Kvadratinės lygties šaknys randamos pagal formulę. Kvadratinių lygčių sprendimas: šaknies formulė, pavyzdžiai

Pirmas lygis

Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019)

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats X) kvadrate ir tuo pačiu metu neturėtų būti X trečiojo (ar didesnio) laipsnio.

Daugelio lygčių sprendimas redukuojamas į kvadratinių lygčių sprendinį.

Išmokime nustatyti, kad turime kvadratinę lygtį, o ne kokią nors kitą.

1 pavyzdys

Atsikratykite vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkite iš

Viską perkelkime į kairę pusę ir sudėkime terminus x laipsnių mažėjimo tvarka

Dabar galime drąsiai teigti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratas!

3 pavyzdys

Padauginkime viską iš:

Baugus? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys

Atrodo, kad taip, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Matote, ji susitraukė – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurios iš šių lygčių yra kvadratinės, o kurios ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. kvadratas;
2. kvadratas;
3. ne kvadratas;
4. ne kvadratas;
5. ne kvadratas;
6. kvadratas;
7. ne kvadratas;
8. kvadratas.

Matematikai sąlyginai padalija visas kvadratines lygtis į šiuos tipus:

• Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, kaip ir laisvasis terminas c, nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota yra lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

  Jie yra neišsamūs, nes juose trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti x kvadratas !!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė, o kažkokia kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Toks padalijimas yra dėl sprendimo būdų. Panagrinėkime kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirma, sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Nebaigtos kvadratinės lygtys yra šių tipų:

1. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
3. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Kadangi mes žinome, kaip išgauti Kvadratinė šaknis, tada išreikškime iš šios lygties

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia, kad visada turėtumėte žinoti ir atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės dalių. Galų gale, ar prisimenate, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Oi! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kuriose nėra šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Taigi,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos jos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia apsieisime be pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kurioje

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas yra šiek tiek sudėtingesnis (tik šiek tiek) nei pateiktosios.

Prisiminti, bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Likę metodai padės tai padaryti greičiau, tačiau jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įsisavinkite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Spręsti kvadratines lygtis tokiu būdu yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tai lygtis turi šaknį.Ypatingą dėmesį reikia skirti žingsniui. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada žingsnio formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
• Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie mūsų lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Taigi lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Taigi lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Tai reiškia, kad mes negalėsime išgauti šaknies iš diskriminanto. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra tokio tipo lygtys, kurios vadinamos sumažintomis (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vieta teoremą, nes .

Lygties šaknų suma yra, t.y. gauname pirmąją lygtį:

O produktas yra:

Sukurkime ir išspręskime sistemą:

• Ir. Suma yra;
• Ir. Suma yra;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomas, - kai kurie skaičiai, be to.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, A - laisvas narys.

Kodėl? Nes jei, lygtis iš karto taps tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje išmatų lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia išanalizuosime nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus - jie yra paprastesni.

Galima išskirti šiuos lygčių tipus:

I. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar apsvarstykite kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas skaičius. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai parašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Suskaičiuojame kairę lygties pusę ir randame šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminuojantis

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti lengva, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote diskriminanto šaknį šaknies formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

• Jei, tada lygtis turi šaknį:
• Jei, tada lygtis turi tą pačią šaknį, bet iš tikrųjų vieną šaknį:

  Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

• Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl yra skirtingas šaknų skaičius? Pereikime prie kvadratinės lygties geometrinės reikšmės. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Konkrečiu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . O tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo taškai su x ašimi (ašiu). Parabolė gali išvis nekirsti ašies arba susikirsti viename (kai parabolės viršūnė yra ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tai parabolės šakos nukreiptos į viršų, o jei - tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik pateiktos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vieta teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

O produktas yra:

Išsirinkime tokias skaičių poras, kurių sandauga lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

• Ir. Suma yra;
• Ir. Suma yra;
• Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje, ir patikriname, ar jų suma yra lygi:

ir: duoti iš viso.

ir: duoti iš viso. Norint jį gauti, tereikia pakeisti tariamų šaknų požymius: o galų gale ir darbą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, taigi šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Taigi šaknų suma yra jų modulių skirtumai.

Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje ir kurių skirtumas yra lygus:

ir: jų skirtumas yra - netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, tai šaknis, kuri yra mažesnė absoliučia verte, turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, taigi ir šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Mes pasirenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatome, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys ir tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys yra minusinės.

Parenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu – sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vieta teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad jį naudoti būtų pelninga, turite automatizuoti veiksmus. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo prekės:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vietos teorema: suma turėtų pasirodyti, bet sandauga yra lygi.

Bet kadangi turėtų būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai yra?

Būtina visas sąlygas perkelti į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Taip, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia reikia pateikti lygtį. Jei negalite to iškelti, atsisakykite šios idėjos ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia pirminį koeficientą padaryti lygų:

Puiku. Tada šaknų suma yra lygi, o sandauga.

Čia pasiimti lengviau: juk – pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas terminas yra neigiamas. Kuo jis ypatingas? Ir tai, kad šaknys bus skirtingų ženklų. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o skirtumą tarp jų modulių: šis skirtumas lygus, bet sandauga.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra su minusu. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką pirmiausia reikia padaryti? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turi būti lygi, o tai reiškia, kad su minusu bus didesnė šaknis.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:

1. Vietos teorema naudojama tik duotose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vieta teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
3. Jei lygtis nepateikta arba nerasta tinkamos laisvojo termino faktorių poros, sveikųjų skaičių šaknų nėra ir ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Pilno kvadrato pasirinkimo būdas

Jei visi terminai, turintys nežinomąjį, yra vaizduojami kaip terminai iš sutrumpintos daugybos formulių – sumos arba skirtumo kvadratu, tai pasikeitus kintamiesiems, lygtis gali būti vaizduojama kaip nepilna kvadratinė tokio tipo lygtis.

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Atsakymas:

IN bendras vaizdas transformacija atrodys taip:

Tai reiškia:.

Ar tai tau nieko neprimena? Tai diskriminantas! Būtent taip buvo gauta diskriminanto formulė.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur yra nežinomasis, yra kvadratinės lygties koeficientai, yra laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

• jei koeficientas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
• jei ir, lygtis turi tokią formą: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškite nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

• jei, tada lygtis neturi sprendinių,
• jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Perkelkime lygtį į standartinę formą: ,

2) Apskaičiuokite diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
• jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos lygties, kur) šaknų suma yra lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , A.

2.3. Pilno kvadrato sprendimas

Kai kurioms matematikos problemoms spręsti reikia mokėti apskaičiuoti kvadratinės šaknies reikšmę. Šios problemos apima antros eilės lygčių sprendimą. Šiame straipsnyje mes pristatome efektyvus metodas skaičiavimai kvadratinės šaknys ir naudokite jį dirbdami su kvadratinės lygties šaknų formulėmis.

Kas yra kvadratinė šaknis?

Matematikoje ši sąvoka atitinka simbolį √. Istoriniai duomenys teigia, kad pirmą kartą jis pradėtas naudoti maždaug XVI amžiaus pirmoje pusėje Vokietijoje (pirmasis vokiškas Christoph Rudolf darbas apie algebrą). Mokslininkai mano, kad šis simbolis yra transformuotas Lotyniška raidė r (radix lotyniškai reiškia „šaknis“).

Bet kurio skaičiaus šaknis lygi tokiai reikšmei, kurios kvadratas atitinka šaknies išraišką. Matematikos kalba šis apibrėžimas atrodys taip: √x = y, jei y 2 = x.

Teigiamo skaičiaus šaknis (x > 0) taip pat yra teigiamas skaičius (y > 0), bet jei imsite neigiamo skaičiaus šaknį (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Štai du paprasti pavyzdžiai:

√9 = 3, nes 3 2 = 9; √(-9) = 3i, nes i 2 = -1.

Herono kartotinė formulė kvadratinių šaknų reikšmėms rasti

Aukščiau pateikti pavyzdžiai yra labai paprasti, o šaknų skaičiavimas juose nėra sudėtingas. Sunkumai pradeda kilti jau ieškant šakninių reikšmių bet kuriai vertei, kuri negali būti pavaizduota kaip natūraliojo skaičiaus kvadratas, pavyzdžiui, √10, √11, √12, √13, jau nekalbant apie tai, kad praktiškai tai būtina rasti šaknis ne sveikiesiems skaičiams: pavyzdžiui √(12.15), √(8.5) ir pan.

Visais aukščiau nurodytais atvejais turėtų būti naudojamas specialus kvadratinės šaknies apskaičiavimo metodas. Šiuo metu žinomi keli tokie metodai: pavyzdžiui, išplėtimas Taylor serijoje, padalijimas iš stulpelio ir kai kurie kiti. Iš visų žinomų metodų bene pats paprasčiausias ir efektyviausias yra Herono kartotinės formulės, kuri dar vadinama babilonietišku kvadratinių šaknų nustatymo metodu, naudojimas (yra įrodymų, kad senovės babiloniečiai ją naudojo savo praktiniuose skaičiavimuose).

Tegul reikia nustatyti √x reikšmę. Kvadratinės šaknies radimo formulė yra tokia:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), kur lim n->∞ (a n) => x.

Iššifruokime šį matematinį žymėjimą. Norėdami apskaičiuoti √x, turėtumėte paimti kokį nors skaičių a 0 (jis gali būti savavališkas, tačiau norėdami greitai gauti rezultatą, turėtumėte jį pasirinkti taip, kad (a 0) 2 būtų kuo arčiau x. Tada pakeiskite jį į nurodytą kvadratinės šaknies apskaičiavimo formulę ir gaukite naują skaičių a 1, kuris jau bus arčiau norimos reikšmės. Po to į išraišką reikia pakeisti 1 ir gauti 2. Šią procedūrą reikia kartoti iki gaunamas reikiamas tikslumas.

Herono iteracinės formulės taikymo pavyzdys

Daugeliui duoto skaičiaus kvadratinės šaknies gavimo algoritmas gali atrodyti gana sudėtingas ir painus, tačiau iš tikrųjų viskas pasirodo daug paprasčiau, nes ši formulė labai greitai suartėja (ypač jei pasirenkamas geras skaičius 0).

Pateikiame paprastą pavyzdį: reikia apskaičiuoti √11. Mes pasirenkame 0 \u003d 3, nes 3 2 \u003d 9, kuris yra arčiau 11 nei 4 2 \u003d 16. Pakeitę į formulę, gauname:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) = 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) = 3,31662.

Tęsti skaičiavimus nėra prasmės, nes nustatėme, kad 2 ir 3 pradeda skirtis tik 5 skaitmenimis po kablelio. Taigi, formulę pritaikyti pakako tik 2 kartus, kad √11 būtų apskaičiuotas 0,0001 tikslumu.

Šiuo metu šaknims skaičiuoti plačiai naudojami skaičiuotuvai ir kompiuteriai, tačiau pravartu atsiminti pažymėtą formulę, kad būtų galima rankiniu būdu apskaičiuoti tikslią jų reikšmę.

Antros eilės lygtys

Sprendžiant kvadratines lygtis naudojamas supratimas, kas yra kvadratinė šaknis ir gebėjimas ją apskaičiuoti. Šios lygtys yra lygybės su vienu nežinomuoju, kurios bendra forma parodyta paveikslėlyje žemiau.

Čia c, b ir a yra kai kurie skaičiai, o a neturi būti lygus nuliui, o c ir b reikšmės gali būti visiškai savavališkos, įskaitant lygias nuliui.

Bet kokios x reikšmės, atitinkančios paveiksle nurodytą lygybę, vadinamos jo šaknimis (šios sąvokos nereikėtų painioti su kvadratine šaknimi √). Kadangi nagrinėjama lygtis turi 2 eilę (x 2), jos šaknų negali būti daugiau nei du skaičiai. Vėliau straipsnyje apsvarstysime, kaip rasti šias šaknis.

Kvadratinės lygties (formulės) šaknų radimas

Šis nagrinėjamo tipo lygybių sprendimo būdas dar vadinamas universaliu arba metodu per diskriminantą. Jis gali būti taikomas bet kurioms kvadratinėms lygtims. Kvadratinės lygties diskriminanto ir šaknų formulė yra tokia:

Iš jo matyti, kad šaknys priklauso nuo kiekvieno iš trijų lygties koeficientų reikšmės. Be to, x 1 apskaičiavimas nuo x 2 skaičiavimo skiriasi tik ženklu prieš kvadratinę šaknį. Radikali išraiška, kuri lygi b 2 - 4ac, yra ne kas kita, kaip nagrinėjamos lygybės diskriminantas. Kvadratinės lygties šaknų formulėje esantis diskriminantas vaidina svarbų vaidmenį, nes jis lemia sprendinių skaičių ir tipą. Taigi, jei jis lygus nuliui, bus tik vienas sprendinys, jei jis teigiamas, tai lygtis turi dvi realias šaknis ir galiausiai neigiamas diskriminantas veda į dvi kompleksines šaknis x 1 ir x 2.

Vietos teorema arba kai kurios antros eilės lygčių šaknų savybės

XVI amžiaus pabaigoje vienas iš šiuolaikinės algebros pradininkų, prancūzas, studijuodamas antros eilės lygtis, sugebėjo gauti jos šaknų savybes. Matematiškai juos galima parašyti taip:

x 1 + x 2 = -b / a ir x 1 * x 2 = c / a.

Abi lygybes gali lengvai gauti kiekvienas, tam tereikia atlikti atitinkamus matematinius veiksmus su šaknimis, gautomis per formulę su diskriminantu.

Šių dviejų išraiškų derinys pagrįstai gali būti vadinamas antrąja kvadratinės lygties šaknų formule, kuri leidžia atspėti jos sprendimus nenaudojant diskriminanto. Čia reikia pažymėti, kad nors abi išraiškos visada galioja, patogu jas naudoti sprendžiant lygtį tik tuo atveju, jei ją galima faktoriuoti.

Užduotis įtvirtinti įgytas žinias

Išspręsime matematinę problemą, kurioje pademonstruosime visus straipsnyje aptartus metodus. Problemos sąlygos yra tokios: reikia rasti du skaičius, kurių sandauga yra -13, o suma yra 4.

Ši sąlyga iš karto primena Vietos teoremą, naudodami kvadratinių šaknų ir jų sandaugos sumos formules rašome:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Darant prielaidą, kad a = 1, tada b = -4 ir c = -13. Šie koeficientai leidžia sudaryti antros eilės lygtį:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Naudojame formulę su diskriminantu, gauname šias šaknis:

x 1,2 = (4 ± √D) / 2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Tai yra, užduotis buvo sumažinta iki skaičiaus √68 radimo. Atkreipkite dėmesį, kad 68 = 4 * 17, tada, naudodami kvadratinės šaknies savybę, gauname: √68 = 2√17.

Dabar naudojame nagrinėjamą kvadratinės šaknies formulę: a 0 \u003d 4, tada:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.

Nereikia skaičiuoti 3, nes rastos reikšmės skiriasi tik 0,02. Taigi, √68 = 8,246. Pakeitę jį į formulę x 1,2, gauname:

x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 = 6,123 ir x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 \u003d -2,123.

Kaip matote, rastų skaičių suma tikrai lygi 4, bet jei rasite jų sandaugą, tai bus lygi -12,999, o tai patenkina problemos sąlygą 0,001 tikslumu.

Su šia matematikos programa galite išspręsti kvadratinę lygtį.

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą dviem būdais:
- naudojant diskriminantą
- naudojant Vieta teoremą (jei įmanoma).

Be to, atsakymas rodomas tikslus, o ne apytikslis.
Pavyzdžiui, lygties \(81x^2-16x-1=0\) atsakymas rodomas tokia forma:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ vietoj šio: \(x_1 = 0,247; \ keturkampis x_2 = -0,05 \)

Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams bendrojo lavinimo mokyklos ruošiantis kontrolinis darbas ir egzaminus, tikrindami žinias prieš egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai matematika ar algebra? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiu sprendimu.

Taigi, jūs galite atlikti savo savo mokymą ir (arba) savo jaunesniųjų brolių ar seserų mokymą, tuo pačiu didinant išsilavinimo lygį sprendžiamų užduočių srityje.

Jei nesate susipažinę su kvadratinio daugianario įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės

Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ir kt.

Skaičius galima įvesti kaip sveikuosius skaičius arba trupmenas.
Be to, trupmeninius skaičius galima įvesti ne tik kablelio, bet ir paprastosios trupmenos pavidalu.

Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis nuo sveikojo skaičiaus gali būti atskirta tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, dešimtainius skaičius galite įvesti taip: 2,5x - 3,5x^2

Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas.

Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Sveikoji dalis nuo trupmenos atskiriama ampersandu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5z +1/7z^2
Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Įvedant išraišką galite naudoti skliaustus. Šiuo atveju, sprendžiant kvadratinę lygtį, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.
Pavyzdžiui: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Nuspręskite

Nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai užduočiai išspręsti, nebuvo įkelti, todėl programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Jūsų naršyklėje išjungtas „JavaScript“.
Kad sprendimas būtų rodomas, JavaScript turi būti įjungtas.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, kurie nori išspręsti problemą, jūsų prašymas yra eilėje.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Prašau palauk sek...

Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite rašyti Atsiliepimų formoje .
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Kvadratinė lygtis ir jos šaknys. Nebaigtos kvadratinės lygtys

Kiekviena iš lygčių
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
turi formą
\(ax^2+bx+c=0, \)
kur x yra kintamasis, a, b ir c yra skaičiai.
Pirmoje lygtyje a = -1, b = 6 ir c = 1,4, antrojoje a = 8, b = -7 ir c = 0, trečiojoje a = 1, b = 0 ir c = 4/9. Tokios lygtys vadinamos kvadratines lygtis.

Apibrėžimas.
kvadratinė lygtis vadinama ax 2 +bx+c=0 formos lygtis, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \).

Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, skaičius b yra antrasis koeficientas, o skaičius c yra pertrauka.

Kiekvienoje iš ax 2 +bx+c=0 formos lygčių, kur \(a \neq 0 \), didžiausia kintamojo x laipsnis yra kvadratas. Iš čia ir kilo pavadinimas: kvadratinė lygtis.

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinė lygtis taip pat vadinama antrojo laipsnio lygtimi, nes jos kairioji pusė yra antrojo laipsnio daugianario.

Vadinama kvadratinė lygtis, kurioje koeficientas ties x 2 yra 1 redukuota kvadratinė lygtis. Pavyzdžiui, pateiktos kvadratinės lygtys yra lygtys
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jeigu kvadratinėje lygtyje ax 2 +bx+c=0 bent vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui, tai tokia lygtis vadinama nepilna kvadratinė lygtis. Taigi, lygtys -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 yra nepilnos kvadratinės lygtys. Pirmajame iš jų b=0, antrajame c=0, trečiame b=0 ir c=0.

Neišsamios kvadratinės lygtys yra trijų tipų:
1) ax 2 +c=0, kur \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kur \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Apsvarstykite kiekvieno iš šių tipų lygčių sprendimą.

Norint išspręsti nepilną ax 2 +c=0 formos kvadratinę lygtį \(c \neq 0 \), jos laisvasis narys perkeliamas į dešinę pusę ir abi lygties dalys dalijamos iš a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rodyklė dešinėn x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Kadangi \(c \neq 0 \), tada \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jei \(-\frac(c)(a)>0 \), tada lygtis turi dvi šaknis.

Jei \(-\frac(c)(a) Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios forma ax 2 +bx=0, kai \(b \neq 0 \), padalinkite jos kairę pusę ir gaukite lygtį
\(x(ax+b)=0 \RightArrow \left\( \begin(masyvas)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(masyvas) \right. \Rightarrow \left\( \begin (masyvas)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(masyvas) \right. \)

Vadinasi, nepilna kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 +bx=0 \(b \neq 0 \), visada turi dvi šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis, kurios forma yra ax 2 \u003d 0, yra lygi lygčiai x 2 \u003d 0, todėl turi vieną šaknį 0.

Kvadratinės lygties šaknų formulė

Dabar panagrinėkime, kaip sprendžiamos kvadratinės lygtys, kuriose tiek nežinomųjų, tiek laisvojo nario koeficientai yra nuliniai.

Kvadratinę lygtį išsprendžiame bendra forma ir gauname šaknų formulę. Tada šią formulę galima pritaikyti bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.

Išspręskite kvadratinę lygtį ax 2 +bx+c=0

Abi jos dalis padalijus iš a, gauname ekvivalentinę sumažintą kvadratinę lygtį
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Šią lygtį transformuojame paryškindami dvinario kvadratą:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \rodyklė dešinėn \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 – \frac(c)(a) \Rodyklė dešinėn \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rodyklė dešinėn \kairė(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rodyklė dešinėn \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rodyklė dešinėn x = -\frac(b)(2a) + \frac(\pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rodyklė dešinėn \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Šaknies išraiška vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ax 2 +bx+c=0 („diskriminantas“ lotyniškai – skirtis). Ji žymima raide D, t.y.
\(D = b^2-4ac\)

Dabar, naudodami diskriminanto žymėjimą, perrašome kvadratinės lygties šaknų formulę:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kur \(D= b^2-4ac \)

Akivaizdu, kad:
1) Jei D>0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.
2) Jei D=0, tai kvadratinė lygtis turi vieną šaknį \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jei D Taigi, priklausomai nuo diskriminanto reikšmės, kvadratinė lygtis gali turėti dvi šaknis (kai D > 0), vieną šaknį (kai D = 0) arba be šaknų (kai D Sprendžiant kvadratinę lygtį pagal šią formulę , patartina daryti taip:
1) apskaičiuokite diskriminantą ir palyginkite jį su nuliu;
2) jei diskriminantas yra teigiamas arba lygus nuliui, tada naudokite šaknies formulę, jei diskriminantas yra neigiamas, tada užrašykite, kad šaknų nėra.

Vietos teorema

Duota kvadratinė lygtis ax 2 -7x+10=0 turi šaknis 2 ir 5. Šaknų suma yra 7, o sandauga yra 10. Matome, kad šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui. Bet kuri sumažinta kvadratinė lygtis, turinti šaknis, turi šią savybę.

Duotos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.

Tie. Vietos teorema teigia, kad redukuotos kvadratinės lygties x 2 +px+q=0 šaknys x 1 ir x 2 turi savybę:
\(\left\( \begin(masyvas)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(masyvas) \right. \)

Ši tema iš pradžių gali atrodyti sudėtinga dėl daugybės paprastos formulės. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus įrašus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso yra trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendžiant tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia siūlomas jų aiškus žymėjimas, kai pirmiausia rašomas didžiausias laipsnis, o po to - mažėjančia tvarka. Dažnai būna situacijų, kai terminai skiriasi. Tada geriau perrašyti lygtį kintamojo laipsnio mažėjimo tvarka.

Pristatykime žymėjimą. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė bus pažymėta skaičiumi vienu.

Pateikus lygtį neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

• tirpalas turės dvi šaknis;
• atsakymas bus vienas skaičius;
• Lygtis iš viso neturi šaknų.

Ir nors sprendimas nėra baigtas, sunku suprasti, kuris iš variantų konkrečiu atveju iškris.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotys gali turėti skirtingus įrašus. Jie ne visada atrodys kaip bendra kvadratinės lygties formulė. Kartais pritrūks kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra visa lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite ką nors kita. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik tie terminai, kurių koeficientai „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes tokiu atveju formulė virsta tiesine lygtimi. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik dviejų tipų, be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra numeris du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Šis skaičius turi būti žinomas, kad būtų galima apskaičiuoti lygties šaknis. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kuri turės skaičių keturi.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius skirtingi ženklai. Jei atsakymas yra teigiamas, atsakymas į lygtį bus dvi skirtingos šaknys. Esant neigiamam skaičiui, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, atsakymas bus vienas.

Kaip išsprendžiama visa kvadratinė lygtis?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Išaiškinus, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti tokią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Po kvadratinės šaknies ženklu esanti išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Formulė penkta. Iš to paties įrašo matyti, kad jei diskriminantas yra nulis, tada abi šaknys įgis tokias pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar nebuvo parengtas, prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla sumaištis.

Kaip sprendžiama nepilna kvadratinė lygtis?

Čia viskas daug paprasčiau. Net nereikia papildomų formulių. Ir nereikės tų, kurie jau parašyti diskriminantui ir nežinomam.

Pirma, apsvarstykite nepilną lygtį numeris du. Šioje lygybėje iš skliaustų reikia išimti nežinomą reikšmę ir išspręsti tiesinę lygtį, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra faktorius, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis gaunamas sprendžiant tiesinę lygtį.

Neišsami lygtis, esanti skaičiumi trys, išsprendžiama perkeliant skaičių iš kairės lygties pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento prieš nežinomąjį. Belieka tik ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti jos du kartus užsirašyti priešingais ženklais.

Toliau pateikiami keli veiksmai, padedantys išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai yra prastų pažymių priežastis studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė)“. Vėliau šių veiksmų nereikės nuolat atlikti. Nes bus stabilus įprotis.

• Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.

• Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, tai gali apsunkinti pradedančiajam studijuoti kvadratines lygtis. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.

• Lygiai taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmoji lygtis: x 2 - 7x \u003d 0. Ji neišsami, todėl išspręsta taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.

Po skliaustų pasirodo: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 = 0. Antroji bus rasta iš tiesinė lygtis: x - 7 = 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 = 7.

Antroji lygtis: 5x2 + 30 = 0. Vėl nebaigta. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trečioji lygtis: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Čia ir žemiau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės jas perrašant standartinis vaizdas: - x 2 - 2x + 15 = 0. Dabar laikas naudoti antrą naudingų patarimų ir padauginkite viską iš minus vieno. Pasirodo x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Pagal ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia skaičiuoti pagal penktąją formulę. Pagal jį paaiškėja, kad x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x \u003d 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jos diskriminantas yra lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šeštoji lygtis (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad prieš atidarant skliaustus reikia pateikti panašius terminus. Vietoj pirmojo bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia forma: x 2 - x \u003d 0. Jis tapo neužbaigtas . Panašus į jį jau buvo laikomas šiek tiek aukštesnis. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

IN šiuolaikinė visuomenė gebėjimas dirbti su lygtimis, turinčiomis kvadratinį kintamąjį, gali būti naudingas daugelyje veiklos sričių ir yra plačiai naudojamas praktikoje mokslo ir technikos raidoje. Tai liudija jūrų ir upių laivų, orlaivių ir raketų konstrukcija. Tokių skaičiavimų pagalba nustatomos įvairių kūnų, tarp jų ir kosminių objektų, judėjimo trajektorijos. Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai naudojami ne tik ekonominiam prognozavimui, pastatų projektavimui ir statybai, bet ir įprastomis kasdienėmis aplinkybėmis. Jų gali prireikti žygiuose pėsčiomis sporto, parduotuvėse perkant ir kitose labai dažnose situacijose.

Išskaidykime išraišką į komponentinius veiksnius

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią kintamojo laipsnio reikšmę, kurią sudaro pateikta išraiška. Jei ji lygi 2, tai tokia lygtis vadinama kvadratine lygtimi.

Jei kalbėtume formulių kalba, tai šie posakiai, kad ir kaip jie atrodytų, visada gali būti perkeliami į formą, kai kairiąją išraiškos pusę sudaro trys terminai. Tarp jų: ​​ax 2 (ty kintamasis kvadratas su jo koeficientu), bx (nežinomasis be kvadrato su jo koeficientu) ir c (laisvasis komponentas, tai yra įprastas skaičius). Dešinėje pusėje visa tai lygi 0. Tuo atveju, kai toks daugianomas neturi vieno iš jo sudedamųjų dalių, išskyrus ax 2, jis vadinamas nepilna kvadratine lygtimi. Pirmiausia reikėtų atsižvelgti į tokių uždavinių sprendimo pavyzdžius, kuriuose kintamųjų reikšmę nesunku rasti.

Jei išraiška atrodo taip, kad dešinėje išraiškos pusėje yra du terminai, tiksliau ax 2 ir bx, lengviausia x rasti kintamąjį skliausteliuose. Dabar mūsų lygtis atrodys taip: x(ax+b). Be to, tampa akivaizdu, kad arba x=0, arba problema redukuojama iki kintamojo suradimo iš šios išraiškos: ax+b=0. Tai lemia viena iš daugybos savybių. Taisyklė sako, kad dviejų veiksnių sandauga yra 0 tik tada, kai vienas iš jų yra lygus nuliui.

Pavyzdys

x = 0 arba 8x - 3 = 0

Dėl to gauname dvi lygties šaknis: 0 ir 0,375.

Tokios lygtys gali apibūdinti kūnų judėjimą veikiant gravitacijai, kurie pradėjo judėti iš tam tikro taško, laikomo pradžia. Čia matematinis žymėjimas įgauna tokią formą: y = v 0 t + gt 2 /2. Pakeitimas reikalingos vertės, prilyginus dešinę pusę 0 ir suradus galimus nežinomuosius, galima sužinoti laiką, praėjusį nuo kūno pakilimo iki kritimo, taip pat daugybę kitų dydžių. Bet apie tai pakalbėsime vėliau.

Išraiškos faktorius

Aukščiau aprašyta taisyklė leidžia išspręsti šias problemas ir dar daugiau sunkių atvejų. Apsvarstykite tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius.

X2 – 33x + 200 = 0

Šis kvadratinis trinomas baigtas. Pirma, mes transformuojame išraišką ir išskaidome ją į veiksnius. Jų yra dvi: (x-8) ir (x-25) = 0. Dėl to turime dvi šaknis 8 ir 25.

Pavyzdžiai su kvadratinių lygčių sprendimu 9 klasėje leidžia šiuo metodu rasti kintamąjį ne tik antros, bet net ir trečios bei ketvirtos eilės išraiškose.

Pavyzdžiui: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Skaičiuojant dešinę pusę į veiksnius su kintamuoju, yra trys iš jų, tai yra (x + 1), (x-3) ir (x + 3).

Dėl to tampa akivaizdu, kad ši lygtis turi tris šaknis: -3; -1; 3.

Kvadratinės šaknies ištraukimas

Kitas nepilnos antros eilės lygties atvejis – tai raidžių kalba parašyta išraiška taip, kad dešinioji pusė yra pastatyta iš komponentų ax 2 ir c. Čia, norint gauti kintamojo reikšmę, laisvasis narys perkeliamas į dešinę pusę, o po to iš abiejų lygybės pusių ištraukiama kvadratinė šaknis. Reikėtų pažymėti, kad į Ši byla Paprastai yra dvi lygties šaknys. Vienintelės išimtys yra lygybės, kuriose visiškai nėra termino c, kur kintamasis lygus nuliui, taip pat reiškinių variantai, kai dešinioji pusė pasirodo esanti neigiama. Pastaruoju atveju iš viso nėra sprendimų, nes pirmiau minėtų veiksmų negalima atlikti su šaknimis. Reikėtų apsvarstyti tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžius.

Šiuo atveju lygties šaknys bus skaičiai -4 ir 4.

Žemės ploto apskaičiavimas

Tokio pobūdžio skaičiavimų poreikis atsirado senovėje, nes matematikos raidą tais tolimais laikais daugiausia lėmė būtinybė kuo tiksliau nustatyti žemės sklypų plotus ir perimetrus.

Taip pat turėtume apsvarstyti kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius, sudarytus remiantis tokio pobūdžio problemomis.

Taigi, tarkime, yra stačiakampis žemės sklypas, kurio ilgis yra 16 metrų didesnis už plotį. Turėtumėte sužinoti sklypo ilgį, plotį ir perimetrą, jei žinoma, kad jos plotas yra 612 m 2.

Pradėdami verslą, iš pradžių sudarysime reikiamą lygtį. Atkarpos plotį pažymėkime x, tada jos ilgis bus (x + 16). Iš to, kas parašyta, išplaukia, kad plotas nustatomas pagal išraišką x (x + 16), kuri pagal mūsų uždavinio sąlygą yra 612. Tai reiškia, kad x (x + 16) \u003d 612.

Išsamių kvadratinių lygčių sprendimas, o ši išraiška yra būtent tokia, negali būti atliktas tokiu pačiu būdu. Kodėl? Nors kairėje jo pusėje vis dar yra du faktoriai, tačiau jų sandauga visai nelygi 0, todėl čia naudojami kiti metodai.

Diskriminuojantis

Pirmiausia atliekame reikiamas transformacijas, tada išvaizdaši išraiška atrodys taip: x 2 + 16x - 612 = 0. Tai reiškia, kad gavome išraišką, atitinkančią anksčiau nurodytą standartą, kur a=1, b=16, c=-612.

Tai gali būti kvadratinių lygčių sprendimo naudojant diskriminantą pavyzdys. Čia reikalingi skaičiavimai atliekami pagal schemą: D = b 2 - 4ac. Ši pagalbinė vertė ne tik leidžia rasti norimas reikšmes antros eilės lygtyje, bet ir nustato skaičių galimybės. D>0 atveju jų yra du; D=0 yra viena šaknis. Tuo atveju, kai D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Apie šaknis ir jų formulę

Mūsų atveju diskriminantas yra: 256 - 4(-612) = 2704. Tai rodo, kad mūsų problema turi atsakymą. Jei žinote, kvadratinių lygčių sprendimas turi būti tęsiamas naudojant toliau pateiktą formulę. Tai leidžia apskaičiuoti šaknis.

Tai reiškia, kad pateiktu atveju: x 1 =18, x 2 =-34. Antrasis variantas šioje dilemoje negali būti sprendimas, nes žemės sklypo dydis negali būti matuojamas neigiamomis reikšmėmis, o tai reiškia, kad x (tai yra sklypo plotis) yra 18 m. Iš čia skaičiuojame ilgį: 18+16=34, o perimetras 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Pavyzdžiai ir užduotys

Tęsiame kvadratinių lygčių tyrimą. Toliau bus pateikti pavyzdžiai ir išsamus kelių iš jų sprendimas.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Viską perkelkime į kairę lygybės pusę, atliksime transformaciją, tai yra gausime lygties formą, kuri paprastai vadinama standartine, ir prilyginkime nuliui.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pridėję panašius, nustatome diskriminantą: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Taigi mūsų lygtis turės dvi šaknis. Apskaičiuojame juos pagal aukščiau pateiktą formulę, o tai reiškia, kad pirmasis iš jų bus lygus 4/3, o antrasis - 1.

2) Dabar mes atskleisime kitokio pobūdžio mįsles.

Išsiaiškinkime, ar čia iš viso yra šaknų x 2 - 4x + 5 = 1? Norėdami gauti išsamų atsakymą, daugianarį perkeliame į atitinkamą pažįstamą formą ir apskaičiuojame diskriminantą. Šiame pavyzdyje nebūtina spręsti kvadratinės lygties, nes problemos esmė visai ne tame. Šiuo atveju D \u003d 16 - 20 \u003d -4, o tai reiškia, kad šaknų tikrai nėra.

Vietos teorema

Kvadratines lygtis patogu spręsti naudojant aukščiau pateiktas formules ir diskriminantą, kai iš pastarojo reikšmės išimama kvadratinė šaknis. Tačiau taip nutinka ne visada. Tačiau šiuo atveju yra daug būdų, kaip gauti kintamųjų reikšmes. Pavyzdys: kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą. Jis pavadintas žmogaus, gyvenusio XVI a. Prancūzijoje ir dėl savo matematinio talento ir ryšių dvaro dėka, padariusio puikią karjerą. Jo portretą galima pamatyti straipsnyje.

Modelis, kurį pastebėjo garsus prancūzas, buvo toks. Jis įrodė, kad lygties šaknų suma lygi -p=b/a, o jų sandauga atitinka q=c/a.

Dabar pažvelkime į konkrečias užduotis.

3x2 + 21x - 54 = 0

Kad būtų paprasčiau, pakeiskime išraišką:

x 2 + 7x - 18 = 0

Naudojant Vieta teoremą, tai duos mums taip: šaknų suma yra -7, o jų sandauga yra -18. Iš čia gauname, kad lygties šaknys yra skaičiai -9 ir 2. Patikrinę įsitikinsime, kad šios kintamųjų reikšmės tikrai atitinka išraišką.

Parabolės grafikas ir lygtis

Kvadratinės funkcijos ir kvadratinių lygčių sąvokos yra glaudžiai susijusios. To pavyzdžiai jau buvo pateikti anksčiau. Dabar pažvelkime į kai kuriuos matematinius galvosūkius šiek tiek išsamiau. Bet kuri aprašyto tipo lygtis gali būti pavaizduota vizualiai. Tokia priklausomybė, nubrėžta grafiko pavidalu, vadinama parabole. Įvairūs jo tipai parodyti paveikslėlyje žemiau.

Bet kuri parabolė turi viršūnę, tai yra tašką, iš kurio išeina jos šakos. Jei a>0, jie kyla aukštai iki begalybės, o kai a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualus funkcijų atvaizdavimas padeda išspręsti bet kokias lygtis, įskaitant kvadratines. Šis metodas vadinamas grafiniu. O kintamojo x reikšmė yra abscisių koordinatė taškuose, kur grafiko linija susikerta su 0x. Viršūnės koordinates galima rasti pagal ką tik pateiktą formulę x 0 = -b / 2a. Ir pakeisdami gautą reikšmę į pradinę funkcijos lygtį, galite sužinoti y 0, tai yra, antrąją parabolės viršūnės koordinatę, priklausančią y ašiai.

Parabolės šakų susikirtimas su abscisių ašimi

Yra daug kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžių, tačiau yra ir bendrų modelių. Apsvarstykime juos. Akivaizdu, kad grafiko susikirtimas su 0x ašimi, kai a>0 yra įmanomas tik tuo atveju, jei y 0 įgyja neigiamas reikšmes. Ir už a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Priešingu atveju D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iš parabolės grafiko taip pat galite nustatyti šaknis. Ir atvirkščiai. Tai yra, jei nėra lengva gauti vaizdinį kvadratinės funkcijos vaizdą, dešinę išraiškos pusę galite prilyginti 0 ir išspręsti gautą lygtį. O žinant susikirtimo taškus su 0x ašimi, braižyti lengviau.

Iš istorijos

Naudojant lygtis, turinčias kvadratinį kintamąjį, senais laikais buvo ne tik matematiniai skaičiavimai, bet ir geometrinių formų plotas. Tokių skaičiavimų senovės žmonėms prireikė grandioziniams fizikos ir astronomijos atradimams, taip pat astrologinėms prognozėms daryti.

Kaip teigia šiuolaikiniai mokslininkai, Babilono gyventojai vieni pirmųjų išsprendė kvadratines lygtis. Tai įvyko keturis šimtmečius iki mūsų eros atsiradimo. Žinoma, jų skaičiavimai iš esmės skyrėsi nuo šiuo metu priimtų ir pasirodė esą daug primityvesni. Pavyzdžiui, Mesopotamijos matematikai neturėjo supratimo apie neigiamų skaičių egzistavimą. Jie taip pat nebuvo susipažinę su kitomis subtilybėmis, kurias žinojo bet kuris mūsų laikų studentas.

Galbūt net anksčiau nei Babilono mokslininkai išminčius iš Indijos Baudhayama ėmėsi kvadratinių lygčių sprendimo. Tai atsitiko maždaug aštuonis šimtmečius prieš Kristaus eros atėjimą. Tiesa, antros eilės lygtys, jų sprendimo būdai, kuriuos jis pateikė, buvo patys paprasčiausi. Be jo, senais laikais panašiais klausimais domėjosi ir kinų matematikai. Europoje kvadratinės lygtys pradėtos spręsti tik XIII amžiaus pradžioje, tačiau vėliau jas savo darbuose naudojo tokie didieji mokslininkai kaip Niutonas, Dekartas ir daugelis kitų.