDE santykį, jei AB = 5, AC = 7. Raskite stačiojo trikampio, kurio kojos yra 24 cm ir 18 cm, smailių kampų pusiausvyras. Bisektorius stačiakampiame trikampyje aštrus kampas padalija priešingą koją į 4 ir 5 cm ilgio segmentus.Nustatykite trikampio plotą.

5. Lygiašonio trikampio pagrindas ir kraštinė yra atitinkamai 5 ir 20 cm. Raskite trikampio pagrindo kampo pusiausvyrą. 6. Raskite trikampio, kurio kojelės lygios a ir b, stačiojo kampo pusiausvyrą. 7. Apskaičiuokite trikampio ABC, kurio kraštinių ilgiai a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm, kampo A bisektoriaus ilgį. Raskite santykį, kuriuo vidinių kampų bisektoriai dalijasi jų susikirtimo taške.

Atsakymai: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: Atsakymas: AP = 6 AP = 10 žr. KL = CP =

Trikampio pusiausvyra yra įprasta geometrinė sąvoka, kuri nesukelia didelių mokymosi sunkumų. Žinant apie jo savybes, daugelį problemų galima išspręsti be didelių sunkumų. Kas yra bisektorius? Pabandysime supažindinti skaitytoją su visomis šios matematinės linijos paslaptimis.

Susisiekus su

Koncepcijos esmė

Sąvokos pavadinimas kilo iš lotynų kalbos žodžių, kurių reikšmė yra „bi“ – du, „sectio“ – supjaustyti. Jie konkrečiai nurodo geometrinę sąvokos prasmę – erdvės tarp spindulių suskaidymą į dvi lygias dalis.

Trikampio bisektorius yra atkarpa, kilusi iš figūros viršaus, o kitas galas dedamas į priešingą pusę, tuo pačiu padalijant erdvę į dvi identiškas dalis.

Daugelis mokytojų, norėdami greitai asociatyviai įsiminti matematines sąvokas, naudoja skirtingą terminiją, kuri rodoma eilutėse ar asociacijose. Žinoma, šis apibrėžimas rekomenduojamas vyresniems vaikams.

Kaip pažymėta ši linija? Čia mes remiamės segmentų ar spindulių žymėjimo taisyklėmis. Jeigu Mes kalbame apie trikampio figūros kampo pusiausvyros žymėjimą, tada jis paprastai rašomas kaip atkarpa, kurios galai yra viršūnė ir susikirtimo taškas su priešinga viršūnės puse. Be to, pavadinimo pradžia parašyta tiksliai iš viršaus.

Dėmesio! Kiek bisektorių turi trikampis? Atsakymas akivaizdus: kiek viršūnių – trys.

Savybės

Be apibrėžimo, mokyklinis vadovėlis galima rasti ne tiek daug šios geometrinės sąvokos savybių. Pirmoji trikampio pusiausvyros savybė, su kuria supažindinami moksleiviai, yra įrašytas centras, o antroji, tiesiogiai su juo susijusi, atkarpų proporcingumas. Esmė tokia:

1. Kad ir kokia būtų skiriamoji linija, joje yra taškų tokiu pat atstumu nuo šonų, kurie sudaro tarpą tarp spindulių.
2. Norint trikampėje figūroje įrašyti apskritimą, reikia nustatyti tašką, kuriame šios atkarpos susikirs. Tai yra apskritimo centras.
3. Trikampės kraštinės dalys geometrinė figūra, į kurią dalijasi jos skiriamoji linija, yra proporcingai kampą formuojančioms kraštinėms.

Likusias savybes pabandysime suvesti į sistemą ir pateikti papildomų faktų, kurie padės geriau suprasti šios geometrinės koncepcijos privalumus.

Ilgis

Viena iš užduočių, keliančių sunkumų moksleiviams, yra trikampio kampo pusiausvyros ilgio nustatymas. Pirmajame variante, kuriame yra jo ilgis, yra šie duomenys:

• tarpo tarp spindulių, iš kurių viršaus atsiranda duotas segmentas, dydis;
• kraštinių, sudarančių šį kampą, ilgiai.

Norėdami išspręsti problemą naudojama formulė, kurio prasmė yra rasti kampą sudarančių kraštinių verčių padvigubinto sandaugos santykį jo pusės kosinusu ir kraštinių sumą.

Pažvelkime į konkretų pavyzdį. Tarkime, kad mums duota figūra ABC, kurioje atkarpa nubrėžta iš kampo A ir kerta kraštinę BC taške K. A reikšmę pažymime Y. Remiantis tuo, AK \u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

Antrojoje problemos versijoje, kurioje nustatomas trikampio pusiausvyros ilgis, yra šie duomenys:

• visų figūros pusių reikšmės žinomos.

Sprendžiant tokio tipo problemą, iš pradžių nustatyti pusperimetrą. Norėdami tai padaryti, pridėkite visų pusių reikšmes ir padalykite per pusę: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. Toliau taikome skaičiavimo formulę, kuri buvo naudojama šio segmento ilgiui nustatyti ankstesnėje užduotyje. Tereikia šiek tiek pakeisti formulės esmę pagal naujus parametrus. Taigi, reikia rasti antrojo laipsnio dvigubos šaknies santykį iš kraštinių, esančių greta viršaus, ilgių sandaugos su pusperimetro ir skirtumo tarp pusperimetro ir ilgio. priešinga kraštinių, sudarančių kampą, sumai. Tai yra, AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Dėmesio! Kad būtų lengviau įsisavinti medžiagą, galite remtis internete esančia medžiaga komiškos pasakos, pasakojantis apie šios linijos „nuotykius“.