Kvadratinė šaknis iš skaičiaus. Kvadratinė šaknis

1 faktas.
\(\bullet\) Paimkite kokį nors neneigiamą skaičių \(a\) (ty \(a\geqslant 0\) ). Tada (aritmetika) kvadratinė šaknis iš skaičiaus \(a\) vadinamas toks neneigiamas skaičius \(b\), sudėjus jį kvadratu gauname skaičių \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(tas pats kaip )\quad a=b^2\] Iš apibrėžimo išplaukia, kad \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Šie apribojimai yra svarbi egzistavimo sąlyga kvadratinė šaknis Ir juos reikia prisiminti!
Prisiminkite, kad bet koks skaičius kvadratu duoda neneigiamą rezultatą. Tai yra, \(100^2=10000\geqslant 0\) ir \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Kas yra \(\sqrt(25)\)? Žinome, kad \(5^2=25\) ir \((-5)^2=25\) . Kadangi pagal apibrėžimą turime rasti neneigiamą skaičių, \(-5\) netinka, taigi \(\sqrt(25)=5\) (nes \(25=5^2\) ).
Reikšmės \(\sqrt a\) radimas vadinamas kvadratine šaknimis iš skaičiaus \(a\), o skaičius \(a\) vadinamas šaknies išraiška.
\(\bullet\) Remiantis apibrėžimu, išraiškos \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) ir kt. neturi prasmės.

2 faktas.
Norint greitai atlikti skaičiavimus, bus naudinga išmokti natūraliųjų skaičių kvadratų lentelę nuo \(1\) iki \(20\) : \[\begin(masyvas)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(masyvas)\]

3 faktas.
Ką galima padaryti su kvadratinėmis šaknimis?
\(\bullet\) Suma arba skirtumas kvadratinės šaknys NELYGUS sumos arba skirtumo kvadratinei šaknims, t.y. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Taigi, jei reikia apskaičiuoti, pavyzdžiui, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , tada iš pradžių turite rasti reikšmes \(\sqrt(25)\) ir \(\sqrt (49)\ ) ir sudėkite juos. Vadinasi, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jei reikšmių \(\sqrt a\) arba \(\sqrt b\) nepavyksta rasti pridedant \(\sqrt a+\sqrt b\), tada tokia išraiška toliau nekonvertuojama ir lieka tokia, kokia yra. Pavyzdžiui, sumoje \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) galime rasti \(\sqrt(49)\) - tai yra \(7\) , bet \(\sqrt 2\) negali būti bet kokiu būdu konvertuoti, Štai kodėl \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Be to, šio posakio, deja, jokiu būdu negalima supaprastinti.\(\bullet\) Kvadratinių šaknų sandauga/dalinys yra lygus sandaugos/dalinio kvadratinei šakniai, t.y. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (su sąlyga, kad abi lygybių dalys turi prasmę)
Pavyzdys: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Naudojant šias ypatybes, patogu rasti didelių skaičių kvadratines šaknis, jas koeficientuojant.
Apsvarstykite pavyzdį. Raskite \(\sqrt(44100)\) . Nuo \(44100:100=441\) , tada \(44100=100\cdot 441\) . Pagal dalijimosi kriterijų skaičius \(441\) dalijasi iš \(9\) (nes jo skaitmenų suma yra 9 ir dalijasi iš 9), todėl \(441:9=49\) , tai yra \(441=9\ cdot 49\) .
Taigi, mes gavome: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Pažvelkime į kitą pavyzdį: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Parodykime, kaip įvesti skaičius po kvadratinės šaknies ženklu, naudojant reiškinio \(5\sqrt2\) pavyzdį (išreiškimo \(5\cdot \sqrt2\) trumpinys). Kadangi \(5=\sqrt(25)\) , tada \ Taip pat atkreipkite dėmesį, kad pvz.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Kodėl taip? Paaiškinkime 1 pavyzdžiu). Kaip jau supratote, negalime kažkaip konvertuoti skaičiaus \(\sqrt2\) . Įsivaizduokite, kad \(\sqrt2\) yra koks nors skaičius \(a\) . Atitinkamai, išraiška \(\sqrt2+3\sqrt2\) yra ne kas kita, kaip \(a+3a\) (vienas skaičius \(a\) ir dar trys tokie patys skaičiai \(a\) ). Ir mes žinome, kad tai lygu keturiems tokiems skaičiams \(a\) , tai yra \(4\sqrt2\) .

4 faktas.
\(\bullet\) Dažnai sakoma „negalima išgauti šaknies“, kai neįmanoma atsikratyti šaknies (radikalo) ženklo \(\sqrt () \ \) ieškant kokio nors skaičiaus reikšmės. Pvz., galite įvesti skaičių \(16\), nes \(16=4^2\) , taigi \(\sqrt(16)=4\) . Tačiau iš skaičiaus \(3\) ištraukti šaknį, tai yra, rasti \(\sqrt3\) , neįmanoma, nes nėra tokio skaičiaus, kuris kvadratu duotų \(3\) .
Tokie skaičiai (arba išraiškos su tokiais skaičiais) yra neracionalūs. Pavyzdžiui, skaičiai \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) ir taip toliau. yra neracionalūs.
Taip pat neracionalūs yra skaičiai \(\pi\) (skaičius „pi“, maždaug lygus \(3,14\) ), \(e\) (šis skaičius vadinamas Eilerio skaičiumi, apytiksliai lygus \(2 ,7\) ) ir kt.
\(\bullet\) Atminkite, kad bet kuris skaičius bus racionalus arba neracionalus. Ir kartu visi racionalieji ir neracionalūs skaičiai sudaro aibę, vadinamą realiųjų (realiųjų) skaičių rinkinys.Šis rinkinys žymimas raide \(\mathbb(R)\) .
Tai reiškia, kad visi skaičiai, kurie yra Šis momentasžinome, kad jie vadinami tikraisiais skaičiais.

5 faktas.
\(\bullet\) Realiojo skaičiaus modulis \(a\) yra neneigiamas skaičius \(|a|\), lygus atstumui nuo taško \(a\) iki \(0\) realiame lange linija. Pavyzdžiui, \(|3|\) ir \(|-3|\) yra lygūs 3, nes atstumai nuo taškų \(3\) ir \(-3\) iki \(0\) yra tas pats ir lygus \(3 \) .
\(\bullet\) Jei \(a\) yra neneigiamas skaičius, tada \(|a|=a\) .
Pavyzdys: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jei \(a\) yra neigiamas skaičius, tada \(|a|=-a\) .
Pavyzdys: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Jie sako, kad neigiamiems skaičiams modulis „suvalgo“ minusą, o teigiamus skaičius, taip pat skaičių \(0\) , modulis palieka nepakitęs.
BETši taisyklė taikoma tik skaičiams. Jei po modulio ženklu turite nežinomą \(x\) (ar kitą nežinomą), pvz., \(|x|\) , apie kurį mes nežinome, ar jis teigiamas, lygus nuliui ar neigiamas, tada Mes negalime atsikratyti modulio. Šiuo atveju ši išraiška išlieka tokia: \(|x|\) . \(\bullet\) Galioja šios formulės: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( pateikta ) a\geqslant 0\] Dažnai daroma tokia klaida: sakoma, kad \(\sqrt(a^2)\) ir \((\sqrt a)^2\) yra tas pats dalykas. Tai tiesa, tik jei \(a\) - teigiamas skaičius arba nulis. Bet jei \(a\) yra neigiamas skaičius, tai netiesa. Pakanka apsvarstyti tokį pavyzdį. Paimkime skaičių \(-1\) vietoj \(a\). Tada \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , bet išraiška \((\sqrt (-1))^2\) iš viso neegzistuoja (nes ji yra neįmanoma po šaknies ženklu įdėkite neigiamus skaičius!).
Todėl atkreipiame jūsų dėmesį į tai, kad \(\sqrt(a^2)\) nėra lygus \((\sqrt a)^2\) ! Pavyzdys: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), nes \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Kadangi \(\sqrt(a^2)=|a|\) , tada \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (išraiška \(2n\) reiškia lyginį skaičių)
Tai yra, išimant šaknį iš skaičiaus, kuris yra tam tikru laipsniu, šis laipsnis sumažinamas perpus.
Pavyzdys:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (atkreipkite dėmesį, kad jei modulis nenustatytas, paaiškėja, kad skaičiaus šaknis yra lygi \(-25) \) ; bet mes prisimename , kuri pagal šaknies apibrėžimą taip negali būti: ištraukdami šaknį visada turime gauti teigiamą skaičių arba nulį)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (kadangi bet koks skaičius iki lyginio laipsnio yra neneigiamas)

6 faktas.
Kaip palyginti dvi kvadratines šaknis?
\(\bullet\) Tiesa kvadratinėms šaknims: jei \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aPavyzdys:
1) palyginkite \(\sqrt(50)\) ir \(6\sqrt2\) . Pirma, antrąją išraišką paverčiame į \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Taigi, nuo \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Tarp kurių sveikųjų skaičių yra \(\sqrt(50)\) ?
Nuo \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) ir \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Palyginkite \(\sqrt 2-1\) ir \(0,5\) . Tarkime \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(sulygiuotas) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((pridėkite po vieną prie abiejų pusių))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((abejų dalių kvadratas))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end (sulygiuotas)\] Matome, kad gavome neteisingą nelygybę. Todėl mūsų prielaida buvo klaidinga ir \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Atkreipkite dėmesį, kad tam tikro skaičiaus pridėjimas prie abiejų nelygybės pusių neturi įtakos jos ženklui. Abiejų nelygybės dalių padauginimas/dalinimas iš teigiamo skaičiaus taip pat neturi įtakos jos ženklui, tačiau padauginus/dalijus iš neigiamo skaičiaus nelygybės ženklas apverčiamas!
Abi lygties/nelygybės pusės gali būti padalytos kvadratu TIK JEI abi pusės yra neneigiamos. Pavyzdžiui, nelygybėje iš ankstesnio pavyzdžio galite kvadratuoti abi puses, nelygybėje \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Atkreipkite dėmesį \[\begin (sulygiuotas) &\sqrt 2\apytiksliai 1,4\\ &\sqrt 3\apytiksliai 1,7 \pabaiga (sulygiuotas)\] Apytikslės šių skaičių reikšmės žinojimas padės lyginant skaičius! \(\bullet\) Norėdami išgauti šaknį (jei ji išskirta) iš kokio nors didelio skaičiaus, kurio nėra kvadratų lentelėje, pirmiausia turite nustatyti, tarp kurių „šimtų“ jis yra, tada tarp kurių „dešimties“, ir tada nustatykite paskutinį šio skaičiaus skaitmenį. Parodykime, kaip tai veikia pavyzdžiu.
Paimkite \(\sqrt(28224)\) . Žinome, kad \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) ir pan. Atminkite, kad \(28224\) yra tarp \(10\,000\) ir \(40\,000\) . Todėl \(\sqrt(28224)\) yra tarp \(100\) ir \(200\) .
Dabar nustatykime, tarp kurių „dešimties“ yra mūsų skaičius (ty, pavyzdžiui, tarp \(120\) ir \(130\) ). Iš kvadratų lentelės taip pat žinome, kad \(11^2=121\) , \(12^2=144\) ir tt, tada \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) ). Taigi matome, kad \(28224\) yra tarp \(160^2\) ir \(170^2\) . Todėl skaičius \(\sqrt(28224)\) yra tarp \(160\) ir \(170\) .
Pabandykime nustatyti paskutinį skaitmenį. Prisiminkime, kokius vienaženklius skaičius kvadratu duoda pabaigoje \ (4 \) ? Tai yra \(2^2\) ir \(8^2\) . Todėl \(\sqrt(28224)\) baigsis 2 arba 8. Patikrinkime tai. Raskite \(162^2\) ir \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Taigi \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Norint tinkamai išspręsti matematikos egzaminą, pirmiausia reikia išstudijuoti teorinę medžiagą, kurioje pateikiama daugybė teoremų, formulių, algoritmų ir kt. Iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti, kad tai gana paprasta. Tačiau rasti šaltinį, kuriame vieningo valstybinio matematikos egzamino teorija būtų lengvai ir suprantamai pateikiama bet kokio lygio mokiniams, iš tikrųjų yra gana sudėtinga užduotis. Mokykliniai vadovėliai ne visada gali būti po ranka. O rasti pagrindines matematikos egzamino formules gali būti sunku net internete.

Kodėl taip svarbu mokytis matematikos teorijos, o ne tik tiems, kurie laiko egzaminą?

1. Nes tai praplečia akiratį. Matematikos teorinės medžiagos studijavimas naudingas kiekvienam, norinčiam gauti atsakymus į įvairiausius klausimus, susijusius su pasaulio pažinimu. Gamtoje viskas sutvarkyta ir turi aiškią logiką. Būtent tai atsispindi moksle, per kurį galima suprasti pasaulį.
2. Nes lavina intelektą. Studijuodamas matematikos egzamino informacinę medžiagą, taip pat spręsdamas įvairias problemas, žmogus išmoksta logiškai mąstyti ir mąstyti, teisingai ir aiškiai formuluoti mintis. Jis ugdo gebėjimą analizuoti, apibendrinti, daryti išvadas.

Kviečiame asmeniškai įvertinti visus mūsų požiūrio į mokomosios medžiagos sisteminimą ir pateikimą privalumus.

Prieš atsirandant skaičiuotuvams, mokiniai ir mokytojai kvadratines šaknis skaičiavo rankomis. Yra keletas būdų, kaip rankiniu būdu apskaičiuoti skaičiaus kvadratinę šaknį. Kai kurie iš jų siūlo tik apytikslį sprendimą, kiti pateikia tikslų atsakymą.

Žingsniai

Pirminis faktorizavimas

Padalinkite šakninį skaičių į koeficientus, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Priklausomai nuo šakninio skaičiaus, gausite apytikslį arba tikslų atsakymą. Kvadratiniai skaičiai yra skaičiai, iš kurių galima paimti visą kvadratinę šaknį. Veiksniai yra skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas pradinis skaičius. Pavyzdžiui, skaičiaus 8 koeficientai yra 2 ir 4, nes 2 x 4 = 8, skaičiai 25, 36, 49 yra kvadratiniai skaičiai, nes √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiniai koeficientai yra faktoriai, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Pirmiausia pabandykite padalyti šaknies skaičių į kvadratinius koeficientus.

• Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 400 (rankiniu būdu). Pirmiausia pabandykite įskaičiuoti 400 į kvadratinius koeficientus. 400 yra 100 kartotinis, tai yra, dalijasi iš 25 - tai yra kvadratinis skaičius. Padalijus 400 iš 25, gauname 16. Skaičius 16 taip pat yra kvadratinis skaičius. Taigi 400 galima padalyti į kvadratinius koeficientus 25 ir 16, tai yra, 25 x 16 = 400.
• Tai galima parašyti taip: √400 = √(25 x 16).

1. Kai kurių narių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi kiekvieno nario kvadratinių šaknų sandaugai, tai yra √(a x b) = √a x √b. Naudokite šią taisyklę ir paimkite kvadratinę šaknį iš kiekvieno kvadratinio koeficiento ir padauginkite rezultatus, kad rastumėte atsakymą.

   • Mūsų pavyzdyje paimkite kvadratinę šaknį iš 25 ir 16.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jei radikalusis skaičius nepatenka į du kvadratinius veiksnius (ir daugeliu atvejų tai daro), jūs negalėsite rasti tikslaus atsakymo kaip sveikojo skaičiaus. Bet jūs galite supaprastinti problemą, išskaidydami šaknies skaičių į kvadratinį koeficientą ir įprastą koeficientą (skaičius, iš kurio negalima paimti visos kvadratinės šaknies). Tada paimsite kvadratinę šaknį iš kvadratinio koeficiento ir paimsite įprasto koeficiento šaknį.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite skaičiaus 147 kvadratinę šaknį. Skaičius 147 negali būti padalytas į du kvadratinius veiksnius, tačiau jį galima įskaičiuoti į šiuos veiksnius: 49 ir ​​3. Išspręskite užduotį taip:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jei reikia, įvertinkite šaknies vertę. Dabar galite įvertinti šaknies reikšmę (rasti apytikslę reikšmę), palygindami ją su kvadratinių skaičių, kurie yra arčiausiai šaknies skaičiaus (abiejose skaičių linijos pusėse), šaknų reikšmėmis. Šaknies reikšmę gausite kaip dešimtainę trupmeną, kurią reikia padauginti iš skaičiaus, esančio už šaknies ženklo.

   • Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Šaknies skaičius yra 3. Artimiausi jam kvadratiniai skaičiai yra 1 (√1 = 1) ir 4 (√4 = 2). Taigi, √3 reikšmė yra tarp 1 ir 2. Kadangi √3 reikšmė tikriausiai yra arčiau 2 nei 1, mūsų įvertis yra toks: √3 = 1,7. Šią reikšmę padauginame iš skaičiaus prie šaknies ženklo: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Jei atliksite skaičiavimus skaičiuotuvu, gausite 12,13, o tai yra gana artima mūsų atsakymui.
     • Šis metodas taip pat veikia su dideliais skaičiais. Pavyzdžiui, apsvarstykite √35. Šaknies skaičius yra 35. Artimiausi jam kvadratiniai skaičiai yra 25 (√25 = 5) ir 36 (√36 = 6). Taigi, √35 reikšmė yra tarp 5 ir 6. Kadangi √35 reikšmė yra daug arčiau 6 nei ji yra 5 (nes 35 yra tik 1 mažesnis už 36), galime teigti, kad √35 yra šiek tiek mažesnė nei 6. Patikrinus skaičiuotuvu gauname atsakymą 5,92 – buvome teisūs.

4. Kitas būdas yra išskaidyti šakninį skaičių į pirminius veiksnius. Pirminiai veiksniai yra skaičiai, kurie dalijasi tik iš 1 ir savęs. Parašykite pirminius veiksnius iš eilės ir suraskite identiškų veiksnių poras. Tokius veiksnius galima ištraukti iš šaknies ženklo.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 45. Šaknies skaičių išskaidome į pirminius koeficientus: 45 \u003d 9 x 5 ir 9 \u003d 3 x 3. Taigi, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). Iš šaknies ženklo galima paimti 3: √45 = 3√5. Dabar galime įvertinti √5.
   • Apsvarstykite kitą pavyzdį: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Turite tris daugiklį 2; paimkite jų porą ir ištraukite iš šaknies ženklo.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Dabar galime įvertinti √2 ir √11 ir rasti apytikslį atsakymą.

   Kvadratinės šaknies apskaičiavimas rankiniu būdu

   Naudojant stulpelių padalijimą

   1. Šis metodas apima procesą, panašų į ilgą padalijimą ir pateikia tikslų atsakymą. Pirmiausia nubrėžkite vertikalią liniją, padalijančią lapą į dvi dalis, tada nubrėžkite horizontalią liniją į dešinę ir šiek tiek žemiau viršutinio lapo krašto iki vertikalios linijos. Dabar šakninį skaičių padalinkite į skaičių poras, pradedant trupmena po kablelio. Taigi, numeris 79520789182.47897 rašomas kaip „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.

      • Pavyzdžiui, apskaičiuokime kvadratinę šaknį iš skaičiaus 780.14. Nubrėžkite dvi linijas (kaip parodyta paveikslėlyje) ir viršuje kairėje parašykite skaičių „7 80, 14“. Normalu, kad pirmasis skaitmuo iš kairės yra nesusietas skaitmuo. Viršutiniame dešiniajame kampe bus parašytas atsakymas (duotojo skaičiaus šaknis).

   2. Atsižvelgdami į pirmąją skaičių porą (arba vieną skaičių) iš kairės, raskite didžiausią sveikąjį skaičių n, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus nagrinėjamai skaičių porai (arba vienam skaičiui). Kitaip tariant, suraskite kvadratinį skaičių, kuris yra arčiausiai pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės, bet mažesnis už ją, ir paimkite to kvadratinio skaičiaus kvadratinę šaknį; gausite numerį n. Viršuje dešinėje parašykite rastą n, o apačioje dešinėje - kvadratą n.

      • Mūsų atveju pirmasis skaičius kairėje bus skaičius 7. Toliau 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Iš pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės atimkite ką tik rasto skaičiaus n kvadratą. Skaičiavimo rezultatą parašykite po dalimi (skaičiaus n kvadratu).

      • Mūsų pavyzdyje iš 7 atimkite 4, kad gautumėte 3.

   4. Nuimkite antrą skaičių porą ir užrašykite ją šalia vertės, gautos atliekant ankstesnį veiksmą. Tada padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje antroji skaičių pora yra „80“. Po 3 parašykite "80". Tada padvigubinę skaičių viršuje dešinėje gausite 4. Apačioje dešinėje parašykite "4_×_=".

   5. Dešinėje užpildykite tuščias vietas.

      • Mūsų atveju, jei vietoj brūkšnelių dedame skaičių 8, tai 48 x 8 \u003d 384, tai yra daugiau nei 380. Todėl 8 yra per didelis skaičius, bet 7 yra gerai. Vietoj brūkšnelių parašykite 7 ir gaukite: 47 x 7 \u003d 329. Viršuje dešinėje parašykite 7 – tai antrasis skaitmuo norimoje kvadratinėje šaknyje iš skaičiaus 780,14.

   6. Atimkite gautą skaičių iš esamo skaičiaus kairėje. Užrašykite ankstesnio žingsnio rezultatą po esamu skaičiumi kairėje, suraskite skirtumą ir parašykite jį po atimtu.

      • Mūsų pavyzdyje iš 380 atimkite 329, kuris yra lygus 51.

   7. Pakartokite 4 veiksmą. Jei išardyta skaičių pora yra pradinio skaičiaus trupmeninė dalis, įdėkite sveikojo skaičiaus ir trupmeninių dalių skyriklį (kablelį) į norimą kvadratinę šaknį iš viršaus dešinėje. Kairėje pusėje nuneškite kitą skaičių porą. Padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje kita nugriautina skaičių pora bus trupmeninė skaičiaus 780.14 dalis, todėl sveikojo skaičiaus ir trupmeninių dalių skyriklį įdėkite į norimą kvadratinę šaknį iš viršaus dešinėje. Nugriaukite 14 ir užrašykite apačioje kairėje. Dvigubas viršutinis dešinysis (27) yra 54, todėl apačioje dešinėje parašykite „54_×_=".

   8. Pakartokite 5 ir 6 veiksmus. Raskite didžiausią skaičių vietoje brūkšnelių dešinėje (vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių), kad daugybos rezultatas būtų mažesnis arba lygus esamam skaičiui kairėje.

      • Mūsų pavyzdyje 549 x 9 = 4941, tai yra mažiau nei dabartinis skaičius kairėje (5114). Viršuje dešinėje parašykite 9 ir atimkite daugybos rezultatą iš esamo skaičiaus kairėje: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jei reikia rasti daugiau kvadratinės šaknies skaitmenų po kablelio, kairėje šalia esamo skaičiaus parašykite nulių porą ir kartokite 4, 5 ir 6 veiksmus. Kartokite veiksmus, kol gausite reikiamo atsakymo tikslumą (skaičius po kablelio).

   Proceso supratimas

   Norėdami įvaldyti šį metodą, įsivaizduokite skaičių, kurio kvadratinę šaknį jums reikia rasti kaip kvadrato S plotą. Tokiu atveju ieškosite tokio kvadrato kraštinės L ilgio. Apskaičiuokite L reikšmę, kuriai L² = S.

   Įveskite raidę kiekvienam skaitmeniui savo atsakyme. Pirmąjį L reikšmės skaitmenį pažymėkite A (norima kvadratinė šaknis). B bus antrasis skaitmuo, C – trečias ir pan.

   Nurodykite raidę kiekvienai priekinių skaitmenų porai. Pažymėkite S a pirmąją reikšmės S skaitmenų porą, S b – antrąją skaitmenų porą ir pan.

   Paaiškinkite šio metodo ryšį su ilguoju padalijimu. Kaip ir dalybos operacijoje, kai kiekvieną kartą mus domina tik vienas kitas dalijamojo skaičiaus skaitmuo, skaičiuodami kvadratinę šaknį, dirbame su skaitmenų pora iš eilės (kad gautume kitą kvadratinės šaknies reikšmės skaitmenį) .

   1. Apsvarstykite pirmąją skaičiaus S skaitmenų Sa porą (mūsų pavyzdyje Sa = 7) ir raskite jos kvadratinę šaknį.Šiuo atveju pirmasis ieškomos kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo A bus toks skaitmuo, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus S a (tai yra, mes ieškome tokio A, kuris tenkintų nelygybę A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Tarkime, kad reikia padalyti 88962 iš 7; čia pirmas žingsnis bus panašus: atsižvelgiame į pirmąjį dalijamojo skaičiaus skaitmenį 88962 (8) ir pasirenkame didžiausią skaičių, kurį padauginus iš 7 gauname reikšmę, mažesnę arba lygią 8. Tai yra, mes ieškome skaičius d, kurio nelygybė yra teisinga: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Mintimis įsivaizduokite kvadratą, kurio plotą reikia apskaičiuoti. Jūs ieškote L, tai yra kvadrato, kurio plotas yra S, kraštinės ilgio. A, B, C yra skaičiai L. Galite rašyti kitaip: 10A + B \u003d L (du -skaitmenų skaičius) arba 100A + 10B + C \u003d L (triženkliam skaičiui) ir pan.

      • Leisti (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atminkite, kad 10A+B yra skaičius, kurio B reiškia vienetus, o A – dešimtis. Pavyzdžiui, jei A = 1 ir B = 2, tada 10A + B yra lygus skaičiui 12. (10A+B)² yra visos aikštės plotas, 100A² yra didelio vidinio kvadrato plotas, B² yra mažo vidinio kvadrato plotas, 10A × B yra kiekvieno iš dviejų stačiakampių plotas. Pridėjus aprašytų figūrų plotus, rasite pradinio kvadrato plotą.

Kvadratinės šaknies apskaičiavimas (arba ištraukimas) gali būti atliktas keliais būdais, tačiau visi jie nėra labai paprasti. Žinoma, lengviau pasitelkti skaičiuotuvą. Bet jei tai neįmanoma (arba norite suprasti kvadratinės šaknies esmę), galiu patarti eiti tokiu būdu, jo algoritmas yra toks:

Jei neturite jėgų, noro ar kantrybės tokiems ilgiems skaičiavimams, galite imtis grubios atrankos, kurios pliusas yra tai, kad jis yra neįtikėtinai greitas ir, turint reikiamą išradingumą, tikslus. Pavyzdys:

Kai mokiausi mokykloje (60-ųjų pradžioje), buvome mokomi paimti bet kurio skaičiaus kvadratinę šaknį. Technika paprasta, išoriškai panaši į padalijimą iš stulpelio, tačiau norint tai išdėstyti čia, prireiks pusvalandžio ir 4-5 tūkstančių teksto simbolių. Bet kam tau to reikia? Ar turite telefoną ar kitą programėlę, yra skaičiuotuvas nm. Kiekviename kompiuteryje yra skaičiuotuvas. Asmeniškai aš norėčiau atlikti tokį skaičiavimą „Excel“.

Dažnai mokykloje reikia rasti skirtingų skaičių kvadratines šaknis. Bet jei esame įpratę nuolat tam naudoti skaičiuotuvą, tai egzaminuose tokios galimybės nebus, todėl reikia išmokti ieškoti šaknies be skaičiuoklės pagalbos. Ir tai iš principo įmanoma padaryti.

Algoritmas yra toks:

Pirmiausia pažiūrėkite į paskutinį savo numerio skaitmenį:

Pavyzdžiui,

Dabar reikia apytiksliai nustatyti šaknies reikšmę kairėje esančioje grupėje

Tuo atveju, kai skaičius turi daugiau nei dvi grupes, šaknį reikia rasti taip:

Bet kitas skaičius turėtų būti tiksliai didžiausias, jį reikia pasirinkti taip:

Dabar turime sudaryti naują skaičių A, pridėdami prie likusios dalies, kuri buvo gauta aukščiau, kitą grupę.

Mūsų pavyzdžiuose:

Najnos stulpelis, o kai reikia daugiau nei penkiolikos simbolių, tada dažniausiai ilsisi kompiuteriai ir telefonai su skaičiuotuvais. Belieka patikrinti, ar metodikos aprašymas užtruks 4-5 tūkstančius simbolių.

Berm bet kokį skaičių, nuo kablelio skaičiuojame skaitmenų poras į dešinę ir į kairę

Pavyzdžiui, 1234567890.098765432100

Skaičių pora yra kaip dviženklis skaičius. Dviejų skaitmenų šaknis yra vienas su vienu. Mes pasirenkame vienareikšmį, kurio kvadratas yra mažesnis už pirmąją skaitmenų porą. Mūsų atveju tai yra 3.

Kaip ir dalijant iš stulpelio, po pirmąja pora išrašome šį kvadratą ir atimame iš pirmosios poros. Rezultatas pabrauktas. 12 - 9 = 3. Prie šio skirtumo pridėkite antrą skaitmenų porą (bus 334). Į kairę nuo bermų skaičiaus padvigubinta jau rastos rezultato dalies reikšmė papildoma skaitmeniu (turime 2 * 6 = 6), kad padauginus iš negauto skaičiaus neviršija skaičiaus su antrąja skaitmenų pora. Gauname, kad rastas skaičius yra penki. Vėlgi randame skirtumą (9), išardome kitą skaitmenų porą, gaudami 956, vėl išrašome padvigubėjusią rezultato dalį (70), vėl pridedame reikiamą skaitmenį ir taip toliau, kol jis sustos. Arba iki reikiamo skaičiavimų tikslumo.

Pirma, norėdami apskaičiuoti kvadratinę šaknį, turite gerai žinoti daugybos lentelę. Paprasčiausi pavyzdžiai yra 25 (5 x 5 = 25) ir pan. Jei imsime sudėtingesnius skaičius, galime naudoti šią lentelę, kurioje vienetai yra horizontaliai ir dešimtys vertikaliai.



Yra geras būdas rasti skaičiaus šaknį be skaičiuoklių. Norėdami tai padaryti, jums reikės liniuotės ir kompaso. Esmė ta, kad liniuotėje rasite reikšmę, kurią turite po šaknimi. Pavyzdžiui, pažymėkite ženklą šalia 9. Jūsų užduotis yra padalyti šį skaičių į vienodą skaičių atkarpų, tai yra, į dvi eilutes po 4,5 cm, ir į lygią atkarpą. Nesunku atspėti, kad galų gale gausite 3 segmentus po 3 centimetrus.

Metodas nėra lengvas ir netiks dideliam skaičiui, tačiau jis laikomas be skaičiuoklės.

be skaičiuoklės pagalbos kvadratinės šaknies ištraukimo būdas buvo mokomas sovietiniais laikais mokykloje 8 klasėje.

Norėdami tai padaryti, turite suskaidyti kelių skaitmenų skaičių iš dešinės į kairę į 2 skaitmenų veidus :

Pirmasis šaknies skaitmuo yra visa kairiosios pusės šaknis, šiuo atveju 5.

Iš 31 atimkite 5 kvadratą, 31-25 = 6 ir prie šešių pridėkite kitą veidą, turime 678.

Kitas skaitmuo x pasirenkamas siekiant padvigubinti penkis taip, kad

10x*x buvo didžiausias, bet mažesnis nei 678.

x=6, nes 106*6=636,

dabar apskaičiuojame 678 - 636 = 42 ir pridedame kitą veidą 92, turime 4292.

Vėlgi ieškome maksimalaus x, tokio, kad 112x*x lt; 4292.

Atsakymas: šaknis yra 563

Taigi galite tęsti tiek, kiek norite.

Kai kuriais atvejais galite pabandyti išplėsti šaknies skaičių į du ar daugiau kvadratinių koeficientų.

Taip pat pravartu prisiminti lentelę (ar bent dalį jos) – natūraliųjų skaičių nuo 10 iki 99 kvadratus.



Siūlau kvadratinės šaknies ištraukimo į stulpelį variantą, kurį sugalvojau. Jis skiriasi nuo gerai žinomo, išskyrus skaičių pasirinkimą. Bet kaip vėliau sužinojau, šis metodas egzistavo jau daugelį metų prieš mano gimimą. Didysis Izaokas Niutonas tai aprašė savo knygoje „Bendra aritmetika“ arba knygoje apie aritmetinę sintezę ir analizę. Taigi čia pateikiu savo viziją ir Niutono metodo algoritmo pagrindimą. Nereikia įsiminti algoritmo. Jei reikia, kaip vaizdinę pagalbą galite tiesiog naudoti paveikslėlyje pateiktą diagramą.







Lentelių pagalba galite ne apskaičiuoti, o rasti kvadratines šaknis tik iš skaičių, kurie yra lentelėse. Lengviausias būdas apskaičiuoti šaknis yra ne tik kvadratas, bet ir kiti laipsniai, taikant nuosekliųjų aproksimacijų metodą. Pavyzdžiui, apskaičiuojame 10739 kvadratinę šaknį, paskutinius tris skaitmenis pakeičiame nuliais ir išimame šaknį iš 10000, gauname 100 su trūkumu, todėl paimame skaičių 102 ir kvadratu, gauname 10404, kuris taip pat yra mažesnis. nei nurodytas, vėl imame 103*103=10609 su trūkumu, imame 103,5 * 103,5 \u003d 10712,25, dar daugiau imame 103,6 * 103,6 \u003d 10732, imame 103,5 * 103,5 * 103,6 \u003d 10732, 103,7 * 103.3.3. jau yra perteklius. Galite paimti, kad kvadratinė šaknis iš 10739 būtų maždaug lygi 103,6. Tiksliau 10739=103.629... . . Panašiai apskaičiuojame kubo šaknį, pirmiausia iš 10 000 gauname maždaug 25 * 25 * 25 = 15625, o tai yra perteklius, imame 22 * ​​22 * ​​22 = 10,648, imame šiek tiek daugiau nei 22,06 * 22,06 * 22.06 = 10735, o tai labai artima nurodytam.

šaknis n natūraliojo skaičiaus laipsnį a skambinama numeriu n kurio galia lygi a. Šaknis žymima taip: . Simbolis √ vadinamas šaknies ženklas arba radikalo ženklas, numeris a - šaknies numeris, n - šaknies rodiklis.

Veiksmas, kuriuo randama tam tikro laipsnio šaknis, vadinamas šaknų ištraukimas.

Kadangi pagal šaknies sąvokos apibrėžimą n laipsnis

Tai šaknų ištraukimas- veiksmas, priešingas eksponencijai, kurio pagalba pagal duotą laipsnį ir pagal duotą laipsnį randamas laipsnio pagrindas.

Kvadratinė šaknis

Kvadratinė šaknis iš skaičiaus a yra skaičius, kurio kvadratas yra a.

Operacija, pagal kurią apskaičiuojama kvadratinė šaknis, vadinama kvadratinės šaknies paėmimu.

Kvadratinės šaknies ištraukimas- priešingas kvadratavimo (arba skaičiaus didinimo į antrą laipsnį) veiksmas. Skaičiuojant skaičių kvadratu, reikia rasti jo kvadratą. Išimant kvadratinę šaknį, žinomas skaičiaus kvadratas, iš jo reikia rasti patį skaičių.

Todėl norėdami patikrinti atlikto veiksmo teisingumą, rastą šaknį galite pakelti iki antrojo laipsnio, o jei laipsnis lygus šaknies skaičiui, vadinasi, šaknis rasta teisingai.

Apsvarstykite galimybę išgauti kvadratinę šaknį ir patikrinti jos pavyzdį. Skaičiuojame arba (šakninis rodiklis su reikšme 2 paprastai nerašomas, nes 2 yra mažiausias rodiklis ir reikia atsiminti, kad jei virš šaknies ženklo nėra eksponento, tada numanomas eksponentas 2), tam mums reikia Norėdami rasti skaičių, padidinus iki antro laipsnis bus 49. Akivaizdu, kad šis skaičius yra 7, nes

7 7 = 7 2 = 49.

Kvadratinės šaknies apskaičiavimas

Jei nurodytas skaičius yra 100 ar mažesnis, tada jo kvadratinę šaknį galima apskaičiuoti naudojant daugybos lentelę. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš 25 yra 5, nes 5 x 5 = 25.

Dabar apsvarstykite būdą, kaip rasti bet kurio skaičiaus kvadratinę šaknį nenaudojant skaičiuoklės. Pavyzdžiui, paimkime skaičių 4489 ir pradėkite skaičiuoti žingsnis po žingsnio.

1. Nustatykime, iš kurių skaitmenų turėtų sudaryti norima šaknis. Kadangi 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100 ir 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000, tampa aišku, kad norima šaknis turi būti didesnė nei 10 ir mažesnė nei 100, t.y. susideda iš dešimčių ir vienetų.
2. Raskite šaknies dešimčių skaičių. Padauginus dešimtis gaunami šimtai, mūsų skaičius yra 44, taigi šaknyje turi būti tiek dešimčių, kad dešimtinių kvadratas gautų maždaug 44 šimtus. Todėl šaknyje turėtų būti 6 dešimtukai, nes 60 2 \u003d 3600 ir 70 2 \u003d 4900 (tai per daug). Taigi, mes sužinojome, kad mūsų šaknyje yra 6 dešimtys ir keletas vienetų, nes jis yra nuo 60 iki 70.
3. Daugybos lentelė padės nustatyti vienetų skaičių šaknyje. Žvelgdami į skaičių 4489, matome, kad paskutinis jo skaitmuo yra 9. Dabar pažiūrime į daugybos lentelę ir matome, kad 9 vienetus galima gauti tik sudėjus skaičius 3 ir 7 kvadratu. Taigi skaičiaus šaknis bus 63 arba 67.
4. Patikriname gautus skaičius 63 ir 67 padalydami juos kvadratu: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489.

Ant apskritimo ji parodė, kaip stulpelyje galima išgauti kvadratines šaknis. Galite apskaičiuoti šaknį savavališkai tiksliai, rasti tiek skaitmenų, kiek norite, dešimtainėje žymėjime, net jei jis pasirodo neracionalus. Algoritmas buvo prisimintas, bet klausimų liko. Neaišku, iš kur atsirado šis metodas ir kodėl jis duoda teisingą rezultatą. To nebuvo knygose, o gal aš tiesiog ieškojau netinkamose knygose. Dėl to, kaip ir daugumą to, ką šiandien žinau ir galiu padaryti, aš tai išsinešiau pats. Čia dalinuosi savo žiniomis. Beje, aš vis dar nežinau, kur pateikiamas algoritmo pagrindimas)))

Taigi, pirmiausia, pateikdamas pavyzdį, pasakoju, „kaip veikia sistema“, o tada paaiškinu, kodėl ji iš tikrųjų veikia.

Paimkime skaičių (skaičius paimtas „nuo lubų“, tik atėjo į galvą).

1. Jo skaičius suskirstome į poras: tuos, kurie yra kairėje nuo kablelio, du sugrupuojame iš dešinės į kairę, o esančius dešinėje - du iš kairės į dešinę. Mes gauname .

2. Kvadratinę šaknį ištraukiame iš pirmosios skaitmenų grupės kairėje - mūsų atveju taip yra (aišku, kad tikslios šaknies negalima išgauti, imame skaičių, kurio kvadratas yra kuo artimesnis mūsų skaičiui, kurį sudaro pirmoji skaitmenų grupė, bet jos neviršija). Mūsų atveju tai bus skaičius. Rašome atsakydami - tai didžiausias šaknies skaitmuo.

3. Pakeliame skaičių, kuris jau yra atsakyme - tai yra - kvadratu ir atimame iš pirmosios skaičių grupės kairėje - iš skaičiaus. Mūsų atveju tai išlieka

4. Dešinėje priskiriame tokią dviejų skaičių grupę: . Jau atsakyme esantis skaičius padauginamas iš , gauname .

5. Dabar atidžiai stebėkite. Prie dešinėje esančio skaičiaus turime pridėti vieną skaitmenį ir skaičių padauginti iš , tai yra, iš to paties priskirto skaitmens. Rezultatas turėtų būti kuo artimesnis , bet vėlgi ne didesnis už šį skaičių. Mūsų atveju tai bus skaičius, rašome jį atsakydami šalia, dešinėje. Tai kitas mūsų kvadratinės šaknies dešimtainės dalies skaitmuo.

6. Atėmus sandaugą iš gauname .

7. Toliau kartojame pažįstamas operacijas: gautam skaičiui priskiriame kitą skaitmenų grupę dešinėje, padauginame iš > dešinėje priskiriame vieną skaitmenį taip, kad padauginus iš jo gautume skaičių mažesnį, bet artimiausią it – tai skaičius – kitas skaitmuo dešimtainėje šaknies žymėjime.

Skaičiavimai bus parašyti taip:

O dabar žadėtas paaiškinimas. Algoritmas pagrįstas formule

Komentarai: 50

1. 2 Antanas:

   Per daug netvarkinga ir painu. Viską suskaidykite ir sunumeruokite. Pliusas: paaiškinkite, kur kiekviename veiksme pakeičiame reikiamas reikšmes. Niekada anksčiau neskaičiavau šaknies stulpelyje – sunkiai tai supratau.

2. 5 Julija:

3. 6 :

   Julija, 23, šiuo metu parašyta dešinėje, tai yra pirmieji du (kairėje) jau gauti šaknies skaitmenys, kurie yra atsakyme. Pagal algoritmą dauginame iš 2. Kartojame 4 dalyje aprašytus veiksmus.

4. 7zzz:

   klaida „6. Iš 167 atimame sandaugą 43 * 3 = 123 (129 nada), gauname 38.
   neaišku, kaip po kablelio pasirodė 08 ...

5. 9 Fedotovas Aleksandras:

   Ir net prieš skaičiuotuvą mokykloje buvome mokomi ne tik kvadratą, bet ir kubo šaknį stulpelyje ištraukti, tačiau tai yra nuobodesnis ir kruopštesnis darbas. Lengviau buvo naudoti Bradis lenteles arba skaidrių taisyklę, kurią mokėmės jau vidurinėje mokykloje.

6. 10 :

   Aleksandrai, jūs teisus, galite ištraukti į koloną ir didelių laipsnių šaknis. Aš parašysiu tik apie tai, kaip rasti kubo šaknį.

7. 12 Sergejus Valentinovičius:

   Miela Elžbieta Aleksandrovna! Aštuntojo dešimtmečio pabaigoje sukūriau automatinio (ty ne atrankos) kvadratų skaičiavimo schemą. šaknis Felix pridėjimo mašinoje. Jei domina galiu atsiųsti aprašymą.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Kvadratinės šaknies ištraukimas į stulpelį)))
   Algoritmas supaprastėja, jei naudojate 2-ąją skaičių sistemą, kuri yra tiriama informatikos srityje, tačiau ji taip pat naudinga matematikoje. A.N. Kolmogorovas paminėjo šį algoritmą populiariose paskaitose moksleiviams. Jo straipsnį galima rasti „Čebyševo kolekcijoje“ (matematikos žurnalas, nuorodos į jį ieškokite internete)
   Ta proga pasakykite:
   G. Leibnicas kažkada suskubo sugalvoti idėją nuo 10-osios skaičių sistemos pereiti prie dvejetainės dėl jos paprastumo ir prieinamumo pradedantiesiems (jaunesniems moksleiviams). Bet laužyti nusistovėjusias tradicijas – kaip kakta laužyti tvirtovės vartus: galima, bet nenaudinga. Taip išeina, kaip anot senais laikais dažniausiai cituoto barzdoto filosofo: visų mirusių kartų tradicijos slopina gyvųjų sąmonę.

   Pasimatysim kitą kartą.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Sergejus Valentinovičius, taip, man įdomu ... ((

   Galiu lažintis, kad tai yra Felikso variantas Babilonijos metodo, skirto kvadratiniam arkliui išgauti nuosekliais aproksimais. Šį algoritmą nepaisė Niutono metodas (liestinės metodas)

   Įdomu, ar nesuklydau prognozėje?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Taip, dvejetainis algoritmas turėtų būti paprastesnis, tai gana akivaizdu.

    Apie Niutono metodą. Gal ir yra, bet vis tiek įdomu

11. 20 Kirilas:

    Labai ačiū. Bet algoritmo vis dar nėra, nežinia iš kur jis atsirado, bet rezultatas teisingas. LABAI AČIŪ! Ilgai šito ieškojau

12. 21 Aleksandras:

    O kaip vyks šaknies ištraukimas iš skaičiaus, kur antroji grupė iš kairės į dešinę yra labai maža? Pavyzdžiui, visų mėgstamiausias numeris yra 4 398 046 511 104. po pirmos atimties visko tęsti pagal algoritmą neįmanoma. Ar galite paaiškinti prašau.

13. 22 Aleksejus:

    Taip, aš žinau šį būdą. Prisimenu, skaičiau ją kažkokio seno leidimo knygoje „Algebra“. Tada pagal analogiją jis pats padarė išvadą, kaip išgauti kubo šaknį tame pačiame stulpelyje. Bet ten jau sudėtingiau: kiekvienas skaitmuo nustatomas nebe vienu (kaip kvadratui), o dviem atimtimis ir net ten kiekvieną kartą reikia padauginti ilgus skaičius.

14. 23 straipsnis:

    Kvadratinės šaknies iš 56789.321 pavyzdyje yra rašybos klaidų. Skaičių grupė 32 du kartus priskiriama skaičiams 145 ir 243, skaičiuje 2388025 antrasis 8 turi būti pakeistas 3. Tada paskutinė atimtis turi būti rašoma taip: 2431000 - 2383025 = 47975.
    Be to, dalijant likutį iš dvigubos atsakymo reikšmės (išskyrus kablelį), gauname papildomą reikšmingųjų skaitmenų skaičių (47975/(2*238305) = 0,100658819…), kuriuos reikia pridėti prie atsakymo (√56789.321). = 238,305… = 238,305100659).

15. 24 Sergejus:

    Matyt, algoritmas atėjo iš Isaac Newton knygos „Bendroji aritmetika arba knyga apie aritmetinę sintezę ir analizę“. Štai ištrauka iš jo:

    APIE ŠAKNES

    Norėdami ištraukti kvadratinę šaknį iš skaičiaus, pirmiausia turėtumėte įdėti tašką virš jo skaičių iki vieneto, pradedant nuo vienetų. Tada dalinyje arba šaknyje reikia įrašyti skaičių, kurio kvadratas yra lygus skaičiams ar skaičiams, esantiems prieš pirmąjį tašką, arba artimiausias jiems. Atėmus šį kvadratą, likę šaknies skaitmenys bus paeiliui rasti, likutį padalijus iš dvigubai jau ištrauktos šaknies dalies vertės ir kiekvieną kartą iš likusios kvadrato dalies atimant paskutinį rastą skaitmenį ir jo dešimteriopą sandaugą pavadintas daliklis.

16. 25 Sergejus:

    Pataisykite knygos pavadinimą „Bendroji aritmetika arba knyga apie aritmetinę sintezę ir analizę“

17. 26 Aleksandras:

    Ačiū už įdomų turinį. Tačiau šis metodas man atrodo šiek tiek sudėtingesnis nei būtinas, pavyzdžiui, moksleiviui. Aš naudoju paprastesnį metodą, pagrįstą kvadratinės funkcijos išplėtimu, naudojant pirmąsias dvi išvestines. Jo formulė yra tokia:
    sqrt(x)=A1+A2-A3 kur
    A1 yra sveikasis skaičius, kurio kvadratas yra arčiausiai x;
    A2 yra trupmena, skaitiklyje x-A1, vardiklyje 2*A1.
    Daugeliui skaičių, sutinkamų mokyklos kurse, to pakanka, kad rezultatas būtų tikslus iki šimtosios dalies.
    Jei reikia tikslesnio rezultato, imkite
    A3 yra trupmena, skaitiklyje A2 kvadratas, vardiklyje 2 * A1 + 1.
    Žinoma, norint taikyti reikia sveikųjų skaičių kvadratų lentelės, tačiau mokykloje tai nėra problema. Prisiminti šią formulę yra gana paprasta.
    Tačiau mane glumina, kad A3 gavau empiriškai, eksperimentuodamas su skaičiuokle, ir nelabai suprantu, kodėl šis terminas turi tokią formą. Gal galit patarti?

18. 27 Aleksandras:

    Taip, aš taip pat apsvarsčiau šiuos svarstymus, bet velnias slypi detalėse. Tu rašai:
    "nes a2 ir b jau labai skiriasi." Kyla klausimas, kiek tiksliai.
    Ši formulė gerai veikia ant antrojo dešimties skaičių ir daug blogiau (ne iki šimtųjų, tik iki dešimtųjų) su pirmojo dešimtuko skaičiais. Kodėl taip nutinka, jau sunku suprasti neįtraukiant išvestinių priemonių.

19. 28 Aleksandras:

    Paaiškinsiu, kur matau mano pasiūlytos formulės pranašumą. Tam nereikia ne visai natūralaus skaičių skaidymo į skaitmenų poras, o tai, kaip rodo patirtis, dažnai atliekama su klaidomis. Jo reikšmė akivaizdi, bet žmogui, susipažinusiam su analize, ji yra nereikšminga. Puikiai veikia su skaičiais nuo 100 iki 1000, dažniausiai mokykloje.

20. 29 Aleksandras:

    Beje, šiek tiek pasigilinau ir savo formulėje radau tikslią A3 išraišką:
    A3 = A22 /2 (A1 + A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Mūsų laikais, plačiai naudojant kompiuterines technologijas, praktiniu požiūriu neverta išgauti kvadratinio arklio iš skaičiaus. Tačiau matematikos mėgėjus, žinoma, domina įvairios šios problemos sprendimo galimybės. Mokyklos programoje šio skaičiavimo metodas nepritraukiant papildomų lėšų turėtų būti lygus daugybai ir dalybai stulpelyje. Skaičiavimo algoritmas turi būti ne tik įsimenamas, bet ir suprantamas. Klasikinis metodas, pateiktas šioje medžiagoje diskusijoms atskleidžiant esmę, visiškai atitinka aukščiau nurodytus kriterijus.
    Reikšmingas Aleksandro pasiūlyto metodo trūkumas yra sveikųjų skaičių kvadratų lentelės naudojimas. Kokia dauguma mokykliniame kurse pasitaikančių skaičių riboja, autorius tyli. Kalbant apie formulę, ji man daro įspūdį dėl gana didelio skaičiavimo tikslumo.

22. 31 Aleksandras:

    už 30 vasil stryzhak
    Man nieko netrūko. Manoma, kad kvadratų lentelė yra iki 1000. Mano laikais mokykloje ją tiesiog mokė mintinai ir buvo visuose matematikos vadovėliuose. Aš aiškiai pavadinau šį intervalą.
    Kalbant apie kompiuterines technologijas, ji nenaudojama daugiausia matematikos pamokose, nebent yra speciali skaičiuotuvo naudojimo tema. Dabar skaičiuotuvai yra įtaisyti įrenginiuose, kuriuos draudžiama naudoti atliekant egzaminą.

23. 32 vasil stryzhak:

    Aleksandrai, ačiū už paaiškinimą!Pagalvojau, kad pasiūlytam metodui teoriškai reikia atsiminti arba naudoti visų dviženklių skaičių kvadratų lentelę.Tada radikaliesiems skaičiams, neįeinantiems į intervalą nuo 100 iki 10000, galima naudoti būdas padidinti arba sumažinti juos reikiamu pavedimų skaičiumi perkeliant kablelį.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEKSANDRIS:

    MANO PIRMOJI PROGRAMA KALBOS „YAMB“ TARYBINĖJE MAŠINOSE „ISKRA 555“ BUVO PARAŠYTA, KAD IŠ SKAIČIŲ IŠTRAUKTI Kvadratinę šaknį PAGAL IŠGAVIMĄ Į Stulpelio ALGORITMĄ! ir dabar pamiršau, kaip jį išgauti rankiniu būdu!