Rombe įbrėžto apskritimo spindulys. Lygiakraštis trikampis

Jei apskritimas yra kampo viduje ir liečiasi su jo kraštais, jis vadinamas įbrėžtu į šį kampą. Tokio įbrėžto apskritimo centras yra ties šio kampo bisektorius.

Jei jis yra išgaubto daugiakampio viduje ir liečiasi su visomis jo kraštinėmis, jis vadinamas įbrėžtu į išgaubtą daugiakampį.

Į trikampį įbrėžtas apskritimas

Į trikampį įbrėžtas apskritimas paliečia kiekvieną šios figūros kraštinę tik viename taške. Į vieną trikampį galima įrašyti tik vieną apskritimą.

Tokio apskritimo spindulys priklausys nuo šių trikampio parametrų:

1. Trikampio kraštinių ilgis.
2. Jo sritis.
3. Jo perimetras.
4. Trikampio kampai.

Norint apskaičiuoti įbrėžto apskritimo spindulį trikampyje, ne visada būtina žinoti visus aukščiau išvardytus parametrus, nes jie yra tarpusavyje susiję trigonometrinėmis funkcijomis.

Skaičiavimas naudojant pusperimetrą

1. Jei žinomi visų geometrinės figūros kraštinių ilgiai (juos žymime raidėmis a, b ir c), tai spindulį teks skaičiuoti ištraukus kvadratinę šaknį.
2. Pradedant skaičiavimus, prie pradinių duomenų reikia pridėti dar vieną kintamąjį – pusperimetrą (p). Jį galima apskaičiuoti sudėjus visus ilgius ir gautą sumą padalijus iš 2. p = (a+b+c)/2. Taigi spindulio nustatymo formulę galima žymiai supaprastinti.
3. Apskritai formulėje turėtų būti radikalo, po kuriuo dedama trupmena, ženklas, šios trupmenos vardiklis bus pusperimetro p reikšmė.
4. Šios trupmenos skaitiklis bus skirtumų sandauga (p-a)*(p-b)*(p-c)
5. Taigi visa formulės forma bus pateikta taip: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).

Skaičiavimas atsižvelgiant į trikampio plotą

Jei žinome trikampio plotas ir visų jo kraštinių ilgius, tai leis mums rasti mus dominančio apskritimo spindulį nesiimant šaknų.

1. Pirmiausia reikia padvigubinti plotą.
2. Rezultatas padalytas iš visų kraštinių ilgių sumos. Tada formulė atrodys taip: r = 2*S/(a+b+c).
3. Jei naudosite pusiau perimetro vertę, galite gauti labai paprastą formulę: r \u003d S / p.

Skaičiavimas naudojant trigonometrines funkcijas

Jei problemos sąlygoje yra vienos iš kraštinių ilgis, priešingo kampo reikšmė ir perimetras, galite naudoti trigonometrinę funkciją – liestinę. Šiuo atveju skaičiavimo formulė atrodys taip:

r \u003d (P / 2- a) * tg (α / 2), kur r yra norimas spindulys, P yra perimetras, a yra vienos iš kraštinių ilgis, α yra priešingos pusės vertė ir kampas.

Apskritimo spindulį, kurį reikės įrašyti į taisyklingąjį trikampį, galima rasti pagal formulę r = a*√3/6.

Į stačią trikampį įbrėžtas apskritimas

Galite įrašyti į stačiakampį trikampį tik vienas ratas. Tokio apskritimo centras vienu metu tarnauja kaip visų bisektorių susikirtimo taškas. Ši geometrinė figūra turi keletą skiriamųjų bruožų, į kuriuos reikia atsižvelgti apskaičiuojant įrašyto apskritimo spindulį.

1. Pirmiausia turite sukurti stačiakampį trikampį su nurodytais parametrais. Tokią figūrą galite sukurti pagal jos vienos pusės dydį ir dviejų kampų reikšmes arba pagal dvi puses ir kampą tarp šių kraštų. Visi šie parametrai turi būti nurodyti užduoties sakinyje. Trikampis žymimas kaip ABC, o C yra stačiojo kampo viršūnė. Kojos žymimos kintamaisiais, A Ir b, o hipotenuzė yra kintamasis Su.
2. Norint sukonstruoti klasikinę formulę ir apskaičiuoti apskritimo spindulį, reikia rasti visų uždavinio sąlygoje aprašytos figūros kraštinių matmenis ir iš jų apskaičiuoti pusperimetrą. Jei sąlygos pateikia dviejų kojų matmenis, pagal juos galima apskaičiuoti hipotenuzės vertę, remiantis Pitagoro teorema.
3. Jei sąlygoje nurodytas vienos kojos ir vieno kampo dydis, reikia suprasti, ar šis kampas yra gretimas, ar priešingas. Pirmuoju atveju hipotenuzė randama naudojant sinuso teoremą: с=a/sinСАВ, antruoju atveju taikoma kosinuso teorema с=a/cosCBA.
4. Atlikus visus skaičiavimus ir žinomus visų pusių matmenis, pusperimetras randamas pagal aukščiau aprašytą formulę.
5. Žinodami pusperimetro vertę, galite rasti spindulį. Formulė yra trupmena. Jo skaitiklis yra pusiau perimetro ir kiekvienos kraštinės skirtumų sandauga, o vardiklis yra pusperimetro reikšmė.

Reikėtų pažymėti, kad šios formulės skaitiklis yra ploto rodiklis. Šiuo atveju spindulio radimo formulė yra daug paprastesnė – užtenka plotą padalinti iš pusės perimetro.

Taip pat galima nustatyti geometrinės figūros plotą, jei žinomos abi kojos. Šių kojų kvadratų suma yra hipotenuzė, tada apskaičiuojamas pusperimetras. Galite apskaičiuoti plotą padauginę kojų vertes viena iš kitos ir padalydami rezultatą iš 2.

Jei sąlygose pateikiami ir kojų, ir hipotenuzės ilgiai, spindulį galima nustatyti naudojant labai paprastą formulę: tam pridedami kojų ilgiai, o iš gauto skaičiaus atimamas hipotenuzos ilgis. Rezultatas turi būti padalintas per pusę.

Vaizdo įrašas

Iš šio vaizdo įrašo sužinosite, kaip rasti į trikampį įbrėžto apskritimo spindulį.

Į trikampį įbrėžtas apskritimas

Į trikampį įbrėžto apskritimo egzistavimas

Prisiminkite apibrėžimą kampo bisektorius .

1 apibrėžimas .Kampo bisektorius vadinamas spindulys, dalijantis kampą į dvi lygias dalis.

Teorema 1 (pagrindinė kampo bisektoriaus savybė) . Kiekvienas kampo bisektoriaus taškas yra vienodu atstumu nuo kampo kraštinių (1 pav.).

Ryžiai. 1

Įrodymas D guli ant kampo bisektoriausBAC , Ir DE Ir D.F. kampo šonuose (1 pav.).stačiųjų trikampių ADF Ir ADE lygus nes jie turi tuos pačius smailiuosius kampusDAF Ir DAE ir hipotenuzė REKLAMA - generolas. Vadinasi,

D.F. = D.E.

Q.E.D.

2 teorema (atvirkštinė teorema 1 teoremai) . Jei kai kurie , tada jis guli ant kampo bisector (2 pav.).

Ryžiai. 2

Įrodymas . Apsvarstykite savavališką taškąD guli kampo vidujeBAC ir esantis tokiu pat atstumu nuo kampo kraštų. Nuleiskite nuo taškoD statmenai DE Ir D.F. kampo šonuose (2 pav.).stačiųjų trikampių ADF Ir ADE lygus , nes jie turi lygias kojasD.F. Ir DE ir hipotenuzė REKLAMA - generolas. Vadinasi,

Q.E.D.

2 apibrėžimas . Apskritimas vadinamas kampu įbrėžtas apskritimas jei tai šio kampo kraštinės.

3 teorema . Jei apskritimas įbrėžtas į kampą, tai atstumai nuo kampo viršūnės iki apskritimo sąlyčio taškų su kampo kraštinėmis yra lygūs.

Įrodymas . Tegul taškas D yra apskritimo, įbrėžto kampu, centrasBAC , ir taškai E Ir F - apskritimo sąlyčio taškai su kampo kraštinėmis (3 pav.).

3 pav

a , b , c - trikampio kraštinės
 S - kvadratas,

r – įbrėžto apskritimo spindulys,
 p - pusperimetras

.

Peržiūrėkite formulės išvestį

a – lygiašonio trikampio šoninė kraštinė , 
 b - bazė, r – įrašytas apskritimo spindulys

a r – įrašytas apskritimo spindulys

Peržiūrėkite formulės išvestį

,

Kur

,

tada lygiašonio trikampio atveju, kai

mes gauname

ko ir reikėjo.

7 teorema . Už lygybę

Kur a - lygiakraščio trikampio kraštinėr – įbrėžto apskritimo spindulys (8 pav.).

Ryžiai. 8

Įrodymas .

,

tada lygiakraštio trikampio atveju, kada

b=a,

mes gauname

ko ir reikėjo.

komentuoti . Rekomenduoju kaip pratimą išvesti į lygiakraštį trikampį įbrėžto apskritimo spindulio formulę tiesiogiai, t.y. nenaudojant bendrųjų apskritimų, įrašytų į savavališką trikampį arba į lygiašonį trikampį, spindulių formules.

8 teorema . Stačiajam trikampiui – lygybė

Kur a , b - stačiojo trikampio kojos, c – hipotenuzė , r – įbrėžto apskritimo spindulys.

Įrodymas . Apsvarstykite 9 pav.

Ryžiai. 9

Kadangi keturkampisCDOF yra , kuris turi gretimas pusesDARYK Ir APIE yra lygūs, tada šis stačiakampis yra . Vadinasi,

CB \u003d CF \u003d r,

Pagal 3 teoremą lygybės

Todėl, atsižvelgdami ir į , gauname

ko ir reikėjo.

Užduočių pasirinkimas tema „Trikampyje įbrėžtas apskritimas“.

1.

Į lygiašonį trikampį įbrėžtas apskritimas sąlyčio taške padalija vieną iš kraštinių į dvi atkarpas, kurių ilgiai lygūs 5 ir 3, skaičiuojant nuo viršūnės, esančios priešais pagrindą. Raskite trikampio perimetrą.

2.

3

Trikampyje ABC AC=4, BC=3 kampas C yra 90º. Raskite įbrėžto apskritimo spindulį.

4.

Lygiašonio stačiojo trikampio kojos yra 2+. Raskite į šį trikampį įbrėžto apskritimo spindulį.

5.

Į lygiašonį stačiakampį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys lygus 2. Raskite šio trikampio hipotenuzę c. Atsakyme parašykite c(-1).

Štai keletas egzamino užduočių su sprendimais.

Į lygiašonį stačiakampį trikampį įrašyto apskritimo spindulys yra . Raskite šio trikampio hipotenuzę c. Prašome nurodyti savo atsakyme.

Trikampis yra tiesus ir lygiašonis. Taigi jo kojos vienodos. Tegul kiekviena koja yra lygi. Tada hipotenuzė yra.

Trikampio ABC plotą rašome dviem būdais:

Sulyginę šiuos posakius, gauname tai. Nes, mes tai suprantame. Tada.

Atsakydami parašykite.

Atsakymas:.

2 užduotis.

1. Bet kuriose dviejose pusėse 10 cm ir 6 cm (AB ir BC). Raskite apibrėžtųjų ir įbrėžtųjų apskritimų spindulius
Problema sprendžiama savarankiškai komentuojant.

Sprendimas:

IN.

1) Rasti:
2) Įrodykite:ir susirask CK
3) Raskite: apibrėžtųjų ir įbrėžtųjų apskritimų spindulius

Sprendimas:

6 užduotis.

R į kvadratą įbrėžto apskritimo spindulys yra. Raskite apie šį kvadratą apibrėžto apskritimo spindulį.Duota :

Rasti: OS=?
Sprendimas: šiuo atveju uždavinys gali būti išspręstas naudojant Pitagoro teoremą arba R formulę. Antrasis atvejis bus paprastesnis, nes R formulė išvesta iš teoremos.

7 užduotis.

Į lygiašonį stačiakampį trikampį įbrėžto apskritimo spindulys lygus 2. Raskite hipotenuząSu šis trikampis. Prašome nurodyti savo atsakyme.

S yra trikampio plotas

Mes nežinome nei trikampio kraštinių, nei jo ploto. Kojas pažymėkime x, tada hipotenuzė bus lygi:

Trikampio plotas bus 0,5x 2 .

Reiškia

Taigi hipotenuzė bus tokia:

Atsakymas turi būti parašytas:

Atsakymas: 4

8 užduotis.

Trikampyje ABC AC = 4, BC = 3, kampas C yra lygus 90 0 . Raskite įbrėžto apskritimo spindulį.

Naudokime trikampyje įbrėžto apskritimo spindulio formulę:

kur a, b, c yra trikampio kraštinės

S yra trikampio plotas

Žinomos dvi pusės (tai kojos), galime skaičiuoti trečią (hipotenuzė), galime apskaičiuoti ir plotą.

Pagal Pitagoro teoremą:

Raskime sritį:

Taigi:

Atsakymas: 1

9 užduotis.

Lygiašonio trikampio kraštinės lygios 5, pagrindas – 6. Raskite įbrėžto apskritimo spindulį.

Naudokime trikampyje įbrėžto apskritimo spindulio formulę:

kur a, b, c yra trikampio kraštinės

S yra trikampio plotas

Visos pusės žinomos, o plotas apskaičiuotas. Jį galime rasti naudodami Herono formulę:

Tada

Rombas yra lygiagretainis, kurio visos kraštinės yra lygios. Todėl jis paveldi visas lygiagretainio savybes. Būtent:

• Rombo įstrižainės yra viena kitai statmenos.
• Rombo įstrižainės yra jo vidinių kampų pusiausvyros.

Apskritimas gali būti įrašytas į keturkampį tada ir tik tada, kai priešingų kraštinių sumos yra lygios.
Todėl apskritimas gali būti įrašytas į bet kurį rombą. Įbrėžto apskritimo centras sutampa su rombo įstrižainių susikirtimo centru.
Įbrėžto apskritimo spindulys rombe gali būti išreikštas keliais būdais

1 būdas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombu per aukštį

Rombo aukštis lygus įbrėžto apskritimo skersmeniui. Tai išplaukia iš stačiakampio, kurį sudaro įbrėžto apskritimo skersmuo ir rombo aukštis, savybės – priešingos stačiakampio kraštinės yra lygios.

Todėl įbrėžto apskritimo spindulio rombu per aukštį formulė:

2 būdas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombu per įstrižaines

Rombo plotas gali būti išreikštas įbrėžto apskritimo spinduliu
, Kur R yra rombo perimetras. Žinodami, kad perimetras yra visų keturkampio kraštinių suma, turime P= 4×ha. Tada
Tačiau rombo plotas taip pat yra pusė jo įstrižainių sandaugos
Sulyginus teisingas ploto formulių dalis, gauname tokią lygybę
Dėl to gauname formulę, leidžiančią apskaičiuoti įbrėžto apskritimo spindulį rombe per įstrižaines

Į rombą įbrėžto apskritimo spindulio apskaičiavimo pavyzdys, jei žinomos įstrižainės
Raskite į rombą įbrėžto apskritimo spindulį, jei žinoma, kad įstrižainių ilgis yra 30 cm ir 40 cm
Leisti ABCD- tada rombas AC Ir BD jo įstrižainės. AC= 30 cm , BD= 40 cm
Tegul taškas APIE yra rombo įbrėžimo centras ABCD apskritimas, tada jis taip pat bus jo įstrižainių susikirtimo taškas, dalijantis jas per pusę.


kadangi rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu, tai trikampis AOB stačiakampis. Tada pagal Pitagoro teoremą
, pakeičiame anksčiau gautas reikšmes į formulę

AB= 25 cm
Pritaikę anksčiau išvestą apibrėžto apskritimo spindulio formulę rombui, gauname

3 būdas. Įbrėžto apskritimo spindulys rombe per atkarpas m ir n

Taškas F- apskritimo sąlyčio taškas su rombo kraštine, dalijančia jį į segmentus AF Ir bf. Leisti AF=m, BF=n.
Taškas O- rombo įstrižainių ir jame įrašyto apskritimo centro susikirtimo centras.
Trikampis AOB- stačiakampis, nes rombo įstrižainės susikerta stačiu kampu.
, nes yra apskritimo liestinės taško spindulys. Vadinasi APIE- trikampio aukštis AOBį hipotenuzę. Tada AF Ir bf- kojų projekcijos į hipotenuzę.
Stačiojo trikampio aukštis, nukritęs iki hipotenuzės, yra vidurkis, proporcingas kojų projekcijoms ant hipotenuzės.

Į rombą per atkarpas įbrėžto apskritimo spindulio formulė yra lygi šių atkarpų sandaugos, į kurią rombo kraštinė padalinta iš apskritimo liestinės taško, kvadratinei šaknei

Panagrinėkime į trikampį įbrėžtą apskritimą (302 pav.). Prisiminkite, kad jo centras O yra trikampio vidinių kampų sankirtoje. Atkarpos OA, OB, OS, jungiančios O su trikampio ABC viršūnėmis, padalins trikampį į tris trikampius:

AOB, BOS, SOA. Kiekvieno iš šių trikampių aukštis lygus spinduliui, todėl jų plotai išreiškiami kaip

Viso trikampio S plotas yra lygus šių trijų sričių sumai:

kur yra trikampio pusperimetras. Iš čia

Įbrėžto apskritimo spindulys lygus trikampio ploto ir jo pusės perimetro santykiui.

Norėdami gauti trikampio apibrėžto apskritimo spindulio formulę, įrodome tokį teiginį.

Teorema a: Bet kuriame trikampyje kraštinė lygi apibrėžto apskritimo skersmeniui, padaugintam iš priešingo kampo sinuso.

Įrodymas. Panagrinėkime savavališką trikampį ABC ir aplink jį apibrėžtą apskritimą, kurio spindulys bus žymimas R (303 pav.). Tegu A yra smailusis trikampio kampas. Nubrėžkime apskritimo spindulius OB, OS ir numeskime statmeną OK iš jo centro O į trikampio kraštinę BC. Atkreipkite dėmesį, kad trikampio kampas a matuojamas puse lanko BC, kurio kampas BOC yra centrinis kampas. Iš čia aišku, kad. Todėl iš stačiakampio trikampio SOK randame , arba , kurį reikėjo įrodyti.

Pateiktas pav. 303 ir argumentas nurodo smailaus trikampio kampo atvejį; stačiojo ir bukojo kampo atvejus įrodyti būtų nesunku (skaitytojas tai padarys pats), tačiau galima pasinaudoti sinuso teorema (218.3). Nes turi būti kur

Taip pat parašyta sinuso teorema. forma

o palyginimas su žymėjimu (218.3) duoda už

Apriboto apskritimo spindulys lygus trijų trikampio kraštinių sandaugos ir jo keturgubos ploto sandaugai.

Užduotis. Raskite lygiašonio trikampio kraštines, jei jo įbrėžtasis ir apibrėžtasis apskritimai turi atitinkamai spindulius

Sprendimas. Parašykime formules, išreiškiančias trikampio įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spindulius:

Lygiašonio trikampio su kraštine ir pagrindu plotas išreiškiamas formule

arba, sumažinę trupmeną ne nuliniu koeficientu , turime

kuri veda į kvadratinę lygtį

Jis turi du sprendimus:

Vietoj jo išraiškos pakeisdami bet kurią iš arba R lygčių, pagaliau randame du atsakymus į savo problemą:

Pratimai

1. Stačiojo trikampio aukštis, nubrėžtas iš stačiojo kampo viršūnės, padalija hipotenuzą, palyginti su Raskite kiekvienos kojos santykį su hipotenuze.

2. Apie apskritimą įbrėžtos lygiašonės trapecijos pagrindai lygūs a ir b. Raskite apskritimo spindulį.

3. Du apskritimai liečiasi išorėje. Jų bendrosios liestinės yra pasvirusios į centrų liniją 30° kampu. Liestinės atkarpos tarp sąlyčio taškų ilgis 108 cm Raskite apskritimų spindulius.

4. Stačiojo trikampio kojos lygios a ir b. Raskite trikampio plotą, kurio kraštinės yra nurodyto trikampio aukštis ir mediana, nubrėžta iš stačiojo kampo viršūnės, ir hipotenuzės atkarpą tarp jų susikirtimo su hipotenuze taškų.

5. Trikampio kraštinės yra 13, 14, 15. Raskite kiekvieno iš jų projekciją į kitas dvi.

6. Trikampio kraštinė ir aukščiai žinomi Raskite kraštines b ir c.

7. Žinomos dvi trikampio kraštinės ir mediana Raskite trečiąją trikampio kraštinę.

8. Duotos dvi trikampio kraštinės ir kampas a tarp jų: ​​Raskite įbrėžtųjų ir apibrėžtųjų apskritimų spindulius.

9. Trikampio a, b, c kraštinės žinomos. Kokios yra atkarpos, į kurias jos padalintos pagal įbrėžto apskritimo sąlyčio taškus su trikampio kraštinėmis?