Kvadratinės lygties šaknys apskaičiuojamos pagal formules. Kvadratinių lygčių sprendimas: šaknies formulė, pavyzdžiai

Kvadratinė lygtis yra a*x^2 +b*x+c=0 formos lygtis, kur a,b,c yra kai kurie savavališki tikrieji (realieji) skaičiai, o x yra kintamasis. Ir skaičius a = 0.

Skaičiai a,b,c vadinami koeficientais. Skaičius a - vadinamas pirmaujančiu koeficientu, skaičius b yra koeficientas ties x, o skaičius c vadinamas laisvuoju nariu.

Kvadratinių lygčių sprendimas

Išspręsti kvadratinę lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba nustatyti faktą, kad kvadratinė lygtis neturi šaknų. Kvadratinės lygties a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 šaknis yra bet kokia kintamojo x reikšmė, todėl kvadratinis trinaris a * x ^ 2 + b * x + c išnyksta. Kartais tokia x reikšmė vadinama kvadratinio trinalio šaknimi.

Yra keletas kvadratinių lygčių sprendimo būdų. Apsvarstykite vieną iš jų - universaliausią. Jis gali būti naudojamas bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.

Kvadratinių lygčių sprendimo formulės

Kvadratinės lygties šaknų formulė yra a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), kur D =b^2-4*a*c.

Ši formulė gaunama išsprendus lygtį a*x^2 +b*x+c=0 in bendras vaizdas, pasirinkdami dvinario kvadratą.

Kvadratinės lygties šaknų formulėje išraiška D (b^2-4*a*c) vadinama kvadratinės lygties a*x^2 +b*x+c=0 diskriminantu. Šis pavadinimas kilęs iš lotynų kalbos, išverstas „skiriantis“. Priklausomai nuo diskriminanto reikšmės, kvadratinė lygtis turės dvi arba vieną šaknį arba išvis neturės šaknų.

Jei diskriminantas yra didesnis nei nulis, tada kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. (x=(-b±√D)/(2*a))

Jei diskriminantas yra nulis, tada kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. (x=(-b/(2*a))

Jei diskriminantas yra neigiamas, tada kvadratinė lygtis neturi šaknų.

Bendras kvadratinės lygties sprendimo algoritmas

Remdamiesi tuo, kas išdėstyta, suformuluojame bendrą kvadratinės lygties a*x^2 +b*x+c=0 sprendimo algoritmą, naudodami formulę:

1. Raskite diskriminanto reikšmę naudodami formulę D =b^2-4*a*c.

2. Atsižvelgdami į diskriminanto reikšmę, apskaičiuokite šaknis pagal formules:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Šis algoritmas yra universalus ir tinka bet kokioms kvadratinėms lygtims spręsti. Pilnas ir neišsamus, cituojamas ir nenurodytas.

Ši tema iš pradžių gali atrodyti sudėtinga dėl daugybės paprastos formulės. Ne tik pačios kvadratinės lygtys turi ilgus įrašus, bet ir šaknys randamos per diskriminantą. Iš viso yra trys naujos formulės. Nelabai lengva prisiminti. Tai įmanoma tik dažnai sprendžiant tokias lygtis. Tada visos formulės įsimins pačios.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Čia siūlomas jų aiškus žymėjimas, kai pirmiausia rašomas didžiausias laipsnis, o po to - mažėjančia tvarka. Dažnai būna situacijų, kai terminai skiriasi. Tada geriau perrašyti lygtį kintamojo laipsnio mažėjimo tvarka.

Pristatykime žymėjimą. Jie pateikiami toliau esančioje lentelėje.

Jei priimsime šiuos žymėjimus, visos kvadratinės lygtys bus sumažintos iki tokio žymėjimo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Ši formulė bus pažymėta skaičiumi vienu.

Pateikus lygtį neaišku, kiek šaknų bus atsakyme. Kadangi visada galimas vienas iš trijų variantų:

• tirpalas turės dvi šaknis;
• atsakymas bus vienas skaičius;
• Lygtis iš viso neturi šaknų.

Ir nors sprendimas nėra baigtas, sunku suprasti, kuris iš variantų konkrečiu atveju iškris.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotys gali turėti skirtingus įrašus. Jie ne visada atrodys kaip bendra kvadratinės lygties formulė. Kartais pritrūks kai kurių terminų. Tai, kas buvo parašyta aukščiau, yra visa lygtis. Jei pašalinsite antrą ar trečią terminą, gausite ką nors kita. Šie įrašai dar vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik nepilnais.

Be to, gali išnykti tik tie terminai, kurių koeficientai „b“ ir „c“. Skaičius „a“ jokiomis aplinkybėmis negali būti lygus nuliui. Nes šiuo atveju formulė tampa tiesinė lygtis. Neišsamios lygčių formos formulės bus tokios:

Taigi, yra tik dviejų tipų, be pilnųjų, yra ir nepilnų kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra numeris du, o antroji - trys.

Diskriminantas ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Šis skaičius turi būti žinomas, kad būtų galima apskaičiuoti lygties šaknis. Jį visada galima apskaičiuoti, nesvarbu, kokia būtų kvadratinės lygties formulė. Norėdami apskaičiuoti diskriminantą, turite naudoti žemiau parašytą lygybę, kuri turės skaičių keturi.

Pakeitę koeficientų reikšmes į šią formulę, galite gauti skaičius skirtingi ženklai. Jei atsakymas yra teigiamas, atsakymas į lygtį bus dvi skirtingos šaknys. Esant neigiamam skaičiui, kvadratinės lygties šaknų nebus. Jei jis lygus nuliui, atsakymas bus vienas.

Kaip išsprendžiama visa kvadratinė lygtis?

Tiesą sakant, šis klausimas jau pradėtas svarstyti. Nes pirmiausia reikia rasti diskriminantą. Išaiškinus, kad yra kvadratinės lygties šaknys ir žinomas jų skaičius, reikia naudoti kintamųjų formules. Jei yra dvi šaknys, tuomet reikia taikyti tokią formulę.

Kadangi jame yra ženklas „±“, bus dvi reikšmės. Po kvadratinės šaknies ženklu esanti išraiška yra diskriminantas. Todėl formulę galima perrašyti kitaip.

Formulė penkta. Iš to paties įrašo matyti, kad jei diskriminantas yra nulis, tada abi šaknys įgis tokias pačias reikšmes.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar nebuvo parengtas, tada prieš taikant diskriminacines ir kintamąsias formules geriau užsirašyti visų koeficientų reikšmes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pačioje pradžioje kyla sumaištis.

Kaip sprendžiama nepilna kvadratinė lygtis?

Čia viskas daug paprasčiau. Net nereikia papildomų formulių. Ir nereikės tų, kurie jau parašyti diskriminantui ir nežinomam.

Pirma, apsvarstykite nepilną lygtį numeris du. Šioje lygybėje iš skliaustų reikia išimti nežinomą reikšmę ir išspręsti tiesinę lygtį, kuri liks skliausteliuose. Atsakymas turės dvi šaknis. Pirmasis būtinai lygus nuliui, nes yra faktorius, susidedantis iš paties kintamojo. Antrasis gaunamas sprendžiant tiesinę lygtį.

Neišsami lygtis, esanti skaičiumi trys, išsprendžiama perkeliant skaičių iš kairės lygties pusės į dešinę. Tada reikia padalyti iš koeficiento prieš nežinomąjį. Belieka tik ištraukti kvadratinę šaknį ir nepamiršti jos du kartus užsirašyti priešingais ženklais.

Toliau pateikiami keli veiksmai, padedantys išmokti išspręsti visų rūšių lygybes, kurios virsta kvadratinėmis lygtimis. Jie padės mokiniui išvengti klaidų dėl neatidumo. Šie trūkumai yra prastų pažymių priežastis studijuojant plačią temą „Kvadratinės lygtys (8 klasė)“. Vėliau šių veiksmų nereikės nuolat atlikti. Nes bus stabilus įprotis.

• Pirmiausia turite parašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu, o tada - be laipsnio, o paskutinis - tik skaičius.

• Jei prieš koeficientą „a“ atsiranda minusas, tai gali apsunkinti pradedančiajam studijuoti kvadratines lygtis. Geriau jo atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš „-1“. Tai reiškia, kad visi terminai pakeis ženklą į priešingą.

• Lygiai taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį iš atitinkamo koeficiento, kad vardikliai panaikintų.

Pavyzdžiai

Būtina išspręsti šias kvadratines lygtis:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmoji lygtis: x 2 - 7x \u003d 0. Ji neišsami, todėl išspręsta taip, kaip aprašyta formulėje numeris antroji.

Po skliaustų pasirodo: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmoji šaknis įgauna reikšmę: x 1 \u003d 0. Antroji bus rasta iš tiesinės lygties: x - 7 \u003d 0. Nesunku pastebėti, kad x 2 \u003d 7.

Antroji lygtis: 5x2 + 30 = 0. Vėl nebaigta. Tik ji išspręsta taip, kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygties pusę: 5x 2 = 30. Dabar reikia padalyti iš 5. Pasirodo: x 2 = 6. Atsakymai bus skaičiai: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trečioji lygtis: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Čia ir žemiau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės perrašant jas į standartinę formą: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Dabar atėjo laikas naudoti antrąją naudingų patarimų ir padauginkite viską iš minus vieno. Pasirodo x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Pagal ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminantą: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta aukščiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Juos reikia skaičiuoti pagal penktąją formulę. Pagal jį paaiškėja, kad x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ketvirtoji lygtis x 2 + 8 + 3x \u003d 0 paverčiama taip: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jos diskriminantas yra lygus šiai reikšmei: -23. Kadangi šis skaičius yra neigiamas, atsakymas į šią užduotį bus toks: „Šaknų nėra“.

Penktąją lygtį 12x + x 2 + 36 = 0 reikia perrašyti taip: x 2 + 12x + 36 = 0. Pritaikius diskriminanto formulę, gaunamas skaičius nulis. Tai reiškia, kad jis turės vieną šaknį, būtent: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šeštoji lygtis (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) reikalauja transformacijų, kurios susideda iš to, kad prieš atidarant skliaustus reikia pateikti panašius terminus. Vietoj pirmojo bus tokia išraiška: x 2 + 2x + 1. Po lygybės pasirodys šis įrašas: x 2 + 3x + 2. Suskaičiavus panašius narius, lygtis bus tokia forma: x 2 - x \u003d 0. Jis tapo neužbaigtas . Panašus į jį jau buvo laikomas šiek tiek aukštesnis. To šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

Kvadratinės lygtys. Diskriminuojantis. Sprendimas, pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kvadratinių lygčių tipai

Kas yra kvadratinė lygtis? Kaip tai atrodo? Per terminą kvadratinė lygtis raktinis žodis yra "kvadratas". Tai reiškia, kad lygtyje Būtinai turi būti x kvadratas. Be jo, lygtyje gali būti (arba gali nebūti!) Tik x (iki pirmojo laipsnio) ir tik skaičius (laisvas narys). Ir neturėtų būti x laipsniu, didesniu nei du.

Matematine prasme kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

Čia a, b ir c- kai kurie skaičiai. b ir c- Visiškai bet koks, bet A- nieko, išskyrus nulį. Pavyzdžiui:

Čia A =1; b = 3; c = -4

Čia A =2; b = -0,5; c = 2,2

Čia A =-3; b = 6; c = -18

Na, supratai mintį...

Šiose kvadratinėse lygtyse kairėje yra pilna komplektacija nariai. x kvadratu su koeficientu A, x iki pirmojo laipsnio su koeficientu b Ir laisvas narys

Tokios kvadratinės lygtys vadinamos užbaigti.

Ir jeigu b= 0, ką mes gausime? Mes turime X išnyks pirmame laipsnyje. Taip atsitinka padauginus iš nulio.) Pasirodo, pavyzdžiui:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x=0

Ir taip toliau. Ir jei abu koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui, tada dar paprasčiau:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Tokios lygtys, kur kažko trūksta, vadinamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tai gana logiška.) Atkreipkite dėmesį, kad x kvadratas yra visose lygtyse.

Beje, kodėl A negali būti nulis? Ir jūs vietoj to pakeičiate A nulis.) X kvadrate išnyks! Lygtis taps tiesinė. Ir daroma kitaip...

Tai visi pagrindiniai kvadratinių lygčių tipai. Pilnas ir neišsamus.

Kvadratinių lygčių sprendimas.

Piltinių kvadratinių lygčių sprendimas.

Kvadratines lygtis nesunku išspręsti. Pagal formules ir aiškias paprastas taisykles. Pirmas žingsnis yra pateikti pateiktą lygtį standartinis vaizdas, t.y. į vaizdą:

Jei lygtis jums jau pateikta šioje formoje, jums nereikia atlikti pirmojo etapo.) Svarbiausia yra teisingai nustatyti visus koeficientus, A, b Ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis. Bet daugiau apie jį žemiau. Kaip matote, norėdami rasti x, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir cį šią formulę ir suskaičiuokite. Pakaitalas su savo ženklais! Pavyzdžiui, lygtyje:

A =1; b = 3; c= -4. Čia rašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Viskas labai paprasta. O kaip tu manai, negali suklysti? Na taip, kaip...

Dažniausios klaidos – supainiojimas su vertybių ženklais a, b ir c. O tiksliau ne jų ženklais (kur čia supainioti?), o neigiamų reikšmių pakeitimu į šaknų skaičiavimo formulę. Čia išsaugomas išsamus formulės įrašas su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, tai padaryk tai!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

Čia a = -6; b = -5; c = -1

Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.

Na, netingėk. Papildomai eilutei parašyti prireiks 30 sekundžių.Ir klaidų skaičius smarkiai sumažės. Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:

Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai dažyti. Bet tik atrodo. Pabandyk tai. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas? Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai dažyti. Tai tiesiog pasirodys teisinga. Ypač jei taikote praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis blogas pavyzdys su daugybe minusų bus išspręstas lengvai ir be klaidų!

Tačiau dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Ar žinojai?) Taip! Tai nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas.

Jas taip pat galima išspręsti pagal bendrą formulę. Jums tiesiog reikia teisingai išsiaiškinti, kas čia yra lygus a, b ir c.

Supratau? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; A c? Jo visai nėra! Na taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to, formulėje pakeiskite nulį c, ir viskas mums susitvarkys. Panašiai ir su antruoju pavyzdžiu. Tik nulio mes čia neturime Su, A b !

Tačiau neišsamias kvadratines lygtis galima išspręsti daug lengviau. Be jokių formulių. Apsvarstykite pirmąją nepilną lygtį. Ką galima padaryti kairėje pusėje? Galite išimti X iš skliaustų! Išimkime.

Ir kas iš šito? Ir tai, kad sandauga yra lygi nuliui, jei ir tik kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netiki? Na, tada sugalvokite du ne nulius skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? Kažkas...
Todėl drąsiai galime rašyti: x 1 = 0, x 2 = 4.

Visi. Tai bus mūsų lygties šaknys. Abu tinka. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei bendroji formulė. Beje, pažymiu, kuris X bus pirmasis, o kuris antras – tai visiškai abejinga. Lengva rašyti eilės tvarka x 1- kuris yra mažesnis x 2- kas daugiau.

Antroji lygtis taip pat gali būti lengvai išspręsta. Perkeliame 9 į dešinę pusę. Mes gauname:

Belieka iš 9 ištraukti šaknį, ir viskas. Gaukite:

taip pat dvi šaknys . x 1 = -3, x 2 = 3.

Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba išimant X iš skliaustų, arba tiesiog perkeliant skaičių į dešinę, po to ištraukiant šaknį.
Šiuos metodus labai sunku supainioti. Tiesiog todėl, kad pirmuoju atveju turėsite ištraukti šaknį iš X, o tai kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ko išimti iš skliaustų ...

Diskriminuojantis. Diskriminacinė formulė.

Magiškas žodis diskriminuojantis ! Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „spręsk per diskriminantą“ ramina ir ramina. Nes nereikia laukti gudrybių iš diskriminanto! Juo naudotis paprasta ir be problemų.) Primenu bendriausią sprendimo formulę bet koks kvadratinės lygtys:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminantu. Diskriminantas paprastai žymimas raide D. Diskriminacinė formulė:

D = b 2 - 4ac

Ir kuo ši išraiška ypatinga? Kodėl jis vertas ypatingo pavadinimo? Ką diskriminanto prasmė? Po visko -b, arba 2ašioje formulėje jie konkrečiai neįvardija ... Raidės ir raidės.

Esmė tokia. Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant šią formulę, tai įmanoma tik trys atvejai.

1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galite išgauti šaknį. Kitas klausimas, ar šaknis išgauta gerai, ar blogai. Svarbu, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.

2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada turite vieną sprendimą. Kadangi nulio pridėjimas ar atėmimas skaitiklyje nieko nekeičia. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, bet du vienodi. Tačiau supaprastintoje versijoje įprasta kalbėti apie vienas sprendimas.

3. Diskriminantas yra neigiamas. Neigiamas skaičius neįima kvadratinės šaknies. Na, gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Tiesą sakant, naudojant paprastą kvadratinių lygčių sprendimą, diskriminanto sąvoka iš tikrųjų nereikalinga. Formulėje pakeičiame koeficientų reikšmes ir svarstome. Ten viskas pasirodo savaime, ir dvi šaknys, ir viena, ir ne viena. Tačiau sprendžiant daugiau sunkių užduočių, nežinant prasmė ir diskriminacinė formulė nepakankamai. Ypač – lygtyse su parametrais. Tokios lygtys yra akrobatinis skraidis GIA ir vieningam valstybiniam egzaminui!)

Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėte. Arba išmoko, kas irgi nėra blogai.) Mokate teisingai identifikuoti a, b ir c. Ar žinai kaip dėmesingai pakeiskite juos į šaknies formulę ir dėmesingai suskaičiuok rezultatą. Ar tu tai supratai raktažodįČia - dėmesingai?

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie patys, kurie atsiranda dėl neatidumo... Už ką tada skaudu ir įžeidžiau...

Pirmas priėmimas . Netingėkite prieš išspręsdami kvadratinę lygtį, kad ji būtų standartinė. Ką tai reiškia?
Tarkime, po bet kokių transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknų formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, x kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvasis narys. Kaip šitas:

Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš x kvadratą gali jus labai nuliūdinti. Pamiršti lengva... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

O dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį. Spręskite patys. Turėtumėte gauti šaknis 2 ir -1.

Antrasis priėmimas. Patikrinkite savo šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nesijaudink, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis dalykas lygtis. Tie. ta, kuria užrašėme šaknų formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1, lengvai patikrinkite šaknis. Užtenka juos padauginti. Turėtumėte gauti nemokamą terminą, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! nemokamas narys su savo ženklu . Jei nepavyko, vadinasi, jie jau kažkur susipainiojo. Ieškokite klaidos.

Jei pavyko, šaknis reikia sulankstyti. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Turėtų būti santykis b Su priešingas ženklas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas b, kuris yra prieš x, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga!
Gaila, kad taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1. Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Bus mažiau klaidų.

Trečias priėmimas . Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta pamokoje "Kaip išspręsti lygtis? Tapatybės transformacijos". Dirbdami su trupmenomis, klaidos dėl tam tikrų priežasčių kyla ...

Beje, žadėjau supaprastinti blogą pavyzdį su krūva minusų. Prašau! Štai jis.

Kad nesusipainiotume minusuose, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:

Tai viskas! Spręsti yra smagu!

Taigi, pakartokime temą.

Praktiniai patarimai:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome Teisingai.

2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.

3. Jeigu koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienetui, sprendinį galima nesunkiai patikrinti Vietos teorema. Daryk!

Dabar galite nuspręsti.)

Išspręskite lygtis:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Atsakymai (netvarkingai):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x – bet koks skaičius

x 1 = -3
x 2 = 3

jokių sprendimų

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Ar viskas tinka? Puiku! Kvadratinės lygtys nėra jūsų galvos skausmas. Pirmieji trys pasirodė, o kiti ne? Tada problema yra ne kvadratinėse lygtyse. Problema yra identiškose lygčių transformacijose. Pažiūrėk nuorodą, tai naudinga.

Ne visai veikia? O gal visai neveikia? Tada jums padės skyrius 555. Ten visi šie pavyzdžiai surūšiuoti pagal kaulus. Rodoma pagrindinis klaidos sprendime. Žinoma, aprašomas ir identiškų transformacijų taikymas sprendžiant įvairias lygtis. Labai padeda!

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Tęsiant temą „Lygčių sprendimas“, šio straipsnio medžiaga supažindins su kvadratinėmis lygtimis.

Apsvarstykime viską išsamiai: kvadratinės lygties esmę ir žymėjimą, nustatykime susijusius terminus, išanalizuokime nepilnų ir pilnųjų lygčių sprendimo schemą, susipažinkime su šaknų formule ir diskriminantu, nustatysime ryšius tarp šaknų ir koeficientų ir, žinoma, pateiksime vaizdinį praktinių pavyzdžių sprendimą.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratinė lygtis, jos tipai

1 apibrėžimas

Kvadratinė lygtis lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + c = 0, Kur x– kintamasis, a , b ir c yra keletas skaičių, o a nėra nulis.

Dažnai kvadratinės lygtys taip pat vadinamos antrojo laipsnio lygtimis, nes iš tikrųjų kvadratinė lygtis yra antrojo laipsnio algebrinė lygtis.

Pateikiame pavyzdį, iliustruojantį pateiktą apibrėžimą: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ir kt. yra kvadratinės lygtys.

2 apibrėžimas

Skaičiai a , b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c = 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b – antruoju koeficientu, arba koeficientu at x, A c vadinamas laisvuoju nariu.

Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje 6 x 2 – 2 x – 11 = 0 didžiausias koeficientas yra 6 , antrasis koeficientas yra − 2 , o laisvasis terminas lygus − 11 . Atkreipkime dėmesį į tai, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami Trumpa forma formos įrašai 6 x 2 – 2 x – 11 = 0, bet ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Išsiaiškinkime ir šį aspektą: jei koeficientai a ir/arba b lygus 1 arba − 1 , tada jie gali nedalyvauti rašant kvadratinę lygtį, o tai paaiškinama nurodytų skaitinių koeficientų rašymo ypatumais. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 − y + 7 = 0 senjorų koeficientas yra 1, o antrasis koeficientas yra − 1 .

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Pagal pirmojo koeficiento reikšmę kvadratinės lygtys skirstomos į redukuotas ir neredukuotas.

3 apibrėžimas

Sumažinta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurios pagrindinis koeficientas yra 1. Kitoms pirmaujančio koeficiento reikšmėms kvadratinė lygtis nesumažinama.

Štai keli pavyzdžiai: kvadratinės lygtys x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sumažinamos, kiekvienoje iš jų pirmaujantis koeficientas yra 1 .

9 x 2 – x – 2 = 0- nesumažintą kvadratinę lygtį, kur pirmasis koeficientas skiriasi nuo 1 .

Bet kurią nesumažintą kvadratinę lygtį galima paversti redukuota lygtimi, padalijus abi jos dalis iš pirmojo koeficiento (ekvivalentinė transformacija). Transformuota lygtis turės tokias pačias šaknis kaip ir duota neredukuota lygtis arba neturės šaknų.

Svarstymas atvejo analizė leis vaizdžiai parodyti perėjimą nuo neredukuotos kvadratinės lygties prie redukuotos.

1 pavyzdys

Duota lygtis 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Būtina paversti pradinę lygtį į sumažintą formą.

Sprendimas

Pagal aukščiau pateiktą schemą abi pradinės lygties dalis padaliname iš pirmaujančio koeficiento 6 . Tada gauname: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0:3, ir tai yra tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ir toliau: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Iš čia: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Taigi gaunama lygtis, lygiavertė duotajai.

Atsakymas: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Pereikime prie kvadratinės lygties apibrėžimo. Jame mes tai nurodėme a ≠ 0. Panaši sąlyga yra būtina lygčiai a x 2 + b x + c = 0 buvo tiksliai kvadratinis, nes a = 0 ji iš esmės virsta tiesine lygtimi b x + c = 0.

Tuo atveju, kai koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui (tai įmanoma tiek atskirai, tiek kartu), kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

4 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis a x 2 + b x + c \u003d 0, kur bent vienas iš koeficientų b Ir c(arba abu) yra nulis.

Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje visi skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui.

Aptarkime, kodėl kvadratinių lygčių tipams suteikiami būtent tokie pavadinimai.

Jei b = 0, kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 + 0 x + c = 0, kuri yra tokia pati kaip a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratinė lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + 0 = 0, kuris yra lygiavertis a x 2 + b x = 0. At b = 0 Ir c = 0 lygtis įgaus formą a x 2 = 0. Mūsų gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo nario, nei abiejų iš karto. Tiesą sakant, šis faktas davė pavadinimą tokio tipo lygtims - neišsamios.

Pavyzdžiui, x 2 + 3 x + 4 = 0 ir − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 yra pilnos kvadratinės lygtys; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Aukščiau pateiktas apibrėžimas leidžia atskirti šiuos nepilnų kvadratinių lygčių tipus:

• a x 2 = 0, koeficientai atitinka tokią lygtį b = 0 ir c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0, kai c = 0.

Paeiliui apsvarstykite kiekvieno tipo nepilnos kvadratinės lygties sprendimą.

Lygties a x 2 \u003d 0 sprendimas

Kaip jau minėta aukščiau, tokia lygtis atitinka koeficientus b Ir c, lygus nuliui. Lygtis a x 2 = 0 galima konvertuoti į lygiavertę lygtį x2 = 0, kurį gauname padalydami abi pradinės lygties puses iš skaičiaus a, nelygu nuliui. Akivaizdus faktas yra tai, kad lygties šaknis x2 = 0 yra nulis, nes 0 2 = 0 . Ši lygtis neturi kitų šaknų, o tai paaiškinama laipsnio savybėmis: bet kuriam skaičiui p , nelygus nuliui, nelygybė yra tiesa p2 > 0, iš ko išplaukia, kad kada p ≠ 0 lygybė p2 = 0 niekada nepasieks.

5 apibrėžimas

Taigi nepilnai kvadratinei lygčiai a x 2 = 0 yra unikali šaknis x=0.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime nepilną kvadratinę lygtį − 3 x 2 = 0. Tai yra lygiavertė lygčiai x2 = 0, vienintelė jo šaknis yra x=0, tada pradinė lygtis turi vieną šaknį – nulį.

Sprendimas apibendrinamas taip:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 = 0, x \u003d 0.

Lygties a x 2 + c \u003d 0 sprendimas

Toliau eilėje yra nepilnų kvadratinių lygčių sprendimas, kur b \u003d 0, c ≠ 0, tai yra, formos lygtys a x 2 + c = 0. Transformuokime šią lygtį, perkeldami terminą iš vienos lygties pusės į kitą, pakeisdami ženklą į priešingą ir padalydami abi lygties puses iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui:

• iškęsti cį dešinę pusę, kuri suteikia lygtį a x 2 = − c;
• padalykite abi lygties puses iš a, gauname kaip rezultatas x = - c a .

Mūsų transformacijos yra lygiavertės, atitinkamai gauta lygtis taip pat yra lygiavertė pradinei, ir šis faktas leidžia padaryti išvadą apie lygties šaknis. Iš kokių vertybių a Ir c priklauso nuo išraiškos reikšmės - c a: ji gali turėti minuso ženklą (pavyzdžiui, jei a = 1 Ir c = 2, tada - c a = - 2 1 = - 2) arba pliuso ženklas (pavyzdžiui, jei a = -2 Ir c=6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); jis nelygus nuliui, nes c ≠ 0. Išsamiau pakalbėkime apie situacijas, kai - c a< 0 и - c a > 0 .

Tuo atveju, kai - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p lygybė p 2 = - c a negali būti teisinga.

Viskas skiriasi, kai - c a > 0: prisiminkite kvadratinę šaknį ir taps akivaizdu, kad lygties x 2 \u003d - c a šaknis bus skaičius - c a, nes - c a 2 \u003d - c a. Nesunku suprasti, kad skaičius - - c a - taip pat yra lygties x 2 = - c a šaknis: iš tikrųjų - - c a 2 = - c a .

Lygtis neturės kitų šaknų. Tai galime parodyti naudodami priešingą metodą. Pirmiausia nustatykime aukščiau rastų šaknų žymėjimą kaip x 1 Ir − x 1. Tarkime, kad lygtis x 2 = - c a taip pat turi šaknį x2, kuris skiriasi nuo šaknų x 1 Ir − x 1. Mes tai žinome pakeisdami į lygtį, o ne x jos šaknis, lygtį paverčiame teisinga skaitine lygybe.

Dėl x 1 Ir − x 1 parašykite: x 1 2 = - c a , ir už x2- x 2 2 \u003d - c a. Remdamiesi skaitinių lygybių savybėmis, vieną tikrąją lygybę atimame iš kitos kadencijos, kuri duos mums: x 1 2 − x 2 2 = 0. Naudokite skaičių operacijų savybes, kad perrašytumėte paskutinę lygybę kaip (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Yra žinoma, kad dviejų skaičių sandauga yra nulis tada ir tik tada, kai bent vienas iš skaičių yra lygus nuliui. Iš to, kas pasakyta, išplaukia x1 − x2 = 0 ir/arba x1 + x2 = 0, kuris yra tas pats x2 = x1 ir/arba x 2 = − x 1. Iškilo akivaizdus prieštaravimas, nes iš pradžių buvo sutarta, kad lygties šaknis x2 skiriasi nuo x 1 Ir − x 1. Taigi, mes įrodėme, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus x = - c a ir x = - - c a .

Mes apibendriname visus aukščiau pateiktus argumentus.

6 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + c = 0 yra lygiavertis lygčiai x 2 = - c a , kuri:

• neturės šaknų ties - c a< 0 ;
• turės dvi šaknis x = - c a ir x = - - c a, kai - c a > 0 .

Pateiksime lygčių sprendimo pavyzdžių a x 2 + c = 0.

3 pavyzdys

Duota kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 . Būtina rasti jos sprendimą.

Sprendimas

Laisvąjį terminą perkeliame į dešinę lygties pusę, tada lygtis įgaus formą 9 x 2 \u003d - 7.
Abi gautos lygties puses padalijame iš 9 , gauname x 2 = - 7 9 . Dešinėje pusėje matome skaičių su minuso ženklu, o tai reiškia: duotoji lygtis neturi šaknų. Tada pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturės šaknų.

Atsakymas: lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturi šaknų.

4 pavyzdys

Būtina išspręsti lygtį − x2 + 36 = 0.

Sprendimas

Perkelkime 36 į dešinę pusę: − x 2 = − 36.
Padalinkime abi dalis į − 1 , mes gauname x2 = 36. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio galime tai padaryti x = 36 arba x = - 36 .
Ištraukiame šaknį ir užrašome galutinį rezultatą: nepilną kvadratinę lygtį − x2 + 36 = 0 turi dvi šaknis x=6 arba x = -6.

Atsakymas: x=6 arba x = -6.

Lygties a x 2 +b x=0 sprendimas

Panagrinėkime trečiosios rūšies nepilnas kvadratines lygtis, kai c = 0. Rasti nepilnos kvadratinės lygties sprendimą a x 2 + b x = 0, naudojame faktorizavimo metodą. Paskaičiuokime daugianarį, esantį kairėje lygties pusėje, iš skliaustų išimdami bendrą koeficientą x. Šis žingsnis leis originalią nepilną kvadratinę lygtį paversti jos ekvivalentu x (a x + b) = 0. Ir ši lygtis, savo ruožtu, yra lygiavertė lygčių rinkiniui x=0 Ir a x + b = 0. Lygtis a x + b = 0 linijinis, o jo šaknis: x = − b a.

7 apibrėžimas

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 + b x = 0 turės dvi šaknis x=0 Ir x = − b a.

Sutvirtinkime medžiagą pavyzdžiu.

5 pavyzdys

Reikia rasti lygties 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 sprendinį.

Sprendimas

Išimkime x už skliaustų ir gaukite lygtį x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ši lygtis yra lygiavertė lygtims x=0 ir 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Dabar turėtumėte išspręsti gautą tiesinę lygtį: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Trumpai parašome lygties sprendimą taip:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba x = 3 3 7

Atsakymas: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami rasti kvadratinių lygčių sprendimą, yra šaknies formulė:

8 apibrėžimas

x = - b ± D 2 a, kur D = b 2 − 4 a c yra vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas.

Rašymas x \u003d - b ± D 2 a iš esmės reiškia, kad x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bus naudinga suprasti, kaip buvo gauta nurodyta formulė ir kaip ją pritaikyti.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Tarkime, kad mes susiduriame su užduotimi išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• padalykite abi lygties puses iš skaičiaus a, skiriasi nuo nulio, gauname sumažintą kvadratinę lygtį: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• išskirti pilna aikštė kairėje gautos lygties pusėje:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  Po to lygtis bus tokia: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• dabar galima perkelti paskutinius du narius į dešinę pusę, keičiant ženklą į priešingą, po kurio gauname: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• galiausiai transformuojame paskutinės lygybės dešinėje parašytą išraišką:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Taigi, mes priėjome prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , kuri yra lygiavertė pradinei lygčiai a x 2 + b x + c = 0.

Tokių lygčių sprendimą aptarėme ankstesnėse pastraipose (neišsamių kvadratinių lygčių sprendimas). Jau įgyta patirtis leidžia padaryti išvadą apie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 šaknis:

• b 2 – 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, lygtis yra x + b 2 · a 2 = 0, tada x + b 2 · a = 0.

Iš čia vienintelė šaknis x = - b 2 · a yra akivaizdi;

• b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 teisingas yra: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 arba x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , kuris yra toks pat kaip x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 arba x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , t.y. lygtis turi dvi šaknis.

Galima daryti išvadą, kad lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (taigi ir pradinės lygties) šaknų buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos b 2 - 4 a c ženklo. 4 · 2 parašytas dešinėje pusėje. O šios išraiškos ženklą suteikia skaitiklio ženklas (vardiklis 4 ir 2 visada bus teigiamas), tai yra išraiškos ženklas b 2 − 4 a c. Ši išraiška b 2 − 4 a c pateikiamas pavadinimas - kvadratinės lygties diskriminantas ir raidė D apibrėžiama kaip jo žymėjimas. Čia galite užrašyti diskriminanto esmę - pagal jo reikšmę ir ženklą jie daro išvadą, ar kvadratinė lygtis turės realias šaknis, o jei taip, tai kiek šaknų - vieną ar dvi.

Grįžkime prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Perrašykime jį diskriminantiniu žymėjimu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Pakartokime išvadas:

9 apibrėžimas

• adresu D< 0 lygtis neturi realių šaknų;
• adresu D=0 lygtis turi vieną šaknį x = - b 2 · a ;
• adresu D > 0 lygtis turi dvi šaknis: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 arba x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Remiantis radikalų savybėmis, šias šaknis galima užrašyti taip: x \u003d - b 2 a + D 2 a arba - b 2 a - D 2 a. O kai atidarome modulius ir sumažiname trupmenas iki bendro vardiklio, gauname: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Taigi, mūsų samprotavimų rezultatas buvo kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D = b 2 − 4 a c.

Šios formulės leidžia, kai diskriminantas yra didesnis už nulį, nustatyti abi tikrąsias šaknis. Kai diskriminantas yra nulis, taikant abi formules bus gauta tokia pati šaknis kaip vienintelis sprendimas kvadratinė lygtis. Tuo atveju, kai diskriminantas yra neigiamas, bandant naudoti kvadratinę šaknies formulę, susidursime su būtinybe išgauti Kvadratinė šaknis iš neigiamo skaičiaus, kuris nuves mus už realiųjų skaičių. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturės realių šaknų, tačiau yra įmanoma sudėtingų konjuguotų šaknų pora, nustatoma pagal tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas

Kvadratinę lygtį galima išspręsti iš karto naudojant šaknies formulę, tačiau iš esmės tai daroma, kai reikia rasti sudėtingas šaknis.

Daugeliu atvejų paieška paprastai skirta ne sudėtingoms, o realioms kvadratinės lygties šaknims. Tada optimalu, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, pirmiausia nustatyti diskriminantą ir įsitikinti, kad jis nėra neigiamas (kitaip padarysime išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o tada pradėti skaičiuoti šaknų vertė.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia suformuluoti kvadratinės lygties sprendimo algoritmą.

10 apibrėžimas

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0, būtina:

• pagal formulę D = b 2 − 4 a c rasti diskriminanto vertę;
• pas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• jei D = 0, raskite vienintelę lygties šaknį pagal formulę x = - b 2 · a ;
• jei D > 0, nustatykite dvi realiąsias kvadratinės lygties šaknis pagal formulę x = - b ± D 2 · a.

Atkreipkite dėmesį, kad kai diskriminantas lygus nuliui, galite naudoti formulę x = - b ± D 2 · a , ji duos tokį patį rezultatą kaip ir formulė x = - b 2 · a .

Apsvarstykite pavyzdžius.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Pateiksime sprendimo pavyzdį skirtingos vertybės diskriminuojantis.

6 pavyzdys

Būtina rasti lygties šaknis x 2 + 2 x - 6 = 0.

Sprendimas

Rašome kvadratinės lygties skaitinius koeficientus: a \u003d 1, b \u003d 2 ir c = – 6. Toliau veikiame pagal algoritmą, t.y. Pradėkime skaičiuoti diskriminantą, kurį pakeisime koeficientais a , b Ir cį diskriminanto formulę: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Taigi, mes gavome D > 0, o tai reiškia, kad pradinė lygtis turės dvi realias šaknis.
Norėdami juos rasti, naudojame šaknies formulę x \u003d - b ± D 2 · a ir, pakeisdami atitinkamas reikšmes, gauname: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Supaprastiname gautą išraišką, išimdami koeficientą iš šaknies ženklo, o po to sumažindami trupmeną:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 arba x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 arba x = - 1 - 7

Atsakymas: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

7 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Sprendimas

Apibrėžkime diskriminantą: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. Esant šiai diskriminanto reikšmei, pradinė lygtis turės tik vieną šaknį, nustatytą pagal formulę x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Atsakymas: x = 3, 5.

8 pavyzdys

Būtina išspręsti lygtį 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Sprendimas

Šios lygties skaitiniai koeficientai bus tokie: a = 5 , b = 6 ir c = 2 . Norėdami rasti diskriminantą, naudojame šias reikšmes: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Apskaičiuotas diskriminantas yra neigiamas, todėl pradinė kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Tuo atveju, kai užduotis yra nurodyti sudėtingas šaknis, taikome šaknies formulę atlikdami operacijas su kompleksiniais skaičiais:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 arba x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i arba x = - 3 5 - 1 5 i .

Atsakymas: nėra tikrų šaknų; kompleksinės šaknys yra: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

IN mokyklos mokymo programa pagal nutylėjimą nereikalaujama ieškoti kompleksinių šaknų, todėl sprendžiant diskriminantą nustačius neigiamą, iškart įrašomas atsakymas, kad tikrų šaknų nėra.

Net antrojo koeficiento šakninė formulė

Šakninė formulė x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) leidžia gauti kitą formulę, kompaktiškesnę, leidžiančią rasti kvadratinių lygčių sprendinius su lyginiu koeficientu x (arba su koeficientu 2 a n formos, pavyzdžiui, 2 3 arba 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Parodykime, kaip gaunama ši formulė.

Tarkime, kad mes susiduriame su užduotimi rasti kvadratinės lygties a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 sprendimą. Veikiame pagal algoritmą: nustatome diskriminantą D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , tada naudojame šaknies formulę:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Tegul išraiška n 2 − a c žymima kaip D 1 (kartais žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties su antruoju koeficientu 2 n šaknų formulė įgis tokią formą:

x \u003d - n ± D 1 a, kur D 1 \u003d n 2 - a c.

Nesunku pastebėti, kad D = 4 · D 1 arba D 1 = D 4 . Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtadalis diskriminanto. Akivaizdu, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas, o tai reiškia, kad D 1 ženklas taip pat gali būti kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

11 apibrėžimas

Taigi, norint rasti kvadratinės lygties su antruoju 2 n koeficientu sprendimą, būtina:

• rasti D 1 = n 2 − a c ;
• ties D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• jei D 1 = 0, nustatykite vienintelę lygties šaknį pagal formulę x = - n a ;
• jei D 1 > 0, nustatykite dvi realiąsias šaknis naudodami formulę x = - n ± D 1 a.

9 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Sprendimas

Antrasis duotosios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2 · (− 3) . Tada duotą kvadratinę lygtį perrašome į 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , kur a = 5, n = −3 ir c = −32.

Apskaičiuokime ketvirtąją diskriminanto dalį: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Gauta reikšmė yra teigiama, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis. Mes juos apibrėžiame pagal atitinkamą šaknų formulę:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 arba x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 arba x = - 2

Galima būtų atlikti skaičiavimus naudojant įprastą kvadratinės lygties šaknų formulę, tačiau tokiu atveju sprendimas būtų sudėtingesnis.

Atsakymas: x = 3 1 5 arba x = - 2 .

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais galima optimizuoti pradinės lygties formą, o tai supaprastins šaknų skaičiavimo procesą.

Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 yra aiškiai patogesnė sprendžiant nei 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Dažniau kvadratinės lygties formos supaprastinimas atliekamas abi jos dalis dauginant arba dalijant iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, aukščiau parodėme supaprastintą lygties 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 vaizdavimą, gautą padalijus abi jos dalis iš 100.

Tokia transformacija galima, kai kvadratinės lygties koeficientai nėra santykinai pirminiai skaičiai. Tada įprasta padalyti abi lygties puses iš didžiausios bendras daliklis absoliučios jo koeficientų vertės.

Kaip pavyzdį naudojame kvadratinę lygtį 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Apibrėžkime jo koeficientų absoliučių verčių gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Abi pradinės kvadratinės lygties dalis padalinkime iš 6 ir gausime ekvivalentinę kvadratinę lygtį 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Padauginus abi kvadratinės lygties puses, trupmeniniai koeficientai paprastai pašalinami. Šiuo atveju padauginkite iš mažiausio bendro jo koeficientų vardiklių kartotinio. Pavyzdžiui, jei kiekviena kvadratinės lygties dalis 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 padauginama iš LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tada ji bus parašyta daugiau paprasta forma x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Galiausiai pažymime, kad beveik visada atsikratykite minuso ties pirmuoju kvadratinės lygties koeficientu, keisdami kiekvieno lygties nario ženklus, o tai pasiekiama padauginus (arba padalijus) abi dalis iš −1. Pavyzdžiui, iš kvadratinės lygties - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, galite pereiti prie jos supaprastintos versijos 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Ryšys tarp šaknų ir koeficientų

Jau žinoma kvadratinių lygčių šaknų formulė x = - b ± D 2 · a lygties šaknis išreiškia jos skaitiniais koeficientais. Remdamiesi šia formule, turime galimybę nustatyti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausios ir taikomos yra Vietos teoremos formulės:

x 1 + x 2 \u003d - b a ir x 2 \u003d c a.

Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra antrasis koeficientas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pagal kvadratinės lygties 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 formą galima iš karto nustatyti, kad jos šaknų suma yra 7 3, o šaknų sandauga yra 22 3.

Taip pat galite rasti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų suma gali būti išreikšta koeficientais:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter