Funkcijų grafikų tyrimas. Funkcijos tyrimas diferencialinio skaičiavimo metodais

Vienas iš svarbiausių diferencialinio skaičiavimo uždavinių yra kūrimas bendri pavyzdžiai funkcijų elgsenos tyrimai.

Jei funkcija y \u003d f (x) yra ištisinė intervale, o jos išvestinė yra teigiama arba lygi 0 intervale (a, b), tada y \u003d f (x) padidėja (f "(x) 0). Jei funkcija y \u003d f (x) yra ištisinė atkarpoje , o jos išvestinė yra neigiama arba lygi 0 intervale (a,b), tada y=f(x) sumažėja (f"( x)0)

Intervalai, kuriuose funkcija nemažėja arba nedidėja, vadinami funkcijos monotoniškumo intervalais. Funkcijos monotoniškumo pobūdis gali keistis tik tuose jos apibrėžimo srities taškuose, kuriuose kinta pirmosios išvestinės ženklas. Taškai, kuriuose pirmoji funkcijos išvestinė išnyksta arba nutrūksta, vadinami kritiniais taškais.

1 teorema (1-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegul funkcija y=f(x) yra apibrėžta taške x 0 ir tebūna tokia kaimynystė δ>0, kad funkcija būtų ištisinė atkarpoje , diferencijuojama intervale (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , o jo išvestinė kiekviename iš šių intervalų išlaiko pastovų ženklą. Tada jei ant x 0 -δ, x 0) ir (x 0, x 0 + δ) išvestinės ženklai yra skirtingi, tai x 0 yra ekstremumo taškas, o jei jie sutampa, tai x 0 nėra ekstremumo taškas . Be to, jei einant per tašką x0, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą (kairėje nuo x 0 atliekamas f "(x)> 0, tai x 0 yra maksimalus taškas; jei išvestinė keičia ženklą nuo minuso iki pliuso (dešinėje nuo x 0 vykdomas f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Didžiausias ir mažiausias taškai yra vadinami funkcijos ekstremumais, o funkcijos maksimumai ir minimumai – kraštutinėmis reikšmėmis.

2 teorema (būtinas lokalinio ekstremumo kriterijus).

Jei funkcija y=f(x) turi ekstremumą, kai srovė yra x=x 0, tada arba f'(x 0)=0, arba f'(x 0) neegzistuoja.
Diferencijuojamos funkcijos ekstremaliuose taškuose jos grafiko liestinė yra lygiagreti Ox ašiai.

Ekstremo funkcijos tyrimo algoritmas:

1) Raskite funkcijos išvestinę.
2) Raskite kritinius taškus, t.y. taškai, kuriuose funkcija yra ištisinė, o išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
3) Apsvarstykite kiekvieno taško kaimynystę ir išnagrinėkite išvestinės ženklą į kairę ir į dešinę nuo šio taško.
4) Nustatykite kraštutinių taškų koordinates, šią kritinių taškų reikšmę pakeiskite šia funkcija. Naudodamiesi pakankamai ekstremaliomis sąlygomis, padarykite atitinkamas išvadas.

18 pavyzdys. Ištirkite funkciją y=x 3 -9x 2 +24x

Sprendimas.
1) y" = 3x 2 -18x + 24 = 3 (x-2) (x-4).
2) Išvestinę prilyginę nuliui, randame x 1 =2, x 2 =4. IN Ši byla išvestinė apibrėžiama visur; taigi, be dviejų rastų taškų, kitų kritinių taškų nėra.
3) Išvestinės y ženklas "=3(x-2)(x-4) keičiasi priklausomai nuo intervalo, kaip parodyta 1 paveiksle. Einant per tašką x=2, išvestinė keičia ženklą iš pliuso į minusą, o einant per tašką x=4 - nuo minuso iki pliuso.
4) Taške x=2 funkcija turi didžiausią y max =20, o taške x=4 - minimalų y min =16.

3. teorema (2-oji pakankama sąlyga ekstremumui egzistuoti).

Tegul f "(x 0) ir f "" (x 0) egzistuoja taške x 0. Jei f "" (x 0)> 0, tai x 0 yra mažiausias taškas, o jei f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Atkarpoje funkcija y \u003d f (x) gali pasiekti mažiausią (bent jau) arba didžiausią (daugiausia) reikšmę kritiniuose funkcijos taškuose, esančiuose intervale (a; b), arba galuose segmento.

Algoritmas, kaip rasti didžiausią ir mažiausią ištisinės funkcijos y=f(x) reikšmes atkarpoje:

1) Raskite f "(x).
2) Raskite taškus, kuriuose f "(x) = 0 arba f" (x) - neegzistuoja, ir pasirinkite iš jų tuos, kurie yra atkarpos viduje.
3) Apskaičiuokite funkcijos y \u003d f (x) reikšmę taškuose, gautuose 2 dalyje), taip pat atkarpos galuose ir pasirinkite didžiausią ir mažiausią iš jų: jie yra atitinkamai didžiausi ( didžiausios) ir mažiausios (mažiausios) funkcijos reikšmės segmente .

19 pavyzdys. Raskite atkarpoje didžiausią tolydžios funkcijos y=x 3 -3x 2 -45+225 reikšmę.

1) Segmente turime y "=3x 2 -6x-45
2) Išvestinė y" egzistuoja visiems x. Raskime taškus, kur y"=0; mes gauname:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę taškuose x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Atkarpai priklauso tik taškas x=5. Didžiausia iš rastų funkcijos reikšmių yra 225, o mažiausia yra skaičius 50. Taigi, kai max = 225, kai max = 50.

Išgaubtumo funkcijos tyrimas

Paveiksle pavaizduoti dviejų funkcijų grafikai. Pirmasis iš jų pasukamas iškilimu į viršų, antrasis – su iškilimu žemyn.

Funkcija y=f(x) yra ištisinė atkarpoje ir diferencijuojama intervale (a;b), šiame atkarpoje vadinama išgaubta aukštyn (žemyn), jei axb jos grafikas yra ne aukščiau (ne žemiau) už liestinę. nubrėžta bet kuriame taške M 0 (x 0 ;f(x 0)), kur axb.

4 teorema. Tegul funkcija y=f(x) turi antrą išvestinę bet kuriame vidiniame atkarpos taške x ir yra tolydi šios atkarpos galuose. Tada, jei nelygybė f""(x)0 tenkinama intervale (a;b), tai funkcija yra žemyn išgaubta atkarpoje ; jei nelygybė f""(x)0 tenkinama intervale (а;b), tai funkcija yra išgaubta į viršų .

5 teorema. Jei funkcija y=f(x) turi antrąją išvestinę intervale (a;b) ir ji keičia ženklą eidama per tašką x 0 , tai M(x 0 ;f(x 0)) yra vingio taškas.

Posūkio taškų radimo taisyklė:

1) Raskite taškus, kuriuose f""(x) neegzistuoja arba išnyksta.
2) Išnagrinėkite ženklą f""(x) kairėje ir dešinėje nuo kiekvieno taško, rasto pirmame žingsnyje.
3) Remdamiesi 4 teorema, padarykite išvadą.

20 pavyzdys. Raskite funkcijos grafiko y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ekstremumo taškus ir vingio taškus.

Turime f"(x)=12x3 -24x2 +12x=12x(x-1) 2. Akivaizdu, kad f"(x)=0, kai x 1 =0, x 2 =1. Išvestinė, eidama per tašką x=0, keičia ženklą iš minuso į pliusą, o eidama per tašką x=1 – ženklo nekeičia. Tai reiškia, kad x=0 yra mažiausias taškas (y min =12), o taške x=1 ekstremumo nėra. Toliau randame . Antroji išvestinė išnyksta taškuose x 1 =1, x 2 =1/3. Antrosios išvestinės ženklai kinta taip: Ant spindulio (-∞;) turime f""(x)>0, intervale (;1) turime f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Todėl x= yra funkcijos grafiko vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo žemyn į išgaubtą aukštyn), o x=1 taip pat yra vingio taškas (perėjimas nuo išgaubimo aukštyn į išgaubtą žemyn). Jei x=, tai y= ; jei, tai x=1, y=13.

Grafo asimptotės radimo algoritmas

I. Jei y=f(x) kaip x → a , tai x=a yra vertikali asimptotė.
II. Jei y=f(x) kaip x → ∞ arba x → -∞, tada y=A yra horizontalioji asimptotė.
III. Norėdami rasti įstrižą asimptotą, naudojame šį algoritmą:
1) Apskaičiuokite. Jei riba egzistuoja ir yra lygi b, tai y=b yra horizontalioji asimptotė; jei , tada pereikite prie antrojo veiksmo.
2) Apskaičiuokite. Jei ši riba neegzistuoja, tai asimptoto nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus k, pereikite prie trečio žingsnio.
3) Apskaičiuokite. Jei ši riba neegzistuoja, tai asimptoto nėra; jei jis egzistuoja ir yra lygus b, pereikite prie ketvirto žingsnio.
4) Užrašykite įstriosios asimptotės y=kx+b lygtį.

21 pavyzdys: Raskite funkcijos asimptotę

1)
2)
3)
4) Įstrižinė asimptotinė lygtis turi formą

Funkcijos tyrimo schema ir jos grafiko sudarymas

I. Raskite funkcijos sritį.
II. Raskite funkcijos grafiko susikirtimo taškus su koordinačių ašimis.
III. Raskite asimptotus.
IV. Raskite galimo ekstremumo taškus.
V. Raskite kritinius taškus.
VI. Naudodami pagalbinį brėžinį ištirkite pirmojo ir antrojo vedinių ženklą. Nustatykite funkcijos didėjimo ir mažėjimo sritis, raskite grafiko išgaubimo kryptį, ekstremumo taškus ir vingio taškus.
VII. Sudarykite grafiką, atsižvelgdami į 1–6 dalyse atliktą tyrimą.

22 pavyzdys: Nubraižykite funkcijos grafiką pagal aukščiau pateiktą schemą

Sprendimas.
I. Funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė, išskyrus x=1.
II. Kadangi lygtis x 2 +1=0 neturi realių šaknų, tai funkcijos grafikas neturi susikirtimo taškų su Ox ašimi, o kerta Oy ašį taške (0; -1).
III. Išsiaiškinkime asimptotų egzistavimo klausimą. Tiriame funkcijos elgseną šalia nutrūkimo taško x=1. Kadangi y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+, tai tiesė x=1 yra vertikali funkcijos grafiko asimptotė.
Jei x → +∞(x → -∞), tai y → +∞(y → -∞); todėl grafikas neturi horizontalios asimptotės. Be to, nuo ribų egzistavimo

Išsprendę lygtį x 2 -2x-1=0, gauname du galimo ekstremumo taškus:
x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2

V. Norėdami rasti kritinius taškus, apskaičiuojame antrąją išvestinę:

Kadangi f""(x) neišnyksta, kritinių taškų nėra.
VI. Tiriame pirmojo ir antrojo darinių ženklą. Galimi ekstremumai, į kuriuos reikia atsižvelgti: x 1 =1-√2 ir x 2 =1+√2, padalinkite funkcijos egzistavimo sritį į intervalus (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) ir (1+√2;+∞).

Kiekviename iš šių intervalų vedinys išlaiko savo ženklą: pirmame - pliusas, antrasis - minusas, trečias - pliusas. Pirmosios išvestinės ženklų seka bus rašoma taip: +, -, +.
Gauname, kad funkcija ties (-∞;1-√2) didėja, ant (1-√2;1+√2) mažėja, o ant (1+√2;+∞) vėl didėja. Ekstremalūs taškai: maksimalus ties x=1-√2, be to f(1-√2)=2-2√2 minimumas, kai x=1+√2, be to, f(1+√2)=2+2√2. Ant (-∞;1) grafikas yra išgaubtas aukštyn, o ant (1;+∞) - žemyn.
VII Padarykime gautų reikšmių lentelę

VIII Remdamiesi gautais duomenimis sudarome funkcijos grafiko eskizą

Funkcijos tyrimas atliekamas pagal aiškią schemą ir reikalauja, kad studentas gerai išmanytų pagrindines matematines sąvokas, tokias kaip apibrėžimo ir reikšmių sritis, funkcijos tęstinumas, asimptotė, ekstremumo taškai, paritetas, periodiškumas, ir tt Mokinys turi laisvai diferencijuoti funkcijas ir spręsti lygtis, kurios kartais būna labai sudėtingos.

Tai reiškia, kad ši užduotis patikrina didelį žinių sluoksnį, kurio bet kokia spraga taps kliūtimi norint gauti teisingą sprendimą. Ypač dažnai sunkumų kyla kuriant funkcijų grafikus. Ši klaida iškart patraukia mokytojo akis ir gali labai sugadinti pažymį, net jei visa kita buvo padaryta teisingai. Čia galite rasti funkcijos tyrimo užduotys internete: studijų pavyzdžiai, sprendimų atsisiuntimas, užduočių užsakymas.

Ištirkite funkciją ir brėžinį: pavyzdžiai ir sprendimai internete

Paruošėme jums daugybę paruoštų funkcijų tyrimų, tiek mokamų sprendimų knygoje, tiek nemokamų skyriuje Funkcijų tyrimo pavyzdžiai. Šių išspręstų užduočių pagrindu galėsite detaliai susipažinti su tokių užduočių atlikimo metodika, pagal analogiją atlikti savo tyrimą.

Siūlome paruoštus labiausiai paplitusių tipų funkcijų grafiko tyrimo ir braižymo pavyzdžius: daugianario, trupmeninės racionaliosios, iracionaliosios, eksponentinės, logaritminės, trigonometrinės funkcijos. Prie kiekvienos išspręstos problemos pridedamas paruoštas grafikas su pasirinktais pagrindiniais taškais, asimptotais, maksimumais ir minimumais, sprendimas vykdomas pagal funkcijos tyrimo algoritmą.

Išspręsti pavyzdžiai bet kuriuo atveju jums bus gera pagalba, nes jie apima populiariausių tipų funkcijas. Siūlome jums šimtus jau išspręstų uždavinių, tačiau, kaip žinia, pasaulyje yra begalė matematinių funkcijų, o mokytojai – puikūs žinovai, sugalvojantys vis įmantresnių užduočių neturtingiems mokiniams. Taigi, mieli studentai, kvalifikuota pagalba jums nepakenks.

Funkcijos tyrimo uždavinių sprendimas pagal užsakymą

Tokiu atveju mūsų partneriai jums pasiūlys kitą paslaugą – pilnų funkcijų tyrimas internete užsisakyti. Užduotis jums bus atlikta laikantis visų tokių problemų sprendimo algoritmo reikalavimų, o tai labai patiks jūsų mokytojui.

Atliksime išsamų funkcijos tyrimą už jus: surasime apibrėžimo sritį ir reikšmių diapazoną, išnagrinėsime tęstinumą ir nenuoseklumą, nustatysime paritetą, patikrinsime jūsų funkcijos periodiškumą, surasime susikirtimo taškus su koordinačių ašimis. . Ir, žinoma, toliau diferencialinio skaičiavimo pagalba: rasime asimptotus, apskaičiuosime ekstremumus, vingio taškus ir sukursime patį grafiką.

Panagrinėkime funkciją \(y= \frac(x^3)(1-x) \) ir sukurkime jos grafiką.

1. Apibrėžimo sritis.
Racionalios funkcijos (trupmenos) apibrėžimo sritis bus: vardiklis nelygus nuliui, t.y. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Domenas $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Funkcijos lūžio taškai ir jų klasifikacija.
Funkcija turi vieną lūžio tašką x = 1
išnagrinėkite tašką x= 1. Raskite funkcijos ribą, esančios dešinėje ir kairėje nuo nutrūkimo taško, dešinėje $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1-x )) = -\infty $$ ir taško $$ kairėje \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ vienpusės ribos yra \(\infty\).

Tiesi linija \(x = 1\) yra vertikali asimptotė.

3. Funkcijos tolygumas.
Tikrinama, ar nėra lygybės \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \), funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.

4. Funkcijos nuliai (susikirtimo su Ox ašimi taškai). Funkcijų pastovumo intervalai.
Funkcijos nuliai ( susikirtimo taškas su jaučio ašimi): prilyginkite \(y=0\), gausime \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \). Kreivė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi su koordinatėmis \((0;0)\).

Funkcijų pastovumo intervalai.
Nagrinėjamuose intervaluose \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) kreivė turi vieną susikirtimo tašką su ašimi Ox , todėl apibrėžimo sritį nagrinėsime trimis intervalais.

Nustatykime funkcijos ženklą apibrėžimo srities intervaluose:
intervalas \((-\infty; 0) \) suraskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
intervalas \((0; 1) \) raskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), šiame intervale funkcija yra teigiama \(f(x ) > 0 \), t.y. yra virš x ašies.
intervalas \((1;+\infty) \) suraskite funkcijos reikšmę bet kuriame taške \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Susikirtimo taškai su ašimi Oy: prilyginkite \(x=0 \), gausime \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\). Susikirtimo taško su Oy ašimi koordinatės \((0; 0)\)

6. Monotoniškumo intervalai. Funkcijų kraštutinumai.
Raskime kritinius (stacionarius) taškus, tam randame pirmąją išvestinę ir prilyginsime ją nuliui $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ prilygsta 0 $$ \frac(x ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Raskite funkcijos reikšmę šiame taške \(f (0) = 0\) ir \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). Gauti du kritiniai taškai su koordinatėmis \((0;0)\) ir \((1,5;-6,75)\)

Monotoniškumo intervalai.
Funkcija turi du kritinius taškus (galimus kraštutinumus), todėl monotoniškumą nagrinėsime keturiais intervalais:
intervalas \((-\infty; 0) \) suraskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
intervalas \((0;1)\) suraskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2 ) > 0\) , funkcija didėja šiuo intervalu.
intervalas \((1;1.5)\) raskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))((1-x)^2 ) > 0\) , funkcija didėja šiuo intervalu.
intervalas \((1,5; +\infty)\) suraskite pirmosios išvestinės reikšmę bet kuriame intervalo taške \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))((1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Funkcijų kraštutinumai.

Tiriant funkciją buvo gauti du kritiniai (stacionarūs) taškai apibrėžimo srities intervale. Išsiaiškinkime, ar jie yra ekstremumai. Apsvarstykite išvestinės ženklo pasikeitimą, kai einate per kritinius taškus:

taškas \(x = 0\) išvestinė keičia ženklą iš \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) - taškas nėra ekstremumas.
taškas \(x = 1,5\) išvestinė keičia ženklą iš \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - taškas yra didžiausias taškas.

7. Išgaubimo ir įgaubimo intervalai. Posūkio taškai.

Norėdami rasti išgaubto ir įgaubto intervalus, randame antrąją funkcijos išvestinę ir prilygstame nuliui $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Nustatykite $$ lygų nuliui \frac(2x(x^2-3x+3))(( 1-x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Funkcija turi vieną kritinis taškas antrojo tipo su koordinatėmis \((0;0)\).
Apibrėžkime apibrėžimo srities intervalų išgaubą, atsižvelgdami į antrosios rūšies kritinį tašką (galimos vingio tašką).

intervalas \((-\infty; 0)\) suraskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
intervalas \((0; 1)\) suraskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x)^ 3) > 0 \), šiame intervale antroji funkcijos išvestinė yra teigiama \(f""(x) > 0 \) funkcija yra žemyn išgaubta (išgaubta).
intervalas \((1; \infty)\) suraskite antrosios išvestinės reikšmę bet kuriame taške \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Posūkio taškai.

Apsvarstykite antrosios išvestinės ženklo pokytį einant per antrojo tipo kritinį tašką:
Taške \(x =0\) antroji išvestinė keičia ženklą iš \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\), funkcijos grafikas keičia išgaubtą, t.y. tai vingio taškas su koordinatėmis \((0;0)\).

8. Asimptotės.

Vertikali asimptotė. Funkcijos grafikas turi vieną vertikalią asimptotę \(x =1\) (žr. 2 punktą).
Įstrižas asimptotas.
Kad funkcijos \(y= \frac(x^3)(1-x) \) grafikas \(x \to \infty\) turėtų įstrižą asimptotę \(y = kx+b\) , būtina ir pakanka , kad būtų dvi ribos $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ rasti $$ \lim_(x \ iki \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ ir antra riba $$ \lim_(x \to +\infty)(f( x) - kx) = b$ $, nes \(k = \infty\) – įstrižos asimptotės nėra.

Horizontali asimptota: norint egzistuoti horizontalioji asimptotė, būtina, kad būtų riba $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$, raskite ją $$ \lim_(x \to +\infty) (\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\infty $$
Horizontalios asimptotės nėra.

9. Funkcijos grafikas.

Atskaitos taškai nagrinėjant funkcijas ir jų grafikų konstravimą yra būdingi taškai – nenutrūkstamumo, ekstremumo, vingio, susikirtimo su koordinačių ašimis taškai. Diferencialinio skaičiavimo pagalba galima nustatyti charakteristikos funkcijos pokyčiai: padidėjimas ir sumažėjimas, maksimumai ir minimumai, grafiko išgaubimo ir įgaubimo kryptis, asimptotų buvimas.

Funkcijų grafiko eskizą galima (ir reikia) nubraižyti radus asimptotes ir ekstremumo taškus, o tyrimo metu patogu pildyti funkcijos tyrimo suvestinę lentelę.

Paprastai naudojama tokia funkcijų tyrimo schema.

1.Raskite funkcijos domeną, tęstinumo intervalus ir lūžio taškus.

2.Patikrinkite lyginę ar nelyginę funkciją (ašinė arba centrinė grafiko simetrija.

3.Raskite asimptotus (vertikalius, horizontalius arba įstrižus).

4.Raskite ir ištirkite funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus, jos kraštutinius taškus.

5.Raskite kreivės išgaubimo ir įgaubimo intervalus, jos vingio taškus.

6.Raskite kreivės susikirtimo taškus su koordinačių ašimis, jei tokių yra.

7.Sudarykite apibendrintą tyrimo lentelę.

8.Sudarykite grafiką, atsižvelgdami į funkcijos tyrimą, atliktą pagal aukščiau nurodytus punktus.

Pavyzdys. Naršyti funkciją

ir suplanuoti.

7. Padarykime funkcijos tyrimo suvestinę lentelę, kurioje surašysime visus charakteringus taškus ir intervalus tarp jų. Atsižvelgdami į funkcijos paritetą, gauname tokią lentelę: